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牛顿定律的应用
Dongguan No.1 Middle High School
选自人教版必修第一册第四章第5节
动力学的图像问题
02
动力学的两类基本问题
01
瞬时加速度
03
连接体
04
传送带
05
06
板块
06
动力学的两类基本问题
01
(1)由受力情况判断物体的运动情况．
(2)由运动情况判断物体的受力情况．
动力学问题两类基本问题
解决方法：
以 为桥梁，由运动学公式和牛顿第二定律列方程求解．
从受力确定运动情况
在受力情况已知的条件下，判断物体的运动状态及相关参数（速度、位移、时间等）
物体运
动情况
运动学
公 式
加速度
a
牛顿第
二定律
物体受
力情况
合力
运动员把冰壶沿水平冰面投出，让冰壶在冰面上自由滑行，在不与其他冰壶碰撞的情况下，最终停在远处的某个位置。按比赛规则，投掷冰壶运动员的队友，可以用毛刷在冰壶滑行前方来回摩擦冰面，减小冰面的动摩擦因数以调节冰壶的运动。
（1）运动员以v0＝3.4 m/s 的速度投掷冰壶，若冰壶和冰面的动摩擦因数为0.02，冰壶能在冰面上滑行多远？取 g ＝10 m/s2。
μmg＝ma1
解得a1 ＝ 0.2m/s2 x＝28.9 m
解：受力分析如图，由题得
＝2a1x
（2）若运动员仍以v0＝3.4 m/s的速度将冰壶投出，其队友在冰壶自由滑行10 m 后开始在其滑行前方摩擦冰面，冰壶和冰面的动摩擦因数变为原来的90%，冰壶多滑行了多少距离？取 g ＝10 m/s2。
＝2a1x1
(2) 由题得
0.9μmg＝ma2
＝2a2x2
解得 a2= 0.18m/s2
x2= 21 m
△x = 2.1 m
从运动情况确定受力
加速度
a
牛顿第
二定律
物体受
力情况
运动学
公 式
物体运
动情况
运动情况已知的条件下，求出物体所受的力或者相关物理量（如动摩擦因数等）
例：一位滑雪者，人与装备的总质量为75 kg，以2 m/s 的初速度沿山坡匀加速直线滑下，山坡倾角为 30°，在5 s的时间内滑下的路程为60 m。求滑雪者对雪面的压力及滑雪者受到的阻力（包括摩擦和空气阻力），g取10 m/s2。
θ
y
x
G
F阻
θ
FN
Gx
Gy
解：受力分析如图，由题得
FN = mgcosθ
mgsinθ – F阻 = ma
解得 F阻 = 75N 方向沿山坡向上
FN = 650N
由牛顿第三定律F压 = FN =650N 方向垂直山坡向下
动力学的图像问题
02
知识点 2
动力学图像问题
1.常见的图像形式：
在动力学与运动学问题中，常见、常用的图像是位移－时间图像(x－t图像)、速度－时间图像(v－t图像)和力－时间图像(F－t图像)等，这些图像反映的是物体的运动规律、受力规律，而不是代表物体的运动轨迹.
2.图像问题的分析方法：
(1)把图像与具体的题意、情景结合起来，明确图像的物理意义，明确图像所反映的物理过程.
(2)特别注意图像中的一些特殊点，如图线与横、纵坐标轴的交点，图线的转折点，两图线的交点等所表示的物理意义.注意图线的斜率、图线与坐标轴所围图形面积的物理意义.
例2（2023版步步高人教版必修第一册第四章　专题强化　动力学图像问题）放置于足够长的固定光滑斜面上的物块，在平行于斜面向上的拉力F作用下，沿斜面向上做直线运动。拉力F和物块速度v随时间t变化的图像如图甲、乙所示，g取10 m/s2，则（　　）
A．第1 s内物块受到的合外力为5.5 N
B．物块的质量为0.5 kg
C．斜面倾角为30°
D．若第3 s末撤去拉力F，物块停止运动前加速度大小为6 m/s2
典型例题
【答案】C
【详解】ABC．由题图乙可知，在0~1 s时间内物块做加速运动，加速度a=m/s2=0.5 m/s2①,设斜面倾角为θ，物块质量为m，分析物块的受力情况，由牛顿第二定律得F合=F1-mgsin θ=ma②，其中F1=5.5 N，在1~3 s时间内物块做匀速运动F2=mgsin θ=5 N③，由①②③得m=1 kg，θ=30°，F合=0.5 N，故AB错误，C正确；D．撤去拉力F后，物块停止运动前加速度大小为
a′=gsin θ=5 m/s2，故D错误。故选C。
2　（2022.上海市民办尚德实验学校高三阶段测试）质量为60kg的消防队员从一根固定的竖直金属杆上由静止滑下，经2.5s落地。消防队员受到竖直向上的摩擦力变化情况如图所示，取g=10m/s2。在消防队员下滑过程中：
（1）他向下加速与减速的加速度大小分别是多大？
（2）他落地时的速度多大？
（3）他向下加速与减速运动的距离分别是多少？
变 式
【答案】 (1)4m/s2；2m/s2；(2)1m/s；(3)2m；3.75m
【详解】(1)由牛顿第二定律可得 ，可得他向下加速的加速度大小为 ，由牛顿第二定律可得
可得他向下减速的加速度大小为
(2)由图可知加速1s，减速1.5s，则他加速结束时的速度为 ，落地时的速度
(3)他向下加速时的距离为 ，他向下减速运动的距离 。
D
B
瞬时加速度
03
物体运动的加速度a与其所受的合外力F有瞬时对应关系。当合外力的方向、大小改变时，物体的加速度方向、大小也立即发生相应的改变；当物体的合外力为零时，物体的加速度也立即为零。因力和加速度之间是瞬时对应的，故物体运动的加速度可以突变。
在具体应用中该如何处理呢？
课堂引入
轻绳模型
PART 01
只能产生拉力，且方向一定沿着绳子背离受力物体，不能承受压力；认为绳子不可伸长，即无论绳子所受拉力多大，长度不变(只要不被拉断)；绳子的弹力可以发生突变——瞬时产生、瞬时改变、瞬时消失。
轻绳模型
01
典例分析
02
【典例1】 如图，两条拉紧的橡皮条a，b共同拉一个小球，小球静止。当剪断b瞬间小球的加速度为2m/s2，若不剪断b只剪断a瞬间，小球的加速度为（g=10m/s2）（　　）
A．2m/s2 B．12m/s2
C．8m/s2 D．22m/s2
【参考答案】B
典例分析
02
【解析】设小球质量为m，原来小球静止时a、b对小球的拉力分别向上、向下，设为Fa、Fb，由平衡条件Fa=mg+Fb，剪断b瞬间小球的加速度为2m/s2， a拉力瞬间不变，由牛顿第二定律知Fa-mg=ma1=2m
联立可得Fa=12m，Fb=2m，则不剪断b只剪断a瞬间，
对小球Fb+mg=ma2
代入解得a2=12m/s2
故选B。
典例分析
02
【典例2】 （多选）如图所示，一灯笼悬挂于两墙壁之间，绳OB水平，绳OA与竖直方向的夹角为60°，请分析（重力加速度为g）（　）
A．若将绳OB割断，灯笼的加速度为
B．若将绳OB割断，灯笼的加速度为
C．若将绳OA换为轻质弹簧，将绳OB割断，灯笼的加速度为
D．若将绳OA换为轻质弹簧，将绳OB割断，灯笼的加速度为
【参考答案】AC
典例分析
02
轻杆模型
PART 02
既能承受拉力，又可承受压力，施力或受力方向不一定沿着杆；认为杆既不可伸长，也不可缩短，杆的弹力可以发生突变。
轻杆模型
01
典例分析
02
【典例3】 如图所示，A、B两木块间连一轻杆，A、B质量相等，一起静止地放在一块光滑木板上，若将此木板突然抽去，在此瞬间，A、B两木块的加速度分别是（　　）
A．aA=0，aB=2g B．aA=g，aB=g
C．aA=0，aB=0 D．aA=g，aB=2g
【参考答案】B
典例分析
02
【典例4】如图所示，一个质量为m的均匀光滑球放在倾角为θ的固定斜面上，并被斜面上一挡板挡住处于静止状态。已知重力加速度为g，设球对挡板的压力大小为F1，球对斜面的压力大小F2，则（　　）
A．撤去挡板瞬间球的加速度为
B．
C．
D．
【参考答案】C
典例分析
02
轻弹簧模型
PART 03
既能承受拉力，也可承受压力，力的方向沿弹簧的轴线，受力后发生较大形变，弹簧的长度既可变长，又可变短，遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故弹簧的弹力不能突变，在极短时间内可认为弹力不变。
轻弹簧模型
01
只能受拉力，不能承受压力；其长度只能变长，不能变短，同样遵循胡克定律；因形变量较大，产生形变或使形变消失都有一个过程，故橡皮筋的弹力同样不能突变。
橡皮筋模型
02
典例分析
02
【典例5】如图所示，A球和天花板之间用轻细线相连，A球和B球之间用轻弹簧相连，整个系统保持静止。两个质量均为m的小球，现突然迅速剪断轻绳，在剪断轻绳的瞬间，设小球A、B的加速度分别用a1和a2表示，则（　　）
A．a1=g,a2=g B．a1=0,a2=2g
C．a1=g,a2=0 D．a1=2g,a2=0
【参考答案】D
典例分析
02
【典例6】如图，倾角为α=30°的斜面固定在水平地面上，斜面上有两个质量分别为m和2m的小球A、B，它们用劲度系数为k的轻质弹簧连接，弹簧轴线与斜面平行。现对A施加一水平向右、大小为F的恒力，使A、B在斜面上都保持静止，如果斜面和两个小球间的摩擦均忽略不计，此时弹簧的长度为L，则下列说法正确的是（　　）
A．恒力
B．弹簧的原长为
C．小球A对斜面的压力大小为
D．撤去恒力F后的瞬间小球B的加速度为2g
【参考答案】C
典例分析
02
总结提升
PART 04
1.轻弹簧模型（轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等）
明显形变产生的弹力，在两端连接有物体时，形变恢复需较长时间，其弹力不能突变。
2.刚性绳模型（细钢丝、细线等）
微小形变产生的弹力，其形变可瞬时产生或消失，在瞬时问题中，其弹力发生突变。

两类问题模型
01
1.对原状态下物体的受力分析
利用力的合成法或正交分解法求出各力大小（若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；若处于加速状态则利用牛顿运动定律）。
2.对状态变化后的物体的受力分析
当状态变化时（烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失（被剪断的绳、弹簧中的弹力，发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消失）。
3.求物体在状态变化后所受的合外力
利用牛顿第二定律 ，求出瞬时加速度。
解瞬时性问题的基本步骤
02
连接体
04
课堂引入
在探究加速度、力和质量的关系实验中，为什么当m的质量远远小于M的质量时，可以用mg代替绳上的拉力？
槽码：mg－T = ma
小车：T = Ma
可知，当M >> m时，T = mg
mg
Mg
FN
T
T
a
a
课堂引入
整体： mg = (M+m)a
方法一：对槽码和小车单独分析
方法二：对槽码和小车整体分析
小车：T = Ma
以上两种方法分别从隔离和整体的角度处理问题，却收到同样的效果。在处理动力学问题时，我们怎样才能将两种方法做到灵活使用呢？
连接体模型
PART 01
两个或两个以上相互作用的物体组成的整体叫连接体。
连接体
01
常见的连接体模型有哪些呢？
F
A
B
A
B
θ
a
常见的连接方式
02
绳子或弹簧连接
1.整体法：把整个连接体系统看做一个研究对象，分析整体所受的外力，运用牛顿第二定律列方程求解.其优点在于它不涉及系统内各物体之间的相互作用力。
连接体问题的常用处理方法
03
2.隔离法：把系统中某一物体(或一部分)隔离出来作为一个单独的研究对象，进行受力分析，列方程求解.其优点在于将系统内物体间相互作用的内力转化为研究对象所受的外力，容易看清单个物体(或一部分)的受力情况或单个过程的运动情形。
连接体问题的常用处理方法
03
3. 内力与外力：两个（或两个以上）物体组成的连接体，它们之间相互作用力叫内力，它们与外界之间的力叫外力。
若要求解外力，选用整体法；若要求解内力，选用隔离法。一般优先用整体法，再结合隔离法求解。
在“连接体运动”的问题中，比较常见的连接方式有：
①用细绳将两个物体连接，物体间的相互作用是通过细绳的“张力”体现的。
②两个物体通过互相接触挤压连接在一起，它们间的相互作用力是“弹力”、
“摩擦力”连接在一起。
先整体
后隔离
01
典例
例1.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图1—2所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是 （）
Ａ
【例题1】若AB用一个绳子连在一起，在F的作用下一起匀加速向右运动，地面光滑。 A、B的质量各为ma=1kg,mb=2kg，求：
(1)若F=30N，A、B之间的弹力多大？
(2)若F=30N，若A、B与地之间的动摩擦因数为μ=0.1，则A、B之间弹力多大？
A
B
F
典例
02
【解析】(1)若F=30N，A、B之间的弹力多大？
AB
F
对整体：
隔离A：
A
F弹
解得：
A
B
F
分步解析
02
(2)若F=30N，并且A、B与地之间的动摩擦因数为μ=0.1，则A、B之间弹力多大？
对整体：
隔离A：
解得：
AB
F
f
A
F弹
fA
外力
内力
a
整体法
F=ma
隔离法
F=ma
A
B
F
分步解析
02
拓展：若将中间的绳子换成劲度系数k=2N/cm的弹簧，AB在外力F的作用下一起向右加速，若弹簧伸长量为2cm，若A、B与地之间的动摩擦因数为μ=0.1，A、B的质量各为ma=1kg,mb=2kg求此时拉力F的大小。
隔离A分析：
对整体：
解得：
由胡克定律得：
A
F弹
fA
AB
F
f
A
B
F
问题拓展
03
你发现规律了吗？弹力的大小与哪些因素有关呢？若放在斜面上呢？
斜面上的连接体
PART 02
【例题2】如图所示，质量分别为mA、mB的A、B两物块用轻线连接放在倾角为θ的斜面上，用始终平行于斜面向上的恒定拉力F拉A，使A、B沿斜面向上一起做匀加速运动，A、B与斜面的动摩擦因数均为μ，为了增大细线上的张力，下列办法可行的是（　　）
A．仅增大A的质量mA
B．仅增大B的质量mB
C．仅增大斜面倾角θ（F仍平行于斜面）
D．仅增大动摩擦因数μ
典例
01
【参考答案】A
【解析】根据牛顿第二定律得，对整体：
解析
02
要增加T，可增大A物的质量，或减小B物的质量。改变倾角θ和改变动摩擦因数不能改变细线上的拉力，故A正确。
对A:
连接体的动力分配原理：两个物体(系统的两部分)在外力(总动力)的作用下以共同的加速度运动时，单个物体分得的动力与自身的质量成正比，与系统的总质量成反比。相关性：两物体间的内力与接触面是否光滑无关，与物体所在接触面倾角无关。
规律总结
03
A
B
F
竖直面上的连接体
PART 03
【例题】如图所示，m1>m2 ，滑轮质量和摩擦不计，则当m1和m2匀加速运动的过程中，弹簧秤的读数是多少？
对整体：
隔离m1：
解得：
弹簧秤的示数：
典例
01
一、动力学连接体问题
1、连接体的分类：
(1)加速度相同的连接体；
(2)加速度不同的连接体。
2、解决连接体问题的两种方法
整体法与隔离法
外力与内力
外力∶系统之外的物体对系统的作用力
内力∶系统内各物体间的相互作用力
整体法
把加速度相同的多个物体看作一个整
体来研究的方法
求系统内物体间的相互作用时，把一个
物体隔离出来单独研究的方法
隔离法
【例题1】如图所示，质量为m1和m2的两个材料相同的物体用细线相连，在大小恒定的拉力F作用下，先沿水平面，再沿斜面，最后竖直向上匀加速运动，不计空气阻力，在三个阶段的运动中，细线上拉力的大小 (　　)
A.由大变小 B.由小变大 C.始终不变且大小为F D.由大变小再变大
解析：
在水平面上时，对整体由牛顿第二定律得F－μ(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a1，对m1由牛顿第二定律得T1－μm1g＝m1a1，联立解得T1＝F；在斜面上时，对整体由牛顿第二定律得F－μ(m1＋m2)gcos θ－(m1＋m2)gsin θ＝(m1＋m2)a2，对m1由牛顿第二定律得T2－μm1gcos θ－m1gsin θ＝m1a2，联立解得T2＝F；在竖直方向时，对整体由牛顿第二定律得F－(m1＋m2)g＝(m1＋m2)a3，对m1由牛顿第二定律得T3－m1g＝m1a3，联立解得T3＝F。综上分析可知，细线上拉力始终不变且大小为F，选项C正确。
C
【变式1】如果将【例题1】中的“拉力”改为“推力”，题目情景如下：将两质量不同的物体P、Q放在倾角为θ的光滑斜面体上，如图甲所示，在物体P上施加沿斜面向上的恒力F，使两物体沿斜面向上做匀加速直线运动；图乙为仅将图甲中的斜面体调整为水平，同样在P上加水平恒力F；图丙为两物体叠放在一起，在物体P上施加一竖直向上的相同恒力F使二者向上加速运动。三种情况下两物体的加速度大小分别为a甲、a乙、a丙，两物体间的作用力分别为F甲、F乙、F丙。则下列说法正确的是（ ）
A.a乙最大，F乙最大 B.a丙最大，F丙最大
C.a甲＝a乙＝a丙，F甲＝F乙＝F丙 D.a乙＞a甲＞a丙，F甲＝F乙＝F丙
解析：
以P、Q为整体由牛顿第二定律可得：
甲图：F－(mP＋mQ)gsin θ＝(mP＋mQ)a甲，解得：a甲＝，
乙图：F＝(mP＋mQ)a乙，解得：a乙＝，
丙图：F－(mP＋mQ)g＝(mP＋mQ)a丙，解得：a丙＝，
由以上三式可得：a乙>a甲>a丙；对Q由牛顿第二定律可得：
甲图：F甲－mQgsin θ＝mQa甲，解得：F甲＝，
乙图：F乙＝mQa乙＝；
丙图：F丙－mQg＝mQa丙，解得：F丙＝，综上所述，故D正确。
D
解析：
【变式2】如果将【例题1】中的“细线”改为“轻弹簧”，题目情景如下：a、b两物体的质量分别为m1、m2，由轻质弹簧相连。当用大小为F的恒力沿水平方向拉着物体a，使a、b一起沿光滑水平桌面做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x1；当用恒力F竖直向上拉着物体a，使a、b一起向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x2；当用恒力F倾斜向上拉着物体a，使a、b一起沿粗糙斜面向上做匀加速直线运动时，弹簧伸长量为x3，如图所示。则 ( )
A.x1＝x2＝x3 B.x1 >x3＝x2 C.若m1>m2，则 x1>x3＝x2 D.若m1通过整体法求出加速度，再利用隔离法求出弹簧的弹力，从而求出弹簧的伸长量。对左图运用整体法，由牛顿第二定律得整体的加速度为：a1＝，对b物体有：T1＝m2a1；得：T1＝F ；
对中间图运用整体法，由牛顿第二定律得，整体的加速度为：
a2＝，
对b物体有T2－m2g＝m2a2，得：T2＝F ；对右图，整体的加速度：
a3＝，
对物体b：T3－m2gsin θ－μm2gcos θ＝m2a3，解得T3＝F ；
则T1＝T2＝T3，根据胡克定律可知，x1＝x2＝x3。
A
解析：
【例题2】(多选)如图所示的装置叫阿特伍德机。绳子两端的物体竖直运动的加速度大小总是小于自由落体的加速度g，这使得实验者可以有较长的时间从容地观测、研究。已知物体A、B的质量均为M，物体C的质量为m。轻绳与轻滑轮间的摩擦不计，轻绳不可伸长且足够长。物体A、B、C由图示位置静止释放后 (　　)
A. 绳子上的拉力大小T＝(M＋m)gB.物体A的加速度a＝g
C.的取值小一些，便于观测和研究D.的取值大一些，便于观测和研究
对物体A，由牛顿第二定律得：T－Mg＝Ma，对B、C整体，由牛顿第二定律得：(M＋m)g－T＝(M＋m)a，联立解得T＝Mg＋，a＝g，故A错误，B正确；由a＝g＝g知，的取值大一些，a小些，便于观测和研究，故C错误，D正确。
D
传送带
05
水平传送带（同向运动）
PART 01
【问题1】如图,传送带从A到B长度为L,以v0的速率顺时针转动.在A端无初速地放一个质量为m的物体,设物体与传送带间的动摩擦因数为μ,试分析滑块在传送带上的运动情况。
v0
A
B
提出问题
01
传送带长度 滑块在传送带上的运动情景 滑块运动情况 滑块运动的v-t图像
传送带刚够长
传送带不够长
传送带足够长
v0
v
v0
v0
v0
v0
滑块一直做匀加速
滑块一直做匀加速
滑块先做匀加速后匀速
v
t
v0
v0
v
t
v
v
t
v0
t1
分类讨论
02
【问题2】如图,传送带从A到B长度为L,以v0的速率顺时针转动。一个质量为m的物体从A端以速度v1滑上传送带,设物体与传送带间的动摩擦因数为μ,试分析滑块在传送带上的运动情况。
v0
A
B
问题拓展
03
v1
传送带长度 滑块在传送带上的运动情景 滑块运动情况 滑块运动的v-t图像
传送带刚够长
传送带不够长
传送带足够长
v0
v
v0
v0
v0
v0
滑块一直做匀加速
滑块一直做匀加速
滑块先做匀加速后匀速
分类讨论1: (v104
v0
v
t
v1
t
v
t
v0
t
v1
v
t
v0
t1
t
v1
传送带长度 滑块在传送带上的运动情景 滑块运动情况 滑块运动的v-t图像
传送带刚够长
传送带不够长
传送带足够长
v0
v
v0
v0
v0
v0
滑块一直做匀减速
滑块一直做匀减速
滑块先做匀减速后匀速
分类讨论2: (v1>v0)
05
v
t
v0
t1
v1
t
v
t
v0
v1
t
v0
v
t
v1
t
水平传送带（反向运动）
PART 02
【问题2】如图,传送带从A到B长度为L,以v0的速率逆时针转动.一个质量为m的物体从A端以速度v1滑上传送带,设物体与传送带间的动摩擦因数为μ,试分析滑块在传送带上的运动情况。
v0
A
B
提出问题
01
v1
传送带 滑块在传送带上的运动情景 滑块运动情况 滑块运动v-t图像
传送带刚够长
传送带不够长
传送带足够长
v0
v
v0
v=0
v0
v=0
滑块一直做匀减速
滑块一直做匀减速
分类讨论
02
滑块先做匀减速后反向匀加速至v1(v1滑块先做匀减速后反向匀加速至v0 ,后做匀速(v1>v0)
v
t
-v0
v1
t
v
-v0
t
v1
t
v
t
-v0
t1
v1
t
-v1
v
t
-v0
t1
v1
t
水平传送带上的运动时间
PART 03
【问题】如图所示,传送带从A到B长度为L,传送带以v0的速率顺时针转动.在传送带上端A无初速地放一个质量为m的物体,它与传送带间的动摩擦因数为μ,求物体从A运动到B需要的时间.
提出问题
01
v0
A
B
【讨论1】若传送带“不够长”(物体到达B时,速度仍小于传送带的速度)
物体从A运动到B一直做匀加速,设加速时间为t，则:
得：
v0
A
B
G
f
N
分类讨论
02
【讨论2】若传送带“刚够长”(物体到B时,速度刚好等于传送带的速度)
物体从A运动到B一直做匀加速，设加速时间为t，则:
得：
v0
A
B
G
f
N
分类讨论
02
【讨论3】若传送带“足够长”(物体到B前,速度等于传送带的速度,之后由于不再受摩擦力而做匀速运动)
物体做匀加速时间为:
物体做匀加速位移为:
物体做匀速时间为:
物体从A到B的总时间为:
得：
v0
A
B
G
f
N
x1
G
N
x2
分类讨论
02
总结提升
PART 04
1.受力分析是关键：特别是摩擦力分析；
2.分情况讨论判断：水平和倾斜、速度方向关系及大小关系等；
3.运动分析是核心：“共速” 是转折点；
一起匀速？匀加速？还是匀减速？传送带够不够长？等
4.分清对地位移和相对位移；
5.斜面传送带问题应注意μ和tanθ的关系
模型攻略
【练习2】（多选）水平传送带被广泛地应用于机场和火车站，一水平传送带装置示意如图，细紧的传送带AB始终保持恒定的速率v=2m/s运行，一质量为m=5kg的行李无初速度地放在A处，设行李与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2，A、B间的距离L=4m，g取10m/s2.则（　　）
A．行李刚开始运动时的加速度大小为2m/s2
B．行李从A运动到B的时间为2s
C．行李在传送带上滑行留下痕迹的长度为1m
D．如果提高传送带的运行速率，使行李从A处传送到B处的最短时间可为1s
课堂练习
【参考答案】AC
课堂练习
倾斜传送带（上传）
PART 01
【问题】如图,传送带与水平面夹角为θ,从A到B长度为L,传送带以v0的速率顺时针转动.在传送带上A端无初速地放一个质量为m的物体,它与传送带间的动摩擦因数为μ，试分析滑块在传送带上的运动情况.
A
B
v0
G
f
N
【说明】对物体受力分析如图，要使物块能上传，必须满足:
提出问题
01
mgcosθ >mgsinθ,
即 >tanθ
传送带长度 滑块在传送带上的运动情景 滑块运动情况 滑块运动的v-t图像
传送带刚够长
传送带不够长
传送带足够长
分类讨论
02
v0
v
v0
v0
v0
v0
滑块一直做匀减速
滑块一直做匀减速
滑块先做匀减速后匀速
v
t
v0
v0
v
t
v
v
t
v0
t1
倾斜传送带（下传）
PART 02
【问题】如图所示,传送带与水平面夹角为θ,从A到B长度为L,传送带以v0的速率逆时针转动.在传送带上A端无初速地放一个质量为m的物体,它与传送带间的动摩擦因数为μ，试分析滑块在传送带上的运动情况.
B
A
v0
f
G
N
(1)若μ＜tanθ
(2)若μ≥tanθ
提出问题
01
【说明】对物体受力分析如图，该问题对应两种不同情况：
传送带 滑块在传送带上的运动情景 滑块运动情况 滑块运动v-t图像
传送带刚够长
传送带不够长
传送带足够长
滑块一直做匀加速
滑块一直做匀加速
分类讨论
02
B
A
v0
v=0
若μ＜tanθ，则先以a1加速后以a2加速（ a1>a2）
若μ≥tanθ，则先做匀加速后匀速
v0
v
t
v
v
t
v0
t1
t2
v0
v
t1
v
t
t2
v0
t
倾斜传送带上的运动时间
（上传）
PART 03
【问题】如图所示,传送带与水平面夹角为θ,从A到B长度为L,传送带以v0的速率顺时针转动.在传送带A端无初速地放一个质量为m的物体,它与传送带间的动摩擦因数为μ，且μ≥tanθ，求物体从A运动到B需要的时间.
A
B
v0
提出问题
01
【讨论1】若传送带“不够长”(物体到达B时,速度仍小于传送带的速度)
物体从A运动到B一直做匀加速，故：
得：
分类讨论
02
对物体受力分析如图，则由牛顿第二定律可求出物块的加速度：
A
B
v0
G
f
N
【讨论2】若传送带“刚够长”(物体到B时,速度刚好等于传送带的速度)
物体从A运动到B一直做匀加速，故：
得：
A
B
v0
G
f
N
分类讨论
02
【讨论3】若传送带“足够长”(物体到B前,速度等于传送带的速度,之后由于受静摩擦力而做匀速运动)
物体做匀加速时间为t1,则:
物体做匀加速位移为x1,则:
物体做匀速时间为:
物体运动的总时间为:
得：
得：
A
B
v0
分类讨论
02
倾斜传送带上的运动时间
（下传）
PART 04
【问题】如图所示,传送带与水平面夹角为θ,从A到B长度为L,传送带以v0的速率逆时针转动.在传送带上端A无初速地放一个质量为m的物体,它与传送带间的动摩擦因数为μ，求物体从A运动到B需要的时间.
B
A
v0
f
G
N
提出问题
01
【讨论1】若传送带“不够长”(物体到达B时,速度仍小于传送带的速度)
对物体受力分析如图，则由牛顿第二定律可求出物块的加速度：
B
A
v0
f
G
N
【讨论2】若传送带“刚够长”(物体到B时,速度刚好等于传送带的速度)
物体从A运动到B一直做匀加速，故：
得：
分类讨论
02
B
A
v0
f
G
N
【讨论3】传送带“足够长”(物体到B前,速度等于传送带的速度,接下来,有可能由于受静摩擦力而做匀速运动,也可能做另外的匀加速运动)
分类讨论
02
B
A
v0
(1)若μ＜tanθ
(2)若μ≥tanθ
【说明】对物体受力分析如图，该问题对应两种不同情况：
f
G
N
滑块从A运动到与传送带同速过程，加速度为：
加速时间为：
当滑块与传送带同速时，若μ＜tanθ，则滑块继续沿传送带向下做加速运动，其加速度为：
位移由
得
位移为：
情景1：μ＜tanθ
B
A
v0
总时间为：
当滑块与传送带同速时，若μ≥tanθ，则滑动摩擦力突变为静摩擦力，此后滑块沿传送带向下做匀速运动。
匀速运动的位移为：
匀速运动的时间为：
则滑块在传送带上总的运动时间为：
情景2：μ≥tanθ
B
A
v0
【练习2】（2022·云南省玉溪第三中学高一开学考试）（多选）如图所示，足够长的倾斜传送带以某一不变的速率逆时针运行。一质量为m的物块无初速度轻放在传送带顶端，在物块下滑的过程中，物块的速度一时间图像可能正确的是（　　）
A． B． C． D．
课堂练习
【参考答案】AD
课堂练习
板块
06
A
B
v0
A
B
F
A
B
模型概述：一个物体在另一个物体上，两者之间或有相对运动、或相对静止。问题涉及时间、速度、加速度、位移及后面要学到的能量和动量等。
模型概述
01
因能全面考查运动与力和能等知识，故该类题型就成了各种类型考试的热点题型。
速度与加速度关系
02
2.加速度关系：如果滑块与木板之间没有发生相对运动，可以用“整体法”求出它们一起运动的加速度；如果滑块与木板之间发生相对运动，应采用“隔离法”求出滑块与木板运动的加速度。应注意找出滑块与木板是否发生相对运动等隐含条件。
1.速度关系：滑块与木板之间发生相对运动时，明确滑块与木板的速度关系，从而确定滑块与木板受到的摩擦力。应注意当滑块与木板的速度相同时，摩擦力会发生突变的情况。
设板长为L，滑块位移x1，滑板位移x2
同向运动时：
相向运动时：
x1
x2
L=x1-x2
L=x1+x2
x2
x1
滑块由滑板的一端运动到另一端的过程中:
1.若滑块和滑板同向运动，位移之差等于板长；
2.若滑块和滑板相向运动，位移之和等于板长.
位移关系
03
1.明确各物体初始状态(对地的运动和物体间的相对运动)，确定物体间的摩擦力方向;
2.分别隔离物体进行受力分析，准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变);
3.找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口.求解中应注意联系两个过程的纽带，即每一个过程的末速度是下一个过程的初速度.
解题思路
04
下面我们从四个不同角度来具体分析板块模型问题
无外力板块问题
PART 02
【例题1】如图所示，物块A、木板B的质量均为m=10kg，不计A的大小，木板B长L=3m。开始时A、B均静止。现使A以水平初速度v0从B的最左端开始运动。已知A与B、B与水平面之间的动摩擦因数分别为μ1=0.3和μ2=0.1，g取10 m/s2。
（1）发生相对滑动时，A、B的加速度各是多大？
（2）若A刚好没有从B上滑下来，则A的初速度v0为多大？
例题
01
【答案】 （1）3 m/s2，1 m/s2；（2）
【解析】（1）A在B上向右做匀减速运动，其加速度
木板B向右做匀加速运动，其加速度大小为
解析
02
（2）由题意可知，A刚好没有从B上滑下来，则A滑到B最右端时的速度与B的速度相同，设为v，则有
有恒定外力板块问题
PART 03
【例题2】如图所示，质量M＝8 kg的长木板放在光滑的水平面上，在长木板左端加一水平恒定推力F＝8 N，当长木板向右运动的速度达到1.5 m/s 时，在长木板前端轻轻地放上一个大小不计、质量为m＝2 kg的小物块，物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.2，长木板足够长。(g取10 m/s2)
(1)小物块放在长木板上后，小物块及长木板的加速度各为多大？
(2)经多长时间两者达到相同的速度？
(3)从小物块放上长木板开始，经过t＝1.5 s小物块的位移大小为多少？
F
例题
01
【解析】
(1)物块的加速度am＝μg＝2 m/s2
长木板的加速度aM＝＝0.5 m/s2。
(3)在开始1 s内小物块的位移x1＝amt2＝1 m ，1 s末速度为v＝amt＝2 m/s
在接下来的0.5 s物块与长木板相对静止，一起做加速运动且加速度为
a＝＝0.8 m/s2 ，这0.5 s内的位移为x2＝vt′＋at′2＝1.1 m
通过的总位移x＝x1＋x2＝2.1 m。
(2)由amt＝v0＋aMt可得t＝1 s。
解析
02
有变化外力板块问题
PART 04
【例题3】(多选)如图甲所示，足够长的薄木板B静置于光滑水平面上，其上放置小滑块A．木板B受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出木板B的加速度a和与之对应的水平拉力F，得到如图乙所示的a-F图象，已知g取10m/s2，则（　　）
A．滑块A与木板B间动摩擦因数为0.1
B．当F=10N时木板B加速度为2m/s2
C．木板B的质量为4kg
D．滑块A的质量为2kg
例题
01
【参考答案】BC
解析
02
斜面上的板块问题
PART 05
【例题4】如图所示，倾角 的足够长的光滑斜面固定在水平面上，斜面上放一长L=1.8m，质量M=3kg的薄木板，木板的最上端叠放一质量m=1kg的小物块，物块与木板间的动摩擦因数 ，对木板施加沿斜面向上的恒力F，使木板沿斜面由静止开始向上做匀加速直线运动，假设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。
（1）求物块相对木板静止时的最大加速度；
（2）为使物块不滑离木板，求力F应满足的条件；
例题
01
解析
02
总结提升
PART 06
解题点拨
1．分析题中滑块、滑板的受力情况，求出各自的加速度．
2．画好运动草图，找出位移、速度、时间等物理量间的关系．
3．明确每一过程的末速度是下一过程的初速度．
4．两者发生相对滑动的条件：
(1)摩擦力为滑动摩擦力（动力学条件）．
(2)二者速度或加速度不相等（运动学条件）
（其中动力学条件是判断的主要依据）

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