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人教B版（2019）选择性必修第一册《2.2.4 点到直线的距离》同步练习
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）已知高一班有名同学，现将他们按编号，并从中抽取人进行谈话，则下四组编号中是按系统抽样抽取的是
A. ，，，，，，
B. ，，，，，，
C. ，，，，，，
D. ，，，，，，
2.（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为
A. B. C. D.
3.（5分）设是等差数列的前项和，公差，若，，则正整数的值为
A. B. C. D.
4.（5分）某市质量检测部门从辖区内甲、乙两个地区的食品生产企业中分别随机抽取家企业，根据食品安全管理考核指标对抽到企业进行考核，并将各企业考核得分整理成如下的茎叶图：由茎叶图所给信息，可判断以下结论正确的是
A. 若，则甲地区考核得分的极差小于乙地区考核得分的极差
B. 若，则甲地区考核得分的平均数小于乙地区考核得分的平均数
C. 若，则甲地区考核得分的中位数小于乙地区考核得分的中位数
D. 若，则甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差
5.（5分）已知、、、是球表面上的点，平面，，，，则球的表面积为
A. B. C. D.
6.（5分）已知，，以为直径的圆的标准方程为
A. B.
C. D.
7.（5分）已知锐角中，角、、对应的边分别为、、，，若，则的最小值是
A. B. C. D.
8.（5分）若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是
A.
B.
C. 与既不垂直也不平行
D. 与的位置关系不确定
9.（5分）等比数列中，，前项之和，则公比的值为
A. B. C. 或 D. 或
10.（5分）中，，，则的最小值为
A. B. C. D.
11.（5分）过点作抛物线的两条切线，，设，与轴分别交于点，，则的外接圆方程为
A. B.
C. D.
12.（5分）已知函数，有两个不同的零点，，且方程有两个不同的实根，，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数
A. B. C. D.
13.（5分）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知实数，满足，则的最小值等于______．
15.（5分）已知函数的图象关于点中心对称，若，，使得，则的最大值是 ______.
16.（5分）已知、、、分别是正方体边，，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
17.（5分）若实数，，且满足，则，的大小关系是 ______ ．
18.（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最大值为______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）某城市户居民的月平均用电量单位：度，以，分组的频率分布直方图如图：

求直方图中的值；
求月平均用电量的众数和中位数；
在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
20.（12分）设数列前项和，且，．
Ⅰ试求数列的通项公式；
Ⅱ设，求数列的前项和．
21.（12分）已知向量．
若与垂直，求的值；
求的最大值．
22.（12分）如图，已知四棱，底面菱形，面，，分别的中点．
若为上的动点，与平面最大角的正切值为，求面角的余弦．
23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与圆：交于点与不同，过原点且垂直于的直线与圆：交于，两点．
记直线的倾斜角为，求的取值范围；
若线段的中点为，求面积的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：计算系统抽样间隔为，
对于选项，数据，，，，，，的间隔为，不合题意；
对于选项，数据，，，，，，的间隔不相等，不合题意；
对于选项，数据，，，，，，的间隔为，满足题意；
对于选项，数据，，，，，，的间隔不相等，不合题意．
故选：
根据系统抽样间隔相等，由此判断即可．
此题主要考查了系统抽样方法应用问题，是基础题．
2.【答案】A;
【解析】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥，底面为矩形，侧面为等边三角形，且平面平面．
设三角形的中心为，四棱锥外接球的球心为，连接，则平面，且，
而，，
该几何体外接球的表面积为．
故选：．
由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面为矩形，侧面为等边三角形，且平面平面，找出四棱锥外接球的球心，求得半径，代入球的表面积公式求解．
此题主要考查由三视图求面积、体积，考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
3.【答案】A;
【解析】解：等差数列中，公差，，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故选：．
由已知条件推导出，，从而得到，由此能求出．
该题考查正整数的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．
4.【答案】D;
【解析】解：对于选项：若，甲地区考核得分的极差为，乙地区考核得分的极差为，
即甲乙两地区考核分的极差都是，故错误，
对于选项：若，甲地区考核得分的平均数为，
乙地区考核得分的平均数为，
则甲地区考核得分的平均数大于乙地区考核得分的平均数，故错误；
对于选项：若，将甲乙两地各企业考核得分按从小到大顺序排列如下：
甲地区：，，，，，，，，；乙地区：，，，，，，，，，
则甲地区考核得分的中位数为，乙地区考核得分的中位数为，故错误；
对于选项：若时将甲乙两地各企业考核得分按从小到大顺序排列如下：
甲地区：，，，，，，，，；
乙地区：，，，，
甲地区考核得分的平均数为，乙地区考核得分的平均数为，
甲地区考核得分的方差为，化简可得甲地区考核得分的方差大约为，
乙地区考核得分的方差为：，
化简可得甲地区考核得分的方差大约为，
故甲地区考核得分的方差小于乙地区考核得分的方差，故选项正确，
故选：
根据极差，平均数，中位数，方差的定义，在给定条件下分别计算两组数据的极差，平均数，中位数，方差，由此判断正确选项．
此题主要考查了数据的数字特征，属于中档题．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键，属于较易题．
由题意可得，、、、四点均为长宽高分别，，三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球的半径，代入球的表面积公式即可得到答案．
【解析】
解：平面，，
四面体的外接球半径等于以长宽高分别，，三边长的长方体的外接球的半径．
，，，
，即．
球的表面积．
故选：．
6.【答案】D;
【解析】解：，，
的中点坐标为，
又．
以为直径的圆的标准方程为．
故选：．
由已知求得的中点坐标，再求出，则以为直径的圆的标准方程可求．
该题考查圆的标准方程的求法，考查中点坐标公式及两点间距离公式的应用，是基础题．
7.【答案】D;
【解析】解：，，
，
，，
，即，，
；
又，，，
，
是锐角，，
，当且仅当时取等号，
的最小值是
故选：
根据条件，利用正弦定理化为角可求，再由，利用角表示边，结合基本不等式求其最小值．
此题主要考查三角形的正弦定理，以及三角恒等变换和基本不等式的应用，属中档题．
8.【答案】D;
【解析】
根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面，可得与的位置关系不确定．
此题主要考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．

解：，，与的位置关系不确定，
又，与的位置关系不确定．
故、、错误．
故选：
9.【答案】D;
【解析】解：等比数列中，，前项之和，
当公比时，，满足；
当公比时，可得，
解得或舍去，
综上可得公比的值为：或
故选：．
当公比时，满足；当公比时，可得，解方程可得．
该题考查等比数列的通项公式，涉及一元二次方程的解法，属基础题．
10.【答案】A;
【解析】解：，，
，
由正弦定理：，
，
，
，
，，
由正弦定理得，，
，
当时，取得最小值为：，
故选：
利用同角三角函数关系式，余弦定理，即可解出角，再利用正弦定理，以及角的范围，即可解出．
此题主要考查了解三角形，正余弦定理，学生的数学运算能力，属于基础题．
11.【答案】A;
【解析】解：由题意可知，的外接圆方程，的坐标满足圆的方程，
点代入，左侧，成立．A正确；
点代入，左侧，不成立．不正确；
点代入，左侧，不成立．不正确；
点代入，左侧，不成立．不正确．
故选：．
直接利用的坐标满足圆的方程，判断求解即可．
该题考查直线与圆锥曲线的应用，圆的方程的求法，本题是选择题，方法独特，希望同学们掌握；如果直接求解方法是设出切线的斜率，利用直线与抛物线相切，求出，然后求出三角形的顶点坐标，利用圆的一般方程求解，是中档题．
12.【答案】D;
【解析】解：由题意可知：，，且、只能分布在、的中间或两侧，
若、只能分布在、的中间，则公差，
故、分别为、，此时可求得；
若、只能分布在、的两侧，则公差，
故、分别为、，不合题意．
故选：．
由题意可知：，，且、只能分布在、的中间或两侧，下面分别求解并验证即可的答案．
本题为等差数列的构成问题，涉及分类讨论的思想和函数的零点以及三角函数，属中档题．
13.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了相互垂直直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
设点，由点与点关于直线对称，可得，解出即可得出．

解：设点．
点与点关于直线对称，
，解得，．
则点的坐标为．
故选：．
14.【答案】;
【解析】解：实数，满足，
点在直线：上运动，
而的最小值即点到原点距离，
由点到直线的距离公式可得原点到直线的距离，
故答案为：．
易得的最小值即点到原点距离，由由点到直线的距离公式可得答案．
该题考查点到直线的距离公式，属基础题．
15.【答案】null;
【解析】解：因为函数的图象关于点对称，则，
即，
即，则，解得，
所以，则，
令，解得，
，，使得，
即函数在上单调递减恒成立，则，
所以，
故答案为：
由已知可得，由此解方程求出的值，然后再利用导数求出函数的单调递减区间，则由题意可得，所以，然后化简即可求解．
此题主要考查了函数的对称性以及单调性，涉及到导数的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查了异面直线所成角，涉及余弦定理，考查了空间想象能力，属于中档题.
连接，取的中点为，连接，，，可得为异面直线和所成角或其补角，解三角形即可.
解：如图，连接，取的中点为，连接，，，

可知，
则，，
所以四边形为平行四边形，则，
同理可得，
则为异面直线和所成角或其补角，
设正方体的棱长为，
则，，
，
即异面直线与所成角的余弦值为
故答案为
17.【答案】;
【解析】解：、，且满足，
，又，
，
．
故答案为：．
可根据条件，利用不等式的性质即可得到答案．
此题主要考查利用基本不等式比较大小，难点在于将条件关系式两端开方，在应用基本不等式，属于中档题．
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查解三角形，涉及正余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式，属中档题．
由已知式子和正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求得的最大值．

解：在中，
，
，
，
约掉可得，即，
由余弦定理可得，
，当且仅当时取等号，
，可得：，解得，当且仅当时取等号．
故答案为．

19.【答案】解：由直方图的性质可得，
解方程可得，
直方图中的值为；
月平均用电量的众数是，
，
月平均用电量的中位数在内，
设中位数为，由可得，
月平均用电量的中位数为；
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
月平均用电量为的用户有，
抽取比例为，
月平均用电量在的用户中应抽取户．;
【解析】该题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．
由直方图的性质可得，解方程可得；
由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在内，设中位数为，解方程可得；
可得各段的用户分别为，，，，可得抽取比例，可得要抽取的户数．
20.【答案】解：（Ⅰ）当n≥2时，=Sn-Sn-1=（2-2）-（2-2）=2-2，
所以，=2，即，…（3分）
当n=1时，S1=2-2，=2，…（4分）
由等比数列的定义知，数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，数列{}的通项公式为．…（6分）
（II）由（I）知，=（8分）
∴
=
两式相减可得，===
∴Tn=（12分）;
【解析】
Ⅰ当时，由可得，当时，，可求，结合等比数列的通项公式可求
由知，，利用错位相减求和即可求解
此题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，等比数列的通项公式及错位相减求和方法的应用
21.【答案】解：（1）∵与垂直，
∴，即4cosαsinβ+4sinαcosβ-2（4cosαcosβ+4sinαsinβ）=0，
∴4sin（α+β）-8cos（α+β）=0，
∴tan（α+β）=2；
（2）∵，
∴，
∴当sin2β=-1时，．;
【解析】
利用向量垂直数量积为，得到关于的三角函数，然后化简三角函数式即可；
首先得到的坐标，然后平方得到的表达式，然后化为一个角的一个三角函数的形式，然后求最大值．
该题考查了平面向量的数量积公式的运用以及三角函数的化简求最大值；属于中档题．
22.【答案】在Rt△OE，，，
所以AE⊥平面PDPD 平PAD，
又，
即当AH⊥PD∠EHA大．
平面PAD，AD 平面PAD且P∩A=A，
在Rt△S中，，
由知AE⊥平面D，
因为EC的中点所以AE⊥BC．
在RtEH中，，
此时，
因为平面BCD，AE 平面ACD，所以A⊥AE．
所AE⊥PD．
所AH最短时，∠EH最大，
因此．又A=2，所以∠ADH=°，
过E作EOAC于O，则EO⊥PA，
因为PA⊥平面ACD， 平PAC，
则∠EHA为EH面A所成的角．
证明：证明：由四形ABC为菱形，∠ABC6°，得△AB正角形．
即求二面的余弦值为．;
【解析】
证明，我们可能证明面，由已知易得我们只要能明即可，由于底为菱形，们可以转为，已知易我们不得到结论．
由所成最角的正切值为，我们分后可的值，由的论，们进而可以证明平面平面，过作，则平面，过作，连接，二角平面角，后我解三角求二面余弦值．
求二面角的大小，一般先作出二角的平面．此题利用面角的平面的定义作出为二角的平面通过解三形求其解题过程：作证是二面角的角计算简记为“作、证、算”．
23.【答案】解：（1）由题意即直线l与圆M相交，且直线m与圆N相交，
直线l斜率存在时，设直线l斜率为k,
则直线l：y=kx,
直线m：y=-x,
由题意有，解得＞3，因为直线倾斜角的范围为[0，π），即α∈（，）∪（，），
直线l斜率不存在时，易得l：x=0，m：y=0，即P（0，4），A（1，0），B（3，0）满足题意，此时α=，
综上所述，α∈（，）；
（2）设M到直线l的距离为，N到直线m的距离为，则
①直线l斜率存在时，有==，
所以S△OPQ=|OP| |OQ|= =4-∈（3，4），
②直线l斜率不存在时，S△OPQ=|OP| |OQ|=4，
综上所述，△OPQ面积的取值范围是（3，4]．;
【解析】
当直线斜率存在时，可通过计算直线、直线与圆心的位置关系来判断直线与圆相交，当直线斜率不存在时，此时得到直线、直线即可根据圆的方程直接做出判断；
由已知，可分两种情况，当直线斜率存在时，可通过计算圆心到直线、直线的距离来计算三角形面积，当直线斜率不存在时，此时可直接计算三角形面积．
此题主要考查直线和圆的位置关系的综合应用，属于中档题．

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