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宜丰县中2022-2023学年高一上学期第三次月考（12月）
数学试卷
一、单选题（40分）
1．复数的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知直线：，与：平行，则a的值是（ ）
A．3 B． C．3或 D．3或5
4．如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，则 （ ）
A． B． C． D．
8．某圆台的侧面展开图如图所示，其中，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（20分）
9．下列四个命题中真命题有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．若直线与直线平行，则
C．点关于直线的对称点为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
10．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（ ）
A．
B．异面直线AB与PC所成角的余弦值
C．PB与平面ABCD所成角为
D．平面PAB与平面ABCD所成的二面角为45°
11．将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于对称
C．在上的值域为 D．在上单调递减
12．如图，在菱形ABCD中，AB=2，，将沿BD折起，使A到，且点不落在底面BCD内，若点M为线段的中点，则在翻折过程中，以下命题中正确的是（ ）
A．四面体的体积的最大值为1
B．存在某一位置，使得BM⊥CD
C．异面直线BM与所成的角为定值
D．当二面角的余弦值为时，
三、填空题（20分）
13．过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______．
14．已知直线，直线过点，若，则直线的方程是_________．
15．的值为_________.
16．如图，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，二面角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为______.
四、解答题（70分）
17．已知的三顶点是，，，直线平行于，交，分别于，，且、分别是、的中点．求：
(1)边上的高所在直线的方程．
(2)直线的方程．
18．如图，在几何体中，四边形为梯形，四边形为矩形，平面平面.
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥与四棱锥的体积的比值.
19．的内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点P，B，C坐标分别为，E为线段BC上一点，直线EP与x轴负半轴交于点A．
(1)当E点坐标为时，求过点E且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线方程；
(2)求与面积之和S的最小值．
21．如图，四棱柱的底面ABCD为正方形，O为BD的中点，⊥底ABCD，．
(1)求证：平面∥平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
22．美化环境，建设美好家园，大家一直在行动.现有一个直角三角形的绿地，，计划在区域建设一个游乐场，其中米，米，.
(1)若米，求的周长；
(2)设，求游乐场区域面积的最小值，并求出此时的值.
宜丰县中2022-2023学年高一上学期第三次月考（12月）
数学试卷参考答案：
1．C 2．A 3．D 4．B 5．A
设直线l的倾斜角为，，则，，
∵直线l与连接，的线段总有公共点，∴，
即，∴．
6．C 7．A 8．B
【详解】设圆台上 下底面的圆心分别为，一条母线为，
则，且的弧长为的弧长为，
所以，所以，
所以圆台的体积
9．AC 【详解】对A：任意一条直线都有倾斜角，但直线倾斜角为时，没有斜率，故A正确；
对B：直线与直线平行，故可得，解得，
则直线，即，则两平行线之间的距离，B错误；
对C：设点关于直线的对称点为，则，且，
解得，故点关于直线的对称点为，C正确；对D：经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，D错误.故选：AC.
10．AB 11．ABD
【详解】函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,得，又为偶函数，故轴为的对称轴，即，解得，，，，
的对称中心：令，即对称中心为，当时，对称中心为，故A选项正确；对称轴：令，当时，对称轴为，故B选项正确；，，故C选项错误；的单调递减区间：令，即，
又，故函数在上单调递减，D选项正确；
12．ABD【详解】解：连接交于，连接，取的中点，连接，对于A，当平面平面时，四面体的体积最大，点到平面的距离最大，此时在菱形中，，，则都是等边三角形，则，此时四面体的体积为，所以四面体的体积的最大值为1，故A正确；对于B，因为分别为的中点，所以，且，由题意，则，当时，，因为，平面，所以时，平面，又平面，所以，
所以存在某一位置，使得，故B正确；对于C，因为，所以异面直线，所成的角即为或其补角，，因为不为定值，所以不为定值，即异面直线，所成的角不为定值，故C错误；对于D，因为，所以即为二面角的平面角，则，所以，故D正确.
13．或【详解】当直线过原点时，由于斜率为，故直线方程为，即．当直线不过原点时，设方程为，把点代入可得，故直线的方程为，
14．..【详解】设的斜率分别为，则.
又，则.所以，直线的点斜式方程为，整理可得，.
15．1 16．
【详解】如图1，取AC中点E，连接BE，DE，与为等边三角形，则,平面,故平面,故二面角的平面角为，又平面,所以平面平面，平面平面，
过作于，平面,所以平面，
由题意得，，∴，
则，设外接圆圆心为，则在上，半径为，过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在直线上.
∵，∴，过D作的平行线交于点F，则，∵D，B在球面上，外接球球心可能在三棱锥内也可能在三棱锥外，取截面如图，设外接球球心O，半径R，令，则，，∴,当时，化简得，舍去，当时，化简得，得，∴,故答案为：.
17．(1)； (2).
（1）在中，，，，则直线AB的斜率为，
于是得边上的高所在直线斜率为，其方程为：，即，
所以边上的高所在直线的方程是：.
（2）因直线平行于，则直线的斜率为，又边的中点在直线上，
于是得直线的方程为：，即，所以直线的方程为.
18．【详解】（1）因为四边形为梯形，，
所以，，由余弦定理可得，解得，则，即，因为四边形为矩形，所以，又平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，平面，所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）由（1）可知，，
所以三棱锥与四棱锥的体积的比值为.
19．【详解】（1）因为，所以，
则，因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，即，
因为，所以，所以.
20．(1)或或；(2).
（1）令过点且在两坐标轴上截距绝对值相等的直线为l，
当直线l过原点时，直线l在x，y轴上的截距都为0，其方程为，
当直线l不过原点时，设直线l的方程为或，于是得或，
解得或，直线l的方程为或，
所以所求方程为：或或.
（2）依题意，直线，因点E在线段BC上，则设点，，设，，由得：，显然，则，有，
，
，当且仅当，即时取等号，所以与面积之和S的最小值.
21（1）证明：因为四棱柱的底面ABCD为正方形，
所以∥，，∥，，所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以∥．又平面，平面，
所以∥平面，同理∥平面．又，
所以平面∥平面．
（2）解：如图，连接，交于，连接，
则，又∥，所以，即．
因为底面ABCD，BD底面ABCD，
所以，又，
所以平面，在平面内作，垂足为E，则，又，所以平面，
连接BE，则就是直线与平面所成的角，设为．因为，，所以，．在Rt△中，．在Rt△中，．所以．故直线与平面所成角的正弦值为
22．【详解】（1）由题米，米，，
在中，
由余弦定理可得，则，由余弦定理得，
在中，，
由正弦定理得，，
得的周长为：
（2）在中，由，得，
又在中，由，得，
所以
所以当且仅当即时，的面积取最小值为.答案第1页，共2页

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