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2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的平移与伸缩》
（解析版）
三角函数的图象及其变换
由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
真题回顾
1.（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【分析】
先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】
由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.
故选：C.
2．（2021·全国（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【解析】
解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.故选：B.
练习挑战
1.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法错误的是( )
A.函数的最小正周期是
B.函数的图象关于点对称
C.函数在内单调递减
D.函数在内的最大值是1
答案：D
解析：由题意知，最小正周期，选项A正确;当时，，即函数的图象关于点对称，选项B正确;当时，函数在内单调递减，选项C正确;当时，函数在内单调递增，，即函数在内没有最大值，选项D错误.故选D.
2.如图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，需将的图像上所有点( )
A.向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B.向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C.向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D.向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
解析：由题图知，，所以，由图像分析知，，即，所以，故需将的图像上所有点向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，即可得到的图像，故选A.
3．要得到函数y＝sin 2x的图象，只需要将函数y＝cos的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析　函数y＝sin 2x＝cos，将函数y＝cos的图象向右平移个单位长度得到y＝cos＝cos＝sin 2x.
4.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）．
A．向左平移个单位 B． 向右平移个单位
C．向左平移个单位 D． 向右平移个单位
分析 函数的图象向右平移个单位得，所以，
因为，所以，选B．
5. 已知，，则的图像（ ）．
A．与图像相同
B．与图像关于轴对称
C．是由的图像向左平移个单位得到
D．是由的图像向右平移个单位得到
分析 用诱导公式化同弦．
解析 ，将函数的图像向左平移个单位，所得函数．故选．
6. 已知曲线，，则下面结正确的是（ ）.
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
解析 ，，
首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．
．横坐标变换需将变成，
即．
注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，
根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D.
7．已知函数，其图像过点．
（1）求的值
（2）将图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值
解析 由题意把点代入函数的解析式得
（1），
（2）
，依题，
当，即时，取最小值；当，即时，取最大值．2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的平移与伸缩》
（原卷版）
三角函数的图象及其变换
由函数的图象通过变换得到的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．
真题回顾
1.（2022·全国·高考真题（文））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
练习挑战
1.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法错误的是( )
A.函数的最小正周期是
B.函数的图象关于点对称
C.函数在内单调递减
D.函数在内的最大值是1
2.如图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，需将的图像上所有点( )
A.向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B.向左平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C.向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D.向右平移个单位，再把所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
3．要得到函数y＝sin 2x的图象，只需要将函数y＝cos的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
4.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）．
A．向左平移个单位 B． 向右平移个单位
C．向左平移个单位 D． 向右平移个单位
5. 已知，，则的图像（ ）．
A．与图像相同
B．与图像关于轴对称
C．是由的图像向左平移个单位得到
D．是由的图像向右平移个单位得到
6. 已知曲线，，则下面结正确的是（ ）.
A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
7．已知函数，其图像过点．
（1）求的值
（2）将图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值

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