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2023届高考数学复习专题 ★★
圆锥曲线易错题辨析
圆锥曲线是解析几何的重要内容，这部分内容的特点是综合性强。这类试题几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角与直线等内容，体现了它对各种能力的要求。它要求同学们有较高的计算能力，但很多同学基础知识掌握欠佳，运算能力差，做这部分试题时经常出现错误。下面举例说明，希望引起同学们的重视。
忽视前提条件
例1：已知动点P到点F（0,1）的距离是到直线距离的2倍，则点P的轨迹为（ ）
A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
错解：设表示点P到直线的距离，由已知条件得离心率，故点P的轨迹为双曲线，选C
错解分析：上述解法看上去“天衣无缝”，实际上却犯了一个错误。可能因为是选择题，同学们解题时放松了警惕，若认真分析题意就发现问题的核心所在：点F（0,1）在直线上，而圆锥曲线的统一定义中，焦点不会在对应的准线上。
正解：P点的轨迹是过F（0,1）且和直线夹角为的两条直线，故选A。
忽视隐含条件
例2：已知，求的取值范围。
错解：由已知得，故
当时，有最大值9，即的取值范围是
错解分析：题中条件包含两个意思：一是，即可以用的代数式表示；二是，即，这个条件往往被忽略，产生错解。
正解：由已知得
因，故
故
当时，有最小值为0；当时，有最大值9
故的取值范围是
实施非等价转化
例3：在平面直角坐标系中，动点N到定点M（1,0）的距离比它到轴的距离大1，求动点N的轨迹方程。
错解：设动点，则N到定点M（1,0）和到定直线的距离相等，N的轨迹是以M（1,0）为焦点，直线为准线的抛物线，抛物线的标准方程为：
错解分析：画出图形后，不难发现，轴负半轴上的点也适合题意，也就是说上述转化过程不等价。
正解：设为轨迹上任意点，则
两边平方，得所以动点N的轨迹方程为或
忽视圆锥曲线的严格定义
例4：平面内与定点A（-1,2）和定直线的距离相等的点M的轨迹是（ ）
A、直线 B、抛物线 C、椭圆 D、圆
错解：由抛物线定义知点M的轨迹为抛物线，故选B
错解分析：易验证点A在直线上，所以点M的轨迹为过原点O且与已知直线垂直的直线。
正解：正确答案为A
5、忽略题中条件
例5：已知点A（-2,0），B（3,0），动点满足，则点P的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
错解：误选C
由得：
故
化简得：，则点P的轨迹是双曲线，故选C
错解分析：没有正确理解数量积的坐标运算法则。、
正解：考查了圆锥曲线中的轨迹方程。
由题知：，
因为，所以即：，选D
从以上几例不难看出，同学们求圆锥曲线方程时，必须检验是否具备标准方程的条件，转化是否等价，同时还要善于挖掘隐含条件，而且要具备一定的运算能力。
练一练
1、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A、 B、 C、3 D、5
2、已知为双曲线C：的左右焦点，点P在C上，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
参考答案：1、A 2、C
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