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2023届高考数学大单元二轮复习串思路【新教材新高考】
专题七 解析几何
第二讲 圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题
（一）高考考点解读
高考考点 考点解读
圆锥曲线的定义、标准方程与性质 1.求圆锥曲线的标准方程、离心率、双曲线的渐近线方程2.考查圆锥曲线的定义、性质
圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题 1.考查弦长问题2.求直线的方程或圆锥曲线的方程
直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题 1.位置关系的判定2.几何或代数关系式的证明3.涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题：4.求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.
圆锥曲线中的定点，定值问题 定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横（纵）坐标等的定值问题.
（二）核心知识整合
考点1：圆锥曲线的定义、标准方程与性质
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：．
(2)双曲线：．
(3)抛物线：，点F不在直线l上，于M(l为抛物线的准线)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：；离心率为．
②在双曲线中；离心率为．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线的渐近线方程为；焦点坐标．
②双曲线的渐近线方程为，焦点坐标．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
②抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
『解题技巧』
1．涉及椭圆(或双曲线)两焦点距离的问题或焦点弦问题，及到抛物线焦点(或准线)距离的问题，可优先考虑圆锥曲线的定义．
2．圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”．
3．求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用待定系数法求出方程中的或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为，椭圆常设，双曲线常设为．
[典型例题]
1.已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.
[答案]：A
[解析] 由，得，由正弦定理得.又，则，所以椭圆C的离心率.又，所以，故选A.
[变式训练]
2.设双曲线的两条渐近线与圆相交于四点，若四边形的面积为12，则双曲线的离心率是( )
A. B. C.或 D．
[答案]：A
[解析] 本题考查双曲线的几何性质.由对称性可知四边形是矩形，设点A在第一象限，由，得，则，即，则或3.又因为，所以，则该双曲线的离心率，故选A.
考点2：圆锥曲线中的最值（范围）及与弦有关的问题
1.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点时，
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线焦点F的弦，若，
则，；
②弦长 (为弦AB的倾斜角)；③；④以弦AB为直径的圆与准线相切．
『解题技巧』
1. 与圆锥曲线有关的取值范围问题的三种解法
(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解．
(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．
(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．
2. 弦中点问题的解法
点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在．
3．与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
[典型例题]
1.已知是椭圆的左、右焦点,过点的直线与椭圆交于两点,,且,则与的面积之比为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 设，则，由椭圆的定义可得，则.由，得，即，解得.由得，则与的面积之比为，故选D.
[变式训练]
2.在平面直角坐标系Oxy中，已知点，点A,B在双曲线上，且，则直线AB的斜率为( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 设直线AB的方程为.
由得.
设，，则
，，，
代入①得，
.
化简得，，
因此直线AB的斜率为，故选B.
考点3：直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题
1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
2．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：
(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．
(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解．
6.圆锥曲线中的定点，定值问题
定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
『解题技巧』
1．与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
(1)数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
(2)构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值(注意：有时需先换元后再求最值)．
2．过定点问题的两大类型及解法
(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
(2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
3．求解定值问题的三个步骤
(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；
(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
(3)得出结论．
[典型例题]
1.如图，已知为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与渐近线在第一象限和第三象限的交点分别为A,B，若四边形的面积S满足，则双曲线的离心率的最小值为( )
A. B. C.2 D.
[答案]：A
[解析] 由圆与双曲线的对称性可知，点A与点B关于坐标原点对称，显然四边形是矩形，以为直径的圆的方程为，与渐近线方程联立，得解得即，所以，故四边形的面积，即，，解得，所以双曲线的离心率的最小值为，故选A.
[变式训练]
2.抛物线的焦点为F,准线为l, 是抛物线上的两个动点,且满足,P为线段的中点,设P在l上的射影为Q,则的最大值是( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析] 设，在l上的射影分别为，则，故.又，所以.因为，所以，当且仅当时等号成立,故.故选C
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