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2022~2023学年中考数学一轮复习专题11尺规作图设计
一、三角形作图（高，角平分线，中线及中垂线，平行线等）
1．（2020八上·江北期末）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，直线AD即为所求：

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
2．（2022·陕西）如图，已知是的一个外角.请用尺规作图法，求作射线，使.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，射线即为所求作.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】作∠ACD的角平分线CP，根据角平分线的概念可得∠ACP=∠PCD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠B，由外角的性质可得∠ACD=2∠A，则∠ACP=∠A，推出CP∥AB.
3．（2022八上·鄞州月考）如图，已知△ABC.
⑴作中线AD；
⑵尺规作出角平分线BE ；
⑶作BC边的高线.
【答案】解：如图，
（1）线段就是所求作的图形.
（2）射线BE就是所求作的角平分线.
（3）线段AF就是所求作的图形.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出BC的垂直平分线，可得到线段BC的中点，连接AD即可.
（2）利用尺规作图作出∠ABC的角平分线BE.
（3）利用作线段垂直平分线的方法，可作出BC边上的高线AF.
4．（2018·江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．
【答案】（1）解：如图1所示，AF即为所求：
（2）解：如图2所示，BH即为所求．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；（2）连接EC，ED，FA，利用三角形重心的性质解答即可．
5．（2022·青岛模拟）为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．
【答案】解：如图所示：该半圆即为所求．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】先作∠A的平分线AD交BC于点O，再以点O为圆心，点O到AC的距离OD为半径画半圆，此时半圆与AC，AB都相切，此时该半圆的面积最大.
6．（2017·自贡）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
【答案】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠ECD的平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；
根据中垂线的性质可知：到A，B的距离相等的点在AB的中垂线上，所以第二步：作线段AB的中垂线MN，
其交点就是P点．
7．（2019·无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在 ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F；
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
【答案】（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；
（2）①如图所示，点F即为所求；
②如图所示，AH即为所求.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆周角的关系，只要将圆周4等份，再顺次连接等分点即可；故作出过点A的一条直径，交⊙E于点C，然后再分别乙点A，C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧分别在AC的异侧相交于点M，N过M，N作直线，交⊙E于点D，B，顺次连接即可得出所求的四边形 ABCD ；
（2） ① 根据平行四边形的对角线互相平分，连接AC，BD，相交于点O，则点O就是BD的中点，连接BE与OC相交于点G，则点G就是三角形BDC的边BD，CD两边中线的交点，根据三角形的三条中线相交于一点，故连接DG并延长交BC于点F，点F就是BC边上的中点； ②利用方格纸的特点及全等三角形的对应角相等，直角三角形的两锐角互余分别作出AC，AB边上的高线，两线相交于点E，根据三角形的三条高线相交于一点，连接AE并延长交BC于点H， AH即为所求.
8．（2020·门头沟模拟）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．
已知：如图，直线 和直线 外一点 ．
求作：直线 ，使直线 直线 ．
作法：如图，
①在直线 上任取一点 ，作射线 ；
②以 为圆心， 为半径作弧，交直线 于点 ，连接 ；
③以 为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点 ；分别以 为圆心，大于 长为半径作弧，在 的右侧两弧交于点 ；
④作直线 ；
所以直线 就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 平分 ，
．
又 ，
．( ▲ )(填依据1)．
，
．
，∴直线 直线 ．( ▲ )(填依据2)．
【答案】（1）解：根据题中画图过程可得：
如图，PQ即为所作图形；
（2）等边对等角|同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；作图-平行线；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由作图可知 平分 ，
．
又 ，
．（等边对等角）．
，
．
，
∴直线 直线 ．（同位角相等，两直线平行）．
【分析】（1）依照画图做法作图即可；（2）根据等边对等角以及平行线的判定解答即可.
二、平面直角坐标系作图（位似，轴对称，平移等）
9．（2021·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、.
⑴请画出绕点顺时针旋转得到的；
⑵若点在线段上，且直线将分成面积相等的两部分，请画出线段，并写出的坐标.
【答案】解：（1）如图，将△ABC绕点A顺时针转90°，即将AB、AC绕点A顺时针旋转90°，得到AB1、AC1，连接A1C1即可，则△AB1C1即为所求；
（2）如图，根据三角形中线的性质，找到，的中点，连接，则.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形中线的性质，找到△AB1C1中B1C1的中点，连接AD，此时直线AD平分△AB1C1的面积，根据点D的位置可得点D的坐标.
10．（2022·河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.
⑴画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
⑵以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标.
【答案】解：⑴如图，为所作.
⑵如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别连接AO、BO、CO并延长，使A2O=2AO，B2O=2BO，C2O=2CO，顺次连接可得△A2B2C2.
11．（2022九下·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）.
⑴请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
⑵以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2.
⑶在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标.
【答案】解：△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，
当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4），（0，﹣4）.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）首先根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）分别连接AO、BO、CO并延长，取AO=2A2O，BO=2B2O，CO=2C2O，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据三角形的面积公式可得|OP|·3=6，求出OP的值，进而可得点P的坐标.
12．（2022·宾阳模拟）如图，在直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）请画出与关于x轴对称的.
（2）以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴的右侧画出.
（3）在y轴上存在点P，使得的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标.
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，为所求；
（3）P（0，4）或（0，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（3）如图，∵y轴上存在点P，使得的面积为6，
∴
∴
解得
∴P（0，4）或（0，-4）.
【分析】（1）首先根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）分别连接AO、BO、CO，取AO=2A2O，BO=2B2O，CO=2C2O，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据三角形的面积公式可得|OP|·3=6，求出OP的值，进而可得点P的坐标.
13．（2020·孝感）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， 和 ，请按下列要求画图并填空.
（ 1 ）平移线段 ，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段 ，并写出点D的坐标为_▲_；
（ 2 ）将线段 绕点A逆时针旋转 ，画出旋转后所得的线段 ，并直接写出 的值为_▲_；
（ 3 ）在 轴上找出点 ，使 的周长最小，并直接写出点F的坐标为_▲__.
【答案】
（ 1 ） ；
（ 2 ）
（ 3 ）(0，4).
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3，1)平移到D点，故可以确定点D的坐标，点D的坐标为 ；
故答案为：（2，-4）；
( 2 )如图所示：根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3，3).连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC= 、EC= 、BE= ，故 ，可以判断出△BEC为直角三角形，故 ；
故答案为：；
( 3 )如图所示：过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点.故可知A’的坐标为(1，5)，点B的坐标为(-3，1)，设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1，5)，(-3，1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4，则F点坐标为(0，4)，
故答案为：(0，4).
【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标；
（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解 的值；（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点.此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点F的坐标.
14．（2019九上·马山月考）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.
（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标。
（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2；连接OB，求出OB旋转到OB2所扫过部分图形的面积.
【答案】（1）解：画出四边形OA1B1C1如图
B1（－6，2）
（2）解：画出四边形OA2B2C2
∵
且OB⊥OB2
∴
【知识点】作图﹣轴对称；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先确定点A、B、C关于y轴对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连线即得，根据位置写出B1坐标即可.
（2）根据旋转的性质先确定点A、B、C 绕点O顺时针方向旋转90°后点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即得；先求出OB的长，利用扇形的面积公式计算即可.
15．（2020·阜新）如图， 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 ， ， .
（1）画出与 关于y轴对称的 ；
（2）将 绕点 顺时针旋转90°得到 ， 弧是点A所经过的路径，则旋转中心 的坐标为　 　.
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 ）.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
（2）（2，0）
（3）解：如图：设旋转半径为r，则 ，
∴阴影部分的图形面积为：
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）如图所示，旋转中心 的坐标为
【分析】（1）根据网格结构找出点C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用网格特点和性质的性质，作AA2和CC2的垂直平分线，它们的交点即为 点；（3）结合图形的特征，利用勾股定理求出旋转半径，利用扇形面积和三角形面积求出阴影部分的面积.
三、网格作图
16．（2022·金华模拟）如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上.（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中画出△ABC的中线AD；
（2）在图2中画线段CE，点E在AB上，使得 ： =2 ： 3；
（3）在图3中画出△ABC的外心点O.
【答案】（1）解：如图，连接EF，交BC于点D，
连接AD，则AD为△ABC的中线；
（2）解：如图，连接M、N，交AB于点E，
连接CE， ： =2 ： 3.
（3）解：如图，连接PQ，MN，交于一点O，则O点是△ABC的外心.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的对角线互相平分找出BC的中点D，再连接AD即可；
(2)作△AEM∽△BEN，得出AE：BE=AM：BN=2：3，△ACE和△BCE是等高的两个三角形，则可得出 ： =2 ： 3，然后连接CE即可；
(3)利用网格先作出AC和AB的垂直平分线，两个垂直平分线交于一点O，即为△ABC的外心.
17．（2020·长春模拟）图①，图②均是边长为1的小正方形组成的4×3的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图。
（1）在图1中，作△ABC的中线CD；
（2）在图2中，作△ABC的高线AH。
【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）如图，利用矩形中心对称的性质得到AB的中点，连接点C和AB的中点即为所求；
（2）连接AG，交BC与点H，构造全等三角形，从而得AG⊥BC，则AH即为所求。
18．（2022·宁波模拟）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格， 为格点三角形.请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.
（1）在图①中，画出 中 边上的中线 ；
（2）在图②中，画出 中 边上的高 ，并直接写出 的面积.
【答案】（1）解：如图，线段CM即为所求；
（2）解：如图，线段BN即为所求.
∵AC=2，BN== ，
S△ABC= = .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的判定与性质得出M是AB的中点，连接CM，根据三角形中线的定义，即可得到结论；
(2)根据等边三角形的性质和三角形高的定义，作出BN⊥AO，即可得出结论.
19．（2020·吉林模拟）如图均是5×5的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点 ， ， 都在格点上，按照下列要求画图.
（1）在图1中，画 的高 .
（2）在图2中，①　 　；
②画以 为顶角的等腰三角形 ，使点 在格点上　 　 .
（3）在图3中，画出 的角平分线 .
（要求：只用直尺，不能用圆规，不要求写出画法）
【答案】（1）
（2）5；
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的高的含义，画出高AD即可；
（2）①根据网格的度量，由勾股定理求出AB的长度即可；
②根据AB的长度，找到点E即可；
（3）根据等腰三角形三线合一定理，找到AE的中点，连接中点与点B，等腰三角形底边上的中线也为∠ABC的平分线，即可得到BF。
20．（2021·洪山模拟）如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D.仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；
（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；
（3）如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；
（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q.
【答案】（1）解：如图1中，线段CE即为所求作.
（2）解：如图1中，线段DN即为所求作.
（3）解：如图2中，点G即为所求作.
（4）解：如图3中，直线EQ即为所求作.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质“菱形的对角线平分每一组对角”可知：以CA、CB为邻边作菱形，连接对角线CT与AB相较于E，则CE即为所求；
（2）结合（1），过点D作AB的平行线与TB的延长线相较于N，则DN为所求；
（3）由轴对称的性质，可作点D关于AB的对称点K，连接CK与AB相交于点G，点G即为所求；
（4）取格点M、N，连接MN，取MN的中点F，连接EF交AC于点Q，直线EQ即为所求.
21．（2020·宁波模拟）如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，用无刻度的直尺，在所给的网格中，按要求作图并保留作图痕迹。
①在图1中作△ABC的轴对称图形△A'B'C'；
②在图2中作△ABC的重心；
③在图3中作△ABC的的高线AH。
【答案】解： ①
②
③
③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称
【解析】【分析】① 作BB'的中垂线，即为对称轴，A的对称点A'，C的对称点C'，连接A'、B'、C'，即为 △ABC的轴对称图形△A'B'C'。
② 分别作AB、AC、BC的中线，三条中线的交点O即为 △ABC的重心。
③ 过顶点A向对边BC作垂线，即为 △ABC的高线AH。
22．（2022·吉林）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
【答案】（1）解：如图①，四边形是轴对称图形．
（2）解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点，
则将点按照同样的平移方式可得到点，
如图②，平行四边形是中心对称图形．
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形是轴对称图形；
（2） 将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点，将点按照同样的平移方式可得到点，则平行四边形是中心对称图形。
23．（2022·鹿城模拟）如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段AB位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形.
（1）请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且AB为对角线.
（2）请在图2中画一个以AB为边，面积为 的三角形.
【答案】（1）解：如图1，以AB为对角线的矩形即为所求，

（2）解：如图2，以AB为一腰的等腰三角形即为所求，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）连接A、B所在矩形的对角线，所得的点再分别与A、B点相连，可得到以AB为对角线的矩形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（2）在（1）基础下，倍长矩形顶点B所在的边得到格点，再连接A与此格点，从而得到以AB为腰，高为2，底为2的等腰三角形，易得面积为2，此三角形即为所求.
24．（2022八上·鄞州期中）在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为的直角三角形．
（3）请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE
【答案】（1）解：如图
（2）解：如图，
（3）解：如图
AD，CE就是所求作的图形.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用格点特点即等腰三角形的性质，画出底边长为4，高为3的等腰三角形.
（2）利用勾股定理可知图形中的DE为，然后画出Rt△DEF即可.
（3）利用三角形高的定义和角平分线的定义，画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE.
四、新定义尺规作图题
25．（2020·宁波模拟）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线.
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.
（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.
（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE.
①求∠B和∠C的关系式.
②求∠BAC的取值范围.
【答案】（1）解：如图①；
（2）解：如图②；
（3）解：①设∠B＝α，∠C＝β，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA＝ ∠BDE＝45°﹣ α，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE＝ （180°﹣β）＝90°﹣ β，
∴90°﹣ α+45°﹣ α+90°﹣ β＝180°，
整理得，3α+2β＝180°，即3∠B+2∠C＝180°；
②∠BAC＝∠DAE+∠CAE
＝45°﹣ α+90°﹣ β
＝135°﹣ （α+2β）
＝135°﹣ （3α+2β）+ α
＝90°+ α，
∵3α+2β＝180°，
∴0°＜α＜60°，
∴90°＜∠BAC＜120°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；（2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；（3）①设∠B＝α，∠C＝β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；②根据三角形内角和定理得到0°＜α＜60°，根据①中结论计算，得到答案.
26．（2020·吉林模拟）实践操作
（1）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)。
作∠BAC的平分线，交BC于点O；
（2）以Ｏ为圆心，OC长为半径作圆。
（3）综合运用
在你所作的图中，
AB与⊙O的位置关系是　 　 (直接写出答案)；
（4）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径。
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）相切
（4）解：设AB与⊙O相切于点D
∵AC=5，BC=12，
∴AD=5，AB= =13，∴DB=AB-AD=13-5=8。
设⊙O的半径为x，则OC=OD=x，BO=12-x，
∴x2+82=(12-x)2，解得x= ，
∴⊙O的半径为
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，即可得到AB与圆相切；
（2）根据勾股定理计算得到AB的长，设半径为r，根据勾股定理列出方程即可得到答案。
（3）根据切线的判定方法即可得到答案；
（4）由切线长定理以及勾股定理，即可得到圆的半径。
27．（2022·广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
【答案】解：如下图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
28．（2020·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 均落在格点上，点B在网格线上，且 ．
（1）线段 的长等于　 　；
（2）以 为直径的半圆与边 相交于点D，若 分别为边 上的动点，当 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
【答案】（1）
（2）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点 ；连接 ，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接 并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）如图，在Rt△AEC中，CE=3，AE=2，则由勾股定理，得AC= =
【分析】（1）根据勾股定理，即可求出线段AC的长；
（2） 取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点 ；连接 ，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接 并延长，与BC相交于点Q， 即可求解.
29．（2022·武汉）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点.先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，.先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称.
【答案】（1）解：画图如图（1）
（2）解：画图如图（2）
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）构造平行四边形ABCF、平行四边形ADTF，令DT与AC的交点为G，则AF∥DG∥BC；
（2）取格点M、N、J，连接MN、BJ交于点H，连接AH、PH，PH交AC于点K，连接BK，延长BK交AH于点Q，线段AH、点Q即为所求.
1 / 12022~2023学年中考数学一轮复习专题11尺规作图设计
一、三角形作图（高，角平分线，中线及中垂线，平行线等）
1．（2020八上·江北期末）如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）
2．（2022·陕西）如图，已知是的一个外角.请用尺规作图法，求作射线，使.（保留作图痕迹，不写作法）
3．（2022八上·鄞州月考）如图，已知△ABC.
⑴作中线AD；
⑵尺规作出角平分线BE ；
⑶作BC边的高线.
4．（2018·江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．
（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；
（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．
5．（2022·青岛模拟）为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．
6．（2017·自贡）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
7．（2019·无锡）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在 ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F；
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
8．（2020·门头沟模拟）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．
已知：如图，直线 和直线 外一点 ．
求作：直线 ，使直线 直线 ．
作法：如图，
①在直线 上任取一点 ，作射线 ；
②以 为圆心， 为半径作弧，交直线 于点 ，连接 ；
③以 为圆心， 长为半径作弧，交射线 于点 ；分别以 为圆心，大于 长为半径作弧，在 的右侧两弧交于点 ；
④作直线 ；
所以直线 就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：由作图可知 平分 ，
．
又 ，
．( ▲ )(填依据1)．
，
．
，∴直线 直线 ．( ▲ )(填依据2)．
二、平面直角坐标系作图（位似，轴对称，平移等）
9．（2021·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是、、.
⑴请画出绕点顺时针旋转得到的；
⑵若点在线段上，且直线将分成面积相等的两部分，请画出线段，并写出的坐标.
10．（2022·河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.
⑴画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
⑵以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标.
11．（2022九下·南宁模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）.
⑴请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.
⑵以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2.
⑶在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标.
12．（2022·宾阳模拟）如图，在直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）请画出与关于x轴对称的.
（2）以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴的右侧画出.
（3）在y轴上存在点P，使得的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标.
13．（2020·孝感）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， 和 ，请按下列要求画图并填空.
（ 1 ）平移线段 ，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段 ，并写出点D的坐标为_▲_；
（ 2 ）将线段 绕点A逆时针旋转 ，画出旋转后所得的线段 ，并直接写出 的值为_▲_；
（ 3 ）在 轴上找出点 ，使 的周长最小，并直接写出点F的坐标为_▲__.
14．（2019九上·马山月考）如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.
（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标。
（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2；连接OB，求出OB旋转到OB2所扫过部分图形的面积.
15．（2020·阜新）如图， 在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为 ， ， .
（1）画出与 关于y轴对称的 ；
（2）将 绕点 顺时针旋转90°得到 ， 弧是点A所经过的路径，则旋转中心 的坐标为　 　.
（3）求图中阴影部分的面积（结果保留 ）.
三、网格作图
16．（2022·金华模拟）如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上.（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中画出△ABC的中线AD；
（2）在图2中画线段CE，点E在AB上，使得 ： =2 ： 3；
（3）在图3中画出△ABC的外心点O.
17．（2020·长春模拟）图①，图②均是边长为1的小正方形组成的4×3的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图。
（1）在图1中，作△ABC的中线CD；
（2）在图2中，作△ABC的高线AH。
18．（2022·宁波模拟）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格， 为格点三角形.请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.
（1）在图①中，画出 中 边上的中线 ；
（2）在图②中，画出 中 边上的高 ，并直接写出 的面积.
19．（2020·吉林模拟）如图均是5×5的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点 ， ， 都在格点上，按照下列要求画图.
（1）在图1中，画 的高 .
（2）在图2中，①　 　；
②画以 为顶角的等腰三角形 ，使点 在格点上　 　 .
（3）在图3中，画出 的角平分线 .
（要求：只用直尺，不能用圆规，不要求写出画法）
20．（2021·洪山模拟）如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D.仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.
（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；
（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；
（3）如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；
（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q.
21．（2020·宁波模拟）如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，用无刻度的直尺，在所给的网格中，按要求作图并保留作图痕迹。
①在图1中作△ABC的轴对称图形△A'B'C'；
②在图2中作△ABC的重心；
③在图3中作△ABC的的高线AH。
22．（2022·吉林）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点，，均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点，使以点，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
23．（2022·鹿城模拟）如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段AB位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形.
（1）请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且AB为对角线.
（2）请在图2中画一个以AB为边，面积为 的三角形.
24．（2022八上·鄞州期中）在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．
（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为的直角三角形．
（3）请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE
四、新定义尺规作图题
25．（2020·宁波模拟）若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线.
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.
（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.
（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE.
①求∠B和∠C的关系式.
②求∠BAC的取值范围.
26．（2020·吉林模拟）实践操作
（1）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)。
作∠BAC的平分线，交BC于点O；
（2）以Ｏ为圆心，OC长为半径作圆。
（3）综合运用
在你所作的图中，
AB与⊙O的位置关系是　 　 (直接写出答案)；
（4）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径。
27．（2022·广安）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）
28．（2020·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点 均落在格点上，点B在网格线上，且 ．
（1）线段 的长等于　 　；
（2）以 为直径的半圆与边 相交于点D，若 分别为边 上的动点，当 取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明）　 　．
29．（2022·武汉）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.
（1）在图（1）中，，分别是边，与网格线的交点.先将点绕点旋转得到点，画出点，再在上画点，使；
（2）在图（2）中，是边上一点，.先将绕点逆时针旋转，得到线段，画出线段，再画点，使，两点关于直线对称.
答案解析部分
1．【答案】解：如图，直线AD即为所求：

【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作BC边上的中线，即可把△ABC分成面积相等的两部分．
2．【答案】解：如图，射线即为所求作.
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】作∠ACD的角平分线CP，根据角平分线的概念可得∠ACP=∠PCD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠B，由外角的性质可得∠ACD=2∠A，则∠ACP=∠A，推出CP∥AB.
3．【答案】解：如图，
（1）线段就是所求作的图形.
（2）射线BE就是所求作的角平分线.
（3）线段AF就是所求作的图形.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出BC的垂直平分线，可得到线段BC的中点，连接AD即可.
（2）利用尺规作图作出∠ABC的角平分线BE.
（3）利用作线段垂直平分线的方法，可作出BC边上的高线AF.
4．【答案】（1）解：如图1所示，AF即为所求：
（2）解：如图2所示，BH即为所求．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）连接EC，利用平行四边形的判定和性质解答即可；（2）连接EC，ED，FA，利用三角形重心的性质解答即可．
5．【答案】解：如图所示：该半圆即为所求．
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】先作∠A的平分线AD交BC于点O，再以点O为圆心，点O到AC的距离OD为半径画半圆，此时半圆与AC，AB都相切，此时该半圆的面积最大.
6．【答案】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠ECD的平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；
根据中垂线的性质可知：到A，B的距离相等的点在AB的中垂线上，所以第二步：作线段AB的中垂线MN，
其交点就是P点．
7．【答案】（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；
（2）①如图所示，点F即为所求；
②如图所示，AH即为所求.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】（1）根据弧、弦、圆周角的关系，只要将圆周4等份，再顺次连接等分点即可；故作出过点A的一条直径，交⊙E于点C，然后再分别乙点A，C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧分别在AC的异侧相交于点M，N过M，N作直线，交⊙E于点D，B，顺次连接即可得出所求的四边形 ABCD ；
（2） ① 根据平行四边形的对角线互相平分，连接AC，BD，相交于点O，则点O就是BD的中点，连接BE与OC相交于点G，则点G就是三角形BDC的边BD，CD两边中线的交点，根据三角形的三条中线相交于一点，故连接DG并延长交BC于点F，点F就是BC边上的中点； ②利用方格纸的特点及全等三角形的对应角相等，直角三角形的两锐角互余分别作出AC，AB边上的高线，两线相交于点E，根据三角形的三条高线相交于一点，连接AE并延长交BC于点H， AH即为所求.
8．【答案】（1）解：根据题中画图过程可得：
如图，PQ即为所作图形；
（2）等边对等角|同位角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；作图-平行线；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（2）由作图可知 平分 ，
．
又 ，
．（等边对等角）．
，
．
，
∴直线 直线 ．（同位角相等，两直线平行）．
【分析】（1）依照画图做法作图即可；（2）根据等边对等角以及平行线的判定解答即可.
9．【答案】解：（1）如图，将△ABC绕点A顺时针转90°，即将AB、AC绕点A顺时针旋转90°，得到AB1、AC1，连接A1C1即可，则△AB1C1即为所求；
（2）如图，根据三角形中线的性质，找到，的中点，连接，则.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的对应点B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）根据三角形中线的性质，找到△AB1C1中B1C1的中点，连接AD，此时直线AD平分△AB1C1的面积，根据点D的位置可得点D的坐标.
10．【答案】解：⑴如图，为所作.
⑵如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）根据方格纸的特点及轴对称的性质，找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别连接AO、BO、CO并延长，使A2O=2AO，B2O=2BO，C2O=2CO，顺次连接可得△A2B2C2.
11．【答案】解：△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，
当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4），（0，﹣4）.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）首先根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）分别连接AO、BO、CO并延长，取AO=2A2O，BO=2B2O，CO=2C2O，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据三角形的面积公式可得|OP|·3=6，求出OP的值，进而可得点P的坐标.
12．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，为所求；
（3）P（0，4）或（0，-4）.
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（3）如图，∵y轴上存在点P，使得的面积为6，
∴
∴
解得
∴P（0，4）或（0，-4）.
【分析】（1）首先根据关于x轴对称的点的坐标特征找出点A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接；
（2）分别连接AO、BO、CO，取AO=2A2O，BO=2B2O，CO=2C2O，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据三角形的面积公式可得|OP|·3=6，求出OP的值，进而可得点P的坐标.
13．【答案】
（ 1 ） ；
（ 2 ）
（ 3 ）(0，4).
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(1)如图所示：平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，再向下平移5个单位，根据题意可知，B点(-3，1)平移到D点，故可以确定点D的坐标，点D的坐标为 ；
故答案为：（2，-4）；
( 2 )如图所示：根据题意，AE是线段AB围绕点A逆时针旋转90°得到，故AB=AE，不难算出点E的坐标为(3，3).连接BE，根据B、C、E三点坐标算出BC= 、EC= 、BE= ，故 ，可以判断出△BEC为直角三角形，故 ；
故答案为：；
( 3 )如图所示：过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点.故可知A’的坐标为(1，5)，点B的坐标为(-3，1)，设A’B的函数解析式为y=kx+b，将(1，5)，(-3，1)代入函数解析中解得k=1，b=4，则函数解析式为y=x+4，则F点坐标为(0，4)，
故答案为：(0，4).
【分析】（1）平移线段AB，使A点平移到C点，可以知道A点是向右平移5个单位，向下平移5个单位，故可以确定D点坐标；
（2）根据B、C、E三点坐标，连接BE，可以判断出△BCE为直角三角形，故可求解 的值；（3）过A点做y轴的对称点A’，连接A’B，与y轴的交点即为F点.此时△ABF的周长最小，通过求解函数解析式确认点F的坐标.
14．【答案】（1）解：画出四边形OA1B1C1如图
B1（－6，2）
（2）解：画出四边形OA2B2C2
∵
且OB⊥OB2
∴
【知识点】作图﹣轴对称；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质先确定点A、B、C关于y轴对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连线即得，根据位置写出B1坐标即可.
（2）根据旋转的性质先确定点A、B、C 绕点O顺时针方向旋转90°后点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即得；先求出OB的长，利用扇形的面积公式计算即可.
15．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
（2）（2，0）
（3）解：如图：设旋转半径为r，则 ，
∴阴影部分的图形面积为：
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）如图所示，旋转中心 的坐标为
【分析】（1）根据网格结构找出点C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用网格特点和性质的性质，作AA2和CC2的垂直平分线，它们的交点即为 点；（3）结合图形的特征，利用勾股定理求出旋转半径，利用扇形面积和三角形面积求出阴影部分的面积.
16．【答案】（1）解：如图，连接EF，交BC于点D，
连接AD，则AD为△ABC的中线；
（2）解：如图，连接M、N，交AB于点E，
连接CE， ： =2 ： 3.
（3）解：如图，连接PQ，MN，交于一点O，则O点是△ABC的外心.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的外接圆与外心；相似三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的对角线互相平分找出BC的中点D，再连接AD即可；
(2)作△AEM∽△BEN，得出AE：BE=AM：BN=2：3，△ACE和△BCE是等高的两个三角形，则可得出 ： =2 ： 3，然后连接CE即可；
(3)利用网格先作出AC和AB的垂直平分线，两个垂直平分线交于一点O，即为△ABC的外心.
17．【答案】（1）解：如图，
（2）解：如图，
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）如图，利用矩形中心对称的性质得到AB的中点，连接点C和AB的中点即为所求；
（2）连接AG，交BC与点H，构造全等三角形，从而得AG⊥BC，则AH即为所求。
18．【答案】（1）解：如图，线段CM即为所求；
（2）解：如图，线段BN即为所求.
∵AC=2，BN== ，
S△ABC= = .
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【分析】(1)根据菱形的判定与性质得出M是AB的中点，连接CM，根据三角形中线的定义，即可得到结论；
(2)根据等边三角形的性质和三角形高的定义，作出BN⊥AO，即可得出结论.
19．【答案】（1）
（2）5；
（3）
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的高的含义，画出高AD即可；
（2）①根据网格的度量，由勾股定理求出AB的长度即可；
②根据AB的长度，找到点E即可；
（3）根据等腰三角形三线合一定理，找到AE的中点，连接中点与点B，等腰三角形底边上的中线也为∠ABC的平分线，即可得到BF。
20．【答案】（1）解：如图1中，线段CE即为所求作.
（2）解：如图1中，线段DN即为所求作.
（3）解：如图2中，点G即为所求作.
（4）解：如图3中，直线EQ即为所求作.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质“菱形的对角线平分每一组对角”可知：以CA、CB为邻边作菱形，连接对角线CT与AB相较于E，则CE即为所求；
（2）结合（1），过点D作AB的平行线与TB的延长线相较于N，则DN为所求；
（3）由轴对称的性质，可作点D关于AB的对称点K，连接CK与AB相交于点G，点G即为所求；
（4）取格点M、N，连接MN，取MN的中点F，连接EF交AC于点Q，直线EQ即为所求.
21．【答案】解： ①
②
③
③
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；作图﹣轴对称
【解析】【分析】① 作BB'的中垂线，即为对称轴，A的对称点A'，C的对称点C'，连接A'、B'、C'，即为 △ABC的轴对称图形△A'B'C'。
② 分别作AB、AC、BC的中线，三条中线的交点O即为 △ABC的重心。
③ 过顶点A向对边BC作垂线，即为 △ABC的高线AH。
22．【答案】（1）解：如图①，四边形是轴对称图形．
（2）解：先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点，
则将点按照同样的平移方式可得到点，
如图②，平行四边形是中心对称图形．
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形是轴对称图形；
（2） 将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点，将点按照同样的平移方式可得到点，则平行四边形是中心对称图形。
23．【答案】（1）解：如图1，以AB为对角线的矩形即为所求，

（2）解：如图2，以AB为一腰的等腰三角形即为所求，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）连接A、B所在矩形的对角线，所得的点再分别与A、B点相连，可得到以AB为对角线的矩形，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；
（2）在（1）基础下，倍长矩形顶点B所在的边得到格点，再连接A与此格点，从而得到以AB为腰，高为2，底为2的等腰三角形，易得面积为2，此三角形即为所求.
24．【答案】（1）解：如图
（2）解：如图，
（3）解：如图
AD，CE就是所求作的图形.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用格点特点即等腰三角形的性质，画出底边长为4，高为3的等腰三角形.
（2）利用勾股定理可知图形中的DE为，然后画出Rt△DEF即可.
（3）利用三角形高的定义和角平分线的定义，画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE.
25．【答案】（1）解：如图①；
（2）解：如图②；
（3）解：①设∠B＝α，∠C＝β，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE＝ （180°﹣α）＝90°﹣ α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴∠DEA＝ ∠BDE＝45°﹣ α，
∵CA＝CE，
∴∠CEA＝∠CAE＝ （180°﹣β）＝90°﹣ β，
∴90°﹣ α+45°﹣ α+90°﹣ β＝180°，
整理得，3α+2β＝180°，即3∠B+2∠C＝180°；
②∠BAC＝∠DAE+∠CAE
＝45°﹣ α+90°﹣ β
＝135°﹣ （α+2β）
＝135°﹣ （3α+2β）+ α
＝90°+ α，
∵3α+2β＝180°，
∴0°＜α＜60°，
∴90°＜∠BAC＜120°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；（2）根据三分线的定义、等腰三角形的定义画出图形；（3）①设∠B＝α，∠C＝β，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理用α表示出∠BED、∠DEA，用β表示出∠CEA，根据平角的定义列出式子，整理得到答案；②根据三角形内角和定理得到0°＜α＜60°，根据①中结论计算，得到答案.
26．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
（3）相切
（4）解：设AB与⊙O相切于点D
∵AC=5，BC=12，
∴AD=5，AB= =13，∴DB=AB-AD=13-5=8。
设⊙O的半径为x，则OC=OD=x，BO=12-x，
∴x2+82=(12-x)2，解得x= ，
∴⊙O的半径为
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质，即可得到AB与圆相切；
（2）根据勾股定理计算得到AB的长，设半径为r，根据勾股定理列出方程即可得到答案。
（3）根据切线的判定方法即可得到答案；
（4）由切线长定理以及勾股定理，即可得到圆的半径。
27．【答案】解：如下图所示：
【知识点】利用轴对称设计图案；利用旋转设计图案
【解析】【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
28．【答案】（1）
（2）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点 ；连接 ，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接 并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）如图，在Rt△AEC中，CE=3，AE=2，则由勾股定理，得AC= =
【分析】（1）根据勾股定理，即可求出线段AC的长；
（2） 取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点 ；连接 ，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接 并延长，与BC相交于点Q， 即可求解.
29．【答案】（1）解：画图如图（1）
（2）解：画图如图（2）
【知识点】平行四边形的性质；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）构造平行四边形ABCF、平行四边形ADTF，令DT与AC的交点为G，则AF∥DG∥BC；
（2）取格点M、N、J，连接MN、BJ交于点H，连接AH、PH，PH交AC于点K，连接BK，延长BK交AH于点Q，线段AH、点Q即为所求.
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