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人教A版（2019）选择性必修第二册 5.1导数的概念及其意义
一、单选题
1．某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，点、点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则、两点在水平方向的距离约为（ ）
A． B． C． D．
2．若经过点P(2,8)作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x-1
C．y=-2x-3
D．y=-2x-2
6．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．-4 B．-2 C．-1 D．4
7．已知曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处的切线方程为
A． B．
C． D．
8．已知函数的图像在处的切线斜率为，则“”是 “”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
10．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
11．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是
A． B． C． D．
12．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
二、填空题
13．若点是抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为________.
14．若直线是函数的图象在某点处的切线，则实数a=____________.
15．曲线在处的切线的倾斜角为，则________．
16．曲线在点处的切线方程为___________．
三、解答题
17．已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点、．
①求实数的取值范围；
②求证：．
18．已知函数．
（1）求；
（2）求曲线过点的切线的方程．
19．已知函数的图象为曲线C．
(1)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线（均不与x轴垂直），求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
(2)证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
20．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
21．已知曲线C：与直线相切，
（1）求a的值；
（2）已知点及点，从点A观察点B，若观察的视线不被曲线C挡住，求实数b的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
以滑道的最陡处为原点建立平面直角坐标系，由题意可知，为的中点，设三次函数的解析式为，其中，设点，则，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为，由题意得出，，求出，即可得解.
【详解】
以滑道的最陡处为原点建立平面直角坐标系，由题意可知，为的中点，
设三次函数的解析式为，其中，设点，则，
，在滑道最陡处，，
则的对称轴为直线，则，可得，则，，
在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为，
则，
所以，，，
由图可知，可得，
，则.
故选：D.
2．D
因为P点在曲线上，所以需要分两种情况讨论，P点为切点和P点不为切点，分别根据导数的几何意义求解切线方程即可.
【详解】
①易知P点在曲线上，当P点为切点时，.
②当P点不是切点时，设切点为，由定义可求得切线的斜率为.
∵A在曲线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或 (舍去)，
∴，k=3，
此时切线方程为y+1=3(x+1)，
即.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为或.
故选：D
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
3．D
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线上任取一点，对函数求导得，
所以，曲线在点处的切线方程为，即，
由题意可知，点在直线上，可得，
令，则.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，
当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
4．C
根据导数的几何意义和函数平均变化率的定义，结合图象，即可求解.
【详解】
如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率，
表示切线斜率，
又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率，
结合图象，可得，即.
故选：C.
5．A
对函数f(x)求导，再算出导函数在x=-1时的值，得切线斜率于是得解.
【详解】
，曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线斜率，
曲线f(x)=在点(-1，-1)处的切线方程为y+1=2(x+1)，即y=2x+1.
故选：A
6．A
将不等式转化为恒成立，表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.求导函数，进行参变分离得在内恒成立.由基本不等式可求得a的最小值.
【详解】
解：在区间内任取两个实数，，且，
不等式恒成立，即不等式恒成立，
它表示函数的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1，
即的图象在内任意两点间连线的斜率大于-1.
所以在内恒成立，即在内恒成立.
当时，，则，当且仅当时等号成立，
所以，a的最小值为-4.
故选：A.
7．B
由切线方程，得，，代入可得切点坐标，对求导代入可得切线斜率，求解出方程即可.
【详解】
由切线方程，得，.
设，
则，
，，
曲线在点处的切线方程为，
即，
故选：B.
本题考查曲线上某点的切线方程，考查导数的应用，根据导数求出切点与切线斜率即可，属于基础题.
8．A
本题首先可根据得出，然后求解，得出，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，，
若，则，解得，
故“”是 “”的充要条件，
故选：A.
9．A
先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.
【详解】
由，得，
则曲线在点处的切线斜率为，得.
故选：A.
本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
10．B
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
11．D
分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数的取值范围.
【详解】
的导函数，的导函数为.设切线与相切的切点为，与相切的切点为，所以切线方程为、，即、.所以，所以，由于，所以，即有解即可.令，，所以在上递增，在上递减，最大值为，而时，当时，，所以，所以.所以正实数的取值范围是.
故选：D
本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
12．D
根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
故选：D.
本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
13．
易知最小值点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，利用导数的几何意义可求得点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.
【详解】
当到直线距离最小时，为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，
，，，
所求最小距离.
故答案为：.
14．
利用求得切点坐标，代入切线方程，从而求得.
【详解】
令，解得，所以切点为，
将代入切线得.
故答案为：
15．##
求出函数在处的导数可得，即可求出.
【详解】
，当时，，即切线斜率为3，则，
则，
所以.
故答案为：.
16．.
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程
【详解】
详解：
所以，
所以，曲线在点处的切线方程为，即．
准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
17．（1）递减区间为，递增区间为；（2）①，②证明见解析．
（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和单调递减去加；
（2）①分析可知在上有两个不同的零点，对实数的取值进行分类讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
②先证明出，其中，由已知条件可得出，再利用不等式可证得结论成立.
【详解】
（1），
令，，
因为，所以当时，，单调递减，
所以当时，，单调递增，所以，
所以当时，，当时，，
因此，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）（i），
要使在上有两个极值点、，
则在上有两个不同的零点，
①时，由（1）知，，
令，故，
所以在上为增函数，所以，故，
故在上无零点，舍；
②当时，，，，
则在上单调递减，故最多只有一个零点，不合题意，舍去；
③当时，，
当时，；当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即要使，解得.
综上所述，的取值范围为；
（ii）由（i）知，，，
先证不等式，其中，
即证，即，
令，即证，
构造函数，则，
所以，函数在区间上单调递减，故，
由已知可得，故，
所以，则，所以，，
因此，.
方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
18．（1）；（2）或．
（1）利用函数的求导法则可求得；
（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.
【详解】
（1），则；
（2）设切点为，
，所以，切线的斜率为，
所求切线方程为．
将，代入切线方程，得．
整理得，解得或.
当时，， 切线方程为，化简得；
当时，，切线方程为，化简得．
综上所述，曲线过点的切线的方程为或．
本题考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.
19．(1)；
(2)证明见解析.
（1）利用互相垂直的切线（均不与x轴垂直）的斜率互为负倒数，
切点处的导数值为曲线切线的斜率，及一元二次方程有解求切点横坐标的范围；
（2）利用切点处的导数值为曲线切线的斜率，求出两切点处的两条直线的方程，利用斜率相等和纵截距相等求得的结果与已知矛盾，得证．
(1)
，由题，
设其中一条切线的斜率为，则另一条切线的斜率为，
由题意得①与②均有解，
若①有解，即有解，则，
解得，若②有解，即有解，
则，解得或．
所以或，即或，
解得．
(2)
证明：假设存在在点的切线与曲线C同时切于两点，
另一切点为，
则切线方程是，
化简得．
同理可得过的切线方程是，
由于两切线是同一直线，故，
得，易知，
即，
即，即，
即，
即，解得，当时，，
这与矛盾．所以不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．
关键点睛：根据导数的几何意义，结合方程有解的性质是解题的关键.
20．（1）的减区间为，增区间为；（2）.
（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
【详解】
（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
21．（1）；（2）．
（1）设切点为，利用导数求出切线斜率，根据斜率相等求解即可；
（2）设过A与曲线相切的直线切点为,根据导数的几何意义求出切线斜率，再由两点求切线斜率，解方程求出切点坐标，得到切线方程即可.
【详解】
（1）设切点为，
∵当时，
，
∴．①
又点在曲线C与直线上，∴，②
由①②得．
（2）在曲线C：上取一点，
由（1）知，当时，．
当以D为切点的切线过点A时，令，解得，此时，，直线AD的方程为．
若观察的视线不被曲线C挡住，则点B在直线AD的右下方，
∴，即实数b的取值范围是．
答案第1页，共2页
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