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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第01讲 幂函数
课程标准 重难点
理解幂函数的概念；掌握常见幂函数的图象和性质；理解并掌握幂函数性质的综合应用． 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式2．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小3．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．
一、幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数．
二、幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
三、幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R
值域 R [0，＋∞) R
奇偶性 奇 偶
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数
【思考1】如何判断一个函数是幂函数？
【思考2】通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
参考答案
一、y＝xα x a
三、[0，＋∞) {x|x≠0} [0，＋∞) {x|x≠0} 奇 非奇非偶 奇
1.xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数.
2. 第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
考法01 幂函数的概念
判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
【跟踪训练】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝2，则________．
考法02 幂函数的图像与应用
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝或y＝x3来判断.
(1) 若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c
（2）点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)【跟踪训练】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
考法03 幂函数性质的综合应用
比较幂值大小的两种基本方法
比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）； （2）； （3）．
．
【跟踪训练】比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.
题组A 基础过关练
1．已知点在幂函数图像上，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
3．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（ ）．
A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数
C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数
D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同
4．下列命题中正确的是（ ）
A．当m=0时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的增函数
5．下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．在上是减函数
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
8．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
题组B 能力提升练
1．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
2．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
3．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．
4．幂函数在区间上是减函数，则__________.
5．函数恒过定点______．
6．若函数是幂函数，则________．
7．已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
8．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
题组C 培优拔尖练
1．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为
2．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．
3．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________.
4．已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
5．已知幂函数，满足
（1）求函数的解析式．
（2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
6．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第01讲 幂函数答案解析
课程标准 重难点
理解幂函数的概念；掌握常见幂函数的图象和性质；理解并掌握幂函数性质的综合应用． 1．了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式2．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小3．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．
一、幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数．
二、幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示：
三、幂函数的性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R
值域 R [0，＋∞) R
奇偶性 奇 偶
单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数
【思考1】如何判断一个函数是幂函数？
【思考2】通过5个幂函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？
参考答案
一、y＝xα x a
三、[0，＋∞) {x|x≠0} [0，＋∞) {x|x≠0} 奇 非奇非偶 奇
1.xα的系数为1；(2)x为自变量；(3)α为常数.
2. 第一象限一定有幂函数的图象，第四象限一定没有幂函数的图象.
考法01 幂函数的概念
判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】幂函数有①⑥两个．
(2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________.
【答案】－1
【解析】因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
【跟踪训练】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝2，则________．
【答案】4
【解析】设f(x)＝xα，∵f(4)＝2，∴4α＝2，解得α＝，f(x)＝，则。
考法02 幂函数的图像与应用
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
1依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在0，1上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴简记为指大图低；在1，＋∞上，指数越大，幂函数图象越远离x轴简记为指大图高.
2依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象类似于y＝x－1或y＝或y＝x3来判断.
(1) 若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是(　　)
A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c
【答案】B
【解析】令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.
（2）点(，3)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x分别为何值时，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)【解析】设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因为()α＝3，(－2)β＝－，所以α＝2，β＝－1，
所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．
由图象知，当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)【跟踪训练】已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间．
【解析】因为f(x)＝xα的图象过点P，所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
考法03 幂函数性质的综合应用
比较幂值大小的两种基本方法
比较下列各题中两个幂的值的大小：
（1）； （2）； （3）．
【解析】（1）∵为上的增函数，且，∴．
（2）∵为上的减函数，且，∴．
（3）∵为R上的偶函数，∴．
又函数为上的增函数，且，∴，即．
【跟踪训练】比较下列各组中幂值的大小：
(1)0.213,0.233；(2)1.2，0.9，.
【解析】(1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
(2)0.9＝，＝1.1.
∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.
题组A 基础过关练
1．已知点在幂函数图像上，则的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由条件可知，所以，
所以，故选：B.
2．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（ ）
A．或3 B．3 C． D．0
【答案】B
【解析】因为幂函数在上是减函数，
所以，
由，得或，
当时，，所以舍去，
当时，，
所以，故选：B
3．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（ ）．
A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数
B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数
C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数
D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同
【答案】C
【解析】A.的定义域是，它既不是奇函数又不是偶函数，故A不正确；
B. 有反函数，反函数是 ，但它不是奇函数，故B不正确；
C.因为幂函数必过点，若函数是偶函数，则必过点，若函数没有过点，则函数一定不是偶函数，故C正确；
D.函数和都是幂函数，且有三个公共点，分别是，但是这两个函数不同，故D不正确.
故选：C
4．下列命题中正确的是（ ）
A．当m=0时，函数的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点
C．幂函数图象不可能在第四象限内
D．若幂函数为奇函数，则是定义域内的增函数
【答案】C
【解析】当m=0时，函数的图象是一条直线除去点，所以A项不正确；
幂函数的幂指数小于0时，图象不经过，所以B项不正确；
幂函数的图象不可能在第四象限内，所以C项正确；
当时，幂函数为奇函数，但在定义域内不是增函数，所以D项不正确；
故选：C.
5．下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（ ）
A．在上是增函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．在上是减函数
【答案】C
【解析】在上是增函数故选：C
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，故选：A．
7．有四个幂函数：①；②；③；④，某向学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：（1）为偶函数；（2）的值域为；（3）在上是增函数.如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】对于①，函数为偶函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，该函数在上为增函数，①满足条件；
对于②，函数为奇函数，且，该函数的值域为，
函数在上为减函数，②不满足条件；
对于③，函数的定义域为，且，该函数为奇函数，
当时，；当时，，则函数的值域为，
函数在上为增函数，该函数在上也为增函数，③不满足条件；
对于④，函数为奇函数，且函数的值域为，该函数在上为增函数，④不满足条件.
故选：A.
8．已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】由幂函数的图像过点，
可得，解得，所以，
函数，
则，
所以在区间上单调递增，
所以的最小值.
故选：
题组B 能力提升练
1．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数
【答案】AC
【解析】因是幂函数，设，而其图象过点，
即，解得，于是得，且定义域为R，
显然是R上增函数，C正确；
，则为R上奇函数．A正确．
故选：AC
2．已知幂函数，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．的定义域是
C．是偶函数
D．不等式的解集是
【答案】ACD
【解析】因为函数是幂函数，所以，得，即，
，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；
，所以函数是偶函数，故C正确；
函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.
故选：ACD
3．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．
【答案】﹣1
【解析】因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，
所以为负数，
因为，
所以，故答案为：
4．幂函数在区间上是减函数，则__________.
【答案】0
【解析】因幂函数在区间上是减函数，则，
解得，而，则0.故答案为：0
5．函数恒过定点______．
【答案】
【解析】当，即时，，函数恒过定点.故答案为：.
6．若函数是幂函数，则________．
【答案】0或
【解析】由函数是幂函数，可得，解得或，
故答案为：0或．
7．已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.
【解析】∵幂函数经过点，
∴，
即
∴=.解得=或=.
又∵，∴=.
∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.
由得解得.
∴的取值范围为.
8．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
【解析】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
题组C 培优拔尖练
1．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E.m，n是奇数时，幂函数的定义域为
【答案】ACE
【解析】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.
故选：ACE.
2．设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有_________（多选、错选、漏选均不得分）．
【答案】②④
【解析】设，因为函数的图象过点，所以，解得，
根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；
对于④，设点，，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以．
故答案为②④．
3．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(-1，1]时，，其中m∈R.若f()=f()，则m的值是___________.
【答案】
【解析】
由f()=f()可得：，解得：
故答案为：1
4．已知幂函数过点，若，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】幂函数过点，，
，
幂函数，显然是奇函数，且在上单调递增．
若，则不等式即，
，，故答案为：．
三、解答题
5．已知幂函数，满足
（1）求函数的解析式．
（2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为是幂函数，
所以，即，解得或.
当时，，在为减函数，不满足.
当时，，在为增函数，满足.
所以；
（2），
令，因为，所以，
则令，，开口向上，对称轴为.
①当，即时，函数在为增函数，
，解得；
②当，即时，，
解得，不符合题意，舍去；
当，即时，函数在为减函数，，解得，不符合题意，舍去.
综上所述：存在，使得的最小值为；
（3），易见在定义域范围内为减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
②①得：，
所以，而，
则③.
将③代入②得：.
令，由，知，得，即.
所以，在区间单调递减，
所以，
故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围为.
6．已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由为幂函数知，得或
为偶函数
∴当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去
所以
（2），令在上的最小值为
①当，即时，，所以
又，所以a不存在；
②当，即时，
所以.又，所以
③当，即时，
所以.又
所以.
综上可知，a的取值范围为
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