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专题09 三角函数与解三角形
易错知识
1．对于有关三角函数求值的问题，要注意角的范围，尤其是利用条件缩小角的范围，
2．对于含有整数k的问题，要注意对k进行讨论，
3．三角函数图象左右平移是针对自变量x的，
4. 对于含有二次根式的求值问题，开方时要注意考虑正负，
5. 对于与三角函数有关的复合函数单调性问题，要注意内函数的单调性，
6. 逆用三角函数公式时，要注意其结构特征，
易错分析
一、忽视角的范围致错
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　 )
A．－ B．－ C. D.
【错解】选D，因为，又sin α＝，∴cos α＝＝.
【错因】没有注意条件α是第二象限角，
【正解】选A　∵α是第二象限角，则cos α>0，∴cos α＝－＝－.
2．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________．
【错解】∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
∴sin θ－cos θ＝. 答案：
【错因】没有注意由条件θ∈可得sin θ【正解】∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
又θ∈，∴sin θ3．已知θ∈(0，π)，tan＝，则sin θ＋cos θ＝________.
【错解】由题知tan＝＝ tan θ＝，又因为θ∈(0，π)，
有 或，
所以sin θ＋cos θ＝或 答案：或
【错因】没有注意由tan θ＝>0可以缩小角的范围，即可推出θ∈，
【正解】由题知tan＝＝ tan θ＝，又因为θ∈(0，π)，且tan θ>0，所以θ∈，
有 所以sin θ＋cos θ＝＝. 答案：
4．在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为(　 )
A．(0,3) B．(1,3) C．(1，) D．(，3)
【错解】选A　由正弦定理可得，＝＝＝＝
＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又0＜B＜180°，∴cos2B1，又>0，∴0＜＜3.
【错因】忽略了A＋B＋C＝180°及条件C＝3B，
【正解】选B　由正弦定理可得，＝＝＝＝
＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1.又A＋B＋C＝180°，C＝3B，
∴0°＜B＜45°，∴＜cos B＜1，∴1＜4cos2B－1＜3，即1＜＜3.
二、对于含有二次根式的求值问题，开方时没有注意正负
5．化简：2＋＝(　 )
A．4cos 4 B．－2sin 4－4cos 4
C．4sin 4 D．2sin 4+4cos 4
【错解】选D　原式＝2＋＝2＋2cos 4
＝2sin 4＋2cos 4＋2cos 4=2sin 4＋4cos 4.
【错因】开方时没有考虑2cos 4、sin 4＋cos 4的正负，
【正解】选B　原式＝2＋＝2＋2|cos 4|
＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|，∵π＜4＜，∴sin 4＋cos 4＜0，cos 4＜0，
∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4.
6．若<θ<，则等于(　 )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
【错解】选B　由二倍角公式得 ＝ ＝ ＝cos，
∴ ＝ ＝cos
【错因】没有用<θ<去求、的范围，
【正解】选A　∵<θ<，∴<<，<<，∴cos θ>0，cos<0，sin>0，
∴ ＝ ＝ ＝－cos，
∴ ＝ ＝＝sin.
三、三角函数图象左右平移时忽视自变量x的系数致错
7．为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象(　 )
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向左平移个单位
【错解】选B 根据左加右减可知，为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位．
【错因】图象左右平移针对的是自变量x,
【正解】选A　∵函数y＝sin＝sin，∴为了得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位．
8．要得到y＝cos的图象，只需将y＝sinx的图象(　 )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【错解】选A　因为y＝cos＝，故要得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位．
【错因】函数图象平移变换时，没注意函数的名称是不一致的，不能直接进行平移，
【正解】选C　y＝cos＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋＋))＝sin，故要得到y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位．
四、涉及到整数k的问题，忽视对k的讨论致错
9．已知角α为第一象限角，则是第________象限角．
【错解】∵α是第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴kπ<<＋kπ，k∈Z，
则是第一象限角．答案：一
【错因】没有对k分情况讨论，
【正解】∵α是第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴kπ<<＋kπ，k∈Z，
当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．
综上，是第一或第三象限角．答案：一或三
10．(忽视对k的讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
【错解】A＝＋＝2. 答案：{2}
【错因】没有对k分情况讨论，
【正解】当k为奇数时：A＝－＝－2.当k为偶数时：A＝＋＝2.
答案：{－2,2}
五、含参问题忽视对参数的讨论致错
11．已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
【错解】易知OP＝＝5m，则sin α＝，cos α＝.
故2sin α＋cos α＝. 答案：
【错因】没有对参数m分情况讨论，
【正解】易知OP＝＝5|m|，则sin α＝，cos α＝.
当m>0时，sin α＝，cos α＝－，2sin α＋cos α＝；
当m<0时，sin α＝－，cos α＝，∴2sin α＋cos α＝－.
故2sin α＋cos α＝±. 答案：±
六、三角函数的单调性问题中，忽视自变量x的系数为负值致错
12．函数f(x)＝sin的单调递增区间为________．
【错解】要求f(x)＝sin的单调递增区间，只需令－＋2kπ≤－x≤＋2kπ(k∈Z)，
可得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以函数f(x)＝sin的单调递增区间为
＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z). 答案：＋2kπ，＋2kπ] (k∈Z).
【错因】没有注意自变量x的系数是负数，
【正解】因为f(x)＝sin＝－sin，所以要求f(x)＝sin的单调递增区间，
只需要求y＝sin的单调递减区间．令＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
可得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，所以y＝sin的单调递减区间为
(k∈Z)，此即为函数f(x)＝sin的单调递增区间． 答案：(k∈Z)
七、判断三角形形状时考虑不全致错
13. 已知在△ABC中，三个内角为A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是(　 )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【错解】选A　因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B，解得A＝B，所以△ABC是等腰三角形．
【错因】sin 2A＝sin 2B时，有两种可能：2A＝2B或2A＝π－2B，
【正解】选D　因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，解得A＝B或A＋B＝，
所以△ABC是等腰或直角三角形．
八、忽视正切函数本身的定义域
14．已知函数f＝lg＋，则f的定义域是____．
【错解】∵函数f＝lg＋，
∴∴，∴x∈，
∴函数y＝f的定义域为. 答案：
【错因】没有考虑的定义域，
【正解】∵函数f＝lg＋，
∴∴∴x∈∪，
∴函数y＝f的定义域为∪. 答案：∪
易错题通关
1．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
【答案】C
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样，结合选项知选C.
2．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2C，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】因为sin 2A＝sin 2C sin 2A＝sin(π－2C)，所以A＝C或A＋C＝.
当A＝C时，三角形为等腰三角形；当A＋C＝时，三角形为直角三角形．
3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝(　 )
A．3 B．－3 C．1 D．－1
【答案】B
【解析】因为sin θ＝－<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得＝－.解得y＝－3.
4.　已知θ是第三象限角，且cos(π＋θ)＝，则tan θ＝(　　)
A.　　　　　　　　　 B．2
C．2 D.
【答案】C
【解析】cos(π＋θ)＝－cos θ＝，所以cos θ＝－，又θ是第三象限角，
所以sin θ＝－＝－ eq \r(1－2)＝－，所以tan θ＝＝＝2.
5．已知α终边与单位圆的交点P，且α是第二象限角，则＋ 的值等于(　　)
A.　　　　　　　 B．－
C．3 D．－3
【答案】C
【解析】因为α终边与单位圆的交点P，且α是第二象限角，所以sin α＝，
cos α＝－，则＋＝＋
＝＋＝|sin α－ cos α|＋2|cos α|＝＋＝3.
6．设α角属于第二象限，且＝－cos，则角属于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】∵α是第二象限角，∴90°＋k·360<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z.
当k＝2n，n∈Z时，在第一象限；当k＝2n＋1，n∈Z时，在第三象限，
∴在第一象限或在第三象限，∵＝－cos，∴cos<0，∴角在第三象限．
7．已知sin α，cos α是方程x2－2kx＋k2＋k＝0的两根，则k的值为(　 )
A. B. C．1± D．1＋
【答案】B
【解析】由题意得
∵sin2α＋cos2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝4k2－2(k2＋k)＝1，
即2k2－2k－1＝0，解得k＝＝.∵sin α＋cos α＝sin，
∴sin α＋cos α∈，即2k∈，∴k∈，∴k＝.
8. 若θ∈(0，π)，tan θ＋＝6，则sin θ＋cos θ＝(　　)
A． B．－
C．± D．
【答案】A
【解析】因为tan θ＋＝＋＝＝6，所以sin θcos θ＝，
又θ∈(0，π)，则sin θ>0，cos θ>0，所以sin θ＋cos θ>0.
所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以sin θ＋cos θ＝.
9．在△ABC中，cos A＝，sin B＝，则cos C的值为(　 )
A. B．－ C．－ D.或－
【答案】A
【解析】在△ABC中，由cos A＝，sin B＝，可得sin A＝＝，
因为sin BB，所以B为锐角，所以cos B＝＝，
则cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝－×＋×＝.
10．已知cos α＝，sin β＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　 )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为α∈，β∈，所以sin α＝＝，cos β＝＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝.又0＜α＋β＜π，故α＋β＝.
11．已知φ∈R，则“φ＝0”是“y＝sin(x＋φ)为奇函数”的(　 )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当φ＝0时，y＝sin(x＋φ)为奇函数；当y＝sin(x＋φ)是奇函数时，φ＝kπ，k∈Z，
所以“φ＝0”是“y＝sin(x＋φ)为奇函数”的充分不必要条件，故选A.
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acos A＝bcos B，
且c2＝a2＋b2－ab，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】因为acos A＝bcos B，所以sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，又A，B∈(0，π)，故可得A＝B或A＋B＝.由c2＝a2＋b2－ab，得cos C＝，又C∈(0，π)，故可得C＝.综上所述，A＝B＝C＝.故三角形ABC是等边三角形．
13．把函数f(x)＝2cos的图象向左平移m(m>0)个单位，得到函数g(x)＝2sin的图象，则m的最小值是(　　)
A.π　　　　　B.π C.π D.π
【答案】B
【解析】选B　把函数f(x)＝2cos的图象向左平移m(m>0)个单位，
得到f(x)＝2cos＝2cos的图象，
g(x)＝2sin＝2cos＝2cos＝2cos，
由2m－＝－＋2kπ，k∈Z，得m＝－＋kπ，k∈Z，
∵m>0，∴当k＝1时，m最小，此时m＝π－＝.
14．已知ω>0，函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，π))上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(，))　　　　　　　B. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(， )) C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，)) D． (0,2]
【答案】A
【解析】由≤x≤π，得ω＋≤ωx＋≤πω＋，由题意
(k∈Z)．当k＝0时，由得≤ω≤.
15.已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，则ω，φ的值分别为(　 )
A．1， B．1，－ C．2，－ D．2，
【答案】D
【解析】由图象知，＝－＝，即T＝π，所以＝π，即ω＝2.
又函数图象过点，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|<，故φ＝，故选D.
16．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋)) (ω>0)，对任意x∈R，都有f(x)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())，并且f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](－，)上不单调，则ω的最小值是(　　)
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【解析】由题意，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())是函数f(x)的最大值，
∴＋＝2kπ＋，k∈Z，即ω＝6k＋1，k∈Z.∵ω>0，∴k∈N.
当k＝0时，ω＝1，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋))在eq \b\lc\[\rc\](－，)上单调递增，不符合题意；
当k＝1时，ω＝7，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋))符合题意，∴ω的最小值是7.
17．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝2，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是(　　)
A．cos C＝ B．sin B＝ C．a＝3 D．S△ABC＝
【答案】AD
【解析】选AD　由A＋3C＝π，得B＝2C.根据正弦定理＝，得2sin C＝3×2sin Ccos C，又sin C>0，故cos C＝，sin C＝，故A正确；sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C＝，故B错误；由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，将b＝2，c＝3代入得a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1.若a＝3，则A＝C＝，且B＝，与sin B＝矛盾，所以a＝1，故C错误；S△ABC＝absin C＝×1×2×＝，故D正确．故选A、D.
18.（多选题）如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象，则sin(ωx＋φ)＝(　　)
A．sin
B．sin
C．cos
D．cos
【答案】BC
【解析】由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.
当ω＝2时，y＝sin(2x＋φ)，将点代入得，sin＝0，
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴y＝sin，故A错误；由sin＝sin＝sin知B正确；
由sin＝sin＝cos知C正确；
由sin＝cos＝cos＝－cos知D错误．
综上可知，正确的选项为B、C.
19. 若0＜α＜，－π＜β＜－，cos＝，cos＝－，则cos＝(　　)
A．－　　　　　　B.　　　　　　C．－　　　　　　D.
【答案】D
【解析】∵0＜α＜，－π＜β＜－，则＜＋α＜，＜－＜，
∴sin＝ ＝，sin＝ ＝，
因此，cos＝cos＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
20．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－2,3]
【解析】∵cos α≤0，sin α＞0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴∴－2＜a≤3.
21．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的相邻两个零点间的距离为，且f＝－2，则φ＝________.
【答案】－
【解析】由题意T＝2×＝π，ω>0，所以ω＝＝2，f＝2sin＝－2，
－＋φ＝2kπ－，k∈Z，又－π<φ<0，所以φ＝－.
22．化简(n∈Z)的结果为________．
【答案】(－1)n＋1sin α(n∈Z)
【解析】①当n＝2k(k∈Z)时，原式＝＝＝－sin α.
②当n＝2k＋1(k∈Z)时，原式＝＝＝sin α.
综上，化简的结果为(－1)n＋1sin α(n∈Z)．
23．在锐角△ABC中，BC＝2，sin B＋sin C＝2sin A，则中线AD长的取值范围是________．
【答案】.
【解析】设AB＝c，AC＝b，BC＝a＝2，对sin B＋sin C＝2sin A运用正弦定理，得b＋c＝2a＝4，解得c＝4－b，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组
解得＜b＜，故bc＝b(4－b)＝－b2＋4b，结合二次函数的性质，得到＜bc≤4.
运用向量得到＝(＋)，所以||＝
＝＝＝，
结合bc的范围，得||的范围为.
24.若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是________．
【答案】
【解析】∵α∈，β∈，∴2α∈，又0＜sin 2α＝＜，
∴2α∈，即α∈，∴β－α∈，
∴cos 2α＝－＝－.又sin(β－α)＝，∴β－α∈，
∴cos(β－α)＝－＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2αcos(β－α) －sin 2αsin(β－α)
＝－×－×＝.又α∈，β∈，
∴α＋β∈，∴α＋β＝.
25．设f(x)＝mcoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－))＋m－1(m≠0)．
(1)若m＝2，求函数f(x)的零点；
(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](0，)时，－3≤f(x)≤4恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由m＝2 f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－))＋1，令f(x)＝0，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－))＝－，
即2x－＝2kπ＋或2x－＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的零点是x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)．
(2)由0≤x≤可得－≤2x－≤，所以－≤coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－))≤1.
①当m>0时，易得－1≤f(x)≤2m－1，由－3≤f(x)≤4恒成立可得
即解得0②当m<0时，可得2m－1≤f(x)≤－1，由－3≤f(x)≤4恒成立可得
即解得－1≤m<0.
综上可得，m的取值范围是[－1,0)∪eq \b\lc\(\rc\](0，).
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