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2022-2023学年人教版九年级上册数学期末复习试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．已知tanα＝，则α＝（　　）
A．60° B．30° C．45° D．90°
2．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
4．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（　　）
A．点N B．点O C．点M D．点P
5．反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，如果EF＝8，AD＝2，则⊙O半径是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里放有四个完全一样的球，标号分别为1、2、3、4；乙袋子里装有三个完全一样的球，标号分别为1、2、3，分别从甲、乙两个袋子里各拿出一个球，两个球标号相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x+2n﹣4的图象只经过三个象限，则n的取值范围是（　　）
A．n≥0 B．n≤2 C．0≤n≤2 D．0＜n≤2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．如图，地面A处有一盏射灯，小超在A与墙BC之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离射灯的距离的变大而 　 　.（填“变大”“变小”或“不变”）
10．若正六边形的外接圆半径为4，则此正六边形的边长为　 　．
11．表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：
移植的棵数n 200 500 800 2000 5000 12000
成活的棵数m 187 446 730 1790 4510 10836
成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.902 0.903
由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为 　 　．（精确到0.1）
12．如图，直线y＝x+k和双曲线y＝（k为正整数）交于A，B两点，当k＝1时，△OAB的面积记为S1，当k＝2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k＝n时，△OAB的面积记为Sn，若Sn＝60，则n的值　 　．
13．如图，菱形ABCD中，AC为对角线，E为AD上一点，过点E作EH⊥AC于点H，延长EH分别交AB和CB的延长线于点M、F，若AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为 　 　．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）计算：4sin60°﹣3tan30°+2cos45°．
15．（5分）（x+4）2＝5（x+4）．
16．（5分）如图，在Rt△ABC中，求∠A的正弦值．
17．（5分）已知线段a，c．
（1）用尺规作一个Rt△ABC，使△ACB＝90°，BC＝a，AB＝c．
（2）在（1）中所画的Rt△ABC中，若a＝2，c＝2.5，求AC的长．
18．（5分）一块直角三角形木料板的一条直角边AB长3m，面积为6m2，现要把它加工成一个面积较大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图（a）、（b），请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好．（加工损耗忽略不计，结果可保留分数）
19．（5分）如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形FECG，点B与点E对应，点E恰好落在AD边上，BH⊥CE交于点H，求证：BH＝CD．
20．（5分）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目；
（2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？
（3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？
21．（6分）开学初，晨光文具店销售一款书包，每个成本是50元，销售期间发现：销售单价时100元时，每天的销售量是50个，而销售单价每降低一元，每天就可多售出5个，当销售单价为多少元时，每天的销售利润达到4000元？要求销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客．
22．（7分）数学兴趣小组在合肥包河公园清风阁前平地上选取一点A作为观测点竖立一根长1.8m的测杆AD，观测清风阁顶N的仰角为45°，将测杆AD向清风阁的方向平移8m到达BC位置，此时观测阁顶N的仰角为51.4°，计算清风阁的高度MN．（结果精确到1m，参考数据：sin51.4°≈0.78，cos51.4°≈0.62，tan51.4°≈1.25）
23．（7分）有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，放在一个口袋中，随机的摸出一个小球然后放回，再随机的摸出一个小球．
（1）求两次摸出的球的标号相同的概率；
（2）求两次摸出的球的标号的和等于4的概率．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC，CN与⊙O相切，OM⊥AB，分别交AC，CN于点D，M．
（1）试猜想线段MD与MC的数量关系，并说明理由；
（2）连接BC，若AC＝6，∠B＝60°，求弧AC的长．
25．（8分）已知抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点，将抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）请直接写出四边形ABMN的面积；
（3）将抛物线C平移到抛物线C'，点A的对应点为点A'、点B的对应点为点B′且在x轴上，如果四边形ABB'A'的面积为9，求抛物线C′的表达式．
26．（10分）问题提出
鱼是人们喜欢吃的一种高蛋白质食物，所以谁都希望买到物美价廉的鱼．假定现在商店出售某种鱼以大小论价，大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元．如果大鱼的高度为13厘米，小鱼的高度为10厘米（如图1），那么买哪种鱼更便宜呢？
有人可能觉得大鱼A和小鱼B高度之比为13：10，差不了许多，而小鱼的价格却比大鱼便宜许多，因此，买小鱼比较合算，这种想法是合理的吗？我们还是用数学的眼光来论证分析一番吧!
数学建模
在学习相似图形中，我们已经知道以下两个数学模型：相似形周长的比等于相似比；相似形面积的比等于相似比的平方．从这两个数学模型，我们自然会想到：相似的两个立体的体积之比与它们的相似比有什么关系呢？我们先从简单的、具体的问题入手，再进行归纳总结，得出一般性结论．
探究一：如图2是两个长方体，它们的长、宽、高对应成比例，我们把它们定义为相似长方体．假设它们的相似比为3：5，求它们的体积之比．
解：设甲长方体的长、宽、高分别为3a、3b、3c；乙长方体的长、宽、高分别为5a、5b、5c．
则长方体甲的体积是V甲＝　 　，V乙＝　 　，所以＝　 　．
结论一：两个相似长方体的体积之比等于相似比的　 　．
探究二：如图3，两个圆柱的高和底面半径对应成比例，我们称之为相似圆柱．假设相似圆柱的相似比为2：3，求它们的体积之比．
解：　 　．
由此得到结论二：两个相似圆柱的体积之比等于它们相似比的　 　．
数学模型
根据上述结论1与结论2，我们可以归纳概括出更一般性的结论是：
两个相似立体体积之比等于它们相似比的　 　．
数学模型应用
有了上面的数学模型，我们回到一开始提出的问题，是买小鱼便宜，还是买大鱼便宜呢？为了研究问题的方便，我们不妨假定同一种鱼的体形是相似形．
解：　 　．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．解：∵tanα＝，
∴α＝60°，
故选：A．
2．解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，
所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体，故选：B．
3．解：根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4k2＞0，
解得k＜，
所以k的最大整数值为0．
故选：C．
4．解：如图，因为位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，
所以位似中心在M、N所在的直线上．
因为点P在直线MN上，
所以点P为位似中心．
故选：D．
5．解：∵反比例函数y＝的图象在第一、第三象限，
∴1﹣m＞0，
∴m＜1，
符合条件的答案只有A，
故选：A．
6．解：连接OE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点D，EF＝8，
∴DE＝DF＝EF＝4，∠EDO＝90°，
在Rt△EDO中，由勾股定理得：OE2＝DE2+OD2，
即OE2＝42+（OE﹣2）2，
解得：OE＝5，
即⊙O半径的长是5，
故选：C．
7．解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中两个球标号相同的结果有3个，
∴两个球标号相同的概率为＝，
故选：B．
8．解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+2n﹣4的图象只经过三个象限，
∴开口方向向下，其对称轴为x＝﹣2，
则≥0，2n﹣4≤0，
解得0＜n≤2．
故选：D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和离射灯的距离变化规律是：
离射灯的距离越近，影长越长，离射灯的距离越远影长越短．
则他在墙上投影长度随着他离射灯的距离变大而变小．
故答案为：变小．
10．解：∵正六边形的外接圆半径与边长相等，
∴正六边形的边长为4．
11．解：根据表格数据可知：
苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，
所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
12．解：①当k＝1时，直线y＝x+k和双曲线y＝化为：y＝x+1和y＝，
故，解得：或；
∴A（1，2），B（﹣2，﹣1），
当k＝2时，同理可得：A（1，3），B（﹣3，﹣1），
当k＝2时，设直线AB的解析式为：y＝mx+n，则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+2；
②根据三角形面积公式：
当k＝1时，S1＝×1×（1+2）＝，
当k＝2时，S2＝×2×（1+3）＝4，
…
当k＝n时，Sn＝n（1+n+1）＝n2+n＝60，
解得：n＝10，
故答案为10．
13．解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
而DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，
由AE：FB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，
∴AE：CF＝x：5x＝1：5，
∵AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，
∴AH：AC＝1：6．
故答案为：1：6．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．解：原式＝4×﹣3×+2×
＝2﹣+
＝+．
15．解：（x+4）（x+4﹣5）＝0
（x+4）（x﹣1）＝0
∴x1＝1，x2＝﹣4
16．解：由勾股定理得，
AB＝＝17，
∴sinA＝＝．
17．解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）在Rt△ABC中，AC＝＝＝1.5．
18．解：∵AB＝3 m，S△ABC＝，∠B＝90°，
∴BC＝4 m，AC＝＝5m，
甲同学：设正方形的边长为am，
则DE＝BD＝am，CD＝BC﹣BD＝（4﹣a） m，
由正方形的性质得：DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，即，
解得a＝，
则正方形的面积为，
在乙的方法（图b）中，过点B作BM⊥AC于点M．设正方形的边长为x，
∴直角△ABC中，AC边上的高BM＝＝2.4m．
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝m．
则正方形的面积为，
因，
则甲同学的加工方法更好．
19．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠BCH，
∵∠D＝90°，BH⊥AC，
∴∠D＝∠BHC，
由旋转得，CE＝CB，
在△EDC和△CHB中，
，
∴△EDC≌△CHB（AAS），
∴BH＝CD．
20．解：（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y＝，
把（5，1.8）代入关系式得1.8＝，
∴k＝9，
∴y＝，
∴12﹣9＝3（万元）．
答：首付款为3万元；
（2）当x＝20时，y＝＝0.45（万元），
答：每月应付0.45万元；
（3）当y＝0.4时，0.4＝，
解得：x＝，
答：他至少23个月才能结清余款．
21．解：设销售单价为x元时，每天的销售利润达到4000元，由题意得，
（x﹣50）[50+5（100﹣x）]＝4000，
解得x1＝70，x2＝90，
∵晨光文具店销售单价不低于成本，且商家尽量让利顾客，
∴x＝70，
答：销售单价为70元时，每天的销售利润达到4000元，且商家尽量让利顾客．
22．解：延长DC交MN于点E，
由题意可知∠ECN＝51.4°，∠EDN＝45°，CD＝8m，AD＝BC＝EM＝1.8m，
∴EN＝ED，
在Rt△ENC中，，
设CE＝xm，则EN＝tan51.4° x＝1.25x（m），
∵CD+CE＝EN，
∴8+x＝1.25x，
∴x＝32，
∴EC＝32（m），
∴EN＝1.25x＝1.25×32＝40（m），
∴MN＝EN+EM＝40+1.8＝41.8≈42（m）．
答：清风阁的高度MN为42m．
23．解：（1）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号相同的结果有4种，
∴两次摸出的球的标号相同的概率为＝；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球的标号的和等于4的结果有3种，
∴两次摸出的球的标号的和等于4的概率为．
24．（1）解：MD＝MC．
理由：连接OC，
∵CN与⊙O相切；
∴OC⊥CN，
即∠OCM＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°；
∵OM⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠OAC+∠ODA＝90°，
∵OA＝OC；
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACM＝∠ODA，
又∵∠ODA＝∠CDM，
∴∠ACM＝∠CDM，
∴MD＝MC；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC，
∵AC＝6，
∴62+BC2＝（2BC）2，
∴BC＝2，
即AB＝4，
∴，
∵∠AOC＝2∠B＝120°，
∴弧AC的长为．
25．解：（1）∵抛物线C：y＝﹣x2+bx+c经过A（1，0）和B（0，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线C的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴M（﹣1，4），N（﹣1，0），
∴四边形ABMN的面积为：（4+3）×1+＝5．
（3）由题意可知，抛物线向下平移的3个单位，且△ABB′的面积为，
∴AB′×OB＝， AB′×3＝，
∴AB′＝3，
∴C′的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1或y＝﹣（x+3）2+1．
26．解：数学建模
探究一：设甲长方体的长、宽、高分别为3a、3b、3c，乙长方体的长、宽、高分别为5a、5b、5c，
∴V甲＝3a×3b×3c＝27abc，
V乙＝5a×5b×5c＝125abc，
∴＝＝，
∵＝（）3，
∴结论1：两个相似长方体的体积之比等于相似比的立方，
故答案为：27abc，125abc，，立方；
探究二：设小圆柱的高和底面半径分别为2h、2r，大圆柱的高和底面半分别为3h、3r，
∴V小＝π（2r）2×2h＝8πr2h，
V大＝π（3r）2×3h＝27πr2h，
∴＝＝＝（）3，
∴结论2：两个相似圆柱的体积之比等于它们相似比的立方；
故答案为：设小圆柱的高和底面半径分别为2h、2r，大圆柱的高和底面半分别为3h、3r，
∴V小＝π（2r）2×2h＝8πr2h，
V大＝π（3r）2×3h＝27πr2h，
∴＝＝＝（）3；立方；
数学模型
根据上述结论1与结论2，我们可以归纳概括出更一般性的结论是：
两个相似立体体积之比等于它们相似比的立方，
故答案为：立方；
数学模型应用
∵大鱼A和小鱼B高度之比为13：10，同一种鱼的体形是相似形，
∴大鱼A和小鱼B的相似比为13：10，
∴大鱼A和小鱼B的体积之比为：（）3＝2.197，
∵大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元，
∴大鱼A和小鱼B的价格之比为：＝1.5，
∴买大鱼比买小鱼合算，
∴买大鱼便宜；
故答案为：∵大鱼A和小鱼B高度之比为13：10，同一种鱼的体形是相似形，
∴大鱼A和小鱼B的相似比为13：10，
∴大鱼A和小鱼B的体积之比为：（）3＝2.197，
∵大鱼A每斤1.5元，小鱼B每斤1元，
∴大鱼A和小鱼B的价格之比为：＝1.5，
∴买大鱼比买小鱼合算，
∴买大鱼便宜．

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