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2022~2023学年度第一学期期中教学质量检测
高三数学试题
2022.11
本试卷分第I卷（选择题》和第II卷（非选择题）两部分，共6页；满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考场 座号 姓名 班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在指定位置处.
2.第I卷的答案须用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号，
3.答第II卷（非选择题）考生须用0.5mm的黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置，如需改动，须先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液 胶带纸 修正带，否则，该答题无效.
4.书写力求字体工整 符号规范 笔迹清楚
第I卷（选择题60分）
一 单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，或，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数的实部与虚部的和为3，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知都是单位向量，其夹角为，若向量，则（ ）
A.5 B.2 C. D.
4.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
5.在长方体中，直线与平面的交点为，与平面的交点为为线段的中点，则下列结论错误的是（ ）
A.三点共线
B.四点共面
C.为线段的三等分点
D.线段的中点在平面上
6.设等差数列的前项的和为，则下列结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.数列的前和为
7.已知函数，若，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
8.设半径为的球面上有四点，且两两垂直，若，则球半径的最小值是（ ）
A.2 B. C. D.4
二 多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.若，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.函数有两个极值点
B.函数有三个零点
C.若，则是偶函数
D.点是函数的对称中心
11.已知函数，若为的一个极值点，且的最小正周期为 若，则（ ）
A. B.
C.为偶函数 D.的图象关于点对称
12.已知函数的定义域为，满足，且为偶函数，则（ ）
A. B.为偶函数
C.为周期函数 D.为偶函数
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数在点处的斜率是3，则实数__________.
14.在中，若，则的面积是__________.
15.若，且，则__________.
16.已知函数，若在其定义堿内总有成立，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：（本大题共6个小题，共70分：解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知不等式的解集是集合，函数的定义域是集合.
（1）分別求集合；
（2）若是成立的必要不充分条件，试求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
现有一张半径为2米的圆形铁皮，从中裁剪出一块扇形铁皮（如图1中阴影部分），并卷成一个深度为h米的圆锥筒（如图2的）容器.
（1）若所裁剪的扇形铁皮的弧长为米，求圆锥简容器的容积；
（2）当圆锥简容器的深度h为多少米时，其容积最大？并求其容积的最大值.
19.（本小题满分12分）
如图，已知，平面内任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为.设（为单位向量）.
（1）求的长；
（2）在中，若，试求的取值范围.
20.（本小题满分12分）
已知数列，且满足，有.
（1）求数列的通项公式：
（2）若，设数列的前项和为，试求和：.
21.（本小题满分12分）
2022中国国际智能产业博览会于8月22~24日在重庆隆重举办，主题延续“智能化：为经济赋能，为生活添彩”，某企业遵循国家发展战略目标，进一步优化内部结构，深入拓展大数据智能化建设，据悉，该企业研发部原有80人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后，研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为（其中且）万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的80人的年总投入，则优化结构调整后的技术人员x的取值范围是多少？
（2）若研发部新招聘1名员工，原来的研发部人员调整策略不变，且同时满足下列两个条件：
①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入.
请分析是否存在满足上述条件的正实数m，若存在，则求出m的值；若不存在，则说明理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数是函数的导函数.
（1）求函数的单调区问；
（2）设，试比较与的大小，并说明理由；
（3）若数列的通项，求证：.
高三期中数学试题参考答案
2022.11
一 单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D C C B A
二 多选题：（本大题共4个小题，每小题5分，部分答对得2分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 BD ABC AD AC
三 填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三 解答题：（本大题共6个小题，共70分）
17.解：（1）由，化简得，
解得，或，
所以，或.
由题意知，函数定义域满足，
即，解得，或，
所以，或..
（2）若是成立的必要不充分条件，则有 ，
因此，
解得.
故所求实数的取值范围是.
18.解：设圆锥筒容器的半径为（米），容积为（立方米）.
（1）依题意，得，解得.
所以，.
所以.
故圆锥筒容器的容积为立方米.
（2）由，得.
所以，
所以.
由得，；由得，.
所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减，
所以当时，..
答：当圆锥筒容器的深度为米时，其容积最大，且其最大值是立方米.
19.解：（1）连结.
由题意，得，
所以..
在中，点分别为的中点，所以.
所以.
（2）因为在中，有，
所以由正弦定理，得，
即，
由于，所以.
又因为，所以.
在中，由正弦定理，得，
所以，
所以.
在中，因为，所以，
所以
因为，所以，
所以.
所以，即所求的取值范围是.
20.解：（1）由题设知，且，
易得，所以.
因为，①
所以，②
①②得，，
所以数列分别以为首项，公比都是4的等比数列，
从而，
所以.
即所求数列的通项公式为所以.
（2）由（1）及题设得，，
所以
，
所以，
所以
.
21.解：（1）依题意得，调整后研发人员人数为人，年人均投入为万元，
则有，
解得.
因为，且，所以.
所以优化调整后的技术人员人数的范围是.
（2）由题意知，现在研发部共有81人.
假设存在正实数同时满足题设中的条件①②，那么，
由条件①，技术人员的年人均投入始终不减少，则有，
解得且，
因为且，所以当时，，
所以；
由条件②，研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，
则有且，
即，
所以且.
由于，
当且仅当，即时等号成立，
即，
所以.
综上所述，显然不存在正实数同时满足题设条件（1）和（2）.
22.（1）解：由题意得，
则.
所以.
当时，在上恒成立，
所以函数在区间上单调递增.
当时，由，得；由，得，
所以函数在区间上单调递减；在区间上单调递增.
综上，当时，的单调增区间是；
当时，的单调减区间是；单调增区间是.
（2）解：.
理由如下：
要证，只需证，
即证，即证.
令，则，从而即证.
设，则.
当时，有恒成立，所以函数在区间上单调递增.
所以，即成立.
故有.
（3）证明：由（2）知，若，总有成立.
不妨令，
则有.
由于，所以
，
所以，
所以，
即有成立.

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