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专题 等腰三角形及等边三角形判定与性质常考题型
【考点1 寻找构成等腰三角形的点的个数】
方法点拨：已知边即可为腰也可为底边，而已知边为腰时，它的两个端点即可以作顶角顶点也可作底角顶点，因此解决这类问题的关键是充分考虑，细致分类，而在确定具体点的过程中，辅助圆（圆弧）起到了举足轻重的作用。
1．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰直角三角形，则点的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】A
【分析】分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可．
【详解】解：如图，分情况讨论：
①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个；
②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
共有6个．
故选：A
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
2．在中，，，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，的角平分线交AB于点F则图中等腰三角形的个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据题意可得 为等腰三角形，再由线段垂直平分线的性质可得 是等腰三角形，从而得到，继而 ，则 是等腰三角形，，和是等腰三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，是等腰三角形，
∵DE是AC的中垂线，
∴，，是等腰三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，是等腰三角形，
∵DF平分，，
∴，且，
∴
∴是等腰三角形
∵，
∴是等腰三角形．
故选B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
3．如图，已知，点、是射线上的两个动点，且，点是边上的点，若使点、、构成等腰三角形的点恰好只有一个，则的取值范围是__________．
【答案】或
【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可．
【详解】设，则，
如图1，当时，即，
以为圆心，以4为半径的弧交于点，此时，
则点，，构成的是等边三角形，则此时构成等腰三角形的点恰好只有一个．
如图2．当时，即，
过点作于点，
∵，
∴．
∴，
作的垂直平分线交于点，则．
此时，以，，构成的等腰三角形的点恰好有2个．
则当时，以，，构成的等腰三角形恰好只有一个．
综上，的取值范围是或．
故答案为：或
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，主要通过数形结合的思想解决问题，解题关键在于熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法．
4．顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，、、是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
【答案】6
【分析】设与、交于M、N，证明是黄金三角形，同理可求得，，则、、、，也是黄金三角形，即可得到答案．
【详解】解：设与、交于M、N，
是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴是黄金三角形，
同理可求：，，
∴、、、，也是黄金三角形．则图中黄金三角形个数有6个．
故答案：6．
【点睛】此题考查了正五边形的性质和黄金三角形的定义．注意：此图中所有顶角是锐角的等腰三角形都是黄金三角形．
5．在平面直角坐标系中的位置如图所示，、、三点在格点上．
(1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标；
(2)在轴上求作点，使得最小，直接写出点坐标；
(3)若为等腰三角形，且点在轴上，则满足题意的点的个数有______个．
【答案】(1)图形见详解，的坐标为：
(2)点坐标
(3)3
【分析】（1）根据对称的性质作图即可，再根据图形即可写出点的坐标；
（2）作B点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，问题随之得解；
（3）以B为圆心，为半径画圆，交y轴于点，，作的垂直平分线交y轴于点，即点P在，，时可以使得为等腰三角形，问题得解．
【详解】（1）作图如下：
即为所求，点的坐标为：．
（2）作B点关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，如图，
由图可知D点坐标为：．
证明：根据B点关于y轴的对称为点，则有：，
即，
显然：当A、D、三点共线时最小，最小为，即D点即为所求；
（3）以B为圆心，BC为半径画圆，交y轴于点，，作的垂直平分线交y轴于点，即点P在，，时可以使得为等腰三角形，如图，
即满足要求的点有3个．
证明：根据作图可知：，，，
即，，是等腰三角形，即满足要求的P点有3个．
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换，最短路径问题以及等腰三角形的定义等知识，掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
【考点2 利用三线合一求值】
方法点拨：利用“三线合一”求角的度数：在做这种题时，需同学们根据其中一线推出是顶角平分线，再根据三角形内角和为180度可得角的度数
利用“三线合一”求线段的长：在做这种题时，需同学们根据其中一线推出是底边上的中线，再根据垂直平分线的性质、边之间关系的转化得出答案，（注意线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
1．如图，，E，F分别为，的中点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得和是等腰三角形，根据E，F分别为，的中点，得，，即可得，即可得．
【详解】解：∵，
∴和是等腰三角形，
∵E，F分别为，的中点，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉等腰三角形的三线合一．
2．如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】沿长与交于点D，利用等腰三角形的三线合一快速得到点P是线段中点，利用中线平分面积的性质解题即可．
【详解】解：沿长与交于点D，
∵平分，，
∴点P是线段中点，
∴，，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及中线的性质，能够熟练的构造等腰三角形是解题关键．
3．如图，在中，，，垂足为点，点，是上的两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在和中，，
∴，
∴的面积的面积，
∵的面积为6，，
∴的面积的面积，
∴图中阴影部分的面积的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，中，，为上一点，是上一点，且，，若，则的长是______．
【答案】
【分析】过点作，垂足为；根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，从而利用证明，进而可得，最后利用等腰三角形三线合一的性质进行计算即可；
【详解】解：如图，过点作，垂足为；
∴
∴
∵
∴
∴
又∵，
∴（）
∴
∵，；
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练根据等腰三角形三线合一的性质构造全等三角形是解题的关键．
5．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．
(1)若，求的度数；
(2)若周长，，求的长．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）利用垂直平分线的性质及外角相关的知识点解题即可．
（2）利用等腰三角形与垂直平分线的性质解题即可．
【详解】（1）解：∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵周长，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，能够熟练利用垂直平分线的性质是解题关键．
【考点3 利用三线合一证明】
方法点拨：利用“三线合一”说明线段（角）相等：在做这种题时，除了我们需要利用“三线合一”之外，还要通过做辅助线构造全等证明结论
利用“三线合一”说明垂直：我们也需要做辅助线构造全等
利用“三线合一”说明线段的倍数关系（构造三线法）
利用“三线合一”说明线段的和差关系（构造三线法）
1．如图，在等腰中，是边的中点，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质以及是边的中点，得出，，，根据可推出，即可解答．
【详解】解：∵为等腰三角形，
∴，，
故②正确；
又∵是边的中点，
∴，，
∴
故③④正确
在∴中
∴，故①正确
故选：D
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握这些知识是解题关键．
2．如图所示，在中，，，是边上的高，E是上一动点，P是上的一个动点，当与的和最小时，的度数为_____．
【答案】##105度
【分析】连接，过点B作于点F，交于点，根据等腰三角形的性质可证得，从而得到，进而得到，且当点E与点F重合时，与的和最小，再由四边形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点B作于点F，交于点，
∵，，是边上的高，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且当点E与点F重合时，与的和最小，
∵，即，
∴，
即当与的和最小时，的度数为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．如图，的面积是，，的长为，为的中点，的垂直平分线交于点，交于点，交于点，则的值为______．
【答案】
【分析】由等腰三角形的性质得出，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，据此可得出答案．
【详解】解：是等腰三角形，点是边的中点，
，
，
解得：，
是线段的垂直平分线，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
4．如图，在中，于点D．若点E在边上，交的延长线于点F．求证：．
【答案】见解析
【分析】由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，则可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．阅读理解：如图，等腰直角 中，，点 分别在坐标轴上．
(1)如图①，过点 作 轴于点 ，若点 的横坐标为 ，求点 的坐标．
(2)如图②，将摆放至轴恰好平分 交轴于点 ，过点 作 轴于点 ，求 的值．
(3)如图③，若点A坐标为 ，分别以 为直角边在第一、第二象限作等腰 与等腰 ，连接 交 轴于点 ．当 点在 轴正半轴上移动时，的长度是否会发生改变？若改变，请说明理由，若不改变，请直接写出的长度．
【答案】(1)（0，5）
(2)
(3)2
【分析】（1）过点作轴于点，根据余角的性质，得出，证明，得出，即可得出答案；
（2）分别延长相交于点，根据“”证明，得出，根据等腰三角形的性质，得出，即可得出答案；
（3）作轴于G，证明，得到，，证明，得到，得到答案．
【详解】（1）解：轴，
，
（同角的余角相等），
轴，，
（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），
（全等三角形的对应边相等），
点的横坐标为，
，
点在轴上，
点的坐标是．
（2）解：分别延长相交于点，如图所示：
轴，
，
，
，
（等角的余角相等），
，
（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），
（全等三角形的对应边相等），
平分 轴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
．
（3）解：的长度不变，
作轴于G，如图所示：
∵点A的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
【考点4 利用等角对等边证明边长相等】
方法点拨： 证明三角形全等找边相等的方法1、利用等角对等边(注意:必须在同一个三角形中才能考虑)
1．如图，在 中， 平分 ，， ，，则的周长为（　　）
A．2 B．24 C．27 D．3
【答案】C
【分析】根据题意在上截取，连接，由可证≌，可得，，可证，可得，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴≌，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的周长＝，
故选：C．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．如图是跷跷板的示意图，支柱与地面垂直，点O是的中点，绕着点O上下转，当A端落地时，，跷跷板上下可转动的最大角度（即）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当端着地时，如图，即为上下转动的最大角度，利用三角形外角的性质即可解决问题；
【详解】解：当端着地时，如图，即为上下转动的最大角度，
是的中点，
，
．
故选：B．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
3．如图，中，，，与的平分线交于点，过作分别交，于点，．求的周长．请补全以下的解答过程．
解：平分（已知），
（角平分线的定义），
又（已知），
______（______），
_______，
_______（ ）．
同理可得：_______．
的周长
____________．
【答案】，两直线平行，内错角相等；，，等腰三角形的判定；，，．
【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质证明，从而，同理可证，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：平分（已知），
（角平分线的定义），
又（已知），
（两直线平行，内错角相等），
，
（等腰三角形的判定）．
同理可得：．
的周长
．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，，等腰三角形的判定；，，．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质及角平分线的定义，证明和是解答本题的关键．
4．如图，线段AB上两点C、D，，，，连接DE并延长至点M，连接CF并延长至点N，DM，CN交于点P，；
(1)求证：；
(2)求证：是等腰三角形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）由推导出即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明
（2）由得由平行线的性质得所以即可由“等角对等边”证明是等腰三角形．
【详解】（1）
在和中，
；
（2）证明：
∴是等腰三角形．
【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键．
5．（1）如图①，在中，，的平分线相交于点F，过点F作，分别交AB，AC于点D，E．求证：．
（2）如图②，若F是的平分线和的外角的平分线的交点，（1）中的其他条件不变，请猜想线段之间有何数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析；（2），证明见解析
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义，求出和是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．
（2）同（1），只要求出与是等腰三角形即可．
【详解】（1）如图，
∵中、平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴．
（2），理由：
∵分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质以及角平分线的定义；利用等角对等边得出相等的边，进而得出结论是解答本题的基本思路．
6．(1)如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交于点．直接写出线段与，之间的数量关系：___________．
(2)如图，若中的平分线与三角形外角平分线交于点，过点作交于点，交于点．则与，之间的数量关系又如何？说明你的理由．
【答案】(1)；(2)，见解析
【分析】(1)利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可；
(2)利用角平分线与平行线证明和是等腰三角形即可．
【详解】解：(1)∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
(2)，
理由是：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，结合图形找到角与边的关系是解题的关键．
【考点5 利用等角对等边证明】
方法点拨：在同一三角形中等角对等边是对的。就是两相等的角各自对的两条边相等。
1．如图，在中，，的平分线交于点P．按下列要求用直尺和圆规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)过点P作的垂线交于点Q；
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本作图，过P点作的垂线即可；
（2）先根据角平分线的定义得到，再证明得到，所以，然后根据等腰三角形的判定得到结论．
【详解】（1）解：如图，点为所作；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了作垂线，角平分线的定义，平行线的判定和性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关内容，并灵活运用．
2．如图，已知于点C，于点D，交于点E．求证：．
【答案】见解析
【分析】利用证明，可得，即可求证．
【详解】证明：∵，，
∴，即均为直角三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
3．如图，上午8时，一艘船从A处出发，以海里/时的速度向正北方向航行，9时分到达B处．从A处测得灯塔C在北偏西方向，从B处测得灯塔C在北偏西方向．求B处到灯塔C的距离．
【答案】B处到灯塔C的距离为海里
【分析】先求出的距离，然后根据三角形外角的性质得出，最后根据等角对等边即可得出答案．
【详解】解：由题意可得：从到历时时分小时，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里，
即B处到灯塔C的距离为海里．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，根据等角对等边判断等腰三角形，熟练掌握以上知识点是解本题的关键．
4．为等腰直角三角形，，点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，．
(1)如图1，作于，求证：；
(2)如图1，在（1）的条件下，连接交于，求的值；
(3)如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不会发生变化，，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据“”可证明；
（2）由得到，，再利用为等腰直角三角形得到，所以，，接着证明，得到即可求解；
（3）在上截取，如图2，先证明得到，，由于，则，所以，再证明，则得到，然后可计算出．
【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，．
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：如图1，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：的值不变．
在上截取，如图2，
在和中
，
，
，，
，
，
而，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．解题的关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考：
(1)由已知图能得到的理由是 ．
(2)求得的取值范围是 ．
(3)如图2，是的中线，交AC于E，交于F，且．求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答；
（2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（3）延长至点G，使，连接，先证明，即可得出，再根据，得出，最后根据等角对等边，即可求证．
【详解】（1）解：∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：．
（2）由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（3）延长至点G，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形．
6．如图1，在平面直角坐标系中，点，，，且，满足，连接、，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)求证：；
(3)如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：．
【答案】(1)点的坐标为
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据平方的非负性，得出和的值，再根据题中点的坐标，计算即可得出答案；
（2）根据（1），得出，，，进而得出，，作轴，轴，过点作轴的平行线交、于两点，连接，进而得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（3）作交轴于点，连接，根据角之间的数量关系，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据（2）中的图形，继续推导出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平行的判定，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据等角对等边，得出，再根据线段之间的数量关系，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，，
解得：，，
∴，，
∴点的坐标为；
（2）证明：如图，由（1）可得：，，，
作轴，轴，过点作轴的平行线交、于两点，连接，
∴，
又∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：如图，作交轴于点，连接，
∵，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
又∵由（2）中的图形和结论，得出，，再根据，进而得出，得出，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了非负性、坐标与图形、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等角对等边，解本题的关键在正确作出辅助线．
【考点6 作等腰三角形】
方法点拨：先作出射线,在射线上截取底边长,然后分别以底边线段的两个端点为圆心,腰长为半径画弧,两弧交于一点,即为顶点,然后连接顶点和底边的两个端点,即可得到等腰三角形.
1．如图．已知和线段a．用直尺和圆规作，使，．
【答案】图见解析
【分析】先利用尺规作出，再在射线上截取，然后以点为圆心，a为半径画弧，交于点C，连接即可得出．
【详解】解：作法：
①作；
②在射线上截取，然后以点为圆心，a为半径画弧，交于点C，
③连接，则即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查基本尺规作图，涉及作等腰三角形、作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角，熟练掌握这些基本的尺规作图方法和步骤是解答的关键．
2．已知和线段（如图），用直尺和圆规作等腰三角形，使顶角，角平分线．
【答案】见解析
【分析】作，然后作的角平分线，在角平分线上截取，过点作的垂线，交分别于点，则即为所求．
【详解】解：如图，作，然后作的角平分线，在角平分线上截取，过点作的垂线，交分别于点，则即为所求．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，作角平分线，作垂线，解题的关键是掌握等腰三角形的性质与判定．
3．（1）已知．请过点A作边上的高（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，求作这个等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据作线段垂直平分线的方法即可作出边上的高；
（2）根据等腰三角形的性质即可作出底边长为a，底边上的高为h的等腰三角形．
【详解】解：（1）如图，
即为中边上的高；
（2）如图，
即为所求作的三角形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
4．如图，已知直线a、b及点P．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．（尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明）
(1)当时，在图①、②中画出，使得两个三角形不全等；
(2)当a与b不平行时，在图③、④中画出，使得两个三角形不全等．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）分两种情况，过点P分别作直线a，b的垂线，再以垂足为圆心，P到a、b的距离为圆心画弧，再过弧与直线的交点作垂线，与另一直线的交点为点B，分别以点P为圆心，以线段为半径画圆，找出点A，最后连接即可；
（2）分两种情况，过点P做直线a、b的垂线，再分别以交点为圆心，点P到a、b的距离为圆心画弧，再过弧与直线的交点作垂线，与另一直线的交点为点B，分别以点P为圆心，以线段为半径画圆，找出点A，最后连接即可；
【详解】（1）解：过点P做直线a的垂线，交直线a于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线a于点N，过点N做直线b的垂线，交直线b于点B，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线a于点A，连接，，，即得到等腰直角三角形，如图所示：
过点P做直线b的垂线，交直线b于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线b于点N，过点N做直线a的垂线，交直线a于点A，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线b于点B，连接，，即得到等腰直角三角形，如图所示：
（2）过点P做直线a的垂线，交直线a于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线a于点N，过点N做直线b的垂线，交直线b于点B，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线a于点A，连接，，，即得到等腰直角三角形，如图所示：
过点P做直线b的垂线，交直线b于点M，以点M为圆心，以为半径画圆弧交直线b于点N，过点N做直线a的垂线，交直线a于点A，以点P为圆心，线段为半径画圆，交直线b于点B，连接，，，即得到等腰直角三角形，如图所示：
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质和尺规作图，解题的关键是掌握等腰直角三角形的相关知识．
【考点7 等边三角形的判定与性质】
方法点拨：等边三角形的性质：（1）等边三角形的内角都相等，且为60度（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线（4）三个角都等于60°
等边三角形的判定：（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
1．如图，，点在的角平分线上，，点、是两边、上的动点，当的周长最小时，点到距离是______．
【答案】
【分析】分别作关于的对称点，连接交于点，连接，，证明，，进而可得即为所求．
【详解】解：如图，分别作关于的对称点，连接交于点，连接，，
∴，，
∵，点在的角平分线上，
∴,
∴，
∴是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
∴，
∴，
∵当的周长最小时，三点共线，
此时即为到的距离，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，轴对称求线段和，等边三角形的性质与判定，掌握轴对称的性质是解题的关键．
2．如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E、F，，
(1)求证：是的角平分线．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据已知证明，再利用全等三角形的性质即可证明；
（2）先证明是等边三角形，再根据含角直角三角形的性质得到的值，即可得到的长度，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的周长．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质，根据题意证得是等边三角形是解题的关键.
3．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，的顶点B、C在x轴上（C左B右），点A在y轴正半轴上，，点O为的中点，．
(1)求点A的坐标；
(2)如图2，点D为上一点，点F为y轴上一点，，连接，，交y轴于点E，设线段的长为t，线段的长为d，请用含t的式子表示d；
(3)在（2）的条件下，当点D与点C重合时，在的延长线上取点G，作交x轴于点K，若，连接，过点A作于点M，求点M的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质证出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形的性质求出的长，则可得出答案；
（2）证出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案；
（3）过点E作，交的延长线于点N，连接，，，证明，由全等三角形的性质得出，证出为等边三角形，得出，证明，由全等三角形的性质得出，证出，由等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）解：∵，O为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：过点E作，交的延长线于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，四边形的内角和为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点M的纵坐标为．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
4．已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： ___________（填“”、“”或“”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的的大小关系，请写出结论， ___________（填“”、“”或“”）；理由如下，过点E作，交于点F．（请把解答过程补充完整）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】(1)
(2)，见解析
(3)3，见解析
【分析】（1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到为角平分线，由，利用等腰三角形的性质即可求解；
（2）过点E作，交AC于点F，证明为等边三角形，利用得到，利用全等三角形的性质即可得证；
（3）点E在延长线上时，作，可得为等边三角形，再证明，可得，从而得到，即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（2）解：，理由如下：
过点E作，交AC于点F，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（3）解：如图，点E在延长线上时，作，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
如图，当点E在延长线上时，点D在线段的延长线上，不符合题意；
综上所述，．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．
【考点8 含30度的直角三角形】
方法点拨：（1）30度的锐角所对的直角边是斜边的一半。
（2）含30°的直角三角形三边之比为1：√3：2。
（3）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
1．如图，，，点在的垂直平分线上，若，则为______．
【答案】8
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解∶点在的垂直平分线上，
故答案为∶8．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
2．如图，，平分，于，交于，若，则____________．
【答案】3
【分析】过点P作于点E，根据平行线的性质可得，从而得到，再由角平分线的性质定理，即可求解．
【详解】解：如图， 过点P作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理，直角三角形的性质是解题的关键．
3．如图，为等边三角形，边长为12，D在上，于E，于F，于H，若点D与点H重合时的长为 _____．
【答案】8
【分析】利用等边三角形的性质和垂直，得到都是含的直角三角形，利用所对的直角边是斜边的一半，和的边长为12，进行线段的转化和计算即可得解．
【详解】解：如图，设，
∵是等边三角形，
∴，
∵于E，于F，于H，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，以及含角的直角三角形．熟练掌握所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
4．已知，如图，为等边三角形，相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若于，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由是等边三角形，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；
（2）由，得，则，所以；
（3）由，得，而，所以．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数是．
（3）解：∵于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长是．
【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
5．某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境，经过测量得，的外角．已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少钱？
【答案】400a元
【分析】如图，过点作于点．证明，求出，再求出的面积，可得结论．
【详解】如图，过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，
，
这种草皮每平方米元，
购买这种草皮一共需要元．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是转化添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．如图，在中，，．点D是中点，点E为边上一点，连接，以为边在的左侧作等边，连接．
(1)判断的形状；
(2)求的度数；
(3)如图，当点F落在边上时，若，求的长．
【答案】(1)等边三角形
(2)
(3)2
【分析】（1）由三角形内角和定理可求出，由含30度角的直角三角形的性质可求出．再根据点D是中点，即得出，即证明为等边三角形；
（2）由等边三角形的性质可得出，，，．即可求出，从而可证，即易证，得出；
（3）由等边三角形的性质可得出，从而可得出，即说明和为等腰三角形，得出，即．
【详解】（1）∵在中，，，
∴，．
∵点D是中点，
∴，
∴为等边三角形；
（2）∵为等边三角形，
∴，，
∴．
∵为等边三角形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）∵为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴和为等腰三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
【考点9 尺规作垂直平分线或垂线】
方法点拨：1、用尺规作一条直线，在直线上任取两点A、B（A、B不重合）。2、分别以A、B两点为圆心，以大于AB长的一半为半径做两个等圆，得到两个交点C、D，且两个交点C、D到A、B等距（它们都是两个等圆的半径是相等的）。3、连接这两个交点C和D两个交点的连线CD即为垂线（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这两点的连线为这条线段的垂直平分线，即垂直）。
1．如图，已知的周长为，根据要求解答下列问题：
(1)用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交、于点E、D，连接，请写出画法并保留作图痕迹；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线．
（2）利用线段的垂直平分线的性质得从而解决问题即可．
【详解】（1）如图，直线即为所求作．
（2）直线是的垂直平分线，
，，
，
又∵，
，
，
即的周长为．
【点睛】本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．如图，中石化要在S区修建一座加油站．按照设计要求，加油站到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．加油站应建在什么位置﹖请用尺规作图保留作图痕迹．
【答案】点P即为加油站的位置，见解析
【分析】作线段的垂直平分线，再作两条公路夹角的角平分线，两条线的交点即为加油站的位置．
【详解】解：如图，点P即为加油站的位置．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质与作图方法是解答本题的关键．
3．（1）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库．希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
（2）如图，在，CD是AB边上高，BE为角平分线，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）44°
【分析】（1）先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于P点，则点P即为所求．
（2）根据三角形的高的定义，得，根据三角形外角的性质，得，根据三角形的角平分线的定义，由为角平分线，得，根据三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）
1．连接，分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为线段的垂直平分线；
2．以为圆心，以任意长为半径画圆，分别交、于、，再分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为的平分线（或的外角平分线）；
3．与相交于点，则点即为所求．
如图所示：
．
（2）∵CD是AB边上高，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线及角平分线的作法及性质，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟知这些知识是解答此题的关键．
4．作图题（要求：画出图形，保留作图痕迹，不要求证明）．
已知及其内部一点P．
(1)如图1，若点P在的角平分线上，请你在图1中过点P作直线，分别交于点C、D，使为等腰三角形，且是底边；
(2)若点P不在的角平分线上（如图2），请你在图2中过点P作直线，分别交于点C、D，使为等腰三角形，且是底边．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，过点P作的垂线与相交即可得解；
（2）根据（1）的方法，先作的平分线，然后在过点P作角平分线的垂线分别与相交即可得解．
【详解】（1）如图1，画法：过点P作的垂线，分别交于点C、D，
则是以为底边的等腰三角形；
（2）如图2，画法：作的角平分线，过点P作角平分线的垂线，分别交角的两边于点C、D，
则是以为底边的等腰三角形．
【点睛】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，主要有角平分线的作法，过一点作已知直线的垂线的作法，是基本作图，需熟练掌握．
【考点10 垂直平分线的判定与性质】
方法点拨：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段
垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等。
1．如图，在四边形中，，．某同学按照组成这个图形的元素边、角、对角线研究这个图形的性质．下列他得出的性质正确的是（ ）
A．各对邻边分别相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
【答案】B
【分析】根据垂直平分线的性质即可判定垂直平分，即可得答案．
【详解】解：，
垂直平分，
对角线互相垂直，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键掌握到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
2．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E，若的周长是，，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式得到求解即可．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∴的周长为，
∵，的周长是，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为．
故选：B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长，熟练掌握线段平分线的性质是解答的关键．
3．如图，D，E是的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB，AC，垂足分别为M，N．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到 ，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可．
【详解】解：在中，，
则，
，分别垂直平分、，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．如图，点在锐角的内部，连接，，点关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D
【分析】由轴对称的性质可得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【详解】解：连接，，，
点关于、所在直线的对称点分别是、，
，，
，
，
故选：D
【点睛】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系定理，解本题的关键是熟练掌握轴对称性和三角形三边关系定理．
5．如图，在中，，、的垂直平分线分别交于点、，与，分别交于点，．
(1)求的度数；
(2)求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知、的垂直平分线分别交于点、，，可求出，，，由此即可求解；
（2）的周长是，因为、的垂直平分线分别交于点、，可求出，，且，由此即可求解．
【详解】（1）解：在中，，
∴，
∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即的度数为．
（2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴，，
∵的周长是，
∴的周长是，
又∵，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
6．从图1的风筝图形可以抽象出几何图形，我们把这种几何图形叫做“筝形”．具体定义如下：如图2，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请说明：
(1)；
(2)垂直平分线段．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用证明三角形全等即可．
（2）利用垂直平分线的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
；
（2），
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
垂直平分线段．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，掌握“证明两个三角形全等”是解本题的关键．
【考点11 等腰三角形中的新定义问题】
方法点拨：1．解新定义题型的方法：
方法一:从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能
力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的
含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即
前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真
阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，
再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
2．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解
题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题。
1．对于及其边上的一点，给出如下定义：如果点，，…都在的边上，且，那么称点，，…为关于点的等距点，线段，，……为关于点的等距线段．
(1)如图1，中，，，点是的中点．
①点，C ________关于点的等距点，线段，________关于点的等距线段；（填“是”或“不是”）
②关于点的两个等距点，分别在边，上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，；
(2)如图2，是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，且，直接写出线段的长；
(3)如图3，在中，，，点在上，关于点的等距点恰好有两个，且其中一个是点，若，直接写出长的取值范围（用含的式子表示）．
【答案】(1)①是，不是；②见解析；
(2)或2；
(3)．
【分析】（1）①由新定义“关于点的等距点”即可得出答案；②作于，于，由垂线段最短即可得到答案；
（2）根据等边三角形的性质和等距离点的定义求解即可；
（3）分别求出当时，当时，△ABC关于点P的等距离点，即可求解；
【详解】（1）解：①∵时的中点，
∴，
∴是关于点的对等点，
∵，
∴，，
∴线段不是关于点的等距线段；
故答案是：是，不是；
②作于，于，则，即为所求，如下图所示：
（2）解：显然，点不可能在边上，若点在边上，如下图所示，
∵是等边三角形，∴，
∵点，是关于点的等距点，∴，
∴是等边三角形，∴；
若点在边上，如图5所示，
∵点，是关于点的等距点，
∴，∴；
∴综上所述，或2；
（3）当时，
当为的中点，则，
∴是关于点的对等点，
作于，截取，连接，
则，
∵，
∴，
∴边上存在2个关于点P的等距离点，
∵关于点的等距离点恰好有四个，且其中一个点是点，
∴，即，
当时，
，，
则关于点的等距离点有2个在上，有1个在上，，
∵关于点的等距离点恰好有四个，且其中一个点是点
∴，即
综上
故答案是．
【点睛】本题是新定义问题，考查了对等距点和等距线段的理解与应用、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和30度角的直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键．
2．在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)如图，与都是等腰三角形，，，且，则有 ___________≌___________．
(2)如图，已知，以为边分别向外作等边和等边并连接，则 ___________°．
(3)如图，在两个等腰直角三角形和中，，，连接，交于点P，请判断和的关系，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)，，理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可；
（2）先根据等边三角形的性质得到，，，再证明得到，再利用的外角性质求得即可求解；
（3）证明得到，，进而利用三角形的内角和定理证明即可．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：，；
（2）解：等边和等边，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（3）证明：，理由：
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键
3．定义：一个内角等于另一个内角两倍的三角形，叫做“倍角三角形”．
(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有______（只填写序号）．
①顶角是的等腰三角形；
②等腰直角三角形；
③有一个角是的直角三角形．
(2)如图，在中，，，将沿边所在的直线翻折得到，延长到点，连接．
①若，求证：是“倍角三角形”；
②点在线段上，连接．若，分所得的两三角形中，一个是等腰三角形，一个是“倍角三角形”，请直接写出的度数．
【答案】(1)②③
(2)①见解析；②的度数为或或或
【分析】（1）利用“倍角三角形”的定义依次判断即可求解；
（2）由折叠的性质和等腰三角形的性质可求，由等腰三角形的性质可得，可得结论；分两种情况讨论，由三角形内角和定理和“倍角三角形”的定义可求解．
【详解】（1）解：若一个三角形是顶角为的等腰三角形，
则两个底角均为，
，
顶角是的等腰三角形不是“倍角三角形”；
若一个三角形是等腰直角三角形，
则三个角分别为，，，
，
等腰直角三角形是“倍角三角形”；
若一个三角形是有一个角为的直角三角形，
则另两个角分别为，，
，
有一个的直角三角形是“倍角三角形”，
故答案为：②③；
（2）证明：，
，
将沿边所在的直线翻折得到，
，，，
，
，
，
，
，
，
是“倍角三角形”；
②解：由可得，
如图，
若是等腰三角形，则是“倍角三角形”，
是等边三角形，
，
，
，
是“倍角三角形”，
或，
或；
若是等腰三角形，则是“倍角三角形”，
或或或，
当时， ，
；
当时，，
；
当时，，
，
；
当时，，
，
；
综上所述：的度数为或或或．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等，理解“倍角三角形”的定义是解题的关键．
4．定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．
(1)如图①，是等边三角形，点O是的外心，求证
(2)如图②，是等边三角形，分别延长等边三角形的边到点D、E、F，使，连接．若点O为的外心，求证：点O也是的外心．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用证明，即可证明；
（2）如图所示，连接，利用 证明，得到，同理可证，则，由此即可证明结论．
【详解】（1）解：∵点O是的外心，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
由（1）得，
∵点O为等边的外心，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴点O也是的外心．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对对角，正确理解题意熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
5．【定义】
如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段称为这个三角形的“分割线”；
如果2条段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段称为这个三角形的“黄金分割钱”．
【理解】
(1)如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数；
如图2，已知是等腰直角三角形，，请你在这个三角形中画出它的“黄金分割线”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数．
(2)填空：等边三角形____________（填“存在”或“不存在”）“分割线”；
顶角为钝角的等腰三角形____________（填“存在”或“不存在”）“黄金分割线”．
(3)【应用】
在中，，为钝角，若这个三角形存在“分割线”，直接写出的所有可能值：__________________________________．
【答案】(1)见详解
(2)不存在，存在
(3)
【分析】（1）根据三角形的“分割线”定义画出图形即可作答；根据三角形的“黄金分割钱”定义画出图形即可作答；
（2）画出图形，证明在中，三个内角满足：，即不可能是等腰三角形，以及在中，三个内角满足：，即不可能是等腰三角形，从而得到等边三角形不存在“分割线”；画出图形，设，，列出二元一次方程组，解方程求出相应的角度，即可证明顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（3）根据为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，
分情况讨论：第一种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的顶角时；第二种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的底角时；分别画出图形，求出相应的角的度数即可求解．
【详解】（1）作图如下：
“分割线”如图虚线所示，角度见图中标注；
作图如下：
“黄金分割线”如图虚线所示，角度见图中标注；
（2）等边三角形不存在“分割线”，理由如下：
如图，等边被直线所截，且点D在线段（不含端点B、C）上
在等边中，有，
由图可知：，
同理有：，
由图可知：，
同理有：，
即在中，三个内角满足：，
即不可能是等腰三角形；
即在中，三个内角满足：，
即不可能是等腰三角形；
即等边三角形不存在“分割线”；
顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”，理由如下：
如图，等腰的“黄金分割线”为，，为钝角，
设，，相应的角标注如图，
根据平角为180°和三角形内角和为180°可得：，
解得：，
即，则：，
∴根据方程有解，可得顶角为钝角的等腰三角形存在“黄金分割线”；
（3）根据为钝角，可知三角形的“分割线”必经过B点，
分情况讨论：
第一种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的顶角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：，
解得：，
则：；
第二种情况：在被分割之后，当为新等腰三角形的底角时，
如图，相应角度标注如下，
根据图形，有：，
又∵根据“分割线”的定义可知：是等腰三角形，
∴是等边三角形，
即：，
则：，
此时不为钝角，此情况舍去；
综上：的可能值为：．
【点睛】本题主要是考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，充分理解题目所给出的新定义是解答本题的关键．
6．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD＝BC，且∠ADB+∠BCA＝180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
(1)如图2，在等边△ABE中，D、C分别是边AE、BE的中点，连接CD，问四边形ABCD是互补等对边四边形吗？请说明理由．
(2)如图3，在等腰△ABE中，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD＝∠BAC＝∠AEB．
(3)如图4，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD是互补等对边四边形，试问∠ABD＝∠BAC＝∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)四边形ABCD是互补等对边四边形，理由见解析
(2)见解析
(3)仍然成立，证明见解析
【分析】（1）先判断出AE=BE，再判断出∠ADB=90°，即可得出结论．
（2）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；
（3）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=∠AEB．
（1）
解：四边形ABCD是互补等对边四边形，
理由：如图2，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=BE，
连接AC，BD，
∵点D是AE的中点，
∴BD⊥AE，
∴∠ADB=90°，
同理：∠BCA=90°，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
∴四边形ABCD是互补等对边四边形．
（2）
解：∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA==90°∠AEB，
∴∠ABD=90°∠EAB=90°(90°∠AEB)=∠AEB，
同理：∠BAC=∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC=∠AEB；
（3）
解：仍然成立；
理由如下：如图4所示：
过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD和△BFC中，
，
∴△AGD≌△BFC(AAS)，
∴AG=BF，
在Rt△ABG和Rt△BAF中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△BAF(HL)，
∴∠ABD=∠BAC，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠BAC=∠AEB．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解新定义，判断出△ABD≌△BAC是解本题的关键．
7．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，求证：∠ABD＝∠ACE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE ，AB＝AC，AD＝AE，从而得到∠CAE＝∠BAD，利用SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据“兄弟三角形”的定义得到∠BAC=∠DAE ，AB＝AC，AD＝AE，从而得到∠CAE＝∠BAD，利用SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解；
（1）
证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）
证明：∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC，即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE．
【点睛】本题考查的是“兄弟三角形”的定义、全等三角形的判定和性质，正确理解“兄弟三角形”的定义及熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

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