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3.2 函数的基本性质
3.2.2 函数的奇偶性
知识点1 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
注：
①奇函数图像关于原点对称
②偶函数图像关于轴对称
③对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
f (x)为偶函数 f (x)＝f (|x|)．
若奇函数在x＝0处有意义，则f (0)＝0.
④奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要)
⑤利用性质法来判断奇偶性(以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数)：
(1)奇函数奇函数奇函数；(2)偶函数偶函数偶函数；(3)偶函数奇函数=非奇非偶函数
记忆口诀：加减看自身
(3)奇函数奇函数偶函数；(4)偶函数偶函数偶函数；(5)奇函数偶函数奇函数
(6)； (7)
记忆口诀：乘除看正负(注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号)
知识点2 熟记常见函数的奇偶性
(1)幂函数= 非零常数可看成偶函数
(2) 是奇函数
(3) 是奇函数
(注:与()都是奇函数)
(4) 是偶函数
(5) 是奇函数
(6)是奇函数
(7) 是奇函数
(8)是奇函数
(9)与都是偶函数
(10)是奇函数；是偶函数；是奇函数
(11)为偶函数；是奇函数。
1、判断函数奇偶性的方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断与是否具有等量关系：
(奇函数)，即
(偶函数)，即
2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略
(1)已知函数的奇偶性求函数值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数)具有奇偶性的条件求解．
(2)已知函数的奇偶性求解析式
利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
(4)应用奇偶性画图象和判断函数单调性
①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．
②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
(5)利用函数的奇偶性求最值
①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则
②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间(或)上的最值。
考点一 函数奇偶性的判断
【例1-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)； (4)．
变式1-1-1：下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有( )
A． B． C． D．
变式1-1-2：下列四个函数中，在上为增函数且为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【例1-2】(多选)已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则( )
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
变式1-2：若函数是偶函数，函数是奇函数，则( )
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是偶函数 D．函数是奇函数
【例1-3】已知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
变式1-3-1：已知函数．
(1)判断f (x)的奇偶性，并说明理由；
(2)用定义证明f (x)在(1，＋∞)上单调递增；
(3)求f (x)在[－2，－1]上的值域．
变式1-3-2：已知函数.
(1)判断奇偶性；
(2)当时，判断的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数m满足，求m的取值范围.
考点二 抽象函数的奇偶性
【例2】已知函数的定义域为，在上为增函数，且对任意的，都有．
(1)试判断的奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围．
变式2-1：定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
①②若_____________，，求实数的取值范围.
变式2-2：设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
考点三 已知函数的奇偶性求函数值
【例3】已知函数f (x)为奇函数，当时，，则 ．
变式3-1：已知函数是偶函数，且，则( )
A． B．0 C．2 D．4
变式3-2：设函数，若是奇函数，则( )
A． B． C． D．
变式3-3：已知定义在上的偶函数满足，且，则( )
A． B．1 C． D．2
变式3-4：已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
考点四 已知函数的奇偶性求解析式
【例4-1】已知是偶函数，当时，，则当时，________．
变式4-1-1：已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
变式4-1-2：已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则单调递减的区间是( )
A． B． C． D．
【例4-2】已知.
(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
(2)证明：函数在区间上是严格增函数.
变式4-2-1：已知函数是上的偶函数，当时，.
(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)求当时，函数的解析式.
变式4-2-2：已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
考点五 已知函数的奇偶性求参数值
【例5-1】已知是偶函数，则实数a的值为___________.
变式5-1-1：若函数是上的偶函数，则的值为______.
变式5-1-2：若函数是定义在上的偶函数，则( )
A．1 B．3 C．5 D．7
变式5-1-3：若函数是定义在上的偶函数，则_____．
变式5-1-4：已知函数为奇函数，则____________.
变式5-1-5：为偶函数，则___________.
变式5-1-6：已知函数为奇函数，则(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【例5-2】已知二次函数.
(1)若为偶函数，求在上的值域：
(2)若时，的图象恒在直线的上方，求实数a的取值范围.
变式5-2-1：已知函数 是奇函数.
(1)求实数m的值：
(2)求函数的单调递增区间.
变式5-2-2：已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明在的单调性.
考点六 应用函数的奇偶性解决函数图象问题
【例6】已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
变式6-1：已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A B C D
变式6-2：已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)补出函数，剩余部分的图象，并由图象写出函数，的单调增区间；
(2)求函数，的解析式；
(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
变式6-3：定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示.
(1)补全的图像；
(2)解不等式.
变式6-4：已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
考点七 利用函数的奇偶性求最值
【例7】已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．
变式7-1：设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
变式7-2：若关于x的函数在上的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为( )
A． B．505 C．1010 D．2020
考点八 函数的单调性和奇偶性的综合应用
【8-1】(多选)已知奇函数f (x)在区间[2，5]上是减函数，且f (5)= -5，则函数f (x)在区间[-5，-2]上( )
A．是增函数 B．是减函数 C．最小值为5 D．最大值为5
变式8-1-1：已知偶函数在上单调递增，则下列关系成立的是( )
A． B．
C． D．
变式8-1-2：已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是( )
A． B．或
C．或 D．或
变式8-1-3：定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
变式8-1-4：(多选)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【例8-2】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]
变式8-2-1：已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
变式8-2-2：(多选)已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则( )
A． B．当时，单调递减
C．当时， D．，
变式8-2-3：(多选)已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③. 则下列选项成立的是( )
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得3.2 函数的基本性质
3.2.2 函数的奇偶性
知识点1 函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
注：
①奇函数图像关于原点对称
②偶函数图像关于轴对称
③对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：
f (x)为偶函数 f (x)＝f (|x|)．
若奇函数在x＝0处有意义，则f (0)＝0.
④奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要)
⑤利用性质法来判断奇偶性(以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数)：
(1)奇函数奇函数奇函数；(2)偶函数偶函数偶函数；(3)偶函数奇函数=非奇非偶函数
记忆口诀：加减看自身
(3)奇函数奇函数偶函数；(4)偶函数偶函数偶函数；(5)奇函数偶函数奇函数
(6)； (7)
记忆口诀：乘除看正负(注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号)
知识点2 熟记常见函数的奇偶性
(1)幂函数= 非零常数可看成偶函数
(2) 是奇函数
(3) 是奇函数
(注:与()都是奇函数)
(4) 是偶函数
(5) 是奇函数
(6)是奇函数
(7) 是奇函数
(8)是奇函数
(9)与都是偶函数
(10)是奇函数；是偶函数；是奇函数
(11)为偶函数；是奇函数。
1、判断函数奇偶性的方法
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断与是否具有等量关系：
(奇函数)，即
(偶函数)，即
2、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略
(1)已知函数的奇偶性求函数值
利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数)具有奇偶性的条件求解．
(2)已知函数的奇偶性求解析式
利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值
①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.
②一般化策略：对x取定义域内的任一个值，利用f(-x)与f(x)的关系式恒成立来确定参数的值.
(4)应用奇偶性画图象和判断函数单调性
①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，则这个函数是偶函数．
②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
(5)利用函数的奇偶性求最值
①奇函数的性质：如果函数是定义在区间上的奇函数，则
②偶函数的性质：如果函数是定义在区间上的偶函数，则函数是定义在区间上的最值等于函数在区间(或)上的最值。
考点一 函数奇偶性的判断
【例1-1】判断下列函数的奇偶性：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【解析】(1)的定义域为R，它关于原点对称.
，故为偶函数.
(2)的定义域为R，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(3)的定义域为，它关于原点对称.
，故为奇函数.
(4)，
故，故为非奇非偶函数.
变式1-1-1：下列函数中为奇函数，且在定义域上为增函数的有( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数为非奇非偶函数，故A错；
函数为偶函数，故B错；
函数，满足 ，故是奇函数，
在定义域R上，是单调递增函数，故C正确；
函数在 上是增函数，在 上是增函数，在定义域上不单调，故D错，
变式1-1-2：下列四个函数中，在上为增函数且为奇函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在单调递减且不是奇函数，故A错误；
在上单调递减，在上单调递增，且不是奇函数，故B错误；
在上为增函数且为奇函数，C正确；
是偶函数，D错误.
【例1-2】(多选)已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则( )
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为且
，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误
对于B选项，因为，所以是奇函数，故B正确
对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误
对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确
变式1-2：若函数是偶函数，函数是奇函数，则( )
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C．函数是偶函数 D．函数是奇函数
【答案】C
【解析】因为函数是偶函数，函数是奇函数，所以、，
对于A：令，则，故是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令，则，故为奇函数，故B错误；
对于C：令，则，故为偶函数，故C正确；
对于D：令，则，故为偶函数，故D错误；
【例1-3】已知函数．
(1)判断的奇偶性；
(2)若当时，恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数为偶函数；
(2)因为在上单调递增，
故函数在上单调递减， 所以，
因为当时，恒成立
转化为，即可，所以，则实数的取值范围为．
变式1-3-1：已知函数．
(1)判断f (x)的奇偶性，并说明理由；
(2)用定义证明f (x)在(1，＋∞)上单调递增；
(3)求f (x)在[－2，－1]上的值域．
【解析】(1)f (x)为奇函数，由于f (x)的定义域为，关于原点对称，
且，所以f (x)为在上的奇函数
(画图正确，由图得出正确结论，也可以得分)
(2)证明：设任意
有．
由，得，故，
即，所以函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．
(3)由(1)，(2)得函数f (x)在[－2，－1]上单调递增，
故f (x)的最大值为，最小值为，所以f(x)在[－2，－1]的值域为[－，－2]．
变式1-3-2：已知函数.
(1)判断奇偶性；
(2)当时，判断的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数m满足，求m的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为
因为，所以函数是奇函数；
(2)函数是上的单调增函数，
证：任取且，则
，
因为，所以，，，
所以，即，所以函数是上的单调增函数；
(3)由(2)知函数是上的单调增函数，
所以，解得，
所以的取值范围为.
考点二 抽象函数的奇偶性
【例2】已知函数的定义域为，在上为增函数，且对任意的，都有．
(1)试判断的奇偶性；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为函数的定义域为，
令，得．令，得，
即，所以函数为奇函数．
(2)由(1)知函数为奇函数，又知函数的定义域为，在上为增函数
所以函数在上为增函数
因为，即，
所以，解得，所以实数的取值范围为．
变式2-1：定义在上的函数是单调函数，满足，且，.
(1)求，；
(2)判断的奇偶性，并证明；
(3)在下列两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答.
①②若_____________，，求实数的取值范围.
【解析】(1)取，得，即，∴，
取x=1，y=2，得，又
故，可得；
(2)∵函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，取，得
，移项得，∴函数是奇函数；
(3)选①：∵是奇函数，且在上恒成立
∴在上恒成立，
又，是单调函数，∴在R上是增函数
∴在上恒成立，∴在上恒成立
令. 由于，∴. ∴，∴.
选②：是奇函数，且在上有解，
∴在上有解
又，∴在R上是增函数
∴在上有解，即在上有解，
令. 由于，∴.∴，∴.
变式2-2：设函数是增函数，对于任意都有．
(1)写一个满足条件的；
(2)证明是奇函数；
(3)解不等式．
【解析】(1)因为函数是增函数，其中一种为：，证明如下：
函数满足是增函数，，故满足题意.
(2)令，则由，得，
即，故是奇函数．
(3)，所以，则
即，因为，
所以，所以，又因为函数是增函数
所以，所以或.所以的解集为：.
考点三 已知函数的奇偶性求函数值
【例3】已知函数f (x)为奇函数，当时，，则 ．
【答案】5
【解析】为奇函数，当时，，
.
变式3-1：已知函数是偶函数，且，则( )
A． B．0 C．2 D．4
【答案】D
【解析】为偶函数，
，又
取x=1，得，
变式3-2：设函数，若是奇函数，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得，当x=－2时，.
变式3-3：已知定义在上的偶函数满足，且，则( )
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】依题意，是偶函数，，
令，得，
由于，所以，
令，得，
令，得，
以此类推，可知.
变式3-4：已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】2
【解析】因为，所以取x=-1，有，
因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以，
因此由，
考点四 已知函数的奇偶性求解析式
【例4-1】已知是偶函数，当时，，则当时，_________．
【解析】由，则，
又函数是偶函数，，故当时，
故答案为：
变式4-1-1：已知是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，______．
【解析】时，，是奇函数，
此时
故答案为：
变式4-1-2：已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则单调递减的区间是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，函数，
根据二次函数的图形与性质，可得单调递减的区间是，
又因为函数为定义域上的奇函数，其图象关于原点对称，
所以当时，函数单调递减的区间是，
综上可得，函数单调递减的区间是.
【例4-2】已知.
(1)若函数是偶函数，且当时，，当时，求的表达式；
(2)证明：函数在区间上是严格增函数.
【解析】(1)，则，而时，，又函数是偶函数，
于是得，所以当时，.
(2)且，则，
因，则，，，即，有，
所以函数在区间上是严格增函数.
变式4-2-1：已知函数是上的偶函数，当时，.
(1)用单调性定义证明函数在上单调递增；
(2)求当时，函数的解析式.
【解析】(1)，且，则
∵，且，
∴，
∴，即，
∴函数在上单调递增；
(2)当时，，
∴，又函数是上的偶函数，
∴，即当时，.
变式4-2-2：已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．
【解析】 以代替条件等式中的，则有，
又，分别是上的奇函数和偶函数，
故．
又，
联立可得，．
考点五 已知函数的奇偶性求参数值
【例5-1】已知是偶函数，则实数a的值为___________.
【解析】由题意恒成立，即，恒成立，
所以．故答案为：．
变式5-1-1：若函数是上的偶函数，则的值为______.
【答案】
【解析】函数是定义在上的偶函数，
，即．
，
，，
∴
变式5-1-2：若函数是定义在上的偶函数，则( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得.又偶函数不含奇次项，
所以，即，所以，所以.
变式5-1-3：若函数是定义在上的偶函数，则_____．
【答案】
【解析】由题意得：，解得：，又因为为偶函数，
所以，即，解得：，所以.
变式5-1-4：已知函数为奇函数，则____________.
【答案】1
【解析】函数，定义域为
由函数为奇函数，则
即，解得，经检验符合题意.
变式5-1-5：为偶函数，则___________.
【答案】
【解析】由为偶函数，得，
不恒为，，
，，
变式5-1-6：已知函数为奇函数，则(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】函数为奇函数，
当时，，所以，
所以，，故．
【例5-2】已知二次函数.
(1)若为偶函数，求在上的值域：
(2)若时，的图象恒在直线的上方，求实数a的取值范围.
【解析】(1)根据题意，函数为二次函数，其对称轴为.
若为偶函数，则，解得，
则在上先减后增，
当时，函数取得最小值9，当时，函数取得最大值13，
即函数在上的值域为；
(2)由题意知时，恒成立，即在(0,+∞)上恒成立
所以恒成立，
因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以，解得，所以a的取值范围是.
变式5-2-1：已知函数 是奇函数.
(1)求实数m的值：
(2)求函数的单调递增区间.
【解析】(1)∵，又为奇函数，∴，即，∴.
(2)当时，，此时的图像开口向下，对称轴为直线,
∴在上单调递增，在上单调递减.
当时，, 此时的图像开口向上，对称轴为直线,
在上单调递增，在上单调递减. ∴.函数的单调递增区间为
变式5-2-2：已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)判断并证明在的单调性.
【解析】(1)因为是奇函数，所以
因为，所以是奇函数，因此；
(2)在上单调递增，在上单调递减，证明如下：
设是上的任意两个实数，且，
，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
所以在上单调递减.
考点六 应用函数的奇偶性解决函数图象问题
【例6】已知函数的图象关于原点对称，且当时，
(1)试求在R上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.
【解析】(1)的图象关于原点对称，是奇函数，．
又的定义域为，，解得．
设，则，
当时，，
，
所以；
(2)由(1)可得的图象如下所示：
由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为；
变式6-1：已知函数与的函数图象如图所示，则函数的图象可能是( )
A B C D
【答案】D
【解析】由图知，的定义域为，
令时，或，
由为奇函数，为偶函数，
所以为奇函数，关于原点对称，
对A，B：当时，，，所以，故A，B错误；
对C：由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；
对D：由图知，当时，，，，
当时，，，，
结合奇函数的对称性可得时的图象，故D正确；
变式6-2：已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示．
(1)补出函数，剩余部分的图象，并由图象写出函数，的单调增区间；
(2)求函数，的解析式；
(3)已知关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【解析】(1)剩余的图象如图所示，
由图可知，函数的单调增区间为；
(2)因为当时，
所以当时，则，有，
由为奇函数，得，即当时，，
又，所以函数的解析式为；
(3)由(2)得，，作出函数与图象，如图，
由图可知，当时，函数与图象有3个交点，
即方程有3个不等的实根. 所以m的取值范围为.
变式6-3：定义在R上的奇函数在[0，＋∞)上的图像如图所示.
(1)补全的图像；
(2)解不等式.
【解析】(1)描出点(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，
则可得f (x)的图像如图所示.
(2)结合函数的图像，可知不等式的解集是(－2，0)∪(0，2).
变式6-4：已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围．
【解析】(1)由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
(2)为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示：
有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，
由图象可知：，即实数的取值范围为.
考点七 利用函数的奇偶性求最值
【例7】已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______．
【答案】1
【解析】，
令，则，
∴函数在上为奇函数，则，
即，∴，
∴．
变式7-1：设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为______.
【答案】1
【解析】由题意知，()，
设，则，
因为，
所以为奇函数，
在区间上的最大值与最小值的和为0，
故，
所以
变式7-2：若关于x的函数在上的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为( )
A． B．505 C．1010 D．2020
【答案】B
【解析】函数，
令，
则，所以为奇函数，
因为关于的函数在，上的最大值为，最小值为，
且，
则的最大值为，最小值为，
所以，则．
考点八 函数的单调性和奇偶性的综合应用
【8-1】(多选)已知奇函数f (x)在区间[2，5]上是减函数，且f (5)= -5，则函数f (x)在区间[-5，-2]上( )
A．是增函数 B．是减函数 C．最小值为5 D．最大值为5
【答案】BD
【解析】因是奇函数，则函数的图象关于原点对称，又函数在上是减函数
于是得在上为减函数，是在上的最大值，
所以函数f(x)在区间上是减函数，且最大值为.
变式8-1-1：已知偶函数在上单调递增，则下列关系成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数为偶函数，故
又在上单调递增，且，
故，即
变式8-1-2：已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是( )
A． B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】法一：因为，，所以，
因为为偶函数，所以，
因为在上单调递增，
所以，解得或，所以不等式的解集为或，
法二：可结合函数图像及左右平移思考
变式8-1-3：定义在R上的偶函数满足：对任意的，有，且，则不等式的解集是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数满足对任意的，有，
即在上单调递减，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递增，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
则不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
变式8-1-4：(多选)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【答案】ACD．
【解析】函数是定义在上的偶函数，当时，，
设，则，所以，因为是偶函数，所以，
所以，所以，
函数图象如下所示：
可得在，-1时取得最小值，故在上取得最小值，故A正确；
在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
由或，得或，综上的解集为，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
【例8-2】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－1，2] C．[0，4] D．[1，3]
【答案】D
【解析】由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，∴得，即﹒
变式8-2-1：已知定义域为的函数在上单调递增，且，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因为定义域为的函数在上单调递增，且，
所以函数为奇函数，且在R上单调递增，
又，所以，
又不等式等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
变式8-2-2：(多选)已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则( )
A． B．当时，单调递减
C．当时， D．，
【答案】ABD
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，则，所以，故A正确．
因为当时，单调递减，所以当时，单调递减，所以，故B正确，C错误；
当时，，所以，，D正确．
变式8-2-3：(多选)已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③. 则下列选项成立的是( )
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
【答案】ACD
【解析】由，得：函数是R上的偶函数，
由，，得：在上单调递增，
对于A，，A正确；
对于B，，又函数的图象是连续不断的，
则有，解得，B不正确；
对于C，由及得，，解得或，
由得：，解得，
化为：或，解得或，即，C正确；
对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，
因此，，，取实数，使得，则，，D正确.

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