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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论
【名师综述】在高考中，圆锥曲线肯定要出一至两道小题，难度在中等偏上，所以，为了
节省时间，记住一些重要的结论，到时候就可以直接用了！下面小数老师给大家带来 8 条
出题率最高的结论，一定要记住哦;
☆◆★神奇结论 1：椭圆上的点与焦点距离的最大值为a c，最小值为a c；
推导 ：首先，我们需要了解一下椭圆的第二定义：平面上的一点到定点的距离与到相
应定直线的距离之比为常数；这里面涉及到几个特殊的概念，
① 定点：椭圆的焦点；
a2
② 定直线：椭圆的准线，方程为 x ； c
③ 常数：离心率；
由两点间距离公式，可知
| PF1 | (x c)
2 y2 （1）
2 2 2
x y b从椭圆方程 1解出 y2 (a2 x2 )（2）
a2 b2 a2
代（2）于（1）并化简，得
c
| PF
1
| a x( a x a)
a
所以，由上面的焦半径公式可知，
当 P 点在左端点的时候值最小为a c；
当 P 点在右端点的时候值最大为a c；
【典例剖析】
例题 1. 椭圆 ＝1 上存在 n 个不同的点 P1，P2， ，Pn，椭圆的右焦点为 F．数列
{|PnF|}是公差大于 的等差数列，则 n 的最大值是（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13 1
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
【分析】（|PnF|）min≥|a﹣c|＝ ，（|PnF|）max≤a+c＝3 ，|PnF|＝|P1F|+（n﹣1）d．再由
数列{|PnF|}是公差大于 的等差数列，可求出 n 的最大值．
【解答】解：∵（|PnF|）min≥|a﹣c|＝ ，（|PnF|）max≤a+c＝3 ，||PnF|＝|P1F|+（n﹣1）d
∵数列{|PnF|}是公差 d 大于 的等差数列，
∴d＝ ＞ ，解得 n＜10 +1，
则 n 的最大值为 15
故选：B．
x2 y2
☆◆★神奇结论 2： 直线 l 与椭圆 1相交于 A, B两点，M 为 AB 的中点，则
a2 b2
2
bkAB kOM ；
a2
推导 ：我们利用“点差法”进行推导；
记 A(x1, y1), B(x2 , y2)，M (x0 , y0)，将这两点带入椭圆中可得
x2 21 y 1 1(1) a2 b2

x2 y2
2 2 1(2)
a
2 b2
（1） （2）可得：
(x1 x2 )(x1 x2 ) (y1 y 2
)(y1 y2 ) 0；
2 2
a b
2x0 (x1 x2 ) 2y0 (y1 y ) 2 0
a2 b2
y y 2
所以， 1
y2 0 b
x1 x2 x
2
0 a
b2
2 所以， kAB kOM 成立； a2
【 典例剖析】
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
例题 2. 已知椭圆 E： 的右焦点为 F（3，0），过点 F 的直线交椭圆 E 于
A、B 两点．若 AB 的中点坐标为（1，﹣1），则 E 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解法一：基本解题法
【分析】设 A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得 ，利用“点差法”可得
．利用中点坐标公式可得 x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算
公式可得 ＝ ＝ ．于是得到 ，化为 2＝ 2a 2b ，再利用 c＝3
＝ ，即可解得 2， 2a b ．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得 ，
相减得 ，
∴ ．
3
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2， ＝ ＝ ．
∴ ，
化为 2a ＝ 2 2 22b ，又 c＝3＝ ，解得 a ＝18，b ＝9．
∴椭圆 E 的方程为 ．
故选：D．
解法二：结论解题法
x2 y2
☆◆★神奇结论 3：在椭圆 1中，若MN 是过中心的一条弦， P 是椭圆上异于a2 b2
2
bM , N 的一点，则有 kPM kPN ；
a2
推导 ：令M (x1, y1)，N( x1, y1)，P(x0 , y0)；
y0 y y y y
2 y2
所以 k 1 0 1 0 1
PM
kPN ①；
x x x x x2 x20 1 0 1 0 1
2 b
2 2
又因为 y 2 2 2
b 2 2
0 (a x0 )， y1 (a x1 )代入①中；
a2 a2
b2
整理可得 kPM kPN ；
a2
【典例剖析】
例题 3. 椭圆 C： ＝1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2的斜率的
取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线 PA1斜率的取值范围是（ ）
4 A． B． C． D．
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
【分析】由题意求 A1、A2的坐标，设出点 P 的坐标，代入求斜率，进而求 PA1斜率的取值范
围．
【解答】解：由椭圆的标准方程可知，
左右顶点分别为 A1（﹣2，0）、A2（2，0），
设点 P（a，b）（a≠±2），则
＝1 ①， ＝ ， ＝ ；
则 ＝ ＝ ，
将①式代入得 ＝﹣ ，∵ ∈[﹣2，﹣1]，
∴ ∈ ．故选：D．
解法二：结论解题法
x2 y 2
☆◆★神奇结论 4：已知椭圆方程为 1(a b 0),两焦点分别为F1, F2 2 ,设焦点三a b2

角形PF 21F2 中 F1PF2 ,则S F PF b tan . 1 2 2
x 2 y 2
已知双曲线方程为 1，两焦点分别为F1, F2 ,设焦点三角形PF1F2中
a 2 b 2

F1PF2 ,则S F PF b
2 cot
1 2 2
推导 ： (2c)2
2 2 2
F1F2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos
( PF PF 2 1 2 ) 2 PF1 PF2 (1 cos )
( PF PF )2 4c2 4a2 4c2 21 2 2b
PF1 PF2
2(1 cos ) 2(1 cos ) 1 cos
5
1 b2
S 2 F PF PF1 PF2 sin b tan 1 2 2 1 cos 2
双曲线证明也同样道理.
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
【典例剖析】
例题 4. 已知 P 是椭圆 + ＝1 上的点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，若
＝ ，则△F1PF2的面积为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【分析】先根据椭圆的方程求得 c，进而求得|F1F2|，设 F1P＝m，F2P＝n，再根据条件求出∠
F1PF2＝60°，然后利用余弦定理可求得 mn 的值，je 利用三角形面积公式求解．
【解答】解：由题意可得：a＝5，b＝3，
所以 c＝4，即 F1F2＝2c＝8．
设 F1P＝m，F2P＝n，所以由椭圆的定义可得：m+n＝10 ①．
因为 ，所以由数量积的公式可得：cos＜ ＞＝ ，
所以 ．
在△F1PF2中∠F1PF2＝60°，
所以由余弦定理可得：64＝ 2 2m +n ﹣2mncos60° ②，
由①②可得：mn＝12，所以 ．
故选：A．
解法二：结论解题法
6
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
x2 y2
☆◆★神奇结论 5：若 F1，F2为椭圆 1（a＞b＞0）的左右焦点，P是椭圆上的动a2 b2

点，则∠F1PF2= ，则椭圆离心率 e的取值范围为 sin ≤e＜1.
2
m 2 n 2 4c 2
推导 ：设|PF|=m，|PF|=n，则 m+n=2a.于是 cos = =
2mn
(m n)2 4c 2 2mn 2b 2 2b 2 2b 2 2b 2
= 1≥ 1= 1，我们得到了 cos ≥ 1， 2mn mn m n a 22 a
2
( )
2
2(a 2 c 2) 1 - cos
所以，cos ≥ 1=1-2e
2
e2≥ ，然后根据二倍角公式就可以得到上
a 2 2

面的结论；sin ≤e＜1；
2
【典例剖析】
例题 5. 已知椭圆 的两个焦点分别为 F1，F2，若椭圆上存在点 P 使得∠
F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【分析】当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠
F1PF2渐渐增大，当且仅当 P 点位于短轴端点 P0处时，张角∠F1PF2达到最大值，由此可
得结论．
【解答】解：如图，当动点 P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点
的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当 P 点位于短轴端点 P0处时，张角∠F1PF2达到最大
值．由此可得：
∵椭圆上存在点 P 使得∠F1PF2是钝角，
∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，
∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°， 7
所以 P0O＜OF2，即 b＜c，
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∴ 2a ﹣ 2 2c ＜c ，可得 2＜ 2a 2c ，
∴e＞ ，
∵0＜e＜1，
∴ ＜e＜1．
故选：B．
解法二：结论解题法
x2 y2 ☆◆★神奇结论 6：点P(x0 , y0)在椭圆 1（a＞b＞0）上，则过点P 的切线方程为
a2 b2
x0x y0 y 1；
a2 b2
2x 2yy b2x b
2x
推导 ：两侧同时求导可得： 0 y ，则 y y0
0 (x x0 )； 2 2a b2 a2 y a y0
x x y y
故a2 y0 y b
2x0x a
2 y20 b
2x2 2 2 0 00 a b ，所以，切线方程为 1； 2 2
a b
【 典例剖析】
例题 6. 已知圆的方程为 2 2x +y ＝1，则经过圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0 x+y0 y＝1，
类比上述性质，可以得到椭圆 2 2x +4y ＝8 上经过点 的切线方程为
8 ； ．
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
【分析】已知圆的方程为 2 2x +y ＝1，则经过圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0 x+y0 y＝1，
类比上述性质，可以得到：椭圆 2 2mx +ny ＝c（m，n，c 同号，且 m≠n）经过椭圆上一点
M（x0，y0）的切线方程为： ．
【解答】解：已知圆的方程为 2 2x +y ＝1，则经过圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为 x0 x+y0
y＝1，
类比上述性质，可以得到：
椭圆 2 2mx +ny ＝c（m，n，c 同号，且 m≠n）经过椭圆上一点 M（x0，y0）的切线方程为：
故椭圆 2 2x +4y ＝8 上经过点 的切线方程为：2x﹣4 y＝8，即 ；，
故答案为： ．
解法二：结论解题法
x2 y2 ☆◆★神奇结论 7：①椭圆 1(a 0,b 0)与直线 Ax By C 0(A B 0)相切的
a2 b2
充要条件是 A2a2 B2b2 C2；
x2 y2
②双曲线 1(a 0,b 0)与直线 Ax By C 0(A B 0)相切的充要条件是
a2 b2
A2a2 B2b2 C2 ；
推导 ：给大家推导一下关于椭圆的结论，双曲线的推导雷同，直线变形可得
A C Ax C
y x y ，带入椭圆方程，化简可得
B B B
(B2b2 A2a2)x2 2a2 ACx a2C2 a
2b2B2 0，
由于只有一个交点，故 4a4 A2C2 4(B2b2 a2 A2)(a2C2 a2b2B2) 0，
整理可得， A2a2 B2b2 C2；
【 典例剖析】
例 题 7. 已知两定点 A（﹣1，0），B（1，0），若直线 l 上存在点 M，使得|MA|+|MB|＝3，则
称直线 l 为“M 型直线”，给出下列直线：①x＝2；②y＝x+3；③y＝﹣2x﹣1；④y＝1； 9
⑤y＝2x+3．其中是“M 型直线”的条数为（ ）
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】点 M 的轨迹方程是 ，把①，②，③，④，⑤分别和 联立方程
组，如果方程组有解，则这条直线就是“M 型直线”．
【解答】解：由题意可知，点 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆，其方程是 ，
①把 x＝2 代入 ，无解，∴x＝2 不是“M 型直线”；
②把 y＝x+3 代入 ，无解，∴y＝x+3 不是“M 型直线”；
③把 y＝﹣2x﹣1 代入 ，有解，∴y＝﹣2x﹣1 是“M 型直线”；
④把 y＝1 代入 ，有解，∴y＝1 是“M 型直线”；
⑤y＝2x+3 代入 ，有解，∴y＝2x+3 是“M 型直线”．
故选：C．
解法二：结论解题法
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数学思想 高中数学【高考椭圆选填题中常考的 8 个神奇结论】
x2 y2
☆◆★神奇结论 8：直线 l 与椭圆 1(a 0,b 0)相交于 A, B，坐标原点为O，O
a2 b2
ab到直线 l 的距离为 d ，则有OA OB，d ；
a2 b2
1 1 1 1
推导 ：（1）当 OP，OQ在坐标轴上时，显然 成立.
2 2OP OQ a
2 b 2
1
（2）当 OP，OQ不在坐标轴上时，设直线 OP：y=kx，直线 OQ：y= x .联系整理可得
k
a 2b 2 k 2a 2b 2
(k
2a 2 b 2)x 2 a 2b 2，解得x 2p ，y
2
2 p
，则
k a 2 b 2 k 2a 2 b 2
2 2 2 2 2 2
1 k a b 1 k b a 1 1 1 1 ；同理 .所以 .
| OP |2 (k 2 1)a 2b 2 | OQ |2 (k 2 1)a 2b 2 2 2 2 2OP OQ a b
1 1
利用等面积法可得： | OP | | OQ | | OP |
2 | OQ |2 d
2 2
2 2
| OP | | OQ | OP OQ a2 b2 ab
所以，d ，又 ，d ；
2 2 2 2| OP |2 | OQ |2 OP OQ a b a2 b2
【典例剖析】
x2 y2
例题 8.过点P(0,2)的直线 l 交椭圆E : 1于M , N 两点，且OM ON ，则直线 l 的方程
4 2
为 ；
2x y 2 0或 2x y 2 0
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