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第26讲 圆锥曲线压轴小题
方法总结：
1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
典型例题：
47．（2022·四川·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，点F关于直线的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当时，直线PQ的斜率为___________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】
根据抛物线的焦点坐标求出抛物线的方程，利用点关于直线对称的点求出点M的坐标，设直线l的方程为：，，联立抛物线方程，进而利用韦达定理表示出，结合垂直向量的数量积为0列出关于的方程，解方程即可.
【详解】
由题意知，抛物线的焦点F为，所以，
所以抛物线的方程为：，
设关于直线的对称点为，
则直线MF与直线垂直，又，
有，得①，
因为线段MF的中点在直线，
所以，即②，
由①②，解得，所以，
设直线l的方程为：，，
则，，
，消去y，得，
，，
因为，所以，又，
所以
，
解得.
故答案为：
48．（2022·全国·模拟预测）已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用线线平行和渐近线的关系得到是等边三角形，进而得到，再利用三角形的面积求出，，，再利用余弦定理进行求解.
【详解】
如图，连接PF，交另一条渐近线于点Q，
因为，所以，
所以是等边三角形，所以，
则，即；
又因为，所以，
解得，，，
在中，，，，
由余弦定理，得.
故答案为：.
49．（2022·全国·模拟预测）已知点，分别是双曲线的左、右焦点.为双曲线上一点，且，当时，双曲线的焦点到渐近线的距离是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，由勾股定理结合条件求出，，由双曲线的定义得出，进一步得出双曲线的方程，从而求出渐近线方程，由点到直线的距离公式得出答案.
【详解】
由得.又因为，
由勾股定理得,解得，，
由双曲线定义得，所以，所以，
所以双曲线的渐近线是，所以焦点到渐近线的距离.
故答案为：
50．（2022·全国·模拟预测）已知是抛物线上一点，点，，则周长的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
由抛物线的定义将P点到B点（B点即为抛物线的焦点）的距离转化为到抛物线的准线的距离即可求解.
【详解】
解：易知是抛物线的焦点，，周长为，
结合抛物线定义可知的最小值为点到抛物线的准线的距离，即，
所以周长的最小值为．
故答案为：.
51．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的右焦点的直线，与的右支分别交于两点，且，（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意易知，设，由双曲线定义可知，，在和中由勾股定理，分别可得，，两式联立化简整理可得，由此即可求出结果.
【详解】
如图，连接，．
因为，所以，
设，
因为，所以．
由双曲线定义可得，即，
由双曲线定义可得，即，
在中，由勾股定理可得，即①，
在中，由勾股定理可得，即②，
由②得，代入①整理得，所以C的离心率为．
故答案为：.
52．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得 ，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．
【详解】
设，为第一象限的交点，设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
由椭圆和双曲线的定义可得，解得，
在三角形中，，
由余弦定理可得，，
即有，可得，即为，
由双曲线为等轴双曲线，所以，可得.
故答案为：．
53．（2022·四川·三模（理））已知在直角坐标平面内，两定点，，动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当时，直线PQ的斜率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
求得点的轨迹方程，设出直线的方程，结合根与系数关系列方程，化简求得直线的斜率.
【详解】
设，的中点坐标为，
由于动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切，
所以，整理得点的轨迹方程为.
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，
则，
由于，所以，
即，
，
，
，，解得.
故答案为：
54．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知点F（c，0）为双曲线C： （a＞0，b＞0）的右焦点，点B为双曲线虚轴的一个端点，直线BF与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出，，双曲线的一条渐近线，运用两点的斜率公式和两直线垂直
的条件是斜率之积为，结合双曲线的的关系和离心率公式计算即可得到所求值.
【详解】
由对称性知，选取双曲线C的一条渐近线方程为，
相应直线方程为，知，
从而，即，则
，两边同时除以，得，
因为
所以双曲线的离心率．
故答案为：.
55．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））若双曲线的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，则双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求出焦点关于一条渐近线的对称点P的坐标，代入双曲线方程求解作答.
【详解】
由双曲线的对称性，不妨令F为右焦点，渐近线为，即，令半焦距为c，则，
过F垂直于渐近线的直线方程为：，即，
由解得，即过F垂直于渐近线的直线与该渐近线交于点，
依题意，点P的坐标为，而点P在双曲线上，则有，
即，而，于是得，整理得：，而，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆.设点满足：圆M上存在点P，使，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，分析可得，从而可求出结果.
【详解】
由题意知圆心，半径，连接MT，过点T作圆M的一条切线，与圆相切于点Q，连接MQ，
根据圆的切线性质，有，反之，若，则圆M上存在一点P使得，因此圆M上存在点P，使得，等价于，由，得，解得，因此，实数t的取值范围是，
故选：A.
2．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，当满足时，过点作的平行线l交双曲线于A，B两点，线段AB中点为Q，则直线PQ的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由余弦定理求得，从而得，求出后可得值，写出直线方程，与双曲线方程联立，消元后应用韦达定理求得中点的坐标，可得直线斜率．
【详解】
由可得，得，所以，
由双曲线对称性知，，在中，，所以，即，故，
直线l的方程为，与双曲线方程联立可得，
，，从而得点，，
故选：A.
3．（2022·全国·模拟预测）设F为抛物线焦点，是上的一点，，，则满足条件的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】
【分析】
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义结合题目条件可得，从而写出直线的方程，联立方程组得一元二次方程，由判别式小于零可知直线与抛物线没有交点，所以没有满足条件的点.
【详解】
过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则．又，∴，∴，∴直线的方程为，联立方程组，化简可得，由，可得直线与抛物线没有交点，由对称性可得与抛物线没有交点，故满足条件的点不存在.
故选：D．
【点睛】
解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
4．（2022·安徽·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（ ）．
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设直线，联立抛物线方程，利用韦达定理及条件可得，即得.
【详解】
设直线，
联立，则，
则，．
由，，得P，Q分别为线段AF，BF的中点，
又，满足，，且，
∴，
解得．
故选：A．
5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线与圆相交于，两点，则的值为（ ）
A． B．16 C． D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出A，B坐标，利用向量的坐标运算直接求出.
【详解】
因为直线与圆相交于A，B两点，
所以，解得：.
所以.
故选：C.
6．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给定条件求出弦AB中点的轨迹，再求出这个轨迹上的点到直线的距离最大值即可推理计算作答.
【详解】
因，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆交于不同的两点A，B，
表示点、到直线的距离和的5倍，
设弦AB中点，则有
于是得：，
圆的圆心，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交，
当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，，有，
当点M与点P，Q之一重合时，也成立，于是得，
又，从而得，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
圆的圆心到直线的距离，
则圆上的点到直线的距离的最大值为，
所以的最大值为60.
故选：C
7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的右顶点为A，，若在双曲线C的渐近线上存在点M，使得∠AMB＝90°，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求出点坐标，以AB为直径的圆D，问题转化为双曲线C的渐近线与圆D有交点，利用点到直线距离得到不等关系，求出离心率的取值范围.
【详解】
依题意，A（a，0），B（5a，0），则以AB为直径的圆D：；而，故双曲线C的渐近线与圆D有交点，故圆心D（3a，0）到直线的距离，则，故，故，则，故双曲线C的离心率的取值为，
故选：B.
8．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求得符合题意条件的R的取值范围，即可做出判断.
【详解】
圆C：的圆心，半径R
点C到直线的距离为
圆C上恰好存在2个点到直线的距离为1，则
故选：B
9．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆、符号函数的知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】
对于A选项，当时，，
即表示圆内部及边界，显然不满足，故A错误；
对于C选项，当时，，
即表示圆外部及边界，满足；
当时，，
即表示圆的内部及边界，满足，故C正确；
对于B选项，当时，，
即表示圆内部及边界，显然不满足，故B错误；
对于D选项，当时，，
即表示圆外部及边界，显然不满足，故D错误.
故选：C
10．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知抛物线，点P为直线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求得直线AB的方程，再去求点到直线AB的距离的最大值即可解决.
【详解】
设，切点，
由题意知在点A处的切线斜率存在且不为0，设在点A处切线斜率为
在点A处切线方程可设为
由，可得
由，可得
则在点A处切线方程可化为，即
由题意知在点B处的切线斜率存在且不为0，设在点B处切线斜率为
在点B处切线方程可设为
由，可得
由，可得
则在点B处切线方程可化为，即
又两条切线均过点P，则，
则直线AB的方程为，即
则直线AB恒过定点
点到直线AB的距离的最大值即为点到的距离
故点到直线AB的距离的最大值为.
故选：D
11．（2022·山东临沂·一模）已知，分别为双曲线C：（，）的左，右焦点，点P在第二象限内，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若.则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
取的中点，由已知得，由三线合一得△是等腰三角形，表示出各边长，再由余弦定理表示，再由双曲线的定义表示，在△中由余弦定理列式，得关于的等式关系，即可求得离心率.
【详解】
取线段的中点，连接，
因为，所以，
所以△是等腰三角形，且，
在中，，
连接，又，点在双曲线上，由，则，
在△中，，整理得，
所以离心率.
故选：C
12．（2022·河南安阳·二模（文））抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.
【详解】
抛物线的焦点.
由,所以直线AF的方程为，即，
联立，得，解得：或，可得：.
同理直线BF的方程为，即，
联立，解得：.
所以，解得：.
故选：B
13．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将沿DM翻转，直到与△首次重合，则此过程中，线段AC的中点的运动轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，分析出线段的中点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆，其半径为，即可求出轨迹的长度.
【详解】
由已知得:
四边形是正方形，沿DM翻转的过程中，点的轨迹为
以为圆心，为半径的半圆，其半径为，
设线段的中点,线段的中点,则点的轨迹为
以为圆心，为半径的半圆，其半径为，
线段AC的中点的运动轨迹长度为.
故选：.
14．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线定义结合已知条件列出方程组，求解方程组作答.
【详解】
抛物线：的焦点，准线，
由点到的距离为得：，即，
由点在抛物线上得：，因此有，整理得，而，解得，
所以.
故选：C
15．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，过F作与x轴平行的直线交抛物线于A，B（B在第一象限）两点，且上存在点M，满足，则r的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出点A,B的坐标，根据得到点M的轨迹方程，然后结合点M满足圆的方程求出答案.
【详解】
易得，将代入得，，．
设，则由得，，故，故点M为圆与曲线（）的公共点，则，故，即．
故选：C．
16．（2022·河南·模拟预测（文））对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）
A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是
【答案】D
【解析】
【分析】
对m进行分类讨论，分为双曲线和椭圆，即可判断.
【详解】
当时，曲线为双曲线，，故焦点坐标为；
当时，曲线为椭圆，，焦点坐标为.
故选：D.
17．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））已知双曲线的左焦点为F，直线与C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，O为坐标原点，且的面积为，则C的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知条件结合双曲线的对称性，知四边形为矩形，再结合双曲线的定义
和直角三角形的勾股定理及双曲线的离心率公式即可求解.
【详解】
如图，设双曲线的右焦点为，连接，因为，所以，
由图形的对称性知为矩形，则有，所以，
在中，，解得．
故选: C.
18．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设出切点坐标，利用导函数求出切线斜率，进而表达出切线方程，将代入，结合，从而求出直线AB的方程.
【详解】
设，，，所以在A点处的切线方程为，将代入得，因为，化简得，同理可得，所以直线AB的方程为，
故选：A．
19．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））设F1，F2是双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用点到直线距离公式求出|F2P|＝b，进而求出|OP|＝a，利用勾股定理求出，从而得到a与b的关系，从而求出离心率.
【详解】
如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形，渐近线方程为：，
由点到直线距离公式得：，因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，
所以，所以c＝，
所以.
故选：C.
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知是椭圆上的任意一点，过原点作圆的两条切线，设这两条切线与椭圆交于，两点，则，的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设过原点作圆两条切线方程为，切线，的斜率分别记为，，
其中，是方程的两根，计算可得结论.
【详解】
由圆：，得圆心为，半径为.
设过原点作圆两条切线方程为，
由题意可知，圆心为到两条切线的距离等于，则
即，
设切线，的斜率分别记为，，则
由已知得，就是，的斜率,
因为是椭圆上的任意一点，
所以，即.
所以，是方程的两个实数根，
所以.
故选：B.
21．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由椭圆的对称性，取椭圆的下焦点，由题意可得四边形为矩形，求出，用表示的代数式，由椭圆的定义可得与的关系，由角的范围求出三角函数的范围，进而求出离心率的范围，即可得到结果．
【详解】
因为直线过原点，由椭圆及直线的对称性可得，
所以，
设下焦点，连接，，又因为，即 且互相平分，
可得四边形为矩形，
即有，
在中，，
，
由椭圆的定义可得，
所以，
所以离心率，
因为，，所以，，
所以，,
所以，
故选：C．
22．（2022·云南昭通·高三期末（理））已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么过点P作的垂线，垂足为M，与距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点P到距离等于到准线的距离加1，结合抛物线的定义以及图象，得出与距离之和的最小值.
【详解】
抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径，如图所示，根据点P到距离等于到准线的距离加1，由抛物线的定义可知，点P到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断当P，Q，F三点共线时，点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为，故与距离的最小值为.
故选：D．
23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
画出所表示的半圆，结合直线所过的定点，应用数形结合法判断直线与半圆有两个相异的交点，直线的位置情况，即可求k的范围.
【详解】
由题设，表示圆的半圆，又直线过定点，
由下图知：k的取值范围在直线与半圆左侧相切时斜率(不含)、直线过时斜率之间.
当在半圆左侧相切时到直线距离等于半径，即，可得.
当直线过时，；
综上，要使直线与半圆有两个相异的交点，k的取值范围是.
故选：C
24．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知抛物线 的焦点 ，过其准线与 轴的交点 作直线 ，若直线 与抛物线相切于点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的方程求出的坐标，设切点的的坐标，求出切线的斜率，求出切线的方程与抛物线联立，
由判别式等于求出的横坐标与焦点的横坐标相同，纵坐标为，可得轴，，可得
为等腰直角三角形，进而求出的值.
【详解】
由题意得，设切点，，
，
所以过切点的切线方程为
，代入抛物线的方程，得
，
所以，可得，
所以，，即，所以轴，，
所以为等腰直角三角形，所以.
故选：C.
25．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ）
（1）；
（2）存在点满足
（3）直线与直线的斜率之积为
（4）若△的面积为，则点的横坐标为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
（1）由椭圆定义进行求解；（2）点P在以为直径的圆上，求出圆的方程，与椭圆方程联立作出判断；（3）设出点P的坐标，表达出直线与直线的斜率，计算出答案；（4）利用的面积求出点P的纵坐标，进而利用椭圆方程求出横坐标.
【详解】
由题意得：，所以，，故，，，，由椭圆的定义知：，（1）错误；
假设存在点满足，则点P在以为直径的圆上，即，与椭圆方程联立得：，无解，故假设不成立，不存在点满足，（2）错误；
设点，则，所以其中，，所以，（3）正确；
，解得：，将代入椭圆方程中，解得：，（4）正确.
综上：正确答案为2个，
故选：B
26．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件可得渐近线方程为，双曲线方程，设出直线方程代入双曲线方程中消去，利用根与系数的关系结合弦长公式列方程可求出的值，从而可得渐近线方程与直线方程联立可求出C，D两点的坐标，从而可求出结果
【详解】
设双曲线方程为，则其渐近线方程为，
因为双曲线H的两条渐近线互相垂直，所以，所以渐近线方程为
所以双曲线方程为，则右焦点，
所以直线方程为，
设，将代入化简得，
，
所以，
所以，
解得，得，
所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，
直线方程为，
由，得，
由，得，
所以，
故选：C
27．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形为矩形，且，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设椭圆的半焦距为，依题意以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用，结合椭圆的定义，得到关于，的不等关系，求解即可得到答案．
【详解】
解：设椭圆的半焦距为，因为四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，所以，又，即，即
所以，
故，
因为，又，
所以，
则，
又，即，且，
所以，
故，即，即
解得，
所以椭圆的离心率的取值范围是．
故选：C．
28．（2022·全国·高三专题练习）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线l：x＝ty＋m，讨论t＝0时结合半径范围分析满足条件的切线条数，再根据切线的性质研究t≠0时切线的条件，保证两种情况下切线总共4条求r的取值范围
【详解】
不妨设直线l：x＝ty＋m，又，
当t＝0且r≥5，满足条件的直线只有1条，不合题意；
当t＝0且0＜r＜5，则斜率不存在的直线有2条，此时只需t≠0的直线恰有2条即可.
当t≠0时，将直线代入抛物线方程有：y2－4ty－4m＝0,则△＝16t2＋16m＞0①，
所以，则M(2t2＋m，2t)，
由，可得m＝3－2t2代入①，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3,
又由圆心到直线的距离等于半径，得d＝r＝,
由0＜t2＜3，可得r∈(2，4).
故选：D
29．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交M，N两点（其中M在笫一象限），若M，，N，四点共圆，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再根据的关系即可得出答案.
【详解】
解：设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，
则四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，即，
所以，
故.
故选：A.
30．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，则C的焦距等于（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据渐近线方程可得，由可得答案.
【详解】
曲线的渐近线方程为，可得，
所以，所以焦距为，
故选：C.
31．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且的面积为4，若过圆心C作该抛物线准线的垂线，垂足为D，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
设可得，过点A作于Q，过点B作于P，利用抛物线定义得，利用梯形中位线、基本不等式可得答案.
【详解】
根据题意，，设，即，过点A作于Q，过点B作于P，利用抛物线定义得，根据梯形中位线可知，，所以（当且仅当时，等号成立），
故选：A.
32．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设椭圆的左焦点为，连接、，利用椭圆的定义求出的值，利用点到直线的距离公式可求得的取值范围，再利用椭圆的离心率公式可求得结果.
【详解】
设椭圆的左焦点为，连接、，
因为直线与椭圆均关于原点对称，则、关于原点对称，
又因为为的中点，则四边形为平行四边形，则，
所以，，可得，
取点，则，可得，
所以，，
故选：A.
33．（2022·福建漳州·一模）已知以F为焦点的抛物线经过点，直线与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若，则在y轴上的截距为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由点求出抛物线方程，再利用向量得出A，B坐标的关系，联立直线方程可求出点B坐标，再求出直线斜率即可得解.
【详解】
抛物线经过点，
所以，解得，
即抛物线方程为，焦点为，
设，
联立，消元得，由，
，
又，即,
，
，
，
，，
，
即直线方程为，
故在y轴上的截距为，
故选：D
34．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图所示，椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的实轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以为直径的圆与椭圆有公共点，得到和的关系，再利用直线的倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于的不等关系，求解即可得到答案．
【详解】
设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，，，四点共圆，
则四边形为矩形，
所以以为直径的圆与椭圆有公共点，
则，
所以，又由题意，即，
故，即
因为直线倾斜角不小于，
所以直线的倾斜角不小于，
则，化简可得，
因为，
所以，
则，
又，所以，
故，
解得，所以，
综上
故选：．
35．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知双曲线的方程为，双曲线的右顶点A到渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据双曲线方程写出右顶点坐标以及渐近线方程，即可求得答案.
【详解】
双曲线的方程为,则右顶点A的坐标为 ，
根据双曲线的对称性，不妨取渐近线方程为 ，
故右顶点A到渐近线的距离为 ，
故选：C
36．（2022·云南保山·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，，则以为直径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义求得点A的坐标，再根据直线与圆的位置关系判断.
【详解】
如图所示：
抛物线的焦点为，准线方程为，
设，根据抛物线定义知，得.
线段的中点到轴的距离，
则以为直径的圆与轴相切，
故选：A．
37．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））若直线与圆交于M、N两点，则弦长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意求得直线过定点，圆心，半径，且当时，值最小，利用弦长公式即可求得答案．
【详解】
设直线，即
联立，解得，故直线经过定点，
由知定点在圆内，
由圆方程可知圆心，半径，
当垂直时，最小，此时到直线的距离，
所以，
故选：．
38．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆分别与x轴交于异于F的两点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设为AF的中点，为BF的中点，，根据条件可得点A、B坐标间的关系，结合韦达定理可求得k的值.
【详解】
解：设为AF的中点，为BF的中点，，，
所以，作轴于点P，轴于Q，则，
因为，所以P为NF的中点，则，同理，
因为，则，即，即，
所以，整理得，
设直线l的方程为，联立，整理得，
所以，结合式得，代入中，即，
因为，所以，即，所以，
故选：D.
二、多选题
39．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为1
B．点在椭圆C内部
C．若椭圆的焦点在x轴上，则
D．若点，则的距离的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对于选项A，由椭圆方程求得判断；对于选项B，将点代入椭圆方程判断；对于选项C，由求解判断；对于选项D，由P，Q，三点共线求解判断.
【详解】
对于选项A，由椭圆，易得，所以焦距为2，故选项A错误；
对于选项B，将点代入中，易得，则点Q在椭圆C内部，故选项B正确；
对于选项C，由椭圆的焦点在x轴上，得，解得，故选项C正确；
对于选项D，（当P，Q，三点共线时，且点P位于第四象限时，取得最大值），故选项D正确，
故选：BCD.
40．（2022·全国·模拟预测）已知点，是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，焦点为，则（ ）
A．焦点的坐标为 B．若，则过定点
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则的最小值为16
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据抛物线方程求出焦点坐标，即可判断A；设直线，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，由，即可求出，即可判断B；设直线，代入抛物线方程，消元列出韦达定理，即可判断C、D；
【详解】
解：对于A，由题意，所以焦点，故A错误；
对于B，若直线的斜率，显然不合题意；设直线，代入，得，则，，所以，所以，所以，所以直线过定点，故B正确；
对于C，由直线过点，可设直线，代入，得，则，，所以，故C正确；
对于D，由C可知，，，所以，所以当时，的最小值为16，故D正确，
故选：BCD.
41．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，设直线与抛物线C交于A，B两点，当直线l经过点F时，.设圆F为以点F为圆心，OF为半径的圆（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的C的方程为
B．直线l截圆F的弦长的最小值为
C．直线l截圆F的弦长的最大值为2
D．当时，取到最小值
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于选项A：判断出直线l过定点.设直线l的倾斜角为，由可得，即可得.利用斜率，解得：，即可得抛物线C的方程；
对于选项B：判断出点P在圆F外，可得直线l截圆F的弦长的最小值为0；
对于选项C：直线l截圆F的弦长取到最大值为圆F的直径；
对于选项D：设点A，B的坐标为，，表示出，利用二次函数求最值.
【详解】
对于选项A：直线，可化为：所以直线l过定点.设直线l的倾斜角为，则有，，且由可得，即可得.点F的坐标为，所以，解得：，即可得抛物线C的方程为，故选项A成立；
对于选项B：可得圆F的方程为，因为点P在圆F外，可得直线l截圆F的弦长的最小值为0，故选项B错误；
对于选项C：当直线l经过点F时，此时直线l截圆F的弦长取到最大值，最大值为圆F的直径，故选项C成立；
对于选项D：由l过定点P，可设直线l为，设点A，B的坐标为，，联立可得，
根据韦达定理可得，，
当时，取到最小值为，此时，故选项D成立.
故选：ACD.
42．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．当取得最小值时，直线的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A,求出圆心到直线l的距离，根据圆心距和弦长的一半及半径之间的关系可求得，即可判断A;对于B,C,根据直线过定点，求出过该顶点的弦长的最小值和最大值，即可判断；对于D,根据取得最小值时，直线的垂直关系，可求得直线MN的方程，由此可判断D.
【详解】
对于选项A，当时，直线，圆心到直线的距离，
∴，故选项A正确；
对于选项B，C，D，∵直线过定点，
当时，取得最小值，
此时圆心到直线的距离，，最长即为圆的直径，故，
所以的取值范围为，故B正确，C错误；
当时，取得最小值，此时，，
直线的方程为，，故选项D正确，
故选：ABD．
43．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．
B．面积的取值范围为
C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为
D．当时，的周长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用正弦定理化边为角，结合三角形内角关系及两角和的正弦公式即可判断A；以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设，求出点的轨迹方程，从而可判断BC；由，可得，结合正弦定理及，可得，从而可求出，从而可求出，求出，即可判断D.
【详解】
解：对于A选项，∵，，
∴，
∴，
即，所以，
∴，故选项A正确；
对于选项B，以BC的中点为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，，设，
因为，所以，
化简得，
所以点A在以为圆心，为半径的圆上运动，（B、C除外）
所以点A到BC边的最大距离为，
所以面积的最大值为，
∴面积的取值范围为，故选项B正确；
对于C选项，因为点A在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，则，即，
又，，
所以，故选项C错误；
对于D选项，由，可得，
由A选项，得，
由正弦定理得，即，
所以，化简得，
因为，所以化简得，
因为，所以，所以，
则，所以，
所以，，，为直角三角形，
所以，，所以的周长为，所以选项D正确.
故选：ABD．
44．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是E上异于顶点的一动点，圆I（圆心为I）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长PI交x轴于点D，作交于点H，则（ ）．
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义即可判断A；
根据余弦定理可得，进而判断B；
根据切线长定理和椭圆的定义可得，进而判断C；
根据三角形面积公式和相似三角形的性质可得，进而判断D.
【详解】
A：根据椭圆的定义，得，则A正确；
B：设，，，，
由余弦定理，得，
即，解得，
由于P在E上运动，所以的值也随之变化，从而mn不是定值，则B错误；
C：根据切线长定理和椭圆的定义，得，
且，则，
所以为定值，则C正确；
D：连接IA，则，
由，解得；
由，得为定值，则D正确．
故选ACD．
45．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，左、右顶点分别为、，为双曲线上的点，且轴,连接AD交y轴于C，连接CB交直线DF于，.下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为3 B．
C．点到直线的距离为 D．直线斜率为2或-2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由可得，结合条件可得，进而可得，然后逐项判断即得.
【详解】
∵，
∴，，
∴，，即，
∴.
由知，，即
∴，
∴，即，故A正确；
∴，即直线是双曲线的渐近线，所以点到直线的距离为，故C正确；
由条件可得，
∴，即直线BC的斜率为，故D正确；
又，即直线BD的斜率为，它不与直线BC垂直，所以，故B错误.
故选：ACD.
三、填空题
46．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（理））已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______
【答案】#6.25
【解析】
【分析】
设出直线AB，联立抛物线，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，利用的面积和向量比例关系得到，进而利用焦点弦公式进行求解.
【详解】
设直线AB为，联立抛物线得：，设，，则，，其中，，则，由可得：，则，解得：，此时，所以，故，解得：，当，时，，此时，当，时，，此时，综上：，.
故答案为：第26讲 圆锥曲线压轴小题
方法总结：
1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：
（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与有关，另一条边为焦距。从而可求解
（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用进行表示，再利用条件列出等式求解
2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：
（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口
（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可
（3）通过一些不等关系得到关于的不等式，进而解出离心率
注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：，双曲线：
典型例题：
例1．（2022·四川·模拟预测（文））已知抛物线的焦点为，点F关于直线的对称点为M，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，当时，直线PQ的斜率为___________.
例2．（2022·全国·模拟预测）已知A为双曲线的左顶点，F为双曲线C的右焦点，以实轴长为直径的圆交其中一条渐近线于点P（点P在第二象限），PA平行于另一条渐近线，且，则______.
例3．（2022·全国·模拟预测）已知点，分别是双曲线的左、右焦点.为双曲线上一点，且，当时，双曲线的焦点到渐近线的距离是______.
例4．（2022·全国·模拟预测）已知是抛物线上一点，点，，则周长的最小值为______．
例5．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的右焦点的直线，与的右支分别交于两点，且，（为坐标原点），则双曲线的离心率为______．
例6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若双曲线为等轴双曲线，则椭圆的离心率为______．
例7．（2022·四川·三模（理））已知在直角坐标平面内，两定点，，动点Q满足以FQ为直径的圆与x轴相切．直线FQ与动点Q的轨迹E交于另一点P，当时，直线PQ的斜率为______．
例8．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知点F（c，0）为双曲线C： （a＞0，b＞0）的右焦点，点B为双曲线虚轴的一个端点，直线BF与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为__________．
例9．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））若双曲线的一个焦点F关于其一条渐近线的对称点P在双曲线上，则双曲线的离心率为______.
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆.设点满足：圆M上存在点P，使，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，当满足时，过点作的平行线l交双曲线于A，B两点，线段AB中点为Q，则直线PQ的斜率为（ ）
A． B． C． D．4
3．（2022·全国·模拟预测）设F为抛物线焦点，是上的一点，，，则满足条件的点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（2022·安徽·高三开学考试（理））已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，，，若，满足，，且，则（ ）．
A．6 B．4 C．3 D．2
5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知直线与圆相交于，两点，则的值为（ ）
A． B．16 C． D．8
6．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知点，圆上的两个不同的点、满足，则的最大值为（ ）
A．12 B．18 C．60 D．
7．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知双曲线C：的右顶点为A，，若在双曲线C的渐近线上存在点M，使得∠AMB＝90°，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）圆C：上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·全国·高三专题练习）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数，则当时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知抛物线，点P为直线上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点到直线AB的距离的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．
11．（2022·山东临沂·一模）已知，分别为双曲线C：（，）的左，右焦点，点P在第二象限内，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若.则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·河南安阳·二模（文））抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知矩形ABCD中，，点M，N分别为线段AB，CD的中点，现将沿DM翻转，直到与△首次重合，则此过程中，线段AC的中点的运动轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知抛物线的焦点为F，过F作与x轴平行的直线交抛物线于A，B（B在第一象限）两点，且上存在点M，满足，则r的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．
16．（2022·河南·模拟预测（文））对于曲线（且），以下说法正确的是（ ）
A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线
C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是
17．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））已知双曲线的左焦点为F，直线与C交于A，B两点（其中点A位于第一象限），，O为坐标原点，且的面积为，则C的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
18．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（理））过点作曲线C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2022·全国·高三专题练习（理）（文））设F1，F2是双曲线C：(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
20．（2022·全国·高三阶段练习（文））已知是椭圆上的任意一点，过原点作圆的两条切线，设这两条切线与椭圆交于，两点，则，的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
21．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））已知椭圆的上焦点为，过原点的直线交于点，且，若，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
22．（2022·云南昭通·高三期末（理））已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么过点P作的垂线，垂足为M，与距离之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））当曲线与直线有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
24．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知抛物线 的焦点 ，过其准线与 轴的交点 作直线 ，若直线 与抛物线相切于点，则 （ ）
A． B． C． D．
25．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ）
（1）；
（2）存在点满足
（3）直线与直线的斜率之积为
（4）若△的面积为，则点的横坐标为
A．1 B．2 C．3 D．4
26．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线H的两条渐近线互相垂直，过H右焦点F且斜率为3的直线与H交于A，B两点，与H的渐近线交于C，D两点．若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
27．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与C交于M，N两点（其中M在第一象限），若四边形为矩形，且，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习）设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
A．(1，3) B．(1，4) C．(2，3) D．(2，4)
29．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交M，N两点（其中M在笫一象限），若M，，N，四点共圆，则C的离心率e的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知双曲线的渐近线方程为，则C的焦距等于（ ）
A． B． C． D．4
31．（2022·云南昭通·高三期末（文））已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆C经过抛物线的焦点F，且的面积为4，若过圆心C作该抛物线准线的垂线，垂足为D，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
32．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学高三阶段练习（理））已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于、两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
33．（2022·福建漳州·一模）已知以F为焦点的抛物线经过点，直线与C交于A，B两点（其中点A在x轴上方），若，则在y轴上的截距为（ ）
A．2 B．1 C． D．
34．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图所示，椭圆C：的左右焦点分别为，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线倾斜角不小于，则椭圆C的实轴长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
35．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知双曲线的方程为，双曲线的右顶点A到渐近线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
36．（2022·云南保山·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，点A在抛物线C上，，则以为直径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
37．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））若直线与圆交于M、N两点，则弦长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．2
38．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆分别与x轴交于异于F的两点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
39．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为1
B．点在椭圆C内部
C．若椭圆的焦点在x轴上，则
D．若点，则的距离的最大值为
40．（2022·全国·模拟预测）已知点，是抛物线上的两个不同的点，为坐标原点，焦点为，则（ ）
A．焦点的坐标为 B．若，则过定点
C．若直线过点，则 D．若直线过点，则的最小值为16
41．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，设直线与抛物线C交于A，B两点，当直线l经过点F时，.设圆F为以点F为圆心，OF为半径的圆（O为坐标原点），则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的C的方程为
B．直线l截圆F的弦长的最小值为
C．直线l截圆F的弦长的最大值为2
D．当时，取到最小值
42．（2022·全国·模拟预测）已知直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．的取值范围为
C．的取值范围为
D．当取得最小值时，直线的方程为
43．（2022·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A．
B．面积的取值范围为
C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为
D．当时，的周长为
44．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是E上异于顶点的一动点，圆I（圆心为I）与的三边，，分别切于点A，B，C，延长PI交x轴于点D，作交于点H，则（ ）．
A．为定值 B．为定值
C．为定值 D．为定值
45．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线的右焦点为，坐标原点为，左、右顶点分别为、，为双曲线上的点，且轴,连接AD交y轴于C，连接CB交直线DF于，.下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为3 B．
C．点到直线的距离为 D．直线斜率为2或-2
三、填空题
46．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试（理））已知F是抛物线的焦点，抛物线C上的点满足，若在准线上的射影分别为，且的面积为5，则_______第27讲 直线与圆锥曲线的位置关系
方法总结：
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而设而不求
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。
2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。
3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线。
（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。
4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。
典型例题：
例1．（2022·山东临沂·一模）已知椭圆C：(，)的左、右焦点分别为，，离心率为，直线被C截得的线段长为.
(1)求C的方程：
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时的值.
【答案】(1)；
(2)最大面积为，＝.
【解析】
【分析】
(1)根据离心率表示出a、b、c的关系，再求出被截得的弦长，根据该弦长为即可求出a、b、c，从而确定椭圆的标准方程；
(2)，根据椭圆的对称性，延长交椭圆与C、D，构造平行四边形ABCD，根据即可计算四边形面积的最大值，并求出此时的取值.
(1)
，，，∴，
∴椭圆标准方程为，
∴，由题可知，
；
(2)
，如图，
延长交椭圆与C、D，根据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形面积为四边形ABCD面积的一半.
由题知，斜率不为零，故设方程为，
①，
设，∵，∴，
故，
O到的距离，
＝
，
当且仅当，即时，取等号，
∴当m＝±1时，四边形面积最大为.
根据对称性，不妨取m＝1时，方程①化为，解得，
由对称性可知，故或，
∴或，
综上，四边形面积最大为，此时.
【点睛】
本题关键点利用椭圆的对称性，将四边形补全为平行四边形进行求解.
例2．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；
(3)设A B分别是的左 右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）列方程求得a、b，即可得到双曲线的方程；
（2）把坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，转化为，解不等式可得实数m的取值范围；
（3）求得P、Q两点的坐标，得到，即可证明线段PQ在x轴上的射影长为定值.
(1)
当直线l：与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，
又双曲线的渐近线为，则
又焦距为4，则，解得，，
则所求双曲线的方程为.
(2)
设，，则，
由，得，
则，
，，，
又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，
则，即，即，
即，则，
即，则或，
即实数m的取值范围.
(3)
，
设，则，
直线BD的斜率为， 又，
则直线PQ的方程为，即，
直线AD的斜率为，直线AD的方程为，
由，得，
即点Q的横坐标为，则.
故线段PQ在x轴上的射影长为定值.
例3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若在x轴上存在一点E，使得过点E的任意一条直线l与椭圆的两个交点P、Q，都有为定值，试求出此定值.
【答案】(1)
(2)5
【解析】
【分析】
（1）根据焦点坐标和焦点三角形中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可；
（2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出、两点的纵坐标的关系，进而表示出，即可求得该定值，同时也对直线为轴时检验即可
(1)
依题意得：，
由椭圆定义知：
又，则，在中，
由余弦定理得：
即
解得：
又
故所求椭圆方程为：
(2)
设、、，当直线l不为x轴时的方程为
联立椭圆方程得：
化简可得：
根据韦达定理可得：，
当且仅当，即时，（定值）
即在x轴上存在点E使得为定值5，
点E的坐标为或
经检验，当直线PQ为x轴时，上面求出的点E也符合题意
【点睛】
（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．
例4．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为．
(1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用“点差法”结合斜率的坐标公式计算得解.
(2)联立直线与椭圆的方程，结合(1)的信息及已知求出点P的坐标求解作答.
(1)
依题意，设，，，，
两式相减可得，则，即，
因为，，直线的斜率，直线的斜率，
于是得是定值，
所以直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值.
(2)
设点的坐标为，由消去y并整理得：，
则，，又四边形为平行四边形，
即线段与线段互相平分，则，即点，而点在椭圆C上，
于是得，解得，
所以椭圆的方程为：．
【点睛】
思路点睛：涉及直线被圆锥曲线所截弦中点及直线斜率问题，可以利用“点差法”，设出弦的两个端点坐标，代入曲线方程作差求解.
例5．（2022·河南安阳·二模（文））已知椭圆的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．
(1)若线段AB的中点为，求直线AB的方程；
(2)若F恰好是△ABP的重心，且，，依次成等差数列，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）判断点在椭圆内部，然后根据点差法求得直线斜率，可得直线方程；
（2）根据三角形重心坐标公式可得，再根据，，依次成等差数列，可得，由此可解得答案.
(1)
由题意，将坐标代入中，满足 ，
故点在椭圆内部，
又线段AB的中点为，可知直线AB的斜率存在，
设，，
则，，两式相减整理得：，
由已知可得，则，所以AB的斜率为，
直线AB的方程为，即；
(2)
由已知可得，设，
因为F恰好是△ABP的重心，所以，即，
因为，，依次成等差数列，所以．
，
同理，．
所以，可得，
于是，得，
将代入椭圆方程得，
所以点P的坐标为或．
例6．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，(4，0).
【解析】
【分析】
(1)根据离心率列出一个方程，联立直线方程和椭圆方程由再得一个方程，结合本身a、b、c的关系即可解出a、b、c的值，从而确定椭圆的标准方程；
(2)设，，，，直线PQ的方程为，由，得，即，联立直线PQ与椭圆方程，得和，从而可求m、n、t的关系，再结合N是l和直线PQ的交点即可求出m的值，从而可判定PQ是否过定点.
(1)
∵，∴，，
将代入，整理得，
∴，解得，
∴，，
∴椭圆C的方程为.
(2)
设，，，，直线PQ的方程为，
由，得，即.
将代入椭圆方程，整理得，
，即，
∴，.
∴.
将(1，n)代入，可得，代入上式可得.
当直线PQ的方程为时，也满足题意.
故定点M为(4，0).
过关练习：
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆C右焦点的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，满足k1 k2＝﹣2，l1交C于点E，F，l2交C于点G，H，线段EF与GH的中点分别为M，N．判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)是定点，定点为.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率、几何性质，椭圆的上下定点与长轴构成的三角形面积最大，求得参数的值，写出标准方程；
（2）设l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），联立直线l1与椭圆C的方程，得到韦达定理，同时求得的坐标；
方法一：讨论直线MN的斜率存在情况，将坐标代入直线方程lMN：y＝mx+n，求得之间的关系，从而判断直线是否过定点；
方法二：讨论直线MN的斜率存在情况，由坐标求得直线MN的斜率，并写出直线方程，由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令y＝0，化简判断x是否为定值即可.
(1)
设右焦点F（c，0），c＞0，由题知
求得a＝2，，c＝1，
所以椭圆C的标准方程为．
(2)
方法一：设l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），
联立直线l1与椭圆C的方程得
消去y得，，
由根与系数的关系知，则，
代入直线l1的方程得，所以，
同理得．
①当直线MN的斜率存在时，设直线lMN：y＝mx+n，
将点M，N的坐标代入直线lMN，得
易知k1，k2为方程（4m+4n）k2+3k+3n＝0的两个根，
由根与系数的关系知，
由题知k1 k2＝﹣2，所以，得，
所以直线，所以直线MN过定点．
②当直线MN的斜率不存在时，，即，
所以k1＝﹣k2，且k1 k2＝﹣2．
不妨设，，所以，
即直线，满足过定点．综上，直线MN过定点．
方法二：设l1：y＝k1（x﹣1），l2：y＝k2（x﹣1），联立直线l1与椭圆C的方程
消去y得，．
由根与系数的关系知，，，
代入直线l1的方程得，
所以，同理的．
①当直线MN的斜率存在时，即k1≠﹣k2，
＝＝，
（上式结合k1 k2＝﹣2化简），直线＝，
由椭圆的对称性可知，若定点存在，则必在x轴上，所以令y＝0，得
，
所以直线MN过定点．
②当直线MN的斜率不存在时，，即，
所以k1＝﹣k2，k1 k2＝﹣2．
不妨设，，所以，
即直线，满足过定点．
综上，直线MN过定点．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：过点A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
【答案】(1)；；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由顶点可求a和b，由可求c，则椭圆的方程可求，离心率为可求；
(2)设，，求出、所在直线方程，得到，的坐标，求得，．由，结合在椭圆上求得四边形的面积为定值．
(1)
由题可知，，则，
椭圆的方程为，离心率为；
(2)
设，，则，所在直线方程为，
取，得；
，所在直线方程为，
取，得．
，．
．
四边形的面积为定值2．
【点睛】
解决定值定点方法一般有两种：
(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；
(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知抛物线上一点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点A，为抛物线位于轴上方不同的两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据抛物线的定义和焦半径公式即可求出p；
(2)方法一：设，表示出，，设AB为，联立AB与抛物线方程，结合韦达定理和求出b与m的关系即可求得定点；
方法二：设、，的方程为：，联立AB与抛物线方程，结合韦达定理和求出b与m的关系即可求得定点.
(1)
∵点到焦点的距离为 ，，解得：，
抛物线的标准方程为；
(2)
方法一：设，，则，，
设直线的方程为：，直线的斜率，
联立方程得，
则，，，
，，则，即，
∴，即则直线的方程为，
过定点
∴直线过定点.
方法二：设、，由题意，∴，
设直线的方程为：，
联立方程得，，
由，可得，，
，即，
，即，
即，即，整理得，
直线的方程为，过定点，
∴直线过定点.
4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点M到直线（且为常数）的距离与点M到点的距离相等.
(1)求动点M的轨迹方程（用t表示）；
(2)设直线l与曲线C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，证明：FQ为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的定义判定轨迹类型，进而求其方程；
（2）设出直线l及与其平行l的直线方程，联立直线l和抛物线方程，利用判别式为0得到，进而得到切点的坐标，再利用三角形相似进行求解.
(1)
解：由题意知，点M到直线的距离等于点M到的距离，
由抛物线定义得，动点M的轨迹方程为.
(2)
证明：如图所示，设直线，且与x轴交于点A，易得，
与抛物线联立并消去y，得，
又直线l与抛物线C相切于点P，故，化简得，
即化为，
所以切点P的横坐标为，
易证，故，
即
，
故，为定值.
5．（2022·全国·模拟预测）已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）因为椭圆的焦距为2，则可得出c的值，再由三角形面积公式可求得b的值，进而求得的值，进而求得椭圆的标准方程；（2）由于直线l为圆的切线，注意讨论直线l的斜率存在情况，先确定一般情况下的取值范围，再确定特殊情况下的值，最后整合两种情况下的范围，即取两者的并集，最终得到的取值范围．
(1)
依题意，，
所以．
在中，，
解得，所以，
所以椭圆的方程为；
(2)
设，，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，联立
整理得，
则，则，
则
．
又直线l为圆的切线，
则，即，
则
．
又，于是；
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为，则，，
．
综上，
【点睛】
方法点睛：在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，(－5,0).
【解析】
【分析】
(1)写出A、B、F的坐标，求出向量坐标，根据向量的关系即可列出方程组，求得a、b、c和椭圆的标准方程；
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，，．联立直线l与椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出，根据即可求得k和m的关系，即可证明直线过定点并求出该定点.
(1)
由题意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(c，0)．
∵，
∴
解得从而b2＝a2－c2＝3．
∴椭圆C的方程；
(2)
设直线l的方程为y＝kx＋m，，．
∵直线l不过点A，因此－2k＋m≠0．
由得．
时，，，
∴
．
由，可得3k＝m－2k，即m＝5k，
故l的方程为y＝kx＋5k，恒过定点(－5,0).
7．（2022·四川·三模（理））已知椭圆的离心率，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设C点关于y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法求出椭圆的方程；
（2）先判断出直线l的斜率不存在不合题意；
设过点M的直线l的方程为，设，用“设而不求法”得到，，由得到.设，将其代入得，
对任意k恒成立的充要条件为，即，即可求出点M的坐标为．
(1)
由已知，得， ①
又， ②
由①②解得，，故椭圆E的方程为：．
(2)
由题设及得．
当直线l的斜率不存在时，AB垂直于x轴，此时可设：，所以
，而.
因为，所以，解得：，这与相矛盾，故直线l的斜率存在.
可设过点M的直线l的方程为（斜率存在），
将其代入并整理得，
当时，设，，
∴，，继而可得，
，
又，，∴
整理得， （*）
设，将其代入得，
又将代入（*）式整理得，
即：，
对任意k恒成立的充要条件为，即，
∴，故点M的坐标为．
【点睛】
（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；
（2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.
8．（2022·河南·高三阶段练习（文））椭圆C： （a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，＝，椭圆的上顶点为B，｜AB｜＝，O为坐标原点，△AOB为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰经过点B，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)，或．.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，，结合条件可得，即求；
（2）分情况讨论，当直线l不存在斜率时，不合题意，当直线l存在斜率时，设直线l的方程为：，联立椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得，进而即求.
(1)
依题意，，
则点A的坐标为，点，
又因为为等腰直角三角形．
∴，
则可得，
从而椭圆C的方程为；
(2)
当直线l不存在斜率时，以线段为直径的圆的方程即为，不经过点B．
当直线l存在斜率时，设，
若以线段为直径的圆经过点B，则有，
不妨设直线l的方程为：，代入椭圆方程化简得：，
，
从而有：，，
∴，
，
从而有，
，
由，得或．
所以直线l的方程为：，或．
9．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据双曲线右焦点为，且，由求解；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，求得，与双曲线C的渐近线方程联立，求得，根据求解.
(1)
解：由题意得，
解得
故C的方程为.
(2)
显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得，
此时有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因为，故.
因为，故，
故实数的取值范围是.
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)联立直线与抛物线，根据弦长公式求出，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；
(2)设直线的方程为代入抛物线，利用判别式大于0可得，
根据韦达定理求出的中点坐标，将其代入直线得到与的关系式，根据的范围可得的范围．
(1)
抛物线的焦点为，
时，直线，
联立，可得，
设，，，，
则，．
，
点到直线的距离距离，
的面积．
(2)
∵点，关于直线对称，∴直线的斜率为，
∴可设直线的方程为，
联立，整理可得，
由，可得，
设，，，，则，
故的中点为，
∵点，关于直线对称，∴的中点，在直线上，
∴，得，∵，∴．
综上，的取值范围为．
11．（2022·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））椭圆：（），离心率为，过点.
(1)求椭圆方程；
(2)若椭圆左顶点为，过点的直线与椭圆交于不与D重合的、两点，求.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据求得，然后可得方程.
（2）设直线方程并按斜率是否存在进行讨论，结合韦达定理并表示，计算即可.
(1)
由题可得，
解得，
∴椭圆方程为；
(2)
当直线斜率不存在时，，，，
∴，
当直线斜率存在时，设直线方程为，，
由，得，
，
∴，，
∴
综上，的值为.
12．（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设直线，，，，，，将，的坐标代入抛物线方程得到，再代入直线方程化简即可；
（2）联立直线的方程和抛物线方程，将在面积表示出来，再利用求解即可．
(1)
由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线，，，，，，如图，
由可得：，
所以，
所以，代入直线方程得：，
又当时，由得，
在抛物线开口方向内，
，
点的轨迹方程为：；
(2)
由（1）可知直线：，
由 得：，
直线与抛物线交于，两点，
即
则， ，
，又，
令，
，由得（负根舍去），
知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
当时，取得最大值，
时，.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据离心率列式计算即可；
（2）设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设yQ>0，则yP>0，写出直线直线BP的方程，利用|BP|＝|BQ|求出即可求出各点的坐标，再求出|P1Q1|，点A到直线P2Q2的距离，即可得△APQ的面积.
(1)
由题设可得＝，得m2＝，
所以C的方程为；
(2)
设P(xP，yP)，Q(6，yQ)，
根据对称性可设yQ>0，则yP>0.
由已知可得B(5，0)，直线BP的方程为y＝－(x－5)，
所以|BP|＝yP，|BQ|＝.
因为|BP|＝|BQ|，所以yP＝1.
将yP＝1代入C的方程，解得xP＝3或－3.
由直线BP的方程得yQ＝2或8，
所以点P，Q的坐标分别为P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8)．
所以|P1Q1|＝，直线P1Q1的方程为y＝x，
点A(－5，0)到直线P1Q1的距离为，
故△AP1Q1的面积为××＝；
|P2Q2|＝，直线P2Q2的方程为y＝x＋，
点A到直线P2Q2的距离为，
故△AP2Q2的面积为××＝.
综上，△APQ的面积为.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：上有一点，点在轴上方，，分别为的左，右焦点，当△的面积取最大值时，.
(1)求的标准方程；
(2)若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，作，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知当点为上顶点时的面积取得最大值，再结合，即可求出，的值，得到椭圆的标准方程．
（2）①当直线的斜率存在时，设点，，点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，，代入，可得，所以坐标原点到直线的距离为定值，②当直线的斜率不存在时，点即与轴交点，设点，代入椭圆可求出的值，得到直线的方程，得到亦成立．
(1)
解：当点为上顶点时，的面积取得最大值，
，，
又，
解得，
椭圆的标准方程为．
(2)
证明：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程，消去得：，
，即，
设点，，点，，
，，
，，
，
，
，
，
坐标原点到直线的距离为定值，
②当直线的斜率不存在时，点即与轴交点，，
设点，代入椭圆的方程得：，
解得，
当直线时，点，，，，
成立，
同理当直线时也成立，
，
综上所求，为定值．
15．（2022·陕西武功·二模（理））已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.
【答案】(1)x2＝2y；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的定义进行求解即可；
（2）设直线l的直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、斜率公式进行证明即可.
(1)
∵点N（t，1）在抛物线C：x2＝2py上，且|NF|＝，
∴|NF|＝，解得p＝1，
∴抛物线C的方程为x2＝2y；
(2)
依题意，设直线l：y＝kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣2kx﹣2＝0.
则x1x2＝﹣2，∴.
故k1k2为定值.
【点睛】
关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.
16．（2022·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设双曲线的半焦距为，由建立关于的方程，并求出的值，再将点坐标代入双曲线得，结合，解得，的值，即可求出双曲线的方程；
（2）先设直线的方程为，再分别与双曲线的渐近线方程联立，得到，的表达式，即可求出长度的表达式，联立双曲线与直线的方程，整理成关于的一元二次方程．设，，结合韦达定理求出，的表达式，并得到的取值范围，进而求得的表达式，化简，再结合的取值范围即可求解．
(1)
设双曲线的半焦距为，
∵，∴．
又，，解得，，
∴双曲线的方程为．
(2)
由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
联立得，联立得，
∴．
联立得，
设，，则，，
由即，
∴，
∴
．
又，∴，∴，
∴的取值范围为．
【点睛】
本题以双曲线为背景，考察双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属综合困难题.
17．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以为直径的圆经过定点，定点坐标为和
【解析】
【分析】
（1）根据点在双曲线上和点到直线的距离分别建立方程，然后解出方程即可；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理，并表示出以为直径的圆的方程，结合对称性即可求得定点坐标
(1)
由题意得：
因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：
解得：
因此，双曲线C的方程为：
(2)
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
由可得：
设、，
则由：，
由直线AM方程，令，得点
由直线AN方程，令，得点
则以EF为直径的圆的方程为：
令，有：
将，代入上式，得
可得：
解得：，或
即以EF为直径的圆经过点和；
②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过点和
综合可得，以EF为直径的圆经过定点和
18．（2022·河南·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线C相交于A，B两点，求｜AB｜．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）由直线的参数方程，消去参数求得直线的普通方程，根据直角坐标与极坐标的互化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；
（2）由（1）可知，直线经过抛物线的焦点，联立方程组，结合韦达定理和抛物线的定义，即可求解.
(1)
解：由直线的参数方程为参数），可得，
即直线的普通方程为；
又由曲线，两边同时乘以，可得，
根据，化简得，即曲线的直角坐标方程为.
(2)
解：由（1）可知，直线经过抛物线的焦点，
联立方程组，整理得，可得，
根据抛物线的定义，可得.
19．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知圆，椭圆．
(1)求证：圆C在椭圆M内；
(2)若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【解析】
【分析】
（1）证明椭圆M上任意一点到圆心C的距离大于半径1即可解决；
（2）以设而不求的方法得到△面积的表达式，再去求最大值即可.
(1)
圆心，半径．设为椭圆M上一点，
则．
∵，∴当时，有最小值．
而，即，故点A总在圆C外．
∴圆C在椭圆M内．
(2)
若直线m斜率不存在，m不能过点，则m的方程只能为，
，．
若直线m斜率存在，设m的方程为．
由直线m与圆C相切得，化简得，则．
由得，
则．
又到直线m的距离．
设，则，
．
综上，面积的最大值为4．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线于点M、N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求.
(1)
因为椭圆过，故，
因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，
故椭圆的标准方程为：.
(2)
设，
因为直线的斜率存在，故，
故直线，令，则，同理.
直线，由可得，
故，解得或.
又，故，所以
又
，
故即，
综上，或.
所以的取值范围是.第27讲 直线与圆锥曲线的位置关系
方法总结：
1、直线与圆锥曲线问题的特点：
（1）题目贯穿一至两个核心变量
（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设，至于坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂
（3）通过联立方程消元，可得到关于（或）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而设而不求
（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。
2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。
3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：
（1）斜截式：，此直线不能表示竖直线。
（2），此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。
4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线，上两点，所以或
5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。
典型例题：
例1．（2022·山东临沂·一模）已知椭圆C：(，)的左、右焦点分别为，，离心率为，直线被C截得的线段长为.
(1)求C的方程：
(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时的值.
例2．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；
(3)设A B分别是的左 右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.
例3．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若在x轴上存在一点E，使得过点E的任意一条直线l与椭圆的两个交点P、Q，都有为定值，试求出此定值.
例4．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与椭圆交于、两点，线段的中点为．
(1)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；
(2)若直线的方程为，延长线段与椭圆交于点，四边形为平行四边形，求椭圆的方程．
例5．（2022·河南安阳·二模（文））已知椭圆的右焦点为F，点A，B，P在椭圆C上．
(1)若线段AB的中点为，求直线AB的方程；
(2)若F恰好是△ABP的重心，且，，依次成等差数列，求点P的坐标．
例6．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
过关练习：
1．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知椭圆的离心率，椭圆上的点与左、右顶点所构成三角形面积的最大值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过椭圆C右焦点的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，满足k1 k2＝﹣2，l1交C于点E，F，l2交C于点G，H，线段EF与GH的中点分别为M，N．判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：过点A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.
3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知抛物线上一点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点A，为抛物线位于轴上方不同的两点，直线，的斜率分别为，，且满足，求证：直线过定点．
4．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的任意一点M到直线（且为常数）的距离与点M到点的距离相等.
(1)求动点M的轨迹方程（用t表示）；
(2)设直线l与曲线C相切于点P（点P在第一象限），过原点O作直线l的平行线与直线PF相交于点Q，证明：FQ为定值.
5．（2022·全国·模拟预测）已知P为椭圆短轴上的一个顶点，，为的左、右焦点，且的面积为，椭圆的焦距为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l为圆的切线，且l与相交于A，B两点，求的取值范围（O为坐标原点）．
6．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．
7．（2022·四川·三模（理））已知椭圆的离心率，且过点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设C点关于y轴的对称点为D，点M在直线OD上，过点M的直线l与E交于A、B两点，线段AB的中点为N，若，求点M的坐标．
8．（2022·河南·高三阶段练习（文））椭圆C： （a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，＝，椭圆的上顶点为B，｜AB｜＝，O为坐标原点，△AOB为等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰经过点B，求直线l的方程．
9．（2022·河南·襄城县教育体育局教学研究室二模（理））已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
10．（2022·浙江·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l：与抛物线C交于A，B两点.
(1)若，求的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
11．（2022·黑龙江实验中学高三阶段练习（文））椭圆：（），离心率为，过点.
(1)求椭圆方程；
(2)若椭圆左顶点为，过点的直线与椭圆交于不与D重合的、两点，求.
12．（2022·全国·高三阶段练习（文））如图所示，已知抛物线：，过点的直线与抛物线有两个交点，若抛物线上存在不同的两点，关于直线对称，记的中点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)求的最大值.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：(0(1)求C的方程；
(2)若点P在C上，点Q在直线x＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆：上有一点，点在轴上方，，分别为的左，右焦点，当△的面积取最大值时，.
(1)求的标准方程；
(2)若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，作，求证：为定值.
15．（2022·陕西武功·二模（理））已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，点N（t，1）在抛物线C上，且|NF|＝.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点M（0，1）的直线l交抛物线C于不同的两点A，B，设O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.
16．（2022·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．
17．（2022·广东深圳·一模）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．
18．（2022·河南·高三阶段练习（文））在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线C相交于A，B两点，求｜AB｜．
19．（2022·四川成都·高三阶段练习（文））已知圆，椭圆．
(1)求证：圆C在椭圆M内；
(2)若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB，AC分别交直线于点M、N，若|PM|+|PN|≤15，求k的取值范围．第28讲 圆锥曲线的面积问题
方法总结：
1、面积问题的秒杀总结：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和
2、多个图形面积的关系的转化：寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，
典型例题：
例1．（2022·山西吕梁·一模（文））已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的方程可求，根据离心率可求，再求出后可得椭圆方程.
（2）设直线方程为，设，，联立直线方程和抛物线方程，消元后利用韦达定理得到面积的表达式，利用换元法和导数可求面积的最大值.
(1)
易知抛物线的焦点为，所以，
又因为离心率，所以，
又因为所以椭圆C的方程为
(2)
由题意设直线方程为，设，
与椭圆方程联立消去得：，易知
所以，
所以
因为到直线的距离为
所以
设，则，
设，则，所以在单调递增，
所以，即三角形面积的取值范围为
例2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点F既是椭圆的右焦点，又是抛物线的焦点．和在第一象限内交于．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的动直线l与交于A，B．直线OA与交于M，N，直线OB与交于P，Q．记四边形MPNQ的面积为，的面积为．求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得，将点K坐标分别代入椭圆和抛物线方程，即可求得a，b值，即可得答案.
（2）由（1）知的标准方程为，设直线l的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理，可得，设设直线MN的方程为，与椭圆联立，可得，与抛物线联立，可求得，用代替k可得和，进而可得表达式，结合基本不等式，即可得答案.
(1)
由题可知，解得，
所以的标准方程为．
(2)
由（1）知的标准方程为．
设，，直线l的方程为．
联立，得．
由韦达定理得，
因为
所以．
设直线MN的方程为．
联立，得．
联立，得．
用代替k可得，．
所以
等号成立当且仅当．
故的最大值为．
例3．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据焦距可求出c,再根据以及的面积可求出a,b，即得椭圆方程；
（2）设直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，根据与的面积比值为5：7，得到相关等式，联立根与系数的关系式化简，即可得到结论.
(1)
由,
由,
,故,
∴,
∴,
∴，
即椭圆的标准方程为.
(2)
假设满足条件的直线存在，
当直线的斜率不存在时，不合题意，
不妨设直线：，，，显然 ，
联立，得，
所以，
因为，，得，
即（3），
由（1），（3），得 （4），
将（1）（4）代入（3）得，
所以直线的方程为，
故存在直线，使得与的面积比值为5：7.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的三角形面积问题，解答时一般思路是要将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，再将该关系式代入到相关等式中化简，其中计算量大,多是关于字母参数的运算，要求计算准确，需要细心和耐心.
例4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，然后根据抛物线的定义即可求得答案.
（2）设动点，切点，，进而设出切线方程并代入抛物线方程，结合判别式法和点G在直线上得到的关系，然后取线段AB的中点Q，求出点Q的坐标，最后根据求得答案.
(1)
根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知：，，抛物线C的方程为.
(2)
设动点，切点，.
设过A的切线PA方程为，与抛物线方程联立，
消去x整理得，，所以，
所以切线PA方程为，同理可得切线PB方程为，
联立解得两切线的交点，所以有.
因为，
又G在定直线，所以有，即P的轨迹为，
因为P在抛物线外，所以.
如图，取AB中点Q，则，
所以，因为，
所以，所以，所以当时，.
【点睛】
本题第（2）问运算量大，一定要注意对根与系数的关系的应用，另外本题为什么要取点Q，一方面是受点G为三角形的重心的影响，另一方面是为了处理三角形的面积，即有，平常一定要多加训练，培养自己做题的感觉.
例5．（2022·江西赣州·高三期末（理））已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据条件列出相应的方程组，即可求得答案；
（2）首先利用三角形的面积结合向量运算，将问题转化为，然后设直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系代入化简可得答案.
(1)
由 ，解得 ，
则椭圆C的方程为；
(2)
设存在点，由已知条件可知直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为，
则，
由，
得，
即，
由得，
∴需满足，
∴，
∴，
∴，
∴，∴满足.
∴，∴点.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到三角形面积问题，解答的关键在于利用面积关系结合向量的运算转化为点的坐标之间的关系，再化简求值，计算量较大，需要耐心.
过关练习：
1．（2022·重庆长寿·高三期末）已知曲线过点和．
(1)求曲线C的方程，并指出曲线类型；
(2)若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．
【答案】(1)曲线的方程为，表示椭圆
(2)
【解析】
【分析】
（1）点代入解方程组即可得出结果.
（2）利用弦长公式计算即可.
(1)
曲线C过点和，
则解得
∴曲线C的方程为，表示椭圆．
(2)
由得，．
设，，则．
又O到直线2x－y－2＝0的距离为，
∴△OAB的面积为．
2．（2022·陕西武功·二模（文））已知抛物线上的点到准线的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点，圆与x轴交于点M，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用定义求出，即可得到抛物线C的方程；
（2）设，设直线的方程为：，用韦达定理表示出，得到，利用二次函数求最值即可.
(1)
由抛物线C的方程可得其准线方程为，
依题意得，解得.
∴抛物线C的方程为.
(2)
依题意可设直线的方程为：，
联立消去x得.
设，
则.
∴.
依题意，
∴.
∵，
∴，即面积的最小值为.
3．（2022·福建福州·高三期末）定义：若点，在椭圆上，并且满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点关于M的一个共轭点为.已知点在椭圆，O坐标原点.
(1)求点A关于M的所有共轭点的坐标；
(2)设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用共轭点的定义列方程求解即可，
（2）设直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式表示出，分别求出，到直线的距离，代入，即可求出其最大值
(1)
设点在椭圆的共轭点为，则
，且，
解得或，
所以点A关于M的所有共轭点的坐标为或
(2)
因为∥，，所以设直线的方程为，，，
将代入中，化简得，
由，得，
，
所以
，
设，到直线的距离分别为，
因为∥，
所以等于，到直线的距离和，
所以，
所以
，
令，则在上单调递减，
所以当时，即时，取最大值16，
所以当时，的最大值为
4．（2022·江西九江·一模（文））在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，的最小值为4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)4.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）分类讨论，利用条件可得，然后利用韦达定理、弦长公式及面积公式可表示，即求；
(1)
当垂直于x轴时，最小，
其最小值为，∴，
∴抛物线C的标准方程为.
(2)
解法一：取，
则点M在直线上，且点O为线段的中点.
∴.
当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
，
当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为.
则点O到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
由，得点P的坐标为，
则点P到直线的距离为2，
又，所以的面积为，
当不垂直于x轴时，设其斜率为，
则直线的方程为，
设P，A，B的坐标分别为，，，
则，，
由，得，
，
即，故点P在直线上，且此直线平行于直线.
则点P到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
解法三：取，
则点M在直线上，且点O为线段的中点.
∴，
设直线的方程为，则点O到直线的距离.
联立方程，消去x整理得，
则，，
∴，
综上可得，面积的最小值为4.
5．（2022·江西九江·一模（理））在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据通径的性质即可求解；
(2)取，则点M在直线上，且点M为线段的中点．得，设AB方程，与椭圆方程联立，表示出并求其范围即可.
(1)
由右焦点知，，
当垂直于x轴时，最小，其最小值为．
又∵，解得，，
∴椭圆C的标准方程为．
(2)
解法一：取，
则点M在直线上，且点M为线段的中点．
∴．
当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，；
当不垂直于x轴时，设其斜率为k，则直线的方程为．
则点O到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，，
，
∴，
令，则，
此时．
综上可得，面积的取值范围为．
解法二：当垂直于x轴时，A，B的坐标分别为，，
由，得点P的坐标为，
则点P到直线的距离为1，
又，∴的面积为，
当不垂直于x轴时，设其斜率为k ，
则直线的方程为，
设P，A，B的坐标分别为，，，
则，，
由，得，
，
即．
故点P在直线上，且此直线平行于直线．
则点P到直线的距离，
联立方程，消去y整理得，
则，，
，
∴，
令，则，
此时．
综上可得，面积的取值范围为．
解法三：取，
则点M在直线上，且点M为线段的中点．
∴，
设直线的方程为，则点O到直线的距离．
联立方程，消去x整理得，
则，，，
，
∴，
∴，
即面积的取值范围为．
6．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积－，证明：四边形ABCD的面积为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出相应等式，求得，再根据点（）是椭圆上一点，求得，即得答案；
（2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合可得到，进而表示出四边形ABCD的面积，化简可得结论.
(1)
不妨取左焦点（－c，0），到渐近线的距离为，解得，
∴
又∵点（）是椭圆上一点，∴，
解得
因此，椭圆的方程为
(2)
证明:：当直线AB的斜率不存在时，不妨设 ，
则 ，又 ，解得 ，
根据椭圆的对称性，不妨取 ,则，
则 ,
所以 ;
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为，设点
联立，得，
则
因为，得，即，
所以，，解得，
，
原点到直线AB的距离为，
因为
且
所以（定值），
综上述四边形ABCD的面积为定值．
7．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点.
(1)求证：点A，B的纵坐标之积为定值；
(2)若抛物线上存在关于直线l对称的两点M，N，直线AM，AN分别交x轴于点D，E，求△BDE的面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）分过点的直线l斜率存在与不存在两种情况去证明；
（2）先求得△BDE的面积的的解析式，再求其取值范围即可解决.
(1)
过点的直线l斜率不存在时，方程为，令，，则A，B的纵坐标之积为.
过点的直线l斜率存在时，方程可设为，令，
由可得，，则
综上，点A，B的纵坐标之积为定值.
(2)
由题意可知直线MN斜率存在且不为0，
直线MN的方程可设为，令，
由，可得，
则，
设，，则中点为，代入
得，即，代入，得
由 ，即，可得，则
由 ，，可得，则
则
故△BDE的面积为
又，则
故△BDE的面积的取值范围为
【点睛】
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
8．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.求证：与的面积相等.
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件求出抛物线在点处切线方程，再将此切线与抛物线的方程联立，计算线段AB中点坐标即可得解.
（2）设出过点M的抛物线的切线方程，与抛物线的方程联立，借助韦达定理求出点C，D坐标，进而
求出直线CD方程，把直线CD与抛物线的方程联立，计算线段CD与EF的中点坐标推理作答.
(1)
当时，，显然抛物线在点处切线斜率存在，设切线AB方程为，
由消去y并整理得：，则，解得，
于是得切线AB的方程为：，抛物线，，
由消去y并整理得：，显然，
设，则，线段的中点坐标为与切点P重合，即点P是线段AB中点，所以.
(2)
显然过点M的抛物线的切线斜率存在，设此切线方程为：，且，
由消去y并整理得：，
，关于的方程，
于是得切线的斜率是方程的两个不等实根，分别令为，有，
切点C的横坐标是方程的等根，则点，
同理可得切点，则直线斜率为，
直线：，由消去y并整理得：
，即，
，
设直线CD与抛物线的交点，则，即线段中点横坐标为，
又线段的中点横坐标为，因此，线段与有相同中点，
由题意知，即，因此的底边与的底边相等，高都是点M到直线CD的距离，
所以与的面积相等，即.
【点睛】
结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.
9．（2022·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．
(1)求点的纵坐标的取值范围；
(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设直线的方程为，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可求得点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，可得出，结合可得出的取值范围，进而可求得的取值范围，即可得解；
（2）设点，计算得出的面积，令，记，则，求导，分析可知函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出点的横坐标的取值范围.
(1)
解：由题意可设直线的方程为，则，
联立可得，
，可得，①
设点、，由韦达定理可得，，
设点，则，，
将点的坐标代入抛物线的方程得，则，
代入①可得，可得，解得，
因此.
因此，点的纵坐标的取值范围是.
(2)
解：设点，则点到直线的距离为，
，故的面积，②
将代入②得，
令，记，则，则，
因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，
所以，，可得，③
因为点在椭圆的左上方，则，④
由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
10．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））已知抛物线：，焦点为F，点Р是上任一点（除去原点），过点P作的切线交准线于点Q．
(1)求抛物线在处的切线方程；
(2)若点Р在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧．
①证明：；
②求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)① 证明见解析；②
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出斜率，然后可得答案；
（2）①设，然后求出的坐标，然后证明即可，②算出和点到切线的距离，然后可得，然后利用导数求出最小值即可.
(1)
由得，，则切线斜率为，
故切线方程为，即．
(2)
①设，由（1）得切线斜率为．
所以，且切线为，即．
令得，即．
当时，，；
，，满足．
当时，，
，
所以．
因为在第一象限，所以，，故．
综上，．
②由①得，
，
点到切线的距离为，
所以，
令，，则，
所以当，；当，．
故当时，取最小值．
所以当时，取最小值．
11．（2022·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知椭圆C： ＝1(a>b>0)经过点A，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点B(-1，0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S1，S2，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照题目所给的条件，可以直接算出结果；
（2）将直线方程设为横截式，用水平底铅锤高表达面积，将其表示为关于的函数，利用对勾函数求其最值.
(1)
由已知的a=2，假设椭圆的方程为，将点代入椭圆方程，得b=1，
∴椭圆方程为.
(2)
作图如下：
设过点B的直线方程为（依题意，并且存在），点，，则；
联立方程；解得：，…①
…②，
直线FD的方程为：，令y=0解得：，将①②并，带入，解得x=-4，即点；
，，，，
由于点D与点E必然在x轴的两边，与异号，
∴=，
，当且仅当m=2时，取得最大值.
12．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知抛物线，直线与抛物线交于点，，且.
(1)求的值.
(2)已知点，过抛物线上一动点（点在直线的左侧）作抛物线的切线分别交，于点，，记，的面积分别为，，求的最小值.
【答案】(1)1；
(2)2.
【解析】
【分析】
（1）将代入抛物线方程，求得，坐标，根据坐标满足抛物线方程即可求得结果；
（2）联立直线DE的方程与抛物线的方程，由切线可知，进而得直线DE的方程为，将DE的方程与AM的方程联立得，同理可得，易得，可知，利用二次函数性质可得解.
(1)
将代入抛物线方程，得，即，
由，即，解得.
(2)
设点，，设直线DE的方程为，
将与抛物线方程联立，得到，
由，可得，
即直线DE的方程为.
由已知得直线AM的方程为，
将DE的方程与AM的方程联立得，同理可得，
易得，由，，
则，所以，
而.
故.
故的最小值为2，此时.
【点睛】
本题考查抛物线方程的求解，以及抛物线中三角形面积的最值问题；解决问题的关键是构造面积关于点坐标之间的函数关系，属综合题.
13．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F(1，0)为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG，△CQG的面积为，.
(1)求p的值及抛物线的标准方程.
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
【答案】(1)2，；
(2)最小值1＋，G(2，0).
【解析】
【分析】
(1)由抛物线的性质可得：，由此能求出抛物线的准线方程；
(2)设，，，，，，重心，，令，，则，从而得直线的方程，代入抛物线方程求出B，由重心在轴上，得到C和G，进而得直线的方程，从而得Q的坐标，由此结合已知条件能即能求出结果．
(1)
由题意得＝1，即p＝2.
∴抛物线的标准方程为；
(2)
设，，，，，，重心，，
令，，则，
由于直线过，故直线的方程为，
代入，得：，
，即，，，
又，，重心在轴上，
，
，，，，
直线的方程为，得，，
在焦点的右侧，，
，
令，则，
，
当时，取得最小值为，此时．
【点睛】
本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
14．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)1，
【解析】
【分析】
（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；
（2）由（1）知和到直线的距离，利用三角形面积公式求得面积，可求得S的最小值和直线的方程.
(1)
设，，，
则以A为切点的切线为，整理得：，
同理：以为切点的切线为：，
联立方程组：，解得，
设直线的方程为：，
联立方程组，整理得：，
恒成立，
由韦达定理得：，，故，
所以点的轨迹方程为；
(2)
解：由（1）知：，
到直线的距离为：，
∴，
∴时，取得最小值，此时直线的方程为.
【点睛】
思路点睛：本题考查直线与抛物线的交点相关问题，涉及到抛物线的切线和三角形的面积的最值，直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．属中档题.
15．（2022·广东高州·二模）已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线．切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
(1)求证：M，O，N三点共线；
(2)求△OAB面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据圆的对称性，设在第一象限，讨论、斜率不存在或为0、斜率存在且不为0两种情况，再设切线方程并联立椭圆，由及韦达定理，求证即可证结论.
（2）同（1）设在第一象限，，，讨论、斜率不存在或为0、斜率存在且不为0两种情况，分别求△OAB面积情况，注意斜率存在且不为0时，根据P在、上求直线的方程，再联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式得到关于所设参数的表达式，最后应用基本不等式求范围确定面积的最大值.
(1)
由圆的对称性，不妨设在第一象限，
若斜率不存在，则直线为，
所以，则另一条切线为(即斜率为0)，此时；
若、斜率存在且不为0时，设切线方程为，
联立椭圆方程有，整理得，
所以，整理得，且，
所以，又，故，即；
综上，有，又M，N两点圆O上，即，
由圆的性质知：是圆O的直径，所以M，O，N三点共线，得证；
(2)
同（1），由圆的对称性，设在第一象限，，，
当时，；
当时，、斜率都存在且不为0，令为，
联立椭圆并整理得：，
由，整理得，
所以，又在椭圆上，则，故，
所以直线的方程为，化简得，即；
同理可得：直线的方程为，
又在直线、直线上，则，
所以直线的方程为，联立椭圆方程可得：，
又，则，故，
所以，，又不共线，，
，
而O到直线的距离，
所以，
令，，且，即或，
所以，则，当且仅当时等号成立，此时；
综上，，当时△OAB面积的最大值.
【点睛】
关键点点睛：第二问，分类讨论切线、斜率情况分别求三角形面积，在斜率存在且不为0时，设点坐标及切线方程求直线、，再由在直线上求直线关于m、n的方程，联立椭圆及在圆上，结合韦达定理、弦长公式等求三角形面积表达式，最后应用基本不等式求范围.
16．（2022·北京密云·高三期末）已知椭圆过，两点．设为第一象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设椭圆的右顶点为，求证：三角形的面积等于三角形的面积；
(3)指出三角形的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值（只需写出结论）．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3)存在最大值，且最大值为.
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆过的点的坐标可得，进而求出c，即可得出结果；
(2)设点，利用两点坐标求出直线MA、MB的方程，求出点P、Q的坐标，进而表示出，利用分析法证明即可；
(3)由(2)可得，进而可得，
令，利用导数求出即可得出结果.
(1)
由题意知，椭圆C：过点，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为：，离心率为；
(2)
由题意知，，设点，得，
所以直线MA的方程为：，直线MB的方程为：，
所以，所以，
故，，
要证，只需证，
只需证，
只需证，
又点在椭圆上，所以，即，
所以；
(3)
三角形MPQ的面积存在最大值.
由(2)知，，，得，
，
令，则，
令，函数单调递增，
令，函数单调递减，
所以，
即当时，有最大值，且最大值为，无最小值.
所以三角形MPQ的面积存在最大值，无最小值，且最大值为.
17．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C： x2＝2py（p＞0）的焦点为F， P为C上的动点，Q为P在动直线y＝t（t＜0）上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．
(1)求C的方程；
(2)设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）设，根据等边三角形的面积公式得到，再根据抛物线的定义得到，即可得到，从而求出，即可得到抛物线方程；
（2）设，，，利用导数求出切线的方程，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再求出直线的方程，从而求出点的横坐标，再根据△QMA和△QMB的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，可得点M为AB的中点，从而得到，即可求出参数的值，即可得解；
(1)
解：设，∵为等边三角形时，其面积为，
∴，解得，
∵Q为在动直线上的投影，∴；当为等边三角形时，，
由抛物线的定义知，，∴，解得，∴C的方程为；
(2)
解：设，，则，，
∵，∴，∴切线，即，
联立方程，∴
∵．∴，，
∵△QMA和△QMB的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，则点M为AB的中点，
∴，即，则，
所以存在，使得△QMA和△OMB的面积相等恒成立．
18．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线m交直线于点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①求证线段必过定点P，并求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析； ；②
【解析】
【分析】
（1）椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，列出方程，求解，，得到椭圆的标准方程．
（2）①设直线方程：，，，，，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求解直线方程，然后得到定点坐标．
②由（1）中，利用弦长公式，求解三角形的面积表达式，然后求解最大值即可．
(1)
由题意可得：
，所以，．
故椭圆的标准方程为．
(2)
证明：
①由题意知， ，
设直线方程：，，，，，，
联立方程，得，
所以，，所以，
又，所以直线方程为：，
令，则．
所以直线过定点．
②由（1）中，所以，
又，
所以，
令，，则，
令 ，当时， ，
故在，上单调递增，
则在，上单调递减，
即在，上单调递减，
所以时，．
19．（2022·河南焦作·一模（理））已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，过，作的垂线分别与轴交于，，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合求解；
（2）设直线，代入抛物线方程得，设点，，直线，得到，，然后由四边形的面积，利用导数法求解.
(1)
解：双曲线方程化为标准方程是，其焦点坐标为，，
因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，，，
故抛物线的方程为．
(2)
设直线，代入抛物线方程得，
设点，，则，，
直线，所以点，同理可得，
所以四边形的面积，
，
由抛物线的对称性，只需考虑的情形，
则，
所以，
令，得，
当时，，当时，，
所以当时，四边形的面积最小，最小值为．
20．（2022·浙江·高三开学考试）如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．
(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：
(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．
【答案】(1)；准线方程为直线
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据抛物线的焦点坐标即可以求p和其准线方程；
(2)设，，表示出过A和B的切线方程，求出M和N点坐标，根据P在两直线上求出P点坐标，进而再求出T点坐标，表示出，，进而可以得到，从而可求，由此求出P的轨迹方程，问题转化为问题转化为P的轨迹与半圆：有交点，据此即可求出答案.
(1)
，．准线方程为直线．
(2)
设，，过点A的切线方程：，于是；
过点的切线方程：，于是；
点在两条切线上，所以，
可得点P坐标为．
且：，于是．
，，
而，所以．
于是点，点P的轨迹方程为，
问题转化为抛物线与半圆：有交点．
记，则，又因为，
解得：．
【点睛】
本题关键在求出点P的轨迹方程，将问题转化为P的轨迹与半圆Q有交点，从而求出p的范围.第28讲 圆锥曲线的面积问题
方法总结：
1、面积问题的秒杀总结：
（1）求三角形的面积需要寻底找高，为了简化运算，通常优先选择能用坐标直接进行表示的底（或高）。
（2）面积的拆分：不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和
2、多个图形面积的关系的转化：寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系
3、面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，
典型例题：
例1．（2022·山西吕梁·一模（文））已知椭圆的离心率为，点，是椭圆C的左右焦点，且右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过左焦点且与x轴不重合的直线交椭圆于A，B两点，求面积的取值范围.
例2．（2022·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点F既是椭圆的右焦点，又是抛物线的焦点．和在第一象限内交于．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的动直线l与交于A，B．直线OA与交于M，N，直线OB与交于P，Q．记四边形MPNQ的面积为，的面积为．求的最大值．
例3．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
例4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值.
例5．（2022·江西赣州·高三期末（理））已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
过关练习：
1．（2022·重庆长寿·高三期末）已知曲线过点和．
(1)求曲线C的方程，并指出曲线类型；
(2)若直线2x－y－2＝0与曲线C的两个交点为A，B，求△OAB的面积（其中O是坐标原点）．
2．（2022·陕西武功·二模（文））已知抛物线上的点到准线的距离为5.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线与抛物线C交于A，B两点，与x轴交于点，圆与x轴交于点M，求面积的最小值.
3．（2022·福建福州·高三期末）定义：若点，在椭圆上，并且满足，则称这两点是关于M的一对共轭点，或称点关于M的一个共轭点为.已知点在椭圆，O坐标原点.
(1)求点A关于M的所有共轭点的坐标；
(2)设点P，Q在M上，且，求点A关于M的所有共轭点和点P，Q所围成封闭图形面积的最大值.
4．（2022·江西九江·一模（文））在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点，的最小值为4.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若，求面积的最小值.
5．（2022·江西九江·一模（理））在直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，的最小值为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若与A，B不共线的点P满足，求面积的取值范围．
6．（2022·江西上饶·高三阶段练习（文））已知椭圆的一个焦点到双曲线渐近线的距离为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，直线AC和BD的斜率之积－，证明：四边形ABCD的面积为定值．
7．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，过点的直线l交抛物线于A，B两点.
(1)求证：点A，B的纵坐标之积为定值；
(2)若抛物线上存在关于直线l对称的两点M，N，直线AM，AN分别交x轴于点D，E，求△BDE的面积的取值范围.
8．（2022·四川·成都七中高三开学考试（文））把抛物线沿轴向下平移得到抛物线.
(1)当时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；
(2)抛物线上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.求证：与的面积相等.
9．（2022·浙江·模拟预测）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．
(1)求点的纵坐标的取值范围；
(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．
10．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））已知抛物线：，焦点为F，点Р是上任一点（除去原点），过点P作的切线交准线于点Q．
(1)求抛物线在处的切线方程；
(2)若点Р在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧．
①证明：；
②求面积的最小值．
11．（2022·四川·威远中学校高三阶段练习（文））已知椭圆C： ＝1(a>b>0)经过点A，其长半轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设经过点B(-1，0)的直线l与椭圆C相交于D，E两点，点E关于x轴的对称点为F，直线DF与x轴相交于点G，记△BEG与△BDG的面积分别为S1，S2，求的最大值.
12．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）已知抛物线，直线与抛物线交于点，，且.
(1)求的值.
(2)已知点，过抛物线上一动点（点在直线的左侧）作抛物线的切线分别交，于点，，记，的面积分别为，，求的最小值.
13．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知点F(1，0)为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记△AFG，△CQG的面积为，.
(1)求p的值及抛物线的标准方程.
(2)求的最小值及此时点G的坐标.
14．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程.
15．（2022·广东高州·二模）已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线．切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．
(1)求证：M，O，N三点共线；
(2)求△OAB面积的最大值．
16．（2022·北京密云·高三期末）已知椭圆过，两点．设为第一象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设椭圆的右顶点为，求证：三角形的面积等于三角形的面积；
(3)指出三角形的面积是否存在最大值和最小值，若存在，写出最大值，最小值（只需写出结论）．
17．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C： x2＝2py（p＞0）的焦点为F， P为C上的动点，Q为P在动直线y＝t（t＜0）上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．
(1)求C的方程；
(2)设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
18．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线的方程为：，过点作垂直于直线m交直线于点E．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①求证线段必过定点P，并求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值．
19．（2022·河南焦作·一模（理））已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，过，作的垂线分别与轴交于，，求四边形面积的最小值．
20．（2022·浙江·高三开学考试）如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．
(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：
(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．第29讲 圆锥曲线参数的范围问题
方法总结：
解决此类问题的策略：
（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域
（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可
（3）利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（4）利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
（5）利用基本不等式求出参数的取值范围；
（6）利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，点是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若M N为椭圆C上不同于A的两点，且直线关于直线对称，设直线与y轴交于点，求d的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由椭圆的离心率公式和，，的关系，以及点是椭圆C上一点，可得，，，进而得到所求椭圆方程；（2）设直线AM的斜率为，由对称性可得直线AN的斜率为，求得直线AM的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理可得M的横坐标，将其中的换为，可得N的横坐标，求得MN的斜率和方程，联立椭圆方程，由判别式大于0，结合M，N的位置，解不等式可得所求范围.
(1)
∵，，
∴①
又在椭圆C上，
∴②
由①②解得，，
所以所求椭圆标准方程为
(2)
由（1）知，∴轴，设直线的斜率为k，因为，关于直线对称，
所以直线的斜率为，
又，所以直线的方程是，
设，，
，
所以，将上式中的k换成得，，
所以，
所以直线的方程是，
代入椭圆方程得，
所以，解得，
又由题意知点M，N在A点两侧，而直线中，当时，，故.
例2．（2022·北京八中高三开学考试）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.
【答案】(1)动点的轨迹的方程为；
(2)的取值范围.
【解析】
【分析】
(1)由条件线段的垂直平分线交于点可得，由此可得，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，结合椭圆的标准方程求动点的轨迹的方程；(2)由(1)可求点坐标，设直线的方程为，，联立方程组化简可得，，由直线，的斜率互为相反数可得的值，再由弦长公式求的长，再求其范围.
(1)
由题知
故.
即
即在以为焦点且长轴为4的椭圆上
则动点的轨迹的方程为：；
(2)
故
即.
设：，
联立
（*），，
∴ ，，
又
则：
即
若，则过，不符合题意
故，∴
，
故
例3．（2022·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）把代入椭圆方程得，进而可得，再由以及求出的值即可求解；
（2）设，，由角平分线以及正弦定理可得，再根据，即可得的取值范围.
【详解】
（1）把代入椭圆方程得，解得，
因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1，
所以，又，联立得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）如图所示，设，，
在中，由正弦定理可得
在 中，由正弦定理可得，
因为，，
两式相除可得，
又，消去得到，化为，
因为，即，
也即，解得：，
所以的取值范围为．
【点睛】
思路点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.
（1）求向量与的数量积；
（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）设A，B坐标为，再设直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理与向量的数量积坐标公式计算即可；
（2）由（1），利用韦达定理表达出和的关系以及在轴上截距关于的表达式，再根据得出的取值范围，进而求得截距范围即可
【详解】
（1）设A，B坐标为，由题知直线倾斜角不可能为0，设直线方程为：.联立得，，
由韦达定理得.
.
向量的数量积为.
（2）由（1）知，
代入得.
在为增函数
在y轴上截距的取值范围为
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程﹔
(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由题设有且求参数a，进而写出椭圆方程.
（2）讨论的斜率，当斜率存在时设、，联立椭圆方程结合韦达定理求关于的表达式，再由，应用数量积的坐标表示列方程求参数m，进而求线段中垂线的方程及的范围，即可确定的取值范围.
(1)
由已知条件得：，令，得，
由题意知：，解得，
∴椭圆的标准方程为，
(2)
①当直线的斜率不存在时，显然不合题意；
②当直线斜率存在时，设，
当时，此时关于y轴对称，令，
∴且，则，又，
∴，解得或(舍)，则符合题设.
∴此时有；
当时，则，得，，
设，则，得，，
且，
由，即，
∴，整理得，解得（舍去），
代入得：，
∴为，得：，
则线段的中垂线为，
∴在轴上截距，而，
∴且，
综合①②:线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：第二问，讨论直线斜率，设直线方程及交点坐标，联立椭圆方程并应用韦达定理求交点坐标与所设直线参数的表达式，再根据向量垂直的坐标表示求参数，进而确定中垂线方程及参数范围.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）依题意，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标，将点Q坐标代入抛物线方程得到，将此式代入得到，解不等式即可.
(1)
易知点是抛物线的焦点，，
依题意，
所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4，
设该椭圆的方程为，
则，
，
故点的轨迹的方程为.
(2)
易知直线1的斜率存在，
设直线1：，
由得：，
，
即①又，
故，将，代，
得：，
将②代入①，得：，
即，
即，即，
且，
即的取值范围为或.
3．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆过，两点，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆E： （）过，两点，直接代入方程解方程组，解方程组即可.
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到，结合题意求解即可，当切线斜率不存在时，验证即可.
(1)
将，的坐标代入椭圆的方程得，
解得，．
所以椭圆的方程为．
(2)
假设满足题意的圆存在，其方程为，其中，
设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点，
当直线的斜率存在时，令直线的方程为，①
将其代入椭圆的方程并整理得，
由韦达定理得，，②
因为，所以，③
将①代入③并整理得，
联立②得，④
因为直线和圆相切，因此，由④得，
所以存在圆满足题意．
当切线的斜率不存在时，易得，
由椭圆方程得，显然，
综上所述，存在圆满足题意．
当切线的斜率存在时，由①②④得
，
由，得，
即．
当切线的斜率不存在时，易得，
所以．
综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且．
4．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据直线与的斜率之积列方程，化简求得动点的轨迹的方程.
（2）利用向量的坐标运算，由得到，联立直线与椭圆：，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于的不等式，并由此求得的取值范围.
(1)
设，则，
所以可得动点P的轨迹C的方程为.
(2)
设又，由得
，
联立可得
，
即，且，
又，则，
，
代入得，
，解得.
的取值范围是
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，点，分别是椭圆的左 右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若的周长为，M为椭圆C上任意一点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)结合已知条件，分别求出、与的关系式，进而求得离心率；(2)结合(1)中结论和已知条件求出椭圆的方程，然后设出的坐标，然后利用数量积公式表示出，最后利用二次函数的性质求解即可.
(1)
在中，∵，
∴，，
由椭圆的定义，，，
∴椭圆离心率.
(2)
的周长为，则，
∵，∴，，
∴椭圆C的标准方程为，
可得，设，则，，
∵，
∴，
∵，
所以由二次函数性质可知，当时，的最大值为；
当时，的最小值为，
所以的取值范围是.
6．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆左、右焦点分别为，.给出下列条件：①椭圆过点，且离心率；②椭圆过点，且；③焦距为2，且离心率.
(1)在以上三个条件中任意选择一个，求椭圆的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(2)在（1）的条件下，若直线与椭圆交于点，，且，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用已知条件，结合椭圆中求解即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，由判别式得到的取值范围，设，，利用韦达定理求出，的表达式，再利用斜率之和等于0，即可求出的取值范围.
(1)
选①，∵椭圆过点，∴，
∵，∴，∴.
∵，∴，∴，∴，
∴椭圆的方程为；
选②，∵椭圆过点，且，∴，.
∵，∴，∴，∴，
∴椭圆的方程为；
选③，∵，∴.∵，∴，∴，，
∴椭圆的方程为.
(2)
联立得，
由，得.
设，，则有，.
∵，且，∴，∴.
当时，等式成立；当时，，
整理得，得.
可知上式恒成立，故直线的斜率的取值范围是.
【点睛】
综合性考查落实，本题以椭圆为背景，考查椭圆的几何性质、椭圆方程的求法、直线与椭圆的位置关系，考查数学运算、数据分析和逻辑推理核心素养.
7．（2022·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）设双曲线的半焦距为，由建立关于的方程，并求出的值，再将点坐标代入双曲线得，结合，解得，的值，即可求出双曲线的方程；
（2）先设直线的方程为，再分别与双曲线的渐近线方程联立，得到，的表达式，即可求出长度的表达式，联立双曲线与直线的方程，整理成关于的一元二次方程．设，，结合韦达定理求出，的表达式，并得到的取值范围，进而求得的表达式，化简，再结合的取值范围即可求解．
(1)
设双曲线的半焦距为，
∵，∴．
又，，解得，，
∴双曲线的方程为．
(2)
由题意可设直线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
联立得，联立得，
∴．
联立得，
设，，则，，
由即，
∴，
∴
．
又，∴，∴，
∴的取值范围为．
【点睛】
本题以双曲线为背景，考察双曲线的方程与几何性质、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查数学运算和逻辑推理核心素养，属综合困难题.
8．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)为定值2.
【解析】
【分析】
(1)通过抛物线经过的点，求解，得到抛物线方程，设出直线方程联立直线与抛物线方程，然后求解的范围．
(2)设点，，设，，，，利用韦达定理，结合直线方程求解，的纵坐标，转化求解为定值2．
(1)
因点在抛物线上，则，解得，
∴抛物线C的方程为.
令直线的斜率为k，则直线方程为：，
由消去y并整理得：，
因直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，则，解得且，
又直线PA，PB与相交，而点(1，－2)在抛物线C上，则直线不能过点(1，－2)，
否则PA或PB之一平行于y轴，矛盾，因此，
综上得：，且，
∴直线的斜率的取值范围.
(2)
设点，，，而，则，同理，
设，由(2)知，
直线方程：，即，则，
令，得，同理，
于是得
，
∴为定值2.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
9．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））已知椭圆的离心率为，C的左，右焦点分别为，A，B是C上关于原点对称的两点，四边形的周长为.
(1)求C的方程；
(2)设分别为直线和的斜率，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题设及椭圆性质，得，，求出的值，即可得到答案；
（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率不存在时；当斜率存在时，再利用基本不等式求解，即可得到答案；
(1)
由题设及椭圆性质，得，，
得，
故C的方程为.
(2)
当直线的斜率不存在时，A，B为椭圆的短轴端点，；
当直线的斜率存在时，设直线：，
联立得，
得，
则（当时，等号成立），
所以.
综上，的取值范围为.
10．（2022·河南·高三期末（理））已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．
(1)若，求l的方程；
(2)设点Q（n，0）（）是x轴上的定点，若l变化时，M总在以QF为直径的圆外，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意得F（1，0），设直线l的方程为，，，将直线方程与抛物线的方程联立，消去，利用根与系数的关系，由可得，结合前面的式子可求出的值，从而可求得的值，进而可求得直线l的方程，
（2）以QF为直径的圆的圆心为，半径为，由点M（x，y）在该圆外，可得对任意恒成立，令，然后分和两种情况求解可得结果
(1)
由题意得F（1，0），设直线l的方程为，，，
联立方程得消去x可得，
由根与系数的关系得，．
因为，所以，有，
结合，解得，，
所以，l的方程为．
(2)
以QF为直径的圆的圆心为，半径为，
因为点M（x，y）在该圆外，
所以，即对任意恒成立．
令．
则①，解得；
②解得，又，故．
综上所述，n的取值范围是．
11．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知抛物线上一点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点、为抛物线位于轴上方不同的两点，直线、的斜率分别为、，且满足，求证：直线过定点，并求出直线斜率的取值范围．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，直线斜率的取值范围是.
【解析】
【分析】
（1）利用抛物线的定义可求得的值，即可得出抛物线的标准方程；
（2）分析可知直线不与坐标轴垂直，可设直线的方程为，设点、，其中，，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据题中斜率关系结合韦达定理，可得出、所满足的关系式，即可得出直线所过定点的坐标，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，即可得出直线的斜率的取值范围.
(1)
解：因为抛物线上一点到焦点的距离为，
，解得，抛物线的标准方程为.
(2)
证明：设、，其中，，则，，
若直线轴，则直线与抛物线至多一个交点，不合乎题意，
若直线轴，则直线与抛物线不可能在轴上方有两个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，直线的斜率，
联立方程得，
因为且，则，，，
，则，即，
所以，即，
则直线的方程为，直线过定点，
由题意，即，解得，所以，.
所以直线的斜率取值范围是.
【点睛】
方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
12．（2022·广东茂名·一模）已知椭圆C：的左焦点为，且过点（1，）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆C于A、B两点和 M、N两点，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，，将点的坐标代入椭圆的方程，即可得到答案；
（2）对直线的斜率分两种情况讨论，即当垂直轴，与不垂直轴，结合弦长公式、基本不等式，即可得到答案；
(1)
由题意可得，.
又由
所以椭圆的方程为；
(2)
当垂直轴时，，，所以.
同理：当垂直轴时，
当、均不垂直轴时，设的方程为，
由
，
因为与互相垂直，
由，当且仅当时，等号成立，
所以.
综上，的取值范围为
13．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由所给等式建立a，c的关系式，再利用即可得解；
（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立得B点坐标，再利用BF⊥HF，数量积为0，得H得坐标，从而得MH的方程，由MH与l得交点M的坐标，最后利用|，建立不等式可解．
(1)
设，由得，
，
可得，
又，
可得，，
椭圆方程为：；
(2)
设直线的方程为，，，，
由方程组得，
，
解得，或，
由题意可知，
进而得，
由（1）知，，设，
则，
，
由题意得，，
解得，
直线的方程为，
与直线的方程联立，可得点的横坐标
，
在中，由，
得，
得，
，
解得，或，
故直线的斜率的取值范围为：．
14．（2022·江苏无锡·高三期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）列出关于的方程组，解方程组即得解；
（2）设直线的方程为，其中，，，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，求出，再对分类讨论，利用函数的单调性求出函数的取值范围.
(1)
解：由题意知，椭圆标准方程为.
(2)
解：设直线的方程为，其中，，
，，
，
，，
若，则，，
若，则，
令，，，
因为在单调递减，
所以
综上：的取值范围为.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）、设出点坐标，根据题意求出点坐标，代入圆方程即可求出曲线的方程；
（2）、对直线的斜率分类讨论，利用弦长公式结合导数法求出的取值范围.
(1)
设点，由，得，
由点在圆上，所以，整理得，所以曲线的方程是
(2)
当直线的斜率为时，，，，
当直线的斜率不存在时，，，，
当直线的斜率存在且不为时，设：，则：
点到直线的距离，所以，
将代入曲线的方程，整理得
，设，
则，，则，
所以，
令，则，
令，，则，所以在上单调递减，
所以，即．
综上所述，的取值范围是．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第二象限，直线被圆截得的线段的长为．
(1)求直线的斜率；
(2)当时，①求该椭圆的方程；②设动点在椭圆上，若直线的斜率小于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，得到，，设直线的斜率为，则的方程为，利用点到直线的距离公式及垂径定理列式求解；
（2）①由（1）得椭圆方程为，直线的方程为，联立求解坐标，再由解得，可得椭圆方程；
②设，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立求得，解得或．设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立可得，然后对分段求解的取值范围得答案．
(1)
解：由已知可得，，
又，，，
设直线的斜率为，则的方程为，
由已知有，解得；
(2)
解：①由（1）得椭圆方程为，直线的方程为，
联立两个方程，可得，解得或，
点在第二象限，可得的坐标为，
由，解得．
椭圆方程为；
②设，直线的斜率为，得，即，
联立，得，
又由已知，得，解得或，
设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，
整理可得，
当时，有，因此，于是，
得，；
当时，有，因此，于是，
得．
综上所述，直线的斜率的取值范围是，．
【点睛】
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力和分类讨论思想，难度较大．第29讲 圆锥曲线参数的范围问题
方法总结：
解决此类问题的策略：
（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域
（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可
（3）利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（4）利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；
（5）利用基本不等式求出参数的取值范围；
（6）利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，离心率为，点是椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若M N为椭圆C上不同于A的两点，且直线关于直线对称，设直线与y轴交于点，求d的取值范围.
例2．（2022·北京八中高三开学考试）已知圆：，，为圆上的动点，若线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知为上一点，过作斜率互为相反数且不为0的两条直线，分别交曲线于，，求的取值范围.
例3．（2022·全国·高三专题练习）椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，点是的焦点，为坐标原点，过点的直线与相交于两点.
（1）求向量与的数量积；
（2）设，若，求在轴上截距的取值范围.
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程﹔
(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围.
3．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆过，两点，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由．
4．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围.
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，点，分别是椭圆的左 右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若的周长为，M为椭圆C上任意一点，求的取值范围.
6．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆左、右焦点分别为，.给出下列条件：①椭圆过点，且离心率；②椭圆过点，且；③焦距为2，且离心率.
(1)在以上三个条件中任意选择一个，求椭圆的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
(2)在（1）的条件下，若直线与椭圆交于点，，且，求的取值范围.
7．（2022·全国·模拟预测）已知，是双曲线的左、右焦点，且双曲线过点，．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于，两点，交双曲线的渐近线于，（点位于轴的右侧）两点，求的取值范围．
8．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围.
9．（2022·安徽阜阳·高三期末（文））已知椭圆的离心率为，C的左，右焦点分别为，A，B是C上关于原点对称的两点，四边形的周长为.
(1)求C的方程；
(2)设分别为直线和的斜率，求的取值范围.
10．（2022·河南·高三期末（理））已知动直线l过抛物线C：的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．
(1)若，求l的方程；
(2)设点Q（n，0）（）是x轴上的定点，若l变化时，M总在以QF为直径的圆外，求n的取值范围．
11．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知抛物线上一点到焦点的距离为．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若点、为抛物线位于轴上方不同的两点，直线、的斜率分别为、，且满足，求证：直线过定点，并求出直线斜率的取值范围．
12．（2022·广东茂名·一模）已知椭圆C：的左焦点为，且过点（1，）.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过且互相垂直的两条直线，分别交椭圆C于A、B两点和 M、N两点，求的取值范围.
13．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点的直线与椭圆交于不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
14．（2022·江苏无锡·高三期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，点是轴正半轴上的一点，过椭圆的右焦点和点的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的取值范围.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．
16．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第二象限，直线被圆截得的线段的长为．
(1)求直线的斜率；
(2)当时，①求该椭圆的方程；②设动点在椭圆上，若直线的斜率小于，求直线（为原点）的斜率的取值范围．专题30 圆锥曲线中的存在性问题
方法总结：
解决存在性问题的一些妙招：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示，并进行求解
②间接法：若无法直接求出，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点且斜率不为零的直线交椭圆于不同的两点、，则在轴上是否存在定点，使得平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，.
【解析】
【分析】
（1）分析可知，可得出椭圆的两个焦点的坐标，利用椭圆的定义可求得的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设直线，设点、、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用斜率公式结合韦达定理求出的值，即可得出结论.
(1)
解：（1）因为，所以，，即，所以，
又点在椭圆上，、，
且由椭圆定义得，
则，，则椭圆的标准方程为.
(2)
解：假设存在定点满足要求，因为直线斜率不为零，所以设直线，
设点、、，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
因为直线平分，则，即，
，
整理得，
，由于，，所以存在满足要求．
【点睛】
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
例2．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设双曲线的右准线与其两条渐近线的交点分别为、，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线相交于点、，若，求证：存在定圆与直线相切，并求该定圆的方程．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定圆方程为.
【解析】
【分析】
（1）由二倍角的正切公式可求得，可得出，利用双曲线的右准线方程可求得的值，可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）分析可知直线、的斜率都存在，可设直线直线的方程为，设点，将直线的方程与双曲线的方程联立，求出，可得出的值，利用等面积法可求得原点到直线的距离，即可得出结论.
(1)
解：设渐近线的倾斜角为，则，
由已知可得，整理可得，
因为，解得，则，所以，，
双曲线的右准线方程为，可得，，
故双曲线的方程为.
(2)
解：若直线、中有一条直线的斜率不存在时，
则直线、分别与两坐标轴重合，则这两条直线中有一条直线不与双曲线相交，不合乎题意；
若直线、的斜率都存在时，可设直线的方程为，设点、，
联立可得，所以，，，
所以，，，
设点到直线的距离为，则，
综上，存在定圆与直线相切，该定圆的方程为．
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
例3．（2022·安徽合肥·高三期末（理））在平面直角坐标系中，是抛物线E：上一点.若点M到点的距离 点M到y轴的距离的等差中项是.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点作直线l，交以线段AO为直径的圆于点AB，交抛物线E于点C，D（点B，C在线段AD上）.问是否存在t，使点B，C恰为线段AD的两个三等分点？若存在，求出t的值及直线l的斜率；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，斜率为
【解析】
【分析】
（1）由点M到点的距离 点M到y轴的距离的等差中项是可得，从而得到抛物线方程；
（2）假设存在t，设直线l的方程为，以线段AO为直径的圆的方程为，联立方程得到点坐标，由得点坐标，由得点坐标，代入抛物线E的方程解得，可得答案.
(1)
因为是抛物线E的焦点，所以点M到点距离为.
由已知得，解得.
∴抛物线E的方程为.
(2)
假设存在t满足题意，由题意可以判断，直线l的斜率存在且不为0，设其斜率为k，
则直线l的方程为，以线段AO为直径的圆的方程为，
由解得，
由得，由得，
代入抛物线E的方程得，解得，，
∴当且直线的斜率为时，点B，C恰为线段AD的两个三等分点.
例4．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，定点或.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件列出方程，再化简作答.
(2)把直线l与曲线C的方程联立，设出点P的坐标，结合韦达定理、斜率坐标公式计算，再借助恒成立列式计算作答.
(1)
设动点M的坐标为，由已知得，化简整理得，
所以曲线C的方程为.
(2)
由已知与联立，消去y整理得：，
由已知得，且，解得：
设，则，，
假定曲线C上存在定点使得直线的斜率和为零，即，
则，整理得，
则有，整理得：，
因当时恒有成立，则，
解得 或，显然点或在椭圆C上，
所以曲线C上存在定点或，使得直线的斜率和为零.
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
例5．（2022·重庆·一模）已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的两条直线分别和椭圆交于不同两点A，（A，异于点且不关于坐标轴对称），直线，的斜率分别为，，且.试问直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，直线恒过定点
【解析】
【分析】
（1）由离心率为可得，然后再将点代入椭圆方程中可求出，从而可求出椭圆方程，
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程中可求出点A的坐标，再由可得点的坐标，从而可表示出直线的方程，化简可得结果
(1)
因为椭圆的离心率为，所以，，得，
因为，所以得，，
所以椭圆方程为，
因为椭圆过点，所以，得，
所以椭圆方程为，
(2)
设直线的方程为，代入中，得
，
解得或，
所以，
由于，所以将点A的坐标中的换为，可得，
则直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化简得，
所以直线恒过点
例6．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知离心率为的椭圆C1：(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：的焦点.
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)存在，或.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程利用韦达定理可得，利用直线与椭圆的位置关系可求，再利用三角形面积公式及条件列出方程，即得.
(1)
由题意得，解得
∴ 椭圆的方程为，，
所以抛物线的方程为.
(2)
由题意得直线l的斜率不为0，，
设直线l的方程为，设，
由，得，
∴，
∵，
∴，
∵，∴ 直线OA的斜率为，即直线OA的方程为,
由，得，
同理可得，
，
∴，得m=±1，
∴ 存在直线l，方程为或.
过关练习：
1．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若在x轴上存在一点E，使得过点E的任意一条直线l与椭圆的两个交点P、Q，都有为定值，试求出此定值.
【答案】(1)
(2)5
【解析】
【分析】
（1）根据焦点坐标和焦点三角形中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可；
（2）先联立直线和椭圆的方程，然后根据韦达定理表示出、两点的纵坐标的关系，进而表示出，即可求得该定值，同时也对直线为轴时检验即可
(1)
依题意得：，
由椭圆定义知：
又，则，在中，
由余弦定理得：
即
解得：
又
故所求椭圆方程为：
(2)
设、、，当直线l不为x轴时的方程为
联立椭圆方程得：
化简可得：
根据韦达定理可得：，
当且仅当，即时，（定值）
即在x轴上存在点E使得为定值5，
点E的坐标为或
经检验，当直线PQ为x轴时，上面求出的点E也符合题意
【点睛】
（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；
（2）涉及到直线方程时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，(4，0).
【解析】
【分析】
(1)根据离心率列出一个方程，联立直线方程和椭圆方程由再得一个方程，结合本身a、b、c的关系即可解出a、b、c的值，从而确定椭圆的标准方程；
(2)设，，，，直线PQ的方程为，由，得，即，联立直线PQ与椭圆方程，得和，从而可求m、n、t的关系，再结合N是l和直线PQ的交点即可求出m的值，从而可判定PQ是否过定点.
(1)
∵，∴，，
将代入，整理得，
∴，解得，
∴，，
∴椭圆C的方程为.
(2)
设，，，，直线PQ的方程为，
由，得，即.
将代入椭圆方程，整理得，
，即，
∴，.
∴.
将(1，n)代入，可得，代入上式可得.
当直线PQ的方程为时，也满足题意.
故定点M为(4，0).
3．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））已知椭圆的焦距为4，且经过点.
(1)求的方程.
(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过原点作，垂足为.证明：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据焦距求出，代入，以及，解出，进而求出椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，两根之积，求出直线过的定点，结合垂直关系，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到定点，使得为定值.
(1)
由题意得：，所以，又经过点，故
，解得，
故的方程为.
(2)
证明：由题可知直线与轴不重合，可设，联立
得.
设，，
则，，，
所以.
因为，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，所以直线过定点.
因为，所以为直角三角形，
取的中点，则，即为定值.
综上，存在定点，使得为定值
【点睛】
圆锥曲线求解存在定点满足定值问题，需要结合一些常见结论进行求解，比如直角三角形斜边中线等于斜边一半，或者圆的半径等，本题中就要先求出直线过定点，再使用直角三角形斜边中线等于斜边一半进行求解.
4．（2022·福建三明·高三期末）已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，N（0，1）.
【解析】
【分析】
（1）根据焦距求出c，再将点P的坐标代入椭圆方程，进而求得答案；
（2）讨论斜率存在和不存在两种情况，若存在，根据得到点N在以AB为直径的圆上，得到，进而设出直线方程并代入椭圆方程并化简，然后结合根与系数的关系解决问题.
(1)
由焦距为2得，又因为P（，－）在椭圆上，所以，即，又因为，所以，所以椭圆C的方程为：．
(2)
假设在y轴上存在定点N，使得恒成立，设N（0，），A（，），B（，）.
①当直线l的斜率存在时，设l：，由整理得，，，．
因为，所以，而点M为线段AB的中点，所以，则点N在以AB为直径的圆上，即．
因为，
所以
，
∴解得，即存在N（0，1）满足题意.
②当直线l的斜率不存在时A（0，1），B（0，－1），M（0，0），点N（0，1）满足.
综上，存在定点N（0，1），使得恒成立.
【点睛】
本题需要解决两个问题：首先，说明什么，千万不要硬去求角的三角函数值，而应找到线段关系或者角的关系；其次，在知道之后，最好通过平面向量来解决问题，进而会发现接下来需要通过根与系数的关系来处理.
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别是椭圆的左、右焦点，分别是椭圆的左、右顶点，为线段的中点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆于点P，Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、．试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在满足条件的常数，．
【解析】
【分析】
（1）由已知求得a，b，c，由此求得椭圆的标准方程；
（2）设，，，，则直线MD的方程为，与椭圆的方程联立整理得，，根据根与系数的关系求得点， 同理，求得点，由三点共线，得，从而由两点的斜率公式求得，从而求得满足条件的常数．
(1)
解：∵，∴，所以，化简得，
又点为线段的中点，∴，从而，，左焦点，故椭圆E的方程为；
(2)
解：存在满足条件的常数，，
设，，，，
则直线MD的方程为，代入椭圆方程，整理得，，
∵，∴，从而，故点， 同理，点，
∵三点共线，∴，
从而，从而，
故，从而存在满足条件的常数，．
6．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C： x2＝2py（p＞0）的焦点为F， P为C上的动点，Q为P在动直线y＝t（t＜0）上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．
(1)求C的方程；
(2)设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）设，根据等边三角形的面积公式得到，再根据抛物线的定义得到，即可得到，从而求出，即可得到抛物线方程；
（2）设，，，利用导数求出切线的方程，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再求出直线的方程，从而求出点的横坐标，再根据△QMA和△QMB的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，可得点M为AB的中点，从而得到，即可求出参数的值，即可得解；
(1)
解：设，∵为等边三角形时，其面积为，
∴，解得，
∵Q为在动直线上的投影，∴；当为等边三角形时，，
由抛物线的定义知，，∴，解得，∴C的方程为；
(2)
解：设，，则，，
∵，∴，∴切线，即，
联立方程，∴
∵．∴，，
∵△QMA和△QMB的面积相等，且A，M，B在同一条直线上，则点M为AB的中点，
∴，即，则，
所以存在，使得△QMA和△OMB的面积相等恒成立．
7．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左、右顶点分别为点，且为椭圆上一点， 关于轴的对称点为，.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线与椭圆交于两点，在轴上存在点，使得，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设，则，由可得，从而求出离心率；
（2）求出椭圆的方程，设直线方程为，线段的中点为，直线与椭圆方程联立利用韦达定理得，由得，由得，将代入
求得可得直线的方程.
(1)
由椭圆知，设，则，
点在椭圆上，有，
所以，
故椭圆的离心率.
(2)
由题意知椭圆的一个焦点为，则椭圆的方程为，
设直线方程为，线段的中点为，
联立，
则，
，即，
由，
由，
将代入可得，
，
解得满足条件，所以，
故直线的方程为.
8．（2022·广东·模拟预测）已知动圆过点（0，1），且与直线：相切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线定义写出轨迹的方程；
（2）设直线AB：y＝kx＋m，，联立抛物线方程应用韦达定理及求参数m，进而写出切线，的方程并求交点P的坐标，再应用点线距离公式、弦长公式、圆中弦长的求法求到直线距离为、、，最后结合求参数k，判断存在性.
(1)
依题意，圆心的轨迹E是以F为焦点，l：y＝－1为准线的抛物线．
所以抛物线焦点到准线的距离等于2，故动圆圆心的轨迹E为x2＝4y．
(2)
依题意，直线AB斜率存在，设直线AB：y＝kx＋m，．
由，得，故．
，由x2＝4y，得，故切线 PA，PB的斜率分别为
由 PA⊥PB，得：，
所以m＝1，这说明直线 AB 过抛物线E的焦点F，则切线．
联立，消去y得：，即，
则，即，
于是P到直线AB：kx－y＋1＝0的距离．
．
设原点到直线kx－y＋1＝0的距离为，则，所以．
因为，所以， 化简整理得，无解，
所以满足条件的点P不存在．
【点睛】
关键点点睛：第二问，设直线并联立抛物线，应用韦达定理求所设直线的参数值，再根据点线距离、弦长公式及圆中弦长、半径、弦心距关系，分别求出到直线距离为、、，求参数判断存在性.
9．（2022·江西宜春·高三期末（文））已知椭圆C的离心率为，且过点（），分别为椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线m交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，以O，A，B三点为顶点作平行四边形OAPB，是否存在直线m，使得点P在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆离心率以及椭圆过点，列出的方程组，求解即可；
（2）当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理以及，即可求得点的坐标，根据其坐标满足椭圆方程，解方程即可确定存在满足题意；当斜率不存在时，即可容易求得点的坐标，根据题意，即可确定直线的方程.
(1)
椭圆的离心率为 ，，
又由椭圆经过点，，解得
则椭圆的方程为：
(2)
依题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立直线方程与，
整理得，则，
设，由四边形为平行四边形，得，
则，即，
若点落在椭圆上，则， 即，
整理得，令，
故上式等价于，解得（舍去），
故斜率存在时，不存在直线满足题意；
当直线的斜率不存在时，直线的方程，
此时存在点在椭圆上.
综上，存在直线：，使得点在在椭圆上
【点睛】
本题考察椭圆方程的求解，以及椭圆中定直线问题的处理；解决问题的关键是利用向量合理的转化四边形为平行四边形，从而求得点的坐标，属中档题.
10．（2022·山东菏泽·高三期末）已知中，，，，，曲线E过C点，动点Р在E上运动，且保持的值不变.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点的直线与曲线交于M，N两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在点，使得为定值
【解析】
【分析】
（1）根据条件可知动点的运动轨迹满足椭圆定义，由椭圆的方程可的结果.
（2）分直线的斜率为零和不为零两种情况分别计算.
(1)
解：由题意，可得，
而，
所以点Р的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为的椭圆，
由，，得，，
所以曲线的方程为.
(2)
当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点
联立方程组，消可得，
设，，
可得，，
所以
.
要使上式为定值，则，解得
此时
当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.
所以，存在点，使得为定值.
11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据焦距可求出c,再根据以及的面积可求出a,b，即得椭圆方程；
（2）设直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，根据与的面积比值为5：7，得到相关等式，联立根与系数的关系式化简，即可得到结论.
(1)
由,
由,
,故,
∴,
∴,
∴，
即椭圆的标准方程为.
(2)
假设满足条件的直线存在，
当直线的斜率不存在时，不合题意，
不妨设直线：，，，显然 ，
联立，得，
所以，
因为，，得，
即（3），
由（1），（3），得 （4），
将（1）（4）代入（3）得，
所以直线的方程为，
故存在直线，使得与的面积比值为5：7.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的三角形面积问题，解答时一般思路是要将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，再将该关系式代入到相关等式中化简，其中计算量大,多是关于字母参数的运算，要求计算准确，需要细心和耐心.
12．（2022·安徽六安·一模（理））已知椭圆的左右焦点分别是，，右顶点和上顶点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，有三个
【解析】
【分析】
（1）由可得，然后可解出答案；
（2）设边所在直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，解出点的坐标，然后可得，用代替中的可得，然后由 求解即可.
(1)
由题意得 ①
因为 ，所以 ②
由①②得③，由②③得，
所以椭圆方程为；
(2)
假设能构成等腰直角，其中B(0， 1)，由题意可知，直角边不可能垂直或平行于轴，
故可设边所在直线的方程为(不妨设)
联立直线方程和椭圆方程得：，得
，
用代替上式中的，得，
由得，
即，，
故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形.
13．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知椭圆的离心率为，以其左顶点、上顶点及左焦点为顶点的三角形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，且，证明：存在定点，使得点到直线的距离为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）分析可得，，利用三角形的面积公式可求得的值，即可得出、的值，即可得出椭圆的方程；
（2）设、．对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线轴时，直接计算出原点到直线的距离；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，根据可得出、所满足的等式，再计算出原点到直线的距离，即可得出结论.
(1)
解：设椭圆的半焦距为，
因为，所以，又，所以．
由题意知，所以，所以，，
所以椭圆的方程为．
(2)
证明：设、．
①若直线与轴垂直，不妨设点在第一象限，由对称性及可知所在直线方程为，
联立，可得，即点，
此时直线的方程为，则原点到直线的距离为；
②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，
由消去整理得，
，
由韦达定理得，．
又，所以，
所以，，
，整理得，满足．
所以原点到直线的距离为，
故存在定点到的距离为（定值）．
综上所述，存在定点，使得到直线的距离为定值．
【点睛】
方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
14．（2022·湖北·荆州中学高三期末）如图所示，已知椭圆与直线．点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，、为切点，是坐标原点．
(1)若点为直线与轴的交点，求的面积；
(2)若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）可得点，设切线方程为，将切线方程与椭圆方程联立，由判别式为零可求得的值，可知，求出两切点的坐标，可得出、，利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）设、，可得出切线、的方程，设点，求出直线的方程，可得出直线过定点，由结合直角三角形的几何性质可得出结论.
(1)
解：由题意知，过点与椭圆相切的直线斜率存在，设切线方程为，
联立，可得，（*）
由，
可得，即切线方程为，所以，，
将代入方程（*）可得，可得，此时，
不妨设点，同理可得点，，
因此，.
(2)
证明：先证明出椭圆在其上一点处的切线方程为，
因为点在椭圆上，则，
联立，消去可得，
整理得，即，解得，
因此，椭圆在其上一点处的切线方程为.
设、，则切线的方程为，切线的方程为.
设，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
因为点在直线上，则，则，
所以，直线的方程可表示为，即，
由，可得，故直线过定点，
因为，所以，点在以为直径的圆上，
当点为线段的中点时，，此时点的坐标为.
故存在点，使得为定值.
【点睛】
方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
15．（2022·江西赣州·高三期末（理））已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根据条件列出相应的方程组，即可求得答案；
（2）首先利用三角形的面积结合向量运算，将问题转化为，然后设直线方程，联立椭圆方程，利用根与系数的关系代入化简可得答案.
(1)
由 ，解得 ，
则椭圆C的方程为；
(2)
设存在点，由已知条件可知直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为，
则，
由，
得，
即，
由得，
∴需满足，
∴，
∴，
∴，
∴，∴满足.
∴，∴点.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到三角形面积问题，解答的关键在于利用面积关系结合向量的运算转化为点的坐标之间的关系，再化简求值，计算量较大，需要耐心.专题30 圆锥曲线中的存在性问题
方法总结：
解决存在性问题的一些妙招：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示，并进行求解
②间接法：若无法直接求出，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
典型例题：
例1．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点且斜率不为零的直线交椭圆于不同的两点、，则在轴上是否存在定点，使得平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
例2．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设双曲线的右准线与其两条渐近线的交点分别为、，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与双曲线相交于点、，若，求证：存在定圆与直线相切，并求该定圆的方程．
例3．（2022·安徽合肥·高三期末（理））在平面直角坐标系中，是抛物线E：上一点.若点M到点的距离 点M到y轴的距离的等差中项是.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点作直线l，交以线段AO为直径的圆于点AB，交抛物线E于点C，D（点B，C在线段AD上）.问是否存在t，使点B，C恰为线段AD的两个三等分点？若存在，求出t的值及直线l的斜率；若不存在，请说明理由.
例4．（2022·安徽·安庆一中高三期末（理））已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由.
例5．（2022·重庆·一模）已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的两条直线分别和椭圆交于不同两点A，（A，异于点且不关于坐标轴对称），直线，的斜率分别为，，且.试问直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
例6．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知离心率为的椭圆C1：(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：的焦点.
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
过关练习：
1．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））已知椭圆的左右焦点分别为，，且椭圆C上的点M满足，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若在x轴上存在一点E，使得过点E的任意一条直线l与椭圆的两个交点P、Q，都有为定值，试求出此定值.
2．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
3．（2022·黑龙江大庆·高三阶段练习（理））已知椭圆的焦距为4，且经过点.
(1)求的方程.
(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为，过原点作，垂足为.证明：存在定点，使得为定值.
4．（2022·福建三明·高三期末）已知椭圆C：，、为椭圆的左、右焦点，焦距为2，P（－）为椭圆上一点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知过点（0，－）的直线l与C交于A，B两点；线段AB的中点为M，在轴上是否存在定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知、分别是椭圆的左、右焦点，分别是椭圆的左、右顶点，为线段的中点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若为椭圆上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆于点P，Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、．试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
6．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知抛物线C： x2＝2py（p＞0）的焦点为F， P为C上的动点，Q为P在动直线y＝t（t＜0）上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为．
(1)求C的方程；
(2)设O为原点，过点P的直线l与C相切，且与椭圆交于A，B两点，直线OQ与线段AB交于点M．试问：是否存在t，使得△QMA和△QMB面积相等恒成立？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
7．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（文））已知椭圆的左、右顶点分别为点，且为椭圆上一点， 关于轴的对称点为，.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，斜率为1的直线与椭圆交于两点，在轴上存在点，使得，求直线的方程.
8．（2022·广东·模拟预测）已知动圆过点（0，1），且与直线：相切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)点一动点，过作曲线E两条切线，，切点分别为，，且，直线与圆相交于，两点，设点到直线距离为．是否存在点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2022·江西宜春·高三期末（文））已知椭圆C的离心率为，且过点（），分别为椭圆的左、右焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过的直线m交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，以O，A，B三点为顶点作平行四边形OAPB，是否存在直线m，使得点P在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由.
10．（2022·山东菏泽·高三期末）已知中，，，，，曲线E过C点，动点Р在E上运动，且保持的值不变.
(1)求曲线E的方程；
(2)过点的直线与曲线交于M，N两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.
11．（2022·江西赣州·高三期末（文））已知点M是椭圆C：上一点，，分别为椭圆C的上、下焦点，，当，的面积为5.
(1)求椭圆C的方程：
(2)设过点的直线和椭圆C交于两点A，B，是否存在直线，使得与（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线的方程：若不存在，说明理由.
12．（2022·安徽六安·一模（理））已知椭圆的左右焦点分别是，，右顶点和上顶点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)以此椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.
13．（2022·黑龙江·铁力市第一中学校高三开学考试（文））已知椭圆的离心率为，以其左顶点、上顶点及左焦点为顶点的三角形的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，且，证明：存在定点，使得点到直线的距离为定值．
14．（2022·湖北·荆州中学高三期末）如图所示，已知椭圆与直线．点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，、为切点，是坐标原点．
(1)若点为直线与轴的交点，求的面积；
(2)若，为垂足，求证：存在定点，使得为定值.
15．（2022·江西赣州·高三期末（理））已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在y轴上是否存在点M，过点M的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，使得三角形的面积？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.第31讲 圆锥曲线定点定值问题
方法总结：
1、处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为）
（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立。
2.常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。
3.求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4.求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，点及点都在椭圆上，若直线与直线的倾斜角互补.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线的斜率为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题可得，即求；
（2）由题可设直线的方程为，利用韦达定理可得求点A、B的坐标，然后利用斜率公式计算即得.
(1)
依题意，化简得，
解得或（舍去），
，
故椭圆的标准方程为.
(2)
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
则直线的方程为，设，
由，得，
∴，
∴，，
同理可得，，
∴，
即直线的斜率为定值.
例2．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知椭圆的焦距为，左 右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出等式，求得 ，即得答案；
（2）考虑直线斜率是否存在，存在时，设出直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，结合直线与直线的斜率之和为化简整理可得参数之间的关系式，即可证明结论.
(1)
由题意得，
由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，
可知：，又，
解得：
所以椭圆的方程为：.
(2)
证明：①当直线的斜率不存在时，设直线，
由题意可知，且，设，
因为直线的斜率之和为，所以，
化简得，所以直线的方程为.
②当直线的斜率存在时，
设方程为，
联立消去，化简得.
，
由题意可得，
因为直线的斜率之和为，
所以，
，
，
，
，
化简整理得，
当且仅当时，即 或且 时符合题意，
直线的方程：，即，
故直线过定点，
综上①②可得直线过定点.
【点睛】
本题考查了椭圆方程的求法，以及直线和椭圆相交时的直线过定点问题，解答时要注意考虑直线斜率是否存在的情况，斜率存在时设出直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，然后结合条件得等式，化简即可，难点在于计算量较大并且运算繁琐，需要十分细心.
例3．（2022·江苏南通·一模）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.
【答案】(1).
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知得点，，在曲线上，代入建立方程组，求解即可；
（2）当直线斜率不存在时，求得，，的坐标，得出直线的方程，得出过点；当直线斜率存在时，设为，，，则，联立整理得，，再计算得，从而得出结论.
(1)
解：因为四点，，，中恰有三点在上，
而点，关于原点对称，，所以点，，在曲线上，代入可得，
解得，所以的方程为：.
(2)
解：当直线斜率不存在时，得，，，
则直线方程为，过点；
当直线斜率存在时，设为，，，则，
联立，整理得，，，，
则，所以，
又，
所以，即直线过点；
例4．（2022·湖北江岸·高三期末）已知抛物线的准线与圆相切.
(1)求；
(2)若定点，，M是抛物线上的一个动点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为 恒过一个定点.求出这个定点的坐标.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的准线与圆相切，即可求出.
（2）根据题意设出点的坐标，再求出直线与的方程，再由，分别过，.消去代入直线，即可得到直线恒过的定点.
(1)
依题意，直线与圆相切，，.
(2)
抛物线方程，设，，，
过的直线方程为
化简得：同理，，
又，分别过，.
∴，
消去，代入得
，直线恒过一个定点.
过关练习：
1．（2022·河南南阳·高三期末（理））已知圆O：.
(1)求证：过圆O上点的切线方程为.类比前面的结论，写出过椭圆C：上一点的切线方程（不用证明）.
(2)已知椭圆C：，Q为直线上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.
【答案】(1)证明见解析.过点的椭圆的切线方程为
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用与切线垂直求得圆的切线方程，通过类比求得过点的椭圆的切线方程.
（2）设出的坐标，结合（1）的结论列方程组，由此判断出直线过定点.
(1)
当时，切线方程为，①
当时，切线方程为，②
当时，切线方程为，③
当时，切线方程为，④
当与不重合时，过点的切线的斜率存在，设为，
直线的斜率存在，
则，，
所以切线方程为，
整理得，⑤.
①②③④这四种情况，⑤也符合，
所以过圆O上点的切线方程为.
类比得：过椭圆C：上一点的切线方程为.
(2)
设，，
由（1）的结论得直线.
直线.
直线和直线都过点，
所以，
即满足方程，恒过定点.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
以点P为原点建立新坐标系，设直线方程，利用直线方程和新方程构造齐次式可得直线方程中参数的关系，然后可证.
【详解】
解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：
旧坐标 新坐标
即所以
原来则转换到新坐标就成为：
设直线方程为：
原方程：则转换到新坐标就成为：
展开得：构造齐次式：
整理为：两边同时除以，则
所以所以
而对于任意都成立．
则：，故对应原坐标为所以恒过定点．
3．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知过点的直线与抛物线C：交于不同的两点M，N，过点M的直线交C于另一点Q，直线MQ斜率存在且过点，抛物线C的焦点为F，的面积为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线QN过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据求得，即可得出答案；
（2）设，，，直线AM的方程，理由韦达定理求得，从而可求得，直线QN的方程为，要证直线QN过定点，即证恒成立，同理求得直线MQ的方程，代入整理即可得出结论.
(1)
解：由题可知，
由，解得，
所以抛物线C的方程为；
(2)
证明：设，，，直线AM的方程，
联立消去y得，
则，
则，
由题可知，
所以直线QN的方程为，
要证直线QN过定点，即证，
即恒成立，
同理可知直线MQ的方程为，
代入得，
得，
所以，所以，即直线QN过定点．
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知动圆过定点,且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点为一个定点，过点E作斜率分别为的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)求轨迹H的方程；
(2)若，求证：直线MN过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设动圆圆心的坐标为，根据题意列出圆心满足的等量关系式即可
（2）根据题意求出直线MN关于的表达式，令参数系数为零可求出定点
(1)
设动圆圆心的坐标为，
由题意知，化简得
所以动圆圆心的轨迹H的方程为
(2)
设直线AB的方程为，，
联立，消去并整理，得
则，，.
因为，所以.
同理，可得，且
所以，
所以直线MN的方程为
即，所以直线MN过定点
5．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证:点N在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设动点坐标依据题意列式即可求解；
（2）设，，，直线方程，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，再求出直线和的方程，联立直线和的方程，代入，、即可求解.
(1)
设动点，
∵动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，
∴，整理得，
∴曲线C的方程为；
(2)
设，，，直线方程，
与椭圆方程联立，整理得：，
，
由韦达定理得：，化简得：，
由已知得,,
则直线的方程为，直线的方程为，
联立直线和： ，代入，、可得：，化简可得：，
所以N点在一条定直线上．
6．（2022·四川巴中·一模（文））已知椭圆C：（a>b>0）的左 右焦点分别为，，点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由可得，由题意点在椭圆上，将点坐标代入椭圆，结合可得答案.
(2) 由题意，根据条件直线的斜率必存在,设直线的方程为，,将直线的方程与椭圆方程联立，得出韦达定理，由，则，将韦达定理代入，可得出答案.
(1)
由,则，所以
又，则点在椭圆上
所以，又
联立解得
所以椭圆C的方程；
(2)
由题意，根据条件直线的斜率必存在
设直线的方程为，
由 ，得
所以
（*）
由，则
所以，即，即或（舍）
将代入（*）成立.
所以直线的方程为，
所以直线恒过点
7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由等轴双曲线的离心率可得椭圆的离心率，再由直线与圆相切，可得的值，由，，与离心率的关系求出的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得的坐标，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由斜率之和可可得参数的关系，可证得直线恒过定点．
(1)
∵等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率，
又∵直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切，
∴，即，
可得，即，
则椭圆的方程为：；
(2)
①若直线的斜率不存在，设方程为，
则点，，，，
由，即，解得，此时直线的方程为；
②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得，
设，，，，
则，整理可得：，
，
且，，
由，可得，即，
即，，，
故直线的方程为，即直线过定点，
综上所述：直线过定点．
8．（2022·辽宁·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AE与BE的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线．
(2)过点的直线交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M．证明：存在定点N，使得为定值．
【答案】(1)，C是中心在原点，焦点在x轴上，不含左、右顶点的椭圆
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）直译法即可求得曲线C的轨迹方程，由方程可知道曲线C是椭圆的一部分；
（2）直线与椭圆联立方程组，以设而不求的方法简化运算，找到直线所过定点是本题关键入手点，简化了证明过程，是一条捷径.
(1)
由，，可得，
由题意得，，化简得，
所以曲线C是中心在原点焦点在x轴上不含左、右顶点的椭圆．
(2)
由（1）知直线与x轴不重合，可设：，，，
联立得．
则，，故有．
因为，，所以直线QG的斜率为，
则直线QG的方程为，即
故直线QG过定点．
因为，所以△为直角三角形，
取OH的中点，则，即为定值．
综上，存在定点，使得为定值．
【点睛】
解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
9．（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程，焦点为，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点坐标含有未知数，再由可列出，再由，代入即可解得，即可求出抛物线方程.
（2） 由题意设直线l：，，，再把抛物线与直线进行联立消，得.直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
(1)
由题意可设抛物线方程为， ，
由.可得，即.解得
抛物线方程为：.
(2)
设直线l：，，，
由联立得，.
则.
直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得.
以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为. 令.则.
即，解得或.
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．
【答案】(1)
(2)直线的方程为，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，由求解；
（2）设，，切点为，求得，利用切线斜率由，得到，结合韦达定理表示直线方程即可.
(1)
解：抛物线的焦点，到直线的距离为，
，
解得或，（舍，
抛物线的方程为．
(2)
设，，设切点为，
因为曲线，所以，
则切线的斜率为，
化简，得，
设，，，，则，是以上方程的两根，
，，
，
则直线方程为：，
化简得：，
因为，
所以，
即，
所以直线AB过定点．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线不经过点且与相交于、两点，且．证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆上过的点及离心率列出方程组，求出椭圆方程；（2）设出直线方程，分斜率不存在和斜率存在两种情况，特别是当斜率存在时，设直线为y=kx+m，与椭圆联立，根据题干中条件，列出方程，找到k和m的关系，求出过的定点，记得检验是否满足斜率不存在的情况.
(1)
根据题意得：，
又，即有，
点在椭圆上，可得，
解得，，
故椭圆的方程为：；
(2)
证明：当直线的斜率不存在时，设，则，其中，由得：，解得：或2，因为直线不经过点，所以，即此时直线为；
当直线的斜率存在时，
设直线方程为，，，，，
联立直线方程与椭圆方程，
消去，得，
，
，，
，，
由，可得，
，
化为，
可得，
化为，
可得，
直线不过，
，
则，
直线的方程为：，
即，直线过定点，显然当直线斜率不存在时，也符合要求，综上：直线过定点．
【点睛】
直线过定点问题，先考虑直线斜率不存在时，再考虑直线斜率时，要设出直线方程为，与曲线方程联立后得到两根之和与两根之积，根据题意建立等量关系，求出的关系或者的值，从而求出定点.
12．（2022·北京昌平·高三期末）已知椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点.求证：线段的中点为定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆过点，代入椭圆方程求解；
（2）设直线的方程为 ，联立，令，分别求得直线与直线的交点的纵坐标，结合韦达定理，由求解.
(1)
解：由题设，得
解得.
所以椭圆的方程为：.
(2)
依题意，直线的斜率存在，设其方程为 .
由得.
由得，即.
设，
则 .
直线的方程为，
令，得点的纵坐标.
同理可得点的纵坐标.
所以
，
因为
所以.
所以线段的中点坐标为是定点.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，A为上异于原点的任意一点，过点A的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点A的横坐标为3时，为正三角形.
(1)求的方程
(2)若直线平行，且和有且只有一个公共点，证明直线恒过定点，求的面积最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，16
【解析】
【分析】
（1）过点A作轴于，根据抛物线定义及题干条件，可得，又，联立求得p值，即可得答案.
（2）设，，根据抛物线定义及题干条件，可得，设直线方程为，与抛物线联立，根据判别式，可得E点坐标，进而可得直线AE方程，整理可得定点，再求得直线AB方程，可求得点E到直线AB的距离，代入面积公式，结合基本不等式，即可得答案.
(1)
当点A的横坐标为3时，过点A作轴于，
则，，，
.
为正三角形，
.
又，
，
.
的方程为.
当在焦点的左侧时，
又，
为正三角形，
，解得，
的方程为.此时点在轴负半轴，不成立，故舍去.
的方程为.
(2)
证明：设，，，
，，
.
由直线可设直线方程为，
联立方程，消去得①
由和有且只有一个公共点得，
，
这时方程①的解为，代入得，
，.
点A的坐标可化为，直线方程为，
即，
直线过定点；
直线的方程为，即.
联立方程，消去得，
，
，
点的坐标为，，点到直线的距离为：，
的面积，
当且仅当时等号成立，
的面积最小值为16.
14．（2022·全国·高三专题练习）为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）用相关点法求点的轨迹方程；
（2）先表达出条件，再转换成直线过定点的具体条件.
(1)
设，，则，，，
由得：，，
因为点在椭圆上，所以，
即点的轨迹方程：；
(2)
由题意设，则，
由得：，，，
，
，
由已知得，
直线的方程：，
所以直线恒过定点.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若轨迹与圆相交于、、、四个点，求的取值范围；
(3)已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设圆心，进而根据弦长的几何求解得，再带入化简整理即可得答案；
（2）联立，得，进而根据题意，将问题转化为方程有两个正实数解得问题，再结合判别式及韦达定理求解即可.
（3）设，，，，进而根据轴是的角平分线得，整理得，由于直线的方程为，代换整理得，进而得直线过定点.
(1)
解：（1）设圆心，过点作 轴，垂足为，则，
，
，化为；
(2)
解：联立，得.
轨迹与圆相交于、、、四个点，
方程有两个不相等的正实数根，
，
解得：；
所以的取值范围是.
(3)
解：设，，，，
由题意可知，，.
轴是的角平分线，，
，，整理得.
直线的方程为，
，化为，
整理得，即，
令，则，
直线过定点.
16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．
【答案】(1)；
(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可；
(2)设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可．
(1)
虚轴长为4，，即，
直线为双曲线的一条渐近线，
，，
故双曲线的标准方程为．
(2)
由题意知，，，
由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，
设，，，
联立，得，
，，
，
直线的斜率，直线的斜率，
，为定值．
17．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆，椭圆的右焦点恰好是直线与x轴的交点，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的左 右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由已知求椭圆参数a、b、c，即可写出椭圆方程.
（2）设直线方程为、、，联立椭圆方程并应用韦达定理可得，，再写出直线AC、BD的方程并求交点横坐标关于的表达式化简，即可证结论.
(1)
∵直线与x轴的交点为，则，又，
∴，则.
∴椭圆E的标准方程为.
(2)
由（1）得：，.
由题知，过的直线斜率不为0，故设直线的方程为，
设，，联立，整理得，，
∴，.
设直线AC的方程为，直线BD的方程为，
联立两直线方程，解得①，
将，代入①，得②，
将，代入②，得.，
∴直线AC，BD的交点的横坐标为定值.
18．（2022·山西怀仁·高三期末（文））已知 为椭圆：的左右顶点，P为椭圆上异于 的点，直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点，若直线与相交于G H两点，求证为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）设，根据直线与的斜率之积列方程，化简求得，由此求得椭圆的方程.
（2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用向量数量积的坐标运算计算出为定值.
(1)
设，，，
因为直线与的斜率之积为，
所以①，
又所以②，
由①②得，所以，
所以椭圆的方程为.
(2)
由得,
设，,
有，，
.
∴为定值.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.
(1)
设点，，点，，
联立，整理得，
，
由抛物线的定义知，
解得，
抛物线的方程为．
(2)
，为抛物线上一点，
，即，
设，，，，直线的方程为，
由，消去得，
，，
，
即为定值．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知点为椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于不同的两点，（均与不重合），直线，分别与轴交于点，，已知点，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据三角形面积可求出，再由点在椭圆上，即可求出，得椭圆方程；
（2）先验证直线斜率为0时，满足题意，当斜率不为0时设l的方程为，联立方程，求出根与系数的关系，表示出D、E的坐标，计算，化简运算后即可求出定值.
(1)
由点为C上一点，得①.
因为的面积为 ，
所以，，
所以，则②.
由①②，联立解得，
故C的标准方程为.
(2)
由题易知直线l的斜率存在.
当直线l的斜率为0时,直线l的方程为，
此时或，.
当直线l的斜率不为0时,设l的方程为，
由消去x得，
由，得，
且.
当直线AP的斜率不存在时，可得P(4, -2)，此时m=1，不符合题意，
同理AQ的斜率也存在，
故直线AP的方程为，则, 即，
同理,
则
,
故为定值1.
21．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据双曲线的定义和焦距的概念求出a、c，进而得出结果；
(2)设，，，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，联立双曲线方程并消去y，利用韦达定理得出表达式；将点N坐标代入直线方程，结合可得，同理求得，
进而化简计算即可.
(1)
设C的焦距为，则，
即，，；
由双曲线的定义，得，即，
所以，故C的方程为．
(2)
设，，，显然直线AB的斜率存在，
可设直线AB的方程为，代入，
得．
由过点的直线与C交于两点A，B，得，
由韦达定理，得，； ①
由在直线上，得，即； ②
由在直线AB上，得． ③
由，得，
即解得．同理，由，得，
结合①②③，得
．故是定值．
22．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点．
(1)求和的值；
(2)证明：①为定值；
②直线斜率为定值，并求出该定值．
【答案】(1)，；
(2)①证明见解析；②证明见解析，定值为1.
【解析】
【分析】
（1）设出的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理即可求得的值，同理可得；
（2）①设出的直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理即可证明；
②根据（1）中所求转化的斜率为关于的表达式，代值计算即可证明.
(1)
因为焦点，显然直线的斜率不为零，故设直线方程为，
与联立可得，
又直线与抛物线交于两点，又，
故，同理可得：．
(2)
①因为直线过定点，且斜率存在，故设直线方程为，
代入中得，又直线交抛物线于两点，
故当时，时，由韦达定理可得：
，所以．
②直线的斜率为，
由（1）知，．
所以．
故直线的斜率为定值，且定值为.
23．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆C：的离心率为，直线交椭圆所截得的弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若M是第四象限椭圆上的动点，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，交直线于点P，交于点Q，求证：直线PQ的斜率为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据离心率求出关系式，结合弦长可得结果；
（2）根据点共线，用点的坐标表示出的坐标，利用斜率公式可证明结论；或者利用的参数坐标同样可证.
(1)
因为，故，，
故椭圆方程为．令，解得，
故，故，故椭圆方程为．
(2)
证明：（解法一）由题意知，，，，
设，，，
由得，，则．
由，,得
解得
，
则，
故．
故直线PQ的斜率为定值．
（解法二）设，，，
由得，，
则，
由，，得
解得
则，
其中，
，
则．
故直线PQ的斜率为定值．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上异于原点的两点，设分别为直线的斜率且.证明：直线的斜率为定值.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
将条件中的关系转化为关于（视为整体）的一元二次方程的两根关系，可以简化解题过程.
【详解】
设直线的方程为，令，
由得： 即
变形得：
又，即，即
直线的斜率为定值.第31讲 圆锥曲线定点定值问题
方法总结：
1、处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为）
（2）利用条件找到与过定点的曲线 的联系，得到有关与的等式
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立。
2.常见定值问题的处理方法：
（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示
（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。
3.求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
4.求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，点及点都在椭圆上，若直线与直线的倾斜角互补.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线的斜率为定值.
例2．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））已知椭圆的焦距为，左 右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.
例3．（2022·江苏南通·一模）已知双曲线，四点，，，中恰有三点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于，两点，过点作直线的垂线，垂足为.证明：直线过定点.
例4．（2022·湖北江岸·高三期末）已知抛物线的准线与圆相切.
(1)求；
(2)若定点，，M是抛物线上的一个动点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为 恒过一个定点.求出这个定点的坐标.
过关练习：
1．（2022·河南南阳·高三期末（理））已知圆O：.
(1)求证：过圆O上点的切线方程为.类比前面的结论，写出过椭圆C：上一点的切线方程（不用证明）.
(2)已知椭圆C：，Q为直线上任一点，过点Q作椭圆C的切线，切点分别为A B，利用（1）的结论，求证：直线AB恒过定点.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点．
3．（2022·河南濮阳·高三开学考试（文））已知过点的直线与抛物线C：交于不同的两点M，N，过点M的直线交C于另一点Q，直线MQ斜率存在且过点，抛物线C的焦点为F，的面积为1．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：直线QN过定点．
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知动圆过定点,且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为H，点为一个定点，过点E作斜率分别为的两条直线交H于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)求轨迹H的方程；
(2)若，求证：直线MN过定点．
5．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证:点N在定直线上．
6．（2022·四川巴中·一模（文））已知椭圆C：（a>b>0）的左 右焦点分别为，，点满足，且的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C的上顶点为P，不过点P的直线l交C于A，B两点，若，证明直线l恒过定点.
7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点.
8．（2022·辽宁·高三期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点满足直线AE与BE的斜率之积为，记E的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程，并说明C是什么曲线．
(2)过点的直线交C于P，Q两点，过点P作直线的垂线，垂足为G，过点O作，垂足为M．证明：存在定点N，使得为定值．
9．（2022·山东德州·高三期末）已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点，到直线的距离为．
(1)求抛物线的方程；
(2)设点，为直线上一定点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点．
11．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线不经过点且与相交于、两点，且．证明：直线过定点．
12．（2022·北京昌平·高三期末）已知椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于点，直线分别交直线于点.求证：线段的中点为定点.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，A为上异于原点的任意一点，过点A的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点A的横坐标为3时，为正三角形.
(1)求的方程
(2)若直线平行，且和有且只有一个公共点，证明直线恒过定点，求的面积最小值.
14．（2022·全国·高三专题练习）为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点在直线上，且，直线过点且垂直于，求证：直线过定点.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若轨迹与圆相交于、、、四个点，求的取值范围；
(3)已知点，设不垂直于轴的直线与轨迹交于不同的两点，，若轴是的角平分线，证明直线过定点.
16．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．
17．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆，椭圆的右焦点恰好是直线与x轴的交点，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的左 右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.
18．（2022·山西怀仁·高三期末（文））已知 为椭圆：的左右顶点，P为椭圆上异于 的点，直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点，若直线与相交于G H两点，求证为定值.
19．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知点为椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过的直线与椭圆交于不同的两点，（均与不重合），直线，分别与轴交于点，，已知点，证明：为定值.
21．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与C交于两点A，B，与直线交于点N．设，，求证：为定值．
22．（2022·河南·一模（文））如图，已知抛物线的焦点为，四点都在抛物线上，直线与直线相交于点，且直线过定点．
(1)求和的值；
(2)证明：①为定值；
②直线斜率为定值，并求出该定值．
23．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆C：的离心率为，直线交椭圆所截得的弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若M是第四象限椭圆上的动点，，分别为左、右顶点，，分别为上、下顶点，交直线于点P，交于点Q，求证：直线PQ的斜率为定值．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线上异于原点的两点，设分别为直线的斜率且.证明：直线的斜率为定值.

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