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2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的单调性》
（原卷版）
三角函数的单调性
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．如，令，即，可得为原函数的减区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
真题回顾
1．（2019·全国（理））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
2．（2017·浙江）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
练习挑战
1. 若函数在内单调递增，则可以是（ ）．
A．1 B． C． D．
2. 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若的最小正周期为，求的单调递减区间．
3．函数y＝2sin的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
4.已知，其中.若对一切的恒成立，且，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.2023备考-三角函数专题高频考点《三角函数的单调性》
（解析版）
三角函数的单调性
（1）求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式进行化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
（2）求形如或（其中）的单调区间时，要视“”为一个整体，通过解不等式求解.但如果，那么一定先借助诱导公式将化为正数.
（3）已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．如，令，即，可得为原函数的减区间．
对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．
真题回顾
1．（2019·全国（理））设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点
②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增
④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【解析】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，∴，
∴，故④正确，
由，知时，
令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，
若f（x）在单调递增，则 ，即 ，
∵，故③正确．
故选D．
2．（2017·浙江）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
（I）2；（II）的最小正周期是，.
【分析】
（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值．
（Ⅱ）直接利用函数的关系式，求出函数的周期和单调区间．
【解析】
（Ⅰ）f（x）＝sin2x﹣cos2xsin x cos x，
＝﹣cos2xsin2x，
＝﹣2，
则f（）＝﹣2sin（）＝2，
（Ⅱ）因为．
所以的最小正周期是．
由正弦函数的性质得
，
解得，
所以，的单调递增区间是．
练习挑战
1. 若函数在内单调递增，则可以是（ ）．
A．1 B． C． D．
解析 由已知，函数在上单调递减，则，,解得．令得．故选．
2. 已知函数．
（1）求函数的值域；
（2）若的最小正周期为，求的单调递减区间．
解析 ．（1）的值域为；
，，函数的单调递减区间为．
3．函数y＝2sin的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　因为y＝2sin＝－2sin，所以只要求y＝2sin的单调递减区间，由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
4.已知，其中.若对一切的恒成立，且，则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
4.答案：B
解析：由题意知，其中.对一切的恒成立，直线是函数的图像的一条对称轴，，即.又的取值可以是不妨令.由，得的单调递增区间是，故选B.

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