资源简介

泰安市近八年中考试题分类汇编
13. 函数
考点一：函数的解析式
1. （2009.15.）已知y是x的一次函数，又表给出了部分对应值，则m的值是 。
x
-1
2
5
y
5
-1
m
答案： －7
2. （2009.17.）2009如图所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 。
答案：、
3. （2009.12.）如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为
（A） （B）
（C） （D）
答案：B
4.（2009.3.）抛物线的顶点坐标为
（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）
5.（2007.4.） 将化成的形式为（ ）
A． B．
C． D．
答案：C
6.（2010.14.）将y = 2x2﹣12x﹣12变为y = a（x﹣m）2 + n的形式，则m·n = ．
【分析】y = 2x2﹣12x﹣12 = 2（x2﹣6x﹣6）
=，因此m = 3，n =﹣30，所以m·n =﹣90．
【答案】﹣90
【点评】配方法是中考的热点考查问题，多以选择填空题中出现，本题以二次函数为背景，在配方时要严格按照配方法的配方步骤，要注意不要出现漏项．
7.（2008.23.）．（本小题满分9分）某厂工人小王某月工作的部分信息如下：
信息一：工作时间：每天上午8∶20~12∶00，下午14∶00~16∶00，每月25元；
信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．
生产产品件数与所用时间之间的关系见下表：
生产甲产品件数（件）
生产乙产品件数（件）
所用总时间（分）
10
10
350
30
20
850
信息三：按件计酬，每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙产品可得2.80元．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分？
（2）小王该月最多能得多少元？此时生产甲、乙两种产品分别多少件？
8.（2011.20.）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣7
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
y
﹣27
﹣13
﹣3
3
5
3
则当x=1时，y的值为（　　）
A、5 B、﹣3
C、﹣13 D、﹣27
分析：由表可知，抛物线的对称轴为x=﹣3，顶点为（﹣3，5），再用待定系数法求得二次函数的解析式，再把x=1代入即可求得y的值．
解答：解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，
∵h=﹣3，k=5，
∴y=a（x+3）2+5，
把（﹣2，3）代入得，a=﹣2，
∴二次函数的解析式为y=﹣2（x+3）2+5，
当x=1时，y=﹣27．
故选D．
点评：本题看出来用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线是轴对称图形，对称轴为x=﹣．
9.（2012.12.）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．　　B．　
C．　　D．
解答：解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移2个单位所得抛物线的解析式为：．
故选A．
10.（2006.25.）（本小题满分10分）如图，是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片，点与原点重合，点在轴上，点在轴上，，．将折叠，使边落在边上，点与点重合，折痕为．
（1）求直线的解析式；
（2）求经过，，三点的抛物线的解析式；若抛物线的顶点为，试判断点是否在直线上，并说明理由．
解：（1），
　　　　在中，．
　　　　点的坐标为．
　　　　又点的坐标为，设直线的解析式为．
　　　　，．
　　　　则直线的解析式为：．
（2）在中，．
　　　　，
　　　　又，
　　　　
　　　　解之得：，，．
　　　　所求抛物线的解析式为．
　　　　配方得：，顶点为．
　　　　把代入，得：．
　　　　顶点不在直线上
考点二：函数的图象与性质
11.（2006.5.） 如图，是一同学骑自行车出行时所行路程（）与时间（）的函数关系图象，从中得到的正确信息是（　　）
Ａ．整个行程的平均速度为
Ｂ．前二十分钟的速度比后半小时的速度慢
Ｃ．前二十分钟的速度比后半小时的速度快
Ｄ．从起点到达终点，该同学共用了
答案：C
12.(2006.18.) 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
容易看出，是它与轴的一个交点，则它与轴的另一个交点的坐标为_________．
答案： 分析：本题主要运用二次函数图象的对称性，利用表格找出对称点坐标。
13.（2006.6.） 若，则下列函数①，②，③，④中，的值随的值增大而增大的函数共有（　　）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
14. (2008.12.) 如图所示是二次函数的图象在轴上方的一部分，对于这段图象与轴所围成的阴影部分的面积，你认为与其最接近的值是（ ）
A．4 B． C． D．
答案：B
15. （2006.8.）下列图形：
其中，阴影部分的面积相等的是（　　）
Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．④①
答案：C
16.（2007.12.）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，其体温（℃）与时间（时）之间的关系如图所示．若（℃）表示0时到时内骆驼体温的温差（即0时到时最高温度与最低温度的差）．则与之间的函数关系用图象表示，大致正确的是（ ）

答案：A
17.（2011?泰安）已知一次函数y=mx+n﹣2的图象如图所示，则m、n的取值范围是（　　）
A、m＞0，n＜2 B、m＞0，n＞2
C、m＜0，n＜2 D、m＜0，n＞2

分析：先根据一次函数的图象经过二、四象限可知m＜0，再根据函数图象与y轴交与正半轴可知n﹣2＞0，进而可得出结论．
解答：解：∵一次函数y=mx+n﹣2的图象过二、四象限，
∴m＜0，
∵函数图象与y轴交与正半轴，
∴n﹣2＞0，
∴n＞2．
故选D．
点评：本题考查的是一次函数的图象，即直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
18.（2007.6.）．已知三点，，都在反比例函数的图象上，若，，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
18（2008.10.）在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
答案：D
19．（2013.17. ）把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是（　　）
　 A．1＜m＜7 B．3＜m＜4 C．m＞1 D．m＜4
考点：一次函数图象与几何变换．
分析：直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，求出直线y=﹣x+3+m与直线y=2x+4的交点，再由此点在第一象限可得出m的取值范围．
解答：解：直线y=﹣x+3向上平移m个单位后可得：y=﹣x+3+m，
联立两直线解析式得：，
解得：，
即交点坐标为（，），
∵交点在第一象限，
∴，
解得：m＞1．
故选C．
点评：本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第一象限的点的横、纵坐标均大于0．　
20.(2008.9.) 函数的图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ）
A．该函数的图象是中心对称图形
B．当时，该函数在时取得最小值2
C．在每个象限内，的值随值的增大而减小
D．的值不可能为1
答案：C
21．（2010. 8.）下列函数：①y =﹣3x ②y = 2x﹣1 ③ ④y =﹣x2 + 2x + 3，其中y的值随x值增大而增大的函数有（ ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】正比例函数y = kx，当k > 0时，y的值随x值增大而增大，因此①不满足条件，一次函数y = kx + b，当k > 0时，y的值随x值增大而增大，因此②满足条件，反比例函数，当k < 0时，y的值随x值增大而增大，因此③满足条件，二次函数，当a < 0，时，y的值随x值增大而增大，因此④不满足条件，所以满足题意的有2个． 【答案】B
【涉及知识点】函数的增减性
【点评】本题综合考查了正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，难度适中，考查知识点到位，区分度好，效度高．
22.（2012.19. ）设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　）
　　A．　　B．　　C．　　D．
考点：二次函数图象上点的坐标特征。
解答：解：∵函数的解析式是，如右图，
∴对称轴是，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是．
故选A．
23.（2012.16. ）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（　　）
　　A．第一、二、三象限　　B．第一、二、四象限　　C．第二、三、四象限　　D．第一、三、四象限
考点：二次函数的图象；一次函数的性质。
解答：解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选C．
24.（2013.10. ）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（　　）
　 A．1 B．2 C．3 D．4
分析：根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
解答：解：①∵a=﹣＜0，
∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；
③顶点坐标为（﹣1，3），正确；
④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；
综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．
故选C．
点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．　
25. （2013.16. ）在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（　　）
　 A． B． C． D．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
分析：令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
解答：解：x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选C．
点评：本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．　
考点三：函数的最值问题
26. (2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（　　）
　　A．　　B．3　　C．　　D．9
考点：抛物线与x轴的交点。
解答：解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，
∴a＞0.，即，
∵一元二次方程有实数根，
∴△=，即，即，解得，
∴m的最大值为3．
故选B．
27.（2007.24. ） （本小题满分9分）市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买两种风景树共900棵．两种树的相关信息如下表：
单价（元/棵）
成活率
80
92%
100
98%
若购买种树棵，购树所需的总费用为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若购树的总费用不超过82000元，则购种树不少于多少棵？
（3）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
解：（1）

（2）由题意得：
即购种树不少于400棵
（3）

随的增大而减小
当时，购树费用最低为（元）
当时，
此时应购种树600棵，种树300棵
28.（2008.25. ） （本小题满分10分）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．
解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为
（元）
（2）由题意可设与的函数关系为
将代入上式得
得
所以种植亩数与政府补贴的函数关系为
同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为
（3）由题意

所以当，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元．
29.(2009.23. )某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件。
求A、B两种纪念品的进价分别为多少？
若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出候总获利不低于216元，问应该怎样进货，才能使总获利最大，最大为多少？
解：（1）设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元。

由题意， 得
解之，得

答：A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元
（2）设上点准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（40-x）件，
由题意，得
解之，得：
∵总获利是a的一次函数，且w随a的增大而减小
∴当a=30时，w最大，最大值w=-2×30+280=220.
∴40-a=10
∴应进A种纪念品30件，B种纪念品10件，在能是获得利润最大，最大值是220元。
30.(2009.25. )如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线
求点E的坐标；
求过 A、O、E三点的抛物线解析式；
若点P是（2）中求出的抛物线AE段上一动点（不与A、E重合），设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值。
解：（1）作AF⊥x轴与F
∴OF=OAcos60°=1，AF=OFtan60°=
∴点A（1，
代入直线解析式，得，∴m=
∴
当y=0时，
得x=4， ∴点E（4，0）
（2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为
∵抛物线过原点
∴c=0

∴
∴
∴抛物线的解析式为
（3）作PG⊥x轴于G，设


当
31.（2011.28. ）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．
（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？
（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？
考点：二次函数的应用。
专题：销售问题。
分析：（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．可计算出一个月可获利多少元；
（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，得到y与x的二次函数关系式求出函数的最大值即可．
解答：解：（1）获利：（30﹣20）[105﹣5（30﹣25）]=800；
（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，
由题意，得y=（x﹣20）[105﹣5（x﹣25）]=﹣5x2+330x﹣4600=﹣5（x﹣33）2+845，
当x=33时，y的最大值为845，
故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，能正确表示出月销售量是解题的关键．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
考点四：函数的交点问题．
32.. （2010.16. ）如图，一次函数y = ax（a是常数）与反比例函数y=（k是常数）的图象相交于A、B两点，若A点的坐标为（﹣2，3），则B点的坐标为 ．
【分析】因为反比例函数y=与正比例函数y = ax两个交点的坐标
关于原点成中心对称，因此B的坐标为（2，﹣3）．
【答案】（2，﹣3）
【涉及知识点】反比例函数 一次函数 中心对称
【点评】本题需要考生熟知反比例函数与正比函数图象相交的两个
交点关于原点成中心对称这一性质，本题考查知识点到位，难度中等．
33. （2010.4.）函数y = 2x + 1与函数的图象相交于点（2，m），则下列各点不在函数的图象上的是（ ）A．（﹣2，﹣5） B．（，4） C．（﹣1，10）D．（5，2）
【分析】将点（2，m）代入一次函数y = 2x + 1，得到m = 5，因此函数y = 2x + 1与函数的图象交点的坐标为（2，5），将（2，5）代入函数，得k = 10，将选项C（﹣1，10）代入不成立．
【答案】C 【涉及知识点】一次函数 反比例函数
【点评】本题通过将交点坐标代入已知函数关系式，求出参数，再通过函数交点坐标，求出另一个函数的解析式，最后验证点是否在函数图象上，使得本题的区分度较高．
34.（2011.26.）如图，一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
分析：（1）根据一次函数y=k1x+b的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）可得到关于b、k1的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x﹣2求出m的值，由M（3，4）在双曲线上即可求出k2的值，进而求出其反比例函数的解析式；
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．
解答：（1）∵直线y=k1x+b过A（0，﹣2），B（1，0）两点
∴，
∴
∴已知函数的表达式为y=2x﹣2．（3分）
∴设M（m，n）作MD⊥x轴于点D
∵S△OBM=2，
∴，
∴
∴n=4（5分）
∴将M（m，4）代入y=2x﹣2得4=2m﹣2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线上，
∴，
∴k2=12
∴反比例函数的表达式为
（2）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO==2（8分）
∴在Rt△PDM中，，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴在x轴上存在点P，使PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）（10分）
点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
35．（2013.25. ）如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A，
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．
分析：（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数y=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入一次函数y=ax+b中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；
（2）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=﹣，即可求出P点的坐标．
解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），
∴AB=5，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点C的坐标为（5，﹣3）．
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴﹣3=，解得k=﹣15，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
∵一次函数y=ax+b的图象经过点A，C，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；
（2）设P点的坐标为（x，y）．
∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，
∴×OA?|x|=52，
∴×2|x|=25，
解得x=±25．
当x=25时，y=﹣=﹣；
当x=﹣25时，y=﹣=．
∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．
点评：本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．　
考点四：函数与不等式．
36.（2012.25. ）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．
（1）求一次函数与反比例的解析式；
（2）直接写出当时，的解集．

解答：解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1
∴B（﹣2，0），OA=1，
∴A（0，﹣1）
∴ ，新课 标第一网
∴，
∴
又∵OD=4，OD⊥x轴，
∴C（﹣4，y），
将代入得y=1，
∴C（﹣4，1）
∴，
∴，
∴
（2）当时，的解集是．
考点五 ：函数与方案设计．
37.（2010.22 ）某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.
（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式；
（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？
（3）印刷数量在什么范围时，在甲厂的印制合算？
【分析】（1）根据题意分情况列出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系；（2）分别另y = 3000，求出印制数量x，进行比较；观察式子可以看出，第n个式子等于；（2）将通分化简即可；（3）列不等式比较．
【答案】解：（1）甲厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式为
y = x + 1000
乙厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式为
y = 2x
（2）根据题意：
若找甲厂印制，可以印制的份数x满足
3000 = x + 1000
得x = 2000
若找乙厂印制，可以印制的份数x满足
3000 = 2x
得x = 1500
又2000 > 1500
∴找甲厂印制的宣传材料多一些．
（3）根据题意可得
x + 1000 < 2x
解得x > 1000
当印制数量大于1000份时，在甲厂印刷合算．
【涉及知识点】函数 不等式 方案设计
【点评】以实际生活中的问题为背景，让学生体会到数学来源于实际生活，用数学解决实际问题，提高数学应用意识．
38. （2007.25. ） （本小题满分10分）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为（0，4）．
（1）求点的坐标；
（2）求过，，三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点五 ：函数综合试题．
39.（2012.29. ）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线过A、B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由；
（3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

解答：解：（1）如答图1，连接OB．
∵BC=2，OC=1
∴OB=
∴B（0，）
将A（3，0），B（0，）代入二次函数的表达式
得 ，解得： ，
∴．
（2）存在．
如答图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P．
∵B（0，），O（0，0），
∴直线l的表达式为．代入抛物线的表达式，
得；
解得，
∴P（）．
（3）如答图3，作MH⊥x轴于点H．
设M（ ），
则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB=（MH+OB）?OH+HA?MH﹣OA?OB
=
=
∵，
∴
=
∴当时，取得最大值，最大值为．
40.（2013.29. ）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．
（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．
解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，
得，
解得
∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．
（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，
∴A（﹣4，0），S△ABC=AB?OC=12．
设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．
∵PE∥AC，
∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，
∴△PBE∽△ABC，
∴，即，
化简得：S△PBE=（2﹣x）2．
S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB?OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2
=x2﹣x+
=（x+1）2+3
∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．
DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°，
∴∠ADM=90°，
∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；
（II）当MD=MO时，如答图②所示．
过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
（III）当OD=OM时，
∵△OAC为等腰直角三角形，
∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．
∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．　

展开更多......

收起↑