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江西省赣州市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2022八上·赣州期末）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022八上·赣州期末）一种细菌的半径约为米，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022八上·赣州期末）下列运算：①；②；③；④，其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021八上·大庆期末）一个多边形截去一个角后，得到的多边形的内角和为 ，那么原来的多边形的边数为（　　）．
A．12或13取14 B．13或14 C．12或13 D．13或14或15
5．（2021·东胜模拟）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022八上·赣州期末）如图1，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
7．（2020八上·北京期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　 　
8．（2022八上·赣州期末）下列运算：①；②；③；④．其中正确的是　 　．
9．（2022八上·赣州期末）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　．
10．（2021·建华模拟）关于x的分式方程 无解，则m的值为　 　．
11．（2022八上·赣州期末）为了求的值，可设，等式两边同乘以2，得，所以得，所以，即：．仿照以上方法求的值为　 　．
12．（2022八上·赣州期末）在中，，．将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点．并且与的夹角，斜边交于点．在点的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角的大小是　 　．
三、解答题
13．（2022八上·赣州期末）如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：．
14．（2022八上·赣州期末）计算：
（1）
（2）（用简便方法计算）
15．（2022八上·赣州期末）先化简，再求值：，在，0，2这三个数中选一个你喜欢的代入求值．
16．（2022八上·赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作出关于轴对称的；
（2）直接写出的面积为　 　；
（3）在轴上找一点，使最小．
17．（2022八上·赣州期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，求的度数．
18．（2022八上·赣州期末）动点型问题是数学学习中的常见问题，解决这类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活运用有关数学知识解决问题．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=10cm，点D在射线CA上从点C出发向点A方向运动（点D不与点A重合），且点D运动的速度为2cm/s，设运动时间为x秒时，对应的△ABD的面积为ycm2．
（1）填写下表：
时间x秒 ··· 2 4 6 ···
面积ycm2 ··· 12 　 　 ···
（2）在点D的运动过程中，出现△ABD为等腰三角形的次数有 ▲ 次，请用尺规作图，画出BD（保留作图痕迹，不写画法）；
（3）求当x为何值时，△ABD的面积是△ABC的面积的．
19．（2022八上·赣州期末）阅读理解：
例：已知：，求：和的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
解决问题：
（1）若，求、的值；
（2）已知，，是的三边长且满足，
①直接写出　 　，　 　．
②若是中最短边的边长（即；），且为整数，直接写出的值可能是　 　．
20．（2018·百色）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
21．（2022八上·赣州期末）有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．
①方法1：　 　 方法2：　 　
②请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系：　 　．
（2）解决问题：若，求的值．
（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： ▲ ．
22．（2022八上·赣州期末）在中，与的角平分线交于点．
（1）①若，，则　 　；
②若，，则　 　．
（2）作的，的外角平分线，交于点，延长、交于点，请画出图形．
①若，，则 ▲ ，的形状为 ▲ ．
②若在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数．
23．（2022八上·赣州期末）已知点，，，且、满足．
（1）直接判断的形状；
（2）如图1，过点作射线（射线与边有交点），过点作于点，过点作于点，过点作的垂线交轴于点．
①求证：；②求点的坐标；
（3）如图2，点，为轴正半轴上的两点（在的上方），点在的延长线上，且满足，的延长线交轴于点，的角平分线交线段于点，若，请探究和的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由一种细菌的半径约为米，则这个数用科学记数法表示为．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：，故①不符合题意；
，故②符合题意；
，故③不符合题意；
，故④符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新的多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和是1980°，
∴180（n 2）＝1980，
解得：n＝13，
∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，
∴原多边形的边数可能是：12或13或14．
故答案为：A．
【分析】利用多边形内角和公式求出新多边形的边数，然后进行分类得出答案。
5．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设更新技术后每天生产x万份疫苗，则更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，
依题意得，
，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出方程
即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故①符合题意；
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，
△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ， 故②符合题意；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴，③成立，
∵△CQB≌△CPA，
∴∠CBQ=∠CAP，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠AOB=∠ACB=60°，故④符合题意；
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故⑤DE=DP不符合题意；
作CM⊥AD，CN⊥BE，
∵△ACD≌△BCE ，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故⑥符合题意，
为等边三角形，故⑦符合题意，
故正确的有①②③④⑥⑦共6个，
故答案为：C．
【分析】利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质逐项判断即可。
7．【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
8．【答案】①②或②①
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：①符合题意；
②符合题意；
③不符合题意；
④不符合题意．
∴正确的是①②．
故答案为①②．
【分析】利用合并同类项、积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
9．【答案】50
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，，
∴△AEF≌△BAG（AAS），
同理△BCG≌△CDH，
∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，
∵梯形DEFH的面积=（EF+DH） FH=80，
S△AEF=S△ABG=AF AE=9，
S△BCG=S△CDH=CH DH=6，
∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50，
故答案为：50．
【分析】利用“AAS”证明△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH，可得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，再利用三角形的面积公式及割补法求出图形的面积即可。
10．【答案】1或6或-4
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
当 时，显然方程无解，
又原方程的增根为：
当 时，
当 时，
综上当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：1或6或-4．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值。
11．【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：设，
两边都乘以5得： ，
，
故答案为：．
【分析】参照题干中的计算方法，设，则，利用作差法可得。
12．【答案】45°或90°或0°
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△PCD是等腰三角形， ∠PCD=120°-，∠CPD=30°，
①当PC=PD时，
∴∠PCD=∠PDC=，即120°-=75°，
∴∠=45°；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-=30°，
∴=90°；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP=∠CPD=30°，
∴∠PCD=180°-2×30°=120°， 即120°-=120°，
∴=0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当△PCD是等腰三角形时，=45°或90°或0°．
故答案为：45°或90°或0°．
【分析】分三种情况：①当PC=PD时， ②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形， ③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，再分别求解即可。
13．【答案】解：，
，
在与中，
，
（SAS），
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。
14．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式除以单项式的计算方法求解即可；
（2）将原式变形为，再利用平方差公式计算即可。
15．【答案】解：
，
∵，，
∴，，
代入，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
16．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形，
（2）4
（3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点，即为所求作的点，
由作图可得：
由两点之间线段最短可得此时最短.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）
，
故答案为：4；
【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点，即为所求作的点。
17．【答案】解：如图，
由折叠的性质得：∠D=∠C=46°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°，
则∠1-∠2=92°．
故答案为：92°．
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D， 再结合∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°， 可得∠1-∠2=92°。
18．【答案】（1）解：∵CD=2x，AC=10，
∴AD=|10-2x|，
∴△ABD的面积为y= AD BC==．
当x=4时，y=|20-4×4|=cm2，
当x=6时，y=|20-4×6|=cm2；
（2）解：若△ABD为等腰三角形，只需AD=BD，AD=AB，或者AB=BD．
∵点D从C点出发，故当BD=AB时，AB、BD重合，不为三角形，
∴出现△ABD为等腰三角形的次数有2次；
作图如下：
（3）解：∵△ABC的面积为20，△ABD的面积是△ABC的面积的．
∴
解得：或x=．
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可得y=，再将x=4和x=6分别代入计算即可；
（2）根据要求作出图象并根据等腰三角形的判定方法求解即可；
（3）根据题意列出方程，再求出x的值即可。
19．【答案】（1）解：
解得：
（2）5；6；2，3，4
【知识点】配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（2）①
解得：
故答案为：5，6
②
是中最短边的边长（即；），
又为整数，
的值为2，3，4.
【分析】（1）利用配方法将原式变形为根据非负数之和为0的性质可得，再求出x、y的值即可；
（2）①方法同（1），利用配方法和非负数之和为0的性质求出a、b的值；
②利用三角形三边的关系求解即可。
20．【答案】（1）解：设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得： = + + 解得：x=40． 经检验：x=40是原方程的解，∴1.5x=60公里/时． 答：大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时
（2）解：设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得： + = 解得：y=30． 答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1） 设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时， 大巴车行完全程的时间是小时，小车行完全程的时间为小时，根据小车后出发半小时，而又早到15分钟，可知小车行完全程的时间比大巴车少45分钟从而列出方程，求解并检验即可；
（2） 设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得： 则老师追上大巴的时候所用的时间为小时，此时大巴车所行的时间为小时，根据老师后出发半小时，即可列出方程，求解即可。
21．【答案】（1）；；
（2）解：
（3）解：选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），
则长方形的面积为：
而
所以该长方形的边长为 如图所示：
该图形反映的面积恒等式为：
故答案为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①方法1：
方法2：
故答案为：
②由阴影部分的面积不变可得：
【分析】（1）①利用不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
②根据①的表达式可得；
（2）根据非负数之和为0的性质可得，再将其代入计算即可；
（3）根据图象可得。
22．【答案】（1）；
（2）解：如图
①在△ABC中，，，则∠CBA=，
∴∠MAB=，∠NBA=；
∵AE平分∠MAB，BE平分∠NBA，
∴∠EAB=∠MAE，∠EBA=∠NBE，
∴∠EAB＋∠EBA=，
∴∠AEB=；
∠EBF=∠ABF＋∠ABE=，
∴△EBF为等腰直角三角形．
②由①可知，∠EBF==∠DAE，
当中，存在一个内角等于另一个内角的2倍时，△BEF为等腰直角三角形，
∴∠ABE=，
∴由四边形ADBE内角和，可得∠ADB=，
∴由（1）可得∠C=．
故答案为：．
【知识点】角的运算；角平分线的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）
解：①在△ABC中，，，
∴∠CBA=，
∵与的角平分线交于点，
∴∠CAD=∠BAD，∠CBD=∠ABD，
∴∠BAD＋∠ABD=，
∴∠ADB=；
②在△ABC中，，，
∴∠CBA=，
同①可得∠BAD＋∠ABD=，
∴∠ADB=；
【分析】（1）①根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，∠CBD=∠ABD，利用角的运算和等量代换可得∠BAD＋∠ABD=，最后求出∠ADB=即可；
②方法同①，再利用角的运算求出∠ADB=即可；
（2）①根据角平分线的定义可得∠EAB=∠MAE，∠EBA=∠NBE，利用角的运算和等量代换可得∠EBF=∠ABF＋∠ABE=，即可得到△EBF为等腰直角三角形；
②先求出∠ABE=，再利用四边形ADBE内角和，可得∠ADB=，最后求出∠C=即可。
23．【答案】（1）解：∵|a+4|+（a+b）2＝0．
∴a＝-4，b＝4，
∴点A（-4，0），B（0，4），
又∵点C（4，0），
∴OA＝OB＝OC＝4，AC＝OA+OC＝8，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：①∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°＝∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE；
②∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠CAD＝∠FBE，
∵EF⊥CD，
∴∠EDC+∠DEF＝90°，
又∵∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠EDC＝∠CEF，
∴∠EDC+∠ADB＝∠CEF+∠BEC，
∴∠ADC＝∠BEF，
在△ADC和△BEF中，
，
∴△ADC≌△BEF（ASA），
∴BF＝AC＝8，则OF=4，
∴点F的坐标为（0，-4）；
（3）解：MN＝OH，
理由如下：如图2，在OP上截取PT＝PN，
∵MP平分∠APG，
∴∠APM＝∠GPM，
又∵PT＝PN，PM＝PM，
∴△MPT≌△MPN（SAS），
∴MN＝MT，∠ANP＝∠MTP，
∴∠GNH＝∠ATM，
∵GN＝GH，
∴∠GNH＝∠GHN，
∴∠GHN＝∠GNH＝∠MHK=∠ATM，
又∵∠MKH＝∠OKT，
∴∠KOT＝∠KMH＝90°，
∴∠AMT＝∠AOH＝90°，
又∵∠MAO＝∠MAO，AM＝AO，
∴△AMT≌△AOH（ASA），
∴MT＝OH，
∴MN＝OH．
【知识点】非负数之和为0；三角形全等的判定（ASA）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据非负数之和为0的性质可得a、b的值，再求出OA＝OB＝OC＝4，AC＝OA+OC＝8，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，即可得到△ABC是等腰直角三角形；
（2）①利用“AAS”证明△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质可得AD=BE；
②先利用“ASA”证明△ADC≌△BEF，可得BF＝AC＝8，则OF=4，即可得到点F的坐标为（0，-4）；
（3）在OP上截取PT＝PN，先利用“SAS”证明△MPT≌△MPN，可得MN＝MT，∠ANP＝∠MTP，再利用“ASA”证明△AMT≌△AOH，可得MT=OH，再利用等量代换可得MN=OH。
1 / 1江西省赣州市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．（2022八上·赣州期末）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2022八上·赣州期末）一种细菌的半径约为米，这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由一种细菌的半径约为米，则这个数用科学记数法表示为．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2022八上·赣州期末）下列运算：①；②；③；④，其中结果正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：，故①不符合题意；
，故②符合题意；
，故③不符合题意；
，故④符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法和积的乘方逐项判断即可。
4．（2021八上·大庆期末）一个多边形截去一个角后，得到的多边形的内角和为 ，那么原来的多边形的边数为（　　）．
A．12或13取14 B．13或14 C．12或13 D．13或14或15
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新的多边形的边数为n，
∵新的多边形的内角和是1980°，
∴180（n 2）＝1980，
解得：n＝13，
∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十三边形，
∴原多边形的边数可能是：12或13或14．
故答案为：A．
【分析】利用多边形内角和公式求出新多边形的边数，然后进行分类得出答案。
5．（2021·东胜模拟）随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设更新技术后每天生产x万份疫苗，则更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，
依题意得，
，
故答案为：B．
【分析】根据题意列出方程
即可。
6．（2022八上·赣州期末）如图1，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°
∴∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE
∴AD=BE，故①符合题意；
由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，
△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ， 故②符合题意；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴，③成立，
∵△CQB≌△CPA，
∴∠CBQ=∠CAP，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠AOB=∠ACB=60°，故④符合题意；
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故⑤DE=DP不符合题意；
作CM⊥AD，CN⊥BE，
∵△ACD≌△BCE ，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故⑥符合题意，
为等边三角形，故⑦符合题意，
故正确的有①②③④⑥⑦共6个，
故答案为：C．
【分析】利用等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质逐项判断即可。
二、填空题
7．（2020八上·北京期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是　 　
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：因为直尺的宽度一样，故点P到AO与BO的距离相等，故可知PO为角平行线.
【分析】根据角平分线的性质即可证明.
8．（2022八上·赣州期末）下列运算：①；②；③；④．其中正确的是　 　．
【答案】①②或②①
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：①符合题意；
②符合题意；
③不符合题意；
④不符合题意．
∴正确的是①②．
故答案为①②．
【分析】利用合并同类项、积的乘方、幂的乘方、单项式除以单项式的计算方法逐项判断即可。
9．（2022八上·赣州期末）如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，EF=6，BG=3，DH=4，计算图中实线所围成的图形的面积S是　 　．
【答案】50
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠EAF+∠BAG=90°，∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠BAG=∠AEF，
∵在△AEF和△BAG中，，
∴△AEF≌△BAG（AAS），
同理△BCG≌△CDH，
∴AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，
∵梯形DEFH的面积=（EF+DH） FH=80，
S△AEF=S△ABG=AF AE=9，
S△BCG=S△CDH=CH DH=6，
∴图中实线所围成的图形的面积S=80-2×9-2×6=50，
故答案为：50．
【分析】利用“AAS”证明△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH，可得AF=BG，AG=EF，GC=DH，BG=CH，再利用三角形的面积公式及割补法求出图形的面积即可。
10．（2021·建华模拟）关于x的分式方程 无解，则m的值为　 　．
【答案】1或6或-4
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
当 时，显然方程无解，
又原方程的增根为：
当 时，
当 时，
综上当 或 或 时，原方程无解．
故答案为：1或6或-4．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值。
11．（2022八上·赣州期末）为了求的值，可设，等式两边同乘以2，得，所以得，所以，即：．仿照以上方法求的值为　 　．
【答案】
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：设，
两边都乘以5得： ，
，
故答案为：．
【分析】参照题干中的计算方法，设，则，利用作差法可得。
12．（2022八上·赣州期末）在中，，．将一块足够大的直角三角尺（，）按如图所示放置，顶点在线段上滑动，三角尺的直角边始终经过点．并且与的夹角，斜边交于点．在点的滑动过程中，若是等腰三角形，则夹角的大小是　 　．
【答案】45°或90°或0°
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△PCD是等腰三角形， ∠PCD=120°-，∠CPD=30°，
①当PC=PD时，
∴∠PCD=∠PDC=，即120°-=75°，
∴∠=45°；
②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠PCD=∠CPD=30°，即120°-=30°，
∴=90°；
③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，
∴∠CDP=∠CPD=30°，
∴∠PCD=180°-2×30°=120°， 即120°-=120°，
∴=0°， 此时点P与点B重合，点D和A重合，
综合所述：当△PCD是等腰三角形时，=45°或90°或0°．
故答案为：45°或90°或0°．
【分析】分三种情况：①当PC=PD时， ②当PD=CD时，△PCD是等腰三角形， ③当PC=CD时，△PCD是等腰三角形，再分别求解即可。
三、解答题
13．（2022八上·赣州期末）如图，在中，点是延长线上一点，，，，求证：．
【答案】解：，
，
在与中，
，
（SAS），
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】利用“SAS”证明，再利用全等三角形的性质可得。
14．（2022八上·赣州期末）计算：
（1）
（2）（用简便方法计算）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平方差公式及应用；多项式除以单项式
【解析】【分析】（1）利用多项式除以单项式的计算方法求解即可；
（2）将原式变形为，再利用平方差公式计算即可。
15．（2022八上·赣州期末）先化简，再求值：，在，0，2这三个数中选一个你喜欢的代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴，，
代入，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
16．（2022八上·赣州期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）作出关于轴对称的；
（2）直接写出的面积为　 　；
（3）在轴上找一点，使最小．
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形，
（2）4
（3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点，即为所求作的点，
由作图可得：
由两点之间线段最短可得此时最短.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）
，
故答案为：4；
【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用割补法求出三角形的面积即可；
（3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点，即为所求作的点。
17．（2022八上·赣州期末）如图，在中，，将沿着直线折叠，点落在点的位置，求的度数．
【答案】解：如图，
由折叠的性质得：∠D=∠C=46°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D，
则∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°，
则∠1-∠2=92°．
故答案为：92°．
【知识点】三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠D， 再结合∠1=∠2+∠C+∠D=∠2+2∠C=∠2+92°， 可得∠1-∠2=92°。
18．（2022八上·赣州期末）动点型问题是数学学习中的常见问题，解决这类问题的关键是动中求静，运用分类讨论及数形结合的思想灵活运用有关数学知识解决问题．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=10cm，点D在射线CA上从点C出发向点A方向运动（点D不与点A重合），且点D运动的速度为2cm/s，设运动时间为x秒时，对应的△ABD的面积为ycm2．
（1）填写下表：
时间x秒 ··· 2 4 6 ···
面积ycm2 ··· 12 　 　 ···
（2）在点D的运动过程中，出现△ABD为等腰三角形的次数有 ▲ 次，请用尺规作图，画出BD（保留作图痕迹，不写画法）；
（3）求当x为何值时，△ABD的面积是△ABC的面积的．
【答案】（1）解：∵CD=2x，AC=10，
∴AD=|10-2x|，
∴△ABD的面积为y= AD BC==．
当x=4时，y=|20-4×4|=cm2，
当x=6时，y=|20-4×6|=cm2；
（2）解：若△ABD为等腰三角形，只需AD=BD，AD=AB，或者AB=BD．
∵点D从C点出发，故当BD=AB时，AB、BD重合，不为三角形，
∴出现△ABD为等腰三角形的次数有2次；
作图如下：
（3）解：∵△ABC的面积为20，△ABD的面积是△ABC的面积的．
∴
解得：或x=．
【知识点】三角形的面积；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式可得y=，再将x=4和x=6分别代入计算即可；
（2）根据要求作出图象并根据等腰三角形的判定方法求解即可；
（3）根据题意列出方程，再求出x的值即可。
19．（2022八上·赣州期末）阅读理解：
例：已知：，求：和的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
解决问题：
（1）若，求、的值；
（2）已知，，是的三边长且满足，
①直接写出　 　，　 　．
②若是中最短边的边长（即；），且为整数，直接写出的值可能是　 　．
【答案】（1）解：
解得：
（2）5；6；2，3，4
【知识点】配方法的应用；非负数之和为0
【解析】【解答】解：（2）①
解得：
故答案为：5，6
②
是中最短边的边长（即；），
又为整数，
的值为2，3，4.
【分析】（1）利用配方法将原式变形为根据非负数之和为0的性质可得，再求出x、y的值即可；
（2）①方法同（1），利用配方法和非负数之和为0的性质求出a、b的值；
②利用三角形三边的关系求解即可。
20．（2018·百色）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国教育活动，基地离学校有90公里，队伍8：00从学校出发．苏老师因有事情，8：30从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15分钟到达基地．问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【答案】（1）解：设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时，根据题意，得： = + + 解得：x=40． 经检验：x=40是原方程的解，∴1.5x=60公里/时． 答：大巴的平均速度为40公里/时，则小车的平均速度为60公里/时
（2）解：设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得： + = 解得：y=30． 答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1） 设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为1.5x公里/时， 大巴车行完全程的时间是小时，小车行完全程的时间为小时，根据小车后出发半小时，而又早到15分钟，可知小车行完全程的时间比大巴车少45分钟从而列出方程，求解并检验即可；
（2） 设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意，得： 则老师追上大巴的时候所用的时间为小时，此时大巴车所行的时间为小时，根据老师后出发半小时，即可列出方程，求解即可。
21．（2022八上·赣州期末）有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．
①方法1：　 　 方法2：　 　
②请写出代数式，，这三个代数式之间的等量关系：　 　．
（2）解决问题：若，求的值．
（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是： ▲ ．
【答案】（1）；；
（2）解：
（3）解：选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），
则长方形的面积为：
而
所以该长方形的边长为 如图所示：
该图形反映的面积恒等式为：
故答案为：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）①方法1：
方法2：
故答案为：
②由阴影部分的面积不变可得：
【分析】（1）①利用不同的表达式表示出阴影部分的面积即可；
②根据①的表达式可得；
（2）根据非负数之和为0的性质可得，再将其代入计算即可；
（3）根据图象可得。
22．（2022八上·赣州期末）在中，与的角平分线交于点．
（1）①若，，则　 　；
②若，，则　 　．
（2）作的，的外角平分线，交于点，延长、交于点，请画出图形．
①若，，则 ▲ ，的形状为 ▲ ．
②若在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，请直接写出的度数．
【答案】（1）；
（2）解：如图
①在△ABC中，，，则∠CBA=，
∴∠MAB=，∠NBA=；
∵AE平分∠MAB，BE平分∠NBA，
∴∠EAB=∠MAE，∠EBA=∠NBE，
∴∠EAB＋∠EBA=，
∴∠AEB=；
∠EBF=∠ABF＋∠ABE=，
∴△EBF为等腰直角三角形．
②由①可知，∠EBF==∠DAE，
当中，存在一个内角等于另一个内角的2倍时，△BEF为等腰直角三角形，
∴∠ABE=，
∴由四边形ADBE内角和，可得∠ADB=，
∴由（1）可得∠C=．
故答案为：．
【知识点】角的运算；角平分线的定义；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）
解：①在△ABC中，，，
∴∠CBA=，
∵与的角平分线交于点，
∴∠CAD=∠BAD，∠CBD=∠ABD，
∴∠BAD＋∠ABD=，
∴∠ADB=；
②在△ABC中，，，
∴∠CBA=，
同①可得∠BAD＋∠ABD=，
∴∠ADB=；
【分析】（1）①根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，∠CBD=∠ABD，利用角的运算和等量代换可得∠BAD＋∠ABD=，最后求出∠ADB=即可；
②方法同①，再利用角的运算求出∠ADB=即可；
（2）①根据角平分线的定义可得∠EAB=∠MAE，∠EBA=∠NBE，利用角的运算和等量代换可得∠EBF=∠ABF＋∠ABE=，即可得到△EBF为等腰直角三角形；
②先求出∠ABE=，再利用四边形ADBE内角和，可得∠ADB=，最后求出∠C=即可。
23．（2022八上·赣州期末）已知点，，，且、满足．
（1）直接判断的形状；
（2）如图1，过点作射线（射线与边有交点），过点作于点，过点作于点，过点作的垂线交轴于点．
①求证：；②求点的坐标；
（3）如图2，点，为轴正半轴上的两点（在的上方），点在的延长线上，且满足，的延长线交轴于点，的角平分线交线段于点，若，请探究和的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵|a+4|+（a+b）2＝0．
∴a＝-4，b＝4，
∴点A（-4，0），B（0，4），
又∵点C（4，0），
∴OA＝OB＝OC＝4，AC＝OA+OC＝8，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：①∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°＝∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠CBE，
又∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE；
②∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠CAD＝∠FBE，
∵EF⊥CD，
∴∠EDC+∠DEF＝90°，
又∵∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠EDC＝∠CEF，
∴∠EDC+∠ADB＝∠CEF+∠BEC，
∴∠ADC＝∠BEF，
在△ADC和△BEF中，
，
∴△ADC≌△BEF（ASA），
∴BF＝AC＝8，则OF=4，
∴点F的坐标为（0，-4）；
（3）解：MN＝OH，
理由如下：如图2，在OP上截取PT＝PN，
∵MP平分∠APG，
∴∠APM＝∠GPM，
又∵PT＝PN，PM＝PM，
∴△MPT≌△MPN（SAS），
∴MN＝MT，∠ANP＝∠MTP，
∴∠GNH＝∠ATM，
∵GN＝GH，
∴∠GNH＝∠GHN，
∴∠GHN＝∠GNH＝∠MHK=∠ATM，
又∵∠MKH＝∠OKT，
∴∠KOT＝∠KMH＝90°，
∴∠AMT＝∠AOH＝90°，
又∵∠MAO＝∠MAO，AM＝AO，
∴△AMT≌△AOH（ASA），
∴MT＝OH，
∴MN＝OH．
【知识点】非负数之和为0；三角形全等的判定（ASA）；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据非负数之和为0的性质可得a、b的值，再求出OA＝OB＝OC＝4，AC＝OA+OC＝8，可得AB＝BC，∠ABC＝90°，即可得到△ABC是等腰直角三角形；
（2）①利用“AAS”证明△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质可得AD=BE；
②先利用“ASA”证明△ADC≌△BEF，可得BF＝AC＝8，则OF=4，即可得到点F的坐标为（0，-4）；
（3）在OP上截取PT＝PN，先利用“SAS”证明△MPT≌△MPN，可得MN＝MT，∠ANP＝∠MTP，再利用“ASA”证明△AMT≌△AOH，可得MT=OH，再利用等量代换可得MN=OH。
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