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第二章 匀变速直线运动的研究
匀变速直线运动的几个重要推论
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匀变速直线运动的常用公式：
推论一:
某段过程中间时刻的瞬时速度,等于该过程的平均速度,即:
v0 + v
2
=v = ——
v_
2
t
v
0
t
t
v0
v
_
2
t
v_
2
t
前提条件：质点做匀变速直线运动。
推论二：
某段位移中点瞬间的速度等于初速度和末速度平方和一半的平方根，即:
v_
2
x
v0 + v
2 2
= ———
2
v
0
t
v0
v
v_
2
x
*
v0
v
v_
2
x
中点
前半段位移 = 后半段位移
v
0
t
t
v0
v
匀加速直线运动
思考：比较 与 的大小
v_
2
t
v_
2
x
匀减速直线运动
v
0
t
t
v0
v
结论：
在匀变速直线运动中， >
v_
2
t
v_
2
x
v_
2
x
v_
2
x
v_
2
t
v_
2
t
*
例：做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过站台上的某人时速度为1m/s，车尾经过此人时速度为7m/s，若此人站着一直未动，则车身中部（中点）经过此人面前时的速度是多少？
*
匀变速直线运动中的一个重要推论：
A
B
C
D
E
F
G
证明：在连续相等的时间间隔 T 内的位移之差为一恒量：
T
T
T
T
Δx = x2-x1 = x3-x2 = x4-x3 = … = a T2
即： Δx= a T2
x2
x3
x4
x1
推广：xm-xn = (m-n) a T2
比如：x4-x2 = (4-2) a T2 = 2 a T2
△X= xⅡ-XⅠ=
*
v
0
t
T
v0
v
v_
2
t
证明：在连续相等的时间间隔 T 内的位移之差为一恒量：
T
Δx= a T2
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推论三：
做加速度为a的匀变速直线运动的质点,如果在连续相等的时间T内的位移依次为X1、X2…Xn , 则任意两个连续相等的时间间隔的位移之差均相等 ,即
此公式也可以判断物体是否做匀变速直线运动
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例、在做“研究匀变速直线运动”实验中，打点记时器打出的一条纸带中的某段如图所示，若A、B、C……记数点间的时间间隔均为0.1s，从图中给定的长度，求小车的加速度大小是_______，打下C点时小车的速度大小是________
4m/s2
1.1m/s
44.0
27.0
14.0
5.0
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练习1 .一物体做匀加速直线运动，初速度为0.5 m/s，第7 s内的位移比第5 s内的位移多4 m，求：
（1）物体的加速度
（2）物体在5 s内的位移
x7-x5=2aT2
X=vot+1/2at2
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练习2一个质量为m的物块由静止开始沿斜面匀加速下滑，拍摄此下滑过程得到的同步闪光（即第一次闪光时物块恰好开始下滑）照片如图1所示．已知闪光频率为每秒10次，根据照片测得物块相邻两位置之间的距离分别为AB＝2.40cm，BC＝7.30cm，CD＝12.20cm，DE＝17.10cm．由此可知，物块经过D点时的速度大小为________m/s；滑块运动的加速度为________．（保留3位有效数字）
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4、一个滑块沿斜面滑下,依次通过斜面上的A、B、C三点，如图示，已知AB=6m，BC=10m，滑块经过AB、BC两段位移的时间都是2s ，求
（1）滑块运动的加速度
（2）滑块在A、C点的瞬时速度
C
A
B
6m
10m
解：由匀变速运动的特点，
a=ΔS/T2 =4/4=1m/s2
vB =VAC =16/4=4m/s
vA = vB –at=4-2=2m/s
vC = vB +at=4+2=6m/s
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例3 从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一个小球，在连续释放几个后，对在斜面上滑动的小球拍下照片，如图所示，测得xAB=15cm，xBC=20cm，试求：
（1）小球的加速度
（2）拍摄时B球的速度VB
（3）拍摄时xCD
(
A
B
C
D
*
xⅠ
XⅡ
XⅢ
XⅣ
示意图
二．匀变速直线运动几个特殊规律：
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1.初速度(v0=0)为零的匀加速直线运动的五个重要结论：
(1)第1t末、第2t末、第3t末……第nt末速度之比：
……
xⅠ
XⅡ
XⅣ
XⅢ
*
(2)前1t内、前2t内、前3t内……前nt内位移之比：
*
(3)第1t内、第2t内、第3t内……第nt内位移之比：
XⅠ∶XⅡ∶XⅢ∶……∶XN=1∶3∶5∶……∶(2n-1)
(4)在连续相等的位移内时间之比：
*
做 选择题、填空题 常用的方法
-----------------------------比例法
1、正比例：
*
四、做 选择题、填空题 常用的方法
-----------------------------比例法
2、反比例：
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比例法 应用举例：（做 选择题、填空题 常用）
对于：
从初速度为零（ V0=0 ）开始的匀加速直线运动：
问题1： 等分时间
V0=0
加速度 a
A
B
C
D
E
求：
相等时间间隔内的
位移之比？？
公式中的位移 S，时间 t 都必须是：
从初速度为零的点 开始算起
*
比例法 应用举例：（做 选择题、填空题 常用）
对于：
从初速度为零（ V0=0 ）开始的匀加速直线运动：
问题2： 等分位移
V0=0
加速度 a
A
B
C
D
E
？？瞬时速度之比，
时间间隔之比
公式中的位移 S，时间 t 都必须是：
从初速度为零的点 开始算起
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推论四：初速为零的匀加速直线运动的几个比例式
1、1T末、2T末、3T末……的瞬时速度之比为
v1﹕v2﹕v3 … vn = 1﹕2﹕3 … ﹕n
2、1T内、2T内、3T内的位移之比为
x1﹕x2﹕x3 … xn = 1﹕4﹕9 … n2
3、第1个T内、第2个T内、第3个T内…的位移比为
xⅠ﹕xⅡ﹕xⅢ …xN = 1﹕3﹕5 …（2n – 1）
4 通过连续相等的位移所用的时间之比为
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例4、一列火车由等长的车厢连接而成，车厢之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止开始做匀加速直线运动时，测得第一节车厢通过他的时间为2s，则从第4节车厢通过他的时间为多少？
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末速度为零的匀减速直线运动也可以认为是反向的初速度为零的匀加速直线运动。
千万不要忘了 ：
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例：汽车紧急刹车后经7s停止，设汽车匀减速直线运动，它在最后1s内的位移是2m，则汽车刹车时的速度和刹车位移各是多少？
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分析：首先将汽车视为质点，由题意画出草图
从题目已知条件分析，直接用匀变速直线运动基本公式求解有一定困难．大家能否用其它方法求解？
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解法一：用基本公式、平均速度．
质点在第7s内的平均速度为：
则第6s末的速度：v6=4（m/s）
求出加速度：a=（v6 - 0）/t= 4（m/s2）
求初速度：0=v0-at，
v0=at=4×7=28（m/s）
*
解法二：逆向思维，用推论．
倒过来看，将匀减速的刹车过程看作初速
度为0，末速度为28m/s，加速度大小为
4m/s2的匀加速直线运动的逆过程．
由推论：s1∶s7=1∶72=1∶49
则7s内的位移：s7=49s1=49×2=98（m）
v0=28（m/s）
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解法三：逆向思维，用推论．
仍看作初速为0的逆过程，用另一推论：
sⅠ∶sⅡ∶sⅢ∶…=1∶3∶5∶7∶9∶11∶13
sⅠ=2（m）
则总位移：s=2（1+3+5+7+9+11+13）
=98（m）
求v0同解法二．
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解法四：图像法
作出质点的速度-时间图像，质点第7s内的位
移大小为阴影部分小三角形面积
小三角形与大三角形相似，
有v6∶v0=1∶7，
v0=28（m/s）
总位移为大三角形面积：
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小结：
1．逆向思维在物理解题中很有用．有些物理问题，若用常规的正向思维方法去思考，往往不易求解，若采用逆向思维去反面推敲，则可使问题得到简明的解答；
2．熟悉推论并能灵活应用它们，即能开拓解题的思路，又能简化解题过程；
3．图像法解题的特点是直观，有些问题借助图像只需简单的计算就能求解；
4．一题多解能训练大家的发散思维，对能力有较高的要求．
这些方法在其它内容上也有用，希望
大家用心体会．
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匀变速直线运动的应用:
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对于匀减速直线运动，我们经常将其规律写成：
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1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车。试求：
1、汽车什么时间追上自行车？
2、追上自行车的过程中，两者最远距离是多少？
1秒末自行车与汽车的距离：
2秒末自行车与汽车的距离：
3秒末自行车与汽车的距离：
4秒末自行车与汽车的距离：
5秒末自行车与汽车的距离：
6秒末自行车与汽车的距离：
△x1=4.5m
△x2=6.0m
△x3=4.5m
△x4= 0 m
△x5=7.5m
△x6=18m
(三)追及和相遇问题
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【思考分析】
1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
分析：汽车追上自行车之前，
v汽v汽=v自时 △x最大
v汽>v自时 △x变小
解法一 物理分析法
两者速度相等时，两车相距最远。
（速度关系）
v汽=at=v自
∴ t= v自/a=6/3=2s
△x= v自t－ at2/2=6×2 － 3 ×22 /2=6m
*
小结：初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的条件：
解法二 用数学求极值方法来求解
设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
∵△x=x1－x2=v自t － at2/2
（位移关系）
∴ △x=6t －3t2/2
由二次函数求极值条件知
t= －b/2a = 6/3s = 2s时， △x最大
∴ △xm=6t － 3t2/2= 6×2 － 3 ×22 /2=6 m
两者速度相等
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解法四 用图象求解
1）自行车和汽车的v － t 图象 如图
v/（ms-1）
v′
6
0
t/s
t′
t
V汽
V自
由于图线与横坐标轴所包围的面积表示位移的大小，所以由图上可以看出
在相遇之前，在t时刻两车速度相等时， 自行车的位移（矩形面积）与汽车位移（三角形面积）之差（即斜线部分）达最大，所以
t=v自/a= 6 / 3=2 s
2）由图可看出，在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时，两车的位移相等（即相遇）。所以由图得相遇时，
t′=2t=4 s v′ = 2v自=12 m/s
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2．什么时候汽车追上自行车，此时汽车的
速度是多少？
解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）
则 vt′=at′2/2
6×t′= at′2/2， t′=4 s
v′= at′= 3×4=12 m/s
小结：分析相遇问题时，一定要分析所需满足的两个关系：
1.找出两个物体的运动时间之间的关系;
2.利用两个物体相遇时必须处于同一位置(同时同地),找出两个物体位移之间的关系
思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那么，前面的1、2两问如何？
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2、甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中，甲以10m/s的速度匀速行驶，乙以2m/s2的加速度由静止启动，求：
（1）经多长时间乙车追上甲车，此时甲、乙两车速度有何关系？
（2）追上前多长时间两者相距最远，此时二者的速度有何关系？
(1)t=10s v2=2v1
(2)t=5s时，二者相距最远，此时两者速度相等
*
3、车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t
当人追上车时，两者之间的位关系为：
x车+x0= x人
即： 1/2 at2 + x0= v人t
由此方程求解t，若有解，则可追上；
若无解，则不能追上。
代入数据并整理得：t2－12t+50=0
△=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0
所以，人追不上车。
S0
v=6m/s
a=1m/s2
*
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时，人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时，两者间距离最小。
at'=6 t' =6s
在这段时间里，人、车的位移分别为 ：
x人=v人t=6×6=36m
x车=at'2/2=1×62/2=18m
△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m
*
分析追及和相遇问题时要注意：
1.一定要抓住一个条件两个关系
（1）一个条件是两个物体速度相等时满足的临界条件，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。
（2）两个关系是时间关系和位移关系
时间关系指两物体是同时运动还是一前一后
位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。
2.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。
3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。
*
追及问题中常用的临界条件:
⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有最大距离;
⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追上.
*
4、汽车正以v1＝10m/s的速度在平直公路上行驶，突然发现正前方s0＝6m处有一辆自行车以v2＝4m/s的速度作同方向的匀速直线运动，汽车立即刹车做加速度为a＝4m/s2的匀减速运动，则经过t＝3s后，汽车与自行车相距多远？
*
V1=10m/s
a=-4m/s2
S0=6m
V2=4m/s
s1
s2
Δs＝？
3s后
分析：Δs＝s2+s0－s1
汽车做匀减速直线运动，a取负值。
画草图，标出已知量
*
解：
汽车减速过程
V1＝10m/s，
a＝－4m/s2，
t＝3s
自行车匀速 v2＝4m/s， t＝3s
∴ s2＝v2t＝12m
∴ Δs＝s0＋s2－s1＝6+12-12=6m
V1=10m/s
a=-4m/s2
S0=6m
V2=4m/s
s1
s2
Δs＝？
3s后
*
正确解法：
汽车从刹车到停止所用时间
由 vt＝v0＋at＝0 得
则3s内汽车位移等于2.5s内汽车位移
*
3s内自行车位移
S2＝v2t＝4×3＝12m
所以 △s＝s0＋s2－s1 ＝6＋12－12.5 ＝5.5m
*
例3. 在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶，A车以vA=4m/s 的速度做匀速直线运动，B车以vB=10m/s的速度做匀速直线运动，当B车行驶到A车前x=7m处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上B车？
分析：画出运动的示意图如图所示：
vA= 4m/s
vB= 10m/s
7m
追上处
a= -2m/s2
A车追上B车可能有两种不同情况：
B车停止前被追及和B车停止后被追及。
究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况判断。
*
解答：设经时间t 追上。依题意：
vBt + at2/2 + x = vAt
10t - t 2 + 7 = 4 t
t=7s t=-1s(舍去)
B车刹车的时间 t′= vB / a =5s
显然，B车停止后A再追上B。
B车刹车的位移
xB=vB2/2a=102/4=25m
A车的总位移 xA=xB+x=32m
∴t =xA/vA=32/4=8s
思考：若将题中的vA=7m/s ，结果如何？
答：甲车停止前被追及
*
例4.汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动,突然发现正前方10m处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6m/s2的匀减速运动,问：
（1）汽车能否撞上自行车 若汽车不能撞上自行车，汽车与自行车间的最近距离为多少？
（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？
汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则能满足汽车恰好不碰上自行车
v汽= 10m/s
v自= 4m/s
10m
追上处
a= -6m/s2
分析：画出运动的示意图如图所示
*
解：（1）汽车速度减到4m/s时运动的时间和发生的位移分别为
t=(v自- v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1s
x汽= （v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m
这段时间内自行车发生的位移x自= v自t=4m
因为 x0+x自>x汽
所以，汽车不能撞上自行车。
汽车与自行车间的最近距离为
△x=x0+x自－x汽=（10+4－7）m=7m
（2）要使汽车与自行车不相撞
则汽车减速时它们之间的距离至少为
x=x汽－x自=（7-4）m=3m
*
思考：解决匀变速直线运动问题的一般思路是什么？
1、审清题意，建立正确的物理情景；（画示意图）
2、判断物体的运动情况，并明白哪些量是已知量，哪些量是未知量；
3、选取正方向，一般以 V0 的方向为正方向；
4、选择适当的方法和公式及其变形求解；
5、一般先进行字母运算，再代入数值；
6、检查所得结果是否符合题意或实际情况；
*
*

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