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2023年高考突破
圆锥曲线的定点、定值、最值与开放问题
题型一：【取值范围：利用坐标的范围】
例题1．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【题型二：恒过定点】
例题2．已知直线与抛物线y2＝4x交于两点A、B，且两交点纵坐标之积为－16，则直线恒过定点(　　)
A．(1，0) B．(2，0)
C．(4，0) D．(8，0)
【变式练习1】．椭圆E：＋＝1的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率乘积为定值－，则动直线BC恒过定点的坐标为________．
【更上一层楼】2．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
3、已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
【题型3：定值问题】
例题3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为(　　)
A．2 B．3
C. D.
【变式练习】
1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程；
(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．
2．关于曲线C：＋＝1性质的叙述，正确的是(　　)
A．一定是椭圆 B．可能为抛物线
C．离心率为定值 D．焦点为定点
3．若直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则·的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．与点P的位置有关
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________．
【题型4：最值问题 方法：一、定义法；二、二次函数；三、均值不等式】
例题4．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
【变式练习】．1、当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．
例题5、已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
例题6、已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
【更上一层楼】
2、如图所示，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．2023年高考突破
圆锥曲线的定点、定值、最值与开放问题
题型一：【取值范围：利用坐标的范围】
例题1．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(x0＋)·(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋－3<0，解得－故选A.
答案：A
【题型二：恒过定点】
例题2．已知直线与抛物线y2＝4x交于两点A、B，且两交点纵坐标之积为－16，则直线恒过定点(　　)
A．(1，0) B．(2，0)
C．(4，0) D．(8，0)
解析：设直线AB方程为x＝my＋n，
联立得y2－4my－4n＝0，
所以y1y2＝－4n＝－16，所以n＝4，
所以x＝my＋4，所以直线恒过定点(4，0)．
答案：C
【变式练习1】．椭圆E：＋＝1的左顶点为A，点B，C是椭圆E上的两个动点，若直线AB与AC的斜率乘积为定值－，则动直线BC恒过定点的坐标为________．
解析：由题意知A(－2，0)，设B(x1，y1)C(x2，y2)，
设BC的方程为x＝ny＋t，
代入椭圆方程得：(3n2＋4)y2＋6nty＋3t2－12＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
直线AB与AC的斜率乘积为定值k1·k2＝·＝－，
所以4y1y2＋(ny1＋t＋2)(ny2＋t＋2)＝0，
即(n2＋4)y1y2＋n(t＋2)(y1＋y2)＋(t＋2)2＝0，
韦达定理代入得t2＋t－2＝0，解得t＝1或－2，
当t＝－2时，定点与A重合，舍去，
所以t＝1，直线x＝ny＋1过定点(1，0)．
答案：(1，0)
【更上一层楼】2．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为(1，0)，且经过点A(0，1)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为原点，直线l：y＝kx＋t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|＝2，求证：直线l经过定点．
(1)解：由题意，得b2＝1，c＝1，
所以a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线AP的方程为y＝x＋1.
令y＝0得点M的横坐标xM＝－.
又y1＝kx1＋t，从而|OM|＝|xM|＝.
同理，|ON|＝.
由得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以|OM|·|ON|＝·
＝
＝
＝2.
又|OM|·|ON|＝2，所以2＝2.
解得t＝0，所以直线l经过定点(0，0)．
3、已知椭圆＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．
解：(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.
解得x1＝－2，x2＝－，所以M.
(2)设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)．
联立方程
化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.
则xA＋xM＝，又xA＝－2，
则xM＝－xA－＝2－＝.
同理，可得xN＝.
由(1)知若存在定点，则此点必为P.
证明如下：
因为kMP＝＝＝.
同理可计算得kPN＝.
所以直线MN过x轴上的一定点P.
【题型3：定值问题】
例题3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：由题意知，e＝＝＝2 b2＝3a2，则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，设A(m，n)，M(x0，y0)(x0≠±m)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝＝＝3.
答案：B
【变式练习】
1．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.
(1)求该椭圆的方程；
(2)过点D(，－)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．
(1)解：由题意可知：椭圆＋＝1(a>b>0)，焦点在x轴上，2c＝2，c＝1，
椭圆的离心率e＝＝，则a＝，b2＝a2－c2＝1，
则椭圆的标准方程：＋y2＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，
当斜率不存在时，x＝，y＝0与椭圆只有一个交点，不合题意．
由题意得PQ的方程：y＝k(x－)－，
则
整理得：(2k2＋1)x2－(4k2＋4k)x＋4k2＋8k＋2＝0，
由韦达定理可知：x1＋x2＝，x1x2＝，
则y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k－2＝，
则kAP＋kAQ＝＋＝，
由y1x2＋y2x1＝[k(x1－)－]x2＋[k(x2－)－]x1＝2kx1x2－(k＋)(x1＋x2)＝－，
kAP＋kAQ＝＝
＝1，
所以直线AP，AQ的斜率之和为定值1.
2．关于曲线C：＋＝1性质的叙述，正确的是(　　)
A．一定是椭圆 B．可能为抛物线
C．离心率为定值 D．焦点为定点
解析：因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，故B错误，
因为a2－4可正也可负，所以曲线可能为椭圆或双曲线，
若曲线为椭圆，则c2＝a2－(a2－4)＝4，
所以c＝2，e＝，离心率不是定值，焦点(2，0)，(－2，0)，为定点，
若曲线为双曲线，方程为－＝1，
则c2＝a2＋(4－a2)＝4，
所以c＝2，e＝，离心率不是定值，焦点(2，0)，(－2，0)，为定点．
答案：D
3．若直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则·的值为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．与点P的位置有关
解析：设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
因为P是切点，所以MP的方程为－y0y＝1，且x－4y＝4，
由解得
同理
所以·＝x1x2＋y1y2＝·－·＝＝＝3.
答案：A
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＋＝0，得y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋＝0.
答案：0
【题型4：最值问题 方法：一、定义法；二、二次函数；三、均值不等式】
例题4．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点，若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
解析：由双曲线的性质知所求的c的最大值就是双曲线的一条渐近线x－y＝0与直线x－y＋1＝0的距离，此距离d＝＝.
答案：
【变式练习】．1、当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．
解析：由题得：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，则直线过定点A(3，1)，点A在圆内，过A的弦最短即过圆心C和点A的直线与弦所在直线垂直时，弦长最短，AC＝＝＝，化简得(4m＋3)2＝0 m＝－.
例题5、已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
(1)求；
(2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）抛物线的焦点为，，
所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；
（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点、、，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以，，
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最大值．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
例题6、已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
求的方程，并说明是什么曲线；
过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．
证明：是直角三角形；
求面积的最大值．
【答案】详见解析详见解析
【官方解析】
由题设得，化简得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．
设直线的斜率为，则其方程为．由得．
记，则．
于是直线的斜率为，方程为．
由，得．①
设，则和是方程①的解，故，由此得．
从而直线的斜率为．所以，即是直角三角形．
由得，，
所以的面积．
设，则由得，当且仅当时取等号．
因为在单调递减，所以当，即时，取得最大值，最大值为．
因此，面积的最大值为．
【分析】分别求出直线与的斜率，由已知直线与的斜率之积为，可以得到等式，化简可以求出曲线的方程，注意直线与有斜率的条件；
设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出两点的坐标，进而求出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出的坐标，再求出直线的斜率，计算的值，就可以证明出是直角三角形；
由可知三点坐标，是直角三角形，求出的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.
【更上一层楼】
2、如图所示，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
解：(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．
由已知可得e2＝＝，
所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝b.　①
S△ABF＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－.②
将①代入②，得(2b－b)b＝1－，
解得b＝1，故a＝2，c＝.
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，
故有m2＝1＋k2.③
由消去y，
得x2＋2kmx＋m2－1＝0.
由题可知k≠0，
即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0.
所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝＝，x1x2＝＝.
所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝.④
将③代入④中，得|x1－x2|2＝，
故|x1－x2|＝.
所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.
故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.
令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得
S＝2＝
＝ ＝
＝ ＝ ，
所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为× ＝1.

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