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3.1.3函数的奇偶性
一、函数的奇偶性
1．偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．
2．奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．
二、奇、偶函数的特点
1.奇、偶函数定义域的特点：奇、偶函数的定义域关于原点对称．
2.奇、偶函数的对应关系的特点：
（1）奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)；
（2）偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)．
3.奇、偶函数图像的特征：
（1）奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形
（2）偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形
4.奇、偶函数与单调性的关系
（1）若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．
（2）若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
5.奇、偶函数的其他特征
（1）若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；
（3）函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
三、判断函数奇偶性的方法：
1.定义法：
（1）
常见函数的奇偶性：如一次、二次、反比例函数.
分段函数奇偶性的判定：
图像法：
函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数.
（2）函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
3.性质法：
设非零函数f(x)，g(x) 的定义域分别是F，G，若F=G，则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示：
四、（拓展）函数图像的对称性：
五、考点剖析：
题型一：判断函数的奇偶性
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
（2）f(x)＝＋ ；
（3）f(x)＝；
（4）
（5）
（6）
【解析】　(1)因为x∈R，所以－x∈R，
又因为f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为{－1，1}，
关于原点对称，且f(x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]．
即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，
又因为f(－x)＝＝－＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．
(4)
（5）∵函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.
（6）∵函数定义域为，定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.
2.判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）f(x)＝
解析：（1）
（2）
（3）
（4）当x>0时，f(x)＝1－x2，此时－x<0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)；
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.
综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数．
3.判断下列函数的奇偶性：
（1）若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
（2）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数f(x)的奇偶性.
【解析】（1） 因为f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
所以由f(－x)＝f(x)，得b＝0.所以g(x)＝ax3＋cx.
所以g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
所以g(x)为奇函数．【答案】 A
（2）
题型二：利用函数的奇偶性求解析式
1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
【解析】　当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
故f(x)＝
2.函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，求f(x)的解析式.
【解析】 ∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝＋1，即x＜0时，f(x)＝＋1.
题型三：利用函数的奇偶性求函数值
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－　　　　　　　B．－ C. D.
【解析】 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.
【答案】 A
2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】　由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.
【答案】　B
题型四：函数奇偶性与单调性的综合应用
1.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)【解析】　因为函数f(x)为R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，且π>3>2，所以f(π)>f(3)>f(2)，故f(π)>f(－3)>f(－2)．【答案】　A
2.如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(　　)
A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3
【解析】 当－5≤x≤－1时，1≤－x≤5，所以f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．
【答案】 D
3.若函数f(x) (f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　)
A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
【解析】 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.
【答案】 B
4.设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞)　　 B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
【解析】 根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上为增函数，又f(－2)＝0，
则函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(－2)＝f(2)＝0，函数f(x)的草图如图，
又由xf(x)＜0 或，由图可得－2＜x＜0或x＞2，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C. 【答案】 C
5.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
【解析】 根据偶函数的性质，易知f(x)＞0的解集为(－2，2)，若f(x－1)＞0，则－2＜x－1＜2，解得－1＜x＜3.【答案】 (－1，3)
6.定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x) =f(1+x)，且在[-1,0]上单调递增.设a=f(3)，b=f()，
c=f(2)，则a，b，c的大小关系是 .
7.已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)【解析】　因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上是减函数，
所以f(x)在[－2,2]上为减函数．又f(1－m)即解得－1≤m<.故实数m的取值范围是.
【答案】
8.已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且f(x)在(－1，0)上是减函数，解不等式f(1－x) －f(1－2x)<0.
【解析】 ∵f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，
∴由f(1－x)－f(1－2x)<0，得f(1－x)又∵f(x)在(－1,0)上是减函数
解得0题型五：利用奇偶性求参数值（或取值范围）
若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.
因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0.解得a＝.
所以f(x)＝x2＋(b－1)x＋1＋b.
又因为f(－x)＝f(x)，所以x2－(b－1)x＋1＋b＝x2＋(b－1)x＋1＋b.
由对应项系数相等得－(b－1)＝b－1.所以b＝1.所以a＋b＝＋1＝.
若函数为奇函数，则实数a= .3.1.3函数的奇偶性
一、函数的奇偶性
1．偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．
2．奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．
二、奇、偶函数的特点
1.奇、偶函数定义域的特点：奇、偶函数的定义域关于原点对称．
2.奇、偶函数的对应关系的特点：
（1）奇函数有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 ＝－1(f(x)≠0)；
（2）偶函数有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 ＝1(f(x)≠0)．
3.奇、偶函数图像的特征：
（1）奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形
（2）偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形
4.奇、偶函数与单调性的关系
（1）若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．
（2）若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
5.奇、偶函数的其他特征
（1）若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；
（3）函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
三、判断函数奇偶性的方法：
1.定义法：
（1）
常见函数的奇偶性：如一次、二次、反比例函数.
分段函数奇偶性的判定：
图像法：
函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数.
（2）函数的图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
3.性质法：
设非零函数f(x)，g(x) 的定义域分别是F，G，若F=G，则奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下表所示：
四、（拓展）函数图像的对称性：
五、考点剖析：
题型一：判断函数的奇偶性
1.判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
（2）f(x)＝＋ ；
（3）f(x)＝；
（4）
（5）
（6）
2.判断下列函数的奇偶性
（1）
（2）
（3）
（4）f(x)＝
3.判断下列函数的奇偶性：
（1）若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
（2）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数f(x)的奇偶性.
题型二：利用函数的奇偶性求解析式
1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
2.函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，求f(x)的解析式.
题型三：利用函数的奇偶性求函数值
1.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)
A．－　　　　　　　B．－ C. D.
2．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
题型四：函数奇偶性与单调性的综合应用
1.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)2.如果奇函数f(x)在区间[1，5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是(　　)
A．增函数且最小值为3 B．增函数且最大值为3
C．减函数且最小值为－3 D．减函数且最大值为－3
3.若函数f(x) (f(x)≠0)为奇函数，则必有(　　)
A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0
C．f(x)f(－x)
4.设f(x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，f(－2)＝0，则xf(x)＜0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞)　　 B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(0，2)
5.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
6.定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x) =f(1+x)，且在[-1,0]上单调递增.设a=f(3)，b=f()，
c=f(2)，则a，b，c的大小关系是 .
7.已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)8.已知f(x)是定义在(－1,1)上的偶函数，且f(x)在(－1，0)上是减函数，解不等式f(1－x) －f(1－2x)<0.
题型五：利用奇偶性求参数值（或取值范围）
若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b＝________.
若函数为奇函数，则实数a= .

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