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第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第03讲 对数函数
课程标准 重难点
1.理解对数函数的概念；2.掌握对数函数的图象和性质；3.会利用对数型函数的单调性比较大小；4.会解对数不等式，会求对数函数的定义域． 1.了解对数函数的概念2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点3．对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).4..能够对指数大小进行比较
一、对数函数的概念
1.一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 ．
2.对数函数的解析式有何特征？
二、对数函数的图象及性质
1．对数函数的图象及性质
a的范围 0＜a＜1 a＞1
图　象
性　　质 定义域
值域 R
定点 ，即x＝时，y＝
单调性 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．两者的 和 正好互换．
3. 底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象有什么关系？
4. 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝logx(a>0且a≠1)有什么关系？
1．对数函数的图象和性质
(1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)对数函数图象的“记忆”
根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的草图．
(3)在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，①若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；②若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数函数值的正负就很简单了．
2．反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
参考答案
一、1. (0，＋∞)
2. 在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
二、1. (0，＋∞) (1,0) 减函数 增函数
2.定义域 值域
3. 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
4. 在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．
考法01 对数函数的概念
判断一个函数是对数函数的方法
　　
指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；　　　　　　 (2)y＝log6x；
(3)y＝logx5; (4)y＝log2x＋1.
【跟踪训练】1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
2．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2,1)，则f(8)＝________.
考法02 对数函数的定义域
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　　　
(链接教材P130例1)求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝.
【跟踪训练】
函数f(x)＝＋lg(10－x)的定义域为________．
考法03 对数函数的图象
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　　　
(1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
【跟踪训练】1．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　)
A．cC．c2．函数f(x)＝logax(03．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为________．
4．作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
考法04 比较对数值的大小
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．　　　　
(链接教材P133例3)比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
【跟踪训练】1．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.44＜log0.46　　　　 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67
2．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
考法05 求解对数不等式
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．　　　　
解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0且a≠1)．
【跟踪训练】
1．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为__________．
2．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为________．
题组A 基础过关练
1．已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
5．设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减
6．为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（ ）小时．（参考数据ln10≈2.3）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
8．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度()，其中()是喷流相对速度，()是火箭(除推进剂外)的质量，()是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为400，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了900()，则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（ ）(参考数据：，)
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
1．函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递増
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
2．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍
B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C．向上平移一个单位长度
D．向下平移一个单位长度
3．设函数，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，则______．
5．已知函数是的递减函数，则实数的取值范围是___________.
6．已知函数，函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．
（1）写出的解析式：
（2）若，时，总有成立，求实数m的取值范围．
7．已知函数（且）的图象过点
（1）求的值.
（2）若.
（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递增区间.
8．已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
题组C 培优拔尖练
1．设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
2．某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．
3．已知函数的定义域为，值域为，用含的表达式表示的最大值记为，最小值记为，设.
（1）若，则___________；
（2）当时，的取值范围为___________.
4．已知定义在上的偶函数满足，且当时，．
（1）__________；
（2）若对于任意，都有，则实数的取值范围为__________．
5．已知函数是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若对于任意x恒成立，求实数b的取值范围．
6．若函数与对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间D上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间（）上的“阶自伴函数”，求的最小值；
（3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数a的取值范围.
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
第03讲 对数函数答案
课程标准 重难点
1.理解对数函数的概念；2.掌握对数函数的图象和性质；3.会利用对数型函数的单调性比较大小；4.会解对数不等式，会求对数函数的定义域． 1.了解对数函数的概念2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点3．对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1).4..能够对指数大小进行比较
一、对数函数的概念
1.一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是 ．
2.对数函数的解析式有何特征？
二、对数函数的图象及性质
1．对数函数的图象及性质
a的范围 0＜a＜1 a＞1
图　象
性　　质 定义域
值域 R
定点 ，即x＝时，y＝
单调性 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．两者的 和 正好互换．
3. 底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象有什么关系？
4. 对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝logx(a>0且a≠1)有什么关系？
1．对数函数的图象和性质
(1)讨论对数函数的性质时，若底数a的大小不确定，必须分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论．
(2)对数函数图象的“记忆”
根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点，(1,0)，(a,1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的草图．
(3)在对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)中，①若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；②若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0.以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．有了这个规律，我们判断对数函数值的正负就很简单了．
2．反函数的性质
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称．
(2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域．
参考答案
一、1. (0，＋∞)
2. 在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．
二、1. (0，＋∞) (1,0) 减函数 增函数
2.定义域 值域
3. 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．
4. 在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图象与y＝logx(a>0且a≠1)的图象关于x轴(即直线y＝0)对称．
考法01 对数函数的概念
判断一个函数是对数函数的方法
　　
指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3log2x；　　　　　　 (2)y＝log6x；
(3)y＝logx5; (4)y＝log2x＋1.
【解析】(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式log2x后又加上1，不是对数函数．
【跟踪训练】1．函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
【答案】1
【解析】a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.
又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
2．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2,1)，则f(8)＝________.
【答案】3
【解析】依题意知1＝loga2，所以a＝2，
所以f(x)＝log2x，
故f(8)＝log28＝3.
考法02 对数函数的定义域
求对数型函数定义域的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.　　　
(链接教材P130例1)求下列函数的定义域：
(1)y＝log5(1－x)；
(2)y＝；
(3)y＝.
【解析】(1)要使函数式有意义，需1－x>0，解得x<1，所以函数y＝log5(1－x)的定义域为(－∞，1)．
(2)要使函数式有意义，需解得x<4，且x≠3，所以函数y＝的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．
(3)要使函数有意义，需满足即解得－1＜x＜0，因此函数y＝的定义域为(－1,0)．
【跟踪训练】
函数f(x)＝＋lg(10－x)的定义域为________．
【答案】(1,10)
【解析】由题意可得解得1＜x＜10，故定义域为.
考法03 对数函数的图象
有关对数型函数图象问题的应用技巧
(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．
(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．
(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．　　　　
(1)当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为(　　)
(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
【解析】(1)y＝a－x＝x，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在(－∞，＋∞)上是减函数，过定点(0,1)；对数函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1,0)．故选C.
(2)因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f(x)＝log5|x|＝
所以函数y＝log5|x|的图象如图所示．
【跟踪训练】1．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　)
A．cC．c【答案】A
【解析】在图中作出直线y＝1，则1＝logax1,1＝logbx2,1＝logcx3,1＝logdx4，解得x1＝a，x2＝b，x3＝c，x4＝d，由图可知x2>x1>1>x4>x3，即c2．函数f(x)＝logax(0【答案】B
【解析】在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(03．若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为________．
【答案】-2,2
【解析】∵函数的图象恒过定点(3,2)，
∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.
又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，
∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.
4．作出函数y＝|log2(x＋1)|的图象．
【解析】第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝log2(x＋1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
考法04 比较对数值的大小
比较对数值大小时常用的4种方法
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较．
(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．　　　　
(链接教材P133例3)比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2；
(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；
(3)log30.2，log40.2；
(4)log3π，logπ3.
【解析】(1)因为函数y＝ln x在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln 0.3＜ln 2.
(2)当a＞1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
综上所述，当a＞1时，loga3.1＜loga5.2；
当0＜a＜1时，loga3.1＞loga5.2.
(3)因为0＞log0.23＞log0.24，所以＜，
即log30.2＜log40.2.
(4)因为函数y＝log3x是增函数，且π＞3，
所以log3π＞log33＝1.
同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.
【跟踪训练】1．下列式子中成立的是(　　)
A．log0.44＜log0.46　　　　 B．1.013.4＞1.013.5
C．3.50.3＜3.40.3 D．log76＜log67
【答案】D
【解析】因为y＝log0.4x为减函数，故log0.44＞log0.46，故A错；因为y＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B错；由指数函数图象特点知，3.50.3＞3.40.3，故C错．
2．已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【答案】D
【解析】∵0＜a＝2－＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＞log＝1，∴c＞a＞b.故选D.
考法05 求解对数不等式
常见对数不等式的2种解法
(1)形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解．　　　　
解不等式：
(1)log2(2x＋3)≥log2(5x－6)；
(2)loga(x－4)－loga(2x－1)＞0(a＞0且a≠1)．
【解析】(1)原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
(2)原不等式化为loga(x－4)＞loga(2x－1)．
当a＞1时，
不等式等价于 无解．
当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为 ；当0＜a＜1时，解集为{x|x＞4}．
【跟踪训练】
1．不等式log(5＋x)＜log(1－x)的解集为__________．
【答案】(－2,1)
【解析】因为函数y＝logx在(0，＋∞)上是减函数，
所以解得－2＜x＜1.
2．若loga(3a－1)恒为正，则a的取值范围为________．
【答案】∪(1，＋∞)
【解析】由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.
当a＞1时，y＝logax是增函数，
∴解得a＞，∴a＞1；
当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，
∴解得＜a＜.∴＜a＜.
综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
题组A 基础过关练
1．已知函数为上的奇函数，当时，；若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，由奇函数的性质知，
，，函数单调递减；
又，，
则
由函数单减知，，故选：D
2．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为在上单调递增，所以，即；
因为在上单调递增，所以，即；
因为在上单调递增，所以，即；
因此，故选：D
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先，，
因为，，所以，所以，因为，所以.故选：A.
4．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要使函数有意义，只需，即，解得或．故选：．
5．设函数，则（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增 D．是奇函数，且在上单调递减
【答案】B
【解析】函数的定义域为，又，所以为奇函数.当时，，随着增大，增大，所以单调递增.当时，，随着增大，减小，单调递减.
故选:.
6．为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为0.001mg/kg，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照y＝ae﹣x的函数关系降解，其中x的单位为小时，y的单位为mg/kg．该农药的喷洒浓度为2mg/kg，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要（ ）小时．（参考数据ln10≈2.3）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由题意知，当x＝0时，y＝2，
所以2＝a e﹣0，解得a＝2，
所以y＝2e﹣x，
要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，则2e﹣x≤0.001，
解得x≥﹣ln＝3ln10+ln2≈3×2.3+ln2＝6.9+ln2，
因为ln＜ln2＜lne，即0.5＜ln2＜1，
所以6.9+ln2∈（7.4，7.9），
所以要使该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要8小时．
故选：D．
7．设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
8．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度()，其中()是喷流相对速度，()是火箭(除推进剂外)的质量，()是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.已知甲型火箭的总质比为400，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷流相对速度提高了，最大速度增加了900()，则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为（ ）(参考数据：，)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设改进前的速度为，则，
，故选：．
题组B 能力提升练
1．函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递増
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】要使函数有意义，则，故A正确；
，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；
由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；
令，解得，所以关于直线对称，故D正确.故选：AD
2．为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍
B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C．向上平移一个单位长度
D．向下平移一个单位长度
【答案】BC
【解析】由题意函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，
可得到函数的图象，则错误，B正确；
因为，
则将函数的图象向上平移一个单位可得到函数的图象，
则C正确，D错误.故选：BC.
3．设函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】函数，定义域为，
，
所以为奇函数，所以，
当时，由复合函数的单调性可知单调递增，
因为，
所以，
结合选项可知A，B正确.
故选：AB.
4．已知函数，则______．
【答案】1
【解析】由题意，，则，
所以.
故答案为：.
5．已知函数是的递减函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】要使函数是的递减函数，
只需，
当时，不成立；
当时，可化为，解得：，
即实数的范围是.
故答案为：.
6．已知函数，函数的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数的图象．
（1）写出的解析式：
（2）若，时，总有成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，设是函数图象上的任意一点，
则P关于原点的对称点Q的坐标为，
因为已知点Q在函数的图象上，
所以，而，
所以，所以，
而是函数图象上的点，
所以．
（2）当时，
，
下面求当时，的最小值，
令，则，
因为，即，解得，
所以，
又，所以，
所以，
所以时，的最小值为0，
因为当时，总有成立，
所以，即所求m的取值范围为．
7．已知函数（且）的图象过点
（1）求的值.
（2）若.
（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递增区间.
【解析】（1）由条件知，即，又且，所以；
（2）.
（i）由得，故的定义域为.
因为，故是偶函数；
（ii），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为.
8．已知.
（1）解不等式：；
（2）若在区间上的最小值为，求实数a的值.
【解析】（1）或；
（2）令，则
在区间上的最小值，在上的最大值为4，
当时，，；
当，，.
综上，或
题组C 培优拔尖练
1．设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【解析】因为是奇函数，故 图像关于 对称，
由题设，因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即 ，即 且 ，
解得取值范围为.故答案为：
2．某同学向王老师请教一题：若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．王老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号，且在有零点”．根据王老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，，由可得，
由于不等式恒成立，当且仅当时取等号，且存在，使得，
所以，，当且仅当时，等号成立，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．已知函数的定义域为，值域为，用含的表达式表示的最大值记为，最小值记为，设.
（1）若，则___________；
（2）当时，的取值范围为___________.
【答案】
【解析】（1）当时，，所以此时函数单调递减，
当时，，所以此时函数单调递增，且，
当时，函数的定义域为，值域为，当或，
当时，显然存在，故不符合题意；
当时，要想值域为，则有，此时；
当时，要想值域为，则有，此时；
当时，有，所以值域不可能是，不符合题意，
故；
（2）当时，因为，所以，不符合题意；
当时，要想值域为，必有，
，令，
因为，所以，
，设，
因为函数在时单调递减，在时单调递增，
，，
此时的取值范围为；
当时，要想值域为，必有，有最大值，没有最小值，故不符合题意；
当时，，不符合题意，
综上所述：的取值范围为；
4．已知定义在上的偶函数满足，且当时，．
（1）__________；
（2）若对于任意，都有，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】（1）由于函数满足，
将代入可得，.
当时，，则，解得；
（2）由于函数为上的偶函数，且满足，
，可得，，可得出，
所以，函数是周期为的周期函数.
当时，，则，
所以，当时，，
因为，，可得，
当时，，则，
，
由于函数为上的偶函数，则，
作出函数的图象如下图所示：
由，可得，对任意的恒成立，
当时，则有，解得，，
即对任意的恒成立.
当时，由可得，
由于函数在区间上单调递减，则，即；
由可得，由于函数在区间上单调递增，
则，.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：；.
5．已知函数是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若对于任意x恒成立，求实数b的取值范围．
【解析】（1）因为函数是偶函数，
所以 ，即 ，
，
解得 .
（2）对于任意x恒成立，即，
亦即对于任意x恒成立，
令，
则有
，
因为 ，，所以，
即 ，故 .
6．若函数与对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间D上的“阶伴随函数”；当时，则称为区间D上的“阶自伴函数”.
（1）判断是否为区间上的“阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若函数为区间（）上的“阶自伴函数”，求的最小值；
（3）若是在区间上的“阶伴随函数”，求实数a的取值范围.
【解析】（1），，
当时，，再由，
得，
，
故根据“阶自伴函数”定义得，
不是区间上的“阶自伴函数”.
（2）由函数为区间（）上的“阶自伴函数”，
所以，且对任意，
总存在唯一的使得成立；
所以对任意，总存在唯一的使得，
因为函数为单调递增函数，
所以对任意，总存在唯一的使得，
所以对任意，总存在唯一的使得，
所以，所以，即：，
又因为，所以
则，
，
所以的最小值为；
（3）由函数在区间的值域为，
因为是在区间上的“阶伴随函数”，
则对任意的，总存在唯一的时，使得成立，
所以，
即在区间上的值域必定包含区间，
且值域在对应的自变量是唯一的，
又因为函数开口向上，对称轴为，
1)当时，在区间上单调递增，则必有：
，解得：；
2)当时，在区间上单调递减，则必有：
，解得；
3）当时，在上单调递减，在上单调递增，则必有：
，解得：，
4）当时，在上单调递减，在上单调递增，则必有：
，解得：.
综上所述，可得的范围：.
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