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第16讲 平面向量范围与最值问题
方法总结：
1.探求向量范围与最值问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决.
2.探求向量范围与最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______
【答案】
【解析】
【分析】
方法一：记，，，由条件可得，由此确定点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，设圆的半径为，再由正弦定理可得，利用余弦定理求得，由此可得，方法二：以O为原点，OA，OB为x，y轴建立坐标系，求点C的轨迹，则与的夹角为，证明当C为过，两点的圆与圆相外切时的切点时，最大，由求点E的坐标，由此可求.
【详解】
解：记，，，
则，
即点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆．过，两点的圆与圆相外切，记切点为，此时最大（如图）．
下证上述结论：取圆上不同于切点的点，因为在圆的外面，
所以．
下面求当最大时，的值．
记圆的半径为，则．
所以只需求出圆的半径为即可．
法一：如右图，为弦的中点，
在中，由余弦定理求得，
，则．
在中，，，，，
由余弦定理得，．
即．
法二：如图建系，，，，点在以为圆心，1为半径的圆上．
以为弦长作圆，当圆与圆外切时最大．
圆心在弦的中垂线上，设，
则，
即，
化简得，即或（舍去），
此时，得．
故答案为：.
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
【答案】60
【解析】
【分析】
如图所示，设先证明四点共圆，求出，再利用余弦定理和重要不等式求解.
【详解】
如图所示，设
所以，,
因为向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，
所以 所以，
所以四点共圆.
在△中，由正弦定理得
所以因为.
在△中，由余弦定理得，
所以.
所以的最大值为60.
故答案为：60
例3．（2022·全国·高三专题练习）锐角中，角，，所对边的长分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为_______________________.
【答案】
【解析】
【分析】
先通过正弦定理角化边得3边关系，代入余弦定理求得角余弦值的最小值，进而可得角正切值的最大值，再利用三角形面积公式及向量数量积可得目标式的最大值.
【详解】
解：中，
所以，
，
当且仅当时等号成立，此时最小，最大.
此时
故答案为：.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据，结合平面向量数量积的运算性质推出，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.
【详解】
∵向量，是平面内的两个非零向量，
∴，当且仅当时取等号，
∴，即，
∴，即，当且仅当时取等号，即，则与夹角为，
∴当取最大值时，与夹角为.
故答案为：.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得、，进而平方，计算即得结论．
【详解】
设向量的夹角为，
，
，
则，
令，
则，
据此可得：，
即的最大值是
故答案为：.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在中.，平面内有动点满足，则数量积的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意建立恰当的坐标系，求出的轨迹方程，即可求解.
【详解】
如图，根据已知条件建立恰当的坐标系，各点坐标分别为：，
设动点，则由得，
化简得出满足，令.
则，
所以的最大值为.
故答案为：16.
例7．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知平面向量，，满足，，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
已知展开联立方程组，解得，利用将两者建立起关系，解不等式得的范围﹒
【详解】
∵，∴．
∵，∴，
∴，且
∵，
解得，∴，即的最小值为，
故答案为：﹒
例8．（2022·浙江·高三开学考试）已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量线性运算的几何意义可求诸模之和的最小值.
【详解】
如图，设，，，，
则，且，
要求的最小值即求的最小值.
作出关于的对称点，再作出关于的对称点，
连接，设与射线交于，连接，与射线交于，
则，且，
设，则，而，故，
所以.
则，
当且仅当重合，重合时等号成立，
故答案为：.
【点睛】
思路点睛：向量的模的最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.
例9．（2022·浙江湖州·高三期末）已知圆的半径是3，是圆内一动点，且，是圆上的两个动点.若，则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，在中结合余弦定理得，进而，进而得答案.
【详解】
解：根据题意，在以为圆心，半径为的圆上，
所以在中，，
由余弦定理得，解得，
所以
，
所以当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，；
所以的取值范围是
故答案为：
例10．（2022·浙江上虞·高三期末）设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】
以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立坐标系，探求点C的坐标满足的关系，再利用换元法借助三角恒等变换计算作答.
【详解】
以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
因，则，而，解得，
则，设，有，，
因向量与向量的夹角为，则，
，，
，整理得：，即，
因此，，，令点，，
令，
则，
于是得，又，即有，解得，
当时，，即，而，有，
，矛盾，即，
当时，，即有，其中锐角满足，
则有，，，显然存在满足条件，则，因此，，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
思路点睛：给定向量的模探求向量问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决.
过关练习：
1．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由恒成立解得向量与的夹角的取值范围，再去求向量在方向上投影的取值范围即可.
【详解】
设向量与的夹角为
由，可得，
即，
即关于恒成立
则，即
故向量在方向上投影
故选：A
2．（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，根据数量积的坐标运算，即可求得答案.
【详解】
解析 如图所示，以A为坐标原点，和分别为x轴和y轴正方向建立直角坐标系.
则 , 设DE的长为x，则 ，
则，，所以，解得或，由题意知： ，且点E存在于CD上且唯一，知CD的长的取值范围是，
故选：B.
3．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先得到，再利用向量的数量积运算法则进行计算
【详解】
因为点M是正三角形内的一点（包括边界），所以，由
.故选：B.
4．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及基底法求向量数量积.
【详解】
如图所示，
设与交于点，
由，
得四边形是菱形，且，则，，
由图知，，而，
所以，
同理，，而，
所以，
所以，因为点是圆内一点，则，
所以，
即的取值范围为，
故选：A.
5．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.
【详解】
设，如图所示：
则，
因为与的夹角为120°，
所以，
因为，且的起点相同，
所以其终点共线，即在直线AB上，
所以当时，最小，最小值为，无最大值，
所以的取值范围为，
故选；A
6．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，点A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是（ ）
A．[0，] B．[－5，1]
C．[－，] D．[－2，0]
【答案】B
【解析】
【分析】
设P(x,y)，由已知结合向量数量积的坐标表示可得(x＋6)2＋(y－3)2≤65，即知P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，数形结合法判断P的横坐标的取值范围.
【详解】
设P(x,y)且·≤20.
∴(x＋12)x＋y(y－6)≤20，则(x＋6)2＋(y－3)2≤65.
则P为圆O在圆(x＋6)2＋(y－3)2＝65内部及其上的点，
联立得：或，
结合图形(图略)可知.
故选：B.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A B，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量数量积运算求得，即.设，由直线与圆的关系建立不等式组，求解即可.
【详解】
解：由，得即，所以，即.设，根据题意，直线与圆有公共点，所以，解得（当直线与圆相切时取等号），即的取值范围为.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知平面向量，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，结合向量的坐标运算公式，以及圆外一点到圆上一点的距离问题，即可求解.
【详解】
根据题意，令，，
则，即，
因此在为圆心，4为半径的圆上，易知，
故，即.
故选：C.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知是以为斜边的等腰直角三角形，若，且，则的取值范围是（ ）
A．，， B．，，
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据给定条件求出关于的表达式，再由的取值范围即可计算得解.
【详解】
因是以为斜边的等腰直角三角形，，则，，，
而，则
，
因，即或，于是得或，
所以的取值范围是.
故选：A
10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设，求出动点轨迹方程，然后用三角换元法表示出，计算，并由两角和的正弦公式变形，由正弦函数性质求得范围．
【详解】
设，则由，得M的方程为，设，
则．
故选：D．
11．（2022·全国·高三专题练习）给定两个长度均为2的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示.若，其中，，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，得到， ，.设，则，根据，解得，然后由，利用正弦函数的性质求解.
【详解】
解：建立如图所示的坐标系，
则，，
即，.
设，则.
，，，.
，（此时有，是个锐角）.
.
可取到.
有最大值，
故选：.
12．（2022·全国·高三专题练习）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
可设，，根据，可得的关系式，并得出的范围，，将用表示，再根据函数的最值即可得解.
【详解】
解：可设，，
则，
即，则，，
，
当时，取得最大值为6，
即的最大值为6.
故选：C
13．（2022·全国·高三专题练习）已知 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中 ，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系，得出点的坐标，进而可得向量的坐标，化已知问题为三角函数的最值即可得出答案.
【详解】
解：由题意，以为原点，为轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设，
可得，，，
由，，得，
，，，
，
，，
当时，的最大值为2，此时为弧的中点.
所以的最大值是2.
故选：B.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，，若，，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】A
【解析】
【分析】
令，可得，且，设 ，，，根据已知条件及三角函数的有界性即可求解.
【详解】
令，则，故，且，
假设 ，，，
所以根据已知条件有，
所以，即，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是，
故选：A.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可得，再结合向量的数量积的性质可求，最后代入即可求出答案.
【详解】
设
得
即
,
故选：A
16．（2022·全国·高三专题练习）已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件利用向量模的计算公式得出关于t的函数，再借助均值不等式求解即得.
【详解】
因，是两个互相垂直的单位向量，则，
，
当且仅当，即时取等号，则
所以当时，的最小值是.
故选：B
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得，所以点在的平分线上，即为的角平分线，利用正弦定理得，，可知，结合三角函数的性质可求最小值.
【详解】
表示与共线的单位向量，表示与共线的单位向量，
的分向与的平分线一致，
，
所以点在的平分线上，即为的角平分线，
在中，，，利用正弦定理知：
同理，在中，
，其中
分析可知当时，取得最小值，即
故选：C
18．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值．
【详解】
建立如图所示坐标系，设，则，
所以，，
故，
所以时，取得最小值．
故选：A．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设，由题可得，，进而可得表示圆上点到射线上点的距离，即得.
【详解】
设，
则由非零向量与的夹角为，
得，
∴，即，
由，得，
∴，
∴表示圆上点到射线上点的距离，
∴的最小值为圆心到射线的距离减去半径1，为
故选：A.
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））己知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断．
【详解】
因为，，与的夹角为，
所以，，，
所以满足，
因为，
所以，
所以，
故选：C
21．（2022·山东潍坊·高三期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．
C．[1，2] D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出图形，考虑是线段上的任意一点，可得出，以及，，然后利用平面向量数量积的运算律可求得的取值范围.
【详解】
如下图所示：
考虑是线段上的任意一点，，，
圆的半径长为，由于是线段上的任意一点，则，
所以，.
故选：A.
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B．[12，16]
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意得到，其中，利用平面向量三角形法则表示出，进而可得其范围.
【详解】
因为P在AC上，所以，其中，
则
，
因为，所以.
故选：B
23．（2022·全国·高三专题练习）已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
【答案】C
【解析】
【分析】
以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设，求出点坐标，再求出数量积，然后引入函数，用导数求得最大值．
【详解】
∵，∴可以A为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；
不妨设，则，故点P坐标为
则，∴
令，则，
则当时，，当时，，
则函数在递增，在上递减，则，即的最大值为12．
故选：C．
二、双空题
24．（2022·天津南开·高三期末）在四边形中，，，，则________；若E，F分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得四边形为底角为的等腰梯形，求出的值，结合平面向量的运算法则及，得到不等式，求得取值范围，即可得解．
【详解】
解：依题意等腰梯形中，，，
可得，，，
所以，，．
所以，，
所以
，分别是边，上的点，且满足，所以，
，，
则，，
．
即，
，解得，又．所以，即；
故答案为：；；
25．（2022·全国·高三专题练习）如图，，，是全等的等腰直角三角形（，处为直角顶点），且，，，四点共线.若点，，分别是边，，上的动点（包含端点）， 则________，的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
如图：以为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而可得直线，，的方程，设出，，的坐标，结合横坐标的范围以及数量积的坐标表示即可求解.
【详解】
如图：以为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
则，，，，，，，
直线的方程为：，设，且，
直线的方程为：，设，且，
直线的方程为：，设，且，
所以，，，
，，所以，
故答案为：；.
26．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E.且交AC于点F，则的值为___________；的最小值为___________.
【答案】 1
【解析】
【分析】
设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.
【详解】
设，，如图，
为边长为1的等边三角形，，
，
，
为边长为的等边三角形，，
，
，
，
所以当时，的最小值为.
故答案为：1；.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足则的最小值是________，最大值是_______.
【答案】 4
【解析】
【分析】
利用数量积的定义可得，，然后利用三角函数的性质即得,
【详解】
设向量的夹角为，则，
，则：
，
令，则，
据此可得：，
即的最小值是4，最大值是.
故答案为：4，.
三、填空题
28．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.
【详解】
如图1，令，，，则，取AB中点M .
由，可得，
，
所以，即C在以M为圆心、为半径的圆上.
由，当O、M、C三点共线时（M在线段OC上），.
由于O在以AB为弦的圆弧上，设圆心为G，
由正弦定理可知，即，
当时，圆G半径取得最大值.
当O、M、G三点共线（G在线段OM上），且时，
取得最大值，此时，
所以.
如图2，显然当O、M、C三点共线（点C在线段OM上），
当时，圆G半径取得最小值.
，即M、G两点重合.取得最小值为2.
则时，.
故向量的模取值范围是
故答案为：
29．（2022·浙江杭州·高三期末）已知向量，，，，...（）是两两互不相等的平面向量，，，（其中，2；，2，...，k）.若k的最大值是8，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
当两个向量共始点时，其差向量的模等于两向量终点的距离，则向量的终点到、终点的距离都是1或2，从而转化成两组同心圆交点个数问题，然后可解.
【详解】
作，再以O为始点作向量，因为所以的终点在以A为圆心，1和2为半径的同心圆上，又因为，所以的终点在以B为圆心，1和2为半径的同心圆上，由于k的最大值是8，故两组同心圆有8个交点，所以，即 .
故答案为：
30．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.
【答案】1
【解析】
【分析】
以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，借助平面向量运算即可计算作答.
【详解】
以为坐标原点，射线分别为轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则，
，，，
有，由得：，
而的取值范围为，于是得，而 m为正数，解得：，
所以.
故答案为：1第16讲 平面向量范围与最值问题
方法总结：
1.探求向量范围与最值问题，可以建立平面直角坐标系，借助向量的坐标表示，利用代数运算、三角变换等方法解决.
2.探求向量范围与最值问题，如果代数转化比较困难，则可以考虑向量背后的几何意义，从而把最值问题转化为对称问题来处理.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，当与所成角最大时，则______
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足：，向量与向量的夹角为，，向量与向量的夹角为，则的最大值为___________.
例3．（2022·全国·高三专题练习）锐角中，角，，所对边的长分别为，，，设的面积为，若，则的最大值为_______________________.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，是平面内的两个非零向量，则当取最大值时，与夹角为________．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为______.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知在中.，平面内有动点满足，则数量积的最大值是___________.
例7．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知平面向量，，满足，，则的最小值是___________.
例8．（2022·浙江·高三开学考试）已知非零平面向量，夹角为，且，若，则的最小值为_______________．
例9．（2022·浙江湖州·高三期末）已知圆的半径是3，是圆内一动点，且，是圆上的两个动点.若，则的取值范围是___________.
例10．（2022·浙江上虞·高三期末）设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．
过关练习：
1．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知菱形ABCD的边长为2，设，若恒成立，则向量在方向上投影的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·海南·模拟预测）在直角梯形ABCD中，，，且，.若线段CD上存在唯一的点E满足，则线段CD的长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））点M在边长为2的正三角形内（包括边界），满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）半径为4的圆上有三点，满足，点是圆内一点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高三专题练习（文））在平面直角坐标系xOy中，点A(－12,0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是（ ）
A．[0，] B．[－5，1]
C．[－，] D．[－2，0]
7．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O的方程为，过圆O外一点作圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A B，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知平面向量，满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知是以为斜边的等腰直角三角形，若，且，则的取值范围是（ ）
A．，， B．，，
C． D．
10．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点．若动点M满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）给定两个长度均为2的平面向量和，它们的夹角为.点在以为圆心的圆弧上运动，如图所示.若，其中，，则的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知为单位向量，向量满足：，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）已知 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点在以为圆心的上运动.若，其中 ，则的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．3
14．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，，若，，则（ ）
A．的最小值是 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的最大值是
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量满足，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知，是两个互相垂直的单位向量，且，，则对任意的正实数的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
18．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））己知，，与的夹角为，若向量满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022·山东潍坊·高三期末）已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．
C．[1，2] D．
22．（2022·全国·高三专题练习）在中，，P为边AC上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B．[12，16]
C． D．
23．（2022·全国·高三专题练习）已知，若点P是所在平面内的一点，且，则的最大值等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
二、双空题
24．（2022·天津南开·高三期末）在四边形中，，，，则________；若E，F分别是边，上的点，且满足，则当时，的取值范围是________.
________，的取值范围为_______.
26．（2022·全国·高三专题练习）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E.且交AC于点F，则的值为___________；的最小值为___________.
27．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，满足则的最小值是________，最大值是_______.
三、填空题
28．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知非零平面向量，，满足，且，若与的夹角为，且，则的模取值范围是___________.
29．（2022·浙江杭州·高三期末）已知向量，，，，...（）是两两互不相等的平面向量，，，（其中，2；，2，...，k）.若k的最大值是8，则a的取值范围是___________.
30．（2022·全国·高三专题练习）在矩形中，已知，（为正常数），为边的中点，是对角线上的动点（含端点），若的取值范围为，则___________.第17讲 均值不等式
方法总结：
1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量
①求和的式子→乘积为定值
②乘积的式子→和为定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
2.常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知，（，），若，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】
由，列方程化简变形可得，从而，然后利用基本不等式可得答案
【详解】
因为，，，
所以，
因为，，所以，
所以，
当且仅当，即取等号，
所以的最小值为16，
故答案为：16
例2．（2022·江西上饶·一模（文））已知a，b均为正数且满足，则，的最小值为___________.
【答案】8
【解析】
【分析】
巧用值的代换拼凑，展开利用基本不等式即求得最小值.
【详解】
因为，
故，
当且仅当时即时等号成立，故最小值为8.
故答案为：8.
例3．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用基本不等式来求得最小值.
【详解】
由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，
当且仅当＝，时取等号， 此时，
故的最小值为．
故答案为：
例4．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】
利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可.
【详解】
由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．
故答案为：6.
例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由基本不等式得出，再由得出最值.
【详解】
，当且仅当时，取等号，即
，当且仅当时，取等号.
故的最小值是
故答案为：
例6．（2022·全国·高三专题练习）设，则最小值为________
【答案】4
【解析】
【分析】
将原式进行配凑变形得，结合基本不等式可求出代数式的最小值.
【详解】
原式
，
，则，，，
，，
当且仅当，时，即时等号成立，
又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4.
故答案为：4
例7．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为________
【答案】##0.75
【解析】
【分析】
由题意可知，，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.
【详解】
因为，，
所以，，
所以．
当且仅当时，取得最小值．
故答案为：.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，若，则的最小值为________
【答案】##
【解析】
【分析】
对已知条件进行因式分解，转化为一次因式的积，再由均值定理解决即可.
【详解】
，．
，，
令，解得，，．
则，
当且仅当，即，时取等号．
的最小值为．
故答案为：．
例9．（2022·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值为________
【答案】
【解析】
【分析】
因为正数，满足，所以，再根据基本不等式中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】
正数，满足，．
．
当且仅当，即时取等号，此时结合，
得
，可知的最小值为．
故答案为：．
过关练习：
1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若，，，则的最小值等于（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由，且，
所以，
又由，可得，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以最小值等于.
故选：D.
2．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出两圆得圆心与半径，再根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，从而可求得，再根据，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】
解：圆化为，
则圆心为，半径，
圆化为，
则圆心为，半径，
因为两圆（）和（）恰有三条公切线，
所以两圆外切，
则圆心距，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件结合基本不等式进行求解.
【详解】
由题意，，故选项A错误；
，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
，则，故选项C错误；
，故选项D错误.
故选：B.
4．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））当时，函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
将函数化为，再运用基本不等式求解.
【详解】
，，
，
当且仅当时取等号，故函数的最小值为.
故选：C.
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由根据函数的单调性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求实数m的最大值.
【详解】
设，则，
当时，，
所以函数在上为增函数，
∵
∴ ，即，又，
∴ ，
∴
当且仅当时等号成立，
∵不等式对任意的正实数恒成立，
∴ ，
故选：D.
6．（2022·广东·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】
，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27
故选：D
7．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正项等比数列}中，存在两项且 ，使得，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件结合等比数列通项公式可得，进而有，再应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.
【详解】
令公比为，由题设，又，
所以，可得或(舍)，
由，即，可得，
所以，又，则，
，当且仅当时等号成立，
所以，故当时.
故选：C
8．（2022·福建宁德·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【解析】
【分析】
对方程变形，再利用基本不等式进行求解.
【详解】
整理为：，由基本不等式得：，即，解得：或，由于，所以舍去，从而的最小值是10
故选：D
9．（2022·山西太原·高三期末（文））已知为正实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为
所以
当且仅当，即时等号成立
故选：A
10．（2022·广东·金山中学高三期末）已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】
由，可得，则，
对于A中，由，所以，所以A不正确；
对于B中，由，且，则，所以B不正确；
对于C中，由，且，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时，所以C不正确；
对于D中，由，因为，可得，
所以，可得，所以D正确.
故选：D.
11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】
解：函数中，由可得，，即函数的图象恒过定点，
若点在直线上，即有，
于是得，
当且仅当时取“=”，
所以时，的最小值为.
故选：D
12．（2022·浙江上虞·高三期末）已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由，可得，
因为，可得且，解得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B.
13．（2022·江西上饶·一模（理））已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】
因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：A.
14．（2022·安徽淮北·一模（文））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数性质得出定点，再由基本不等式得出最值.
【详解】
由得，即，故，因为点在直线上，，所以，且.，当且仅当时，等号成立.
故选：D
15．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知，，若，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．16 D．18
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得，然后利用“乘1法”即得.
【详解】
∵，， ，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为为16.
故选：C.
16．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性和奇偶性，将已知条件转化为恒等式，变形为，根据“1”的妙用，利用基本不等式求解即可.
【详解】
∵，
∴函数在上为单调递增函数，
∵，
∴函数为上的奇函数，
∵，
∴，即，
，
当且仅当，即时取得最小值.
故选:.
17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x，y满足，则的最小值与最大值的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式进行变形得，然后将进行代换得
，继而解不等式可得答案.
【详解】
因为,
所以 ，即 ，
所以，即，
又因为，
所以，即 ，
解得 ，
故的最小值与最大值的和为5，
故选：B
二、多选题
18．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及其基本不等即可求解.
【详解】
对于选项,∵，，，∴，解得，同理可知，则不正确，正确；
对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，∴，
则正确；
对于选项,∵，当且仅当时，等号成立，
∴，则正确．
故选：.
19．（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】
解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.
对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.
对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.
对于D选项，，
当且仅当，即无解，故D不正确.
故选：BC.
20．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知正数a，b满足，下列说法正确的有（ ）
A．ab的最大值为1
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据基本不等式结合选项一一判断即可．
【详解】
解：对于A：由正数a，b满足，得，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：，所以的最大值为，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：，当且仅当取等号，当时第二个等号成立，故两个等号不能同时成立，故，故D错误．
故选：AC．
21．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．的最小值是
D．的最小值是
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于A：利用“乘1法”转化后，利用基本不等式求得最小值，进而判定；
对于B：先利用基本不等式求得的取值范围，根据此范围利用基本不等式求最小值时注意基本不等式取等号的条件不能成立，进而判定；
对于C：利用基本不等式和指数幂的运算性质得到最小值，进而判定；
对于D：利用对数的运算法则、对数函数的单调性和B中求得的的取值范围，得到所求式子的最大值为-2，进而判定.
【详解】
对于A：，当且仅当时等号成立，
故A正确；
对于B：，当且仅当时等号成立，
∵,∴，当且仅当时取等号.
但,故等号取不到，∴，故B错误；
对于C：，当且仅当时等号成立，
故C正确；
对于D：，当且仅当时等号成立，故D错误．
故选：AC．
22．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．xy的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
【答案】BD
【解析】
【分析】
利用基本不等式判断选项A，利用基本不等式判断选项B，利用拼凑法和基本不等式的应用判断选项C、D.
【详解】
因为，，所以，所以，
解得，即，则A错误.
因为，，所以，所以，
即，解得，则B正确.
因为，所以，
则，
当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.
，
当且仅当即时等号成立，则D正确.
故选：BD
三、填空题
23．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）已知，且，则的最小值是______．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据均值不等式求最小值即可.
【详解】
由题意，得，
则
（当且仅当时取等号，即时取等号），
故的最小值是6．
故答案为：6
24．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知，为正数，满足，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】
由已知得，再利用基本不等式以及一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】
因为，为正数，满足，
则可化简为，
当且仅当即，时取等号，
此时，解得或（舍），
由，得，当，时取等号，
故的最小值为.
故答案为：.
25．（2022·重庆长寿·高三期末）已知，则的最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】
根据对数的运算性质可得x＋2y＝xy，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】
因为，
所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以，
则，
当且仅当且，即x＝y＝3时取等号．
故答案为：9
26．（2022·江西九江·一模（文））若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】
由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】
解：依题意得，所以，
即，，当且仅当时，等号成立，
故的最大值为1.
故答案为：1
27．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】
解：根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，
所以，
因为
所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值是.
故答案为：
28．（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用变形为，再将变形为
，利用基本不等式整理为，进而再用基本不等式求得答案.
【详解】
由正实数a，b，，可得 ，
所以
而，当且仅当 即 时取等号，
故
，
当且仅当 时，即 时取等号，
故答案为：
29．（2022·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为__________.
【答案】3
【解析】
【分析】
将原式变形为，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】
解：，当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：3.
30．（2022·河南南乐·高三阶段练习（理））已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】
设直线与曲线的切点为，求得，，将切点坐标代入切线方程可得出，将所求代数式变形为，将该代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得结果.
【详解】
设直线与曲线的切点为，
对求导得，所以，即，
所以，所以切点为，
由切点在切线上，可得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值是．
故答案为：．第17讲 均值不等式
方法总结：
1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量
①求和的式子→乘积为定值
②乘积的式子→和为定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
2.常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知，（，），若，则的最小值为__________．
例2．（2022·江西上饶·一模（文））已知a，b均为正数且满足，则，的最小值为___________.
例3．（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
例4．（2022·湖南娄底·高三期末）已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
例5．（2022·浙江杭州·高三期末）已知正实数x，y满足，则的最小值是___________.
例6．（2022·全国·高三专题练习）设，则最小值为________
例7．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为________
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，若，则的最小值为________
例9．（2022·全国·高三专题练习）若正数，满足，则的最小值为________
过关练习：
1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若，，，则的最小值等于（ ）
A．2 B． C．3 D．
2．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2022·河南·模拟预测（文））已知，，，则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））当时，函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
6．（2022·广东·模拟预测）已知，，，则的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
7．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正项等比数列}中，存在两项且 ，使得，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·福建宁德·模拟预测）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
9．（2022·山西太原·高三期末（文））已知为正实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
10．（2022·广东·金山中学高三期末）已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（2022·浙江上虞·高三期末）已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·江西上饶·一模（理））已知，，，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．6
14．（2022·安徽淮北·一模（文））函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．9
15．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知，，若，则的最小值为（ ）
A．6 B．9 C．16 D．18
16．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
17．（2022·湖北武昌·高三期末）已知正数x，y满足，则的最小值与最大值的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
二、多选题
18．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2022·江苏南通·一模）下列函数中最小值为6的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知正数a，b满足，下列说法正确的有（ ）
A．ab的最大值为1
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为2
21．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值是4
B．的最小值是2
C．的最小值是
D．的最小值是
22．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）已知，，且，则（ ）
A．xy的取值范围是 B．的取值范围是
C．的最小值是3 D．的最小值是
三、填空题
23．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）已知，且，则的最小值是______．
24．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知，为正数，满足，则的最小值为______.
25．（2022·重庆长寿·高三期末）已知，则的最小值为______．
26．（2022·江西九江·一模（文））若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______.
27．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．
28．（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
29．（2022·重庆·模拟预测）已知，则的最小值为__________.
30．（2022·河南南乐·高三阶段练习（理））已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．第18讲 多变量范围与最值问题
方法总结：
1.消元法：
（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：
① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）
② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
（2）换元：常见的换元有两种：
①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围
②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题.
2.放缩法
（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元
（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果
（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果
（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。
3.数形结合
典型例题：
例1．设，则的最小值为　　
A．2 B．4 C． D．
【解答】解：由，可得，
则
．
当且仅当时取等号．
因此的最小值为．
故选：．
例2．设，则的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．5
【解答】解：
当且仅当，，时等号成立
如取，，满足条件．
故选：．
例3．已知正数、、满足，则的最小值为　　
A．3 B． C．4 D．
【解答】解：由题意可得，，
，
当且仅当即时取等号，
又，，
当且仅当时取等号，，
，，
，
当且仅当且时取等号，
的最小值为4
故选：．
例4．设，，，且，则的最大值是　　
A．13 B．12 C．11 D．10
【解答】解：，，，且，
，即，
那么令函数，
令，
则，
当在，时，，在，上是单调递减；
当在，时，，在，上是单调递增；
（2）；
同理：令，
则，
当在，时，，在，上是单调递减；
当在，时，，在，上是单调递增；
（2）．
故当，，时，函数取得最大值，
即．
故选：．
例5．已知，，，且，，则的最大值为　　
A． B． C．3 D．4
【解答】解：，
当且仅当时取等号
，
，可得，
则
当时，
取得最大值，
的最大值为
故选：．
例6．已知、、是平面上任意三点，，，，则的最小值是　　．
【解答】解：依题意，得，于是
其中，等号当且仅当且，即，时成立．
所以，所求最小值为
故答案为：
例7．设实数、、满足，则的最小值为　　．
【解答】解：法1：令，，其中：，，．
则
，当且仅当取等号．
的最小值为．
故答案为：．．
法实数，，满足，
，当，时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
例8．设实数、、满足，，，且，，则　12　
【解答】解：由，，，且，可得，，．
，，，
又，
可得，
，，，
则或1，或1，或1．
由对称思想，不妨，则，．
．
故答案为：12．
例9．已知实数，，满足，则的最小值是　　．
【解答】解：实数，，满足，
，当，时取等号，
的最小值为．
故答案为：．
例10．设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为 　4　．
【解答】解：由，
得
当且仅，即时等号成立，则，
则，
当且仅当，，时取等号，
故的最大值为4．
故答案为：4．
过关练习：
1．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知正实数x，y，z，ω满足，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用，将化为，再利用a,b等值代换，最后利用基本不等式可得答案.
【详解】
因为，所以，
令，，
则，且，所以.
因为，
当且仅当，，即时取等号.
故选：B.
2．（2022·浙江·高三学业考试）若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将不等式转化为，根据在上单调递增，可得，参变分离后令，可转化为在上恒成立，利用基本不等式求解的最大值，即可得的取值范围.
【详解】
由，可得，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，令，则在上恒成立，令，则，当且仅当，即时，取等号，所以.
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据基本不等式可得，令，将问题转化为的最小值，再用基本不等式计算即可.
【详解】
解：，
可得，
由，，解得，
对任意满足条件的正实数，都有
不等式恒成立，
可得的最小值，
可令，则在递增，可得的最小值为，
则，
故选：B．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若存在两相异实数，使，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得，题设转化为，是的两个不等实数根，应用根与系数关系及已知条件，将目标式转化为关于a、b的函数式，由二次函数的性质求最值.
【详解】
由题意，当，有，
，
，是方程的两个不等实数根，
，，而，
，即，
，
令，则，故当时的最小值为.
故选：B.
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知正实数，，满足，则当与同时取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，结合基本不等式得到当时等号成立；化简，结合二次函数，得到取得最大值，联立方程组，即可求解.
【详解】
由，可得，
则 ，
当且仅当时等号成立；
又由，
当时，等号成立，
所以当与同时取得最大值时，则有，
解得，此时.
故选：B.
6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
二元函数的几何意义是动点到定点距离的和，结合三点确定的线段和差关系即可得解.
【详解】
依题意，因，，则点在由直线围成的矩形ABCD区域内(含边界)，如图，
而表示动点到定点距离的和，在矩形ABCD及内部任取点P，
连接PO，PA，PQ，PC，AC，于是有，当且仅当点P在线段OQ上时取“=”，，当且仅当点P在线段AC上时取“=”，
于是得，当且仅当点P是线段OQ与AC的交点时取“=”，
显然直线AC：与y轴交点在线段OQ上，即当点时，，
所以二元函数的最小值为7.
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.
【详解】
因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当，且，即时取等号，
则的最大值为．
故选：A．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由根据函数的单调性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求实数m的最大值.
【详解】
设，则，
当时，，
所以函数在上为增函数，
∵
∴ ，即，又，
∴ ，
∴
当且仅当时等号成立，
∵不等式对任意的正实数恒成立，
∴ ，
故选：D.
二、填空题
9．（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用变形为，再将变形为
，利用基本不等式整理为，进而再用基本不等式求得答案.
【详解】
由正实数a，b，，可得 ，
所以
而，当且仅当 即 时取等号，
故
，
当且仅当 时，即 时取等号，
故答案为：
10．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________
【答案】3
【解析】
【分析】
由题干条件得到，对变形，利用基本不等式进行求解.
【详解】
一元二次不等式对一切实数都成立，
当时，不能保证恒成立，不符合题意；
当时，要满足
，由此，
，，
得：，
则，
即时，取等号，
故答案为：3．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足：，，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
令，，将题设条件化为，目标式化为，应用线性规划数形结合思想，画出可行域，判断目标式直线与可行域有交点情况下的取值范围.
【详解】
令，，
由，则；由，则，
∴，
则问题等价于满足约束条件，求的取值范围，
可行域如下图示：
由图可得：，，
，
故答案为：
12．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.
【答案】3
【解析】
【分析】
可先通过赋值，判断，再令，结合二次函数最值，可得所求最大值.
【详解】
任意满足的实数，都有，
若，则，
可取，，可得，即恒成立，
由于，可得最大取2，
可得，
即有的最大可能值为3.
故答案为：3.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的方程在，上有实数根，，则的取值范围是__.
【答案】
【解析】
【分析】
由，得，代入，分离参数得，结合换元法和对勾函数性质可求的取值范围.
【详解】
设方程的根为，则，
，
，
，
，
设，则，
，，，，
，
.
故答案为：，.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，满足，（1），方程在区间上有两个实数根，则实数的取值范围为__.
【答案】
【解析】
【分析】
应用两根式表示，根据已知可得，结合零点所在区间及基本不等式即可求实数的取值范围，注意等号成立条件.
【详解】
设，则且(1)，
两式相乘得：，而，则，，
∴由上可得，又，则，当且仅当时等号成立.
∴实数的取值范围为，
故答案为：，.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由分段函数的性质画出函数图象，若、，将问题转化为与的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得、、，根据目标式求范围即可.
【详解】
由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.
∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，
由图知：，且，
∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，
∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，
∴，即.
综上，的范围为.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：将问题转化为函数的交点问题，应用数形结合法判断交点横坐标的范围及关系式，根据目标式求范围.
16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
因为均为正实数，则，则对一切正实数恒成立，利用基本不等式求出的最大值即为的最小值.
【详解】
，当且仅当时取等号，
，的最小值为2
故答案为：2
17．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数的值域为，则的最大值为__________.
【答案】##1.2
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质知，的值域为，进而可得，将目标式化为，结合基本不等式求最大值，注意等号成立条件.
【详解】
由题意知： , 的值域为，
∴，则，
又，
∴，当且仅当 时取等号，故目标式最大值为.
故答案为：.
18．（2022·天津西青·高三期末）已知函数有且只有一个零点，若方程无解，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
确定函数为偶函数，得到，即，带入解析式，利用均值不等式得到最值，得到取值范围.
【详解】
，
故函数为偶函数，有且只有一个零点，故，即，，
·
，当且仅当，即时等号成立.
方程无解，故.
故答案为：.
19．（2022·四川绵阳·一模（文））已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
对二次函数对称轴进行分类讨论，找到所需要的条件，进行求解.
【详解】
函数的对称轴：，且恒过原点.
当，即时，在上单调递增，要想对任意的恒成立，只需，解得：，与矛盾，舍去
当，即时，在上单调递减，要想对任意的恒成立，只需，解得：，与矛盾，舍去
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，要想对任意的恒成立，只需，解得：，因为，所以数的取值范围为.
故答案为：第18讲 多变量范围与最值问题
方法总结：
1.消元法：
（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：
① 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）
② 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。
（2）换元：常见的换元有两种：
①整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可通过换元转为一元表达式，在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围
②三角换元：已知条件为关于的二次等式时，可联想到三角公式，从而将的表达式转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所以在有些题目中可巧妙的解决问题.
2.放缩法
（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元
（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果
（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果
（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。
3.数形结合
典型例题：
例1．设，则的最小值为　　
A．2 B．4 C． D．
例2．设，则的最小值是　　
A．2 B．4 C． D．5
例3．已知正数、、满足，则的最小值为　　
A．3 B． C．4 D．
例4．设，，，且，则的最大值是　　
A．13 B．12 C．11 D．10
例5．已知，，，且，，则的最大值为　　
A． B． C．3 D．4
例6．已知、、是平面上任意三点，，，，则的最小值是　　．
例7．设实数、、满足，则的最小值为　　．
例8．设实数、、满足，，，且，，则　　
例9．已知实数，，满足，则的最小值是　　．
例10．设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为 　　．
过关练习：
1．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知正实数x，y，z，ω满足，且，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．（2022·浙江·高三学业考试）若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数，满足，若对任意满足条件的正实数，都有不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．， B．，
C．， D．，，
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若存在两相异实数，使，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江·高三专题练习）已知正实数，，满足，则当与同时取得最大值时，（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））设平面点集包含于，若按照某对应法则，使得中每一点都有唯一的实数与之对应，则称为在上的二元函数，且称为的定义域，对应的值为在点的函数值，记作，若二元函数，其中，，则二元函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（理））已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题
9．（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
10．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为________
11．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足：，，则的取值范围是________
12．（2022·全国·高三专题练习）设，，，对任意满足的实数，都有，则的最大可能值为__.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知关于的方程在，上有实数根，，则的取值范围是__.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，满足，（1），方程在区间上有两个实数根，则实数的取值范围为__.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.
16．（2022·全国·高三专题练习）若不等式对一切正实数恒成立，则实数的最小值为_____．
17．（2022·全国·高三专题练习）设二次函数的值域为，则的最大值为__________.
18．（2022·天津西青·高三期末）已知函数有且只有一个零点，若方程无解，则实数的取值范围为___________.
19．（2022·四川绵阳·一模（文））已知函数，若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为______．

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