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第32讲 排列组合问题
方法总结：
一、处理排列组合问题的常用思路：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
2、寻找对立事件
3、先取再排（先分组再排列）
二、排列组合的常见模型
1、捆绑法
2、插空法
3、错位排列
4、依次插空
5、不同元素分组
6、相同元素分组：隔板法
7、涂色问题：
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从点到点的最短路径的走法有___种．
【答案】7.
【解析】
【详解】
分析：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动，将原问题转化为排列、组合问题，注意图中有空格，注意排除，计算可得答案．
详解：根据题意，从A到B的最短路程，只能向左、向下运动；
从A到B，最短的路程需要向下走2次，向右走3次，即从5次中任取2次向下，剩下3次向右，有种情况，但图中有空格，故是方法数为中
故答案为7.
点睛：本题考查排列、组合的应用，解题的关键将圆问题转化为排列、组合问题，由分步计数原理计算得到答案．
例2．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解共有___________组．
【答案】
【解析】
【分析】
将方程非负整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法.
【详解】
将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有种方法，
所以方程的非负整数解共有组.
故答案为：78
例3．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作答
【答案】180
【解析】
【分析】
将图形中四个板块分别记为，按照、不同色和、同色，分两类计数再相加，可得结果.
【详解】
将图形中四个板块分别记为，如图：
当、不同色时，有种涂色方案；
当、同色时，有种涂色方案，
根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案.
故答案为：.
例4．（2022·江苏·高三专题练习）将4个相同的白球、5个相同的黑球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有____种．用数字作答
【答案】72
【解析】
【分析】
根据分步乘法计数原理，先选盒子、再取白球，最后取黑球，利用组合数将每一步对应的方法数求出然后相乘即可得到不同的放法数.
【详解】
解：首先从4个盒子中选取3个，共有种取法；
假定选取了前三个盒子，则第四个为空，不予考虑．
由于前三个盒子中的球必须同时包含黑白两色，所以每个盒子中至少有一个白球，一个黑球．
这样白球还剩一个可以自由支配，它可以放在三个盒子中任意一个，共种放法，
黑球还剩两个可以自由支配，这两个球可以分别放入三个盒子中的任意一个，
这里有两种情况：①两个球放入同一个盒子，有3种放法．②两个球放入不同的两个盒子，有3种放法．
综上，黑球共6种放法．
所以总共有种不同的放法．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是分析个黑球和个白球如何分配到三个盒子中（不均分的情况）且每个盒子中两种球都有，采用分步的思想是最合理的，分别考虑两种球的放法数.
例5．（2022·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.
【答案】85
【解析】
【分析】
由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况，然后其余的情况先分给1班1个名额，2班、4班每班各2个名额，再将剩下的分给1,2,4班，每班至少一个名额，用隔板法可求解.
【详解】
由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况.
（1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
（3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有种分法.
所以一共有种不同的分配方案.
故答案为：85.
【点睛】
本题考查隔板法的应用，等价转化是关键，属于中档题.
例6．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有_________种.（用数字作答）
【答案】72
【解析】
【分析】
先分类，再在不同情况下，求出放法个数，相加得到答案.
【详解】
当两个相邻空盒恰好在两端时，放法有种；
当两个相邻空盒不在两端时，放法有种；
所以3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有36+36=72种.
故答案为：72
例7．（2022·浙江上虞·高三期末）某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值）
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理、排列、组合分类计算作答.
【详解】
计算不同的安排数有两类办法：
甲、乙、丙中只选两人，有种选法，再从余下6人中任选4人有选法，
将选取的6人安排到周一到周六有种，因此，共有不同安排种数为，
当甲、乙、丙三人都参加时，从余下6人中任选3人有选法，
周一到周六中取3天安排甲、乙、丙且丙在甲乙之间有种，另3天安排所选3人有种，
共有不同安排数为：，
由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)，分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
例8．（2022·河北保定·高三期末）某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为___________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有___________种.
【答案】 540
【解析】
【分析】
先由排列组合知识得出分配方案的种数、每个入口都有女志愿者的分配方案种数，结合古典概型概率公式求解即可.
【详解】
由题意可知，有一个入口有2名志愿者，两个入口有3名志愿者，分配方案共有种，3名女志愿者在同一个入口的分配方案共有种，故3名女志愿者被分在同一个入口的概率为，每个入口都有女志愿者的分配方案共有种.
故答案为：；
例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．
【答案】420
【解析】
【分析】
从后排7人中任取2人，插入前排（按2人相邻和不相邻分类计数）
【详解】
可从后排7人中任取2人，插入前排，调整方法数为．
故答案为：420．
例10．（2022·浙江·高三专题练习）在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排、、、、共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知、员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有、、共3个人在五一长假期间共有______种不同的值班方案（用数字作答）．
【答案】150
【解析】
【分析】
由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天；1人值1天，其余2人各值2天.分别计算出结果相加即可.
【详解】
由题知，3人值班5天可以分两种情况：1人值三天，其余2人各值1天，共有种方案；1人值1天，其余2人各值2天，共有.
因此共有种值班方案.
故答案为：150
例11．（2022·全国·高三专题练习）南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．
【答案】156
【解析】
【分析】
根据题意，用间接法分析，先分4步进行不受限制的排法数目，再排除计算其中小李和小王在一起的排法数目，从而可得答案
【详解】
解：根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析：
先计算小李和小王不受限制的排法数学：先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况，
所以小李和小王不受限制的排法有种，
若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况：
在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况，
再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况，
最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况，
则小李和小王在一起的排法有种，
所以小李和小不在一起的排法有种，
故答案为：156
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（ ）
A．144 B．24 C．72 D．60
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆4个空位留下5个空隙供3辆车选择即可.
【详解】
由题可知7个车位停三辆车，则会产生4个空位，故可先摆好4个空车位，4个空车位之间共有5个空隙可供3辆车选择停车．
因此，任何两辆车都不相邻的停车种数共有.
故选：D．
2．（2022·山东临沂·一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（ ）
A．720 B．1440 C．2280 D．4080
【答案】C
【解析】
【分析】
以间接法去求解这个排列问题简单快捷.
【详解】
一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.
这7个数字按题意随机排列，可以得到个不同的数字.
当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14
当前两位数字为11或12时，共可以得到个不同的数字，
则大于3.14的不同数字的个数为
故选：C
3．（2022·河南南阳·高三期末（理））2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海 宁夏 广西 广东 福建 新疆 云南 陕西 江苏 浙江 安徽 四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ）
A．15种 B．16种 C．17种 D．18种
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意利用列举法进行求解即可.
【详解】
因为在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，所以不同的关闭方案如下：
，
，
共16种方案，
故选：B
4．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
【答案】B
【解析】
【分析】
按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可
【详解】
根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故一共有：种分派方法
故选：
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））把枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用插空法和古典概型可解决此题．
【详解】
根据插空法得把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚的情况共种，
其中甲、乙、丙三位同学拿到硬币有相同情况有，1，，，10，，，1，，，2，，，8，，，2，，，3，，，6，，，3，，，4，，，5，，，2，，，5，共计13种，故他们拿到的硬币数量互不相同的情况共有（种，
甲同学恰好拿到两枚硬币的情况共有（种，
甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为．
故选：B
6．（2022·广东高州·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
【答案】B
【解析】
【分析】
分人脸识别不安排或安排研究生两种情况，应用组合、排列数求总分配方式即可.
【详解】
1、人脸识别方向不安排其它研究生，则种.
2、人脸识别方向安排1名其它研究生，则种.
综上，共有360种分配.
故选：B
7．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（ ）
A．1224 B．1800 C．1560 D．840
【答案】B
【解析】
【分析】
首先为奇数，则为偶数，进而根据的奇偶分布情况求排列方法数，再为偶数，则为三个奇数，求排列方法数，进而加总.
【详解】
当为奇数时，为偶数：
1、一偶两奇，此时不同排列方法为种；
2、两偶一奇，此时不同排列方法为种；
3、三个偶数，此时不同排列方法为种；
当为偶数时，为奇数，此时三个奇数，不同排列方法为种；
综上，不同排列方法有1800种.
故选：B
8．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【解析】
【分析】
在排列时，相邻元素用捆绑法，特殊元素特殊安排，利用分步计数原理即可求解.
【详解】
首先将程序B和C捆绑在一起，再和除程序A之外的3个程序进行全排列，最后将程序A排在第一步或最后一步，根据分步计数原理可得种.
故选：C
9．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．18
【答案】D
【解析】
【分析】
利用排除法，先计算A组是第一个演讲的方法数即得解
【详解】
由题意，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲共有种情况
其中A组是第一个演讲的方法数为
故A组不是第一个演讲的方法数为
故选：D
10．（2022·云南昭通·高三期末（理））某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、、3000米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．441种 C．735种 D．840种
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分步计数原理即得.
【详解】
根据题意可知，可分三步考虑：第一步，在8项中选取2项，共有种不同的方法；
第二步，甲在剩下6项中选取1项，共有种不同的方法；
第三步，乙在剩下5项中选取1项，共有种不同的方法．
根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（种）
故选：D．
11．（2022·福建三明·高三期末）北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（ ）
A．16种 B．36种 C．48种 D．60种
【答案】B
【解析】
【分析】
将4人分成3组，再分配到3个场馆，进而求得答案.
【详解】
先将4人分成3组，然后再分配到3个场馆，一共有种不同的方案.
故选：B.
12．（2022·江西九江·一模（理））第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）．
A．42种 B．63种 C．96种 D．126种
【答案】D
【解析】
【分析】
此题属于分组分配问题，现将3人分成两组，然后再分配可得.
【详解】
先将3人分成两组，共种，再在7个大项种选择2个项目安排这两组，共种，所以有且只有两人被分到同一大项的情况共有种.
故选：D．
13．（2022·全国·高三专题练习）菊花是开封市花，1983年开封市人大把菊花命名为开封市“市花”，并且举办“菊花花会”，每年10月18日至11月18日为“菊花花会”的会期.如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】
【分析】
利用分步乘法计数原理，分步完成布置这个事件，第一步布置，第二步布置，第三步布置，第四步布置，此时需分类，到相同和不相同分类，第五步布置，由计数计算可得．
【详解】
先布置中心区域共有种方法，从开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，则有种布置方法，有种布置方法.
如果与选用同一种菊花，则有种布置方法；如果与选用不同种类菊花，则有种布置方法，有种布置方法.按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有（种），
故选：.
14．（2022·全国·高三专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.
【详解】
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法；
当染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法.
故不同的染色方法有种.
故选：C
15．（2022·全国·高三专题练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学 数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．96
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分2步依次分析区域和区域的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解：根据题意，分2步进行分析：
①对于区域，三个区域两两相邻，有种涂色的方法，
②对于区域，若区域与颜色相同，区域有2种选法，
若区域与颜色不同，则区域有1种选法，区域也只有1种选法，
则区域有种涂色的方法，
则有种涂色的方法，
故选：C.
16．（2022·全国·高三专题练习）数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（ ）个
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
确定数字和为9的四个数组有：、、共三组，分别排列成无重复数字的四位数可得结论．
【详解】
卡片上的四位数字之和等于，四个数字为组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有：，组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个；组成的无重复数字且大于的“长久四位数”共有个，故共（个）.
故选：C．
17．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A C D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【答案】A
【解析】
【分析】
利用间接法和缩倍法求解.
【详解】
不考虑限制条件共有种，最先汇报共有种，
如果不能最先汇报，而 C D按先后顺序汇报（不一定相邻）有.
故选：A.
18．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）某市有、、、、五所学校参加中学生体质抽测挑战赛，决出第一名到第五名的名次．校领导和校领导去询问成绩，回答者对校领导说：“很遗憾，你和校都没有得到第一名”，对校领导说“你也不是最后一名”．从这两个回答分析，这五个学校的名次排列的不同情况共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知，校为第二至第四某个名次，校在第二至第五名次中剩余三个名次种选一个名次，其余三个名次任意排列，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】
由题意可知，校为第二至第四某个名次，
校在第二至第五名次中剩余三个名次种选一个名次，其余三个名次任意排列，
故这五个学校的名次排列的不同情况共有种.
故选：C.
19．（2022·全国·高三专题练习）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法不正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
【答案】C
【解析】
【分析】
用分步计数原理可判断A；用部分平均分组可判断B、C；先用部分平均分组以及排列可判断D.
【详解】
对于A选项，每位教研员有三所学校可以选择，故不同的调研安排有种，故A正确；
对于B，C选项，若每所重点高中至少去一位教研员，则可先将五位教研员分组，
再分配，五位教研员的分组形式有两种：3，1，1；2，2，1，分别有，种分组方法，
则不同的调研安排有种，故B正确，C错误；
对于D选项，将甲、乙两位教研员看成一人，则每所重点高中至少去一位教研员，
且甲、乙两位教研员去同一所高中的排法有种，
则甲、乙两位教研员不去同一所高中的排法有种，D正确.
故选：C.
20．（2022·重庆·高三开学考试）DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排列数计算公式计算出正确答案.
【详解】
依题意可知，不同的插入方式的种数为.
故选：C
21．（2022·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解.
【详解】
从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，
正方体表面四点共面不能构成四面体有种，
正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，
所以可得到的四面体的个数为种，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.
22．（2022·全国·高三专题练习）方程的正整数解共有（ ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
【答案】A
【解析】
【分析】
本题可以将“方程的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”，然后通过排列组合即可求出结果.
【详解】
如图，将12个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是、、、，显然满足，故是方程的一组解，
反之，方程的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程的正整数解的数目为：，
故选：A.
【点睛】
本题考查通过排列组合解决方程的解的数目，能否将“方程的正整数解”转化为“在12个球中插入隔板”是解决本题的关键，考查推理能力，考查排列组合的实际应用，是中档题.
23．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】
【分析】
将涂色方法分为两类，即用三种颜色涂和用两种颜色涂，分别计算出两种情况下涂色方案的种数，根据分类加法计数原理即可求得结果.
【详解】
将六个方格标注为，如下图所示，
①若用三种颜色涂，则同色或同色或同色，
当同色时，六个方格的涂色方法有种；
当同色时，六个方格的涂色方法有种；
当同色时，六个方格的涂色方法有种；
②若用两种颜色涂，则同色，此时六个方格的涂色方法有种；
综上所述：不同的填涂方法有种.
故选：D.
24．（2022·广东潮州·高三期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．64种
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可得，分两个地区各分2人，另一个地区分1人和两个地区各分1人，另一个地区分3人两种情况，对两种情况的种数求和，即可求解．
【详解】
解：①当两个地区各分2人，另一个地区分1人时，总数有种；
②当两个地区各分1人，另一个地区分3人时，总数有种．
故满足条件的分法共有种．
故选：A
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.则下列说法正确的有（ ）
A．编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是360
B．编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36
C．恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40
D．恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
对A，先考虑1号球，进而对剩下的小球进行全排列；
对B，先将编号为奇数的小球放入编号为偶数的盒子，进而对剩下的小球进行全排列；
对C，先选出3个小球放入对应编号的盒子，进而用枚举法放剩下的小球；
对D，根据题意，在1~5的五个盒子中任选3个盒子，进而用枚举法放入小球.
【详解】
对于选项A，先放编号为1号的小球，有3种方法，再放另外5个小球，有种方法，所以共有种方法，选项A正确；
对于选项B，先放编号为奇数的小球，有种方法，再放另外3个小球，有种方法，所以共有种方法，选项B正确；
对于选项C，先在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有种放法，用枚举法放剩下的3个小球，共有2种放法，所以不同的放法总数是20×2＝40种，选项C正确；
对于选项D，先在编号为1~5的五个盒子中任选3个，有种，不妨设选了编号为1，2，3的3个盒子，分别放入标号为2，3，4的3个小球，则编号为4，5，6的盒子放入的小球编号依次可以是1，5，6、6，1，5和6，5，1，共3种，所以不同的放法总数是10×3＝30种，选项D正确.
故选：ABCD.
三、填空题
26．（2022·全国·高三阶段练习（文））如果把个位数是，且恰有个数字相同其余数字均不相同的五位数叫做“优数”，那在由，，，，五个数字组成的有重复数字的五位数中，“优数”共有______个.
【答案】
【解析】
【分析】
从3个位置数字相同入手，先安排上三个位置放上相同数字，再安排其它两个位置的数字．
【详解】
个位数字为0，若十位，百位，千位，万位有三个位置数字是1，则有种安排，
剩余那个位置从2，3，4中选一个，则有3种，
所以3个数字是1有种，
3个数字都是2，3，4一样有种，
所以3个数字相同从1，2，3，4种选有种；
若3个相同数字为0，由于个位已经为0，而万位不能为0，所以从十位，百位，千位3个中选2个位置放0，剩余两个位置从1，2，3，4中选出两个进行安排，
所以有所以“优数”有．
故答案为：84．
27．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是_______（结果用数字表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，分3步进行分析：①将3个老师分成2组，并考虑2人的一组的2人之间的顺序;②将剩余的3个学生全排列，形成有4个空位；③在4个空位中任选2个安排3个老师分成的两个组，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分3步进行分析：
①将3个老师分成2组，有种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有种情况；
②将剩余的3个学生全排列，有种排法，排好后，有4个空位；
③在4个空位中任选2个，安排3个老师分成的两个组，有种方法，
则6人站成一排照相，3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有种.
故答案为：.
28．（2022·浙江·模拟预测）“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）
【答案】264
【解析】
【分析】
分类讨论：雪上芭蕾展示一次和两次；每一类又分两步讨论：第一步先排给项目排序，第二步再给项目安排上展示者.
【详解】
设空中技巧、雪上技巧、雪上芭蕾三个项目依次为A、B、C，
①雪上芭蕾只展示一次时，按展示先后顺序有下列12情况：
BABC，ABAC，CBAB，CABA，ABCA，ABCB，BACB，BACA，ACBA，ACAB，BCBA，BCAB.
再给项目排上表演者：
从两名女生中选1人去展示雪上芭蕾C有2种排法，剩下的三人去展示剩下的项目有3！＝6种排法，∴共2×6＝12种排法.
∴此时共12×12＝144种出场顺序与项目展示方案.
②雪上芭蕾展示两次时，按展示先后顺序有下列6情况：
CABC，CBAC，BCAC，ACBC，CBCA，CACB.
再给项目排上表演者：
四个选手随意选一个项目展示共4！＝24种排法，但需排除雪上芭蕾均为男生展示的情况共2！×2！＝4种，∴此时给项目排上选手共24－4＝20种排法.
∴此时共6×20＝120种出场顺序与项目展示方案.
综上所述，共有144＋120＝264种出场顺序与项目展示方案.
故答案为：264.
29．（2022·浙江温州·高三开学考试）将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）.
【答案】27
【解析】
【分析】
按照1号球是否放在B盒子分类，结合.
【详解】
若1号球放在B盒子中，共有种放法；
若1号球放在C盒子中，共有种放法；
所以共有放法总数为.
故答案为：27.
30．（2022·全国·高三专题练习）在的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）中的3个点为顶点，可以得到___________个三角形.
【答案】90
【解析】
【分析】
从10个点中任取3个点有种情况，然后减去三点共线的情况即可得答案
【详解】
先不考虑共线点的问题，从10个点中任取3个点有种情况.
其中从边OM上的6个点（含O点）中任取3个点为顶点，不能得到三角形，有种情况；
从边ON上的5个点（含O点）中任取3个点为顶点，也不能得到三角形，有种情况.
所以共可以得到个三角形.
故答案为：90第32讲 排列组合问题
方法总结：
一、处理排列组合问题的常用思路：
1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求的元素。
2、寻找对立事件
3、先取再排（先分组再排列）
二、排列组合的常见模型
1、捆绑法
2、插空法
3、错位排列
4、依次插空
5、不同元素分组
6、相同元素分组：隔板法
7、涂色问题：
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）某城市街区如下图所示,其中实线表示马路,如果只能在马路上行走,则从点到点的最短路径的走法有___种．
例2．（2022·全国·高三专题练习）方程的非负整数解共有___________组．
例3．（2022·全国·高三专题练习（理））如图，用五种不同的颜色涂在图中不同的区域内，要求每个区域只能涂一种颜色，且相邻(有公共边)区域涂的颜色不同，则不同的涂色方案一共有___________种.用数字作答
例4．（2022·江苏·高三专题练习）将4个相同的白球、5个相同的黑球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他3个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有____种．用数字作答
例5．（2022·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.
例6．（2022·浙江·慈溪中学高三阶段练习）将3个不同颜色的小球放入排成一排的6个相同的盒子，每个盒子最多可以放一个小球，则3个空盒中恰有2个空盒相邻的放法共有_________种.（用数字作答）
例7．（2022·浙江上虞·高三期末）某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等9名医务工作者中选6人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，每人只参加一天．现要求甲、乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，丙一定得排在甲乙之间，那么不同的安排数为__________．（请算出实际数值）
例8．（2022·河北保定·高三期末）某体育赛事组织者招募到8名志愿者，其中3名女性，5名男性，体育馆共有三个入口，每个入口需要分配不少于2个且不多于3个志愿者，每名志愿者都要被分配，则3名女志愿者被分在同一个入口的概率为___________，每个入口都有女志愿者的分配方案共有___________种.
例9．（2022·全国·高三专题练习（理））10名同学合影，站成了前排3人，后排7人，现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同的调整方法的种数为_______（用数字作答）．
例10．（2022·浙江·高三专题练习）在即将来临的五一长假期间，某单位本来安排、、、、共5个人在5天中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日时接到通知、员工必需出差，故调整为每天1人，每人至少值班1天，现在只有、、共3个人在五一长假期间共有______种不同的值班方案（用数字作答）．
例11．（2022·全国·高三专题练习）南昌花博会期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有________种．
过关练习：
1．（2022·全国·模拟预测）随着经济的发展，私家车成为居民的标配．某小区为了适应这一变化，在小区建设过程中预留了7个排成一排的备用车位．现有3位私家车车主要使用这一备用车位．现规定3位私家车随机停车，任意两辆车都不相邻，则共有不同停车种数为（ ）
A．144 B．24 C．72 D．60
2．（2022·山东临沂·一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为（ ）
A．720 B．1440 C．2280 D．4080
3．（2022·河南南阳·高三期末（理））2021年8月17日，国家发改委印发的《2021年上半年各地区能耗双控目标完成情况晴雨表》显示，青海 宁夏 广西 广东 福建 新疆 云南 陕西 江苏 浙江 安徽 四川等12个地区能耗强度同比不降反升，全国节能形势十分严峻.某地市为响应节能降耗措施，决定对非繁华路段路灯在晚高峰期间实行部分关闭措施.如图，某路段有十盏路灯（路两边各有五盏），现欲在晚高峰期关闭其中的四盏灯，为保证照明的需求，要求相邻的路灯不能同时关闭且相对的路灯也不能同时关闭，则不同的关闭方案有（ ）
A．15种 B．16种 C．17种 D．18种
4．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
5．（2022·全国·高三阶段练习（文））把枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东高州·二模）某大学计算机学院的丁教授在2021年人工智能方向招收了6名研究生．丁教授拟从人工智能领域的语音识别、人脸识别、数据分析、机器学习、服务器开发共5个方向展开研究，每个方向均有研究生学习，每位研究生只参与一个方向的学习．其中小明同学因录取分数最高主动选择学习人脸识别，其余5名研究生均表示服从丁教授统一安排．则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种 B．360种 C．240种 D．120种
7．（2022·江西上饶·高三阶段练习（理））若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇数的不同排列方法有（ ）
A．1224 B．1800 C．1560 D．840
8．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列. 中国的目标是到2030年成为主要的太空大国.它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
9．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））某班开展“学党史，感党恩”演讲活动，安排四个演讲小组在班会上按次序演讲，则A组不是第一个演讲的方法数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．18
10．（2022·云南昭通·高三期末（理））某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有：50米、100米、、3000米共8个项目．为确保径赛项目顺利举办，需要招募一批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（ ）
A．420种 B．441种 C．735种 D．840种
11．（2022·福建三明·高三期末）北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（ ）
A．16种 B．36种 C．48种 D．60种
12．（2022·江西九江·一模（理））第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大项．现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）．
A．42种 B．63种 C．96种 D．126种
13．（2022·全国·高三专题练习）菊花是开封市花，1983年开封市人大把菊花命名为开封市“市花”，并且举办“菊花花会”，每年10月18日至11月18日为“菊花花会”的会期.如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
14．（2022·全国·高三专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高三专题练习）《周髀算经》是中国最古老的天文学 数学著作，公元3世纪初中国数学家赵爽创制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．96
16．（2022·全国·高三专题练习）数字“”中，各位数字相加和为，称该数为“长久四位数”，则用数字组成的无重复数字且大于的“长久四位数”有（ ）个
A． B．
C． D．
17．（2022·广东韶关·一模）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有共6项成果要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A C D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
18．（2022·江苏·金陵中学高三阶段练习）某市有、、、、五所学校参加中学生体质抽测挑战赛，决出第一名到第五名的名次．校领导和校领导去询问成绩，回答者对校领导说：“很遗憾，你和校都没有得到第一名”，对校领导说“你也不是最后一名”．从这两个回答分析，这五个学校的名次排列的不同情况共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
19．（2022·全国·高三专题练习）为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去地重点高中进行教学调研.现知地有三所重点高中，则下列说法不正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
20．（2022·重庆·高三开学考试）DNA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，DNA中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A，2个碱基C和1个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．120
21．（2022·全国·高三专题练习）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）
A． B． C． D．
22．（2022·全国·高三专题练习）方程的正整数解共有（ ）组
A．165 B．120 C．38 D．35
23．（2022·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝三种颜色填涂如图所示的六个方格，要求有公共边的两个方格不同色，则不同的填涂方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
24．（2022·广东潮州·高三期末）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．30种 B．36种 C．42种 D．64种
二、多选题
25．（2022·全国·高三专题练习）将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.则下列说法正确的有（ ）
A．编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是360
B．编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36
C．恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40
D．恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30
三、填空题
26．（2022·全国·高三阶段练习（文））如果把个位数是，且恰有个数字相同其余数字均不相同的五位数叫做“优数”，那在由，，，，五个数字组成的有重复数字的五位数中，“优数”共有______个.
27．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是_______（结果用数字表示）．
28．（2022·浙江·模拟预测）“迎冬奥，跨新年，向未来”，水球中学将开展自由式滑雪接力赛．自由式滑雪接力赛设有空中技巧、雪上技巧和雪上芭蕾三个项目，参赛选手每人展示其中一个项目．现安排两名男生和两名女生组队参赛，若要求相邻出场选手展示不同项目，女生中至少一人展示雪上芭蕾项目，且三个项目均有所展示，则共有___种出场顺序与项目展示方案．（用数字作答）
29．（2022·浙江温州·高三开学考试）将标有1，2，3，4，5，6的6个球放入A，B，C三个盒子，每个盒子放两个球，其中1号球不放A盒子中，2号和3号球都不放B盒子中，则共有__________种不同的放法（用数字作答）.
30．（2022·全国·高三专题练习）在的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点（含O点）中的3个点为顶点，可以得到___________个三角形.第33讲 统计
方法总结：
一、线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归方程的求法为
其中，，，(,)称为样本点的中心。
步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率k>0，称两个变量正相关；k<0，称两个变量负相关。
二、独立性
独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。
步骤为列出22列联表(如表13-8所示)，求出，并判断：
A1 A2 合计
B1 a c a+c
B2 b d b+d
合计 a+b c+d n=a+b+c+d
若K2>10.828，有99.9%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若10.828K2>6.635，有99%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若6.635K2>3.841，有95%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若K23.841，没有把握称A与B相关。
典型例题：
例1．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周运动时间超过8小时”的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)140人，分位数为，方差为6.16；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图及分层抽样，可求出样本数据中女生人数及样本数据的85%分位数与方差；
（2）利用分层抽样可计算出“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人，所以的可能的取值为0，1，2，利用超几何分布可求得的分布列及数学期望.
(1)
依题意，样本数据中女生人数为.
因为样本数据中在8小时以下的学生人数所占比例为，
则85%分位数为.
平均数为，
所以样本数据的方差为
，
所以样本数据中女生人数为140，样本数据的85%分位数为，方差为6.16.
(2)
用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人.
由题意知，的可能取值为0，1，2，
且；；，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
例2．（2022·河北唐山·高三期末）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：
年份 1997-2016 2007-2016
线性回归模型 0.9306
指数回归模型 0.9899 0.978
①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.
【答案】(1)，
(2)①0.996，②不吻合，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）观察两图，根据的范围，我们只需要确定哪个图像关联系数更高，即选择较大的那个相关系数；
（2）第一小问可根据第（1）问中确定的的值，通过来计算；第二小问可通过计算出来的数据跟已有的数据对比，选出最适合模拟最近的年份的回归模型，并且按照这个回归模型来模拟，预测2020年是否能够突破100万亿，并且根据回归模型的增长趋势来判断.
(1)
由散点图可知，图2拟合效果更好、相关系数较大，所以，．
(2)
①0.996
②由图2中的线性回归模型得到的相关指数为0.996，是所有回归模型的相关指数中数值最大的，而且2017年是最近的年份，因此选择图2中的线性回归模型来估计2017年的GDP，是比较精准的．
按照图2中的线性回归模型来估计（延长回归直线可发现），2020年不能突破100万亿元．
估计与事实不吻合．综合两张图来考虑，我国的GDP随年份的增长整体上呈现指数增长的趋势，而且2020年比2016年又多发展了4年，指数回归趋于明显，因此，按照线性回归模型得到的估计值与实际数据有偏差、不吻合，属于正常现象．
例3．（2022·重庆八中高三阶段练习）5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：
时间（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根据以上数据绘制散点图，如图.
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；
(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考数据：
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73
其中设，
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，，.
【答案】(1)
(2)回归方程为，8月份的5G经济收入百万元.
(3)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据散点图判断可得答案；
（2）根据（1）的结果，然后根据参考数据求出方程，进而求得y关于x的回归方程，再将代入方程可得答案；
（3）求出X的可能取值及概率，可得分布列和数学期望.
(1)
，散点图中点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上差距是增大的趋势，故用表示更合适.
(2)
由得，设，所以，
因为，，，，
所以，，
，
所以，即，
则回归方程为，
预测该公司8月份的5G经济收入百万元.
(3)
月收入超过16百万的个数为的可能取值为1，2，3，
则，
，
，
则的分布列为
1 2 3
所以.
例4．（2022·河北·模拟预测）主播代言 优惠促销 限时“秒杀”……目前，各类直播带货激起人们的消费热情，但也存在不少问题.日前，中国消费者协会发布了网络直播销售侵害消费者权益案例分析，归纳出虚假宣传 退换货难 诱导交易等七大类问题.某相关部门为不断净化直播带货环境，保护消费者合法权益，进行了调查问卷，随机抽取了200人的样本进行分析，得到列联表如下：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女性 90 30 120
男性 50 30 80
总计 140 60 200
(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为是否参加直播带货与性别有关？
(2)将频率视为概率，从样本的女性中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记抽取的3人中“未参加过直播带货”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和均值.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
【答案】(1)有的把握认为是否参加直播带货与性别有关
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】
（1）直接根据列联表计算观测值，再根据独立性检验思想判断即可；
（2）由题意，可得，再根据二项分布概率公式求解即可.
(1)
解：根据以上数据，得观测值，
所以有的把握认为是否参加直播带货与性别有关.
(2)
解：由题意，女生未参加过直播带货的频率为，
所以频率视为概率，每个女生未参加过直播带货的概率为，
因为每次抽取的结果是相互独立的，所以，
所以，，
所以，，，.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以随机变量的均值.
例5．（2022·全国·高三专题练习）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好，
【答案】(1)模型②拟合精度更高、更可靠，亿
(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小
【解析】
【分析】
（1）根据公式计算相关指数，再根据大小选择合适的模型，根据所得模型可求直接受益.
（2）根据（1）中的公式结合利润计算方法可求公司收益，从而可得两者的大小关系.
(1)
对于模型①，
对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，
对于模型②，同理对应的相关指数，
故模型②拟合精度更高、更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.
(2)
当时，
后五组的，，
由最小二乘法可得，
故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：
，
故投入17亿元比投入20亿元时收益小.
例6．（2022·陕西·高新一中高三阶段练习（文））2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜 刘伯明 汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表：建立了y与x的两个回归模型：模型①：，
模型②：；
序号 1 2 3 4 5 6 7
x 2 3 4 6 8 10 13
y 15 22 27 40 48 54 60
(1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小；
(2)据（2）选择拟合精度更高 更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益.
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好..
回归模型 模型① 模型②
79.31 20.2
【答案】(1)
(2)收益为
【解析】
【分析】
（1）对于模型①模型②，计算出， ，对应的相关指数，可得答案；
（2）故模型②拟合精度更高 更可靠，可计算出对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益.
(1)
对于模型①，
对应的，
故对应的，
故对应的相关指数，对于模型②，
同理对应的相关指数，.
(2)
故模型②拟合精度更高 更可靠.
故对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.
过关练习：
1．（2022·四川泸州·二模（理））某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品 二级品统称为优质品.
等级 四级品 三级品 二级品 一级品
脆红李横径/mm
经销商与某农户签订了脆红李收购协议，规定如下：从一箱脆红李中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱脆红李定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱脆红李也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱脆红李定为C类；其他情况均定为B类.已知每箱脆红李重量为10千克，A类 B类 C类的脆红李价格分别为每千克10元 8元 6元.现有两种装箱方案：方案一：将脆红李采用随机混装的方式装箱；方案二：将脆红李按一 二 三 四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.
(1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱脆红李被定为A类的概率；
(2)根据统计学知识判断，该农户采用哪种方案装箱收入更多，并说明理由.
【答案】(1)
(2)采用方案二时收入更多，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图可得任取一只脆红李，其为优质品的概率，利用二项分布可求概率.
（2）利用独立事件和二项分布可求该农户采用方案一时每箱收入为的分布列和期望，再算出该农户采用方案二时每箱的平均收入后可得最优方案.
(1)
由频率分布直方图可得任取一只脆红李，其为优质品的概率为，
设事件为“该农户采用方案一装箱，一箱脆红李被定为A类”，
则.
(2)
设该农户采用方案一时每箱收入为，则可取，
而，，
，
故（元）
该农户采用方案二时，每箱的平均收入为，
因为，故采用方案二时收入更多.
2．（2022·山西·临县第一中学高三开学考试（文））某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
利率上升百分点 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
日均存款总额y（亿元） 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8
(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据（2）的线性回归方程，预测日存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？
参考公式及数据：①，，②，．
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)利率需上升0.8个百分
【解析】
【分析】
（1）进行数据分析，作出散点图；
（2）由表格数据可得，，套公式求出和，即可求出回归方程；
（3）根据回归方程列方程，即可求解.
(1)
如图所示；
(2)
由表格数据可得，，
所以，
，
故．
(3)
利率需上升x个百分点，由（2）得：
，
解得，
所以利率需上升0.8个百分．
3．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.
【答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望是；
(3)升级方案合理.
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件求出抽一件是一级品的概率，再利用对立事件、独立事件的概率公式计算作答.
(2)求出10件产品中二级品的数目，再求出的可能值及各个取值的概率，列出分布列，计算期望.
(3)由给定数据求出今年的利润，明年预计的利润，再比较大小作答.
(1)
抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，
所以至少有一件产品是一级品的概率是.
(2)
依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
.
(3)
今年利润为：(万元)，
明年预计利润为：(万元)，显然有，
所以该次升级方案合理.
4．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为，成绩在区间内的人数为，记，比较与的大小关系.
【答案】(1)69.5
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据频率分布直方图估计平均数即可；
（2）由题知，，进而可能的取值为，进而根据二项分布与独立事件的乘法原理求解即可.
(1)
解：平均成绩为：.
(2)
解：成绩落在区间内的概率为，故.
成绩落在区间内的概率为，故，
，
由题意，可能的取值为，
.
故有.
5．（2022·河南·高三阶段练习（文））某地随着经济的发展，农民收入逐年增长，下表是该地一农商行连续五年的储蓄存款（年底余额）：
年份x 2017 2018 2019 2020 2021
储蓄存款y（百亿元） 6 7.5 8 9.5 11
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1.5 2 3.5 5
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2024年年底，该地储蓄存款额可达多少
附：对于线性回归方程，其中．
【答案】(1)
(2)
(3)14.4百亿元
【解析】
【分析】
（1）根据已知公式，结合已知数据计算即可得回归方程；
（2）结合（1），根据已知关系代入整理即可得答案；
（3）将代入（2）中方程即可得答案.
(1)
解：依题意，，
，
所以；
(2)
解：由（1）可知：，
因为，所以
整理得
(3)
解：当，有，
因此，预测到2024年底，该地储蓄存款额可达到14.4百亿元．
6．（2022·山东临沂·一模）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 17 20
线上销售时间不足8小时
合计 45
(1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；
②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中.
【答案】(1)列联表见解析，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)①应从销售额不少于30万元的企业抽取3家；从销售额不足30万元的企业抽取2家；②解答见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意分析数据，完成列联表，计算，对着参数判断下结论；
（2）①利用分层抽样即可求解；②判断出X的可能取值为0，1，2.，分别求概率，写出分布列，求出数学期望.
(1)
由题意分析可得：签约企业共45家，线上销售时间不少于8小时的企业有20家，那么线上销售时间少于8小时的企业有25家，每天的销售额不足30万元的企业占，共有.
完成列联表如下：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 17 3 20
线上销售时间不足8小时 10 15 25
合计 27 18 45
所以.
对应的参数为6.635.而，所以可判断赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)
①由题意可知销售额不少于30万元有27家，销售额不足30万元有18家.
按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，抽样比为，
所以应从销售额不少于30万元的企业抽取（家）；
从销售额不足30万元的企业抽取（家）；
②由题意进行数据分析可知：每天的销售额不足30万元，每天线上销售时间不少于8小时的企业有3家，线上销售时间少于8小时的企业有15家.
由①可知，从销售额不足30万元的企业抽取2家.所以X的可能取值为0，1，2.
则;;
.
所以X的分布列如下：
X 0 1 2
P
所以.
所以X的期望值为.
7．（2022·全国·模拟预测）2021年4月份以来新冠病毒变种“德尔塔”在全球肆虐，该病毒特征是传染性更强、更快、发病率高，某传染病研究所为研究新冠疫苗对新冠病毒变种“德尔塔”的有效性，在某疫区随机抽取100名居民，对其新冠疫苗接种情况和新冠病毒“德尔塔”感染情况进行调查与检测，对调查数据进行统计与分析得到列联表如下．
没有感染德尔塔病毒 感染德尔塔病毒 合计
未完成疫苗接种 15 63
完成疫苗接种 2
合计 50 100
(1)根据题意补充上述列联表，并判定是否有99%的把握认为完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”有效；
(2)从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层，用分层抽样方法抽取10个样本，再从这10个样本中随机抽取3人，这3人没有完成疫苗接种的人数为，求的分布列与数学期望．
附：．
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)表格见解析，有
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据题意补全列联表，根据公式计算的值，根据表中的数值，进行判断即可；
（2）求出随机变量的可能取值为0，1，2，3，根据概率的计算公式求出每个取值所对应的概率，列出分布列，求出数学期望值．
(1)
由题知，列联表为
没有感染德尔塔病毒 感染德尔塔病毒 合计
未完成疫苗接种 15 48 63
完成疫苗接种 35 2 37
合计 50 50 100
∴．
∵，
∴有99%的把握认为完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”有效．
(2)
由题知，从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层抽取的10人中，完成新冠疫苗接种的为7人，没有完成新冠疫苗接种的为3人，
∴的可能取值为0，1，2，3，
∴，，
，，
∴的分布列为
0 1 2 3
∴．
8．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））某中学对高一年级学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了120名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成如图所示的列联表．
良好以下 良好及以上 合计
男 40
女 10
合计 90 120
(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了6人．若从这6人中随机抽取2人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中，．
【答案】(1)有
(2)
【解析】
【分析】
（1）按照独立检验的公式填入相应的数据即可；
（2）古典概率问题可以用计数原理，也可以用枚举的方法求出基本事件即可.
(1)
由题中的数据补充列联表可得：
良好以下 良好及以上 合计
男 40 20 60
女 50 10 60
合计 90 30 120
，
故有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系．
(2)
所抽取的6名学生中女生2人，记为，，男生4人，记为，，，．
从这6人中选取2人的所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个．
其中至少有一名女生的基本事件有9个．所以，抽到的2人中至少有1名女生的概率；
9．（2022·重庆·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．数字人民币（试点版）App已上架各大安卓应用商店和苹果AppStore．在数字人民币APP（试点版）上线后，消费者体验的热情高涨．数据显示，数字人民币个人钱包开立速度明显加快．交易规模正在迅速扩大．为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构对数字人民币的体验者进行了满意度评分调查（满分为100分），最后该公司共收回400份评分表，然后从中随机抽取40份（男女各20份）作为样本，绘制了如下茎叶图：
(1)求40个样本数据的中位数，并说明男性与女性谁对数字人民币体验的满意度更高；
(2)如果评分不小于的为“满意”，评分小于的为“不满意”，根据所给数据，完成下面的列联表，判断是否有95%的把握认为“满意度”与“性别”有关？
是否满意 性别 满意 不满意 合计
女性
男性
合计
(3)若从样本中的男性体验者中，按对数字人民币满意度用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中抽取3人进行进一步调查，求被选中的3人中至少有2人对数字人民币不满意的概率．
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)中位数，女性满意度更高
(2)列联表见解析，有95%的把握认为“满意度”与“性别”有关
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据茎叶图求得中位数，并分析男性和女性的满意度.
（2）填写列联表，计算的值并作出判断.
（3）利用古典概型概率计算公式计算出所求概率.
(1)
根据茎叶图可知，中位数为.
根据茎叶图可知，女性评分大都在分，男性评分大都在分，所以女性满意度更高.
(2)
列联表如下：
是否满意 性别 满意 不满意 合计
女性
男性
合计
所以，
所以有95%的把握认为“满意度”与“性别”有关.
(3)
抽取的人中，有人满意、人不满意，
所以从这10人中抽取3人中至少有2人对数字人民币不满意的概率为.
10．（2022·全国·高三专题练习（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单.若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.
【答案】(1)，
(2)①，②答案见解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出所求的函数关系式；
（2）①根据频率直方图可求得派送量指标的平均数；
②先由频率直方图求出甲、乙两种方案的日薪的分布列，根据期望公式求得其数学期望，比较可得结论.
(1)
解：甲：，乙：，
故为 ，；
(2)
解：①读图可知,20个0.1,30个0.3,20个0.5,20个0.7,10个0.9，
故平均数；
②甲方案：X的分布列为：
X（日薪） 152 154 156 158 160
P(概率) 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
，
乙方案：X的分布列为：
X（日薪） 140 140 180 220 260
P（概率） 0.2 0.3 0.2 0.2 0.1
，
乙的期望更高，故选择乙方案.
11．（2022·北京八中高三开学考试）某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从以下两个条件中任选一个作答：当为何值时的值最大？（直接写出答案，不用写出解答过程.若选择多个条件作答，以第一个为准.）
①从所有参加考试的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数恰为3人的概率为；
②从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，；
(3)选①；选②；
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件，结合频率分布直方图的性质计算可得；
（2）由题意可推得，所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可求得分布列，再结合期望公式，即可求解．
（3）若选①则，当时直接求出概率，当时，由，解出不等式，即可求出的值；
若选②则，再根据得到不等式组，即可求出的值；
(1)
解：由频率分布直方图的性质可得，，解得；
(2)
解：，，的三组频率之比为，
从，，中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，则，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
故．
(3)
解：依题意等级的概率为，
若选①，则，当时，
当时则，即，解得，因为，所以，即当时，取得最大值；
若选②，依题意，所以，所以，即，即，解得，因为，所以；
12．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作一一强基计划．现某机构对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：
数学成绩 46 79 89 99 109 116 120 123 134 140
物理成绩 50 54 60 63 66 68 70 0 73 76 80
(1)由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩与数学成绩之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；
(2)在这次物理强基课程的测试中，剔除缺考考生的物理成绩后，剩余这10名学生物理成绩的统计数据如茎叶图所示．若采用分层抽样的方法从男生和女生中抽取5人，再从这5人中抽取3人参加学校组织的关于强基计划的访谈调查，求抽出的学生中恰好有一名女生的概率．
附：参考公式：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
参考数据：（剔除零分前）
1120 660 68586 122726
上表中的表示样本中第名考生的数学成绩，表示样本中第名考生的物理成绩．
【答案】(1)；；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定数据求出剔除异常数据后的及，利用最小二乘法计算并求出回归直线方程，并估计物理成绩.
(2)利用分层抽样求出被抽6人中男女生人数，再用列举法求解概率作答.
(1)
令出现异常数据的考生为第11名，
剔除异常数据后的数学平均分为，
剔除异常数据后的物理平均分为，
又因为，，
设根据剔除后数据建立的关于的回归直线方程为，
则有，
因此所求回归直线方程为，又物理缺考考生的数学成绩为120，
所以估计其可能取得的物理成绩为．
(2)
由茎叶图可知，男生有6人，女生有4人，采用分层抽样的方法抽取5人，
则男生应抽取3人，记这3名男生为；女生应抽取2人，记这2名女生为，
从这5人中随机抽取3人一共有10种，它们为：
，，
其中抽出的学生中恰好有一名女生包括6种情况，
所以所求事件的概率为．
13．（2022·江西九江·一模（文））温度传感器（集成温度传感器）是一种采用大规模数字集成电路技术的温度传感器，集成了温度传感电路和信号处理电路，可检测芯片温度和环境温度，具有低成本、低功耗、高精度和线性度强的优点，广泛用于环境、医疗、制造业、化工、能源、气象、仓储、冷藏、冰柜、恒温恒湿生产车间、办工场所等领域.下表是通过对某型号高精度温度传感器的芯片温度与输出电压进行初步统计得出的相关数据：
芯片温度
输出电压测量值
(1)已知输出电压与芯片温度之间存在线性相关关系，求出其线性回归方程；（精确到小数点后两位）
(2)已知输出电压实际观察值为，估计值（拟合值）为，以上述数据和（1）中的线性回归方程为依据，.若满足，则可判断该高精度温度传感器IC工作正常；若不满足，则可判断工作不正常.现某该型号温度传感器在芯片温度为时，其输出电压为，判断该温度传感器工作是否正常.
参考数据：，.
附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】(1)；
(2)工作不正常，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出、的值，利用最小二乘法公式结合参考数据求出、的值，可得出回归直线方程；
（2）计算出的值，以及当温度为时，输出电压的估计值，结合题中条件进行验证即可得结论.
(1)
解：由表得，，
，，
所以，输出电压与芯片温度之间线性回归方程为.
(2)
解：由（1）可得：时，，,
时，，，
时，，，
时，，，
时，，，
所以，，
当时，，
，
因此，该温度传感器工作不正常.
14．（2022·安徽合肥·高三期末（理））某地积极响应“大众创业，万众创新”的号召，规划建设创新小镇，吸引人才投资兴业.下
表是自创新小镇建设以来，各年新增企业数量的有关数据：
年份（年） 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码（） 1 2 3 4 5
新增企业数量（） 8 17 29 24 42
(1)为了解这些企业在2021年被认定的企业类型，随机调查了10家企业，其中被认定为小微企业的有8家，试估计这些企业在2021年被认定为小微企业的数量；
(2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2022年这个创新小镇新增企业的数量.
参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，.
【答案】(1)家；
(2)，估计2022年这个创新小镇新增企业的数量约为54家.
【解析】
【分析】
（1）由题可知估计总体中被认定为小微企业的概率为0.8，即求；
（2）利用线性回归直线公式即求.
(1)
在抽取的样本中，被认定为小微企业的频率为0.8，以此估计总体中被认定为小微企业的概率为0.8，
∵2016-2020年该创新小镇新增企业数共有120家，
∴估计2021年被认定为小微企业的共有家.
(2)
由表中数据计算得，，
，
，
，，
所以，
2022年，即当时，由线性回归方程可得，
所以，估计2022年这个创新小镇新增企业的数量约为54家.
15．（2022·全国·高三专题练习）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如表：
1 2 3 4
12 28 42 56
（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合与的回归模型，并用相关系数甲乙说明；
（Ⅲ）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？．
附注：参考数据：，，．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，．
【答案】（1）见解析（2）可以用线性回归模型拟合与的关系．（3）第5年的销售量约为71万件．
【解析】
【详解】
【试题分析】（1）依据题设条件中的表格中的数据作为坐标在平面直角坐标系中将点画出即为散点图；（2）先借助问题（1）中的散点图推断这些点位于一条直线的周围，再运用平均数公式求纵横坐标的平均数，进而运用公式求相关系数；（3）先借助（2）的结论求出线性回归方程中的，得到回归方程，再运用回归方程进行分析求解：
解：（Ⅰ）作出散点图如图：
（Ⅱ）由（Ⅰ）散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由题中所给表格及参考数据得：
，，，，，，，
．
∵与的相关系数近似为0.9996，说明与的线性相关程度相当大，
∴可以用线性回归模型拟合与的关系．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，，，，，
，，
故关于的回归直线方程为，
当时，，
所以第5年的销售量约为71万件．第33讲 统计
方法总结：
一、线性回归
线性回归是研究不具备确定的函数关系的两个变量之间的关系(相关关系)的方法。
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其回归方程的求法为
其中，，，(,)称为样本点的中心。
步骤：画散点图，如散点图中的点基本分布在一条直线附近，则这条直线叫这两个变量的回归直线，直线斜率k>0，称两个变量正相关；k<0，称两个变量负相关。
二、独立性
独立性检验是判断两个分类变量是否存在相关关系的案例分析方法。
步骤为列出22列联表(如表13-8所示)，求出，并判断：
A1 A2 合计
B1 a c a+c
B2 b d b+d
合计 a+b c+d n=a+b+c+d
若K2>10.828，有99.9%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若10.828K2>6.635，有99%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若6.635K2>3.841，有95%把握称“A取A1或A2”对“B取B1，B2”有关系；
若K23.841，没有把握称A与B相关。
典型例题：
例1．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周运动时间超过8小时”的人数为，求的分布列及数学期望.
例2．（2022·河北唐山·高三期末）某统计部门依据《中国统计年鉴——2017》提供的数据，对我国1997-2016年的国内生产总值（GDP）进行统计研究，作出了两张散点图：图1表示1997-2016年我国的国内生产总值（GDP），图2表示2007-2016年我国的国内生产总值（GDP）．
(1)用表示第i张图中的年份与GDP的线性相关系数，，依据散点图的特征分别写出的结果；
(2)分别用线性回归模型和指数回归模型对两张散点图进行回归拟合，分别计算出统计数据——相关指数的数值，部分结果如下表所示：
年份 1997-2016 2007-2016
线性回归模型 0.9306
指数回归模型 0.9899 0.978
①将上表中的数据补充完整（结果保留3位小数，直接写在答题卡上）；
②若估计2017年的GDP，结合数据说明采用哪张图中的哪种回归模型会更精准一些？若按此回归模型来估计，2020年的GDP能否突破100万亿元？事实上，2020年的GDP刚好突破了100万亿元，估计与事实是否吻合？结合散点图解释说明.
例3．（2022·重庆八中高三阶段练习）5G的到来给人们的生活带来颠覆性的变革，某科技创新公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该创新公司在第1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如表：
时间（月份） 1 2 3 4 5 6
收入（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0
根据以上数据绘制散点图，如图.
(1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司8月份的5G经济收入；
(3)从前6个月的收入中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为X，求X的分布列和数学期望.
参考数据：
3.50 21.15 2.85 17.50 125.35 6.73
其中设，
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，，.
例4．（2022·河北·模拟预测）主播代言 优惠促销 限时“秒杀”……目前，各类直播带货激起人们的消费热情，但也存在不少问题.日前，中国消费者协会发布了网络直播销售侵害消费者权益案例分析，归纳出虚假宣传 退换货难 诱导交易等七大类问题.某相关部门为不断净化直播带货环境，保护消费者合法权益，进行了调查问卷，随机抽取了200人的样本进行分析，得到列联表如下：
参加过直播带货 未参加过直播带货 总计
女性 90 30 120
男性 50 30 80
总计 140 60 200
(1)根据以上数据，判断是否有的把握认为是否参加直播带货与性别有关？
(2)将频率视为概率，从样本的女性中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记抽取的3人中“未参加过直播带货”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求随机变量X的分布列和均值.
附：，其中.
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
例5．（2022·全国·高三专题练习）2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站．某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛．该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造、根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下：
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 15 22 27 40 48 54 60 68.5 68 67.5 66 65
当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为．
(1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程
79.13 20.2
(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小．
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好，
例6．（2022·陕西·高新一中高三阶段练习（文））2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征2F遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜 刘伯明 汤洪波3名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的A型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将A型材料更好地投入商用，拟对A型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据统计如下表：建立了y与x的两个回归模型：模型①：，
模型②：；
序号 1 2 3 4 5 6 7
x 2 3 4 6 8 10 13
y 15 22 27 40 48 54 60
(1)根据表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小；
(2)据（2）选择拟合精度更高 更可靠的模型，预测对A型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益.
附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好..
回归模型 模型① 模型②
79.31 20.2
过关练习：
1．（2022·四川泸州·二模（理））某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品 二级品统称为优质品.
等级 四级品 三级品 二级品 一级品
脆红李横径/mm
经销商与某农户签订了脆红李收购协议，规定如下：从一箱脆红李中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱脆红李定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱脆红李也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱脆红李定为C类；其他情况均定为B类.已知每箱脆红李重量为10千克，A类 B类 C类的脆红李价格分别为每千克10元 8元 6元.现有两种装箱方案：方案一：将脆红李采用随机混装的方式装箱；方案二：将脆红李按一 二 三 四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.
(1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱脆红李被定为A类的概率；
(2)根据统计学知识判断，该农户采用哪种方案装箱收入更多，并说明理由.
2．（2022·山西·临县第一中学高三开学考试（文））某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
利率上升百分点 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
日均存款总额y（亿元） 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8
(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据（2）的线性回归方程，预测日存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？
参考公式及数据：①，，②，．
3．（2022·北京·北师大实验中学模拟预测）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.
4．（2022·湖北武汉·高三阶段练习）迎接冬季奥运会期间，某市对全体高中学生举行了一次关于冬季奥运会相关知识的测试.统计人员从全市高中学生中随机抽取200名学生的成绩作为样本进行统计，测试满分为100分，统计后发现所有学生的测试成绩都在区间内，并制成如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生的平均成绩；
(2)用样本频率估计总体，从全市高中学生中随机抽取2名学生，记成绩在区间内的人数为，成绩在区间内的人数为，记，比较与的大小关系.
5．（2022·河南·高三阶段练习（文））某地随着经济的发展，农民收入逐年增长，下表是该地一农商行连续五年的储蓄存款（年底余额）：
年份x 2017 2018 2019 2020 2021
储蓄存款y（百亿元） 6 7.5 8 9.5 11
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表：
时间代号t 1 2 3 4 5
z 0 1.5 2 3.5 5
(1)求z关于t的线性回归方程；
(2)通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2024年年底，该地储蓄存款额可达多少
附：对于线性回归方程，其中．
6．（2022·山东临沂·一模）2022年北京冬奥组委发布的《北京2022年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告（2022）》显示，北京冬奥会已签约45家赞助企业，冬奥会赞助成为一项跨度时间较长的营销方式.为了解该45家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对45家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有20家，余下的企业中，每天的销售额不足30万元的企业占，统计后得到如下列联表：
销售额不少于30万元 销售额不足30万元 合计
线上销售时间不少于8小时 17 20
线上销售时间不足8小时
合计 45
(1)请完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关；
(2)①按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取5家企业，求销售额不少于30万元和销售额不足30万元的企业数；
②在①条件下，抽取销售额不足30万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于8小时的企业数是X，求X的分布列及期望值.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，其中.
7．（2022·全国·模拟预测）2021年4月份以来新冠病毒变种“德尔塔”在全球肆虐，该病毒特征是传染性更强、更快、发病率高，某传染病研究所为研究新冠疫苗对新冠病毒变种“德尔塔”的有效性，在某疫区随机抽取100名居民，对其新冠疫苗接种情况和新冠病毒“德尔塔”感染情况进行调查与检测，对调查数据进行统计与分析得到列联表如下．
没有感染德尔塔病毒 感染德尔塔病毒 合计
未完成疫苗接种 15 63
完成疫苗接种 2
合计 50 100
(1)根据题意补充上述列联表，并判定是否有99%的把握认为完成新冠疫苗接种对应对新冠变种“德尔塔”有效；
(2)从样本中没有感染新冠德尔塔病毒样本中按是否完成疫苗接种分层，用分层抽样方法抽取10个样本，再从这10个样本中随机抽取3人，这3人没有完成疫苗接种的人数为，求的分布列与数学期望．
附：．
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
8．（2022·四川·眉山市彭山区第一中学模拟预测（文））某中学对高一年级学生进行体质测试（简称体测），随机抽取了120名学生的体测结果等级（“良好以下”或“良好及以上”）进行统计，并制成如图所示的列联表．
良好以下 良好及以上 合计
男 40
女 10
合计 90 120
(1)将列联表补充完整；计算并判断是否有95%的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；
(2)事先在本次体测等级为“良好及以上”的学生中按照性别采用分层抽样的方式随机抽取了6人．若从这6人中随机抽取2人对其体测指标进行进一步研究，求抽到的2人中至少有1名女生的概率．
附表及公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
其中，．
9．（2022·重庆·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．数字人民币（试点版）App已上架各大安卓应用商店和苹果AppStore．在数字人民币APP（试点版）上线后，消费者体验的热情高涨．数据显示，数字人民币个人钱包开立速度明显加快．交易规模正在迅速扩大．为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构对数字人民币的体验者进行了满意度评分调查（满分为100分），最后该公司共收回400份评分表，然后从中随机抽取40份（男女各20份）作为样本，绘制了如下茎叶图：
(1)求40个样本数据的中位数，并说明男性与女性谁对数字人民币体验的满意度更高；
(2)如果评分不小于的为“满意”，评分小于的为“不满意”，根据所给数据，完成下面的列联表，判断是否有95%的把握认为“满意度”与“性别”有关？
是否满意 性别 满意 不满意 合计
女性
男性
合计
(3)若从样本中的男性体验者中，按对数字人民币满意度用分层抽样的方法抽取10人，然后从这10人中抽取3人进行进一步调查，求被选中的3人中至少有2人对数字人民币不满意的概率．
附：．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
10．（2022·全国·高三专题练习（理））小明在某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前54单没有奖励，超过54单的部分每单奖励20元.
(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；
(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在时，日平均派送量为单.若将频率视为概率，回答下列问题：
①估计这100天中的派送量指标的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) ；
②根据以上数据，设每名派送员的日薪为（单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪的分布列及数学期望. 请利用数学期望帮助小明分析他选择哪种薪酬方案比较合适？并说明你的理由.
11．（2022·北京八中高三开学考试）某地区期末进行了统一考试，为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在的为等级，成绩在的为等级，其它为等级.以样本估计总体，用频率代替概率.从以下两个条件中任选一个作答：当为何值时的值最大？（直接写出答案，不用写出解答过程.若选择多个条件作答，以第一个为准.）
①从所有参加考试的同学中随机抽取人，其中获得等级的人数恰为3人的概率为；
②从所有参加考试的同学中随机抽取10人，其中获得等级的人数恰为人的概率为.
12．（2022·贵州贵阳·高三期末（文））为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作一一强基计划．现某机构对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，某机构为研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系，从一次考试中随机抽取11名考生的数据，统计如下表：
数学成绩 46 79 89 99 109 116 120 123 134 140
物理成绩 50 54 60 63 66 68 70 0 73 76 80
(1)由表中数据可知，有一位考生因物理缺考导致数据出现异常，剔除该组数据后发现，考生物理成绩与数学成绩之间具有线性相关关系，请根据这10组数据建立关于的回归直线方程，并估计缺考考生如果参加物理考试可能取得的成绩；
(2)在这次物理强基课程的测试中，剔除缺考考生的物理成绩后，剩余这10名学生物理成绩的统计数据如茎叶图所示．若采用分层抽样的方法从男生和女生中抽取5人，再从这5人中抽取3人参加学校组织的关于强基计划的访谈调查，求抽出的学生中恰好有一名女生的概率．
附：参考公式：对于一组数据其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
参考数据：（剔除零分前）
1120 660 68586 122726
上表中的表示样本中第名考生的数学成绩，表示样本中第名考生的物理成绩．
13．（2022·江西九江·一模（文））温度传感器（集成温度传感器）是一种采用大规模数字集成电路技术的温度传感器，集成了温度传感电路和信号处理电路，可检测芯片温度和环境温度，具有低成本、低功耗、高精度和线性度强的优点，广泛用于环境、医疗、制造业、化工、能源、气象、仓储、冷藏、冰柜、恒温恒湿生产车间、办工场所等领域.下表是通过对某型号高精度温度传感器的芯片温度与输出电压进行初步统计得出的相关数据：
芯片温度
输出电压测量值
(1)已知输出电压与芯片温度之间存在线性相关关系，求出其线性回归方程；（精确到小数点后两位）
(2)已知输出电压实际观察值为，估计值（拟合值）为，以上述数据和（1）中的线性回归方程为依据，.若满足，则可判断该高精度温度传感器IC工作正常；若不满足，则可判断工作不正常.现某该型号温度传感器在芯片温度为时，其输出电压为，判断该温度传感器工作是否正常.
参考数据：，.
附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
14．（2022·安徽合肥·高三期末（理））某地积极响应“大众创业，万众创新”的号召，规划建设创新小镇，吸引人才投资兴业.下
表是自创新小镇建设以来，各年新增企业数量的有关数据：
年份（年） 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码（） 1 2 3 4 5
新增企业数量（） 8 17 29 24 42
(1)为了解这些企业在2021年被认定的企业类型，随机调查了10家企业，其中被认定为小微企业的有8家，试估计这些企业在2021年被认定为小微企业的数量；
(2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并预测2022年这个创新小镇新增企业的数量.
参考公式：回归方程中，斜率和截距最小二乘法估计公式分别为，.
15．（2022·全国·高三专题练习）某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量（单位：万件）之间的关系如表：
1 2 3 4
12 28 42 56
（Ⅰ）在图中画出表中数据的散点图；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的散点图拟合与的回归模型，并用相关系数甲乙说明；
（Ⅲ）建立关于的回归方程，预测第5年的销售量约为多少？．
附注：参考数据：，，．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，．第34讲 离散型随机变量分布列与期望
方法总结：
1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：
（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.
（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布
2、常见的分布
（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：
则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率
（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中
即：
则称随机变量服从超几何分布
（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即：
则称随机变量符合二项分布，记为
3、期望：已知离散性随机变量的分布列为：
则称的值为的期望，记为
（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。
（2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有
① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：
则的分布列为：
② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。
4、方差：已知离散性随机变量的分布列为：
且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：
（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）
（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则
（3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：
5、常见分布的期望与方差：
（1）两点分布：则
（2）二项分布：若，则
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒 保质保量”成为口罩生产线上的重要标语
.
(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序.已知批次A的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，.求批次A成品口罩的次品率.
(2)已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率.某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如条形图所示；求出，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
【答案】(1)
(2)，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
【解析】
【分析】
（1）根据对立事件的概率的求法，可得批次成品口罩的次品率为，代入数据计算即可；
(2) 由题意可得，求出导数，得出函数的单调区间，从得出的值.再列出列联表，再由公式求出，再与临界值比较，得出结论.
(1)
批次成品口罩的次品率为；
(2)
100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为，
所以，
令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以的最大值点为，
由条形图可建立列联表如下：
核酸检测结果 口罩批次 合计
呈阳性 12 3 15
呈阴性 28 57 85
合计 40 60 100
则，
因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关.
例2．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
【答案】(1)员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等
(2)应选择第二种方案；理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；
(2)根据题意可知有两种方案、，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论.
(1)
用X表示员工所获得的奖励额．
因为，，
所以，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等．
(2)
第一种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
40 120 200
P
所以的数学期望为，
的方差为；
第二种方案为，
设员工所获得的奖励额为，则的分布列为
80 120 160
P
所以的数学期望为，
的方差为，
又因为（元），
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
例3．（2022·全国·高三专题练习）年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作，记作，记作，记作，例如：，记作时刻.
(1)估计这辆车在时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列；
(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为）.假如日上午这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：；若随机变量服从正态分布，则，，.
【答案】(1)64
(2)答案见解析
(3)819
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图即能求出这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值．
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，求出其结果为4，从而的可能的取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．
（3）求出，，估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，由，，即能估计在之间通过的车辆数．
(1)
这600辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
．
(2)
由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，
在前通过的车辆数就是位于时间分组，这一区间内的车辆数，
即，
所以的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
(3)
由（1）得，
由已知，所以，
估计在之间通过的车辆数也就是在，通过的车辆数，
由，得：
，
所以估计在在之间通过的车辆数为．
例4．（2022·河南驻马店·高三期末（理））2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A，B，C的10人中选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门A，B，C可选派的人数分别为3，3，4，且每个人被选派的可能性一样.
(1)求选派的4人中至少有1人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A，B，C的人数分别为x，y，z，记x，y，z中最大的数为X，求X的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D，求出，进而由对立事件的性质得出事件的概率；
（2）先得出X的所有可能取值，并求出其概率，列出分布列，计算数学期望.
(1)
记“选派的4人中至少有1人来自部门C”为事件D.
则，故.
(2)
由题意可知X的所有可能取值为2，3，4.
，
，
，
则X的分布列为
X 2 3 4
P
故.
例5．（2022·广东高州·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；
（2）由题意知可能值为，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望.
(1)
由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为.
(2)
由题意，甲同学的累计得分可能值为，
；；
；；；
分布列如下：
0 50 100 150 200
所以期望.
例6．（2022·福建三明·高三期末）为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
【答案】(1)819名；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先通过正态分布求出1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的概率，进而求出估计的人数；
（2）根据题意，先求出两种方案摸奖所得奖金的期望，进而比较两个方案奖金期望的大小，然后选择较大的期望即可.
(1)
由题知，，，所以
，所以1000位植树者中植树的棵数在（15，25）内的人数估计为人.
(2)
甲箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，50，100，
且，，，，
则，
所以甲箱中三次摸奖所得奖金的期望为，.
乙箱内一次摸奖，奖金的所有可能值为0，150，
且，
所以乙箱中两次摸奖所得奖金的期望为．
所以，当时，，建议该职工选择方案二；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一；
当时，，建议该职工选择方案一.
例7．（2022·江西九江·一模（理））非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
【答案】(1)；
(2)该同学没有希望进入决赛.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，分类讨论所有可能的情况，再求其概率之和即可；
（2）由题可得，先计算强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率的最大值，再根据5轮比赛中获得“巧手奖”的次数服从二项分布，估算，结合题意即可判断.
(1)
由题可知，所有可能的情况有：
①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率，
②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率，
③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率，
故所求的概率．
(2)
设强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：
∵，且，也即，即
故可得：，，
，
∴，
令，则在上单调递减，
∴．
∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数，
∴，故该同学没有希望进入决赛．
【点睛】
本题考察概率的求解以及二项分布、解决问题的关键是求得某一轮获得“巧手奖”的概率的范围，再估算5轮比赛中获得“巧手奖”的次数的数学期望，涉及函数值域问题，范围问题，属综合困难题.
例8．（2022·河南焦作·一模（理））某科技公司有甲 乙 丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为，，.现安排甲组和乙组研发新产品A，丙组研发新产品B，设每个小组研发成功与否相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品A就研发成功.
(1)求新产品A，B均研发成功的概率.
(2)若新产品A研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产品B研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元.求该公司研发A，B两种新产品可获总利润（单位：万元）的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】
【分析】
（1）设新产品研发成功为事件，根据对立事件的概率求，再由相互独立事件同时发生的概率公式求解；
（2）写出离散型随机变量的可能取值，求对应概率得到分布列求期望即可.
(1)
设新产品研发成功为事件，新产品研发成功为事件.
则，，
所以.
(2)
设该公司研发，两种新产品可获总利润为随机变量，
则的可能取值为0，120，180，300.
；；；
.
所以的分布列如下：
0 120 180 300
则数学期望.
例9．（2022·全国·高三专题练习）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据独立重复事件的概率公式，结合条件概率的计算公式进行求解即可；
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3，求出每种可能性的概率，列出分布列，根据数学期望公式进行运算求解即可.
【详解】
解：（1）进入第二轮的概率为，
与比赛，获胜，与比赛，获胜，且与比赛，获胜，
其概率为，
故在进入第二轮的前提下，最终获得冠军的概率．
（2）参加比赛获胜的局数的取值有0，1，2，3．
，
，
，
．
的分布列为：
0 1 2 3
．
【点睛】
关键点睛：根据条件概率的运算公式、认真阅读题干理解题意是解题的关键
过关练习：
1．（2022·全国·高三开学考试（理））某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草 翻地 播种 浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；
(2)记该小组得分为X，求X的期望.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.
根据超几何分布原理分别求得，，直接利用条件概率的计算公式即可求得；
（2）设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，求出Y的分布列和数学期望，由即可求出.
(1)
设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B.
根据超几何分布原理得：，
有条件概率的计算公式得：
所以，在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为；
(2)
根据题意女生参加劳动学习可获得：（分）；
男生参加劳动学习可获得：（分）.
设恰有Y人女生参加劳动学习，则男生2-Y人参加劳动学习，则
；；.
所以Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
则有：.
又，
∴.
2．（2022·河北·模拟预测）近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲 乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若有位车主，记总得分恰好为n分的概率为，求数列的通项公式；
(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：；
(2)；
(3)这方案不合理，分析答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.分别求得随机变量取每一值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；
（2）依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得，概率为，即有，由此可求得答案；
（3）由（2）求得，，比较可得结论.
(1)
解：由题意可知，随机变量X的可能取值有3，4，5，6.
，，，.
∴随机变量X的分布列如下表所示：
X 3 4 5 6
P
∴.
(2)
解：依题意，总得分恰好为n分时，得不到n分的情况是先得（）分，再得2分，概率为，
∴，即.
又，，∴，即.
(3)
解：因为，，∴，
∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.
3．（2022·全国·模拟预测）为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．
消费金额（千元）
人数 30 50 60 20 30 10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样分别求出消费金额为和抽取的人数，求出随机变量的可能取值，分别求出相应概率，进而求得分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）求出，的值，结合正态分布求出概率；
（ⅱ）由（ⅰ）求出二项分布的分布列及方差.
(1)
解：由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，
设消费金额为的人数为，则，
所以，，，
的分布列为
1 2 3
则；
(2)
解：（ⅰ）由题意得
，
所以，
所以；
（ⅱ）由题意及（ⅰ）得，
所以，，
，，
，
的分布列为
0 1 2 3 4
．
4．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周运动时间超过8小时”的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)140人，分位数为，方差为6.16；
(2)分布列见解析，.
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图及分层抽样，可求出样本数据中女生人数及样本数据的85%分位数与方差；
（2）利用分层抽样可计算出“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人，所以的可能的取值为0，1，2，利用超几何分布可求得的分布列及数学期望.
(1)
依题意，样本数据中女生人数为.
因为样本数据中在8小时以下的学生人数所占比例为，
则85%分位数为.
平均数为，
所以样本数据的方差为
，
所以样本数据中女生人数为140，样本数据的85%分位数为，方差为6.16.
(2)
用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“每周运动时间超过8小时”的有4人，“每周运动时间不超过8小时”的有16人.
由题意知，的可能取值为0，1，2，
且；；，
所以的分布列为
0 1 2
所以.
5．（2022·江苏高邮·高三开学考试）为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付费多的概率；
(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)0.32
(2)分布列见解析，1.6
【解析】
【分析】
（1）用合适的字母表达每个事件，并按照题意搞清楚事件之间的关系以及每个事件的概率即可;
(2)求分布列和数学期望就是要搞清楚随机变量的可能取值范围，以及每个值都是由那些事件构成的.
(1)
根据题意，记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件，，
它们彼此互斥，且，，，
同理，记“乙付费为0元、1元、2元”为事件，，
它们彼此互斥，且，，，
由题知，事件，，与事件，，
相互独立记，甲比乙付费多为事件M，则有：
可得：
故：甲比乙付费多的概率为：0.32；
(2)
由题知，的可能取值为：0，1，2，3，4
则有：，
，
，
，
；
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
P 0.2 0.28 0.3 0.16 0.06
的数学期望：，
故答案为：0.32，1.6.
,
6．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】(1)甲进入决赛可能性最大
(2)
(3)分布列见解析
【解析】
【分析】
（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；
（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，列方程求解；
（3）先确定进入决赛的人数为的取值，依次求出每一个值所对应的概率，列表即可.
(1)
甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：
乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：
∵，∴，
∴
∴甲进入决赛可能性最大．
(2)
整理得，解得或，
又∵，∴；
(3)
由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，
进入决赛的人数为可能取值为， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列为
0 1 2 3
P
7．（2022·全国·模拟预测）自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）．
名教育工作者答卷得分频数分布表
分组 频数
合计
(1)若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；
(2)若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布列和数学期望和方差．
参考数据：，，，．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，，
【解析】
【分析】
（1）首先根据频数分布表求样本数据的平均数和方差，然后利用正态分布的对称性和原则求得概率；
（2）先求出在一次试验中事件发生的概率，确定的所有可能取值，利用独立重复试验的概率公式分别求出每个取值的概率，从而得到分布列，最后利用二项分布的数学期望和方差公式求解．
(1)
解：由频数分布表可知，，
，
所以，，所以．
因为，则，，
所以，
.
(2)
解：从这名教育工作者中任意选取一名，其答卷得分不低于分且低于分的概率为．
由题意知，，则，，
，，
所以的分布列为
Y
P
所以，.
8．（2022·全国·高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．
（1）设为这78名密切接触者中被感染的人数，求的数学期望；
（2）核酸检测并不是准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为），特异度为（即假阳性率为）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由服从二项分布可得答案；
（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，
由题意，，，计算出可得答案.
【详解】
（1）为这78名密切接触者中被感染的人数，
可取0，1，2，，78，，
所以.
（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，
由题意，，，所以
，
，
王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为.
9．（2022·全国·模拟预测）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；
(2)乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利？并说明理由.
【答案】(1)；
(2)乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)采用方案一，得分不低于60分，则至少回答正确两道填空题，根据每次回答问题的独立性即可求；
(2)分别计算出采用方案一时得分的数学期望和采用方案二时得分的数学期望，比较两个数学期望即可判断该选择哪一种方案更加有利.
(1)
甲同学采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题，
∴其概率；
(2)
乙同学选择方案二参加比赛更加有利，理由如下：
若采用方案一，则其得分X的可能取值为0，30，60，90，
∴；；
；，
∴X的分布列为
X 0 30 60 90
P
∴X的数学期望；
若采用方案二，则其得分Y的可能为取值为0，20，30，50，60，90，
∴；；
；；
；，
∴Y的分布列为
Y 0 20 30 50 60 90
P
∴Y的数学期望，
∵，
∴乙同学选择方案二参加比赛更加有利.
10．（2022·全国·高三专题练习）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)最有可能是1人，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由独立重复事件的概率公式求解即可；
（2）先写出X的可能取值，再求出每个值的概率即可求解；
（3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数可能的取值为、、，分别求出相应的概率，比较、、的大小关系，由此可得出结论.
(1)
5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为；
(2)
X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
；；．
所以分布列为：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
(3)
设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则有：
，
，
，
因为，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
11．（2022·全国·模拟预测）在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.
(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为万元，求的分布列；
(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)根据题意确定随机变量的所有可能取值，再求出每个取值对应事件的概率并列出分布列即可；
(2)由条件知指导方案共有三种：对两家企业均进行精准指导；对甲企业精准指导、对乙企业综合指导；对甲企业综合指导、对乙企业精准指导，然后求出每种方案增加的总收入的数学期望，比较它们大小即可.
(1)
由题意知可能取值为300，400，500，600，
则，，
，，
∴当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时，两家企业增加的总收入的分布列为
300 400 500 600
0.14 0.56 0.06 0.24
(2)
指导方案1：对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为万元，则可能取值为200，300，400，
且，，
，(万元)；
指导方案2：对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导.
由(1)得(万元)；
指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.
设两家企业增加的总收入为，则的可能取值为300，400，500，600，
且，，
，，
(万元).
∵，
∴指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.
12．（2022·全国·模拟预测）为了开展中学生阳光体育运动，某校组织学生全员参与，并印制了“运动增智”校园纪念卡鼓励学生，该系列纪念卡背面分别标注不同数字1，2，3.每名同学每天自主选择“球操”和“啦啦操”中项进行运动.运动结束后将随机等可能地获得一张校园纪念卡.
(1)学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字之和记为X，求；
(2)通过数据统计发现：运动开展首日有的学生选择“球操”，其余学生选择“啦啦操”；在前一天选择“球操”的学生中，次日会有的学生继续选择“球操”，其余选择“啦啦操”；在前一天选择“啦啦操”的学生中，次日会有的学生继续选择“啦啦操”，其余学生选择“球操”，用频率近似估计概率，记某学生运动第n天选择“球操”的概率为，求.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先确定X的所有可能取值，利用古典概型求出每个X取值对应的概率，再求出；
（2）利用递推关系求出与之间的关系，构造等比数列，再求出.
(1)
由题知，学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字共有种等可能结果，X的所有可能取值为3，4，5，6，7，8，9，
数学之和为3的仅有种，；
数字之和为4的有，，3种，；
数字之和为5的有，，，，，6种，；
数字之和为6的有，，，，，，7种，；
数字之和为7的有，，，，，6种，；
数字之和为8的有，，3种，；
数字之和为9的有1种，，
∴.
答：学生小明前三天获得的校园纪念卡背面数字之和X的数学期望为6.
(2)
由题知，，
，
∴，又，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴，即.
13．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．为弘扬“女排精神”，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一方先胜三局则比赛结束．假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立，每局比赛乙班获胜的概率为．
(1)若前两局已战成平局，求还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜的概率；
(2)如果比赛的赛制有“五局三胜”制和“三局两胜”制，对于乙班来说，如何选择比赛赛制对自己获胜更有利，请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利；理由见解析
【解析】
【分析】
(1)根据独立事件的概率乘法公式直接计算即可；
(2)根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接计算即可
(1)
记为事件“第i局乙胜”，为事件“第i局乙输”，，
为事件“还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜”，则，
故．
(2)
记为事件““三局两胜”制下乙班获胜”，为事件““五局三胜”制下乙班获胜”，
则（2局获胜）（3局获胜），
（3局获胜）（4局获胜）（5局获胜），
由于，
故乙班选择“三局两胜”制对自己获胜更有利．
14．（2022·全国·模拟预测）某科研小组开发了A，B两系列的水稻种子，其中A系列水稻种子包含5个品种，B系列水稻种子包含7个品种，现从12个品种中任选4个品种进行试验，设随机变量X表示其中A系列中被选中的品种数量．
(1)求X的分布列和期望；
(2)现从A，B两个系列中各选定一个品种进行对照试验，根据试验数据得，在相同条件下，A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的概率为，记5次试验中A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的次数为Y．
（ⅰ）求；
（ⅱ）记表示A系列种子每穗的水稻重量，由经验可得，求．
（若X服从正态分布，则，，）
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）0.8185
【解析】
【分析】
（1）根据分布列的定义求X的分布列，再求期望；（2）（ⅰ）根据二项分布的概率公式求解；（ⅱ）利用正态密度曲线求概率．
(1)
由已知X的取值有0，1，2，3，4，
，，
，，
，
∴X的分布列如下
X 0 1 2 3 4
P
∴．
(2)
（ⅰ）由已知可得，
∴．
（ⅱ）．
15．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？
【答案】(1)；
(2)元.
【解析】
【分析】
（1）根据二项分布和独立事件概率公式可表示出所求概率，代入即可得到结果；
（2）分别求得评审费用所有可能取值对应的概率，可得，利用导数可求得的最大值，由此可确定结果.
(1)
设每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”为事件，
则，
，；
(2)
设每篇文章的评审费用为元，则的可能取值为，，
则，；
.
令，，则.
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
的最大值为，每篇论文平均评审费用的最大值是元.
16．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））某省在新高考改革中，拟采取“3+1+2”的考试模式，其中“2”是指考生从政治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考生原始成绩（满分100分）从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，30%，35%，15%，5%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到，，，，五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为100分.具体如下表：
等级
比例 15% 30% 35% 15% 5%
赋分区间
转换公式：，其中，分别表示某个等级所对应原始分区间的下限和上限，，分别表示相应等级的等级分区间的下限和上限，表示某等级内某生的原始分，表示相应等级内该考生的等级分（需四舍五入取整）.例如某学生的政治考试原始成绩为60分，成绩等级为C级，原始分区间为，等级分区间为，设该学生的等级分为，根据公式得：，所以.已知某学校高二年级学生有200人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等级赋分规则转换本年级的政治等级分，其中所有获得等级的学生原始分区间，其成绩统计如下表：
原始分 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82
人数 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 3 4 5
(1)已知某同学政治原始成绩为91分，求其转换后的等级分；
(2)从政治的等级分不小于95分的学生中任取3名，设这3名学生中等级分不小于97分人数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)97分
(2)分布列见解析，
【解析】
(1)
该同学政治原始成绩为91分，在区间上，赋分区间为，
故转换后的等级分为,解得分，
(2)
设等级分为95分对应的原始分为，
由题意得，解得分，
设等级分为97分对应的原始分为，
由题意得，解得分，
即政治的等级分不小于95分的学生有8人，政治等级分不小于97分人数为3人，
则的取值可以为0,1,2,3，
,
,
,
,
则的分布列为
0 1 2 3
其期望为.
17．（2022·安徽·高三开学考试（理））为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．
(1)求a的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；
(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在与的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
【答案】(1)，（元）．
(2)分布列见解析，1
【解析】
【分析】
(1)直方图的面积为1，故可以求解a；
（2）根据计数原理，可以求出X每一个可能值的概率.
(1)
由题意得，，解得，
故所求平均数为（元）；
(2)
由题意得，消费在，的高中女生分别有3人和6人，故X的可能取值为0，1，2，3，
∴，，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴；
故答案为：1.
18．（2022·广东深圳·一模）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)
【解析】
【分析】
（1）先得出随机变量X可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；
（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率．
(1)
由题意得，随机变量X可取的值为1，2，3，
易知，，所以，
则随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3
P 0.3 0.6 0.1
所以
(2)
由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，
记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，
若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；
若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，
则；
若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，
有“”、“”的情形，则；
记“参与者能够领取纪念品”为事件A，则
．
19．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为，.
(1)若，，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；
(2)若，且在前n轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n的最小值是多少？并求此时的，的值.
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号的概率；
（2）求得第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为，根据题意得到，令，得到，结合二次函数的性质和二项分布的性质，即可求解.
(1)
解：由题意，在“第一轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号”为事件A，
则.
(2)
解：他们在第一轮游戏中获得“最佳拍档”称号的概率为
，
由于，，因此，故，
令，则，
当时，可得，
甲乙两人小组前n轮游戏中获得“最佳拍档”称号的次数，
由，知.
所以n的最小值是，此时.
20．（2022·全国·模拟预测）党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式求出；
（2）根据二项分布的概率公式求得的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.
(1)
某人第次来购买产品的概率为,即；
(2)
由题意得，其中的可能取值有，，，，
故，，，；
故的分布列为
的数学期望为
．第34讲 离散型随机变量分布列与期望
方法总结：
1、如何分辨随机变量分布列是否符合特殊分布：
（1）随机变量的取值：随机变量的取值要与特殊分布中的取值完全一致.
（2）每个特殊的分布都有一个试验背景，在满足（1）的前提下可通过该试验的特征判断是否符合某分布
2、常见的分布
（1）两点分布：一项试验有两个结果，其中事件发生的概率为，令，则的分布列为：
则称符合两点分布（也称伯努利分布），其中称为成功概率
（2）超几何分布：在含有个特殊元素的个元素中，不放回的任取件，其中含有特殊元素的个数记为，则有，其中
即：
则称随机变量服从超几何分布
（3）二项分布：在次独立重复试验中，事件发生的概率为，设在次试验中事件发生的次数为随机变量，则有 ，即：
则称随机变量符合二项分布，记为
3、期望：已知离散性随机变量的分布列为：
则称的值为的期望，记为
（1）期望反映了随机变量取值的平均水平，换句话说，是做了次这样的试验，每次试验随机变量会取一个值（即结果所对应的数），将这些数进行统计，并计算平均数，当足够大时，平均数无限接近一个确定的数，这个数即为该随机变量的期望。
（2）期望的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有
① 是指随机变量取值存在对应关系，且具备对应关系的一组代表事件的概率相同：若的分布列为：
则的分布列为：
② 这个公式体现出通过随机变量的线性关系，可得期望之间的联系。
4、方差：已知离散性随机变量的分布列为：
且记随机变量的期望为，用表示的方差，则有：
（1）方差体现了随机变量取值的分散程度，方差大说明这些数分布的比较分散，方差小说明这些数分布的较为集中（集中在期望值周围）
（2）在计算方差时，除了可以用定义式之外，还可以用以下等式进行计算：设随机变量为 ，则
（3）方差的运算法则：若两个随机变量存在线性对应关系：，则有：
5、常见分布的期望与方差：
（1）两点分布：则
（2）二项分布：若，则
典型例题：
例1．（2022·全国·高三专题练习）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒 保质保量”成为口罩生产线上的重要标语
.
(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序.已知批次A的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，.求批次A成品口罩的次品率.
(2)已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率.某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如条形图所示；求出，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
例2．（2022·山东·青岛二中高三开学考试）某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
例3．（2022·全国·高三专题练习）年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段记作，记作，记作，记作，例如：，记作时刻.
(1)估计这辆车在时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这辆车中抽取辆，再从这辆车中随机抽取辆，设抽到的辆车中，在之间通过的车辆数为，求的分布列；
(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻服从正态分布，其中可用日数据中的辆车在之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（经计算样本方差为）.假如日上午这一时间段内共有辆车通过该收费站点，估计在之间通过的车辆数（结果保留到整数）
附：；若随机变量服从正态分布，则，，.
例4．（2022·河南驻马店·高三期末（理））2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京召开，充分肯定了脱贫攻坚取得的重大历史性成就，习近平总书记在大会上深刻阐述了伟大脱贫攻坚精神，并对巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴提出了明确的要求，为了更高效地推进乡村振兴，某市直单位欲从部门A，B，C的10人中选派4人与其下辖的乡镇甲对接相关业务，其中部门A，B，C可选派的人数分别为3，3，4，且每个人被选派的可能性一样.
(1)求选派的4人中至少有1人来自部门C的概率；
(2)选派的4人中来自部门A，B，C的人数分别为x，y，z，记x，y，z中最大的数为X，求X的分布列和数学期望.
例5．（2022·广东高州·二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
例6．（2022·福建三明·高三期末）为树立和践行“绿水青山就是金山银山”的理念，三明市某公司将于2022年3月12日开展植树活动，为提高职工的积极性，活动期间将设置抽奖环节，具体方案为：根据植树的棵数可以选择在甲箱或乙箱中摸奖，每箱内各有除颜色外完全相同的10个球，甲箱内有红、黄、黑三种颜色的球，其中a个红球、b个黄球、5个黑球（），乙箱内有6个红球、4个黄球．若在甲箱内摸球，则每次摸出一个球后放回原箱，摸得红球奖100元，摸得黄球奖50元，摸得黑球则没有奖金；若在乙箱内摸球，则每次摸出两球后放回原箱，两球均为红球奖150元，否则没有奖金．
(1)据统计，每人的植树棵数X服从正态分布N（15，25），现有1000位植树者，请估计植树的棵数X在区间（10，25）内的人数（结果四舍五入取整数）；
(2)根据植树的棵数，某职工可选择以下两种方案摸奖，方案一：三次甲箱内摸奖机会；方案二：两次乙箱内摸奖机会．请根据奖金的数学期望分析该职工如何选择摸奖方案．
附参考数据：若，则，．
例7．（2022·江西九江·一模（理））非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重要组成部分．瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录．由于瑞昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．
(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；
(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了，以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？
例8．（2022·河南焦作·一模（理））某科技公司有甲 乙 丙三个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为，，.现安排甲组和乙组研发新产品A，丙组研发新产品B，设每个小组研发成功与否相互独立，且当甲组和乙组至少有一组研发成功时，新产品A就研发成功.
(1)求新产品A，B均研发成功的概率.
(2)若新产品A研发成功，预计该公司可获利润180万元，否则利润为0万元；若新产品B研发成功，预计该公司可获利润120万元，否则利润为0万元.求该公司研发A，B两种新产品可获总利润（单位：万元）的分布列和数学期望.
例9．（2022·全国·高三专题练习）国际比赛赛制常见的有两种，一种是单败制，一种是双败制．单败制即每场比赛的失败者直接淘汰，常见的有等等．表示双方进行一局比赛，获胜者晋级．表示双方最多进行三局比赛，若连胜两局，则直接晋级；若前两局两人各胜一局，则需要进行第三局决胜负．现在四人进行乒乓球比赛，比赛赛制采用单败制，A与B一组，C与D一组，第一轮两组分别进行，胜者晋级，败者淘汰；第二轮由上轮的胜者进行，胜者为冠军．已知A与比赛，A的胜率分别为；B与比赛，B的胜率分别；C与D比赛，C的胜率为．任意两局比赛之间均相互独立．
（1）在C进入第二轮的前提下，求A最终获得冠军的概率；
（2）记A参加比赛获胜的局数为X，求X的分布列与数学期望．
过关练习：
1．（2022·全国·高三开学考试（理））某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草 翻地 播种 浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：
(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；
(2)记该小组得分为X，求X的期望.
2．（2022·河北·模拟预测）近年来，新能源汽车产业大规模发展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到多位消费者质疑其电池产品质量，汽车厂家提供甲 乙两家第三方检测机构对产品进行质量检测，邀请多位车主进行选择，每位车主只能挑选一家.若选择甲机构记1分，若选择乙机构记2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.
(1)若参加的车主有3人，记总得分为X，求X的分布列与数学期望；
(2)若有位车主，记总得分恰好为n分的概率为，求数列的通项公式；
(3)在（2）的条件下，汽车厂商决定总得分为99分或100分时就停止计分，若总得为99分就选甲机构，总得分为100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.
3．（2022·全国·模拟预测）为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．
消费金额（千元）
人数 30 50 60 20 30 10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．
4．（2022·全国·模拟预测）某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.
(1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数与方差；
(2)在调查的300名学生中按每周运动时间采用分层抽样法抽取20人参加校园“我运动我快乐”活动，再从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“每周运动时间超过8小时”的人数为，求的分布列及数学期望.
5．（2022·江苏高邮·高三开学考试）为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付费多的概率；
(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
6．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列．
7．（2022·全国·模拟预测）自年秋季学期开始中小学全面落实“双减”工作，为使广大教育工作者充分认识“双减”工作的重大意义，某地区教育行政部门举办了一次线上答卷活动，从中抽取了名教育工作者的答卷，得分情况统计如下（满分：分）．
名教育工作者答卷得分频数分布表
分组 频数
合计
(1)若这名教育工作者答卷得分服从正态分布（其中用样本数据的均值表示，用样本数据的方差表示），求；
(2)若以这名教育工作者答卷得分估计全区教育工作者的答卷得分，则从全区所有教育工作者中任意选取人的答卷得分，记为这人的答卷得分不低于分且低于分的人数，试求的分布列和数学期望和方差．
参考数据：，，，．
8．（2022·全国·高三专题练习）有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．
（1）设为这78名密切接触者中被感染的人数，求的数学期望；
（2）核酸检测并不是准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为），特异度为（即假阳性率为）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．
9．（2022·全国·模拟预测）某校开展了“学党史”知识竞赛活动，竞赛试题由若干选择题和填空题两种题型构成，每位选手共需要回答三个问题.对于每一个问题，若回答错误得0分；若回答正确，填空题得30分，选择题得20分.现设置了两种活动方案供选手选择.方案一：只回答填空题；方案二：先回答填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次选择填空题；若上题回答错误，则下一次选择选择题.已知甲、乙两位同学能正确回答填空题的概率均为，能正确回答选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
(1)若甲同学采用方案一答题，求甲得分不低于60分的概率；
(2)乙同学应该选择何种方案参加比赛更加有利？并说明理由.
10．（2022·全国·高三专题练习）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列；
(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
11．（2022·全国·模拟预测）在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.
(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为万元，求的分布列；
(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.
12．（2022·全国·模拟预测）为了开展中学生阳光体育运动，某校组织学生全员参与，并印制了“运动增智”校园纪念卡鼓励学生，该系列纪念卡背面分别标注不同数字1，2，3.每名同学每天自主选择“球操”和“啦啦操”中项进行运动.运动结束后将随机等可能地获得一张校园纪念卡.
(1)学生小明运动前三天获得的校园纪念卡背面数字之和记为X，求；
(2)通过数据统计发现：运动开展首日有的学生选择“球操”，其余学生选择“啦啦操”；在前一天选择“球操”的学生中，次日会有的学生继续选择“球操”，其余选择“啦啦操”；在前一天选择“啦啦操”的学生中，次日会有的学生继续选择“啦啦操”，其余学生选择“球操”，用频率近似估计概率，记某学生运动第n天选择“球操”的概率为，求.
13．（2022·云南师大附中高三阶段练习（理））“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗、勇敢拼搏精神的总概括．为弘扬“女排精神”，甲、乙两班组织了一次排球比赛，采用“五局三胜”制，无论哪一方先胜三局则比赛结束．假设每局比赛均分出胜负且每局比赛相互独立，每局比赛乙班获胜的概率为．
(1)若前两局已战成平局，求还需比赛3局比赛才结束且乙班获胜的概率；
(2)如果比赛的赛制有“五局三胜”制和“三局两胜”制，对于乙班来说，如何选择比赛赛制对自己获胜更有利，请通过计算说明理由．
14．（2022·全国·模拟预测）某科研小组开发了A，B两系列的水稻种子，其中A系列水稻种子包含5个品种，B系列水稻种子包含7个品种，现从12个品种中任选4个品种进行试验，设随机变量X表示其中A系列中被选中的品种数量．
(1)求X的分布列和期望；
(2)现从A，B两个系列中各选定一个品种进行对照试验，根据试验数据得，在相同条件下，A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的概率为，记5次试验中A系列品种的种子产量高于B系列品种的种子产量的次数为Y．
（ⅰ）求；
（ⅱ）记表示A系列种子每穗的水稻重量，由经验可得，求．
（若X服从正态分布，则，，）
15．（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为考察本科生基本学术规范和基本学术素养，某大学决定对各学院本科毕业论文进行抽检，初步方案是本科毕业论文抽检每年进行一次，抽检对象为上一学年度授予学士学位的论文，初评阶段，每篇论文送位同行专家进行评审，位专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”的毕业论文，将认定为“存在问题毕业论文”.位专家中有位专家评议意见为“不合格”，将再送位同行专家（不同于前位）进行复评.复评阶段，位复评专家中有位以上（含位）专家评议意见为“不合格”，将认定为“存在问题毕业论文”.每位专家，判定每篇论文“不合格”的概率均为，且各篇毕业论文是否被判定为“不合格”相互独立.
(1)若，求每篇毕业论文被认定为“存在问题毕业论文”的概率是多少；
(2)学校拟定每篇论文需要复评的评审费用为元，不需要复评的评审费用为元，则每篇论文平均评审费用的最大值是多少？
16．（2022·贵州铜仁·模拟预测（理））某省在新高考改革中，拟采取“3+1+2”的考试模式，其中“2”是指考生从政治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考生原始成绩（满分100分）从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，30%，35%，15%，5%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到，，，，五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为100分.具体如下表：
等级
比例 15% 30% 35% 15% 5%
赋分区间
转换公式：，其中，分别表示某个等级所对应原始分区间的下限和上限，，分别表示相应等级的等级分区间的下限和上限，表示某等级内某生的原始分，表示相应等级内该考生的等级分（需四舍五入取整）.例如某学生的政治考试原始成绩为60分，成绩等级为C级，原始分区间为，等级分区间为，设该学生的等级分为，根据公式得：，所以.已知某学校高二年级学生有200人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等级赋分规则转换本年级的政治等级分，其中所有获得等级的学生原始分区间，其成绩统计如下表：
原始分 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82
人数 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 3 4 5
(1)已知某同学政治原始成绩为91分，求其转换后的等级分；
(2)从政治的等级分不小于95分的学生中任取3名，设这3名学生中等级分不小于97分人数为，求的分布列和期望.
17．（2022·安徽·高三开学考试（理））为了调查某地区高中女生的日均消费情况，研究人员随机抽取了该地区5000名高中女生作出调查，所得数据统计如下图所示．
(1)求a的值以及这5000名高中女生的日均消费的平均数（同一组数据用该组区间的中间值代替）；
(2)在样本中，现按照分层抽样的方法从该地区消费在与的高中女生中随机抽取9人，若再从9人中随机抽取3人，记这3人中消费在的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
18．（2022·广东深圳·一模）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
19．（2022·安徽·合肥一中高三阶段练习（理））某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为，.
(1)若，，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；
(2)若，且在前n轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n的最小值是多少？并求此时的，的值.
20．（2022·全国·模拟预测）党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供、两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买产品的概率为，购买产品的概率为，而前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率为，前一次购买产品的人下一次来购买产品的概率为，购买产品的概率也是，如此往复．记某人第次来购买产品的概率为．
(1)求；
(2)记第二次来公司购买产品的个人中有个人购买产品，人是否购买产品相互独立，求的分布列和数学期望．

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