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等比数列的概念及通项公式 学案
重点 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式
难点 等比数列的有关计算
考试要求 考试 题型 选择 填空 简答 难度 中等
核心知识点一：等比数列的概念
1. 等比数列的概念：一般地，如果一个数列{an}，从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。公差通常用字母q（q≠0）表示。
符号表示：且q为常数）。
2. 等比中项：由三个数a，G，b组成的等比数列，G叫做数列的等比中项。
符号表示：
核心知识点二：等比数列的通项公式
首项为a1，公比为q的等差数列{an}，通项公式为an=a1qn-1
核心知识点三：等比数列的性质
已知{an}是等比数列，若m+n=p+q=2k（m，n，p，q，k∈N*），则有
（1）aman=apaq=ak2。
（2）仍然成等比数列。
类型一：等比数列的通项
例题1 在等比数列{an}中，
(1)a4＝2，a7＝8，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
【思路分析】解答本题可将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．
【解析】(1)法一：因为
所以
由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，
于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.
法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4.
所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝2.
所以32×()n－1＝1，
即26－n＝20，所以n＝6.
法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝.
由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.
由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.
【总结提升】
等比数列的概念体现的是项与项之间的比是一个常数，这个常数不为零，等比数列的通项公式计算中一定要注意公比的指数、公比的正负等问题。
类型二：等比数列的判定
例题2 已知等差数列{an}中，a1=2，a2+a4=16。设bn=。
求证：数列{bn}是等比数列。
【思路分析】利用定义证明一个数列为等比数列，只需证（q为常数）即可。而要求bn+1，bn，需求出an，所以可根据等差数列的通项公式列方程求a1，d即可。
【解析】证明：设等差数列{an}的公差为d，由a2+a4=16，可得（a1+d）+（a1+3d）=16，即2a1+4d=16。
又a1=2，所以d=3，故an=a1+（n-1）d=2+（n-1）×3=3n-1。
依题意，bn=23n-1，所以，
故{bn}是首项为4，公比为8的等比数列。
【总结提升】判定一个数列为等比数列的常见方法：
（1）定义法：q（q是常数），则数列{an}是等比数列；
（2）等比中项法：（n∈N*），则数列{an}是等比数列；
（3）通项公式法：若an=Aqn（A，q为常数），则数列{an}是等比数列。
类型二：等比数列的性质
例题3 若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，
则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=__________。
【思路分析】由等比数列的性质求出a3，再根据性质求a1a2a3a4a5的值，然后再代入即可求出结果。
【答案】180
【解析】由题意知a1a5==4，∴a3=2，∴a1a2a3a4a5=（a1a5）·（a2a4）·a3==25，
∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2（a1a2a3a4a5）=log225=5。
【总结提升】在等比数列的基本运算问题中，一般是利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*），则有aman=apaq”，则可减少运算量。
常见易错问题剖析
已知数列{an}的前n项之和为非零常数），则{an}为（ ）
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 既不是等差数列，也不是等比数列 D. 既是等差数列，又是等比数列
【错解】B
∵，（非零常数），∴为等比数列。（忽视成立的前提条件是n≥2而致错）
【错因分析】当n≥2时，，对于n=1的情况要单独考虑，即还要验证是不是等于q。若等于，则是等比数列；若不等于，则不是等比数列。
【正解】C
当n=1时，a1=S1=aq；
当n≥2时，∵，（非零常数）。
∵，∴不是等比数列，易证也不是等差数列。
【总结提升】满足（a≠0，a≠1）形式的是等比数列。
1. 等比数列的概念及通项公式；
2. 等比数列的性质及其应用。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 在数列{an}中，a1＝1，数列{an}是以3为公比的等比数列，则等于（　　）
A. 2 017　 B. 2 018　 C. 2 019　 D. 2 020
2. 等比数列{an}中，an>0，a1+a2=6，a3=8，则a6=（　　）
A. 64 B. 128 C. 256 D. 512
3. 已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2·a3=2a1，且a4与2a7的等比中项为-1，则S5等于（　　）
A. 34 B. 33 C. 32 D. 31
4. 在等比数列{an}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（　　）
A. 1 B. -1 C. ±1 D. ±3
二、填空题
5. 已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k，若k∈N*，则k=　　　　。
6. 已知x，2x+2，3x+3是一个等比数列的前三项，则x的值为　　　　。
三、解答题
7. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2。
（1）若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3＝21，求S3。
**8. 在数列{an}中，已知a1=1，a2=4，an+2=an+1+6an。
（1）若{an+1+λan}是等比数列，求λ的值；
（2）求数列{an}的通项公式。
答案
1. 【答案】B
【解析】∵a1＝1，数列{an}是以3为公比的等比数列，∴a2 019＝1×32 019－1＝32 018，∴log3a2 019＝log332 018＝2 018。故选B。
2. 【答案】A
【解析】设等比数列{an}的公比为q。由题意及等比数列的通项公式可得解得则a6=a1q5=2×25=64。故选A。
3. 【答案】D
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由已知条件得解得则S5=，故选D。
4. 【答案】B
【解析】由题意知且a4<0，a12<0，由{an}是等比数列可知a4a12==1，故a8=±1，因为a4<0，a12<0，所以a8<0，故a8=-1，故选B。
5. 【答案】3
【解析】由已知得（2k）2=（k+9）（6-k），k∈N*，∴k=3。
6. 【答案】-4
【解析】由题意，得（2x+2）2=x（3x+3），即x2+5x+4=0，解得x=-1或x=-4。
当x=-1时，x，2x+2，3x+3分别为-1，0，0，不构成一个等比数列，故x≠-1；
当x=-4时，x，2x+2，3x+3分别为-4，-6，-9，能构成一个等比数列，所以x的值为-4。
7. 【解析】设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
则an＝－1＋（n－1）·d，bn＝qn－1。
由a2＋b2＝2得d＋q＝3。①
（1）由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6。②
联立①和②解得（舍去），
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1。
（2）由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0。
解得q＝－5或q＝4。
当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21。
当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6。
8. 【解析】（1）设等比数列{an+1+λan}的公比为q，则an+2+λan+1=q（an+1+λan），整理得an+2=（q-λ）an+1+λqan，
又an+2=an+1+6an，∴解得或故λ的值为-3或2。
（2）由（1）得，当λ=-3时，q=-2，此时数列{an+1-3an}为等比数列，
∴an+1-3an=（a2-3a1）（-2）n-1=（-2）n-1，①
当λ=2时，q=3，此时数列{an+1+2an}为等比数列，∴an+1+2an=（a2+2a1）·3n-1=2×3n，②
由①-②得-5an=（-2）n-1-2×3n，∴an=。
2022-2023学年 承德县一中学案 等比数列的前n项和
重点 掌握等比数列的前n项和公式
难点 等比数列前n项和的有关求解
考试要求 考试 题型 选择 填空 解答 难度 中等
核心知识点一：等比数列的前n项和公式
核心知识点二：等比数列的前n项和性质
若数列{an}是等比数列，则数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列。
类型一：等比数列的前n项和公式
例题1 记Sn为等比数列{an}的前n项和。若，则S5=____________。
【答案】
【思路分析】本题求解的关键在于求出公比q，根据已知条件知道a1，求出公比q，即可根据等比数列前n项和公式求出S5。
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以。
【总结提升】
等比数列的前n项和公式的应用，注意已知条件，关键是求解两个基本量a1与q。
类型二：等比数列的前n项和公式性质
例题2 记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S4-2S2=2，则S6-S4的最小值为　　　　。
【答案】8
【思路分析】根据等比数列前n项和的性质，数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列，然后通过代换化简求解，由基本不等式求解最小值。
【解析】根据等比数列的性质，可得S2，S4-S2，S6-S4构成等比数列，所以（S4-S2）2=S2·（S6-S4），所以S6-S4=。因为S4-2S2=2，即S4-S2=S2+2，所以S6-S4===S2++4≥2=8，当且仅当S2=时，等号成立，所以S6-S4的最小值为8。
【总结提升】等比数列的前n项和性质，注意Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等比数列，不要错认为Sm，S2m，S3m，…是等比数列，同时通过前n项和的性质让计算更为简单。
例题3 设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，且Sn=an+1+1，则{an}的通项公式为an=　　　　。
【答案】
【思路分析】根据数列前n项和与第n项之间关系，通过an =Sn-Sn-1即可求出通项公式，但要注意首项。
【解析】∵Sn=an+1+1，∴Sn-1=an+1（n≥2），∴当n≥2时，Sn-Sn-1=an=an+1-an，即an+1=3an。又a1=3，S1=a1=a2+1，解得a2=4，故a2≠3a1，∴数列{an}从第2项起是公比为3的等比数列，故当n≥2时，an=a2qn-2=4×3n-2，∴an=
【总结提升】数列的前n项和与第n项之间有关系式an =Sn-Sn-1，在运用的时候要注意n是从第二项开始的，因此在求解的过程中要注意验证首项，看首项是否满足关系式，如果不满足要写成分段的形式。
类型三：错位相减法
例题4 设数列{an}满足a1=2，an＋1 an=3·22n－1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.
【思路分析】（1）利用“累加法”求数列{an}的通项公式；（2）由于数列{an}是等差数列，求数列{bn}的前n项和可利用错位相减法求解。
【解析】（1）∵an＋1 an=3·22n－1，
∴，
将上述n-1个式子相加可得：，
所以。
（2）∵，
∴，
∴ ①
②
①-②得：
。
【总结提升】错位相减法解题的一般步骤：
若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则数列{anbn}的前n项和求法如下：
Sn=a1b1+a2b2+…+anbn ①
qSn=qa1b1+qa2b2+…+qanbn ②
利用① ②转化为等比数列求和。
常见易错问题剖析
已知等比数列{an}中，a1=2，S3=6，求a3和q。
【错解】由等比数列的前n项和公式得，
∴q=-2，∴。（忽略了等比数列前n项和公式成立的前提条件：公比q≠1）
【错因分析】错解中，由于没有讨论公比q是否为1，就直接使用了等比数列的前n项和公式，从而导致错解。在求等比数列前n项和Sn时，如果不明确q的具体情况要对q进行分类讨论。
【正解】若q=1，则S3=3a1=6，符合题意。此时，q=1，a3=a1=2。
若q≠1时，同错解，得q=-2，a3=8。
综上所述，q=1，a3=2或q=-2，a3=8。
【总结提升】求等比数列{an}的前n项和Sn时，在不确定q是否为1时，应对q=1和q≠1分类讨论。
1. 等比数列前n项和公式的推导以及运用；
2. 等比数列前n项和公式有关的一些性质，在运用的时候所有的注意事项。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 已知数列{an}是各项为正数的等比数列，点M（2，log2a2）、N（5，log2a5）都在直线y＝x－1上，则数列{an}的前n项和为（　　）
A. 2n－2 B. 2n＋1－2 C. 2n－1 D. 2n＋1－1
2. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=-1，S4=-5，则S6=（　　）
A. -9 B. -21 C. -25 D. -63
3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还。”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，问他第6天走了多少里路。”上述问题的答案为（　　）
A. 96 B. 48 C. 12 D. 6
4. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，Sn+2=4Sn+3恒成立，则a1的值为（　　）
A. -3 B. 1 C. -3或1 D. 1或3
二、填空题
5. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和。若Sn＝126，则n＝________。
6. 已知等比数列{an}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为Tn，且a2a4=a3，则使得Tn>1的n的最小值为 。
7. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若，则＝________。
三、解答题
**8. 已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，。
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式。
答案
1.【答案】C
【解析】由题意可得：log2a2＝2－1＝1，log2a5＝5－1＝4，则a2＝2，a5＝16，数列的公比q＝＝＝2，数列的首项a1＝＝＝1，其前n项和Sn＝1×＝2n－1。故选C。
2.【答案】 B
【解析】∵数列{an}为等比数列，S2=-1，S4=-5，
∴S2，S4-S2，S6-S4构成等比数列，
即-1，-4，S6+5构成等比数列，则（-4）2=-（S6+5），解得S6=-21。故选B。
3.【答案】D
【解析】由题知每天所走的路程构成公比q=的等比数列，记为数列{an}，且前6项的和为378，则=378，解得a1=192，则a6=a1q5=6，即第6天走了6里路。故选D。
4.【答案】C
【解析】因为a66<0，a67>0，且>，所以a67>-a66，且公比d>0，即a66+a67>0，所以S132=66（a1+a132）=66（a66+a67）>0，S131==131a66<0，所以使Sn>0的n的最小值为132，故选C。
5.【答案】6
【解析】因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。又因为Sn＝126，所以＝126，所以n＝6。
6.【答案】6
【解析】设等比数列{an}的公比为q。
∵{an}是各项均为正数的等比数列，且a2a4=a3，∴=a3，∴a3=1。
又∵q>1，∴a11（n>3），
∴Tn>Tn-1（n≥4，n∈N*），T1<1，T2=a1a2<1，T3=a1a2a3=a1a2=T2<1，
T4=a1a2a3a4=a1<1，T5=a1a2a3a4a5==1，T6=T5·a6=a6>1，故n的最小值为6。
7.【答案】
【解析】设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，
∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴。
8.【解析】（1）由题设得，即。
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列。
由题设得，即。
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列。
（2）由（1）知，，。
所以，
。
等比数列巧算技巧
重点 等比数列的通项公式，等比数列的性质，以及等比数列前n项和
难点 等比数列有关性质的灵活应用
考试要求 考试 题型 选择 填空 解答 难度 中等
类型一：等比数列的性质及应用
例题1 已知等比数列{an}各项均为正数，若a3a8+a4a7=18，则
。
【思路分析】首先根据对数的运算性质，计算对数之和，然后根据等比数列的性质计算a4a7，然后计算得出结果。
【答案】20
【解析】由a3a8+a4a7=18，得a4a7=9，所以
=（a1a2…a10）=（a1a10）5=（a4a7）5=95=2log3310=20。
【总结提升】
利用等比数列的性质“若m+n=p+q=2k（m，n，p，q，k∈N*），则有aman=apaq=ak2”，或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算。
例题2 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1+a3=，a2+a4=，则=（　　）
A. 4n-1 B. 4n-1 C. 2n-1 D. 2n-1
【思路分析】利用已知条件求解数列的通项公式和前n项和公式，然后再去做比值，此题可求解出，整体难度在于求等比数列的首项和公比。
【答案】D
【解析】设等比数列{an}的公比为q，所以q=，所以a1+a3=a1（1+q2）=a1，解得a1=2，所以an=2×=，Sn=，所以，故选D。
【总结提升】等比数列的有关计算中，有时候公比的计算和首项的计算对整个解题起到至关重要的作用。
类型二：等比数列前n项和的有关计算
例题3　等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
【思路分析】 本题考查了等比数列前n项和的性质．根据题意列出方程求出S奇，S偶，再由S偶/S奇求得公比q.
【解析】　由题意知：
∴
∴公比q＝＝＝2.
【总结提升】本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃而解．
常见易错问题剖析
已知数列{}的首项为1，为数列的前n项和，，其中q>0，，若成等差数列，求的通项公式。
【错解】依题意，解得，因为，
所以是一个等比数列，所以。
【错因分析】由前3项成等比数列，就认为数列为等比数列。
【正解】由已知， 两式相减得到：，
又由得到，故对所有都成立。
所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列。从而。
由成等差数列，可得，即，
则，由已知，故。
所以。
1. 等比数列的概念以及通项公式；
2. 等比数列的有关性质，通过性质简化等比数列的有关运算；
3. 等比数列的前n项和公式，以及前n项和的有关性质，从而简化计算。
（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…。此数列是（　　）
A. 公比为q的等比数列　 B. 公比为q2的等比数列
C. 公比为q3的等比数列 D. 不一定是等比数列
2. 等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（　　）
A. 12 B. 10
C. 8 D. 2＋log35
3. 等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为（　　）
A. 3×10－5 B. 3×29
C. 128 D. 3×5－2或3×29
4. 在等比数列{an}中，a2 012＝8a2 009，则公比q的值为（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
5. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3=13，S6=364，则首项a1=（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1
二、填空题
6. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝________。
7. 已知等比数列{an}中，a2a3a4=1，a6a7a8=64，则a5=　　 　　。
8. 三个数a，b，c成等比数列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差数列，则这三个数依次为________。
三、解答题
**9. 已知等差数列满足，且是的等比中项。
（I）求数列的通项公式；
（II）设，数列的前项和为，求使成立的最大正整数的值。
1.【答案】B
【解析】设新数列为{bn}，{bn}的通项公式为bn＝anan＋1。
所以＝q2，数列{bn}是公比为q2的等比数列。
2.【答案】B
【解析】由a5a6＋a4a7＝18，得2a5a6＝18，即a5a6＝9。
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1·a2·…·a10）＝log3（a5·a6）5＝5log39＝10。
3.【答案】D
【解析】∵a2＝，a4＝a3q，
∴a2＝，a4＝12q。
∴＋12q＝30。即：2q2－5q＋2＝0。
∴q＝或q＝2。
当q＝时，a2＝24，
∴a10＝a2·q8＝24×（）8＝3×2－5；
当q＝2时，a2＝6，
∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29。
4.【答案】A
【解析】法一：a2 012＝a1q2 011，
a2 009＝a1q2 008，
所以a1q2 011＝8a1q2 008，化简得q3＝8，所以q＝2。
法二：因为a2 012＝a2 009·q3，
所以a2 009·q3＝8a2 009，所以q3＝8，q＝2。
5.【答案】C
【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题知
=1+=1+q3==28，解得q=3，又a1（1+q+q2）=13，所以a1=1，故选C。
6.【答案】
【解析】设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，
∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝。
7.【答案】2
【解析】由a2a3a4=1，a6a7a8=64，得=1，=64，所以a3=1，a7=4，因此=a3a7=4。因为a5与a3同号，所以a5=2。
8.【答案】4，12，36
【解析】∵a，b，c成等比数列，公比是q＝3，
∴b＝3a，c＝a·32＝9a。
又由等差中项公式有：2（b＋8）＝a＋c，
∴2（3a＋8）＝a＋9a。∴a＝4。
∴b＝12，c＝36。
9.【解析】（I）设等差数列的公差为，，即，
，，，
是，的等比中项，
，即，解得。
数列的通项公式为。
（II）由（I）得。
，
由，得。
使得成立的最大正整数的值为。

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