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第1节　曲线运动
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动速度的方向．
2．知道曲线运动是变速运动．
3．知道物体做曲线运动的条件．
4．会确定物体在平面内运动的位置、速度与轨迹．
一、随处可见的曲线运动
1．观察教材图112所示的各种运动，这些运动的轨迹有何特点？
提示：轨迹是曲线．
2．曲线运动：物体的轨迹是曲线的运动．
二、曲线运动的速度方向
1．观察教材图113和114描述的现象，如何确定曲线运动的速度方向？
(1)在砂轮切割钢材时，火花沿砂轮的切线飞出．
(2)小球离开护栏时，其速度方向沿护栏末端的切线方向．
2．曲线运动的速度
(1)速度方向：沿曲线在这一点的切线方向．
(2)运动性质：速度方向时刻在改变，曲线运动一定是变速运动．
3．思考：在沙漠中，甲壳虫在爬行过程中留下一段清晰的痕迹．如图所示，请标明甲壳虫在依次经过A、B、C各点时的速度方向．
提示：分别过A、B、C三点作曲线的切线，切线方向即为该点的速度方向．
三、曲线运动的条件
1．观察教材图117，钢球在磁铁的吸引下做曲线运动．试着在轨迹上标出一些位置的速度方向与磁铁的吸引力的方向，你发现了什么问题？
提示：速度的方向与吸引力的方向不在一条直线上．
2．物体做曲线运动的条件
(1)动力学角度：当物体所受合力的方向与其速度的方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动．
(2)运动学角度：当物体的加速度方向与其速度的方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动．
3．思考：拿出一枚硬币水平抛出后在空中(不计空气阻力)将做曲线运动，硬币做曲线运动的速度方向、合力方向及运动轨迹之间的空间关系怎样？大致画出轨迹，标出一些位置的速度方向与合力方向．
提示：如图，速度方向与合力方向不在一条直线上，轨迹处于速度与合力所夹角的范围里且向合力指向的一侧弯曲．
重要结论：在曲线运动中，物体的运动轨迹向合力F指向的一侧弯曲，轨迹夹在v与F之间．
探究一　曲线运动的速度
1．如图所示，过山车沿圆形轨道匀速转动，即转动过程中速度大小保持不变．
(1)上图中，过山车匀速转动，其速度发生变化吗？
提示：速度大小不变，方向时刻变化，即速度是变化的．
(2)过山车做的是曲线运动，其速度方向不断变化，那么如何确定物体在某一点的速度方向？
提示：过轨迹上的点作切线即为速度方向．
(3)物体做曲线运动时，加速度可以为零吗？为什么？
提示：不可以．因速度是变化的，一定有加速度．
2．曲线运动一定是变速运动，而变速运动一定是曲线运动吗？
提示：不一定．
(多选)关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动速度的方向不断地变化，但速度的大小可以不变
C．在曲线运动中，质点在任一位置的速度方向总是与这点的切线方向相同
D．在曲线运动中，质点的速度方向有时也不一定是沿着轨迹的切线方向
解析：做曲线运动的物体，速度方向时刻变化，但速度的大小不一定变化，故曲线运动一定是变速运动，选项A、B正确；曲线运动中速度的方向沿轨迹的切线方向，选项C正确，选项D错误．
答案：ABC
【题后总结】　曲线运动的特点是速度的方向时刻变化，是变速运动．
1．(多选)关于质点做曲线运动的说法，正确的是(　　)
A．速度大小一定在时刻变化
B．速度的方向一定在时刻变化
C．它一定在做变速运动
D．它可能是速率不变的运动
答案：BCD
探究二　物体做曲线运动的条件
1．物体做曲线运动的条件是速度与合力的方向不在一直线上．
2．物体做曲线运动时受到的合外力一定不为零，合外力一定是恒力吗？
提示：不一定．当物体受到的合力的方向与其运动方向不共线时，物体将做曲线运动，与其受到的合力大小是否变化无关．
如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B，这时突然使它所受的力反向而大小不变(即由F变为－F)，在此力作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是(　　)
A．物体可能沿曲线Ba运动
B．物体可能沿直线Bb运动
C．物体可能沿曲线Bc运动
D．物体可能沿原曲线由B返回A
解析：物体在A点时的速度vA沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动，此力F必有垂直于vA的分量，即力F可能为图中A处所示的各种方向之一；当物体到达B点时，瞬时速度vB沿B点的切线方向，这时受力F′＝－F，即F′只可能为图中B处所示的方向之一；可知物体以后只可能沿曲线Bc运动，所以选项C正确．
答案：C
【题后总结】　做曲线运动的物体其轨迹向力指向的一侧弯曲．
2．在2018年6月1日，在云南省西双版纳自治区景洪市坠落一颗陨石，图示是一目击者看到陨石在大气层中下落的一段运动轨迹，由此可判断陨石在图示的运动过程中(　　)
A．陨石所受合力可能为零
B．运动轨迹一每一点的切线方向，就是陨石的运动方向
C．陨石受到的合力方向可能与速度方向相同
D．陨石的运动速度可能不变
解析：陨石做曲线运动，则所受合力不可能为零，选项A错误；曲线运动轨迹上每一点的切线方向，就是陨石的运动方向，选项B正确；陨石做曲线运动，则受到的合力方向不可能与速度方向相同，选项C错误；陨石的运动速度方向不断变化，则速度不断变化，选项D错误；故选B．
答案：B
一、曲线运动的速度
1．曲线运动的速度
(1)曲线运动中质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向，就是质点从该时刻(或该点)脱离曲线后自由运动的方向，也就是曲线上这一点的切线方向．
(2)速度是一个矢量，既有大小，又有方向．假如在运动过程中只有速度大小的变化，而物体的速度方向不变，则物体只能做直线运动．因此，若物体做曲线运动，表明物体的速度方向发生了变化．
2．曲线运动的性质
(1)速度是矢量，它既有大小，又有方向．不论速度的大小是否改变，只要速度的方向发生改变，就表示速度矢量发生了变化，即加速度不为0.曲线运动中速度的方向在变，所以曲线运动一定是变速运动．
(2)曲线运动是否是匀变速运动取决于物体的合外力情况．合外力为恒力，物体做匀变速曲线运动；合外力为变力，物体做非匀变速曲线运动．
二、对物体做曲线运动条件的理解
1．物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力与速度方向不共线是物体做曲线运动的充要条件，这包含三个层次的内容．
①初速度不为零；
②合力不为零；
③合力与速度方向不共线．
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线．
2．物体的运动与合力的关系
(1)合外力方向与物体的速度方向在同一条直线上时，物体做加速直线运动或减速直线运动．
(2)合外力方向与物体的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动．
3．两个重要推论
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，物体做曲线运动，速率越来越大；合外力方向与速度方向夹角为直角时，物体做曲线运动，速率不变；合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做曲线运动，速率越来越小．
(2)物体的运动轨迹与合外力有关，物体运动时其轨迹总偏向合外力所指的一侧，或者说合外力总指向运动轨迹的凹侧．
三、曲线运动中力、轨迹与速度的关系
物体做曲线运动时轨迹的特点如图所示，F1、F2分别是F沿v和垂直于v方向的分力，正是由于F2的作用，物体的速度方向才不断发生变化而做曲线运动，所以物体的轨迹应弯向F的一侧，轨迹夹在v和F之间．
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动的速度大小可以不变，但速度方向一定改变
B．曲线运动的速度方向可以不变，但速度大小一定改变
C．做曲线运动的物体的速度方向可以改变也可以不变
D．做曲线运动的物体在某点的速度方向即为该点的切线方向
解析：物体做曲线运动的轨迹为曲线，其速度方向沿该点切线方向，故速度方向一定变化，所以选项A、D正确．
答案：AD
2．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．物体在恒力作用下可能做曲线运动
B．物体在变力作用下不可能做曲线运动
C．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度的方向不在同一直线上
D．物体在变力作用下有可能做曲线运动
解析：物体做曲线运动的条件是：物体所受合外力的方向与它的速度方向不在同一条直线上，这里合外力并未限定是变力还是恒力．物体可以受一个力，也可以受多个力，受力可以是恒力，也可以是变力，所以选项A、D正确，选项B错误．据牛顿第二定律可知，加速度方向与合外力方向一致，故可判断选项C正确．
答案：ACD
3．一质点在某段时间内做曲线运动，则在这段时间内(　　)
A．速度一定不断变化，加速度也一定变化
B．速度一定不断变化，加速度可能不变
C．速度可能不变，加速度一定不断变化
D．速度可能不变，加速度也可能不变
解析：曲线运动的速度不断改变，加速度不一定改变，故B正确，ACD错误．
答案：B
4．做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是(　　)
A．合外力　　　　　　 B．速率
C．速度 D．加速度
解析：曲线运动是变速运动，其速度一定变化，选项C正确；做曲线运动的物体，合外力既可以恒定不变，也可以是变化的，加速度也是这样，选项A、D错误；做曲线运动的物体，例如匀速圆周运动，其速率保持不变，选项B错误．
答案：C
5．(多选)一质点以水平向右的恒定速度v通过P点时受到一个恒力F的作用，则此后该质点的运动轨迹可能是图中的(　　)
A．a　　 B．b　　
C．c　　 D．d
解析：物体做曲线运动过程中，受到的合力总指向轨迹的内侧．当恒力沿水平方向作用于P点时，质点的运动轨迹可以是b；当恒力向上作用于P点时，质点的运动轨迹可以是a；质点的速度不能突变，所以c、d不可能，AB正确．
答案：AB
活页作业(一)　曲线运动
(15分钟　50分)
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动是一种匀变速运动
B．变速运动不一定是曲线运动
C．物体做曲线运动时，所受外力的合力可能与速度方向在同一条直线上
D．物体做曲线运动时，所受合力一定是变力
解析：做曲线运动的物体，其速度的方向时刻变化，所以曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动，选项A错误；变速运动不一定是曲线运动，如匀变速直线运动，选项B正确；物体做曲线运动的条件是物体所受合力的方向与速度方向不在同一直线上，选项C错误；物体做曲线运动，所受合力也可能是恒力，选项D错误．
答案：B
2．关于曲线运动，下列说法正确的是 (　　)
A．曲线运动一定是变速运动，速度的大小一定变化
B．曲线运动中加速度一定不为零，但可以恒定不变
C．曲线运动中的物体不可能受到恒力作用
D．在平衡力作用下的物体可以做曲线运动
解析：由于物体做曲线运动时，其轨迹上各点的切线方向不同，故其速度方向一定变化，但速度大小可能不变，故选项A错误；若做曲线运动的物体所受的合力为恒力，则加速度不变，否则加速度变化，故选项B正确，选项C错误；物体在平衡力作用下保持静止状态或做匀速直线运动，故选项D错误．
答案：B
3．关于曲线运动，下列说法中正确的是(　　)
A．物体所受合外力的方向与速度方向在同一条直线上
B．物体的速度方向必定变化
C．物体的加速度可以为零
D．恒力作用下物体不可能做曲线运动
解析：A、物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向与速度方向不在同一条直线上，故A错；B、曲线上每一点的切线方向表示速度的方向，所以物体的速度方向必定变化，故B正确；C、物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向与速度方向不在同一条直线上，也就是物体所受合外力不为零，所以加速度也不为零，故C错；D、恒力作用下物体可以做曲线运动，故D错．
答案：B
4．(多选)关于做曲线运动物体的速度和加速度，下列说法正确的是(　　)
A．速度方向不断改变，加速度方向不断改变
B．速度方向不断改变，加速度一定不为零
C．加速度越大，速度的大小改变得越快
D．加速度越大，速度改变得越快
解析：物体做曲线运动时，速度方向时刻改变，受到外力作用，由牛顿第二定律知，加速度一定不为零，而加速度方向不一定是变化的；由加速度物理意义知，加速度越大，速度改变越快，而速度的改变可能是大小或方向的改变，故选项A、C错误，选项B、D正确．
答案：BD
5．(多选)关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体运动状态改变，它一定做曲线运动
B．物体做曲线运动，它的运动状态一定在改变
C．物体做曲线运动时，它的加速度的方向始终和速度的方向一致
D．物体做曲线运动时，它的加速度方向始终和所受到的合外力方向一致
解析：物体运动状态的改变是指物体运动速度的变化，包括速度大小或方向的变化．若物体只改变速度的大小而保持方向不变，则物体做直线运动，故选项A错误．而曲线运动是变速运动，它的运动状态一定改变，故选项B正确．物体做曲线运动的条件是合外力方向与速度方向不共线，而加速度方向就是合外力的方向，故选项C错误，选项D正确．
答案：BD
6．关于物体做曲线运动的条件，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受的合力是变力
B．物体所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上
C．物体所受合力的方向与加速度的方向不在同一条直线上
D．物体所受合力的方向一定是变化的
解析：物体做曲线运动是由于所受合力的方向与速度方向不在一条直线上，而与合力是恒力还是变力、合力方向是否变化均无关，故选项A、D错误，选项B正确；由牛顿第二定律可知，选项C错误．
答案：B
7．小球在水平桌面上做匀速直线运动，当它受到如图所示的力F的作用时，小球可能运动的方向是(　　)
A．Oa　　　　　　 B．Ob
C．Oc D．Od
解析：做曲线运动的小球其轨迹应向着受力方向弯曲，故选项D正确．
答案：D
二、非选择题(15分)
8．一物体沿着曲线由P到Q运动，试在图中画出物体经过A点时的速度和加速度的方向．
答案：
(25分钟　50分)
选择题(每小题5分，共50分)
1．(多选)对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．其运动的位移大小等于其路程
B．其位移的大小有可能等于其路程
C．其位移的大小一定小于其路程
D．其位移的方向仍是由初位置指向末位置
解析：做曲线运动的物体的路程一定大于位移的大小，故选项A、B错误，选项C正确；位移的方向始终是由初位置指向末位置，选项D正确．
答案：CD
2．(多选)关于曲线运动的下列说法正确的是(　　)
A．任何曲线运动都是变速运动
B．任何变速运动都是曲线运动
C．做曲线运动物体的速度有可能不变
D．物体的速度如果不变是不可能做曲线运动的
解析：曲线运动速度方向沿曲线上某点的切线方向，时刻发生变化，曲线运动是变速运动，选项A、D正确，选项C错误；速度不变的是匀速直线运动，变速运动也可能是速度大小改变而方向不变的变速直线运动，选项B错误．
答案：AD
3．(多选)某质点做曲线运动时，则(　　)
A．在某一点的速度方向是该曲线的切线方向
B．在任意时间内位移的大小总是大于路程
C．在任意时刻质点受到的合外力不可能为零
D．速度的方向与合外力的方向必不在同一条直线上
解析：曲线运动过程中质点的速度方向沿曲线的切线方向，选项A正确；曲线运动过程中路程总是大于位移大小，选项B错误；曲线运动过程中，速度在变化，加速度不为零，所以合力不为零，选项C正确；根据做曲线运动的条件，即合力与运动方向不共线，选项D正确．
答案：ACD
4．在曲线运动中，如果速率保持不变，那么运动物体的(　　)
A．加速度方向就是曲线上该点的切线方向
B．加速度大小不变，方向与物体运动方向一致
C．加速度大小不变，某点的加速度方向与曲线上该点的切线方向一致
D．加速度大小和方向由物体在该点所受合外力决定，加速度方向与曲线上该点的切线方向垂直
解析：根据牛顿第二定律可得曲线运动的加速度大小和方向是由物体受到的合力决定的，对于速率保持不变的曲线运动，加速度方向与曲线上这一点的切线方向垂直，选项D正确．
答案：D
5．我国“嫦娥三号”探月卫星经过无数人的协作和努力，在2013年12月24日晚6点多发射升空．“嫦娥三号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小．在此过程中探月卫星(探月卫星视为质点)，所受合力方向可能是下列图中的(　　)
解析：做曲线运动物体的运动轨迹向合力方向弯曲，选项A、D错误；卫星速度减小，表明它的合力沿切线方向的分力与速度方向相反，如图所示，故选项B错误，选项C正确．
答案：C
6．做曲线运动的物体，在其轨迹曲线上某一点的加速度方向(　　)
A．为通过该点的曲线的切线方向
B．与物体在这一点时所受合力方向垂直
C．与物体在这一点的速度方向一致
D．与物体在这一点的速度方向的夹角一定不为零
解析：由牛顿第二定律可知，物体的加速度一定与其所受的合力同向，而物体做曲线运动时，它所受的合力与速度方向不在同一直线上，即成一定夹角，故选项D正确．
答案：D
7．(多选)一质点在光滑水平面上做匀速直线运动，现给它施加一水平恒力，则下列说法错误的是(　　)
A．施加水平恒力后，质点立即有加速度，速度也立即变化
B．施加水平恒力以后，质点一定做匀变速曲线运动
C．施加水平恒力以后，质点一定做匀减速直线运动
D．施加水平恒力以后，质点可能做匀加速直线运动
解析：根据牛顿第二定律的瞬时性即加速度与合外力具有瞬时对应关系可知，施加水平恒力后，质点立即有加速度，根据Δv＝aΔt可知，速度的改变与加速度和作用时间有关， 施加水平恒力后的瞬间，速度不会发生突变，选项A错误；若施加的水平恒力与速度方向共线，质点一定做直线运动，可能匀加速也可能匀减速，若不共线，质点一定做曲线运动，选项B、C错误，选项D正确．
答案：ABC
8．如图所示，若已知物体运动初速度v0的方向及该物体受到的恒定合外力F的方向，图中虚线表示物体的运动轨迹，下列正确的是(　　)
解析：曲线运动的速度的方向是沿着运动轨迹的切线的方向，由此可以判断BC错误；曲线运动的物体受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧，由此可以判断D错误，故A正确．
答案：A
9．一小球在水平面上移动，每隔0.02秒小球的位置如图所示．每一段运动过程分别以甲、乙、丙、丁和戊标示．试问在哪一段，小球所受的合力为零(　　)
A．甲　　 B．乙　　
C．丙　　 D．戊
解析：小球所受的合力为零时，物体处于静止或匀速直线运动状态，根据图象可知，甲阶段做减速直线运动，乙阶段做曲线运动，丙阶段做匀速直线运动，丁阶段做曲线运动，戊阶段做加速直线运动，故丙阶段小球所受的合力为零，故C正确，ABD错误．
答案：C
10．对于曲线运动，下列说法中正确的是(　　)
A．速度方向可能不变
B．加速度一定是变化
C．速度方向和加速度方向不可能一致
D．合外力一定与速度方向垂直
解析：做曲线运动的物体速度方向一定变化，选项A错误；加速度不一定是变化的，例如平抛运动，选项B错误；速度方向和加速度方向不可能一致，选项C正确；合外力一定不一定与速度方向垂直，选项D错误；故选C．
答案：C
第2节　运动的合成与分解
1．知道什么是运动的合成与分解．
2．会运用运动的合成与分解解决相关问题．
一、位移和速度的合成与分解
1．观察教材图121所示的小船过河的运动：小船渡河时，如果河水不流动，小船将沿与河岸垂直的方向运动；如果河水流动，关闭小船的发动机，小船将沿河岸顺流而下．请思考：当小船开动发动机，河水是流动的，小船将到达对岸的何处？为什么？
提示：到达对岸的下游某位置，因小船参与了上述的两个运动．
2．合运动与分运动
(1)概念：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)运动的合成与分解的运算法则：合成与分解的内容是位移、速度、加速度的合成与分解，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则．
(3)合运动与分运动的关系：
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
等时性 各分运动与合运动同时发生，同时结束，经历的时间相同
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
二、运动的合成与分解的应用
1．运动的合成：已知分运动求合运动．
2．运动的分解：已知合运动求分运动．
探究一　互成角度的两个直线运动的合运动的性质
1．怎样判断互成角度的两个直线运动的合运动的性质？试根据平行四边形作出以下几种情况的速度或加速度的示意图，并由此说明其合运动的性质．
(1)两个匀速直线运动的合运动．
(2)一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动．
(3)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动．
(4)两个初速度不为零的匀加速直线运动的合运动．
提示：(1)　仍是匀速直线运动．
(2)　一定是匀变速曲线运动．
(3)　一 定是初速度为零的匀加速直线运动．
(4)
若a与v共线，合运动是匀变速直线运动．
若a与v不共线，合运动是匀变速曲线运动．
2．结论：(1)互成角度的两个匀速直线运动的合运动是匀速直线运动．
(2)互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速曲线运动．
(3)互成角度的两个匀变速直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动．
如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮．现当红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平匀加速向右运动，则蜡块运动的轨迹可能是(　　)
A．直线P　　　　　　 B．曲线Q
C．曲线R D．无法确定
解析：对蜡块的运动分析如下：
答案：B
【题后总结】　解答曲线运动类问题的关键是要明确以下三点：
(1)分运动与合运动的关系；
(2)物体做曲线运动的条件：合外力(或加速度)方向与速度方向不共线；
(3)曲线运动中曲线向合外力(或加速度)方向一侧弯曲．
1．(多选)一物体在xOy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度随时间t变化的图像分别如图甲、乙所示，则物体在0～t0时间内(　　)
A．做匀变速运动 B．做非匀变速运动
C．运动的轨迹可能如图丙所示 D．运动的轨迹可能如图丁所示
解析：0～t0时间内物体在x轴方向做匀速直线运动，在y轴方向上做匀减速直线运动，所受合力沿y轴负方向且大小保持不变，物体做向y轴负方向弯曲的匀变速曲线运动，故选项A、C正确．
答案：AC
探究二　小般渡河实例分析
　小船(小船视为质点)在有一定流速的水中渡河时，参与两个方向的分运动，即随水流的运动(水流的速度v水)和小船相对水的运动(即船在静水中的速度v船)，小船的实际运动是合运动(v合)．
(1)若使小船垂直于河岸过河(过河位移最短)，应将船头偏向上游，如图所示，此时过河时间
t＝＝．
(2)若使小船过河的时间最短，应使船头正对河岸行驶，如图所示，此时过河时间t＝，小船一定在对岸下游处靠岸．
(多选)小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图，如图所示．图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变，并且大于河水的流动速度．则(　　)
A．航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短
B．航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短
C．航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短
D．航线图丁不正确，如果船头保持图中的方向，船的轨迹应该是曲线
解析：题图甲中小船的船头垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，故选项A正确；题图乙中根据平行四边形定则知，合速度的方向正好垂直河岸，过河的位移最小，故选项B正确；题图丙中由于有水流速度，因此不可能出现此现象，故选项C错误；题图丁中合速度的方向不可能是图示的虚线方向，航线图丁不正确，但合速度恒定，船的轨迹为直线，故选项D错误．
答案：AB
【题后总结】　小船渡河时其航行的方向为合速度的方向．找出小船的航向，确定合速度的方向是解决此类问题的关键．
2．如图所示，河水的流速保持不变，为使小船由O点沿虚线匀速航行，船头的指向应为图中的(　　)
A．①方向　 B．②方向　
C．③方向　 D．④方向
解析：因为水流速度小于静水速度，则合速度与河岸垂直时，渡河航程最短，最短航程等于河的宽度，要使航程最短，则船在静水中速度与河岸有一定的夹角，且偏向上游，由图可以知道B正确，ACD错误．故选B．
答案：B
探究三　“关联”速度的分解
1．“关联”速度
在运动过程中，绳、杆等有长度的物体，其两端点的速度通常是不一样的，但两端点的速度是有联系的，我们称之为“关联”速度．如图1和图2所示．
2．规律
(1)物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果确定．
(2)沿绳(或杆)方向的分速度大小相等．
3．速度分解的方法(求解方法)
为了解题方便，通常将物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，根据沿绳(或杆)方向的分速度大小相等列方程求解．
用跨过定滑轮的绳把湖中小船向右拉到岸边的过程中，如图所示，如果保持绳子的速度v不变，则小船的速度(　　)
A．不变　　　　　 B．逐渐增大
C．逐渐减小 D．先增大后减小
解析：小船的运动为实际运动，故把小船的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子斜向下方向的两个分运动，如图所示．小船运动过程中保持绳子速度大小不变，两个分运动方向始终垂直，合运动方向不变，绳子与水平方向的夹角θ逐渐增大．v船＝，由于θ不断增大，则cos θ不断减小，故v船逐渐增大．选项A、C、D错误，选项B正确．
答案：B
【误区警示】(1)误认为小船的速度大小与绳子的速度大小相同，错选A项，实际上两个速度满足合运动与分运动的关系．错误地将绳子的运动速度v沿小船前进的方向和竖直向上方向分解，设绳子与水平方向的夹角为θ，得到小船的速度大小v′＝vcos θ，错选C项．
(2)物体的实际运动为合运动，分解运动时应分解物体的实际运动，同时应按实际运动效果分解．绳子牵引物体运动时，应将物体的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向的两个分运动．
3．(多选)如图所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m，水的阻力恒为f，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时(　　)
A．人拉绳行走的速度为vcos θ
B．人拉绳行走的速度为
C．船的加速度为
D．船的加速度为
解析：船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v人＝v∥＝vcos θ，选项A正确，选项B错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F，与水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，解得a＝，选项C正确，选项D错误．
答案：AC
1．关于运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．合速度的大小一定比每个分速度的大小都大
B．合运动的时间等于两个分运动经历的时间之和
C．两个速率不相等的匀速直线运动的合运动一定也是匀速直线运动
D．只要两个分运动是直线运动，合运动一定也是直线运动
解析：合速度可能比分速度大，可能比分速度小，还可能与分速度等大，选项A错误；合运动与各分运动经历的是同一个时间，选项B错误；两个分运动是匀速直线运动，说明合运动的合力为零，合运动一定是匀速直线运动，选项C正确；不共线的匀速直线运动和匀变速直线运动的合运动为匀变速曲线运动，选项D错误．
答案：C
2．某人游珠江如图所示，他以一定速度保持头部始终垂直河岸向对岸游去．江中各处水流速度相等，他游过的路程、过河所用的时间与水流速度的关系是(　　)
A．水流速度大时，路程长，时间长
B．水流速度大时，路程长，时间短
C．水流速度大时，路程长，时间不变
D．路程、时间与水流速度无关
解析：设此人在静水中游速为v游，河宽为d，水流速为v水．此人渡河时保持头部始终与河岸垂直，渡河时间t＝，与v水无关，即过河时间不变，渡河路程l＝，所以v水越大，路程越长，故选项C正确．
答案：C
3．(多选)如图甲所示，细玻璃管两头封闭，里面灌满了水，一个直径小于管内径的蜡块浮在玻璃管顶端A处，现将玻璃管迅速调转让A端朝下，并让其水平向右运动，如图乙和丙所示．不计阻力和摩擦力，可以观察到蜡块的运动轨迹为图乙和图丙中虚线所示的情况．则关于玻璃管水平方向的运动的判断，下列说法中正确的是(　　)
A．图乙中玻璃管水平方向一定是匀加速直线运动
B．图丙中玻璃管水平方向一定是匀速直线运动
C．图丙中玻璃管水平方向可能是匀速直线运动
D．图乙中玻璃管水平方向可能是匀速直线运动
解析：A、图乙中，运动轨迹是直线，则可判定，若有加速度，则合初速度与合加速度共线，若没有加速度，则水平方向做匀速直线运动，因此玻璃管水平方向可能加速直线运动，也可能匀速直线运动，故A错误，D正确；B、图丙中，运动轨迹是曲线，则可判定，有加速度，则合初速度与合加速度不共线，因此玻璃管水平方向可能匀速直线运动，故C正确，B错误．
答案：CD
4．关于相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合运动，下列说法正确的是(　　)
A．一定是曲线运动 B．可能是直线运动
C．运动的方向不变 D．速度一直在变，是变加速运动
解析：决定物体运动性质的条件是初速度和加速度，当加速度方向与速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动，当加速度方向与速度方向在一条直线上时，物体做直线运动，若加速度恒定，则物体做匀变速运动．相互垂直的一个匀速直线运动和一个匀加速直线运动的合成，两个分运动不在一条直线上，且加速度是不变的，故其合运动一定是匀变速曲线运动，所以选项A正确．
答案：A
5．已知某船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行．
(1)欲使船以最短时间渡河，航向怎样？最短时间是多少？船发生的位移有多大？
(2)欲使船以最小位移渡河，航向又怎样？渡河所用时间是多少？
解析：(1)当渡河时间最短时，其速度关系如图甲，此时船头垂直河岸．
甲
渡河最短时间t＝＝25 s
船沿河岸方向位移x＝v2t＝75 m
船的位移l＝＝125 m．
(2)当船渡河位移最小时，其速度关系如图乙，因船在静水中的速度为v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸．如图所示，设船头斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，cos θ＝＝，则有v＝＝ m/s，所用的时间为t＝＝ s．
乙
答案：见解析
活页作业(二)　运动的合成与分解
(15分钟　50分)
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．关于运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的时间等于分运动的时间之和
B．合运动的时间大于任意一个分运动的时间
C．合运动的时间小于任意一个分运动的时间
D．合运动和分运动是同时进行的
解析：分运动就是由合运动根据实际效果分解来的，分运动的时间与合运动的时间相等，即合运动与分运动同时发生同时结束，所以选项D正确．
答案：D
2．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，但着地前一段时间内风力突然停止，则其运动的轨迹可能是(　　)
解析：当有水平向右的风力时，合力指向右下方，轨迹向右弯曲；风力停止时，合力向下，轨迹向下弯曲，且轨迹不能急折，故选项C正确．
答案：C
3．(多选)如图所示，某人由A点划船渡河，船头指向始终与河岸垂直，小船在静水中的速度恒定，则下列说法正确的是(　　)
A．小船能到达正对岸的B点
B．小船能到达正对岸B点的左侧
C．小船到达对岸的位置与水流速度有关
D．小船到达对岸的时间与水流速度无关
解析：船头指向始终与河岸垂直，由运动合成的知识可知，小船只能到达正对岸的右侧，故选项A、B错误；小船到达对岸的位置与水流速度有关，水流速度越大，位置就越偏右，选项C正确；小船到达对岸的时间与河岸的宽度和小船在静水中的速度有关，根据运动的独立性可知，过河时间与水流速度无关，选项D正确．
答案：CD
4．(多选)一只小船渡河，小船在渡河过程中船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定不变．现小船相对于静水以初速度v0分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，由此可以判断(　　)
A．小船沿AD轨迹运动时，小船相对于静水做匀减速直线运动
B．小船沿三条不同路径渡河的时间相同
C．小船沿AB轨迹渡河所用的时间最短
D．小船沿AC轨迹到达对岸的速度最大
解析：由题意知，小船在平行于河岸方向做匀速直线运动，小船沿AD轨迹运动时，合力方向指向曲线的凹侧，即合力与v0反向，则小船在垂直于河岸方向上做匀减速直线运动，所以选项A正确；同理可得小船沿AC轨迹运动时，合力与v0同向，则小船在垂直于河岸方向上做匀加速直线运动；由于加速度a必须与v0共线，故沿AC轨迹运动时a＝0，即小船在垂直于河岸的方向上以v0做匀速直线运动；沿垂直河岸方向初速度均为v0，所以小船沿AC轨迹到达对岸的速度最大，用时最短，故选项B、C错误，选项D正确．
答案：AD
5．如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离为x，v水与x的关系为v水＝x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是(　　)
A．小船渡河的轨迹为直线
B．小船在河水中的最大速度是5 m/s
C．小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度
D．小船渡河的时间是160 s
解析：小船的速度为沿船头指向和沿水流方向的两个分运动的分速度的矢量和，而两个分速度垂直，故当沿水流方向的分速度最大时，合速度最大，合速度的方向随水流方向的分速度的变化而变化，故小船到达河中心时速度最大，且运动轨迹为曲线，A错误，当船到河中央时，水流速度达到最大，根据矢量的合成，船在河水中的最大速度v＝＝5 m/s，B正确；小船距南岸200 m处，则水流速度为v＝×200＝1.5 m/s，而小船距北岸200 m处时，水流速度也为1.5 m/s；根据速度的合成可知，它们的速度大小相等，方向不同，C错误；将小船的运动分解为沿船头指向和顺水流方向的两个分运动，两个分运动同时发生，互不干扰，故渡河时间与顺水流方向的分运动无关，当船头与河岸垂直时，沿船头方向的分运动的分位移最小，故渡河时间最短，最短时间为t＝＝ s＝200 s．D错误．
答案：B
二、非选择题(每小题10分，共20分)
6．一条小船正在以5 m/s的速度相对水且船头指向正对岸渡河，水流速度为3 m/s，若河宽为200 m．试分析计算：
(1)船能否到达出发点的正对岸？
(2)船员登陆的地点离船出发点正对岸的距离是多少？
解析：(1)如图所示，其合速度指向对岸的下游，所以不能到达正对岸．
(2)由垂直河岸方向的位移和速度可求得渡河时间为t＝＝ s＝40 s
沿水流方向的位移x＝v1t＝3×40 m＝120 m．
答案：(1)不能　(2)120 m
7．如图甲所示，在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡块(蜡块视为质点)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧，然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1 s上升的距离都是10 cm，玻璃管向右匀加速平移，每1 s通过的水平位移依次是2.5 cm、7.5 cm、12.5 cm、17.5 cm.图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t＝0时蜡块位于坐标原点．
(1)请在图乙画出蜡块4 s内的轨迹．
(2)求玻璃管向右平移的加速度a．
(3)求t＝2 s时蜡块的速度v．
解析：(1)轨迹如图所示
(2)根据Δx＝a(Δt)2，则a＝＝ m/s2＝0.05 m/s2
(3)t＝2 s时蜡块的水平速度vx＝ m/s＝0.1 m/s，竖直速度vy＝0.1 m/s，则合速度v＝ m/s
答案：(1)见解析图　(2)a＝0.05 m/s2　(3)v＝ m/s，与水平方向成45°向上
(25分钟　50分)
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是(　　)
解析：静水速垂直于河岸，合速度的方向偏向下游．且过河时间最短，故选项A正确．根据平行四边形定则知，合速度的方向正好垂直河岸，过河的位移最小．故选项B正确．由于流水速度，因此不可能出现此现象，故选项C错误；船头的指向为静水速的方向，静水速的方向与流水速度的合速度的方向不可能是图示方向．选项D错误．
答案：AB
2．关于运动合成与分解，下列叙述正确的是(　　)
A．合运动的速度大小等于分运动的速度大小之和
B．两个分运动若是直线运动，则它的合运动一定是直线运动
C．合运动和分运动具有等时性
D．若合运动是曲线运动，则其分运动中至少有一个是曲线运动
解析：运动的合成与分解遵循平行四边形定则，选项A错误；两个分运动是直线运动，其合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，选项B、D错误；合运动与分运动具有等时性，选项C正确．
答案：C
3．(多选)河水的流速与河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间渡河，则(　　)
A．船渡河的最短时间是60 s
B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
解析：由甲图可知河宽300 m，船头始终与河岸垂直时，船渡河的时间最短，则t＝＝ s＝100 s，选项A错误，选项B正确．由于船沿河向下游漂流的速度大小始终在变，故船的实际速度的大小、方向也在时刻发生变化，船在河水中航行的轨迹是曲线，选项C错误．船沿河向下游漂流的过程中水流的最大速度为4 m/s，所以船在河水中的最大速度vmax＝ m/s＝5 m/s，选项D正确．
答案：BD
4．如图所示，河水以相同的速度向右流动，落水者甲随水漂流，至b点时，救生员乙从O点出发对甲实施救助，则救生员乙相对水的运动方向应为图中的(　　)
A．Oa方向　　　　　　 B．Ob方向
C．Oc方向 D．Od方向
解析：人在水中相对于水游动的同时还要随着水一起相对地面向下游漂流，以水为参考系，落水者甲静止不动，则救援者直接沿着Ob方向即可对甲实施救助，故选B．
答案：B
5．(多选)质量为m＝2 kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面上建立xOy坐标系，t＝0时物体位于坐标系的原点O.物体在x轴和y轴方向的分速度vx、vy随时间t变化的图线如图甲、乙所示．则(　　)
A．t＝0时，物体速度的大小为3 m/s
B．t＝8 s时，物体速度的大小为4 m/s
C．t＝8 s时，物体速度的方向与x轴正向夹角为37°
D．t＝8 s时，物体的位置坐标为(24 m,16 m)
解析：由题图可知，t＝0时刻，vx＝3 m/s，vy＝0，所以t＝0时刻，物体的速度大小v0＝3 m/s，选项A正确；t＝8 s时，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物体的速度大小v＝＝5 m/s，选项B错误；速度方向与x轴正向夹角设为α，则tan α＝＝，α＝53°，选项C错误；t＝8 s时，物体的位置坐标x＝vxt＝24 m，y＝ayt2＝16 m，所以t＝8 s时，物体的位置坐标为(24 m,16 m)，选项D正确．
答案：AD
二、非选择题(每小题10分，共20分)
6．质量m＝2 kg的物体在光滑的水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图所示，求：
(1)物体的初速度大小．
(2)物体所受的合力．
(3)t＝4 s时物体的位移．
(4)物体的轨迹方程．
解析：(1)由题图可知，物体在x方向做匀速直线运动，vx＝3 m/s，物体在y方向也做匀速直线运动，vy＝4 m/s，则物体的合初速度v＝＝ m/s＝5 m/s．
(2)物体的合运动是匀速直线运动，故所受的合力为零．
(3)t＝4 s时，x＝vxt＝3×4 m＝12 m，y＝vyt＝4×4 m＝16 m，物体的位移s＝＝ m＝20 m，tan θ＝＝＝，则θ＝53°，即位移方向与x轴方向的夹角为53°．
(4)由x＝vxt，y＝vyt，消去时间t得y＝x．
答案：(1)5 m/s　(2)零　(3)20 m，方向与x轴方向的夹角为53°　(4)y＝x
7．如图所示，起重机将重物吊运到高处的过程中经过A、B两点，重物的质量m＝500 kg，A、B间的水平距离d＝10 m．重物自A点起，沿水平方向做vx＝1.0 m/s 的匀速运动，同时沿竖直方向做初速度为零、加速度a＝0.2 m/s2的匀加速运动，忽略吊绳的质量及空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)重物由A运动到B的时间．
(2)重物经过B点时速度的大小．
(3)由A到B的位移大小．
解析：(1)重物在水平方向做匀速运动，从A到B的时间
t＝＝ s＝10 s．
(2)重物在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以竖直方向分速度vy＝at＝0.2×10 m/s＝2 m/s
B点合速度
v＝＝ m/s＝ m/s．
(3)重物的水平位移
x＝vxt＝1×10 m＝10 m
竖直位移
y＝at2＝×0.2×102 m＝10 m
A到B的位移
xAB＝＝ m＝10 m．
答案：(1)10 s　(2) m/s　(3)10 m
第3节　平抛运动
1．知道抛体运动的概念及特点、类型．
2．掌握平抛运动的规律，知道其性质．
3．会应用运动的合成与分解的方法分析平抛运动和类平抛运动．
4．了解斜抛运动的性质及处理思路．
一、什么叫平抛运动
1．平抛运动：将物体以一定的初速度水平抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下的运动．
2．思考：如图所示，用小锤打击弹性金属片，A球沿水平方向抛出，B球自由下落，观察两球哪个先落地．改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察两球哪个先落地．
(1)A、B两球分别做什么运动？
提示：A球做平抛运动，B球做自由落体运动．
(2)如何判断两球是否同时落地？
提示：听小球与地面的撞击声是一次还是两次．
(3)通过实验我们发现两球同时落地，这说明什么？
提示：说明A球在竖直方向做自由落体运动．
3.
二、平抛运动的规律
阅读教材“平抛运动的规律”部分，回答下列问题．
1．如图，物体被水平抛出后做平抛运动，经过时间t，运
动到P点，P点的坐标为(x，y)．
(1)物体在运动过程中，相对抛出点O的位移l有何特点？
提示：大小、方向都在变化．
(2)物体在x和y方向上的分位移的变化规律如何？
提示：x方向，x＝v0t；y方向，y＝gt2
(3)怎样计算t时刻物体相对于抛出点O的位移？
提示：l＝．
(4)以抛出时为计时起点，请探究分析t时刻小球的速度大小和方向．
提示：如图，初速度为v0的平抛运动，经过时间t后，其水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy＝gt.根据运动的合成规律可知，小球在t时刻的速度(即合速度)大小为v＝＝，设t时刻小球的速度与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝．
2．归纳：平抛运动的速度
由①②式可得出t时刻的速度为v＝.v与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝．
探究一　平抛运动
1．对平抛运动的理解
(1)条件：①具有水平初速度，②只受重力．
(2)性质：加速度为g的匀变速曲线运动．
(3)处理思路：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
2．如图所示，一人正练习投掷飞镖，请思考：
(1)飞镖投出后，其加速度的大小和方向是怎样的？
提示：a＝g，方向竖直向下．
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？
提示：是匀变速运动．
(3)如果飞镖下落的时间足够长，其速度的方向可以变为竖直方向吗？
提示：不能．任一时刻的水平分速度均为v0．
(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动
B．平抛运动的速度方向与恒力方向的夹角保持不变
C．平抛运动的速度大小是时刻变化的
D．平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小
解析：平抛运动的物体只受重力作用，故选项A正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化，由v＝知，合速度v在增大，选项C正确；对平抛物体的速度方向与加速度方向的夹角θ有tan θ＝＝，因t一直增大，所以tan θ变小，θ变小，故选项D正确，选项B错误．
答案：ACD
【题后总结】　关于平抛运动的四点关键：
(1)受力：只受重力，合力恒定不变．空气阻力不能忽略的运动不是平抛运动．
(2)加速度：平抛运动的加速度为自由落体加速度，加速度恒定不变，与物体的初速度大小和质量无关．
(3)速度：平抛运动的水平分速度恒定不变，竖直分速度的大小越来越大，合速度的大小、方向都不断变化，合速度的方向与竖直方向的夹角逐渐减小，但不会是零．
(4)位移：平抛运动位移的大小、方向都不断变化，其方向与速度方向不一致．
1．(多选)关于平抛物体的运动，下列说法正确的是(　　)
A．做平抛运动的物体，速度和加速度都随时间的增加而增大
B．做平抛运动的物体仅受到重力的作用，所以加速度保持不变
C．平抛物体的运动是匀变速运动
D．平抛物体的运动是变加速运动
解析：做平抛运动的物体，速度随时间不断增大，但由于只受恒定不变的重力作用，所以加速度是恒定不变的，选项A错误，选项B正确．平抛运动是加速度恒定不变的曲线运动，所以它是匀变速曲线运动，选项C正确，选项D错误．
答案：BC
探究二　平抛运动的规律
1．物体做平抛运动的轨迹如图所示，请思考以下问题：
(1)分析曲线运动的基本思路和方法是什么？如何对平抛运动进行研究？
(1)提示：把曲线运动分解为相互垂直的两个分运动来研究．把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动来研究．
(2)平抛运动的时间、水平位移和落地速度由哪些因素决定？
提示：平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝，可知做平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度有关，与初速度的大小无关．
平抛运动的水平位移：由x＝v0t＝v0知，做平抛运动的物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定．
落地速度：v＝＝，即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定．
(3)如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点，速度的反向延长线交OB于A点，试证明A是OB的中点．
提示：OB＝v0t
AB＝＝gt2·＝gt2·＝v0t．
可见AB＝OB，所以A为OB的中点．
(4)若平抛运动的速度偏向角为θ，位移的偏向角为α，如图所示，试证明tan θ＝2tan α．
提示：tan θ＝＝
平抛运动的位移偏向角为α，则
tan α＝＝＝
可见位移偏向角与速度偏向角不等，tan θ＝2tan α．
2．由于运动的等时性，那么大家能否根据前面的结论求出平抛运动的物体在空中运动的时间，这个时间取决于什么因素？如图所示，求以下三种情况下平抛运动的时间．
提示：t＝，取决于竖直高度．
① 　②tan α＝，t＝　③
小球以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，空气阻力不计．求：
(1)小球在空中飞行的时间．
(2)抛出点距地面的高度．
(3)水平射程．
解析：(1)如图所示，经时间t小球落地，此时小球竖直分速度vy＝
且vy＝gt
可得t＝．
(2)法一：在竖直方向上小球做自由落体运动，则
h＝y＝gt2＝g·＝．
法二：h＝vyt＝．
法三：v＝2gh，h＝．
(3)在水平方向上做匀速直线运动，则x＝v0t＝．
答案：(1)　(2)　(3)
【题后总结】　本题具有一定的代表性，在已知平抛运动初、末速度的条件下可以计算飞行时间、水平距离和抛出高度．
2．从高为80 m的塔顶以15 m/s的速度水平抛出一个小铁球，求小球落地时的速度和整个过程的位移．(不考虑空气阻力，g取10 m/s2，计算结果保留整数)
解析：小球的运动过程如图所示．
t＝＝4 s，vy＝gt＝40 m/s
落地时的速度v＝≈43 m/s，速度方向与水平方向的夹角为θ
tan θ＝＝
水平位移x＝v0t＝15×4 m＝60 m
整个过程的位移s＝＝100 m．
答案：43 m/s　100 m
一、平抛运动的规律
1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动．
2．平抛运动的规律
速度 位移
水平分运动 水平速度vx＝v0 水平位移x＝v0t
竖直分运动 竖直速度vy＝gt 竖直位移y＝gt2
合运动 大小：v＝方向：与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝方向：与水平方向的夹角为α，tan α＝＝
图示
二、平抛运动的几个重要结论
运动时间 由y＝gt2得t＝，平抛运动的物体在空中运动的时间只与下落的高度y有关，与初速度的大小无关
水平位移 由x＝v0t＝v0知，平抛运动物体的水平位移由初速度v0和下落的高度y共同决定
落地速度 落地速度：v＝＝即落地速度由初速度v0和下落的高度y共同决定
推论Ⅰ 任意时刻速度偏向角正切值是位移偏向角正切值的两倍 平抛运动的速度偏向角为θ，如图所示，则tan θ＝＝＝＝＝2平抛运动的位移偏向角为α，则tan α＝，故tan θ＝2tan α
推论Ⅱ 任意时刻速度的反向延长线必通过此时水平位移的中点 如图所示，从O点抛出的物体经时间t到达P点则OB＝v0tPB＝gt2AB＝PB＝gt2·＝gt2·＝v0t可见AB＝OB，所以A为OB的中点
1．一个物体以初速度v0水平抛出，经过一段时间落地，落地时速度方向与竖直方向所成的夹角为45°，取重力加速度为g，则该物体水平射程x和下落的高度h分别为(　　)
A．x＝，h＝　　　　　 B．x＝，h＝
C．x＝，h＝ D．x＝，h＝
解析：当夹角为45°时，根据几何关系可知tan 45°＝＝1，则竖直分速度vy＝v0，所以运动时间t＝＝，物体的水平位移x＝v0t＝，下落的高度为h＝＝，故A正确．
答案：A
2．如图所示，在光滑的水平面上有一小球a以初速度v0运动，同时刻在它的正上方有一小球b也以v0的初速度水平抛出，并落于c点，则(　　)
A．小球a先到达c点 B．小球b先到达c点
C．两球同时到达c点 D．不能确定
解析：平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动，故两小球同时到达c点．
答案：C
3．(多选)如图，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则(　　)
A．a的飞行时间比b的长 B．b和c的飞行时间相同
C．a的水平速度比b的小 D．b的初速度比c的大
解析：三个小球a、b和c水平抛出以后都做平抛运动，根据平抛运动规律可得：x＝v0t，y＝gt2，所以t＝，由yb＝yc>ya得tb＝tc>ta，选项A错误，选项B正确；又根据v0＝x，因为yb>ya，xbxc，故va>vb，vb>vc，选项C错误，选项D正确．
答案：BD
4．(多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视作平抛运动，下列叙述正确的是(　　)
A．球的速度v等于L
B．球从击出至落地所用时间为
C．球从击球点至落地点的位移等于L
D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关
解析：.由题意可知t＝，由L＝vt得v＝L，选项A、B正确；球从击球点到落地点的位移为，选项C错误；此位移与球的质量无关，选项D错误．
答案：AB
5．自1.8 m高处平抛一小球，球落地时的速度与水平地面的夹角α为45°，如图所示．求抛出时的初速度和抛出后的水平位移x.(g取10 m/s2)
解析：落地时，竖直方向速度为v＝2gH
vy＝＝ m/s＝6 m/s
因为tan α＝
所以v0＝ ＝＝6 m/s
由vy＝gt
可得t＝＝ s＝0.6 s
由此得小球水平位移为
x＝v0t＝6×0.6 m＝3.6 m．
答案：6 m/s　3.6 m
活页作业(三)　平抛运动
(15分钟　50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．平抛运动是非匀变速运动
B．平抛运动是匀速运动
C．平抛运动是匀变速曲线运动
D．平抛运动的物体落地时的速度一定是竖直向下的
解析：平抛运动的物体只受重力作用，加速度恒定，是匀变速运动，其初速度与重力垂直，故平抛运动是匀变速曲线运动，选项A、B错误，选项C正确；平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故落地时的速度是水平方向的分速度和竖直方向的分速度的合速度，其方向一定与竖直方向(或水平方向)有一定的夹角，选项D错误．
答案：C
2．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则(　　)
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
解析：v＝，t＝ ，x＝v0，由以上三式分析知选项A、B、C错误，选项D正确．
答案：D
3．一个物体以初速度v0水平抛出，经时间t后竖直方向速度大小也为v0，重力加速度为g，则t为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：由vy＝v0＝gt得t＝．
答案：A
4．如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高度为h的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是(　　)
A．v0越大，运动员在空中运动时间越长
B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大
C．运动员落地瞬间速度方向与高度h无关
D．运动员落地位置与v0大小无关
解析：在平抛运动中，飞行时间仅由高度决定，所以选项A错误；水平位移、落地速度(末速度)由高度和初速度共同决定，所以选项B正确，选项C、D错误．
答案：B
5．(多选)研究平抛运动在竖直方向的运动规律实验装置如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．A球的初速度越大，走过的水平距离也越大
B．无论A球的水平初速度大小如何，它总是和B球同时落地
C．用力大小不一样，A球在空中运动时间就不一样
D．两球落地速度大小一样大
解析：由平抛运动规律可知t＝，只要h相同，时间就相同，选项B正确，选项C错误．又x＝v0t，所以选项A正确．A球和B球落地时竖直方向的速度相同，但落地速度大小不同，选项D错误．
答案：AB
6．滑雪运动员以20 m/s的速度从一平台水平飞出，落地点与飞出点的高度差为3.2 m．不计空气阻力，g取10 m/s2.运动员飞过的水平距离为x，所用时间为t，则下列结果正确的是(　　)
A．x＝16 m，t＝0.50 s　　 B．x＝16 m，t＝0.80 s
C．x＝20 m，t＝0.50 s D．x＝20 m，t＝0.80 s
解析：h＝gt2，t＝＝ s＝0.8 s，x＝v0t＝20×0.8 m＝16 m．
答案：B
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．在490 m的高空，以240 m/s的速度水平飞行的轰炸机追击一鱼雷艇，该艇正以25 m/s的速度与飞机同方向行驶．飞机应在鱼雷艇后面水平距离为多远处投下炸弹，才能击中该艇？(g取9.8 m/s2)
解析：从水平飞机上掷出去的炸弹，在离开飞机时具有与飞机相同的水平速度v0＝240 m/s，因此炸弹做平抛运动．因为从h＝490 m的高空落至水面所需的时间t由竖直方向的分运动——自由落体运动决定，所以由公式y＝gt2＝h，可求出炸弹的飞行时间
t＝＝ s＝10 s
在这段时间内，炸弹在水平方向上做匀速运动，飞行的水平距离为x＝v0t＝240×10 m＝2 400 m
在这段时间内，鱼雷艇行驶的距离为
x′＝v′t＝25×10 m＝250 m
因为飞机与鱼雷艇运动的方向相同，所以投下的炸弹要击中鱼雷艇，飞机投弹处应在鱼雷艇后面的水平距离为
Δx＝x－x′＝2 400 m－250 m＝2 150 m．
答案：2 150 m
8．一物体从20 m高处水平抛出，1 s末速度方向与水平方向的夹角为30°，求：(g取10 m/s2，不计空气阻力)
(1)落地时的速度大小为多少？
(2)落地点离抛出点的距离．
解析：(1)物体抛出后1 s末的竖直速度vy1＝gt＝10 m/s，而此时tan 30°＝，所以初速度v0＝10 m/s．
物体落地时的竖直速度vy2＝＝20 m/s，故落地时物体的速度大小v＝ ＝10 m/s．
(2)由h＝gt2得物体做平抛运动时间t＝＝2 s，故平抛运动的水平位移x＝v0t＝20 m，落地点离抛出点的距离s＝＝40 m．
答案：(1)10 m/s　(2)40 m
(25分钟　50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列说法正确的是(　　)
A．平抛物体的加速度逐渐变小
B．平抛物体的运动速度逐渐变大
C．平抛运动的初速度越大，运动时间越长
D．平抛运动的初速度越大，则其水平位移越大
解析：平抛物体的加速度是重力加速度，该加速度恒定，选项A错误．平抛运动的运动时间由下落高度决定，与初速度大小无关，选项C错误．平抛运动的水平位移由初速度和下落高度共同决定，下落高度大，水平位移不一定大，选项D错误．平抛运动下落h时的速度大小v＝＝，故平抛运动的速度逐渐变大，选项B正确．
答案：B
2．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ/2
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
解析：小球落地时沿竖直方向和水平方向上的分速度大小分别为vy＝gt，vx＝vy/tan θ＝gt/tan θ，所以水平抛出时的初速度v0＝vx＝gt/tan θ，选项A错误；设小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝＝＝＝tan θ，显然α≠，选项B错误；小球做平抛运动的时间由高度决定，与初速度大小无关，所以选项C错误；若小球初速度增大，则tan θ＝减小，θ减小，选项D正确．
答案：D
3．物体做平抛运动时，它的速度方向和水平方向间的夹角α的正切tan α随时间t变化的图像是图中的(　　)
解析：平抛运动的合速度v与两个分速度v0、vy的关系如图所示．
则tan α＝＝·t，故正切tan α与时间t成正比，选项B正确．
答案：B
4．(多选)对于平抛运动(不计空气阻力，g为已知)，下列条件可确定物体初速度的是(　　)
A．已知水平位移
B．已知下落高度
C．已知落地速度的大小和方向
D．已知位移的大小和方向
解析：由落地时的速度大小和方向，可确定水平初速度v0，如图所示，知v0＝vcos α，选项C正确；由落地时的位移大小和方向可确定水平位移x和竖直位移y，由y＝gt2可确定t，进而确定初速度v0＝，选项D正确．
答案：CD
5．(多选)将物体以初速度v0水平抛出，某时刻物体的水平分位移与竖直分位移大小相等，下列说法正确的是(　　)
A．该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等
B．该时刻物体的速率等于v0
C．物体运动的时间为
D．该时刻物体位移大小等于
解析：设物体的运动时间为t，根据题意可列方程v0t＝gt2，解得t＝2v0/g，可知选项C正确．当t＝2v0/g时，竖直分速度vy＝gt＝2v0≠v0，由于vx＝v0，该时刻物体瞬时速度为v＝＝v0，可见选项A错误，选项B正确．当t＝2v0/g时，物体的水平分位移与竖直分位移相等，x＝v0t＝2v/g＝y.则该时刻物体位移大小为s＝＝2v/g，选项D正确．
答案：BCD
6．(多选)有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为(　　)
A． B．
C． D．
解析：由l＝v0t得t＝，选项A正确．由h＝gt2得t＝，选项B错误．由h＝vy·t得t＝，选项D正确．由vy＝＝gt，得t＝，选项C正确．
答案：ACD
二、非选择题(每小题10分，共20分)
7．一个人在20 m高的楼顶水平抛出一个小球，小球在空中沿水平方向运动20 m后，落到水平地面上．不计空气阻力的作用，重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小球在空中运动的时间．
(2)小球被抛出时的速度大小．
(3)小球落地时的速度大小．
解析：(1)设小球做平抛运动的时间为t，沿竖直方向有h＝gt2，解得t＝2.0 s．
(2)设小球做平抛运动的初速度为v0，沿水平方向有x＝v0t
解得v0＝10 m/s．
(3)小球落地时竖直方向的速度大小为vy＝gt＝20 m/s
小球落地时的速度大小为v＝＝10 m/s．
答案：(1)2.0 s　(2)10 m/s　(3)10 m/s
8．用30 m/s的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方向成30°角，求：(g取10 m/s2)
(1)此时物体相对于抛出点的水平位移和竖直位移．
(2)再经多长时间，物体的速度与水平方向的夹角为60°？
解析：根据题意可知物体的运动在水平方向是匀速直线运动，在竖直方向为自由落体运动，运动示意图如图所示．
(1)由图示可得tan 30°＝＝
tA＝＝ s
所以在此过程中水平方向的位移
xA＝v0tA＝30 m
竖直方向的位移y＝gt＝15 m．
(2)设物体在B点时的速度方向与水平方向成60°角，总飞行时间为tB，则
tB＝＝3 s
所以物体从A点运动到B点所经历的时间
Δt＝tB－tA＝2 s．
答案：(1)30 m　15 m　(2)2 s
学生实验：研究平抛运动
[实验目的]
1．用实验的方法描出做平抛运动的物体的运动轨迹．
2．由实验轨迹求平抛物体的初速度．
[实验原理]
平抛物体的运动可以看作是由两个分运动合成的，这两分运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
使小球做平抛运动，利用描迹法描出小球的运动轨迹，建立坐标系，测出轨迹曲线上某一点的坐标x和y，根据公式x＝v0t和y＝gt2，就可求得v0＝x，v0即为小球做平抛运动的初速度．
[实验器材]
　斜槽(带小球)、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、重垂线、三角板、铅笔、刻度尺．
[实验步骤]
1．按图甲所示安装实验装置，使小球在斜槽末端点恰好静止．
甲
2．以水平槽末端端口上小球球心位置为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴．
3．使小球从斜槽上
乙
同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点．
4．将白纸从木板上取下，从O点开始通过画出的若干点描出一条平滑的曲线，如图乙所示．
[数据处理]
1．在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0．
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x．
2．如图丙所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知，A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2所以t＝ ，所以初速度v0＝＝x．
丙
[注意事项]
1．实验中必须调整斜槽末端的切线水平(检验是否水平的方法是：将小球放在斜槽末端水平部分，看小球能否静止，若小球静止，则斜槽末端水平)．
2．方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直．
3．小球每次必须从斜槽上同一位置滚下．
4．坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点．
5．小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜．
6．在轨迹上选取离坐标原点O点较远的一些点来计算初速度．
[误差分析]
1．斜槽末端没有水平．
2．描点不准确．
3．在轨迹上量取某点坐标(x，y)时出现误差．
一、实验器材的选取及注意事项的考查
在做“研究平抛运动”的实验时：
(1)除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是________．
A．游标卡尺　 B．秒表　
C．坐标纸　 D．天平
E．弹簧测力计　F．重垂线
(2)实验中，下列说法正确的是________．
A．应使小球每次从斜槽上相同的位置自由滚下
B．斜槽轨道必须光滑
C．斜槽轨道末端可以不水平
D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些
E．为了比较准确地描出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来
解析：(1)实验还需要的器材是坐标纸和重垂线，描出的轨迹在坐标纸上，方便数据处理，重垂线是用来确定竖直木板是否竖直并确定纵坐标，故选C、F项．(2)做研究平抛运动的实验时，斜槽末端必须水平，以保证小球做平抛运动；使小球每次从斜槽上相同的位置自由滚下，以使小球在斜槽末端速度相同；在描画小球运动轨迹时，应用平滑的曲线拟合，偏离轨迹较远的点可舍去．故选A、D项．
答案：(1)CF　(2)AD
二、实验数据处理
在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.6 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中的a、b、c、d所示，则小球平抛的初速度的计算式为v0＝______________(用L、g表示)，其值是__________(g取10 m/s2)．小球在b点的速率为________.(取两位有效数字)
解析：图中a、b、c、d位置之间对应水平距离相等．说明a→b、b→c、c→d所用时间相同，根据匀变速直线运动的特点Δx＝aT2，则有
L＝gT2①
而水平方向上：2L＝v0T②
联立①②式得v0＝2＝2× m/s＝0.80 m/s
小球在b点的竖直分速度vy＝＝③
联立①③式得vy＝1.5＝0.60 m/s
小球在b点的合速度v＝＝1.0 m/s．
答案：2　0.80 m/s　1.0 m/s
1．安装实验装置的过程中，斜槽末端的切线必须是水平的，这样做的目的是(　　)
A．保证小球飞出时，速度既不太大，也不太小
B．保证小球飞出时，初速度水平
C．保证小球在空中运动的时间每次都相等
D．保证小球运动的轨迹是一条抛物线
解析：平抛运动就是要求小球离开斜槽时，初速度一定是水平的．
答案：B
2．(多选)下列哪些因素会使“探究平抛运动的规律”实验误差增大(　　)
A．小球与斜槽之间有摩擦
B．安装斜槽时其末端不水平
C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较近
解析：小球与斜槽之间的摩擦并不影响平抛运动，选项A错误．斜槽末端不水平，以斜槽末端端口为坐标原点，计算初速度时在曲线上取离原点O较近的点，都对测量数据影响较大．
答案：BCD
3．(教材习题改编)某同学设计了一个探究平抛运动特点的实验装置，在水平桌面上放置一个斜面，每次都让钢球从斜面上的同一位置滚下，滚过桌边后钢球便做平抛运动．在钢球抛出后经过的地方水平放置一块木板(还有一个用来调节木板高度的支架，图中未画出)，木板上放一张白纸，白纸上有复写纸，这样便能记录钢球在白纸上的落点．桌子边缘钢球经过的地方挂一条铅垂线．完成下列主要探究步骤：(　　)
a．木板分别置于桌面下方距离桌面h、4h、9h…处，让钢球每次从斜面上的同一位置无初速滚下，钢球撞击木板，在白纸上留下痕迹；
b．依次测量球痕中心到铅垂线的水平距离x1、x2、x3…，若满足x1：x2：x3…＝________，则表明钢球做平抛运动的水平分运动是匀速直线运动．
c．如图所示，在“研究平抛物体运动”的实验中忘记记下斜槽末端的位置O，A为物体运动一段时间后的位置，根据如图所示图象，则物体平抛初速度大小为________ m/s，小球在D点的速度大小为________ m/s.(g取10m/s2)
解析：小球在竖直方向上做自由落体运动，则有：h＝gt，解得t1＝，4h＝gt，解得t2＝2，9h＝gt，解得t3＝3，若水平方向做匀速直线运动，则有：＝＝，解得：x1∶x2∶x3…＝1∶2∶3…
相邻两点间的时间间隔为T，竖直方向：Δh＝gT2，得到：T＝ ＝0.1 s水平方向匀速运动，因此物体平抛初速度大小为：v0＝＝2.0 m/s
根据匀变速直线运动的时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，可得D点在竖直方向的速度为：vDy＝＝ m/s＝2 m/s
D点速度的大小为：v＝＝2 m/s
答案：1∶2∶3…　2　2
4．(教材习题改编)如图所示，为一个探究平抛运动特点的实验，将一个斜槽固定在课桌桌面边缘，使斜槽末端切线水平，右边缘A距竖直墙面x1＝10 cm.把白纸和复写纸贴在墙上，记录钢球的落点．
①使钢球从斜槽上某点由静止滚下打在墙上，记录落点为P；
②将课桌向远离墙面方向移动使斜槽右边缘A距竖直墙面x2＝20 cm，使钢球从斜槽上同一位置由静止滚下打在墙上，记录落点为N；
③再次移动课桌，使斜槽右边缘A距竖直墙面x3＝30 cm，钢球仍从斜槽上由静止滚下打在墙上，记录落点为M；
④测得OM＝31 cm，ON＝56 cm，OP＝71 cm．
(1)实验中为了减小误差而采取的措施中正确的是________(填写选项前的字母)．
A．斜槽轨道必须光滑
B．小球每次都应从同一高度由静止释放
C．每次都要平衡摩擦力
D．小球应选用体积较小的实心钢球
E．每次实验中均应重复几次后，再记录平均落点
(2)由测得的数据可求出小球平抛的初速度为________
m/s(不计空气阻力，g取10 m/s2，结果保留2位有效数字)．
解析：(1)斜槽轨道不一定要光滑，只要每次从斜槽的同一位置由静止释放小球即可，故A错误，B正确；实验中不需要平衡摩擦力，故C错误；小球应选用体积较小的实心钢球，减小误差，故D正确；为了减小误差，每次实验中均应重复几次后，再记录平均落点，故E正确．所以BDE正确，AC错误．(2)根据Δy＝NM－PN＝gT2，代入数据解得：T＝0.1 s，在水平方向：Δx＝x3－x2＝v0t，解得：v0＝1 m/s．
答案：BDE　1.0 m/s
5．在做“研究平抛物体的运动”的实验时：
(1)为使小球水平抛出，必须调整斜槽，使其末端的切线________．
(2)小球抛出点的位置必须及时记录在白纸上，然后从这一点画水平线和竖直线作为x轴和y轴，竖直线是用________来确定的．
(3)某同学通过实验得到的轨迹如图所示，判断O点是否是抛出点：________(填“是”或“否”)．
(4)该同学在轨迹上选取间距较大的几个点，测出其坐标，并在直角坐标系内绘出了y x2图象，则此平抛物体的初速度v0＝________m/s.(取g＝10 m/s2)
答案：(1)水平　(2)重锤线　(3)是　(4)0.5 m/s
培优课(一)　平抛运动的规律及应用
1．理解物体做平抛运动的条件．
2．会根据运动的合成与分解分析平抛运动的规律．
1．物体做平抛运动的条件是什么？
提示：初速度水平且只受重力作用．
2．平抛运动的研究方法是什么？
提示：把平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
3．试总结平抛运动问题中求解时间的方法．
提示：①位移法：利用水平位移或竖直位移求解时间，由平抛运动的时间等于各分运动的时间，根据水平方向t＝或竖直方向h＝gt2，得t＝．
②速度法：利用速度求解时间，先求出竖直分速度，由于竖直方向为自由落体运动，则有vy＝gt，故t＝．
③推论法：利用匀变速直线运动的推论Δh＝gT2求解时间．
4．平抛运动与斜面的结合问题．
跳台滑雪是勇敢者的运动．在利用山势特别建造的跳台上，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观，如图所示．请思考：
(1)运动员从斜坡上的A点水平飞出，到再次落到斜坡上的B点，根据斜面倾角可以确定运动员位移的方向还是运动员速度的方向？
提示：位移的方向．
(2)运动员从斜面上的A点水平飞出，到运动员再次落到斜面上，他的竖直分位移与水平分位移之间有什么关系？
提示：tan θ＝．
探究一　平抛运动中的临界问题
如图所示，小球从离地h＝5 m高，离竖直墙水平距离s＝4 m处水平抛出，不计空气阻力，则：(g取10 m/s2)
(1)若要使小球碰不到墙，则它的初速度应满足什么条件？
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墙水平抛出小球，碰撞点离地面的高度是多少？
解析：(1)若小球恰好落到墙角，根据平抛运动的规律，有
s＝vt
h＝gt2
解得t＝＝ s＝1 s
v＝＝ m/s＝4 m/s，故v0≤4 m/s
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墙水平抛出小球，则
运动时间t1＝＝ s＝0.5 s
下落的高度h1＝gt＝×10×0.25 m＝1.25 m
离地高度h2＝h－h1＝5 m－1.25 m＝3.75 m
答案：(1)v0≤4 m/s　(2)3.75 m
【题后总结】　解决此类问题的关键有三点：(1)确定运动性质；(2)确定临界状态；(3)确定临界轨迹，并画出轨迹示意图．
1．如图所示，水平房顶高H＝5 m，墙高h＝3.2 m，墙到房子的距离l＝3 m，墙外马路宽d＝10 m．欲使小球从房顶水平飞出后落在墙外的马路上，求小球离开房顶时的速度v0应满足什么条件？(墙厚不计，g取10 m/s2)
解析：如答图1所示，设小球离开房顶的速度为v1时刚好触墙而过，小球自房顶飞出后做平抛运动，到达墙头时，水平位移为l，竖直位移为y＝H－h＝5 m－3.2 m＝1.8 m
由y＝gt得小球从飞出到运动至墙头所用的时间为t1＝＝ s＝0.6 s
由l＝v1t1可得小球离开房顶时的速度为v1＝＝ m/s＝5 m/s
图1　　　　　　　　　图2
设小球离开房顶的速度为v2时恰好落在墙外的马路边缘，如答图2所示，此过程中小球的水平位移为l＋d，竖直位移为H，则小球在空中的飞行时间t2满足H＝gt
解得t2＝＝ s＝1 s
由l＋d＝v2t2得v2＝＝ m/s＝13 m/s
欲使小球离开房顶后能落在马路上，则小球离开房顶时的速度v0应满足v1≤v0≤v2，即5 m/s≤v0≤13 m/s．
答案：5 m/s≤v0≤13 m/s
探究二　平抛运动与斜面
如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为(　　)
A．1∶1　　　　　　 B．2∶1
C．3∶2 D．2∶3
解析：两球均做平抛运动，且下落高度相同，故两球下落时间也相同，设为t．
对A球有
x＝v1t①
y＝gt2②
又tan 30°＝③
联立①②③式得v1＝gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有tan 30°＝＝⑤
则得v2＝gt⑥
由④⑥式得v1∶v2＝3∶2．
故选项C正确．
答案：C
【题后总结】　平抛运动与斜面的综合
(1)常见的有两类情况：
①做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角．
②物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移与水平方向的夹角等于斜面的倾角．
(2)求解方法：
①对于垂直打在斜面上的平抛运动，画出速度分解图；对于重新落在斜面上的平抛运动，画出位移分解图．
②确定合速度(或合位移)与水平方向的夹角，利用夹角确定分速度(或分位移)的关系tan θ＝．
③再结合平抛运动在水平方向和竖直方向的位移公式或速度公式列式求解．
2．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的(　　)
A．2倍　 B．4倍　
C．6倍　 D．8倍
解析：如图所示，可知：
x＝vt，x·tan θ＝gt2则x＝·v2，即x∝v2
甲、乙两球抛出速度为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，则可得落至斜面时速率之比为2∶1．
答案：A
1．如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中坑壁上的最低点D点；而在C点以初速度v2沿BA方向平抛的小球也能击中D点．已知∠COD＝60°，则两小球初速度大小之比v1∶v2(小球视为质点)(　　)
A．1∶2　 B．1∶3　
C．∶3　 D．∶2
解析：小球从A点平抛，可得：R＝v1t1，R＝gt
小球从C点平抛，可得：Rsin 60°＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt
联立解得：＝，故选项C正确．
答案：C
2．(2016·海南卷)在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中(　　)
A．速度和加速度的方向都在不断变化
B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
解析：由于物体只受重力作用，做平抛运动，故加速度不变，速度大小和方向时刻在变化，选项A错误；设某时刻速度与竖直方向夹角为θ，则tan θ＝＝，随着时间t变大，tan θ变小，θ变小，故选项B正确；根据加速度定义式a＝＝g，则Δv＝gΔt，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，故选项C错误；根据动能定理，在相等的时间间隔内，动能的改变量等于重力做的功，即WG＝mgh，对于平抛运动，由于在竖直方向上，在相等时间间隔内的位移不相等，故选项D错误．
答案：B
3．(2017·全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(　　)
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析：在竖直方向，球做自由落体运动，由h＝gt2知，选项A、D错误．由v＝2gh知，选项B错误．在水平方向，球做匀速直线运动，通过相同水平距离，速度大的球用时少，选项C正确．
答案：C
4．图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图．参与游戏的选手会遇到一个人造山谷OAB，
OA是高h＝3 m的竖直峭壁，AB是以O点为圆心的弧形坡，∠AOB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自O点借助绳索降到A点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自O点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.(　　)
(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．
解析：(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，则：hsin 60°≤v0t，hcos 60°＝gt2
解得：v0≥ m/s
(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1＜v0，人将落在弧形坡上
下降高度：y＝gt2，水平前进距离：x＝v1t，且：x2＋y2＝h2
联立解得：t＝0.6 s
答案：(1) m/s　(2)0.6 s
5．如图所示，民俗运动会中有一种掷飞镖游戏比赛项目，比赛中某选手站在靶的正前方手持飞镖将其水平掷出，飞镖出手瞬间的位置高出靶心O点h＝0.2 m，离靶面水平距离L＝2 m，若将飞镖在空中的运动看作平抛运动，并且刚好击中靶心，飞镖可视为质点，求：
(1)飞镖的初速度大小；
(2)飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向(用与水平方向所成的夹角θ的正切值来表示)；
(3)若飞镖击中以靶心O为圆心、半径R＝10 cm的圆形范围内为有效成绩并得分，设飞镖每次水平掷点位置不变，且飞镖只在与靶面垂直的竖直面内运动，则飞镖水平掷出的初速度大小在什么范围内时才可以得分？
解析：飞镖在空中的运动看作平抛运动，由平抛运动规律求出飞镖的初速度大小和飞镖击中靶心前瞬间的速度大小和方向，飞镖落在最上端，掷出的初速度最大，飞镖落在最下端，掷出的初速度最小．
(1)由平抛运动竖直方向：h＝gt2，得到t＝0.2s
水平方向：L＝v0t，得到：v0＝10 m/s；
(2)竖直速度：vy＝gt＝2 m/s
合速度：v＝＝ m/s，方向：tan θ＝＝0.2
(3)水平方向：L＝v0t
落在最上端，竖直方向：y1＝h－0.1 m＝0.1 m，又因为y1＝gt2得到：t1＝s
初速度v1＝10 m/s≈14.1 m/s
落在最下端，竖直方向：y2＝h＋0.1＝0.3 m，得到：t1＝s
初速度v2＝ m/s
故速度范围为： m/s＜v＜14.1 m/s
答案：(1)10 m/s　 (2)0.2 　(3) m/s＜v＜14.1 m/s
培优作业(一)
A组　(15分钟　50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．关于做平抛运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．速度始终不变 B．加速度始终不变
C．受力始终与运动方向垂直 D．受力始终与运动方向平行
解析：做平抛运动的物体，速度时刻改变，选项A错误；加速度g不变，选项B正确；重力与运动方向之间的夹角为θ，0<θ<90°，故选项C、D错误．
答案：B
2．(多选)物体做平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动
B．由于物体速度的方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动
C．平抛运动是任何恒力作用下的曲线运动
D．平抛运动的速度大小是时刻变化的
解析：做平抛运动的物体只受重力作用，加速度a＝g，方向竖直向下，为一恒量，因此平抛运动是匀变速运动，故选项A正确，选项B错误；由于平抛运动是只在重力作用下水平抛出的运动，故选项C错误；由于竖直方向速度逐渐变大，因此，平抛运动的速度大小时刻变化，故选项D正确．
答案：AD
3． (多选)从同一点沿水平方向抛出的A、B两个小球能落在同一个斜面上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，则小球初速度vA、vB的关系和运动时间tA、tB的关系分别是(　　)
A．vA＞vB　　　　　 B．vA＜vB
C．tA＞tB D．tA＜tB
解析：A小球下落的高度小于B小球下落的高度，所以根据h＝gt2知t＝，故tA＜tB，选项C错误，选项D正确；根据x＝vt知，B的水平位移较小，时间较长，则水平初速度较小，故vA＞vB，选项A正确，选项B错误．
答案：AD
4．如图所示，在距离竖直墙壁为L＝1.2 m处，将一小球水平抛出，小球撞到墙上时，速度方向与墙面成θ＝37°，不计空气阻力．墙足够长，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
A．球的初速度大小为3 m/s
B．球撞到墙上时的速度大小为4 m/s
C．将初速度变为原来的2倍，其他条件不变，小球撞到墙上的点上移了m
D．若将初速度变为原来的一半，其他条件不变，小球可能不会撞到墙
解析：A、设小球水平抛出时的速度为v0，则从开始到撞到墙上所用的时间为：t＝
撞到墙上时的竖直速度：vy＝gt
根据速度方向与墙面成θ＝37°，则tan θ＝＝
代入数据得：v0＝3 m/s，A正确；B、撞到墙上时的速度：v＝＝ m/s＝5 m/s，B错误；C、打到墙上的点距抛出点的竖直高度为：h1＝gt2＝＝0.8 m；若将球的初速度变为原来的2倍，则打到墙上的点距抛出点的竖直高度为：h2＝gt＝＝0.2 m．小球撞到墙上的点上移了Δh＝h1－h2＝0.8 m－0.2 m＝0.6 m，C错误；D、因为墙足够长，只要初速度不为零，就一定能打到墙上，D错误．
答案：A
5．(2017·江苏卷)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
A．t B．t
C． D．
解析：设A、B两小球分别以速度vA、vB水平抛出时，经过时间t相遇，则根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动有
vAt＋vBt＝d ①
(d为初始时刻两小球间的水平距离)
设当A、B两小球抛出速度都变为原来的2倍时，经过时间t′相遇，
则2vAt′＋2vBt′＝d ②
联立①②解得
t′＝
选项C正确．
答案：C
二、非选择题(每小题10分，共20分)
6．如图，一个斜面固定在水平面上，从斜面顶端以不同初速度v0水平抛出小物体，得到物体在空中运动时间t与初速度v0的关系如下表，g＝10 m/s 2.试求：
v0/m·s－1 … 2 … 9 10 …
t/s … 0.400 … 1.000 1.000 …
(1)v0＝2 m/s时平抛水平位移x
(2)斜面的高度h
(3)斜面的倾角θ
解析：(1)水平方向上做匀速直线运动：x＝v0t＝0.80 m
故平抛水平位移x＝0.80 m．
(2)因为初速度达到9 m/s以后运动时间保持1 s不变，故小物体落地点在水平面h＝gt2＝5 m
(3)小物体初速度2 m/s，运动时间0.400 s时落在斜面，
tan θ＝＝＝1
θ＝45°
故斜面的倾角θ＝45°．
答案：(1)0.80 m　(2)5 m　(3)45°
7．滑雪运动越来越被大众喜欢，中国申办2022年冬奥会，国际奥委会评估团已结束对北京和张家口的考察，我们期待申奥成功．如图，某滑雪爱好者经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．求：(sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)
(1)A点与O点的距离L．
(2)运动员离开O点时的速度大小．
(3)运动员落到A点时的速度大小．
解析：(1)竖直方向h＝gt2＝45 m，A点与O点的距离L＝＝75 m．
(2)水平方向x＝＝v0t得v0＝20 m/s．
(3)竖直方向速度vy＝gt＝30 m/s，v＝＝10 m/s．
答案：(1)75 m　(2)20 m/s　(3)10 m/s
B组　(25分钟　50分)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔2 s释放一个铁球，先后共释放4个，如果不计空气阻力，则在某一时刻4个球在空中的排列情况大致为(　　)
解析：因为平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，所以释放的小球都在飞机的正下方，即在飞机的正下方排成竖直的直线．小球在竖直方向上的距离随着时间的增大逐渐增加．故选项A正确，选项B、C、D错误．
答案：A
2．“套圈圈”是老少皆宜的游戏，如图所示，大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁丝圈，都能套中地面上的同一目标．设大人和小孩的抛出点离地面的高度之比H1∶H2＝2∶1，则v1∶v2等于(　　)
A．2∶1　　　　　　　 B．1∶2
C．∶1 D．1∶
解析：铁丝圈做平抛运动，所以运动时间t＝，故水平位移为x＝v，因为两者的水平位移相同，所以有v1＝v2，因为H1∶H2＝2∶1，所以v1∶v2＝1∶，选项D正确，选项A、B、C错误．
答案：D
3．物体以一定的初速度水平抛出，不计空气阻力．经过t1时间，其速度方向与水平方向夹角为37°，再经过t2时间，其速度方向与水平方向夹角为53°，则t1∶t2为(　　)
A．9∶7 B．7∶9
C．16∶9 D．9∶16
解析：设初速度为v0，则tan 37°＝＝，解得vy＝v0，t1＝；tan 53°＝，解得vy′＝v0，则t2＝＝＝，则t1∶t2＝9∶7

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