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第19讲 等差数列、等比数列的综合问题
方法总结：
1.等差数列性质与等比数列性质：
等差数列 等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中项
等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列
相邻项和 成等差数列 成等比数列
2.如何判断一个数列是等差（或等比）数列
（1）定义法（递推公式）：（等差），（等比）
（2）通项公式：（等差），（等比）
（3）前项和：（等差），（等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项
3.如何证明一个数列是等差等比数列：
（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即，均有：
（等差） （等比）
典型例题：
例1．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）7．
【解析】
（1）由所给等式根据的关系证明数列为等差数列，确定数列的首项与公差即可写出通项公式；（2）利用裂项相消法求和；（3）作差证明数列是递增数列，根据题意，解不等式即可.
【详解】
（1）∵，①
∴，②
①-②得．
∴，化简．
∵，∴．
∴是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴．
（2）．
∴
．
(3)由(2)知，
．
∴数列是递增数列，则，
∴，解得，
∴整数的最大值是7．
【点睛】
裂项相消求和法适用于通项公式是分式形式的数列求和，求和时把每一项拆成一个或多个分式的差的形式，然后在累加时抵消中间项.常见的拆项公式：
（1） ；
（2）；
（3）；
（4）.
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列各项均为正数，其前n项和，数列是公差为正数的等差数列，且成等比数列
（1）求数列的通项公式;
（2）令求数列的前n项和
【答案】（1）；；（2）.
【解析】
（1）由数列与的关系可得，进而可得，结合等差数列的性质即可得；由等差数列的通项公式结合等比数列的性质可得数列的公差和首项，即可得；
（2）转化条件为，利用裂项相消法即可得解.
【详解】
（1）在数列中，，
当时，，
所以，
化简得，
又数列各项均为正数，所以，所以，
因为，解得或（舍去），
所以数列是以3为首项，公差为2的等差数列，
所以；
设数列的公差为，
因为，所以，
又成等比数列，所以即，
所以，
所以；
（2）由题意，，
所以.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用数列与的关系转化条件，求得，要注意裂项相消法的适用条件和使用方法.
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意判断出为等比数列，，，成等差数列，列式求解出，可得的通项公式；（2）得，所以，则前项和利用错位相减法计算即可.
【详解】
解：（1）依题，∴是以为公比的等比数列，
又，，成等差数列.
∴，即，∴，
∴.
（2）由（1）得，设，
①
②
①-②：，
∴.
【点睛】
本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2），．
【解析】
【分析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
【点睛】
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，对任意且.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和为.
【答案】(1)答案见解析；(2).
【解析】
【详解】
试题分析：
(1)利用递推关系证得后项与前项做差为2即可证得数列为等差数列，据此可求得数列的通项公式为；
(2)结合(1)的结论裂项求和可得数列的前项和为.
试题解析：
（1）由得，∴，又，∴，所以数列是公差为2的等差数列，又，∴.
（2）由（1）知，∴ .
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【解析】
【详解】
试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.
试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.
【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
过关练习：
1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A．978 B．557 C．467 D．979
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d，由cn=an+bn列出方程组，求出数列的通项公式，利用分组求和法可得数列{cn}的前10项和．
【详解】
设等比数列{an}的公比为q，等差数列{bn}的公差为d.
∵cn=an+bn，
解得，∴cn=2n-1+(1-n).
∴{cn}的前10项和为．
故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，由题意可得：，进而可得结果.
【详解】
设等差数列公差为d，等比数列公比为q，
由题意可得：
A. ,故A不正确；
B. ，故B正确；
C. ，故C不正确；
D. ，故D不正确.
故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据，，成等差数列以及单调递减，求出公比，再由即可求出，
再根据等比数列通项公式以及前项和公式即可求出.
【详解】
解：由，，成等差数列，
得：，
设的公比为，则，
解得：或，
又单调递减，
，
，
解得：，
数列的通项公式为：，
.
故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，，，（ ）
A．存在， B．存在，使得是等差数列
C．存在， D．存在，使得是等比数列
【答案】D
【解析】
由，得到，递推作差求得，进而得到，结合选项和等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】
由，即，则，
两式相减，可得，可得，
即恒成立，所以数列为常数列，
因为又由，，可得，则，
所以，即，
因为，可得，可判定A、C不正确；
由，，可得，
假设B成立，则成等差数列，
则，此时无解，所以B不正确；
对于D中，假设，所以，
由，解得，
所以存在使得是等比数列.
故选：D.
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．58
【答案】A
【解析】
由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.
【详解】
设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为，所以，，
因此，
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由等差，等比数列的形式特征画函数的图象，根据图象判断选项.
【详解】
等差数列的通项公式是关于的一次函数，，图象中的孤立的点在一条直线上，
而等比数列的通项公式是关于的指数函数形式，图象中孤立的点在指数函数图象上，
如图所示当时，如下图所示，
当公差时，如下图所示，
如图可知当时，，，，.
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断的方法，选择图象法可以比较快速的判断选项.
7．（2022·安徽六安·一模（理））已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件列出首项和公比的方程组可得答案.
【详解】
由得，①
又，得，②
由①②得，，.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）数列，满足，，，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到数列是等差数列，数列是等比数列，求得，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】
由题意，数列，满足，，，
所以数列是等差数列，且公差是2，是等比数列，且公比是2，
又因为，所以
所以，
设，所以，则，
所以数列是等比数列，且公比为4，首项为4．
由等比数列的前n项和的公式，可得数列前n项的和为
故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
【答案】D
【解析】
由可求得数列的通项公式，进而求得数列，表示出，
令，即可得到满足不等式的最小整数.
【详解】
解：由题意可知：，
即，
即，
又，
，
即数列是以首项为9，公比为的等比数列，
，
即，
，
，
则，
即，
又，
满足不等式的最小整数，
即.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用构造法求出数列的通项公式.
10．（2022·全国·高三专题练习）对于无穷数列，给出下列命题：
①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列．
②若等差数列满足，则数列是常数列．
③若等比数列满足，则数列是常数列．
④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
①根据等差、等比数列的性质可判断且；②根据等差数列的单调性无界性判断是否为常数列；③根据特例即可判断是否正确；④由正项等比数列的性质可得，，进而判断是否为常数列.
【详解】
①：若数列既是等差数列又是等比数列，若，则，故，而，所以数列为常数列且，正确；
②：等差数列为无穷数列，若公差不为0，则要么递增要么递减，即无上界，要使等差数列满足，则数列是常数列，正确；
③：若等比数列满足，如，所以数列不一定是常数列，错误；
④：若各项为正数的等比数列满足，即，可得，，
若，则无上界，故，进而数列是常数列，正确．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：根据等差、等比数列的性质，如：、时数列无界性等，判断各项命题的正误.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．无法确定
【答案】A
【解析】
可以使用排除法进行判断．当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意。当时，经过运算可得，不符合题意．经过进一步验证，当存在数列符合题意。
【详解】
当时，无论删掉哪一项，必定会出现连续三项既是等差数列．又是等比数列，则为常数列，于是该数列公差为零，不满足题意，则或．当时，由以上分析可知，只能删掉第三项，此时，不满足题意．故．验证过程如下：
当时，有，，，．
将此数列删去某一项得到的数列（按照原来的顺序）是等比数列．
如果删去，或，则等于有3个项既是等差又是等比，不满足题意．
故可以知道删去的是，或．
如果删去的是，则，故，
整理得到，即，故即．
如果删去的是，则，故，
整理得到即，故即．
可得或1．
故答案为：A．
【点睛】
关键点点睛：等差数列中有等比数列，常用基本量来展开计算，注意根据项数来分类讨论．
12．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
【答案】A
【解析】
由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则有，，
解之可得，，
.
故选：A.
二、多选题
13．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，若为常数），则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{an2}是等方差数列
C．{（﹣1）n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用等方差的定义和等差数列的定义逐个进行演算，能够推出B不正确，其余的都正确．
【详解】
对于A中，数列{an}是等方差数列，可得为常数），
即有是首项为，公差为d的等差数列，故A正确；
对于B中，例如：数列是等方差数列，但是数列不是等方差数列，所以B不正确；
对于C中，数列中，，
所以数列是等方差数列，故C正确；
对于D中，数列{an}中的项列举出来是：，
数列中的项列举出来是，
因为（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p
所以（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp
所以akn+12﹣akn2＝kp，所以，数列{akn}是等方差数列，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列……，其中第一项是，接下来的两项是再接下来的三项是依次类推…，第项记为，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
对于AC两项，可将数列进行分组，计算出前组一共有个数，第组第个数即，可得到选项C
由C得到，则为第11组第5个数，可得
对于BD项，可先算得，即前组数之和
即为前5组数之和加上第6组前3个数，由结论计算即可.
【详解】
A.由题可将数列分组
第一组： 第二组： 第三组：
则前组一共有…个数
第组第个数即，故，C对
又，故
又，
则为第11组第5个数
第11组有数：
故，A对
对于D. 每一组的和为…
故前组之和为…
故D错.
对于B.
由D可知，
，
故B错
故选：AC
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
【答案】ACD
【解析】
当时，化简得，得到，求得，进而求得，得到A正确，B不正确；当时，得到，求得，求得，可判定C正确，D正确.
【详解】
因为数列的前项和为，且满足，
当时，可得，
即，所以，
可得，即，
又因为，所以，
则，可得，
故A正确，B不正确.
当时，由已知得，
即，
所以，所以，所以，
所以，所以，故C正确，D正确.
故选：ACD.
【点睛】
利用数列的递推公式求解数列的通项公式的策略：
1、对于递推关系转化为（常数）或（常数）可利用等差、等比数列的通项公式求解；
2、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；
3、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；
4、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.
三、双空题
16．（2022·浙江·高三学业考试）设等差数列的公差为非零常数，且，若成等比数列，则公差___________，___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由等差数列通项及等比数列的性质可得，即可求，并写出通项公式.
【详解】
由题意，，又且成等比数列，
∴，即且，故，
∴.
故答案为：2，
四、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得．
【详解】
解：设等差数列的公差为，则，
由已知，
即，得，
于是，在等比数列中，
公比．
由为数列的第项，知；
由为数列的第项，知，
，
故.
故答案为．
【点睛】
该题考查的是有关等差数列与等比数列的综合问题，属于中档题目，在解题的过程中，需要对等差数列的通项公式与等比数列的通项公式熟练掌握，并且要注意三项成等差数列的条件，得出等差数列的首项与公差的条件，从而确定出所得的等比数列的项的特点，进一步求得结果，从而求得等比数列的项的特点，得到的关系，从而求得结果，在做题的过程中，如果分析不到位，很容易出错.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，，成等差数列，根据等差中项的定义结合等比数列的通项列出方程，求出q即可.
【详解】
∵，，成等差数列，
∴，即，
∴，
∴，
∴或 (舍)．
∴.
故答案为：.
19．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______
【答案】18
【解析】
【分析】
根据题意和等比数列的性质，求得，，进而求得等比数列的通项公式，得到，在由等差数列的求和公式，得到，再结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】
因为为各项均为正数的等比数列，且公比，
由，
可得，为方程的两根，又由，所以，，
得，即，所以，
由，所以为等差数列，
所以，则，即数列也为等差数列，
所以，
结合二次函数的图象与性质，可得当或9时，最大，最大值为18．
故答案为：18．
20．（2022·浙江·高三专题练习）为公差不为0的等差数列，且恰为等比数列，其中，则为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设数列为，利用等比中项运算可求出等差数列的首项以及通项公式，进而由求出的公比，再用可得．
【详解】
设数列为，
则，∵，∴
即，∴，∴，∴，
设的公比为q，则，∴
即，∴．
故答案为：
21．（2022·上海·高三专题练习）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则________.
【答案】1078
【解析】
根据数列的递推关系式，求出数列的前几项的最大值和最小值，进而结合计算规律和等差、等比数列的求和公式，求得的最大值和最小值，即可求解.
【详解】
由题意，数列满足：，，
由，可得；
由，可得或；
由，可得或；或；
或；
由，可得或或；
或或；或或或或；
或或或或或；
综上可得的最大值，
最小值为，
所以.
故答案为：
【点睛】
与数列的新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
五、解答题
22．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
根据等差 等比数列的通项公式以及数列单调性来找到数列的最大项，题干中有3个条件，选取一个进行分析即可.
【详解】
记，从而有().
选择①，数列是公比为的等比数列，
因为，所以，即.
所以，所以.
由，当时，，当时，，
所以当或2时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，2，使得对任意的，都有.
选择②，方法一：是公差为1的等差数列，
因为，所以，
当时，，
则，
当时，上式成立，
所以.
所以，从而.
由，
所以当时，；当时，，
所以当时，取得最大值，即取得最大值.
所以存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用“夹逼法”，即利用来求解.
，
由()，得，解得.
选择③，方法一：，
则，
从而，
即.
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
所以，从而，即，
所以数列为单调递增数列，
故不存在，使得对任意的，都有.
方法二：利用求解.
，，
则，
因为，所以不存在，使得对任意的，都有.
【点睛】
关键点点睛：本题属于开放性试题，选择不同的条件，根据数列通项及单调性得到的结论不同，关键点即复合数列单调性的判断.
23．（2022·浙江·高三专题练习）已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据以及等差数列的通项公式计算即可得到结果，然后根据可得，最后简单计算可得.
（2）根据（1）的条件可知求解的是，计算即可.
【详解】
（1）数列是等差数列，设公差为，且，.
则，解得，
所以.
又因为，，是等比数列的前3项，则，
由于，代入上式解得.
于是，，，因此等比数列的公比.
故数列的通项公式为.
（2）设数列的前20项的和为.
因为，，
则
.
24．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证:
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.
（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.
【详解】
（1）由为等差数列，
得，则
又构成等比数列，
所以，
即
解得或(舍)，
所以;
（2）因为，
所以
25．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【详解】
（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，
∴，，
∴，.
（2）当的前60项中含有的前6项时，令，
此时至多有项（不符）.
当的前60项中含有的前7项时，令，
且，，是和的公共项，则的前60项中含有的前7项且含有的前56项，再减去公共的三项.
∴.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列是由和中的哪些选项构成的，还要注意去掉公共项.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列，前项和为，若成等差数列，，数列满足，，数列的前项和为
（1）求的公比的值；
（2）求的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）对正项的等比数列，利用基本量代换，列方程组，解出公比q；
（2）设，由题意分析、计算得 ，从而得到，用累加法和错位相减法求出 .
【详解】
（1）∵成等差数列，∴ ，
即，又
，
又
解得或(舍).
记，当时，
又也符合上式，
.
而，
，
，
两式相减得，
.
而也符合上式，
故.
【点睛】
(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2)数列求和常用方法：
①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法．
27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数).
（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；
（2）若数列满足，求通项公式；
（3）若，数列是等比数列，且，，试证明：.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1） 设等差数列的公差，根据，得到，即可求解；
（2）由数列满足，推得数列是首项为，公比为的等比数列，即可求解；
（3）由题意，得到，根据（2）知，利用累加法，求得，结合数列是等比数列，即可求解.
【详解】
由数列满足，，
，
.
（1）因为数列是等差数列，，，
记公差为，则公差，所以，即，解得.
（2）因为数列满足，
所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以.
（3）因为，且，
所以，
根据（2），可知当时，，
所以
，
所以.
因为数列是等比数列，
所以，解得，
又因为，所以.
【点睛】
数列与函数的综合问题的求解策略：
1、已知函数的条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质，图象等研究数列问题；
2、已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的定义，通项公式，前项和公式，求和方法等对式子化简变形；
3、注意数列和函数的不同，数列只能看成是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.
28．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
【答案】（1）或；（2）见解析.
【解析】
（1）设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式结合等比数列的性质即可得解；
（2）由分组求和法结合等差、等比数列的前n项和公式即可得解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
由题意，得，解得或，
所以或；
（2）当时，，
此时；
当时，，
此时.
29．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列满足，且、、成等比数列，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，，成等比数列，得，再由可求出公差为，从而可求出，则，再由可知数列是以为首项，1为公差的等差数列，从而可求出，进而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，再利用裂项求和法可求出
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以．
所以，整理得，
将代入得，解得或，
由于是正项等差数列，舍去，即．所以，．因为，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即．
（2）因为，，所以，
所以，
故．
所以数列的前n项和．
30．（2022·浙江·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，=1，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先由已知求出公比，再根据等比数列的通项公式即可求出；
（2）由（1）先得到数列的通项公式，再利用等差等比公式法求和即可．
【详解】
（1）因为数列是各项均为正数的等比数列，
，，
设数列的公比为，
则，
解得，或（舍），
所以；
（2）因为，
由（1）知：，
则，
设数列的前n项和为，
则
，
数列的前n项和为：.第19讲 等差数列、等比数列的综合问题
方法总结：
1.等差数列性质与等比数列性质：
等差数列 等比数列
递推公式
通项公式
等差（比）中项
等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列
相邻项和 成等差数列 成等比数列
2.如何判断一个数列是等差（或等比）数列
（1）定义法（递推公式）：（等差），（等比）
（2）通项公式：（等差），（等比）
（3）前项和：（等差），（等比）
（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项
3.如何证明一个数列是等差等比数列：
（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）
（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即，均有：
（等差） （等比）
典型例题：
例1．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：．
（1）求的通项公式；
（2）设，求的前项和；
（3）在（2）的条件下，对任意，都成立，求整数的最大值．
例2．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列各项均为正数，其前n项和，数列是公差为正数的等差数列，且成等比数列
（1）求数列的通项公式;
（2）令求数列的前n项和
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，对任意且.
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和为.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
过关练习：
1．（2022·全国·高三专题练习）设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为（ ）
A．978 B．557 C．467 D．979
2．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等差数列和正项等比数列}，，是，的等差中项，是，的等比中项，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，，，（ ）
A．存在， B．存在，使得是等差数列
C．存在， D．存在，使得是等比数列
5．（2022·全国·高三专题练习）已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．58
6．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是公差不为零的等差数列，是正项等比数列，若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·安徽六安·一模（理））已知为等比数列，且，与的等差中项为，则（ ）
A．1 B．2 C．31 D．
8．（2022·全国·高三专题练习）数列，满足，，，则数列的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列，中满足，，，若前项之和为，则满足不等式的最小整数是（ ）.
A．8 B．9 C．11 D．10
10．（2022·全国·高三专题练习）对于无穷数列，给出下列命题：
①若数列既是等差数列，又是等比数列，则数列是常数列．
②若等差数列满足，则数列是常数列．
③若等比数列满足，则数列是常数列．
④若各项为正数的等比数列满足，则数列是常数列．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，……，是各项不为零的项等差数列，且公差不为零，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．无法确定
12．（2022·浙江·高三专题练习）已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ）
A．8 B．﹣8 C．±8 D．
二、多选题
13．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，若为常数），则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{an2}是等方差数列
C．{（﹣1）n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列
14．（2022·全国·高三专题练习）已知数列……，其中第一项是，接下来的两项是再接下来的三项是依次类推…，第项记为，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则数列的前项和为
C．若，则是等比数列
D．若，则
三、双空题
16．（2022·浙江·高三学业考试）设等差数列的公差为非零常数，且，若成等比数列，则公差___________，___________.
四、填空题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则___________.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比q等于________．
19．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列中公比，若，，记数列的前n项和为，则的最大值为_______
20．（2022·浙江·高三专题练习）为公差不为0的等差数列，且恰为等比数列，其中，则为_______．
21．（2022·上海·高三专题练习）已知数列满足：，，记数列的前项和为，若对所有满足条件的列数，的最大值为，最小值为，则________.
五、解答题
22．（2022·全国·高三专题练习）有下列三个条件：①数列是公比为的等比数列，②是公差为1的等差数列，③，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.
设数列的前项和为，，对任意的，都有___________.已知数列满足，是否存在，使得对任意的，都有？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
23．（2022·浙江·高三专题练习）已知是等差数列，，，且，，是等比数列的前3项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）数列是由数列的项删去数列的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列的前20项的和.
24．（2022·浙江·高三专题练习）已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.
（1）求数列的通项公式.
（2）设数列的前项和为，求证:
25．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列和等比数列满足，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和.
26．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等比数列，前项和为，若成等差数列，，数列满足，，数列的前项和为
（1）求的公比的值；
（2）求的通项公式.
27．（2022·上海·高三专题练习）已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数).
（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；
（2）若数列满足，求通项公式；
（3）若，数列是等比数列，且，，试证明：.
28．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列
（1）求数列通项公式
（2）设，求数列的前项和
29．（2022·河北·高三专题练习）已知正项等差数列满足，且、、成等比数列，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
30．（2022·浙江·高三专题练习）已知是各项均为正数的等比数列，=1，且，，成等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．专题20 求数列的通项公式
方法总结：
1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和
② 的系数相同，且为作差的形式
（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式
（1）形如的形式
思路：观察到与有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对与分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出
（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题进行转化
（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式
（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式
4、题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。
5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。
6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明
典型例题：
例1．（2022·江苏泰州·高三期末）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用与的关系可得，数列是首项为1，公差为2的等差数列，即求；
（2）利用错位相减法即求.
(1)
∵，
当时，，解得，
当时，，
∴，即，
∴，即，
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
故数列的通项公式为.
(2)
∵，设数列的前项和为，
∴，
，
∴
，
∴，
∴数列的前项和为.
例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
(1) 由条件可得从而可证明，再根据累加法可求出的通项公式.
(2) 由错位相减法求出的表达式，然后再解不等式从而得出答案.
(1)
由，得，
所以是等比数列.
所以
从而
所以，．
(2)
设
即，所以，，
于是，．
因为，且，
所以，使成立的最大正整数．
例3．（2022·四川攀枝花·二模（理））在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号）
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和项和．
【答案】(1)条件选择见解析，；
(2).
【解析】
【分析】
（1）选①：令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
选②：利用累加法可求得数列的通项公式；
选③：令可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用错位相减法可求得.
(1)
解：选①：当时，由可得出，
上述两个等式作差得，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故；
选②：由已知可得，
所以，，，，，，
上述个等式相加得，
；
选③：当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得且，
所以，数列数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.
(2)
解：，，
所以，，
上述两个等式作差得，
因此，.
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)设数列的通项公式，求；
【答案】(1)，
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据数列通项与前项和的关系可求得数列的通项公式，设数列的公差为，根据，是和的等比中项，求得首项与公差，即可求出的通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出答案；
（3）利用分组求和法即可求出答案.
(1)
解：（1）当时，有，解得，
，
，
两式相减，整理得：，
数列是以6为首项，3为公比的等比数列，
所以，
设数列的公差为，
，是和的等比中项，，
即，解得或2，
公差不为0，，
故；
(2)
解：，
；
(3)
解：，，
∴
．
例5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）在正项等比数列中，，是与的等差中项，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，则，根据已知条件可得出关于的方程，求出的值，利用等比数列的通项公式可求得的通项公式，利用前项和与通项的关系可求得数列的通项公式；
（2）分析可知，当时，，当时，，化简的表达式，利用分组求和法可求得数列的前项和.
(1)
解：设等比数列的公比为，则，
因为，
所以（舍去），所以，
当时，，则，
当时，因为，①
得，②
①②得：，所以，，
也满足，所以，对任意的，.
(2)
解：令，则，
所以，数列为单调递减数列，所以，，
故当时，，则，
此时，，
且，
当时，，则，
此时，
.
综上所述，.
例6．（2022·浙江省义乌中学高三期末）已知是首项为，公差不为的等差数列：成等比数列.数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的通项公式为，由，可求得，即可求出；由等价于，再根据数列通项公式与前项和的关系，即可求出，进而求出数列的通项公式；
（2）因为，可得，由此即可证明结果.
(1)
解：设等差数列的通项公式为
由，所以，又，得，
.
等价于.
当时，，；
当时，由，
所以，两式相减，
可得，
.
(2)
解：，
，即命题得证.
例7．（2022·河南平顶山·高三期末（文））已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
【答案】(1)；
(2)570.
【解析】
【分析】
(1)由给定的递推公式结合进行变形推导即得为等差数列，再求其通项得解.
(2)根据给定条件求出数列的通项即可计算作答.
(1)
由，可知，两式相减得，
即，因，则，
又，，解得，即是首项为3，公差的等差数列，
所以的通项公式.
(2)
由(1)知，，数列与的公共项满足，即，，
而，于是得，即，此时，，
因此，，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，
令的前项和为，则，
所以的前10项的和为570.
例8．（2022·山东青岛·高三期末）已知数列满足：.
(1)求证：存在实数，使得；
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先假设存在，再通过变形论证存在即可；
（2）通过（1）先得到，再变形为即可求解.
(1)
证明：由变形整理得：，
所以，解得或，经检验，或都满足题意.
故存在实数，使得.
(2)
由（1）不妨取，则有，
而，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
设其可变形为，解得，
即有，而，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，即，
经检验，也满足上式，故.
过关练习：
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）数列，，，，…，的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数列的前几项排除A、B、C，即可得解；
【详解】
解：由，排除A，C，由，排除B，
分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，
故选：D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列满足，且取最小值时为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由数列递推关系利用累加法可知，
进而化简的表达式，利用基本不等式计算即得结论.
【详解】
由，得
，累加可得
，
又，.
当，，也满足上式.
所以数列的通项公式为.
，
令，
在单调递减，在单调递增.
因为.
故选：C.
3．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知数列的首项为1，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
题意可知点O在直线l外，三点A，B，C均在l上，那么 ,那么 ，利用这一结论可得到，构造等比数列即可求得.
【详解】
因为，所以，
又因为点O在直线l外，三点A，B，C均在l上，
故，即，
所以，即数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，
故 ，则，
故选：C.
二、双空题
4．（2022·广东·广州市协和中学高三阶段练习）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.
【答案】
【解析】
【分析】
推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，可求得的值，再利用裂项相消法可求得.
【详解】
解：由题意可知，第代龙曲线是在将个第代龙曲线的首尾顶点相接，
则，所以，，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为，则，
，则，
，
因此，.
故答案为：；.
三、填空题
5．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用构造数列法求解数列的通项公式，然后利用分组求和法求解前n项和.
【详解】
因为，设存在实数，使得，
解得，所以数列是公比为，首项为的等比数列，
所以，得，
所以.
故答案为：
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
6．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））数列的前项和为，若，，，则的通项公式为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由数列通项与前项和的相互关系解之即可.
【详解】
由，得，两式相减得
又由，，可得，即
故数列从第二项起为公比为4的等比数列，
则的通项公式为
故答案为：
7．（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列满足，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用累乘法可求得数列的通项公式，利用错位相减法可求得，即可求得所求代数式的值.
【详解】
因为数列满足，，则，
所以，当时，，
也满足，所以，对任意的，.
令，则，
可得，
上述两个等式作差得，
所以，，
因此，.
故答案为：.
8．（2022·湖北·高三开学考试）已知数列为的前项和，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由求得数列从第二项起是等比数列，求出通项公式，再由求得后比较可得结论．
【详解】
，①
，②
①-②得：，
，
又，所以
所以
故答案为：
9．（2022·湖南永州·二模）已知数列、满足，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】
分析可得，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得，进而可求得，即可得解.
【详解】
因为，则，则，
因为，，可得，则，则，，
所以，，则，以此类推可知，所以，，
且，
所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，，
所以，，故，因此，.
故答案为：.
四、解答题
10．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由递推关系可得，再由累乘法求数列的通项公式；
（2）根据裂项相消法求数列的和即可.
(1)
∵，
∴，即，
由累乘法得，
，
当时，也满足上式，
∴.
(2)
由（1）知，，
∴，
则
11．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，，，，其中为常数.
(1)证明：；
(2)若为等差数列，求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用关系可得，结合已知条件即可证结论.
（2）由题设及（1）结论，可得、，应用等差中项的性质求参数，进而判断为等差数列并写出通项公式，最后利用等差数列前n项和公式求.
(1)
由题设，，，
两式相减得，又，
所以.
(2)
由题设，，，可得，由(1)知：.
由为等差数列，则，解得λ＝4，故.
由此，是首项为1，公差为4的等差数列，则；
是首项为3，公差为4的等差数列，则；
所以是首项为1，公差为2的等差数列，即，
故.
12．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，代入计算可得，由代入得到，从而证明数列是等比数列，求出通项公式；
（2）由余弦的周期性可知，代入通项公式可得，计算可求出前项和.
(1)
，算得
当时，；得到，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，由，得到
(2)
由，得到.
则，
.
13．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，两式作差可得出的表达式，然后就是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；
（2）求得数列的通项公式，利用分组求和法结合裂项相消法可求得的值.
(1)
解：因为，所以.
当时，．
当时，由得．
上述两个等式作差得，即，
又因为满足，所以.
(2)
解：因为，所以.
所以，
所以．
所以，即．
14．（2022·广东五华·一模）设数列的前n项和为，满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用与的关系，即可求解数列的通项公式；
（2）由（1）可知，再利用错位相减法求和.
(1)
当时，，
得
即，即
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故．
(2)
由（1）知，则
（1）
（2）
（1）－（2）得
所以
15．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）项和转换可得，验证，分析即得解；
（2）项和转换可得，转化，裂项相消法求和即得解
(1)
当时，由
得，
两式相减可得．
因为，符合上式
所以，故，
(2)
由（1）得，
当时，，
当时，，不符合上式，
故数列的通项公式为．
因此．
故当时，．
当
．
令，得，符合上式
综上所述，．
16．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知函数的图象过点，且关于点对称.
(1)求的解析式；
(2)若，.
①求数列的通项公式；
②若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）由题意，，代入求解即可；
（2）①由题意，可转化为，故是以为首项，2为公比的等比数列，求解即可；
②，裂项相消法求和即可
(1)
由已知得
又的图像关于点对称，
有，
即
解得
所以
(2)
①，，
则，
故是以为首项，2为公比的等比数列，
有
所以数列的通项公式为；
②
数列的前n项和为，
则
17．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.
(1)求与的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得等差数列的公差，由此求得.利用来求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
(1)
设的公差为d，因为，
所以，解得，
所以.
数列的前n项和为，且，①
当时，，②
①-②，得.
当时，，满足，所以.
(2)
因为，
所以.③
，④
③-④，得，
所以.
18．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)选①：，；选②：，；选③：，
(2)
【解析】
【分析】
（1）若选①，可得，再利用累加法求出数列的通项公式；若选②：由计算可得；若选③：由计算可得；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得；
(1)
解：若选①：由，则，
可得
将上述个式子相加，整理的
又因为，所以.
若选②：，当时，，
当时，
所以，所以.
综上，
若选③：，当时，，
当时，由可得，所以，所以.
经检验当时也成立，所以；
设等差数列的公差为，
由题有，即，解得
从而
(2)
解：由（1）可得，
令的前项和是，则，
，
两式相减得，
，
整理得；
19．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)先用通项公式和前n项和公式的关系求出和的关系，再利用前n项积得到另外一组和的关系，由此即可求出两个数列的通项公式；
(2)由错位相减法求，代入参变分离得，求最小值即可.
(1)
时，①，②，
①-②得，
当时，③，④，
③÷④得.
由上可得，即，化简得.
当时，，，两式相等得，.
故，因此且，故.
综上，.
(2)
，
⑤
⑥
⑤－⑥得：，
，
将代入得，
化简得，
因在单调递增，故的最小值为－4，
故.
20．（2022·福建宁德·模拟预测）在下列条件：
①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列；②；③中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面问题．
已知数列的前n项和为，__________，求数列的通项公式与前n项和．
【答案】选①，，；选②，，；选③，，.
【解析】
【分析】
选①：由常数列的性质得出，再由等比数列的定义证明是等比数列，最后分组求和得出前n项和；选②：由与的关系得出，以下同①；选③：先证明是等比数列，进而得出，再由与的关系得出.
【详解】
选①：因为，数列为常数列，所以，解得或，又因为数列的任意相邻两项均不相等，且
所以数列为
所以，即，
所以，又．
所以是以为首项.公比为的等比数列，所以，
即；
所以
选②：因为，易知，
所以两式相减可得，即
以下过程与①相同；
选③：由，可得，
又，故是以为首项，2为公比的等比数列，
故，即
当时，，
又也满足上式.
综上所述：，.
21．（2022·河南·高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列的前n项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定递推公式结合“当时，”求出等差数列的公差计算作答.
(2)利用(1)的结论求出，再利用分组求和法计算作答.
(1)
因为，则当时，，即，
而等差数列公差，即不恒成立，从而有，即，解得，
当时，，即，有，解得，因此，，
所以的通项公式是：.
(2)
由(1)知，，
则
.
22．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（理））已知等比数列{an}满足条件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足，n∈N*，求{cn}的前n项和Tn.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，根据题意可得的两个方程即可解出，从而得到数列{an}的通项公式；根据累加法可求出{bn}的通项公式；
（2）由得，两式作差可求得，咋根据错位相减法即可求出{cn}的前n项和Tn．
(1)
设{an}的通项公式为，n∈N*，
由已知a2+a4＝3（a1+a3），，得q＝3，
由已知，即，解得q＝3a1，a1＝1，
所以 {an}的通项公式为.
因为b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*），
.
(2)
当n＝1时，，c1＝1，
当n≥2时，①，
②，
由①﹣②得到，，n≥2，也满足，
综上，，n∈N*.
③，
④，
由③﹣④得到
，
所以.
23．（2022·四川眉山·高三阶段练习（理））设，有以下三个条件：
①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
若数列的前n项和为，且 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)选①由条件可得，估计可求数列的通项公式；选②由条件结合求数列的通项公式；选③根据等比数列通项公式可求数列的通项公式；(2)由(1)可得，结合已知求数列的通项公式，利用错位相减法求其前项和.
(1)
若选择①：因为是2与的等差中项，所以，
当时，解得．
当时，由，，
两式相减得，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择②，由，，则，，
两式相减得，
又因为，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式为．
若选择③，设正项等比数列的公比为，
则，
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为．
(2)
因为是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以．
由（1）知，所以．
所以①
在①的等式两边同乘以，得
②
由①②等式两边相减，得
，
所以数列的前n项和．
24．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知数列{}的前n项和为且满足=-n.
(1)求{}的通项公式；
(2)证明：
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用得到递推公式，再构造等比数列求出通项公式；（2）等比放缩，证明不等式.
(1)
因为=-n.
所以=-n-1，
所以
所以，
所以是首项为，公比为的等比数列.
所以，
所以；
(2)
即证明： ，
，

.
25．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对已知的式子变形得，则，从而可得数列是以4为公比的等比数列，进而可求出的通项公式；
（2）由（1）求出，从而可求出，进而可求出
(1)
由可知，，即，
由可知，，
所以是以12为首项，4为公比的等比数列，
所以的通项公式为.
(2)
由（1）知，，
所以
,
又符合上式,所以,
所以，
所以的前20项和.
26．（2022·浙江上虞·高三期末）已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)记，设为数列的前项和，求证．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项可求得数列的通项，利用等差数列的求和公式可求得；
（2）证明出，利用裂项相消法可证得结论成立.
(1)
解：当时，，因为，解得；
当时，由可得，
上述两个等式相减可得，所以，，
对任意的，，故且，
故数列为等差数列，且该数列的首项和公差均为，故，
所以，.
(2)
证明：，
因为
，
所以，，
因此，.
27．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））已知数列是等比数列，其前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据是等比数列，且，再写，两式相减即可得到之间的关系，从而求出表达式
（2）写出的表达式，是等差乘以等比数列，所以可以用错位相减求和
(1)
为等比数列，设其公比为q.
因为，①
当时，，②
由①-②，得，
解得.
当时，，即，则，
所以的通项公式为.
(2)
因为，则，
，③
，④
由③-④，得，
，
所以数列的前n项和
28．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列的前n项和为，且．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列前20项的和．
【答案】(1)，，
(2)
【解析】
【分析】
（1）在已知条件中分别取,可求得的值，当时利用和与项的一般关系得到，从而判定数列为等差数列，然后得到通项公式；
（2）利用分段求和法、等差数列求和公式和裂项求和法求得数列前20项的和．
(1)
解：由题可知，，解得.
在中令,得,解得；
∵①,
∴②,
由①－②得：，即,
∴．
∴数列是首项与公差都为2的等差数列,
∴.
(2)
解：题可知，当时，,
∴.
当时，,
∴,
∴.
29．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先化简，再推导出等于一个常数，即可求解；
（2）结合第一问，先求出数列的满足的规律，然后再求和.
(1)
由已知有：
所以，
，
其中，所以数列为以为首项，公比为的等比数列.
所以，得.
(2)
由（1）知：，
，
所以
.
30．（2022·江苏通州·高三期末）已知数列的前n项和为，满足＝2，2()＝6－.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由数列前n项和与通项公式之间的关系即可求得数列的通项公式；
（2）求得数列的前n项和的解析式，求其最值后即可解决.
(1)
数列中，＝2，2()＝6－
当时，2()＝6－
则2()-2()＝6－－（6－），整理得
当时，由2()＝6－，可得，满足
综上，数列是首项为2，公比为的等比数列，
(2)
由（1）可知，等比数列的前n项和为
当n为奇数时，，则
当n为偶数时，，则
综上得，数列的前n项和的最大值为2，最小值为
故M－m专题20 求数列的通项公式
方法总结：
1、累加（累乘法）
（1）累加法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
① 等号右边为关于的表达式，且能够进行求和
② 的系数相同，且为作差的形式
（2）累乘法：如果递推公式形式为：，则可利用累加法求通项公式
2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项公式
（1）形如的形式
思路：观察到与有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对与分别加上同一个常数，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出
（2）形如，此类问题可先处理，两边同时除以，得，进而构造成，设，从而变成，从而将问题进行转化
（3）形如：，可以考虑两边同时除以，转化为的形式
（4）形如，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：的形式
4、题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面可考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。
5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。
6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明
典型例题：
例1．（2022·江苏泰州·高三期末）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列满足，，且对任意，都有．
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)求使得不等式成立的最大正整数m．
例3．（2022·四川攀枝花·二模（理））在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
设首项为的数列的前项和为，且满足______（只需填序号）
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和项和．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，数列是公差不为0的等差数列，且满足，是和的等比中项．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求；
(3)设数列的通项公式，求；
例5．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高三期末）在正项等比数列中，，是与的等差中项，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例6．（2022·浙江省义乌中学高三期末）已知是首项为，公差不为的等差数列：成等比数列.数列满足.
(1)求数列，的通项公式；
(2)求证：.
例7．（2022·河南平顶山·高三期末（文））已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
例8．（2022·山东青岛·高三期末）已知数列满足：.
(1)求证：存在实数，使得；
(2)求数列的通项公式.
过关练习：
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）数列，，，，…，的通项公式可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列满足，且取最小值时为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽宣城·高三期末（文））已知数列的首项为1，又，其中点O在直线l外，其余三点A，B，C均在l上，那么数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
二、双空题
4．（2022·广东·广州市协和中学高三阶段练习）龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图1）是以为斜边画出等腰直角三角形的直角边、所得的折线图，图2、图3依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）.、、为第一代龙曲线的顶点，设第代龙曲线的顶点数为，由图可知，，，则 ___________；数列的前项和___________.
三、填空题
5．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.
6．（2022·四川·成都七中高三开学考试（理））数列的前项和为，若，，，则的通项公式为______.
7．（2022·安徽黄山·一模（理））已知数列满足，，则___________.
8．（2022·湖北·高三开学考试）已知数列为的前项和，，则__________.
9．（2022·湖南永州·二模）已知数列、满足，，，则___________.
四、解答题
10．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
11．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（文））已知数列的前项和为，，，，其中为常数.
(1)证明：；
(2)若为等差数列，求.
12．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
13．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
14．（2022·广东五华·一模）设数列的前n项和为，满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前n项和．
15．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知数列的前n项和为，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
16．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知函数的图象过点，且关于点对称.
(1)求的解析式；
(2)若，.
①求数列的通项公式；
②若，求数列的前项和.
17．（2022·广东·高三阶段练习）已知等差数列的首项为2，且，，成等比数列.数列的前n项和为，且.
(1)求与的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
18．（2022·广东韶关·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列的前项和为，__________，数列是等差数列，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
19．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知数列和，记，分别为和的前项和，为的前项积，且满足，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
20．（2022·福建宁德·模拟预测）在下列条件：
①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列；②；③中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面问题．
已知数列的前n项和为，__________，求数列的通项公式与前n项和．
21．（2022·河南·高三开学考试（文））已知公差不为0的等差数列的前n项和为，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
22．（2022·河南·温县第一高级中学高三开学考试（理））已知等比数列{an}满足条件a2+a4＝3（a1+a3），a2n＝3an2，n∈N*，数列{bn}满足b1＝1，bn﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2，n∈N*）
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足，n∈N*，求{cn}的前n项和Tn.
23．（2022·四川眉山·高三阶段练习（理））设，有以下三个条件：
①是2与的等差中项；②，；③为正项等比数列，，．在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答（如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
若数列的前n项和为，且 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列的前n项和．
24．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知数列{}的前n项和为且满足=-n.
(1)求{}的通项公式；
(2)证明：
25．（2022·江苏宿迁·高三期末）已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和.
26．（2022·浙江上虞·高三期末）已知各项均为正数的数列满足：，前项和为，且，．
(1)求数列的通项与前项和；
(2)记，设为数列的前项和，求证．
27．（2022·安徽阜阳·高三期末（理））已知数列是等比数列，其前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
28．（2022·湖南常德·高三期末）已知数列的前n项和为，且．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列前20项的和．
29．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知数列满足.
(1)设，求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
30．（2022·江苏通州·高三期末）已知数列的前n项和为，满足＝2，2()＝6－.
(1)求数列的通项公式；
(2)设的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.专题21 数列求和
方法总结：
1.等差数列求和公式：
2.等比数列求和公式：
3.错位相减法：
特点：等差等比
对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和
4.裂项相消：
特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。
例：
可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加
5.分组求和
（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可
（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和
6.倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，
典型例题：
例1．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到，两式相减求得，进而得到数列是首项为1公比为3的等比数列，即可求解；
（2）由题意得到，结合乘公比错位相加法求和，即可求解.
(1)
解：因为，所以，
两式相减可得，所以，
令，可得，所以，
所以数列是首项为1公比为3的等比数列，所以.
(2)
解：由题意，可得，所以，
所以，
，
两式相减可得
所以.
例2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设的公差为d，首先求出方程的解，即可得到，，即可求出公差，即可得解；
（2）由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
(1)
解：设的公差为d，由，解得或，
因为，为方程的两个实根，且单调递增，
所以，，所以
所以，解，
所以，
即的通项公式为．
(2)
解：由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
例3．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知成等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据等差中项的应用可得，利用等比数列的通项公式求出公比进而求出，代入即可；
(2)结合(1)可得的通项公式，利用错位相减求和法计算即可得出结果.
(1)
成等差数列，
，
是首项为1的等比数列，设其公比为，
则，
(2)
由（1）知，
①
②
①-②得，，
例4．（2022·福建福州·高三期末）设数列是首项为1的等差数列，若是，的等比中项，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出数列的公差即可求解作答.
(2)由(1)结合裂项相消法计算求出作答.
(1)
设等差数列的公差为，由是，的等比中项得，即，
因，则，解得，，
所以的通项公式是：.
(2)
由(1)知，，
则，
所以数列的前n项的和.
例5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且组成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，利用的关系，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，求得关于的函数关系式，再求其值域即可证明.
(1)
∵组成等差数列，∴，当时可得
∴，即，又当时，，解得，
故数列是首项为，公比为的等比数列，则.
(2)
由（1）可知，故
则
∵ 故，
故，即证.
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件和等比中项，求出数列的首项和公差，即可求出通项公式；
（2）利用裂项相消法即可求出结果.
(1)
解：公差不为零的等差数列中，，又成等比数列，
所以，即，
解得，
则；
(2)
解：由（1）可知，，
可得数列的前项和
.
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由等差等比的通项公式列出方程，求解得出通项公式；
（2）先得出数列的通项公式，再由错位相减法求和即可.
(1)
设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由已知，得，而，所以
又，解得，所以
由，可得①
由，可得②
联立①②，解得，由此可得
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
(2)
解：设数列的前项和为，
由，有，
故
上述两式相减，得
得.
所以，数列的前项和为.
例8．（2022·江西九江·一模（文））已知数列的前n项和为，且满足，数列的前n项和为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用，即证数列为等比数列.
（2）先求得，然后求得，利用分组求和法即得.
(1)
当时，，，
当时，，①
，②
①－②得，即.
又，
∴是首项为，公比为2的等比数列.
(2)
由（1）知，，
∵，
∴，
∴
.
过关练习：
一、单选题
1．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意所求和为，然后变形为，进而通过平方差公式化简，最后结合等差数列求和公式求出答案.
【详解】
.
故选：A.
2．（2022·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则T20的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据与的关系求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.
【详解】
解：当时，，
当时，，
当时，等式也成立，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））定义为n个正数u1，u2，u3，…，un的“快乐数”.若已知正项数列{an}的前n项的“快乐数”为，则数列的前2 022项和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，求得，再求，结合裂项求和法即可求得结果.
【详解】
设正项数列{an}的前n项和为，则，解得Sn＝3n2＋n，
故an＝Sn－Sn－1＝6n－2（n≥2），且a1＝4，则an＝6n－2
∴＝＝－.
则的前2 022项和为＋＋…＋＝.
故选：.
二、填空题
4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用构造数列法求解数列的通项公式，然后利用分组求和法求解前n项和.
【详解】
因为，设存在实数，使得，
解得，所以数列是公比为，首项为的等比数列，
所以，得，
所以.
故答案为：
【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．
(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．
(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
5．（2022·全国·模拟预测）已知数列、，，，其前项和分别为，，记最接近的整数为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件利用裂项相消法求出，探讨值的范围，确定的表达式即可计算作答.
【详解】
依题意，，
则
，
即有，从而有，因此，，
若，则，若，则，，
所以.
故答案为：2550
【点睛】
思路点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，
未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
6．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））数列已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为_____．
【答案】##
【解析】
【分析】
要从数列代数式的代数结构观察，，可以用累乘法；有了以后，再分析的代数结构.
【详解】
∵，∴，用累乘法：
，
，；
由题意：，，
由于是正数，所以，
，用裂项相消法：
=，
故答案为：.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））数列的通项公式为，前项和为，则＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题设中的通项公式，列举出数列的前几项，找出规律，然后根据规律求和.
【详解】
解： ，，，，
又的周期为，
故答案为：
8．（2022·浙江·模拟预测）数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为__________．
【答案】631
【解析】
【分析】
由，分析的不同取值对应的的取值情况，分组求和即得解
【详解】
由题意，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
故的前32项和为：
故答案为：631
9．（2022·福建福州·高三期末）函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，.已知数列满足，且，若，则数列的2022项和为___________.
【答案】4959
【解析】
【分析】
根据递推关系求出数列的通项公式，再分类讨论求出，即可求和.
【详解】
，
，
当时，时，；
当时，时，；
当时，时，；
当时，时，；
所以
故答案为：4959
三、解答题
10．（2022·四川·模拟预测（理））给出以下条件：①成等比数列；②成等比数列；③.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列的前n项和为，且，______________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知条件可知，求等差数列的通项公式，就是求公差；列方程求解的过程中注意是递增数列，即即可；
（2）等差乘等比的数列求和就是要用错位相减法.
(1)
设递增等差数列的公差为，
若选条件①，由，
有，
化简得.
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为.
若选条件②，由，
有，
化简得.
解得或（舍去）
所以数列的通项公式为.
若选择条件③，由，有，
两式相减得：，
因为，所以，故，
所以，即，
所以数列的通项公式为；
(2)
由是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由（1）知，所以，
所以，
两边同乘以2得：，
以上两式相减得：，
即，
所以，
故答案为：2n，.
11．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式和等差数列求和进行求解.
（2）根据错位相减法进行数列求和.
(1)
解：由题意得：
，则为等差数列，首项．
∴．
(2)
∴①
∴②
①-②得，
∴
．
12．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知数列满足，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，左右同取倒数，整理可得，根据等差数列的定义，即可得证.
（2）由（1）可得，代入可得，根据裂项相消求和法，即可得答案.
(1)
证明：由已知，得，
所以，
所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)
由（1）可得，，则，
所以，
所以．
13．（2022·全国·模拟预测）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由的前项和即可求出等比数列的通项公式，由和即可求出等差数列的通项公式.
（2）利用错位相减法即可求得数列的前项和.
(1)
设的公差为，的公比为，
由已知可得，，则，
即．
∵，∴，
又∵，
∴，解得，即．
(2)
由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则．
14．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前2n－1项和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的性质及基本量运算即得；
（2）利用分组求和法及裂项相消法即得.
(1)
依题意，，则，
故，
解得d＝2，
∴，
故，
.
(2)
依题意，得，
故，
故
15．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由递推关系可得，再由累乘法求数列的通项公式；
（2）根据裂项相消法求数列的和即可.
(1)
∵，
∴，即，
由累乘法得，
，
当时，也满足上式，
∴.
(2)
由（1）知，，
∴，
则
16．（2022·湖北·高三开学考试）已知在数列中，.
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的项的和.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题可得，进而即求；
（2）由题可得，然后利用等比数列求和公式即得.
(1)
∵，
∴
，
即.
(2)
∵，，
∴，,
∴是首项为32，公比为16的等比数列，
所以，.
17．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由，，构成等比数列得到之间的关系，再将化简成间的式子，进而解出，然后求出答案；
（2）结合（1），然后通过分组求和的方法解得答案即可.
(1)
设等差数列的公差为d，因为，，构成等比数列，所以，即，化简得，因为，所以，
又，所以，联立方程组解得，，所以．
(2)
由（1）可得，，所以数列的前n项和．
18．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且对任意的有.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）令可求得的值，令，由可得，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求得，利用分组求和法可求得.
(1)
证明：当时，，则；.
当时，由可得.
两式相减得，即，.
因为，则，，以此类推可知，对任意的，，
所以，数列构成首项为，公比为的等比数列.
(2)
解：由（1），故，则.
所以，
.
19．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，且，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，，求证：.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意列出方程求出公差、公比即可得出数列通项；
（2）先对化简后放缩，再由裂项相消法求和，即可得证.
(1)
由题意，数列是等差数列，，
数列是等比数列，，公比，
设的公差为，由可得，
或
，
，
可得：,
.
(2)
且
故不等式得证.
20．（2022·广东中山·高三期末）已知数列满足，且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式：
(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据求出和，根据等差数列定义即可求出，从而求出通项公式；
(2)分n为奇数和偶数时讨论数列的前项和为，由即可求出A.
(1)
由，故，
可得，，
又∵，，
∴，，
∵数列是等差数列，
∴数列的公差，
∴，
∴；
(2)
由(1)得，，
∴，
可得，
∴为奇数时，故1，3，5，...109都是集合A中的元素，
又，
∴为偶数时，
由得，∴2，4，6，8，10，是集合A中的元素，
∴.
21．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知正项数列满足，，，成等比数列，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求及数列的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和
【答案】(1)证明见解析
(2)；
(3)
【解析】
【分析】
（1）由题意得，两边取对数可得，即可证明；
（2）由（1）知，所以，即可求解；
（3）由可化为，由裂项相消求和法得出，结合（2）即可求证明．
(1)
因为，，成等比数列，所以，
所以因为，所以，
将式两边取对数，得，即，
所以，数列是首项为，公比为2的等比数列
(2)
由（1）知，所以，所以
所以
(3)
因为，即①；
又因为，所以，即②；
①式代入②式消去，可得
所以
因为，，则，所以
22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和Sn.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，得，，变形可得，从而可证得是等比数列；
（2）由（1）求出，代入中可得数列的通项，然后利用裂项求和的方法可得结果.
(1)
解：∵，，
∴，，
又，，解得，，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
(2)
解：由（1）知，则，
∴，
∴
.
23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
(1)求b的值和数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题意等比数列的公比不为1，再根据等比数列前项和公式得到，即可得到且，从而求出、，即可得解；
（2）首先令，，即可求出的取值范围，从而求出，即可得到，再利用错位相减法求和即可；
(1)
解：由题设，显然等比数列的公比不为1，
若的首项、公比分别为、，则，
∴且，所以，
故的通项公式为．
当时，；
(2)
解：令，，解得，所以
数列在中的项的个数为，则，所以，
∵，①
∵②
两式相减得∴．
∴
24．（2022·广东高州·二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用可得，转化为可得答案；
（2）求得，利用错位相减可得答案.
(1)
由可得，
由得，
所以，即，
所以，，
所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.
(2)
由（1），得，
所以，
，两式相减得
，
所以.
25．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知数列的首项，数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式．
(2)设数列的前n项和为，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）首先求等差数列的基本量，首项和公差，求得数列的通项公式，再根据，即可求得的通项公式；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法求和，即可求得，并证明不等式.
(1)
令，得，再由，得
设的公差为d，由，得，解得．
所以，
因为，得，
所以．
(2)
由（1）得，则，
故，所以成立．
26．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列的前项和为，，给出以下三个命题：
①；②是等差数列；③
(1)从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；
(2)利用（1）中的条件，证明数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由①②作为条件，求出等差数列的通项公及前项和，即可求证③成立；
由①③作为条件，根据，得出
及联立，即可求出数列的通项公式，根据等差数列定义即可证明②成立.
由②③作为条件，设等差数列的公差，用表示等差数列通项公及前项和，代入
，求出等差数列的公差，进而求出等差数列的通项公式，即可证明①成立；
（2）由（1）求出等差数列通项公，进而求出数列 的通项公式，再利用裂项相消求出进行放缩
证明即可.
(1)
（1）将①②作为条件，③作为结论；
设等差数列的公差为，则由得，，解得，
因为，所以等差数列的通项公式为.所以，
所以，
又因为，
所以，即证；所以③成立；
将①③作为条件，②作为结论；
由及，得，
联立，解得，所以，
所以，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以②成立；
将②③作为条件，①作为结论；
设等差数列的公差为，则，，
由，得，
解得，所以等差数列的通项公式为.
所以，即证，所以①成立；
(2)
由（1）知，，
所以，
因为数列的前项和为，
所以
，
当时，，，
所以，
即证数列的前项和.
27．（2022·山东潍坊·高三期末）已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前101项和．
【答案】(1)
(2)192
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式基本量计算出首项和公差，求出通项公式；
（2）解不等式得到，当时，，当时，，当时，，从而求出前101项和.
(1)
设等差数列公差为d，，
又，故 ，即，
所以，解得：或0（舍去），求得：，
数列的通项公式为；
(2)
，令得：，
令，解得：，令，解得：，
当时，
故
当时，，
当时，，
当时，，
设的前n项和为，所以.
28．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，代入计算可得，由代入得到，从而证明数列是等比数列，求出通项公式；
（2）由余弦的周期性可知，代入通项公式可得，计算可求出前项和.
(1)
，算得
当时，；得到，
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，由，得到
(2)
由，得到.
则，
.
29．（2022·陕西武功·二模（文））已知等差数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组，求解，即可得通项公式；（2）利用错位相减法代入计算的前项和.
(1)
因为数列为等差数列，设等差数列的公差为，
所以，所以数列的通项公式为；
(2)
由（1）得，∴，
.∴.∴
30．（2022·浙江·模拟预测）已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
由题可知，数列的代数表达式是很复杂的，需要进行恒等变换；
（1）当和同时出现在代数表达式中的时候，往往需要利用，把转换成，但是本题是要证明为等比数列，所以要把转换成，再利用等比数列的定义即可证明；
（2）依题意很显然应该是裂项相消求和.
(1)
当时，，，解得；
当时，把代入题设条件得:
，即，
很显然是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，
∴；
(2)
由（1）知是首项为，公比的等比数列，
所以，．
故数列的前项和为：
.专题21 数列求和
方法总结：
1.等差数列求和公式：
2.等比数列求和公式：
3.错位相减法：
特点：等差等比
对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和
4.裂项相消：
特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。(5）分类求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。
例：
可知通项公式为，那么在求和的过程中可拆成3部分：分别求和后再相加
5.分组求和
（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可
（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和
6.倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，
典型例题：
例1．（2022·山东菏泽·高三期末）已知数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，设其公差为，求的前项和.
例2．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知在单调递增的等差数列中，，为方程的两个实根．
(1)求的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
例3．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））设是首项为1的等比数列，数列满足，已知成等差数列.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和.
例4．（2022·福建福州·高三期末）设数列是首项为1的等差数列，若是，的等比中项，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项的和.
例5．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知数列的前n项和为，且组成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)设，且数列的前n项和为，求证：．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知公差不为零的等差数列中，，又成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设 ，求数列的前项和．
例7．（2022·全国·高三专题练习）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
例8．（2022·江西九江·一模（文））已知数列的前n项和为，且满足，数列的前n项和为.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求.
过关练习：
一、单选题
1．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列的前n项和为Tn，n∈N*.则T20的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））定义为n个正数u1，u2，u3，…，un的“快乐数”.若已知正项数列{an}的前n项的“快乐数”为，则数列的前2 022项和为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））数列中，，且，记数列的前n项和为，则______.
5．（2022·全国·模拟预测）已知数列、，，，其前项和分别为，，记最接近的整数为，则______．
6．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））数列已知数列满足：，（）.正项数列满足：对于每个，，且，，成等比数列，则的前n项和为_____．
7．（2022·全国·高三专题练习（理））数列的通项公式为，前项和为，则＝________.
8．（2022·浙江·模拟预测）数列的通项公式为，其中表示不超过x的最大整数，则的前32项和为__________．
9．（2022·福建福州·高三期末）函数称为高斯函数，表示不超过，x的最大整数，如，.已知数列满足，且，若，则数列的2022项和为___________.
三、解答题
10．（2022·四川·模拟预测（理））给出以下条件：①成等比数列；②成等比数列；③.从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知递增等差数列的前n项和为，且，______________.
(1)求数列的通项公式；
(2)若是以2为首项，2为公比的等比数列，求数列的前n项的和.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
11．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知数列的通项公式为
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的前项和．
12．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））已知数列满足，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前n项和．
13．（2022·全国·模拟预测）已知为等差数列，为等比数列，的前项和，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
14．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式以及前n项和；
(2)若，求数列的前2n－1项和.
15．（2022·安徽省宣城中学高三开学考试（文））设首项为2的数列的前项积为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．（2022·湖北·高三开学考试）已知在数列中，.
(1)求数列的前项和；
(2)设，求数列的项的和.
17．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））已知公差不为0的等差数列中，，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
18．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）已知数列的前项和为，且对任意的有.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
19．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知数列是等差数列，，数列是等比数列，，公比，且，.
(1)求，的通项公式；
(2)设，，求证：.
20．（2022·广东中山·高三期末）已知数列满足，且数列是等差数列.
(1)求数列的通项公式：
(2)设数列的前项和为，若且，求集合A中所有元素的和.
21．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知正项数列满足，，，成等比数列，．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求及数列的通项公式；
(3)若，求数列的前n项和
22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，
(1)证明：是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和Sn.
23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））已知等比数列的前n项和为（b为常数）．
(1)求b的值和数列的通项公式；
(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前n项和．
24．（2022·广东高州·二模）已知数列的前n项和为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前n项和．
25．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知数列的首项，数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式．
(2)设数列的前n项和为，证明：．
26．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列的前项和为，，给出以下三个命题：
①；②是等差数列；③
(1)从三个命题中选取两个作为条件，另外一个作为结论，并进行证明；
(2)利用（1）中的条件，证明数列的前项和.
27．（2022·山东潍坊·高三期末）已知公差不为0的等差数列，，．记，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.7]=0，[1.9]=1．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列前101项和．
28．（2022·山西运城·高三期末（理））已知数列的前项和，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
29．（2022·陕西武功·二模（文））已知等差数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
30．（2022·浙江·模拟预测）已知数列的首项为正数，其前项和满足．
(1)求实数的值，使得是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．第22讲 数列中的范围与最值问题
方法总结：
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点，判断数列的单调性的方法：
（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是__．
【答案】，，
【解析】
【分析】
根据题意求出等差数列的首项和公差，写出前项和公式，求出的最小值，再求关于的不等式的解集．
【详解】
解：设等差数列的首项为，公差为，
由题意得，
解得，
又，
所以当或5时，取得最小值，最小值为，
所以取得最大值，最大值为10，
由任意的恒成立，
所以，
解得或，
所以实数的取值范围是，，．
故答案为：，，．
例2．（2022·江苏南通·一模）设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式可求得；
（2）利用等比数列的求和公式以及已知条件可得出关于的不等式，解之即可得解.
(1)
解：设等比数列的公比为，则，
由，
故.
(2)
解：，则，
整理得，
当为偶数时，，不合乎题意；
当为奇数时，则，可得，可得.
因此，的最大值为.
例3．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知数列和满足，，.
(1)求与；
(2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用累加法，结合等比数列前n项和公式计算得，再借助前n项和第n项的关系推理计算作答.
(2)由(1)求出，变形给定不等式，再分奇偶讨论计算作答.
(1)
依题意，当时，，则
，
而满足上式，故有；
，，当时，，
两式相减得：，则，而，满足上式，即有，
所以，.
(2)
由(1)知，，
两边同乘-2得：，
两式相减得：，
，由得：，
依题意，对一切，都成立，
当n为正奇数时，，而数列是递增数列，当时，，则，
当n为正偶数时，，解得，因此，，
所以实数的最小值.
例4．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小值.
【答案】(1)；
(2)2.
【解析】
【分析】
(1)设等差数列公差d，由已知条件求出公差d即可得其通项公式；
(2)采用裂项相消的方法求得，求出的最大值即可.
(1)
在等差数列中，设公差为，则，
由已知得，解得，
.
(2)
由(1)知，，
则，
∴，
，∴要使恒成立，只需，解得，
∴的最小值为2.
例5．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知是等差数列，满足，，数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，令，求的最小值．
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)设出等差数列的公差，根据给定条件列出方程求解作答.
(2)由(1)的结论求出，利用裂项相消法求出，再借助均值不等式计算作答.
(1)
设等差数列的公差为，依题意，，解得，
于是得，，
所以数列、的通项公式分别为：，.
(2)
由(1)知，，
因此，，
则，当且仅当时取等号，
所以的最小值为81.
例6．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为， 且
(1)求数列的前项和；
(2)在数列中， ， 且 若对任意的正整数， 不等式 恒成立， 求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，由题设求得与，即可求得其通项公式；
（2）根据，可得，两式作差，在根据题意，可证明数列为等比数列，进而求得，再根据，可得，对，，三种情况进行分类讨论，解决恒成立问题，即可求出结果.
(1)
解：等差数列的公差为，
由，得
解得，
所以；
(2)
解：由，得，
相减得，即．
又，，得，
故对任意成立，所以数列是以为首项，为公比的等比数列；
所以；
将代入，得，
即有对任意恒成立．
（ⅰ）当时，成立，所以符合题意-
（ⅱ）当时，由恒成立，即
易知当时，；当时，，故．
所以，且，可解得；
（ⅲ）当时，由恒成立，即
由，
可知当时，，即；
当且时，，即，
又当时，，当时，，当时，，
所以．
所以．
即且，得，解得；
综上，
例7．（2022·浙江·温州中学高三期末）已知数列的前项和为，数列满足，
(1)求数列与的通项公式；
(2)若，对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先由与的关系求得数列的通项公式，再以累加法求得数列的通项公式；
（2）以裂项相消法对求和，并求得其最小值即可解决.
(1)
数列中，，由，得，
时，，则
则，故数列是首项为1，公比为2的等比数列.则
由，得，
故.
(2)
由，可得
，
则，
当为偶数时，；当为奇数时.
故实数的取值范围为.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项；
(2)设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①；②.
【解析】
【分析】
(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求数列的任意相邻两项的关系计算作答.
(2)①由(1)及已知求出，再用错位相减法计算得解；②根据给定不等式，分类分离参数，探讨数列单调性即可求解作答.
(1)
数列的前项和为，，
，，当时，，两式相减得：，即，
当时，，，即，有，
因此，，，且，
于是得是首项为，公比为的等比数列，则有，
所以数列的通项公式是.
(2)
①由(1)及，得，
则，
于是得，
两式相减得：
，
所以
②由，得恒成立，即恒成立，
当时，不等式恒成立，即，
当时，恒有，此时，数列是递增的，当时，，则有，
当时，恒有，此时，数列是递增的，，恒有成立，则有，
综上得，，
所以实数的取值范围为.
过关练习：
一、单选题
1．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列的公差不等于0．其前为项和为．若，则的最大值为（ ）
A．18 B．20
C．22 D．24
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件利用等差数列的性质化简，再分析判断求出公差、首项即可计算作答.
【详解】
设等差数列的公差为，则，
，，因，即，
显然，否则，矛盾，于是得，又，否则，公差，矛盾，
因此，，解得，而，则公差，，
由得，，于是有等差数列是递减数列，其前5项都是非负的，从第6项起为负，
当或时，，
所以的最大值为20.
故选：B
2．（2022·山西临汾·一模（文））已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出数列{}的通项，再求出并进行推理计算作答.
【详解】
依题意，等比数列{}的通项公式是：，
因此，，
，当时，，即，
当时，，即，数列递减，，
所以取最大值时n为3或4.
故选：C
3．（江苏省淮安市2021-2022学年高二上学期期末调研测试数学试题）已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，（且），利用累加法求得，再根据恒成立求解.
【详解】
因为数列满足，，（且）
所以，
，
，
，
因为恒成立，
所以，则M的最小值是，
故选：C
4．（四川省2022届高三诊断性测试数学（理）试题）设为等差数列的前n项和，若，且．则使的n的最小值为（ ）．
A．30 B．31 C．32 D．33
【答案】B
【解析】
【分析】
求得和公差的关系，利用等差数列前项和公式列不等式，由此求得的最小值.
【详解】
设等差数列的公差为，
，，
由于，，所以，
所以，所以的最小值为.
故选：B
5．（2022·全国·模拟预测）设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，．若数列的前项和为，则使得成立的的最小值为( )
A．1180 B．1179 C．2020 D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
利用通项公式和前n项和之间的关系求出数列的通项公式，再根据n的取值讨论并判断即可.
【详解】
①，
令，得，解得．
，②，
由①②可得，
整理得，
根据可知，
则数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，．
∴，，
当时，，；
当时，，，
当时，，．
∵，，
∴使成立的的最小值为．
故选：A．
6．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列满足，且取最小值时为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由数列递推关系利用累加法可知，
进而化简的表达式，利用基本不等式计算即得结论.
【详解】
由，得
，累加可得
，
又，.
当，，也满足上式.
所以数列的通项公式为.
，
令，
在单调递减，在单调递增.
因为.
故选：C.
7．（2022·浙江·模拟预测）设数列满足，则下列结论中不可能的是（ ）
注：和分别表示，，…中的最小值和最大值．
A．数列从某一项起，均有
B．数列从某一项起，均有
C．数列从某一项起，均有
D．数列从某一项起，均有
【答案】D
【解析】
【分析】
考虑，，，，，几种情况，计算出数列，再对比选项得到答案.
【详解】
当，时，，，，；
当，时，，，，；
当，时，，，，
，，，，AC可能；
当，时，，，，，，，，，AC可能；
当，时，，，，，；
当，时，，，，，， ，，B可能；
故选：D.
【点睛】分类讨论的取值情况是本题的关键
8．（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】
先求得数列的通项公式，再根据数列的正负项求解.
【详解】
因为，，
所以，公差，
所以，
故在数列中，，，，，均小于0，中其余项均大于0．
又因为，，
所以当取得最小值时，的值为6．
故选：C．
9．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正项等比数列}中，存在两项且 ，使得，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件结合等比数列通项公式可得，进而有，再应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.
【详解】
令公比为，由题设，又，
所以，可得或(舍)，
由，即，可得，
所以，又，则，
，当且仅当时等号成立，
所以，故当时.
故选：C
10．（2022·浙江·高三期末）已知数列满足，对任意中存在一项是另外两项之和，且，记数列的则前项和为，则的最小值为（ ）
A．1361 B．1481 C．1681 D．2021
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知，要使得有最小值，则要尽可能的小，根据题意，利用列举法可知数列从第九项起，是以3为周期的数列，由此即可求出结果.
【详解】
因为对任意中存在一项是另外两项之和，
所以，或，或
又，所以，
要使得有最小值，则要尽可能的小；
则根据对任意中存在一项是另外两项之和，且要尽可能的小，
利用列举法可知数列为：，可知数列从第九项起，是以3为周期的数列，
又，
所以的最小值为.
故选：A.
11．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质及已知分别判断、、的符号即可.
【详解】
由，得，
因为是等差数列，所以，，，
，，，
所以，
使得的正整数n的最小值为.
故选: D.
12．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设数列的前项和为，已知，，数列的前项和为，则满足的的最小值为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出，得到，求出数列的前项和为，解不等式即可求解.
【详解】
因为数列的前项和为满足，所以.
当n=1时，；
当时，；
经检验，对n=1也成立，
所以.
所以，
所以数列为首项为1，公差为的等差数列，
所以数列的前项和为.
由可得：，解得：（舍去）.
所以的最小值为12.
故选：A.
13．（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出数列的通项，再计算，列式解不等式作答.
【详解】
设正项等比数列公比为q，由得，于是得，而，解得，
因此，，，由得：，
从而得：，而，解得，又，则，
所以n的最小值为5.
故选：C
14．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由数列通项与前项和的关系得到数列的递推关系，再构造等比数列，求数列的通项公式，进一步求出数列的通项公式，从而可求数列通项公式，代入所求式子，分子、分母同除以构造基本不等式即可求出的最大值，从而求出的范围.
【详解】
由，则当时，得，
两式相减得，变形可得：，
又，，所以，，
∴数列是以为首项、为公比的等比数列，故，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，故.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：构造等比数列求的通项公式，即可得通项公式，再由不等式恒成立，结合基本不等式求的最值，即可求参数范围.
15．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，从而得到，再根据求解即可.
【详解】
由题意可得，
所以，整理得：.
此方程可看作关于的一元二次方程，它一定有实根，
，
整理得，解得或.
故选：C
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据裂项相消法，结合数列的单调性进行求解即可.
【详解】
解：，
前项和为
，
可得为递增数列，且有取得最小值；
且，
当为偶数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得①
当为奇数时，对任意正整数恒成立，
即为对任意正整数恒成立，
由，
可得，即②
由①②解得．
故选：A
【点睛】
关键点睛：利用裂项相消法，结合分类讨论法进行求解是解题的关键.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列通项公式得，再结合题意得数列单调递增，且满足，，即，再解不等式即可得答案.
【详解】
解：根据题意：数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，
由于数列满足，
所以对任意的都成立，
故数列单调递增，且满足，，
所以，
解得．
故选：．
二、多选题
18．（2022·福建三明·高三期末）已知等差数列{}中，，公差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】BC
【解析】
【分析】
由题设及等差数列的性质可得，结合及数列的单调性，即可确定最大时n的取值.
【详解】
由题设，易知：且，
所以，即，
所以要使前n项和取得最大，只需保证前n项均为非负数，
故当或5时，取得最大值.
故选：BC
19．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项 B．
C． D．时，的最大值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A选项的正误；根据已知条件列出关于 的不等式组，求出的取值范围，可判断B选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C，D选项的正误.
【详解】
对于C选项，由且，可知，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为，，
所以，满足的的最大值为，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当且时， ；
当且时，，
所以，当且时，，
当且时，，
当且时，.
由题意可知单调递减，
所以当且时，，
由题意可知单调递减，即有，
所以，
由不等式的性质可得，
从而可得，
因此，数列的最小项为第 项，故A正确.
故选：ABC.
20．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（ ）
A．的最大值为1 B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A：当n=2时，有，对分正负进行讨论，利用基本不等式求出的最大值；
对于B、C：利用等差数列的定义进行判断；
对于D：利用分组求和法直接求出，即可判断.
【详解】
对于A：当n=2时，有，若时，由基本不等式可得：（时取等号），所以；若中有一个为0或负值时，；若时，不可能成立；故的最大值为1.故A正确；
对于B：数列中，，
当n为奇数时，有，所以数列是等差数列，故B正确；
对于C：当n为偶数时，有，只有时，数列是等差数列，否则数列不是等差数列，故C不正确；
对于D：.
故D正确.
故选：ABD
21．（江苏省宿迁市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）设等差数列前n项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．当时，取得最小值
C． D．当时，n的最小值为29
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.
【详解】
由.
A：因为，
所以有，因此本选项说法不正确；
B：因为，所以该等差数列是单调递增数列，因为，所以当，或时，取得最小值，故本选项说法正确；
C：因为，所以该等差数列是单调递增数列，因为，
所以，因此本选项说法正确；
D：因为，
所以由，
可得：，因此n的最小值为，所以本选项说法不正确，
故选：BC
三、双空题
22．（2022·湖北襄阳·高三期末）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则
（1）______，
（2）如果，使得成立，那么的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知，每次剪去的半圆的面积构成了一个等比数列，由此先求得，从而可求得答案；
（2）根据题意只要使得，即可保证，使得成立，因此解不等式即可得答案.
【详解】
由题意可知，依次剪去一个更小的半圆，其半径为前一个半圆半径的一半，
故每次剪去的半圆的面积组成了首项为 ，公比为 的等比数列，
第块纸板是剪了n-1次后得到的，
故 ，
故（1） ；
（2），使得成立，
故只需 ，解得 ，而 ，
所以，
故答案为：；
四、填空题
23．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，且，则的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
利用并项求和法求得，由此求得的关系式，结合基本不等式求得的最大值.
【详解】
当，由已知条件可得，
所以
，
则，所以，，
∴，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，此时取得最大值．
故答案为：
24．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
【答案】11
【解析】
【分析】
根据递推关系，多递推一项再相减，得，进而求出的通项公式，研究数列的单调性，得到前项和的最小值。
【详解】
由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，．
故答案为：11
25．（2022·广东·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据题意得，，有，进而得，故，再根据分和讨论求解得，进而得答案.
【详解】
解：∵数列满足，且对，有，
∴，
∵可得，
∴，有，
∴当时，，即，，
∴，
∴，
∵为递增数列，则，
当时，，解得，
当时，，即，解得：，∴，
又，则，∴整数b的最小值为0．
故答案为：
26．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在等差数列中，，当取得最小值时，______.
【答案】7
【解析】
【分析】
根据等差中项的性质得到，把化为关于公差的关系式，进而得到时取得最小值，进而求出答案.
【详解】
由题意得：，则；，
所以：当时，取得最小值.此时
故答案为：7
27．（2022·安徽黄山·一模（文））已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
首先利用递推关系式求出数列和的通项公式，再利用数列的单调性建立不等关系，进一步求出参数的范围．
【详解】
因为，
所以，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
又
所以，
所以，
又是单调递增数列，
所以当时，恒成立，
所以当时，恒成立，即当时，恒成立，
所以；
又，即，所以．
综上，．
故答案为：．
28．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为__．
【答案】或
【解析】
【分析】
利用等差数列前项和公式将转化为关于的一元二次方程，，即可求得的取值范围.
【详解】
，由等差数列的求和公式可得
，整理得，
由于方程可看作关于的一元二次方程，
方程一定有根，故，
整理得，解得，或
故答案为：或.
29．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是_______
【答案】，
【解析】
【分析】
把已知等式用表示，关于公差的二次方程有实数解，由判别式不小于0可得的范围．
【详解】
解：，可得，
化为：，
△，，
．
解得．
的取值范围是，．
故答案为：，．
30．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围为__．
【答案】
【解析】
【分析】
化简，根据已知即得解.
【详解】
解：，
又，，
．
故答案为：．第22讲 数列中的范围与最值问题
方法总结：
1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点，判断数列的单调性的方法：
（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于 ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为 的函数，得到函数的单调性后再结合得到数列的单调性
（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列）
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是__．
例2．（2022·江苏南通·一模）设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的最大值.
例3．（2022·浙江温州·高三开学考试）已知数列和满足，，.
(1)求与；
(2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值.
例4．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，记数列的前n项和为，求使得恒成立的m的最小值.
例5．（2022·河南南乐·高三阶段练习（文））已知是等差数列，满足，，数列满足．
(1)求数列、的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，令，求的最小值．
例6．（2022·浙江·镇海中学高三期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为， 且
(1)求数列的前项和；
(2)在数列中， ， 且 若对任意的正整数， 不等式 恒成立， 求实数的取值范围．
例7．（2022·浙江·温州中学高三期末）已知数列的前项和为，数列满足，
(1)求数列与的通项公式；
(2)若，对恒成立，求实数的取值范围.
例8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，且．
(1)求数列的通项；
(2)设数列满足，记的前项和为．
①求；
②若对任意恒成立，求实数的取值范围．
过关练习：
一、单选题
1．（2022·湖北·荆州中学高三开学考试）已知等差数列的公差不等于0．其前为项和为．若，则的最大值为（ ）
A．18 B．20
C．22 D．24
2．（2022·山西临汾·一模（文））已知{}为等比数列，，公比.若是数列{}的前n项积，则取最大值时n为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
3．（江苏省淮安市2021-2022学年高二上学期期末调研测试数学试题）已知数列满足，（且），若恒成立，则M的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
4．（四川省2022届高三诊断性测试数学（理）试题）设为等差数列的前n项和，若，且．则使的n的最小值为（ ）．
A．30 B．31 C．32 D．33
5．（2022·全国·模拟预测）设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，．若数列的前项和为，则使得成立的的最小值为( )
A．1180 B．1179 C．2020 D．2021
6．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知数列满足，且取最小值时为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·浙江·模拟预测）设数列满足，则下列结论中不可能的是（ ）
注：和分别表示，，…中的最小值和最大值．
A．数列从某一项起，均有
B．数列从某一项起，均有
C．数列从某一项起，均有
D．数列从某一项起，均有
8．（2022·河南驻马店·高三期末（理））已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．（2022·江西宜春·高三期末（理））在正项等比数列}中，存在两项且 ，使得，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江·高三期末）已知数列满足，对任意中存在一项是另外两项之和，且，记数列的则前项和为，则的最小值为（ ）
A．1361 B．1481 C．1681 D．2021
11．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列的公差为d，其前n项和为，且，，则使得的正整数n的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
12．（2022·安徽亳州·高三期末（理））设数列的前项和为，已知，，数列的前项和为，则满足的的最小值为（ ）
A．12 B．7 C．6 D．1
13．（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
14．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知数列的首项是，前项和为，且，设，若存在常数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项的和为，满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，前项和为，若实数满足对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列是首项为，公差为1的等差数列，数列满足．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
二、多选题
18．（2022·福建三明·高三期末）已知等差数列{}中，，公差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
19．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，公差为.已知，，，则（ ）
A．数列的最小项为第项 B．
C． D．时，的最大值为
20．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）在数列中，，前n项的和为Sn，则（ ）
A．的最大值为1 B．数列是等差数列
C．数列是等差数列 D．
21．（江苏省宿迁市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）设等差数列前n项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．当时，取得最小值
C． D．当时，n的最小值为29
三、双空题
22．（2022·湖北襄阳·高三期末）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则
（1）______，
（2）如果，使得成立，那么的取值范围是______．
四、填空题
23．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知数列满足，其前n项和为，且，则的最大值为________．
24．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝______．
25．（2022·广东·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
26．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）在等差数列中，，当取得最小值时，______.
27．（2022·安徽黄山·一模（文））已知数列满足，，数列是单调递增数列，且，，则实数的取值范围为___________.
28．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围为__．
29．（2022·全国·高三专题练习）设，为实数，首项为，且，公差为的等差数列的前项和为，满足，则的取值范围是_______
30．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则的取值范围为__．第23讲 数列中的整数问题与不定方程
方法总结：
1.整数性质的应用：
（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：
① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量
② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值
（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：
① 所解得变量非整数，或不符合已知范围
② 等式两侧为一奇一偶
典型例题：
例1．已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：由可得：，
，
，
，
，
，
将以上式子相加可得：，
，，
又也适合上式，
，
，
数列是首项、公差均为1的等差数列，；
（2）解：由（1）可得，
，
假设存在正整数，，使得，，成等差数列，
则，即，
又，可解得：或，
故存在或，使得，，成等差数列．
例2．已知数列满足条件，，令
（Ⅰ）写出数列的前四项；
（Ⅱ）求数列的通项公式，并给出证明；
（Ⅲ）是否存在非零常数，，使得数列成等差数列？若存在，求出，满足的关系式；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）在，中，
由，．；
，，，
（Ⅱ）由（1）知，，，
．由此猜测．
下面用数学归纳法证明：
①当时猜想显然成立；
②假设猜想成立，即，则有，
根据题意，得，解出，
于是，
，即当时猜想也成立．
综合①②得对于所有都有
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
假设存在非零常数，，使得数列成等差数列，设其公差为，
令，则有，
从而，
化简得：．
所以有，
故存在满足关系的非零常数，，使得数列成等差数列
例3．已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），
当时，，
．
当时，，
．
是以3为首项，以3为公比的等比数列．
．
，
，
是以1为首项，以1为公差的等差数列，
．即．
当时，．
当时，上式仍成立，
．
（2）由（1）知．
．①
．②
①②得：．
．
（3）由（1）知是以3为首项，以3为公比的等比数列，
．
假设数列中存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列，
．即．
．即．
，
，，互不相同，不妨设，
则，
，与矛盾，
数列中不存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列．
例4．在数列中，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1），（2分）
又，
所以，数列是首项为2、公比为2的等比数列，（4分）
所以数列的通项公式为．（6分）
（2）由（1）得．（7分）
假设中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列，
不妨设，则，（10分）
于是，所以．（12分）
因，，，且，所以是奇数，是偶数，（14分）
不可能成立，
所以不存在不同的三项，，成等差数列．（16分）
例5．已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）在两边减去4，得，所以数列是以为公比的等比数列；
（2）数列首项为，数列的通项公式为，
，
．
（3），即为
由②知，时，，，代入①不成立，，代入①成立．
所以存在正整数，，使成立，此时，．
过关练习：
1．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，对于任意的，总存在，使得成立，则　2　，　　．
【解答】解：，，
以及
，
，
，都是大于1的正整数，
．
又因为．
又，，则．
又，由数的整除性，得是5的约数．
故，，
．
故答案为：2；．
2．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，若对于任意的，总存在，使得成立，则　　．
【解答】解：，，
以及，
，
，
可取，
又因为．
又，，则．
又，由数的整除性，得是7的约数．
故，，
．
故答案为：．
二．解答题（共19小题）
3．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．
【解答】解：（Ⅰ）设的公比为，则有，解得，或（舍．
则，，（4分）
．（6分）
即数列和的通项公式为，．
（Ⅱ），令，
所以，（10分）
如果是数列中的项，设为第项，则有，
那么为小于等于5的整数，
所以，，1，．当或时，，不合题意；
当或时，，符合题意．
所以，当或时，即或时，是数列中的项．（14分）
4．已知等差数列的公差，设的前项和为，，．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）求，的值，使得．
【解答】解：（Ⅰ）由，得，
，
即，化为，
解得或，
又公差，则，
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
由得，，
即，
又，，则，或，
下面分类求解：
当时，，解得，；
当时，，解得，，故舍去；
当时，，解得，故舍去；
当时，，解得，，故舍去；
综上得，，．
5．已知数列的前项和为，且．数列满足，且，前9项和为153．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；
（3）设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由．
故当时，．
时，，而当时，，
，
又，即，
为等差数列，于是．
而，故，，
因此，，即；
（2）
．
．
易知单调递增，由，得，而，故，；
（3），
①当为奇数时，为偶数．
此时，，
，．
②当为偶数时，为奇数．
此时，．
，
（舍去）．
综上，存在唯一正整数，使得成立．
6．已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得．
【解答】解：（1）设前6项的公差为，为整数，
则，，
因为，，成等比数列，所以，
可得，解得或（舍去），
所以时，，
所以，，则，
所以时，，
所以（或或．
（2）由（1）可得，，，0，1，2，4，8，，
则当时，，
当时，，，，
当时，，
当时，，，，
假设存在正整数，使得．
则有，即，可得，显然该方程无解，
所以当时，不存在这样的，使得．
综上可得，或．
7．已知各项均为整数的数列满足：，，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在正整数、使得：，请找出所有的有序数对，并证明你的结论．
【解答】解：（1）设由前12项构成的等差数列的公差为，从第11项起构成的等比数列的公比为，
由，可得，或．
又数列各项均为整数，故； 所以，．
（2）数列为：，，，，，，，，，0，1，2，4，8，16，
当，，，均为负数时，
显然，所以，即，，，共有奇数项，即为偶数；
又最多有9个负数项，所以，时，经验算只有符合，
此时；，6，8时，经验算没有一个符合；
故当，，，均为负数时，存在有序数对符合要求．
当，，，均为正数时，且，
因为是比1大的奇数，所以能被某个大于1的奇数整除，
而不存在大于1的奇约数，故；
故当，，，均为正数时，不存在符合要求有序数对；
当，，，中既有正数又有负数，即，，，中含有0时，
有，所以，
因为负数项只有九项，我们按负数项分类：
含1个负数项时，，0，1，符合，此时，；
含2个负数项时，，，0，1，2，符合，此时，；
含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；
含5个负数项时，，，，，0，1，2，4，8，符合，此时，；
含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；
故当，，，中既有正数又有负数时，存在三组有序数对，，符合要求；
综上，存在四组有序数对，，，符合要求．
8．已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，且对于给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列（其中，分别计算，3时满足条件的整数，的一组通解（答案用表示，需要相应的推理过程）；
（3）当为奇数时，放在前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，该数列的前项和记为，是否存在正整数，，使得成立？若存在求出所有满足条件的，，若不存在，则说明理由．
【解答】解：（1）因为，
于是数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即，
当时，，
又因为，所以；
又因为，于是数列是等差数列，设公差为，
设的前项和为，由于，
即，又，，
所以；
（2）由（1）可知，，
若对于任何给定的正整数，存在正整数，，
使得，，成等差数列，则，即，
于是，
所以，且
则对任意的，能整除─，且──．
由于当时，─1中存在多个质数，
所以──1只能取1或─1或─，
若，则，，于是，符合；
若，则，矛盾，舍去；
若，则，于是，矛盾．
综上，当时，存在正整数，，满足，且使得，，成等差数列．
（3）由（1）知，，则，，，，，，，，，，，
构造的新数列，0，1，2，3，2，3，4，5，4，5，6，7，，，，，，，显然，
所以，
，
假设，
即有，当，，，
因为，不能得到完全平方，
故这样的，不存在．
9．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）设，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）数列是各项均不为0的等差数列，
由，
又，．
证明：（2）
，
．
解：（3），
，，，
若，，依次成等比数列，则，
．
由，得，
，
解得，又，且，
，此时．
故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．
10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，．
（1）求数列、的通项公式及其前项和；
（2）在数列中，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）：时，，解得．
时，，，解得或．
时，，舍去．
．
，
由，
（2）由（1）知，，
，，
若，，依次成等比数列，
则，
整理可得
，
解得，
又，且，
所以，此时．
故可知：当且仅当，使数列中的，，成等比数列．
11．已知各项均为正数的数列满足：，且，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
【解答】解：（1）由题意知，
，
，
数列是公比为2，首项为的等比数列，其通项公式为．
（2）由（1）有
，，
为使，，当且仅当为整数．
当，2时，不为整数，
当时，，
只需为整数，
与3互质，为9的整数倍，
当时，为整数，
故的最小值为9．
12．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有．
（Ⅰ）若的首项为4，公比为2，求数列的前项和；
（Ⅱ）若，试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）因为，
所以当时，，
两式相减，得，
而当时，，适合上式，从而，（3分）
又因为是首项为4，公比为2的等比数列，即，
所以，（4分）
从而数列的前项和；（6分）
（Ⅱ）因为，，所以，．（8分）
假设数列中第项可以表示为该数列中其它，，项，，，的和，
即，从而，易知，（9分）
又，
所以，此与矛盾，从而这样的项不存在．（12分）
13．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求的值；
（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由已知，得，．由，，得，．
因，都为大于1的正整数，故．又，故．
再由，得．
由，故，即．
由，故，解得．
于是，根据，可得．
（2）由，对于任意的，均存在，使得，则．
又，由数的整除性，得是5的约数．
故，．
所以时，存在正自然数满足题意．
（3）设数列中，，，成等比数列，由，，得．
化简，得．（※）
当时，时，等式（※）成立，而，不成立．
当时，时，等式（※）成立．
当时，，这与矛盾．
这时等式（※）不成立．
综上所述，当时，不存在连续三项成等比数列；当时，数列中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．
14．用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为．
（1）已知，求，，，的值；
（2）令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（3）数列中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1），，由题意可知，所以．
（2）证明：（常数），
又，
是以3为首项，2为公比的等比数列．
故，
．
（3）不妨设数列中存在不同的三项恰好成等差数列．即，
，
化简得：（其中，，
显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立．
故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列．
15．已知数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）是否存在正整数，， ，使，，成等差数列，若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当时，，
，，
两式相减得：．
当，，，
当时，，
两式相减得：，
．
（2）当时，，，，
，
不存在正整数，， ，使，，成等差数列；
当时，， ，当且仅当时取等号，
当，，时，， ，
不存在正整数，， ，使，，成等差数列，
综上，存在正整数，， ，使，，成等差数列，
此时，．
16．在数列中，已知，，，设为的前项和．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求；
（3）是否存在正整数，，，使，，成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
【解答】（1）证明：由，，
得到，
则．
又，
，
数列是以1为首项，以为公差的等差数列；
（2）由（1）可以推知：，
所以，，
所以，①
，②
①②，得
，
，
，
所以．
（3）假设存在正整数，，，使，，成等差数列．
则，
即．
由于当时，，
所以数列单调递减．
又，
所以且至少为2，
所以，．
①当时，，
又，
所以，等式不成立．
②当时，，
所以．
所以，
所以，（数列单调递减，解唯一确定）．
综上可知，，，的值分别是1，2，3．第23讲 数列中的整数问题与不定方程
方法总结：
1.整数性质的应用：
（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值：在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能解得变量的范围。
（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常数进行因数分解，进而确定变量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。
（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解。通常的处理方式有两个：
① 通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量
② 将一个字母视为变量（其余视为参数）并进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散性求得参数的值
（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有以下几点：
① 所解得变量非整数，或不符合已知范围
② 等式两侧为一奇一偶
典型例题：
例1．已知数列中，，，为数列的前项和．数列满足．
（1）证明：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为问是否存在正整数，，使得，，成等差数列？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
例2．已知数列满足条件，，令
（Ⅰ）写出数列的前四项；
（Ⅱ）求数列的通项公式，并给出证明；
（Ⅲ）是否存在非零常数，，使得数列成等差数列？若存在，求出，满足的关系式；若不存在，说明理由．
例3．已知数列的前项和满足，数列的前项和满足且．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）数列中是否存在不同的三项，，，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由．
例4．在数列中，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，说明理由．
例5．已知数列满足，．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）是否存在正整数，，使成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
过关练习：
1．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，对于任意的，总存在，使得成立，则　2　，　　．
2．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，，若对于任意的，总存在，使得成立，则　　．
二．解答题（共19小题）
3．设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，，数列满足．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）求正整数的值，使得是数列中的项．
4．已知等差数列的公差，设的前项和为，，．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）求，的值，使得．
5．已知数列的前项和为，且．数列满足，且，前9项和为153．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；
（3）设问是否存在，使得成立？若存在，求出的值； 若不存在，请说明理由．
6．已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求出所有的正整数，使得．
7．已知各项均为整数的数列满足：，，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在正整数、使得：，请找出所有的有序数对，并证明你的结论．
8．已知数列的前项和满足，且，数列满足，，其前9项和为36．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，且对于给定的正整数，存在正整数，，使得，，成等差数列（其中，分别计算，3时满足条件的整数，的一组通解（答案用表示，需要相应的推理过程）；
（3）当为奇数时，放在前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项位置上，可以得到一个新的数列：，，，，，，，，，，，该数列的前项和记为，是否存在正整数，，使得成立？若存在求出所有满足条件的，，若不存在，则说明理由．
9．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：；
（3）设，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值，若不存在，请说明理由．
10．已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，．
（1）求数列、的通项公式及其前项和；
（2）在数列中，是否存在正整数，，使得，，依次成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由．
11．已知各项均为正数的数列满足：，且，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）设，，求，并确定最小正整数，使为整数．
12．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且对任意的，都有．
（Ⅰ）若的首项为4，公比为2，求数列的前项和；
（Ⅱ）若，试探究：数列中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．
13．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，都是大于1的正整数，且，．
（1）求的值；
（2）若对于任意的，总存在，使得成立，求的值；
（3）令，问数列中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．
14．用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为．
（1）已知，求，，，的值；
（2）令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；
（3）数列中是否存在不同的三项，，，，恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系，若不存在，说明理由．
15．已知数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）是否存在正整数，， ，使，，成等差数列，若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
16．在数列中，已知，，，设为的前项和．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求；
（3）是否存在正整数，，，使，，成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．第24讲 新信息背景下的数列问题
方法总结：
解决此类问题的一些技巧：
（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，．
(1)已知数列的通项公式．试证明△是等差数列；
(2)若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式；
(3)在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)存在，-28
【解析】
【分析】
（1）根据定义可得，然后可证明；
（2）由条件可得，然后可得，然后利用累加法可求出，然后可得答案；
（3）令，然后利用函数的单调性可得答案.
(1)
证明：依题意，△，
，
△△，
△，
△是首项为1，公差为5的等差数列．
(2)
△△，，
△△△，
△，，
，，
当时，
，
，
当时，也满足上式，
．
(3)
，，
令，则，
则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，
而，
，即时，存在最小值，其最小值为．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，前项和为．设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
(1)若等差数列是“”数列，求的值；
(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据定义得，化简得，进而得出对一切正整数均成立，从而可求出的值；
（2）由题可知，根据定义得，根据平方差公式化简得，求得，最后根据，即可求出数列的通项公式.
(1)
解：因为等差数列是“”数列，则，即，
也即，此式对一切正整数均成立，
若，则恒成立，故，而，这与是等差数列矛盾，
所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）
(2)
解：因为数列是“”数列，则，
所以，而，
，
，
，
，
，，
，
.
例3．（2022·北京海淀·高三期末）已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.
(1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；
(2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
(3)求的最小值.
【答案】(1)B不是典型表，C是典型表；
(2)不存在；
(3)为偶数时 ，为奇数时.
【解析】
【分析】
（1）由题设典型表的定义，结合给定的数表判断即可.
（2）根据题设分析知：数值分配时有即可，结合典型表的定义及数表的对称性确定最小时在数表上的分布情况，即可判断是否存在.
（3）结合（2）的分析，讨论为偶数、奇数情况下的最小值.
(1)
对于数表B有，而不成立，故数表B不是典型表；
对于数表C，当时总有成立，故数表C是典型表.
(2)
由题设知：当要存在典型表A使得，则需.
∵要使最小，即典型表A中的“1”最少，又时总有，
∴让尽量多的横列和，故将表分成4个数表，对角的两个数表数值相同，但上下、左右对称的数表数值不同，此时可保证最小.
∴如典型表，有.
∴不存在典型表A使得.
(3)
要使最小，需让尽量多的横列和或典型表中“1”尽量少，
当为偶数时，由（2）知：；
当为奇数时，在偶数的数表中间加一行一列，并在新增行列中添加个“1”，即可满足典型数列，此时；
【点睛】
关键点点睛：第二问，通过，结合数表的对称性确定最小时的数值分布情况，即可判断存在性，第三问，由第二问情况归纳为偶数时，进而推广到为奇数时.
例4．（2022·北京房山·高三期末）若数列 满足，则称为数列．记 ．
(1)写出一个满足，且的数列；
(2)若，证明数列是递减数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)（或 ）
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据与和可考虑写出交替的数列.
(2)先证必要性，根据数列是递减数列，可得，进而求得.再证明充分性，因为，故，再累加可得证明即可.
(3)设,则，再累加求得，再分析的奇偶，根据整除的性质，先假设存在再证明矛盾即可.
(1)
（或 ）
(2)
必要性：因为数列是递减数列，
所以 ，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因为，所以，
所以数列是递减数列.
综上，结论得证．
(3)
令，
则．
因为，，……,，
所以
因为，所以为偶数，
所以为偶数．
所以要使，必须使为偶数，即整除，
亦即或．
当时，
数列的项满足，，时，
有，；
当时，
数列的项满足，，，时，
有，．
当，时，不能被整除，
所以对任意给定的整数,不存在数列使得，．
【点睛】
在解数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.
例5．（2022·北京东城·高三期末）对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求数列的前项和；
(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.
【答案】(1)5
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意得到当为奇数时，，当为偶数时，，从而；（2）根据题干条件得到，故为常数列，结合求出；（3）对要证明的不等式变形，构造，研究其性质，证明出结论.
(1)
由题意得：，，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以数列的前项和；
(2)
由题意得：，，对于给定的正奇数，，对，，则令，，得：，，综上：为常数列，由可得：
(3)
要证，只需证，即证，令数列，由于具有性质，即，对，，则，对，，所以具有性质，令，设的最小值为，对，令，，由于具有性质，则有，所以，
所以，所以成立
【点睛】
本题数列不等式证明题目，要根据题干中条件对数列进行变形，用到了构造新数列，数论的基础知识，对学生的逻辑思维能力要求较高.
例6．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
(1)若数列的前n项和，证明：是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求的值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，再根据数列是“数列”的概念即可证明结果．
（2）依题意，，根据是“数列”，可知则，可得，由此能求出的值，再进行检验，即可求出结果．
(1)
解：因为，
当时，，显然满足题意，
当时， ，（且）
若，，所以，满足题意，
综上，则为“H数列”；
(2)
解：由题意，，所以，所以
又，
若是“H数列”，则由得
所以，
因，则对任意的n为整数，，则或，
验证：时，，
因恒为偶数，所以m恒为整数，成立.
时，，不恒为整数，
不成立.
综上所述，.
例7．（2022·全国·高三专题练习）若实数数列满足，则称数列为“P数列”．
(1)若数列是P数列，且，，求，的值；
(2)求证：若数列是P数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)若数列是P数列，且中不含值为零的项，记的前2025项中值为负数的项的个数为m，求m的所有可能取值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）推导出，，由此能求出，的值；
（2）假设数列的项都是正数，则，，与假设矛盾；假设数列的项都是负数，则，与假设矛盾，由此能证明的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）存在最小的正整数满足，，数列是周期为9的数列，由此能求出结果．
(1)
解：因为是数列，且，
所以，
所以，
所以，解得，
所以；
(2)
证明：假设数列的项都是正数，即，，，
所以，，与假设矛盾，
故数列的项不可能全是正数，
假设数列的项都是负数，
则，而，与假设矛盾，
故数列的项不可能全是负数，
所以的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)
解：由（2）可知数列中项既有负数也有正数，
且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．
因此存在最小的正整数满足，．
设，，
则，，，．，，，，，
故有，即数列是周期为9的数列，
由上可知，，，这9项中，
，为负数，，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数，
因为，
所以当时，；
当时，，，，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是，
记，，，这项中负数项的个数为，
当，3，4时，若，则，故为负数，
此时，；
若，则，故为负数．
此时，，
当时，必须为负数，，，
综上可知的取值集合为．
【点睛】
本题考查了利用数列的递推公式求数列中的项，考查数列中的项不可能全是正数，也不可能全是负数的证明，考查实数的集合的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．
过关练习：
一、单选题
1．（2022·山西运城·高三期末（理））在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（ ）
A．3974 B．3976 C．3978 D．3980
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得，找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解.
【详解】
由题意可得，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，
前次共取了个数，且第次的最后一个数为，
当时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，
∴时，依次为3970，3972，3974，3976，3978，3980，...，
∴第2022个数为3980.
故选：D.
2．（2022·河南驻马店·高三期末（文））对于正整数，设最接近的正整数为（如，），记，从全体正整数中除去所有，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前5项和为（ ）
A．55 B．65 C．70 D．75
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意对于给定的，存在唯一确定的，使得．再对与分类讨论，即可得到，从得到求出数列的前5项和；
【详解】
解：对于给定的，存在唯一确定的，使得．
①当时，即，记，，
此时，即，；
②当时，即，记，，
此时，即，．
所以，
恰好跳过，即，故数列的前5项和为．
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（ ）
A．4862 B．4962 C．4852 D．4952
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值．
【详解】
2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得1，2，3，4，5，6，
所以，
所以
.
所以.
故选：D
4．（2022·浙江·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用“斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A、B、C、D逐一分析即可得答案．
【详解】
解： 对A：，故选项A正确；
对B：由“斐波那契数列”的定义有，
因为，
所以，故选项B正确；
对C：由“斐波那契数列”的定义有，
因为，
所以，故选项C正确；
对D：，故选项D错误．
故选：D．
5．（2022·浙江杭州·高三期末）若数列满足，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，找到合适的数列满足递推关系，或举反例否定. 对选项，找到，且满足题意；对选项，找到，且满足题意；对选项，找到与题设矛盾；对选项，找到满足题意；
【详解】
对选项，令，且，则有：，故选项正确；
对选项，由，得：
令，则当时，数列满足题设，所以B正确；
对选项，由，
令，得，，，，
令，得，，，
则，，从而，与矛盾，所以错误；
对选项，存在数列，比如，则有：，故选项正确；
故选：
【点睛】
需要熟悉常见函数的运算规则，比如对数运算、指数运算等，注意类比常见函数的运算性质，寻找恰当的数列；否定命题，赋值举反例，发现矛盾.
6．（2022·浙江·高三学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
【答案】A
【解析】
【分析】
设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，从而可得，从而可求出，从而可知经过11次拓展后在与6之间增加的数为，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.
【详解】
解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，
所以，
即，即，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
是以，所以，
则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，
所以经过11次拓展后6所在的位置为第，
所以.
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习（理））对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
【答案】C
【解析】
【分析】
由数列通项公式写出前n项，结合数列 “谷值点”的定义判断{an}的“谷值点”.
【详解】
由an＝，则，，，
当n≥7，n∈N*时恒有> 0，
∴an＝＝，此时数列{an}递增，
综上，a2∴数列{an}的“谷值点”为2，7.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项"，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据，得到，两式相减得到，从而得到数列的通项公式，根据“和谐项"的定义可得，再利用等比数列的前项和可得答案.
【详解】
①，②，①-②得，即，，，故，，所以数列的所有“和谐项”的平方和为.
故选：D.
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）观察下面一组等式：
记表示第i个等式中等号右边第j个数，如，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据所给数据，归纳总结可得第n行，规律为，逐一分析各个选项，结合裂项相消求和法，即可得答案.
【详解】
根据所给数据，归纳总结可得第n行，等号右边每一个式子，第一项为，最后一项均为，故B错误；
所以
对于A：当时，等号右边第一个数为1981，最后一个数为2069，
所以2021在第45行内，故A正确；
对于C：第n行，右边第二项为，
所以，
所以，故C错误；
对于D：因为，且，
所以或或或，
又，，，，
所以，故D正确.
故选：AD
【点睛】
解题的关键是根据所给图示，归纳总结出第n行的规律，并结合不等式的性质，裂项相消求和法进行计算，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
10．（2022·山东青岛·高三期末）在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列
C．正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
D．若等方差数列的首项为2，公方差为2，若将，…这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码
【答案】ABD
【解析】
【分析】
选项A. 由题意可判断；选项B. 由题意有，分和两种情况可判断；选项C. 当时可判断；选项D. 由题意，，从而可判断.
【详解】
选项A. 若，则，则，所以是等方差数列，故正确.
选项B. 由数列是等差数列，则
由数列既是等方差数列,则，则
即
当时，数列为常数列
当时，，结合，可得，所以数列为常数列
故数列为常数列，所以选项B正确.
选项C. 由题意，则，
由等比数列，则，即，解得或
当时，，满足题意，故选项C不正确.
选项D. 数列是首项为2，公方差为2的等方差数列，则
由题意，
所以中的每一项，可能取正或负，有2种取法.
所以，…有种不同的排法结果；所以选项D正确
故选：ABD
11．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”.在数列中，若，则数列的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．3 D．8
【答案】AB
【解析】
【分析】
结合“谷值”和“谷值点”定义，可依次求出前8项，当时，结合对勾函数性质可判断，进而判断出“谷值点”.
【详解】
因为，所以，，，，，，，，当，，，∴，此时数列单调递增，，，，，所以数列的“谷值点”为2，7.
故选：AB
12．（2022·全国·模拟预测）记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据题意可得，然后采用错位相减法求得，进而求得答案.
【详解】
由的构造方法﹐易知，，…，一般地﹐有，即数首次出现于第项﹐由的构造方法知，数列的前各项中，恰有个个个，…， 个，… ，个.所以，，①
故，②
根据式①②得，
因为所以的最小的值为.
故选：AB.
13．（2022·全国·高三专题练习）对于首项为负数的无穷等比数列，若对任意的n，，，则称为“M数列”；若对任意的，存在，使得，则称为“L数列”.若数列的公比为q，则（ ）
A．当q<0时，是“M数列”
B．当q<0时，不是“L数列”
C．当q>0时，为“L数列”，则一定为“M数列”
D．当q>0时，为“M数列”，则一定为“L数列”
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据“M数列”和“L数列”的定义逐一对各选项分析判断即可.
【详解】
选项A，当时，取，则，不成立，
这与对任意的n，，，相矛盾，故不是“M数列”，故A不正确；
选项B，假设为“L数列”，则对任意的，存在，使得，
由，得，所以，即，所以，
但此时，与对任意的，存在，使得相矛盾，
所以假设不成立，所以当q<0时，不是“L数列”，故B正确；
选项C，当时，为“L数列”，则对任意的，存在，
使得，即，又，所以，所以，所以，
而对任意的n，，，
因为，所以，，所以，
即对任意的n，，，所以为“M数列”，故C正确；
选项D，当q>0时，为“M数列”，取，则不存在，使得成立，故不为“L数列”，故D不正确.
故选：BC
14．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，一定是递减数列
B．当时，不存在使是周期数列
C．当时，
D．当时，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
当时，设单调递增，由可得依次递推可得可判断A；求出，，因为，若存在实数使得则可判断B，利用数学归纳法证明可判断C和D；
【详解】
对于A：当时，设单调递增，
因为，，所以，
，，依次类推可得，
所以当时，一定是递减数列，故选项A正确；
对于B：当时，，，
，
由可得，设，
因为，，由零点存在性定理可知存在常数使，则可得，，存在使是周期数列，故选项B不正确；
对于C：当，，，
假设当时，，
则当时，，
所以当时，成立，故选项C正确；
对于D：
①首先证明,时，,：
设,，对用数学归纳法证明,，
当时，,．
假设,，
则，且，
,．
由数学归纳法知,对所有成立．
∴当c＝时，,，
②再证明：≥1－：
，当c＝时，
由得，
∵,，∴，
∴≤，
∴≤≤≤…≤＝，
∴≥1－，
③最后证明：，
当时，结论成立，
当时，∵，
，
，
又∵，∴．故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查对数列和函数性质的综合应用，考查数学归纳法的使用，解题的过程中还需对式子进行适当的放缩，属于难题.
15．（2022·全国·高三专题练习）Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的第四项为111221
B．数列中每项个位上的数字不都是1
C．数列是等差数列
D．数列前10项的和为160
【答案】AD
【解析】
【分析】
A.列举前四项可得答案；B. 根据数列中最后读的数字是1可得答案；C.列举前四项可得答案；D.列举可得数列中数的规律，进而可求和.
【详解】
，，，，A正确；
数列中最后读的数字总是1，故数列中每项个位上的数字都是1，B错误；
数列：11，21，11，21，…，不是等差数列，C错误；
通过列举发现数列的第一，三，五，七，九项都为11，第二，四，六，八，十项为21，
故前10项的和为，D正确．
故选：AD．
三、双空题
16．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则___________，不等式成立的的最小值为___________.
【答案】 12
【解析】
【分析】
①根据，得，代入即可得解；
②根据，得，对分奇偶讨论即可得解.
【详解】
令，得，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
所以.
当为奇数时，，
即，因为，所以，即，
因为为奇数，所以的最小值为13；
当为偶数时，，
因为，所以，，所以的最小值为12.
综上所述，的最小值为12.
故答案为： ；12
四、填空题
17．（2022·广东·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
【答案】0
【解析】
【分析】
根据题意得，，有，进而得，故，再根据分和讨论求解得，进而得答案.
【详解】
解：∵数列满足，且对，有，
∴，
∵可得，
∴，有，
∴当时，，即，，
∴，
∴，
∵为递增数列，则，
当时，，解得，
当时，，即，解得：，∴，
又，则，∴整数b的最小值为0．
故答案为：
18．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.
【答案】615
【解析】
【分析】
根据给定条件探求出，再借助的意义分析的前100项的各个值，再求和作答.
【详解】
函数，求导得：，
因，函数在有极值，则存在，有，解得，
于是得，即，而，
因此，数列的前100项中有1个0，3个1，5个2，7个3，9个4，11个5，13个6，15个7，17个8，19个9，
而，
所以.
故答案为：615
【点睛】
关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
19．（2022·江苏海门·高三期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.
【详解】
因为，所以
.
又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.
故答案为：4.
20．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：
①不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
③等比数列一定是“等差比数列”；
④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确的序号是________．
【答案】①④
【解析】
【分析】
根据得到k不为0，① 正确，考虑常数列得到② ③错误，数列0，1，0，1，…是等差比数列，得到④正确，得到答案.
【详解】
由等差比数列的定义可知，，故，故k不为0，所以① 正确；
当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；
当是等比数列，且公比q＝1时，不是等差比数列，所以③错误；
数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．
故答案为：①④.
21．（2022·全国·高三专题练习）对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
【答案】100
【解析】
【分析】
结合新定义，令bn＝an＋1－an，由题可知{bn}为公差为1的等差数列，求得，列式得a1＝a1，a2－a1＝b1，…，an－an－1＝bn－1，叠加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1，结合等差数列前项和公式化简可得an＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，令n＝12，n＝22解方程可求.
【详解】
令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，
a1＝a1，
a2－a1＝b1，
a3－a2＝b2，
…
an－an－1＝bn－1，
累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，
＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，
分别令n＝12，n＝22，
得
解得a1＝，a2＝100.
故答案为：100
五、解答题
22．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，由可求得的值，由，可得出，两式作差可得出的表达式，然后就是否满足在时的表达式进行检验，综合可得出数列的通项公式；
（2）求得数列的通项公式，利用分组求和法结合裂项相消法可求得的值.
(1)
解：因为，所以.
当时，．
当时，由得．
上述两个等式作差得，即，
又因为满足，所以.
(2)
解：因为，所以.
所以，
所以．
所以，即．
23．（2022·北京通州·高三期末）已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．
(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．
【答案】(1)，其和为55（答案不唯一）
(2)证明过程见解析
(3)505
【解析】
【分析】
（1）列举出一个即可；（2）根据数列的总和为5050进行证明；（3）反证法进行证明，结合第二问结论进行求解.
(1)
，各项和为（答案不唯一）；
(2)
令，取，则，即，所以对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)
假设，即对于任意的，存在，使得，考察数列：，其中各项满足，，，于是有：，，
当为奇数时，，
当为偶数时，，
即存在，，使得，这与假设矛盾，所以，结合第二问结论可知：的最大值为505.
【点睛】
针对于定义新数列的题目，要结合题干中信息，选择合适的方法进行求解，常用到列举法，反证法等方法.
24．（2022·山东青岛·高三期末）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.
(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；
(2)若数列满足：；
（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)（I）是，证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）由新定义直接验证即可证明
（2）（I）由题意可得，先求出的通项公式，再由新定义直接验证即可.
(Ⅱ)由题意可得，由分组求和即可得出答案.
(1)
为“指数型数列”
(2)
（I）将 两边同除
得：，
是以为首项，公比为的等比数列
是“指数型数列”
（Ⅱ）因为，则
25．（2022·重庆·一模）学习资料：有一正项数列，若作商，则当时，当时，.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列的前项和为的前项和为.
(1)求；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设公差，根据可得首项和公差，利用等差数列前n项公式可得答案；
（2）求出，计算出，根据单调性再计算出当时，
可得，利用等比数列求和公式可得答案.
(1)
设公差，，
解得，，
.
(2)
（随递减），
当时，，即（，仅时相等），
（从开始放缩），
.
26．（2022·江苏苏州·高三期末）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．
(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
(2)若数列满足，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，，相减得，即可得到答案；
（2）对当分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；
(1)
由，，相减得，
所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，
由，，得，
所以．
(2)
由，，得，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
综上所述，
27．（2022·北京丰台·高三期末）若有穷数列且满足，则称为M数列．
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．
【答案】(1)①数列不是M数列；②数列是M数列；理由见解析
(2)证明见解析
(3)的所有取值为4或5
【解析】
【分析】
（1）直接根据条件检验即可；
（2）先判断必要性，若数列是等差数列，设公差为，可得数列是常数列．再判断充分性，若数列是常数列，可得，进而可得是等差数列；
（3）先判断不符合题意，，符合题意，进而证明不符合题意，令，可得有三种可能：①； ②；③．
当，根据（2）的结论排除这3种可能性，则可得答案.
(1)
①因为，所以该数列不是M数列；
②因为，所以该数列是M数列．
(2)
必要性：
若数列是等差数列，设公差为，
则．
所以数列是常数列．
充分性：
若数列是常数列，
则，即．
所以或．
因为数列的各项互不相同，
所以．
所以数列是等差数列．
(3)
当时，因为，所以，不符合题意；
当时，数列为．此时，符合题意；
当时，数列为．此时，符合题意；
下证当时，不存在满足题意．
令，
则，且，
所以有以下三种可能：
①；
②；
③．
当时，因为，
由（2）知：是公差为1（或 1）的等差数列．
当公差为1时，由得或，
所以或，与已知矛盾．
当公差为 1时，同理得出与已知矛盾．
所以当时，不存在满足题意．
其它情况同理可得．
综上可知，的所有取值为4或5．
【点睛】
方法点睛：1、对于数列种的新定义问题，一定要理解新数列的性质后才能解题，充分利用新数列的定义去解答问题.2、对于第三问，可能的取值必然不多，那么可以通过尝试取值，然后找到规律和方法来解决问题.
28．（2022·北京·高三期末）已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；
(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；
(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）
【答案】(1)；；；
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用“紧数列”的定义求解；
（2）由均为递增数列，得到，进而转化为证明：①，②，③，④即可；
（3）记，且根据“强紧数列”的定义求解.
(1)
解：；；；.
(2)
依题意，对任意，有或，或，
因为均为递增数列，所以有，即同时满足：
①，②，③，④.
因为为递增数列，因此①和②恒成立.
又因为为整数数列，对于③，也恒成立.
对于④，一方面，由，得，即.
另一方面，，
所以，
即从第项到第项是连续的正整数，
所以，，
因此，
故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个.
(3)
记，依题意，
对任意，有或，
注意到，即对任意，有，
若，则，即；
若，则，即，
即对任意，或者，或者.
所以，所以不能成立.
记，
，
则，且.
注意到：若存在且，即，则.
否则，若，则，不合题意.
因此集合有以下三种情形：
①，.
对任意，有，则
，
当且仅当：，，
即时，等号成立，
此时存在“强紧数列”，
故此情形下，的最小值为；
②，，其中.
对任意，有，对任意，有.
.
故此情形下，的最小值不小于；
③，.
对任意，有，
.
故此情形下，的最小值不小于.
综上，的最小值为.
29．（2022·北京石景山·高三期末）记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
(1)已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
(2)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；
(3)若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.
【答案】(1)、为“趋势递减数列”，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由的通项公式知：是单调递减且，结合“趋势递减数列”的定义判断并说明是否为“趋势递减数列”.
（2）讨论公比的范围，结合“趋势递减数列”的性质判断不同的取值下是否满足要求，即可确定范围.
（3）应用充要条件的定义，由反证法结合“趋势递减数列”的性质证明的项中没有，再证的项中没有时是否为“趋势递减数列”，即可证结论.
(1)
数列是“趋势递减数列”.
由通项公式知：公差为，故是单调递减数列，
∴，且，故数列是“趋势递减数列”.
数列是“趋势递减数列”.
由为奇数，为偶数，则，
∴，且，故数列是“趋势递减数列”.
(2)
当时，数列为单调递增数列，此时，且不满足题意；
当时，数列为常数列，不满足题意；
当时，数列为单调递减数列，此时，且，满足题意；
当时，此时，且，满足题意；
当时，此时，且，不满足题意；
综上，的取值范围为.
(3)
先证必要性：
假设存在正整数≥使得，令.
因为，为正实数，且，
∴≥，故≥，则数列从开始以后的各项为，
当≥时，，与为“趋势递减数列”矛盾，故假设不成立，的项中没有.
再证明充分性：
得：，
由的项中没有，故对于任意正整数，，
∴，即.
当时，，
当时，，
∴为“趋势递减数列”.
综上：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.
【点睛】
关键点点睛：第三问，分别从充分性、必要性两个方面证明结论，注意反证法的应用：假设为“趋势递减数列”存在推出矛盾.
30．（2022·北京昌平·高三期末）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．
(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；
(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；
(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据新定义的理解即可得出结果；
(2)根据和等差数列的通项公式列出不等式组，即可解得公差的范围；
(3)设长度为的“等比伴随数列”的公比为，将问题转化为对恒成立，对k的取值分类讨论，当时，构造函数，利用导数证明即可.
(1)
数列的一个长度为4的“等比伴随数列”为1,4，16,64（答案不唯一）.
(2)
由题意，，
即 ，则.
又数列符合题意，所以的最大值为3.
(3)
设长度为的“等比伴随数列”的公比为，
则对任意正整数，当时，都有成立，
即对恒成立.
当时，有；
当时，，即；
当时，有恒成立，
即当时，.
令当时，，
所以在单调递减，所以当4时，.
同理，令，则在上单调递减，
即4时，.
则，即.
令，当时，，
所以在上单调递减.
又由于，
所以，存在(6，7)，使得，
所以的最大值为6．
【点睛】
对新定义的数列，要充分理解新定义的性质，结合等差、等比数列的相关知识找到题干中的等量关系，构造新函数，学会利用导数研究函数的单调性、最值，将未知的问题转化为熟悉的知识点，在平时的练习中，要注重培养函数思想、转化思想等.第24讲 新信息背景下的数列问题
方法总结：
解决此类问题的一些技巧：
（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。
（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法。
（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）对于数列，规定数列△为数列的一阶差分数列，其中△；一般地，规定△为的阶差分数列，其中△△△，且，．
(1)已知数列的通项公式．试证明△是等差数列；
(2)若数列的首项，且满足△△，，求数列及的通项公式；
(3)在（2）的条件下，判断是否存在最小值，若存在求出其最小值，若不存在说明理由．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项，前项和为．设与是常数，若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列．
(1)若等差数列是“”数列，求的值；
(2)若数列是“”数列，且，求数列的通项公式．
例3．（2022·北京海淀·高三期末）已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.
(1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；
(2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
(3)求的最小值.
例4．（2022·北京房山·高三期末）若数列 满足，则称为数列．记 ．
(1)写出一个满足，且的数列；
(2)若，证明数列是递减数列的充要条件是；
(3)对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由.
例5．（2022·北京东城·高三期末）对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求数列的前项和；
(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.
例6．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
(1)若数列的前n项和，证明：是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求的值；
例7．（2022·全国·高三专题练习）若实数数列满足，则称数列为“P数列”．
(1)若数列是P数列，且，，求，的值；
(2)求证：若数列是P数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)若数列是P数列，且中不含值为零的项，记的前2025项中值为负数的项的个数为m，求m的所有可能取值．
过关练习：
一、单选题
1．（2022·山西运城·高三期末（理））在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…，则这个数列中第2022个数是（ ）
A．3974 B．3976 C．3978 D．3980
2．（2022·河南驻马店·高三期末（文））对于正整数，设最接近的正整数为（如，），记，从全体正整数中除去所有，余下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前5项和为（ ）
A．55 B．65 C．70 D．75
3．（2022·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（ ）
A．4862 B．4962 C．4852 D．4952
4．（2022·浙江·高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，数列的前项和为，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·浙江杭州·高三期末）若数列满足，则下列说法错误的是（ ）
A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足
D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足
6．（2022·浙江·高三学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．108
7．（2022·全国·高三专题练习（理））对于数列{an}，若存在正整数k(k≥2)，使得，，则称是数列{an}的“谷值”，k是数列{an}的“谷值点”.在数列{an}中，若an＝，则数列{an}的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且，，若，则称项为“和谐项"，则数列的所有“和谐项”的平方和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·模拟预测）观察下面一组等式：
记表示第i个等式中等号右边第j个数，如，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·山东青岛·高三期末）在数列中，若，(为常数)，则称为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若数列既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列
C．正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
D．若等方差数列的首项为2，公方差为2，若将，…这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码
11．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”.在数列中，若，则数列的“谷值点”为（ ）
A．2 B．7 C．3 D．8
12．（2022·全国·模拟预测）记数列的前项和为，数列为，….其构造方法是:首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数，于是，得;然后再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得;接下来再复制前面所有的项，再添加的后继数于是，得前项为.如此继续下去，则使不等式成立的的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高三专题练习）对于首项为负数的无穷等比数列，若对任意的n，，，则称为“M数列”；若对任意的，存在，使得，则称为“L数列”.若数列的公比为q，则（ ）
A．当q<0时，是“M数列”
B．当q<0时，不是“L数列”
C．当q>0时，为“L数列”，则一定为“M数列”
D．当q>0时，为“M数列”，则一定为“L数列”
14．（2022·全国·高三专题练习）设数列满足，其中为实数，数列的前n项和是，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，一定是递减数列
B．当时，不存在使是周期数列
C．当时，
D．当时，
15．（2022·全国·高三专题练习）Look—and—say数列是数学中的一种数列，它的名字就是它的推导方式：给定第一项之后，后一项是前一项的发音，例如第一项为3，第二项是读前一个数“1个3”，记作13，第三项是读前一个数“1个1，1个3”，记作1113，按此方法，第四项为3113，第五项为132113，….若Look—and—say数列第一项为11，依次取每一项的最右端两个数组成新数列，则下列说法正确的是（ ）
A．数列的第四项为111221
B．数列中每项个位上的数字不都是1
C．数列是等差数列
D．数列前10项的和为160
三、双空题
16．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则___________，不等式成立的的最小值为___________.
四、填空题
17．（2022·广东·模拟预测）已知表示不小于x的最小整数，表示不大于x的最大整数，如，，数列满足，且对，有，若为递增数列，则整数b的最小值为______．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知，函数在有极值，设，其中为不大于的最大整数，记数列的前项和为，则___________.
19．（2022·江苏海门·高三期末）数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．
20．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：
①不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”；
③等比数列一定是“等差比数列”；
④“等差比数列”中可以有无数项为0.
其中所有正确的序号是________．
21．（2022·全国·高三专题练习）对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．
五、解答题
22．（2022·福建三明·高三期末）定义为数列的“匀称值”，若数列的“匀称值”为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，的前项和为，求．
23．（2022·北京通州·高三期末）已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．
(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；
(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；
(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．
24．（2022·山东青岛·高三期末）给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.
(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；
(2)若数列满足：；
（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若，求数列的前项和.
25．（2022·重庆·一模）学习资料：有一正项数列，若作商，则当时，当时，.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列的前项和为的前项和为.
(1)求；
(2)求证：.
26．（2022·江苏苏州·高三期末）若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．
(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
(2)若数列满足，求的前项和．
27．（2022·北京丰台·高三期末）若有穷数列且满足，则称为M数列．
(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；
① 1，2，4，3．
② 4，2，8，1．
(2)已知M数列中各项互不相同． 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；
(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．
28．（2022·北京·高三期末）已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.
(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；
(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；
(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）
29．（2022·北京石景山·高三期末）记实数，中的较大者为，例如，，对于无穷数列，记，若对于任意的，均有，则称数列为“趋势递减数列”.
(1)已知数列的通项公式分别为，，判断数列是否为“趋势递减数列”，并说明理由；
(2)已知首项为公比为的等比数列是“趋势递减数列”，求的取值范围；
(3)若数列满足，为正实数，且，求证：为“趋势递减数列”的充要条件为的项中没有.
30．（2022·北京昌平·高三期末）已知等差数列，若存在有穷等比数列，其中，公比为，满足，其中，则称数列为数列的长度为的“等比伴随数列”．
(1)数列的通项公式为，写出数列的一个长度为的“等比伴随数列”；
(2)等差数列的公差为，若存在长度为的“等比伴随数列”，其中，求的最大值；
(3)数列的通项公式为，数列为数列的长度为的“等比伴随数列”，求的最大值．

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