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引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第三讲 等比数列概念及其通项公式
考点一 等比数列的判断或证明
例1.（2021·全国高二专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
例2.（2021·全国高二课时练习）已知数列满足，，且 ，
设，求证是等比数列
例3.（2021春 和田市校级期中）已知{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1，
（1）求证：{an+1}是等比数列；
（2）求这个数列的通项公式an．
例4.（2021春 张家港市校级月考）已知数列{an}满足a1，且an+1an，n∈N*．
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
1.（2021·全国高二课时练习）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）．
A． B． C． D．
2．（2021·全国高二课时练习）设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：①；
②(为非零常数)；③；④其中是等比数列的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））已知数列，，，.
（1）求证：是等比数列；
（2）设（），求数列的前项和.
4．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
考点二 等比数列基本量计算
例1.（1）（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}成等比数列．若a2＝4，a5＝－，则数列{an}的通项公式是______．
（2）（2021·全国高二课时练习）在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
例2.（2021·全国）在等比数列中，
（1）若，，，求和；
（2）若，，求和；
（3）若，，求和公比.
例3.（2021 汕头一模）在正项等比数列{an}中，a2 a4＝16，a4+a5＝24，则数列{an}的通项公式为（　　）
A．an＝2n﹣1 B．an＝2n C．an＝3n D．an＝3n﹣1
【一隅三反】
1．（2021·全国高二课时练习）在等比数列{an}中，a1=8，a4=64，则a3等于（ ）
A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-32
2.（2021·全国高二专题练习）在等比数列{an}中.
（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；
（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
3．已知递增等比数列中，，，若，则（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
考点三 等比数列中项性质
例1.（2021·鄂尔多斯市第一中学高二月考（文））已知等比数列的公比为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
例2.（2021·全国高二课时练习）在等比数列中，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
例3.（2021秋 道里区校级期末）方程x2﹣8x+9＝0的两根的等比中项是（　　）
A．﹣4 B．﹣3和3 C．﹣4和4 D．3
【一隅三反】
1．（2021·全国高二专题练习）在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于（ ）
A．5 B．±5 C．4 D．±4
2．（2021·全国高二课时练习）如果，，，，成等比数列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3.（2021 汕头一模）在正项等比数列{an}中，a2 a4＝16，a4+a5＝24，则数列{an}的通项公式为（　　）
A．an＝2n﹣1 B．an＝2n C．an＝3n D．an＝3n﹣1
4．已知递增等比数列中，，，若，则（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2021·全国高二课时练习）已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（2021·全国高二课时练习）设各项为正数的等比数列中，公比，且，则( )
A． B． C． D．
7．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心）“”是“，，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点四 等比数列的性质
例1.（2021 5月份模拟）若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则下列说法中正确的个数有（　　）
①{an+λan+2}（λ∈R）为等差数列；
②{bn bn+1}为等比数列；
③为等比数列；
④为等差数列；
⑤{bn+bn+2}为等比数列．
A．2 B．3 C．4 D．5
例2.（2021春 万载县校级期末）正项等比数列{an}满足a2a9+a4a7＝16，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
例3.（2021秋 桂林月考）已知在等比数列{an}中，若，则a2a449的值（　　）
A． B． C． D．
例4.已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．8
例5.（2021春 石景山区期末）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a3，a6，a9成等比数列 D．a2，a4，a8成等比数列
1．各项都为正数的等比数列中，，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．
2．已知数列为等比数列，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．在等比数列中，，则等于（ ）
A．16 B．32 C．4 D．8
4．等比数列中，若，，则=（ ）
A． B． C． D．
5．在等比数列中，，是方程的根，则（ ）
A．2 B． C．或 D．或
6．在正项等比数列中，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
7．已知公比大于1的等比数列满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
考点五 等比数列的单调性
利用单调性求值
例1.（2021 思明区校级模拟）已知递增等比数列{an}满足a1a3，a2+a4＝15，则a1+a3+a5＝（　　）
A． B． C． D．
例2.（2021春 温州期末）已知等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0且q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1.（2021 成都模拟）已知数列{an}为等比数列，“a6＞a5＞0”是“数列{an}为递增数列”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2021春 定州市期末）在递增的等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，
则数列{an}的公比q＝（　　）
A．2 B．±2 C． D．或2
(二) 利用单调性求最值
例1.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
例2.设等比数列满足，，则使最大的n为（ ）
A． B．3 C．3或4 D．4
例3.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
例4.在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例5.各项不为的等差数列，满足，数列是各项为正的等比数列，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
1.已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不能由已知条件确定
2.已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．9
3.等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
4.在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．25 B． C．5 D．
5.已知数列满足，，，则数列的最小项为（ ）
A． B． C． D．
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（2022·河南·三模（理））在等比数列中，，，则( )
A．80 B．242 C． D．244
4．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；
③，必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（ ）
A．10 B．25 C．5 D．15
7．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2022·湖北十堰·三模）已知函数，则( )
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C．，，成等比数列 D．，，成等比数列
10．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
三、填空题
11．（2022·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
12．（2022·辽宁抚顺·一模）设数列的前n项和为，且，若，则k的值为________.
四、解答题
13．（2022·重庆长寿·高二期末）已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
14．（2022·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
B能力提升
15．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式.
C综合素养
17．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，
18．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．引子:
数列从不吝啬她的优雅，不是出其不意，就是猝不及防;
数列的通项公式与求和是数列两大永恒的主题,无论是求通项公式，还是求和，方法都多得令人发指;
好在目前高考对此降低了难度，就算偶尔发生意外，也顶多是一个小题的差距，根本没法伤筋动骨;
她那忧郁、深沉、咄咄逼人而又富有浪漫色彩的魅力，只有拿满分才配得上。
第三讲 等比数列概念及其通项公式
考点一 等比数列的判断或证明
例1.（2021·全国高二专题练习）下面四个数列中，一定是等比数列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
【答案】D
【解析】对于A、B、C： 当q＝0时不是等比数列，故A、B、C错误；
对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确，故选：D
例2.（2021·全国高二课时练习）已知数列满足，，且 ，
设，求证是等比数列
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为，
所以，又因为，
所以是以首项为3，公比为3的等比数列.
例3.（2021春 和田市校级期中）已知{an}满足a1＝3，an+1＝2an+1，
（1）求证：{an+1}是等比数列；
（2）求这个数列的通项公式an．
【解题思路】（1）由数列的递推公式可得{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
（2）由（1）可得an+1＝4×2n﹣1，问题得以解决
【解答过程】证明：（1）a1＝3，an+1＝2an+1，∴an+1+1＝2（an+1），
∵a1＝3，∴a1+1＝4，∴{an+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列，
解：（2）由（1）可得an+1＝4×2n﹣1，∴an＝2n+1﹣1
例4.（2021春 张家港市校级月考）已知数列{an}满足a1，且an+1an，n∈N*．
（1）求证：{an}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
【解题思路】（1）对an+1an进行变形处理得到：an+1an（an），根据等比数列的性质证得结论；
（2）根据{an}是以为首项，为公比的等比数列来推知数列{an}的通项公式．
【解答过程】（1）证明：由已知得：an+1an（an），
因为a1，所以a1，
所以{an}是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知，{an}是以为首项，为公比的等比数列，
所以an （）n﹣1，所以an （）n﹣1．
1.（2021·全国高二课时练习）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为数列是等比数列，所以，
对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；
对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；
对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列；
对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；故选C.
2．（2021·全国高二课时练习）设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：①；
②(为非零常数)；③；④其中是等比数列的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】设数列的公比为，则，
对于①，因为是常数，所以是等比数列；
对于②，因为是常数，所以是等比数列；
对于③，因为是常数，所以是等比数列；
对于④，因为是常数，所以是等比数列；
所以①②③④都是等比数列，所以等比数列有个，故选：D.
3．（2021·玉溪第二中学高二月考（理））已知数列，，，.
（1）求证：是等比数列；
（2）设（），求数列的前项和.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）依题意，，
所以，是首项为2、公比为2的等比数列.
（2）由（1）得：，，
数列的前项和为.
4．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}满足＝1，an＋1＝2an＋1，bn ＝an＋1(n∈N*)．
（1）求证：{ bn }是等比数列；
（2）求{ an }的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）an＝2n－1.
【解析】（1）证明：∵an＋1＝2an＋1，
∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn，
∵b1＝＋1＝2≠0.
∴bn≠0，∴＝2，∴{bn}是等比数列．
（2）由（1）知{bn}是首项b1＝2，公比为2的等比数列，
∴bn＝2×2n－1＝2n，即an＋1＝2n，
∴an＝2n－1.
考点二 等比数列基本量计算
例1.（1）（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}成等比数列．若a2＝4，a5＝－，则数列{an}的通项公式是______．
（2）（2021·全国高二课时练习）在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．
【答案】（1）an＝4·(－)n－2，n∈N* （2）8
【解析】（1）由a5＝a2q3，得－＝4·q3，所以q＝－.an＝a2qn－2＝4·(－)n－2，n∈N*.
故答案为：an＝4·(－)n－2，n∈N*.
（2）设这8个数组成的等比数列为{an}，则a1＝1，a8＝2.
插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a1a8)3＝23＝8.故答案为：8.
例2.（2021·全国）在等比数列中，
（1）若，，，求和；
（2）若，，求和；
（3）若，，求和公比.
【答案】（1），；（2），；（3）或.
【解析】（1）等比数列中，，，，
，解得，．
（2）等比数列中，，，
，解得，，
．
（3）当时，，所以，所以；
当时，，，即
∴， (舍去)，∴，所以；综上所述：或
例3.（2021 汕头一模）在正项等比数列{an}中，a2 a4＝16，a4+a5＝24，则数列{an}的通项公式为（　　）
A．an＝2n﹣1 B．an＝2n C．an＝3n D．an＝3n﹣1
【解题思路】根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质求出a3＝4，又由a4+a5＝24，
可得a3q+a3q2＝24，变形解可得q的值，求出a1的值，由等比数列的通项公式即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，
若a2 a4＝16，则（a3）2＝16，必有a3＝4，
又由a4+a5＝24，则a3q+a3q2＝24，即q2+q﹣6＝0，
解可得q＝2，则有a11，则an＝a1qn﹣1＝2n﹣1，故选：A．
【一隅三反】
1．（2021·全国高二课时练习）在等比数列{an}中，a1=8，a4=64，则a3等于（ ）
A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-32
【答案】C
【解析】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3==32.故选：C
2.（2021·全国高二专题练习）在等比数列{an}中.
（1）S2＝30，S3＝155，求Sn；
（2）a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
（3）a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q.
【答案】（1）；（2）；（3）2或
【解析】（1）由题意知解得或
从而Sn＝×5n＋1－或Sn＝.
（2）由题意知解得从而S5＝＝.
（3）因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根.从而或
又Sn＝＝126，所以q为2或.
3．已知递增等比数列中，，，若，则（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
解：设等比数列的公比为，
由题意可得，解得或，
因为数列是递增数列，所以，
则由，得，解得，
所以，
由，得，解得，故选：D
考点三 等比数列中项性质
例1.（2021·鄂尔多斯市第一中学高二月考（文））已知等比数列的公比为正数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为，，
因为，所以，而，所以，故选：C
例2.（2021·全国高二课时练习）在等比数列中，，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】（2）因为，所以.故选：C.
例3.（2021秋 道里区校级期末）方程x2﹣8x+9＝0的两根的等比中项是（　　）
A．﹣4 B．﹣3和3 C．﹣4和4 D．3
【解题思路】先利用韦达定理求出方程x2﹣8x+9＝0的两根之积，再利用等比中项的性质即可求解．
【解答过程】解：由韦达定理可得方程x2﹣8x+9＝0的两根之积为9，
而9＝（±3）2，故方程x2﹣8x+9＝0的两根的等比中项是±3．故选：B．
【一隅三反】
1．（2021·全国高二专题练习）在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于（ ）
A．5 B．±5 C．4 D．±4
【答案】C
【解析】∵＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，又a5＝a3q2＞0，∴a5＝4.故选：C
2．（2021·全国高二课时练习）如果，，，，成等比数列，那么（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】因为，，，，成等比数列，所以，且与首项同号，
所以．故选：B
3.（2021 汕头一模）在正项等比数列{an}中，a2 a4＝16，a4+a5＝24，则数列{an}的通项公式为（　　）
A．an＝2n﹣1 B．an＝2n C．an＝3n D．an＝3n﹣1
【解题思路】根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质求出a3＝4，又由a4+a5＝24，
可得a3q+a3q2＝24，变形解可得q的值，求出a1的值，由等比数列的通项公式即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，设正项等比数列{an}的公比为q，
若a2 a4＝16，则（a3）2＝16，必有a3＝4，
又由a4+a5＝24，则a3q+a3q2＝24，即q2+q﹣6＝0，
解可得q＝2，则有a11，则an＝a1qn﹣1＝2n﹣1，故选：A．
4．已知递增等比数列中，，，若，则（ ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
解：设等比数列的公比为，
由题意可得，解得或，因为数列是递增数列，所以，
则由，得，解得，所以，
由，得，解得，故选：D
5．（2021·全国高二课时练习）已知各项均不为0的等差数列{an}，满足2a3－＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
【解析】因为{an}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去).又{bn}为等比数列，所以b6b8＝＝＝16.故选D.
6．（2021·全国高二课时练习）设各项为正数的等比数列中，公比，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为是等比数列，，公比，
所以，化简得，，
故.故选：C.
7．（2021·北京市延庆区教育科学研究中心）“”是“，，，成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若，不能推出，，，等比数列，例如，，， 时，故充分性不成立．若，，，等比数列，则，所以，故必要性成立．
综上，“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件，故选：．
考点四 等比数列的性质
例1.（2021 5月份模拟）若数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，则下列说法中正确的个数有（　　）
①{an+λan+2}（λ∈R）为等差数列；
②{bn bn+1}为等比数列；
③为等比数列；
④为等差数列；
⑤{bn+bn+2}为等比数列．
A．2 B．3 C．4 D．5
【解题思路】设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由于（an+1+λan+3）﹣（an+λan+2）＝（an+1﹣an）+λ（an+3﹣an+2）＝（λ+1）d，从而可判断①；
由于，从而可判断②；由于，从而可判断③；
由于不为定值，从而可判断④；
由于，从而可判断⑤．
【解答过程】解：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
对于①：（an+1+λan+3）﹣（an+λan+2）＝（an+1﹣an）+λ（an+3﹣an+2）＝（λ+1）d，故①正确；
对于②：，故②正确；
对于③：，故③正确；
对于④：不为定值，故④错误；
对于⑤：，故⑤正确，
所以正确的个数有4个，故选：C．
例2.（2021春 万载县校级期末）正项等比数列{an}满足a2a9+a4a7＝16，则log2a1+log2a2+…+log2a10＝（　　）
A．15 B．14 C．13 D．12
【解题思路】由题意利用等比数列的性质、对数的运算法则，计算求得结果．
【解答过程】解：∵正项等比数列{an}满足a2a9+a4a7＝16，∴a4a7＝8，
则log2a1+log2a2+…+log2a105log2（a4 a7）＝5log28＝5×3＝15，故选：A．
例3.（2021秋 桂林月考）已知在等比数列{an}中，若，则a2a449的值（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】由等比数列的性质求解即可．
【解答过程】解：在等比数列{an}中，若，则a2a449．故选：C．
例4.已知等比数列的各项均为正数，若，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．8
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等比数列的性质变形即可计算作答.
【详解】在等比数列中，，则，
依题意，，而的各项均为正数，于是得，
所以.故选：A
例5.（2021春 石景山区期末）对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（　　）
A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列
C．a3，a6，a9成等比数列 D．a2，a4，a8成等比数列
【解题思路】根据：若a，A，b构成等比数列，则A2＝ab，即可对选项逐一判断．
【解答过程】解：由于1+9≠2×3，所以aa1a9，即a1、a3、a9不能构成等比数列，选项A错误．
由于2+6≠2×3，所以aa2a6，即a2、a3、a6不能构成等比数列，选项B错误．
由于3+9＝2×6，所以aa3a9，即a3、a6、a9能构成等比数列，选项C正确．
由2+8≠2×4，所以aa2a8，即a2、a4、a8不能构成等比数列，选项D错误．故选：C．
1．各项都为正数的等比数列中，，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】C
解：依题意是各项都为正数的等比数列，.故选：C
2．已知数列为等比数列，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
解：由等比数列的性质可知，且等比数列奇数项的符号相同，所以，即.故选：B
3．在等比数列中，，则等于（ ）
A．16 B．32 C．4 D．8
【答案】A
解：因为在等比数列中，，所以，故选：A
4．等比数列中，若，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：，，.故选：B
5．在等比数列中，，是方程的根，则（ ）
A．2 B． C．或 D．或
【答案】D
解：等比数列的公比设为，，是方程的根，可得，
即有，即有，则.故选：D.
6．在正项等比数列中，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
解：.故选：C
7．已知公比大于1的等比数列满足，，则（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
解：由等比数列的性质知，解得，所以.
考点五 等比数列的单调性
利用单调性求值
例1.（2021 思明区校级模拟）已知递增等比数列{an}满足a1a3，a2+a4＝15，则a1+a3+a5＝（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】设等比数列{an}的公比为q（q＞0），根据a1a3，a2+a4＝15可解出a2与q的值，
从而利用a1+a3+a5a2q+a2q3即可求出结果．
【解答过程】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），由a1a3，得a22，
又a2+a4＝15，得a2+a2q2＝15，即a2（1+q2）＝15，由于1+q2＞0，所以a2＞0，
则a2，所以（1+q2）＝15，即1+q2＝10，解得q＝3或q＝﹣3（舍去），
∴a1+a3+a5a2q+a2q3333．故选：A．
例2.（2021春 温州期末）已知等比数列{an}的公比为q，则“a1＞0且q＞1”是“{an}为递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论．
【解答过程】解：①在等比数列中，若a1＞0，q＞1，q＞1，则an+1＞an，即{an}为递增数列成立，
即充分性成立．
②若an＝﹣1满足{an}为递增数列，但a1＞0，q＞1不成立，即必要性不成立，
故a1＞0，q＞1是{an}为递增数列的充分不必要条件，故选：A．
1.（2021 成都模拟）已知数列{an}为等比数列，“a6＞a5＞0”是“数列{an}为递增数列”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由a6＞a5＞0，可得q＞1，a1＞0，可得数列{an}为递增数列．反之不成立，例如数列an是单调递增数列，但0＞a6＞a5．
【解答过程】解：①当a6＞a5＞0时，又∵{an}为等比数列，∴q1，a1＞0，
∴an+1﹣an＝a1qn﹣a1qn﹣1＝a1qn﹣1（q﹣1）＞0，∴{an}为递增数列，∴充分性成立，
②当{an}为递增数列，比如an，a5，a6，则0＞a6＞a5，∴必要性不成立，
综上，a6＞a5＞0是{an}为递增数列的充分不必要条件，故选：B．
2.（2021春 定州市期末）在递增的等比数列{an}中，a4，a6是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，
则数列{an}的公比q＝（　　）
A．2 B．±2 C． D．或2
【解题思路】根据题意，由一元二次方程根与系数的关系分析可得，解可得a4与a6的值，由等比数列的性质分析可得a4与a6的值，计算可得q的值，即可得答案．
【解答过程】解：根据题意，a4，a6是方程x2﹣10x+16＝0的两个根，
则有，解可得：或，
又由等比数列{an}是递增的，必有，则有q24，即q＝2；故选：A．
(二) 利用单调性求最值
例1.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为（ ）
A．12 B．18 C．24 D．32
【答案】C
【分析】将已知条件整理为，可得，进而可得
，分子分母同时除以，利用二次函数的性质即可求出最值.
【详解】因为是等比数列，，
所以，，
即，所以，
，
令，则，
所以，即时最大为1，此时最小为，
所以的最小值为，故选：C
例2.设等比数列满足，，则使最大的n为（ ）
A． B．3 C．3或4 D．4
【答案】C
【分析】先用基本量表示题干条件，计算可得，即，则，
利用指数函数和二次函数的性质，即可判断
【详解】由题意，设等比数列的公比为，则
代入可得，，
故，则，
由于为增函数，为开口向下的二次函数，对称轴为，
又，故当或时，取得最大值.故选：C.
例3.已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用等比数列的知识求出m与n的关系，再利用基本不等式求解出最值.
【详解】因为，所以，解得或，
，
因为，所以，
因此依次代入得当时，取最小值.故选：B.
例4.在等比数列中， ，则能使不等式成立的最大正整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】在等比数列中， 根据，时， ；
时， ，再结合求解.
【详解】∵在等比数列中， ，∴公比，
∴时， ；
时， .
∵，∴，，，
∴，
又当时， ，
∴使不等式成立的的最大值为.故选：C
例5.各项不为的等差数列，满足，数列是各项为正的等比数列，且，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】由求得，然后求得，最后根据，即可得到本题答案.
【详解】因为是各项不为0的等差数列，所以，联立，得，
解得或（舍去）；
因为数列是各项为正的等比数列，且，
所以，，则的最小值是8.故选：C
1.已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不能由已知条件确定
【答案】A
【分析】作差化简得，根据、讨论差的正负即可得解.
【详解】．
因为，，，
所以若，则，，所以，所以；
若，则，，所以，所以.
所以恒有．故选：A.
2.已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．9
【答案】C
【分析】由求得，代入求得，利用基本不等式求出它的最小值．
【详解】因为各项均为正数的等比数列满足，可得，
即 解得或（舍去）．
∵，，
∴ =
当且仅当，即m=2,n=4时，等号成立．
故 的最小值等于.故选：C
3.等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.
【详解】在等比数列中，设公比，当时，有，，成等差数列，
所以，即，解得，所以，所以，，
当且仅当时取等号，所以当或时，取得最小值1，故选：D.
4.在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．25 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】是等比数列，且，由等比数列的性质，可得，又，求出.又，结合基本不等式可求的最大值.
【详解】是等比数列，且，
.
又，，
，当且仅当时取等号.故选：B.
5.已知数列满足，，，则数列的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断数列为等比数列，再根据等比数列通项公式求，根据叠乘法得数列的通项公式，最后根据二次函数性质以及自变量范围确定最小值.
【详解】，，
所以数列为等比数列，首项为，公比为4，所以
当时
因为时，所
因此当或时，取最小值 故选：D
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】解：因为等比数列的公比，所以．故选：D
2．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，所以，
化为：，解得．故选：D
3．（2022·河南·三模（理））在等比数列中，，，则( )
A．80 B．242 C． D．244
【答案】B
【详解】等比数列的公比，
∴，∴．故选：B．
4．（2022·上海奉贤·二模）若，，，成等比数列，则下列三个数列：①；②；
③，必成等比数列的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若，，，为，则不为等比数列，①不符合；
由，，，必非零且公比为，则也非零且公比为，②符合；
若，，，为，则不为等比数列，③不符合；故选：B
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在数列中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则，
又，所以是以3为首项，为公比的等比数列，
所以，得．故选：C．
6．（2022·云南民族大学附属中学模拟预测（理））已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（ ）
A．10 B．25 C．5 D．15
【答案】C
【详解】因为是等比数列，，
所以，即，
因为，所以.故选：C
7．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，
标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，
因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.
故选：D
8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为数列的前项和满足，
所以当n=1时，有.不合题意；所以，解得：；
当时，.，解得：.
设，解得：，可得：，
所以是公比为，首项的等比数列，
所以，所以.
经检验，对n=1也成立.
若存在，使得，则数列不单调.
只需，则正负项交替出现，符合题意，此时.
当时，单调递增，不符合题意；
当时，单调递减，不符合题意；
而.综上所述：.故选：A
二、多选题
9．（2022·湖北十堰·三模）已知函数，则( )
A．，，成等差数列 B．，，成等差数列
C．，，成等比数列 D．，，成等比数列
【答案】ABD
【详解】A：，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以A正确；
B：，，，
则，由等差中项的应用知，
成等差数列，所以B正确；
C：，，
则，，成等差数列，又，所以C错误；
D：，，，
则，由等比中项的应用知，
成等比数列，所以D正确.故选：ABD.
10．（2022·全国·模拟预测）已知等比数列满足，公比，且，，则（ ）
A． B．当时，最小
C．当时，最小 D．存在，使得
【答案】AC
【详解】对A，∵，，∴，又，，
∴，故A正确.
对B，C，由等比数列的性质，，
故，，∵，
∴，∵，，，∴，，
∴，故当时，最小，B错误，C正确；
对D，当时，，故，故D错误.故选：AC
三、填空题
11．（2022·上海青浦·二模）已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________．
【答案】
【详解】 ∵，即，则 又∵，即，则
∵，则，∴， 则, ∴, 故答案为：．
12．（2022·辽宁抚顺·一模）设数列的前n项和为，且，若，则k的值为________.
【答案】4
【详解】因为①，
所以当时，解得
又②，
两式①②相减可得，即，而a1-6=5不为零，
所以，即，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以，且，解得k=4，故答案为：4
四、解答题
13．（2022·重庆长寿·高二期末）已知等差数列满足，前4项和．
(1)求的通项公式；
(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．
【答案】(1) (2)或
【详解】(1)设等差数列首项为，公差为d．
∵ ∴ 解得：
∴等差数列通项公式
(2)设等比数列首项为，公比为q
∵ ∴ 解得： 即或
∴等比数列通项公式或
14．（2022·全国·高二课时练习）四个数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，若首末两数之和为14，中间两数之和为12，求这四个数．
【答案】2，4，8，12或，，，
【详解】设四个数依次为、、、．
则，解得或．
故所求的四个位数依次为2，4，8，12或，，，．
B能力提升
15．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知数列中，，．
(1)证明：数列为等比数列；
【答案】(1)证明见解析
(1)证明：因为，，
所以，又，即，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，.
(1)写出该数列的前项；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)，，，， (2)
【详解】（1），
，，，.
（2）由得：，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，.
C综合素养
17．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列中，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若、分别为等差数列的第3项和第5项，问是不是数列中的项？若是，求出是第几项；若不是，说明理由，
【答案】(1) (2)是，第45项
【详解】（1）设数列的公比为，则，得，
所以；
（2）设等差数列的公差为，,,
则，
所以
因为，所以是数列中第45项
18．（2022·全国·高二课时练习）已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为，所以，
即，且，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）可求得，
所以，即．
（3）假设存在，则，，
即，化简得．
因为，当且仅当时等号成立．
又因为m，n，s互不相等，所以不存在．

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