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勤奋 博学 笃志 感恩
函数及其表示
一、学习目标
1.了解函数、映射的概念．
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
4.会求一些简单函数的定义域和值域.
二、重点难点
1.函数的概念、三要素、分段函数，求函数定义域等问题是重点.
2.函数与映射的区别，求函数解析式及函数值域是难点.
三、知识梳理
(一) 函数的基本概念
1. 函数的定义：设 A、B 为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任
意一个数 x，在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数，记作 y＝f(x)．
2. 函数的三要素：
3. 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等. （二）映射
1.函数与映射的概念：
函数 映射
两集合 设 A，B 是两个非空的数集 设 A，B 是两个非空的集合
A、B
对应关系 如果按照某种确定的对应关系 f， 如果按某一个确定的对应关系 f，
使对于集合 A 中的任意一个数 x， 使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集
f：A→B
在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应 合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应
名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的
一个函数 一个映射
记法 y＝f(x)(x∈A) f：A→B 是一个映射
2.函数与映射的关系：
由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个 集合 A，B 必须是非空数集．
（三）分段函数
1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的解析式，这样的函数通 常叫做分段函数． 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域
的交集是空集． 3.作分段函数图象时，应__注意各段函数的定义域，值域_．
（四）常见函数定义域、值域
函数关系式 定义域 值域
1
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y＝kx (k≠0) R R
y＝k (k≠0) {x | x R, x 0} {y|y≠0}
x
y＝kx＋b (k≠0) R R
a＞0 {y | y 4ac b2 }
y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R 4a
a＜0 {y | y 4ac b2 }
4a
y ax b （a>0,b>0） {x | x R, x 0} {y | y 2 或y -2 }
ab ab
x
y a x （a>0, a≠1） R {y | y 0}
y loga x a>0, a≠1 {x | x 0} R
（ ）
y sin x R {y | 1 y 1}
y cos x R {y | 1 y 1}
y tan x {x | x R, x 2 k } R
四、典例剖析
题型一 函数的定义
例 1. (1)下列对应 是 A 到 B 的函数
①A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
x；
解析：(1)①③不是 ②④是
(2)．下列图象中不能作为函数图象的是（ B ）
(3). 下列函数中与函数 y x 相等的函数是（ ）
2 B． y x 2 log 2 x x
A． y ( x ) C． y 2 D． y log 2 2
解析：D，选项 A 中 x 0 ，定义域不符，排除；选项 B 中 y x2 x ，对应法则不一致，排除；选项
C 中自变量 x 处于真数的位置，所以 x 0 ，定义域不符，排除；选项 D 中， x R 时，真数 2x 0 ，定
义域一致，根据对数的运算性质 y log22x x log22 x 1 x ，对应法则一致，故正确答案为选项 D。
规律方法：两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定
2
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义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母 表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1 均表示同一函数．
课堂练习：下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A． f ( x) x2 , g( x) x B． f (x) x 2 4, g (x) x 2 x 2
C． f (x) x, g (x) x2 D． f (x) x 1|, g(x) x 1 x 1
x | x 1
x 1
解析：D . A 选项两者的定义域相同，但是 f (x) | x | ，对应法则不同；B 选项两个函数的定义域不同， f (x) 的定义域为 R， g(x) 的定义域为{x | x 0}；C 选项另个函数的定义域不同， f (x) 的定义域是
(, 2) (2, ) ， g(x) 的定义域是 (2, ) ；D 选项根据绝对值的意义，有 f (x) x 1 x 1 ，
x 1 x 1
题型二 求函数的定义域
例 2 (1).（ 高考江苏）函数 y= 3 - 2x - x2 的定义域是.
解析: 3,1
(2). 已知函数 f(x)的定义域为(－1，0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为 ()
A. (－1,1)B. －1，－1 1，1
2 C. (－1,0)D.2
解析：由题意知－1<2x＋1<0，则－12
(3). 已知 f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数 y＝f(x)的定义域为__________．
解析：∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，∴－1≤x2－1≤8，∴函数 y＝f(x)的定义域是[－1，8]．
(4). 若函数 f (x) 的定义域为 R ,则 a 的取值范围是
ax2 3ax a 5 .
解析： 0, 4．因为函数定义域为 R，所以对任意 x R ，都有 ax2 3ax a 5 0 恒成立.
最高项含参，分类讨论：当 a=0 时，原不等式为 5 0 恒成立；当 a 0 时，需满足 a 0 且
(3a)2 4a(a 5) 0 ，解得 0≤a≤4
规律总结：函数定义域的求法： 1. 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，一般来说，在高中范围内涉及的有：
（1）开偶次方时被开方数为非负数； （2）分式的分母不为 0； （3）零次幂的底数不为 0；
（4）对数的真数大于 0，正切函数 y tan x 的定义域为{x | x 2 k , k Z} ； （5）指数、对数的底数大于 0 且不等于 1；
当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意 的公共部分的集合．
定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号
“∪”连接．
（8）实际问题还需要考虑题目本身有意义.
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2. 复合函数定义域的求法：
(1) 若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出．
(2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域．
变式训练：(1). 函数 y= x ln(1-x)的定义域为（ ）
A. (0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
解析：B
(2). 已知函数 f (x 1) 的定义域为[0，1]， f (log2 x) 的定义域为（ ）
A. [-1,0] B. [0,2] C. [2,4] D. [1,4]
解析：由题意知 0≤x≤1，则 1≤x+1≤2. 令 1≤log2 x≤2,解得 2≤x≤4 答案：C
题型三 求函数的解析式
例 3(1). (换元法、配凑法) 已知 f(x＋1)＝x＋2x. 求 f(x)的解析式；
解析：方法一：设 u＝x＋1，则x＝u－1(u≥1)，∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)． 方法二：∵x＋2x＝(x＋1)2－1，由于 x≥0，所以x＋1≥1.∴ f(x)＝x2－1(x≥1)
(2). (待定系数法) 已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x)；
解析：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由 f(0)＝0，知 c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得 a(x＋
1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1， 解得 a a＋b＝1，
＝b＝12.所以 f(x)＝12x2＋12x，x∈R.
(3).（解函数方程法）已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2f 1
x ·x－1，则 f(x )＝________.
1 1 1
解析:在 f(x)＝2f x ·x－1 中，用x代替 x，得 f x ＝2f(x)/x－1，①
1 x－1 中，得 f(x)＝4f(x)－2x－1，故 f(x)＝2x＋1.
将①式代入 f(x )＝2f x
3 3
(4).（赋值法）已知函数 f(x)对一切实数 x、y 均有 f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且 f(1)＝0，求 f(0)值,
试确定函数 f(x)的解析式 ．
解析：令 x＝1，y＝0，得 f(1)－f(0)＝2.又 f(1)＝0，故 f(0)＝－2.
令 y＝0，则 f(x)－f(0)＝x(x＋1)，由(1)知，f(x)＝x(x＋1)＋f(0)＝x(x＋1)－2＝x2＋x－2.
(5).（代入法）定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)．若当 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0
时，f(x)＝____________. 解∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)[1－(x＋1)]＝－12x(x＋1)．
规律总结：求函数解析式的常见求法：
(1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的
表达式；
(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(4)方程组法：已知关于 f(x)与 f ( 1x ) 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组， 通过解方程求出 f(x)．
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1 x 1 x ，则 f (x) 的表达式为（ C ）
课堂练习：(1). 设函数 f (x) 满足 f 1
x
A． 1 x2 B． 2 C． 2 ( x 1) D． 1 x ( x 1)
1 x2 1 x 1 x
1 x2
(2). y＝f(x)是一次函数，且 f(f(x))＝9x＋8，求 f(x)的解析式；
解析：由条件可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f[f(x)]＝9x＋8，∴有 a(ax＋b)＋b＝9x＋8.比较系数可得 a＝3， 或
b＝2；
a＝－3，
故 f(x)＝3x＋2 或 f(x)＝－3x－4， b＝－4.
(3).已知函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝1x，求 f(x)的解析式．
解析：∵2f(x)－f(－x)＝1x，①将 x 用－x 代替得 2f(－x)－f(x)＝－1x，②由①②消去 f(－x)得 f(x)＝31x.
题型四 分段函数
例 4 (1) .已知函数
解析： 4 [0, 2
3 ; x 0
2x 则 f ( f ( )) ＝________．
f (x) tan x;0 x 4
2
) ，∴ f ( 4) ＝－ tan( 4) ＝－1，∴ f ( f ( 4)) ＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
1x , x 1
(2) .设函数 f (x) 2 ，则满足 f (x) 2 的 x 的取值范围是（ ）
1 log2 x, x 1
A. [1,2] B. [0,2] C. [1,) D. [0,)
解析：D
1, x M （ M 是 R 的非空真子集）,在 R 上有两
(3) .已知函数 fM (x) 的定义域为实数集 R ,满足 fM (x)
0, x M
个非空真子集 A, B , 且A B 则 F (x) f A B (x) 1 的值域为( B )
f A (x) fB (x) 1
A．（0, 2 ] B．1 1 2 D．[ 1 ,1]
3 C． ， ,1 3
2 3
2 4x 6 (x 0) ，则不等式 f (x) f (1) 的解集是
课堂练习： (1) .设函数 f (x) x .
x 6 (x 0) x 0
x 0 ，解得 0 x 1
解析：(3,1) U (3, ) 试题分析：依题意，不等式等价于： 或
x2 4x 6 3 x 6 3
或 x 3 或 3 x 0 ，即解集为 (3,1) U (3, ) .勤奋 博学 笃志 感恩
函数及其表示
一、学习目标
1.了解函数、映射的概念．
2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
4.会求一些简单函数的定义域和值域.
二、重点难点
1.函数的概念、三要素、分段函数，求函数定义域等问题是重点.
2.函数与映射的区别，求函数解析式及函数值域是难点.
三、知识梳理
(一) 函数的基本概念
1. 函数的定义：设 A、B 为两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任
意一个数 x，在集合 B 中都有唯一的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数，记作 y＝f(x)．
2. 函数的三要素：
3. 相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等. （二）映射
1.函数与映射的概念：
函数 映射
两集合 设 A，B 是两个非空的数集 设 A，B 是两个非空的集合
A、B
对应关系 如果按照某种确定的对应关系 f， 如果按某一个确定的对应关系 f，
使对于集合 A 中的任意一个数 x， 使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集
f：A→B
在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)与之对应 合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应
名称 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的
一个函数 一个映射
记法 y＝f(x)(x∈A) f：A→B 是一个映射
2.函数与映射的关系：
由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个 集合 A，B 必须是非空数集．
（三）分段函数
1.分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的解析式，这样的函数通 常叫做分段函数． 2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域
的交集是空集． 3.作分段函数图象时，应__注意各段函数的定义域，值域_．
（四）常见函数定义域、值域
函数关系式 定义域 值域
1
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y＝kx (k≠0) R R
y＝k (k≠0) {x | x R, x 0} {y|y≠0}
x
y＝kx＋b (k≠0) R R
a＞0 {y | y 4ac b2 }
y＝ax2＋bx＋c(a≠0) R 4a
a＜0 {y | y 4ac b2 }
4a
y ax b （a>0,b>0） {x | x R, x 0} {y | y 2 或y -2 }
ab ab
x
y a x （a>0, a≠1） R {y | y 0}
y loga x a>0, a≠1 {x | x 0} R
（ ）
y sin x R {y | 1 y 1}
y cos x R {y | 1 y 1}
y tan x {x | x R, x 2 k } R
四、典例剖析
题型一 函数的定义
例 1. (1)下列对应 是 A 到 B 的函数
①A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
x；
(2)．下列图象中不能作为函数图象的是（ ）
(3). 下列函数中与函数 y x 相等的函数是（ ）
2 B． y x 2 log 2 x x
A． y ( x ) C． y 2 D． y log 2 2
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规律方法：两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定 义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示，但也可用其他字母 表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1 均表示同一函数．
课堂练习：下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A． f ( x) x2 , g( x) x B． f (x) x 2 4, g (x) x 2 x 2
C． f (x) x, g (x) x2 D． f (x) x 1|, g(x) x 1 x 1
x | x 1
x 1
题型二 求函数的定义域
例 2 (1).（2022高考江苏）函数 y= 3 - 2x - x2 的定义域是.
(2). 已知函数 f(x)的定义域为(－1，0)，则函数 f(2x＋1)的定义域为 ( )
A. (－1,1)B. －1，－1 C. (－1,0) 1，1
2 D.2
(3). 已知 f(x2－1)的定义域为[0，3]，则函数 y＝f(x)的定义域为__________．
(4). 若函数 f (x) ax2 3ax a 5 的定义域为 R ,则 a 的取值范围是 .
规律总结：函数定义域的求法： 1. 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，一般来说，在高中范围内涉及的有：
（1）开偶次方时被开方数为非负数； （2）分式的分母不为 0； （3）零次幂的底数不为 0；
（4）对数的真数大于 0，正切函数 y tan x 的定义域为{x | x 2 k , k Z} ； （5）指数、对数的底数大于 0 且不等于 1；
当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意 的公共部分的集合．
定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号
“∪”连接．
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（8）实际问题还需要考虑题目本身有意义. 2. 复合函数定义域的求法：
(1) 若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出．
(2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域．
变式训练：(1). 函数 y= x ln(1-x)的定义域为（ ）
A. (0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]
(2). 已知函数 f (x 1) 的定义域为[0，1]， f (log2 x) 的定义域为（ ）
A. [-1,0] B. [0,2] C. [2,4] D. [1,4]
题型三 求函数的解析式
例 3(1). (换元法、配凑法) 已知 f(x＋1)＝x＋2x. 求 f(x)的解析式；
(2). (待定系数法) 已知 f(x)是二次函数，且 f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求 f(x)；
1
(3).（解函数方程法）已知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，且 f(x)＝2fx·x－1，则 f(x )＝________.
(4).（赋值法）已知函数 f(x)对一切实数 x、y 均有 f(x＋y)－f(y)＝x(x＋2y＋1)成立，且 f(1)＝0，求 f(0)值,
试确定函数 f(x)的解析式 ．
(5).（代入法）定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝2f(x)．若当 0≤x≤1 时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0
时，f(x)＝____________.
规律总结：求函数解析式的常见求法：
(1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的
表达式；
(2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
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(4)方程组法：已知关于 f(x)与 f ( 1x ) 或 f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组， 通过解方程求出 f(x)．
1 x 1 x ，则 f (x) 的表达式为（）
课堂练习：(1). 设函数 f (x) 满足 f 1
x
A． 1 x2 B． 2 C． 2 ( x 1) D． 1 x ( x 1)
1 x2 1 x2 1 x 1 x
(2). y＝f(x)是一次函数，且 f(f(x))＝9x＋8，求 f(x)的解析式；
(3).已知函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝1x，求 f(x)的解析式．
题型四 分段函数
3 ; x 0
例 4 (1) .已知函数 f (x) 2x 则 f ( f ( )) ＝________．
x 4
tan x;0 2
1x , x 1
(2) .设函数 f (x) 2 ，则满足 f (x) 2 的 x 的取值范围是（ ）
1 log2 x, x 1
A. [1,2]B. [0,2] C. [1,) D. [0,)
(3) .已知函数
个非空真子集
fM (x) 的定义域为实数集
A, B , 且A B 则 F
1, x M （ M 是 R 的非空真子集）,在 R 上有两
R ,满足 fM (x)
0, x M
(x) f A B (x) 1 的值域为( B )
f A (x) fB (x) 1
A．（0, 2 ] B．1 1 2 D．[ 1 ,1]
3 C． 2 ， ,1 3
3
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