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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第02讲 指数函数
课程标准 重难点
理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象和性质；会解答与指数函数有关的定义域和值域问题；理解并掌握指数函数性质的简单应用． 1.真假命题的判断2.理解并掌握命题的结构
一、指数函数的概念
一般地，函数y＝(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是 ，定义域是 .
1. 为什么指数函数的底数a>0，且a≠1
2. 指数函数的解析式有什么特征？
二、指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性 在R上是 在R上是
奇偶性
1．在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？
3．指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有04.指数函数图象的变换
(1)平移规律：设b>0，
①y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
②y＝ax的图象y＝ax－b的图象；
③y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
④y＝ax的图象y＝ax－b的图象．
(2)对称规律
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称
与y＝－ax的图象关于x轴对称
与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称
参考答案
一、自变量 R
1. ①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2. 指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1.
二、(0，＋∞) (0,1) 增函数 减函数 非奇非偶函数
1. 指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．
2. 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0考法01 指数函数的概念
判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．　　　　
　(1)下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x.
(2)若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________.
【名师指点】利用定义证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
2．若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－1)＝________.
考法02 指数函数的定义域和值域
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[提醒]　(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．　　　　
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝ .
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝＋的定义域是________．
【答案】[2,4)∪(4，＋∞)
【解析】依题意有解得x∈[2,4)∪(4，＋∞)．
2．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
3．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
考法03 指数型函数图象
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．　
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b＜0　　　　　　 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝的大致图象为(　　)
2．(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
考法04 指数式的比较大小
比较指数式大小的3种类型及处理方法
　　　　
(链接教材P117例3)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)与；
(3)1.50.3和0.81.2.
【跟踪训练】比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,1.250.2；
(2)1.70.3,0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1)．
考法05 解含指数型不等式
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：
当a＞1时，f(x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．　　　　
(链接教材P119T3)求解下列不等式：
(1)已知3x≥－0.5，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
【跟踪训练】1．不等式≤2x的解集为________．
2．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
考法06 指数函数的单调性
函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．　　　　
判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
【跟踪训练】1．已知函数f(x)＝，求f(x)的值域与单调区间．
【解析】令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，又y＝u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y＝在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以≥1＝，故函数y＝的值域为，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．
2．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
考法07 指数函数的实际应用
解决指数型函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　
(链接教材P118例4)某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
【跟踪训练】1．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过______小时后才可以驾驶机动车．(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
2．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
题组A 基础过关练
1．已知，已知函数，对定义域内的任意的，恒有，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
4．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.
A． B． C． D．
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
6．对函数判断正确的是（ ）
A．增区间 B．增区间 C．值域 D．值域
7．能推断出函数在上为增函数的是（ ）
A．若、且，则
B．若、且，则
C．若、且，则
D．若、且，则
8．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题组B 能力提升练
1．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
2．已知函数，则（ ）
A． B．的最小值为2
C．为偶函数 D．在上单调递增
3．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
4．已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．
5．某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为________万元．
6．已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
7．业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，，其中为常数，,
（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；
（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.
8．已知函数
（1）若，求a的值
（2）记在区间上的最小值为
①求的解析式
②若对于恒成立，求k的范围
题组C 培优拔尖练
1．给出下列四个命题：
①函数的图象过定点；
②已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或；
③若，则的取值范围是；
④对于函数，其定义域内任意都满足．
其中所有正确命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：，其中为悬链线系数．当时，称为双曲余弦函数，记为．类似的双曲正弦函数．直线与和的图像分别交于点、．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随的增大而减小 D．与的图像有完全相同的渐近线
3．某数学学习小组为了锻炼自主探究学习能力，以函数为基本素材研究其相关性质，得到部分研究结论如下
①函数在定义域上是奇函数；
②函数的值域为；
③使的的取值范围为；
④对于任意实数，，都有.
其中正确的结论是________（填上所有正确结论的序号）.
4．定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则_________；若关于x的不等式的解的最小值为1，其中，则a的取值范围是_________.
5．已知函数，其中．（1）当函数为偶函数时，求m的值；
（2）若，函数，是否存在实数k，使得的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由：
（3）设函数，若对每一个不小于2的实数，都有小于2的实数，使得成立，求实数m的取值范围．
6．的定义域为，，
（1）求证：；
（2）在最小值为，求的解析式；
（3）在（2）的条件下，设表示不超过的最大整数，求的值域．
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第02讲 指数函数答案解析
课程标准 重难点
理解指数函数的概念；掌握指数函数的图象和性质；会解答与指数函数有关的定义域和值域问题；理解并掌握指数函数性质的简单应用． 1.真假命题的判断2.理解并掌握命题的结构
一、指数函数的概念
一般地，函数y＝(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是 ，定义域是 .
1. 为什么指数函数的底数a>0，且a≠1
2. 指数函数的解析式有什么特征？
二、指数函数的图象和性质
a的范围 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性 在R上是 在R上是
奇偶性
1．在直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象与底数a有什么关系？
3．指数函数图象的特征
同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．
直线x＝1与四个指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，所以有04.指数函数图象的变换
(1)平移规律：设b>0，
①y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
②y＝ax的图象y＝ax－b的图象；
③y＝ax的图象y＝ax＋b的图象；
④y＝ax的图象y＝ax－b的图象．
(2)对称规律
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象 与y＝a－x的图象关于y轴对称
与y＝－ax的图象关于x轴对称
与y＝－a－x的图象关于坐标原点对称
参考答案
一、自变量 R
1. ①如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
②如果a<0，例如y＝(－4)x，这时对于x＝，，…，该函数无意义．
③如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2. 指数函数解析式的3个特征：①底数a为大于0且不等于1的常数；②自变量x的位置在指数上，且x的系数是1；③ax的系数是1.
二、(0，＋∞) (0,1) 增函数 减函数 非奇非偶函数
1. 指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限．
2. 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0考法01 指数函数的概念
判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．　　　　
　(1)下列函数中是指数函数的是________(填序号)．
①y＝2·()x；②y＝2x－1；③y＝x.
(2)若函数y＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________.
【答案】(1)③　(2)－1　2
【解析】(1)①中指数式()x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；③是指数函数．
(2)根据指数函数的定义，得解得
【名师指点】利用定义证明函数单调性的步骤
【跟踪训练】1．若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.
【答案】2
【解析】由y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，
可得解得∴a＝2.
2．若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－1)＝________.
【答案】
【解析】设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2,9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)．
所以f(x)＝3x.
所以f(－1)＝3－1＝.
考法02 指数函数的定义域和值域
函数y＝af(x)定义域、值域的求法
(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．
(2)值域：①换元，令t＝f(x)；
②求t＝f(x)的定义域x∈D；
③求t＝f(x)的值域t∈M；
④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．
[提醒]　(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．
(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．　　　　
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝2；(2)y＝－|x|；(3)y＝ .
【解析】(1)∵x应满足x－4≠0，∴x≠4，
∴定义域为{x|x≠4，x∈R}．
∵≠0，∴2≠1，
∴y＝2的值域为{y|y＞0，且y≠1}．
(2)定义域为R.
∵|x|≥0，∴y＝－|x|＝|x|≥0＝1，
∴此函数的值域为[1，＋∞)．
(3)由题意知1－x≥0，
∴x≤1＝0，
∴x≥0，
∴定义域为{x|x≥0，x∈R}．
∵x≥0，∴x≤1.
又∵x＞0，∴0＜x≤1.∴0≤1－x＜1，
∴0≤y＜1，∴此函数的值域为[0,1)．
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝＋的定义域是________．
【答案】[2,4)∪(4，＋∞)
【解析】依题意有解得x∈[2,4)∪(4，＋∞)．
2．若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是________．
【答案】(1，＋∞)
【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a>1时，x≥1.故函数定义域为[1，＋∞)时，a>1.
3．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大，求a的值．
【解析】①当00，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝a1＝a，最小值f(x)min＝f(2)＝a2，
所以a－a2＝，解得a＝或a＝0(舍去)；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)max＝f(2)＝a2，最小值f(x)min＝f(1)＝a1＝a，所以a2－a＝，解得a＝或a＝0(舍去)．
综上所述，a＝或a＝.
考法03 指数型函数图象
处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．　
(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b＜0　　　　　　 B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
(2)在平面直角坐标系中，若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有一个交点，则实数m的取值范围是________．
【答案】(1)D　(2){m|m≥1或m＝0}
【解析】(1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b＞0，即b＜0.
(2)画出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图所示．
若直线y＝m与函数f(x)＝|2x－1|的图象只有1个交点，则m≥1或m＝0，
即实数m的取值范围是{m|m≥1或m＝0}．
【跟踪训练】
1．函数f(x)＝的大致图象为(　　)
【答案】A
【解析】由于给定的函数解析式比较复杂，因此可考虑对其变形并通过研究函数性质得到函数图象．
要使函数有意义，则2x－2－x≠0，即x≠0，故其定义域为{x|x≠0}．
由于所有选项中的图象都具有奇偶性，因此考虑其奇偶性：f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．
再考虑单调性：f(x)＝＝＝1＋，当x>0时，f(x)为减函数，故符合条件的函数图象只有A.
2．(多选)函数y＝ax－(a>0，a≠1)的图象可能是(　　)
【答案】CD
【解析】当a>1时，∈(0,1)，因此x＝0时，01，因此x＝0时，y<0，且y＝ax－在R上单调递减，故D符合．故选C、D.
解得－3<<4。
考法04 指数式的比较大小
比较指数式大小的3种类型及处理方法
　　　　
(链接教材P117例3)比较下列各组数的大小：
(1)1.52.5和1.53.2；
(2)与；
(3)1.50.3和0.81.2.
【解析】(1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.5＜3.2，∴1.52.5＜1.53.2.
(2)指数函数y＝x与y＝x的图象(如图)，
由图知>.
(3)由指数函数的性质知1.50.3＞1.50＝1，
而0.81.2＜0.80＝1，
∴1.50.3＞0.81.2.
【跟踪训练】比较下列各题中两个值的大小：
(1)0.8－0.1,1.250.2；
(2)1.70.3,0.93.1；
(3)a0.5与a0.6(a>0且a≠1)．
【解析】(1)∵0＜0.8＜1，
∴y＝0.8x在R上是减函数．
∵－0.2＜－0.1，∴0.8－0.2＞0.8－0.1，
而0.8－0.2＝－0.2＝1.250.2，
即0.8－0.1＜1.250.2.
(2)∵1.70.3＞1.70＝1,0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1.
(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．
当0a0.6.当a>1时，函数y＝ax在R上是增函数．∵0.5<0.6，∴a0.5a0.6；当a>1时，a0.5考法05 解含指数型不等式
指数型不等式的解法
(1)指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法：
当a＞1时，f(x)＞g(x)；
当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a＞0，且a≠1)，a－x＝x(a＞0，且a≠1)等．　　　　
(链接教材P119T3)求解下列不等式：
(1)已知3x≥－0.5，求实数x的取值范围；
(2)若a－5x＞ax＋7(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．
【解析】(1)因为－0.5＝30.5，所以由3x≥－0.5可得：3x≥30.5，因为y＝3x为增函数，故x≥0.5.
(2)①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x＋7，解得x＞－.
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x＞－；当a＞1时，x＜－.
【跟踪训练】1．不等式≤2x的解集为________．
【答案】{x|x≥1或x≤－2}
【解析】∵＝(2－1) ＝2，
∴原不等式等价于2≤2x.
∵y＝2x是R上的增函数，∴2－x2≤x，
∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，
∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－2}．
2．已知函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－3,1)
【解析】由题意，知f(a)<1等价于或解得－3考法06 指数函数的单调性
函数y＝af(x)(a＞0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．　　　　
判断f(x)＝的单调性，并求其值域．
【解析】令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在(1，＋∞)上递增，又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝在(－∞，1]上递增，在(1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜u≤－1＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
【跟踪训练】1．已知函数f(x)＝，求f(x)的值域与单调区间．
【解析】令u＝2x－x2，则u＝－(x－1)2＋1≤1，定义域为R，故u在(－∞，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数，又y＝u为减函数，所以根据复合函数的“同增异减”得y＝在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以≥1＝，故函数y＝的值域为，单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)．
2．求函数y＝4x－2×2x＋5的单调区间．
【解析】函数的定义域为R，令t＝2x，x∈R时，t∈(0，＋∞)．
y＝(2x)2－2×2x＋5＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4，t∈(0，＋∞)．
当t≥1时，2x≥1，x≥0；当0∵y＝(t－1)2＋4在[1，＋∞)上递增，t＝2x在[0，＋∞)上递增，
∴y＝(2x－1)2＋4的单调递增区间为(0，＋∞)．
同理可得单调递减区间为(－∞，0].
考法07 指数函数的实际应用
解决指数型函数应用题的流程
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息．
(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式．
(3)解模：运用数学知识解决问题．
(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．　　
(链接教材P118例4)某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．
(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)
【解析】(1)1年后该城市人口总数为：
y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：
y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3；
…
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10
＝100×1.01210≈112.7(万人)．
【跟踪训练】1．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过______小时后才可以驾驶机动车．(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
【解析】选B　设n个小时后才可以驾车，
由题得方程0.8(1－50%)n＝0.2，
0.5n＝，n＝2，
即至少要经过2小时后才可以驾驶机动车．
2．某种产品的年产量为a，在今后m年内，计划使产量平均每年比上年增加p%.
(1)写出产量y随年数x变化的函数解析式；
(2)若使年产量两年内实现翻两番的目标，求p.
【解析】(1)设年产量为y，年数为x，则y＝a(1＋p%)x，
定义域为{x|0≤x≤m，且x∈N*}．
(2)y＝a(1＋p%)2＝4a，解得p＝100.
题组A 基础过关练
1．已知，已知函数，对定义域内的任意的，恒有，则正数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
则，
因为，对定义域内的任意的恒有，
所以，正数的取值范围为，
故选：C.
2．函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ，则，在的基础上向下平移个单位长度，故C错，D对；
若，则，在的基础上向下平移个单位长度，故A，B错；故选：D
3．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
4．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京年冬奧会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为（为最初污染物数量）.如果前小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）小时.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，可得，设，
可得，解得.
因此，污染物消除至最初的还需要小时.
故选：C.
5．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数在上的增函数，且，
所以，即
又，所以，
所以.故选：A.
6．对函数判断正确的是（ ）
A．增区间 B．增区间 C．值域 D．值域
【答案】BD
【解析】根据指数函数性质，在单调递减，
而在单调递减，在单调递增，
故增区间为；
值域为，
而在单调递减，
故值域为.
故选：BD.
7．能推断出函数在上为增函数的是（ ）
A．若、且，则
B．若、且，则
C．若、且，则
D．若、且，则
【答案】D
【解析】对于A选项，若、且，则且，
则函数在上为增函数，A选项不满足条件；
对于B选项，若、且，则且，
则函数在上为减函数，B选项不满足条件；
对于C选项，若、且，无法判断与的大小，C选项不满足条件；
对于D选项，若、且，则，且、，
因为，故函数为上的增函数，D选项满足条件.
故选：D.
8．如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】根据函数与关于对称，可知①④正确，
函数为单调递增函数，故③正确.
所以②不是已知函数图象.
故选：B
题组B 能力提升练
1．已知函数，则下面几个结论正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．的图象关于y轴对称
C．的值域为
D．，且恒成立
【答案】ACD
【解析】对于A，，则，
则为奇函数，故图象关于原点对称，故A正确.
对于B，计算，，故的图象不关于y轴对称，故B错误.
对于C，，，
故，易知：，故的值域为,故C正确.
对于D，，
因为在上为增函数，为上的减函数，
由复合函数的单调性的判断法则可得在上单调递减，
故，且，恒成立，故D正确.
故选：ACD.
2．已知函数，则（ ）
A． B．的最小值为2
C．为偶函数 D．在上单调递增
【答案】BC
【解析】A：，错误；
B：令，则当且仅当，即时取等号，正确；
C：且，为偶函数，正确；
D：由B，若，，则 在 上递减，在 上递增，所以在上递减，上递增，错误；
故选：BC.
3．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．
【答案】
【解析】要使在上是增函数，则，解得.
故答案为：.
4．已知函数的定义域为，函数是奇函数，且，若，则___________．
【答案】
【解析】因为是奇函数，所以，
即，所以．
故答案为：．
5．某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为________万元．
【答案】130
【解析】设增长率为x，由题可得：，计算可得，
因此2017年预计经营收入为．故答案为：130．
6．已知函数是R上的奇函数.
（1）求的值；
（2）用定义证明在上为减函数；
（3）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由函数是R上的奇函数知，
即，解得.
（2）由（1）知.
任取，则
因为，所以，所以，
又因为，故，
所以，即
所以在上为减函数.
（3）不等式可化为
因为是奇函数，故
所以不等式可化为
由（2）知在上为减函数，故即
即对于任意，不等式恒成立.
设易知
因此
所以实数的取值范围是.
7．业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A(A为常数)元，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，，其中为常数，,
（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；
（2）研发启动后第几年的投入资金的最多.
【解析】（1）由题意知．
所以，解得,∴
令，得，解得，
即，所以．
所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．
（2）由（1）知
第n年的投入资金，
当且仅当，即等号．
所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．
8．已知函数
（1）若，求a的值
（2）记在区间上的最小值为
①求的解析式
②若对于恒成立，求k的范围
【解析】（1）
所以；
（2）①，
令，所以，
令或.
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
②函数的图象如图所示，
从函数的图象和解析式可以看出函数单调递减，
因为对于恒成立，
所以，
所以.
所以.
题组C 培优拔尖练
1．给出下列四个命题：
①函数的图象过定点；
②已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则实数或；
③若，则的取值范围是；
④对于函数，其定义域内任意都满足．
其中所有正确命题的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】CD
【解析】对于①，当，即时，，过定点，①错误；
对于②，当时，，方程无解；
当时，，解得：或（舍）；
综上所述：，②错误；
对于③，定义域为且在定义域内单调递增，又，
若，则，即的取值范围为，③正确；
对于④，图象如下图所示：
任取，假设，如上图所示，则可得，④正确.故选：CD.
2．“悬链线”进入公众视野，源于达芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直线（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：，其中为悬链线系数．当时，称为双曲余弦函数，记为．类似的双曲正弦函数．直线与和的图像分别交于点、．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随的增大而减小 D．与的图像有完全相同的渐近线
【答案】AC
【解析】，所以A正确；
，所以B不正确；
，且随着变大，越来越小，所以C正确；
，当时，是的等价无穷大，无渐近线，
，当时，是的等价无穷大，无渐近线，所以D不正确.
故选：AC
3．某数学学习小组为了锻炼自主探究学习能力，以函数为基本素材研究其相关性质，得到部分研究结论如下
①函数在定义域上是奇函数；
②函数的值域为；
③使的的取值范围为；
④对于任意实数，，都有.
其中正确的结论是________（填上所有正确结论的序号）.
【答案】①②③.
【解析】①：定义域为关于原点对称，又，所以为奇函数，故正确；
②：，因为，所以，
所以，所以的值域为，故正确；
③：因为中单调递增，所以单调递减，所以单调递增，且，
因为，所以，
所以，所以，即，故正确；
④：，
，
所以，而与不恒相等，故错误；
故答案为：①②③.
4．定义域为R的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，则_________；若关于x的不等式的解的最小值为1，其中，则a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意知：
为奇函数，为偶函数，
，
，
即，
，
即，
即，
即，
关于x的不等式的解的最小值为1，
等价于，
令，
当时，
易知：在单调递减，
，
故，
当时，，
在单调递减，
，
当趋近于时，趋近于，
故无解，
当时，，
当时，，
，，
故，
即，
综上所述：.
故答案为：；.
5．已知函数，其中．
（1）当函数为偶函数时，求m的值；
（2）若，函数，是否存在实数k，使得的最小值为0？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由：
（3）设函数，若对每一个不小于2的实数，都有小于2的实数，使得成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由为偶函数，有，
∴，即，
∴.
（2）由题意， 上有，令，
∴，开口向上且，对称轴为，
∴在上存在实数k使的最小值为0，
当，时，，得，
当，时，无解，
当，时，，无解，
∴综上，存在使得在上的最小值为0.
（3）由题意，在上都有，
∴在上的值域包含于在上的值域，
∴当时，在上，而上，不合题意；
当时，在上，当且仅当时等号成立，即，而上，
∴，即，则；
当时，同样，而上，又当时有，
∴，可得.
综上，.
6．的定义域为，，
（1）求证：；
（2）在最小值为，求的解析式；
（3）在（2）的条件下，设表示不超过的最大整数，求的值域．
【解析】（1） 由得：，
∴，即．
∵，，
∴，
∴得证.
（2）由（1）知：在上单调递增，
∴在上的最小值为，
∴，又，
∴，即，
∴
（3），，
∴为奇函数且.
①当时，，=0，，=0；
②当时，，=0，，
；
③当时，，，，
；
的值域
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