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专题08 立体几何
易错分析
一、混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系致错
1.如图，在正方体中，E为的中点．求直线与平面所成角的正弦值．
【错解】（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则..
则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【错因】混淆线面角和平面的法向量与直线方向向量夹角的关系，实际上直线与平面所成的角的正弦值等于平面的法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，即。
【正解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，
得，令，则，，则.
设直线与平面所成角为，则.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
二、忽略两平面法向量的夹角与二面角平面角的关系致错
2、如图所示的几何体是由棱台ABC－A1B1C1和棱锥D－AA1C1C拼接
而成的组合体,其底面四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,
BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1.求二面角A1-BD-C1的余弦值.
【错解】设交于点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,如图建立空间直角坐标系,轴显然平行于直由四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,得,,,
,,,
设平面的一个法向量为,
则令,得,从而
同理,
设平面的一个法向量为,则
令,得,从而,则.
故二面角的余弦值为.
【错因】错误的认为两平面法向量的夹角就等于二面角平面角，实际上是二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)．
【正解】设交于点,以为坐标原点,以为轴,以为轴,如图建立空间直角坐标系,轴显然平行于直由四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=60°,
得,,,
,,,
设平面的一个法向量为,
则令,得,从而
同理,
设平面的一个法向量为,则
令,得,从而,则.
又由图可知为锐角,故二面角的余弦值为.
三、忽略异面直线所成角与向量夹角的关系致错
3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，则异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为(　 )
A. B．－ C．－ D.
【错解】选B，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则＝(－1，－3,2)，
＝(－1,0，－2)，从而cos〈，〉＝＝＝－.
【错因】两异面直线所成角的范围，而两向量夹角的范围为，错解中误认为两向量夹角就是两异面直线所成角。
【正解】选A　以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,3,0)，D1(0,0,2)，B1(1,3,2)，C(0,3,0)，则＝(－1，－3,2)，＝(－1,0，－2)，从而cos〈，〉＝＝＝－.又异面直线BD1和B1C所成的角不可能为钝角，其余弦值非负，所以，异面直线BD1和B1C所成角的余弦值为.
四、忽视异面直线所成角的范围致错
4．直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【错解】A，如图所示，直三棱柱向上方补形为直三棱柱，其中，，分别为各棱的中点，取的中点，可知，异面直线与所成角即为与所成角.设，则，，，
【错因】忽略了异面直线所成角的范围，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数.
【正解】B，如图所示，直三棱柱向上方补形为直三棱柱，其中，，分别为各棱的中点，取的中点，可知，异面直线与所成角即为与所成角.设，则，，，，故异面直线CE与C′A所成角的余弦值为.
5．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为60°，E，F分别为边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角为________．
【错解】60°，如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，由已知得EGAB，FGCD，∴∠EGF是AB和CD所成的角，∠GEF是AB和EF所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF，∴∠GEF＝∠GFE. 因为∠EGF＝60°，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°。
【错因】∠EGF不一定是AB和CD所成的角，还有可能是AB和CD所成的角的补角。
【正解】30°或60°，如图，设G是AC的中点，连接EG，GF，由已知得EGAB，FGCD，∴∠EGF或其补角是AB和CD所成的角，
∠GEF或其补角是AB和EF所成的角．∵AB＝CD，∴EG＝GF，
∴∠GEF＝∠GFE.当∠EGF＝60°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝60°；当∠EGF＝120°时，AB和EF所成的角为∠GEF＝30°.
五、误用垂直性质定理致错
6、已知两个平面垂直，下列命题：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；　
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是(　　)
A．3　　　　 B．2 C．1 D．0
【错解】如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1 平面AA1D1D，BD 平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．
对于③，AD1 平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；
对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.
∵AD⊥平面D1DCC1，D1C 平面D1DCC1，∴AD⊥D1C.故正确，故选B.
【错因】“一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“过一个平面内任意一点作交线的垂线”，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在已知平面内．
【正解】对于④，过平面AA1D1D内点D1，作D1C.∵AD⊥平面D1DCC1，D1C 平面D1DCC1，
∴AD⊥D1C.但D1C不垂直于平面ABCD，故④错误，故选C.
六、判断线面、线线位置关系考虑不全致错
7．若直线a与平面内无数条直线平行，则a与的位置关系是________．
【错解】a∥
【错因】没考虑a α的情况。
【正解】由直线与平面平行的判定定理知，a可能平行于，也可能在内，故答案为a∥或a
8、已知直线a，b和平面，β，若a ，b ，a∥β，b∥β，则α，β的位置关系是________．
【错解】平行
【错因】没考虑直线a，b的位置关系，
【正解】当a，b相交时，∥β；当a，b平行时，，β平行或相交．答案为平行或相交。
9、若∥β，直线a∥，则a与β的位置关系是________．
【错解】a∥β
【错因】没讨论直线a与β的位置关系，
【正解】当a在β外时，a∥β；当a在β内时，a∥也成立．所以a∥β或a β。
10．若直线l与平面内的一条直线平行，则l和的位置关系是（ ）
A． B． C．或 D．l和相交
【错解】A
【错因】直线与平面平行的判定定理中：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，忽略了平面外这个重要条件，本题中直线l与平面内的一条直线平行，也可能.
【正解】C，由题意，直线l与平面内的一条直线平行，若，由线面平行的判定定理，则，也有可能。
七、证明线面平行、面面平行条件表达不全致错
11．如图，四棱锥中，四边形ABCD是矩形，，AD＝2，为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别为PC、PB的中点．证明：平面PAD；
【错解】∵E，F分别为PC，PB的中点，∴．，所以，
∴平面PAD；
【错因】证明过程中，没有说明平面PAD.
【正解】∵E，F分别为PC，PB的中点，∴．
∵ABCD是矩形，∴，则，
∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；
12、如图,四棱锥P－ABCD中,AD∥BC,AB＝BC＝AD,E,F,H分别为线段AD,PC,CD的中点,AC与BE交于O点,G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
【错解】证明　(1)连接EC,∵AD∥BC,BC＝AD,
∴BC=AE,且BC∥AE,∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH 平面OHF,∴GH∥平面PAD.
【错因】(1)中没有指出FO 平面BEF,AP 平面BEF；
(2) 中没有指出FH∩OH＝H.
【正解】(1)连接EC,∵AD∥BC,BC＝AD,
∴BC=AE,且BC∥AE,∴四边形ABCE是平行四边形,
∴O为AC的中点．又∵F是PC的中点,∴FO∥AP,
FO 平面BEF,AP 平面BEF,∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH,OH,∵F,H分别是PC,CD的中点,
∴FH∥PD,∴FH∥平面PAD.
又∵O是BE的中点,H是CD的中点,∴OH∥AD,∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H,∴平面OHF∥平面PAD. 又∵GH 平面OHF,∴GH∥平面PAD.
八、分析问题不全面致错
13．圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________．
【错解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则体积V＝πr2h，由题意得
解得所以V＝36π2.
【错因】错解中只考虑了6π为底面周长的情况，而4π也有可能为底面周长。
【正解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则体积V＝πr2h，由题意得或
解得或所以V＝36π2或24π2.
14、长方体的长、宽、高分别为3、2、1,从到沿长方体的表面的最短距离为________．
【错解】根据题意,将长方体展开，如图所示，
由图可知线段的长为最短距离，
有勾股定理得，
【错因】长方体展开应有三种可能，错解中只考虑了一种，
【正解】根据题意,将长方体按照三种不同方式展开,如下图所示:
结合长方体的三种展开图,求得的长分别是,所以最小值是.
九、斜二测画法中混淆原图与直观图关系致错
15．如下图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是________．
【错解】在中，,
由余弦定理得：,
得；同理;
所以周长为：。
【错因】错把直观图直接当原图了.
【正解】6，斜二测直观图的画法原则，横坐标不变，纵坐标减半，所以，，
又因为，所以，因此的周长为，
16．如图，若三角形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形ABC的直观图.已知，，三角形的面积为.则原平面图形ABC中BC的长度为 _____ .
【错解】，因为，，且三角形的面积为，所以，所以，三角形的原平面图形如下所示：所以，且，所以；
【错因】忽略了，长度应该变为原来的2倍.注意，在直观图还原原图时：与轴平行（重合）的线段长度不变；与轴平行（重合）的线段长度直观图是原图的一半.
【正解】，因为，，且三角形的面积为，所以，所以，三角形的原平面图形如下所示：所以，且，所以；
十、混淆几何体的表面积与侧面积致错
17.如图所示的某粮仓(粮仓的底部位于地面上)是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为(　 )
A．4π B．(2＋4)π
C．(3＋4)π D．(4＋4)π
【错解】选A，设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，
所以h＝＝，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4π，
【错因】应求该粮仓的表面积，错解中只求了侧面积。
【正解】选D　设圆锥的底面半径为r，高为h，则4πr＝4π，解得r＝1，所以h＝＝，圆柱的侧面积为2πr·2h＝4π，故制作这样一个粮仓的用料面积为(4＋4)π。
18、把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．
【错解】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，
所以V圆柱＝πr2h＝.
【错因】错解中漏掉一种情况，解决此类问题一定要考虑全面．把矩形卷成圆柱时，可以以4为底，2为高；也可以以2为底，4为高．
【正解】设圆柱的底面半径为r，母线长为l，高为h.
当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，所以V圆柱＝πr2h＝.
当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，所以V圆柱＝πr2h＝.
综上所述，这个圆柱的体积为或.
易错题通关
1．设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线 D．内的任何直线都与平行
【答案】D
【详解】
A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.
B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.
D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.
2．下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；
②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；
③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；
④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】
对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误，
对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误，
对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误，
对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确，
3．已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（ ）
A．若，则存在无数条直线，使得
B．若，则存在无数条直线，使得
C．若存在无数条直线，使得，则
D．若存在无数条直线，使得，则
【答案】D
【详解】若，则平行于过的平面与的交线，当时，，则存在无数条直线，使得，A正确；若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，B正确；若存在无数条直线，使得，，，则，C正确；
当时，存在无数条直线，使得，D错误.
4.如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　 )
A．1 B. C．2 D．4
【答案】C
【解析】由已知得Rt△O′A′B′中，直角边O′B′＝，则Rt△O′A′B′的面积S＝1，由原图形的面积与直观图面积之比为1∶，可得原图形的面积为2.
5、在高为的正三棱柱中,的边长为2,为棱的中点,若一只蚂蚁从点沿表面爬向点,则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图1,将矩形翻折到与平面共面的位置,此时,爬行的最短距离为；如图2,将翻折到与平面共面的位置,易知,,此时爬行的最短距离；如图3,将矩形翻折到与平面共面的位置,此时,爬行的最短距离.
综上,小蚂蚁爬行的最短距离为3.故选A..
6．如图,在四面体ABCD中,AB=CD,M、N分别是BC、AD的中点,若AB与CD所成角的大小为60°,则MN与CD所成角的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．30°或60° D．15°或60°
【答案】C
【解析】取中点,连接、,∵在四面体中,,M、N分别是BC、AD的中点,AB与CD所成角的大小为60°,∴,，,
∴是和所成的角或所成角的补角,或,
∴或，∴MN与CD所成角为或．故选C．
7．（多选题）已知正方体，P是棱的中点，以下说法正确的是（ ）
A．过点P有且只有一条直线与直线AB，都相交
B．过点P有且只有一条直线与直线AB，都平行
C．过点P有且只有一条直线与直线AB，都垂直
D．过点P有且只有一条直线与直线AB，所成角均为45°
【答案】AC
【解析】选项A.过点P与直线AB相交的直线必在平面PAB内，
过点P与直线相交的直线必在平面内，故满足条件的直线必为两平面的交线，显然两平面有唯一交线，A正确；
选项B.若存在一条直线与，都平行，则，矛盾，B不正确；
C选项.因为，若则，若，则平面，显然满足条件的直线唯一，即，C正确；
D选项.取，的中点E，F，连PE，PF，则，，
若l与直线，所成角为45°，则l与PE，PF所成角为45°，显然的角平分线及其外角平分线均符合，D不正确.
8．已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若α＝30°，则β＝(　 )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．60°或120°
【答案】C
【解析】∵角α与角β的两边分别平行，∴α与β相等或互补，又α＝30°，∴β＝30°或150°.
9．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　 )
A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直
【答案】A
【解析】如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意，易得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，∴EF∥BD1，又A1B∩BD1＝B且A1，B，E，F共面，则直线A1B与直线EF相交．
10．下列条件中，能判断两个平面平行的是(　 )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
【答案】D
【解析】由两个平面平行的判定定理可知，如果一个平面内的两条相交直线与另外一个平面平行，那么这两个平面平行．故可知D符合．
11．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的(　 )
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．
12．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(　 )
A．若m⊥α，α⊥β，则m∥β
B．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
C．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m∥α，n∥α，则m∥n
【答案】B
【解析】在如图所示的正方体中依次判断各个选项．A选项，面ABCD⊥面ADD1A1，AA1⊥面ABCD，此时AA1 面ADD1A1，可知A错误；B选项，m∥α，则α内必存在直线，使得m∥l，又n⊥α，则n⊥l，可知n⊥m，可知B正确；C选项，取AA1和DD1中点E和F，可知A1D1∥面ABCD，EF∥面ABCD，A1D1，EF 面ADD1A1，此时面ADD1A1⊥面ABCD，可知C错误；D选项，AA1∥面BCC1B1，AD∥面BCC1B1，此时AA1∩AD＝A，可知D错误．
13．下列说法中正确的是________．(填序号)
①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；
③平行于同一条直线的两个平面平行；
④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，则b∥α.
【答案】④
【解析】对于①，a可以在经过b的平面内，故①错误；对于②，a与α内的直线平行或异面，故②错误；对于③，两平面也可以相交，故③错误；对于④，a∥b，a∥α，b α，则b∥α，故④正确．
14、某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为________．
【答案】2
【解析】如图所示，△ABC是圆锥的轴截面．OC＝OB＝，AC＝AB＝2，OA＝＝1，所以∠OAC＝，∠BAC＝，所以任意截面△ABD的面积为×2×2×sin∠BAD＝2×sin∠BAD，当∠BAD＝时，截面面积最大为2×1＝2.
15.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．
【答案】4
【解析】∵PA⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．又BC⊥AC，且AC∩PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．
16．如图所示，已知斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，则原的面积为____________．
【答案】
【解析】过点作轴，且交轴干点．
过作轴，且交轴于点，则，∴，∴．
∴三角形的高，底边长为，其面积为．
17．如图所示，表示水平放置的的斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边AB上的高为______．
【答案】
过点作轴，交′轴于点，则.
∵在中，，∴.
所以△ABC的边AB上的高.
18．如图，已知正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的余弦值为________．
【答案】
【详解】正三棱柱的侧棱长为底面边长的2倍，设，则，取中点，中点，连接，如下图所示：
则即为异面直线和所成的角或其补角，所以，，，所以在中由余弦定理可得，因为异面直线夹角的取值范围为，所以异面直线和所成的角的余弦值为，
19.如图,在四棱锥中,,．
(1)证明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值．
【解析】(1)由已知,得,，由于,
故,从而平面，又平面,所以平面平面
(2)在平面内做,垂足为,
由(1)可知,平面,故,可得平面．
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系．
由(1)及已知可得,,,．
所以,,,．
设是平面的法向量,则
,即,可取．
设是平面的法向量,则,即,可取．
则,因为二面角为钝角,所以二面角的余弦值为．
20、如图,在四棱锥P－ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD＝DC＝AP＝2,AB＝1,点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F－AB－P的余弦值．
【答案】(1)证明　依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系如图,可得
B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点,得E(1,1,1)．＝(0,1,1),＝(2,0,0),故·＝0,所以BE⊥DC.
(2)＝(－1,2,0),＝(1,0,－2)．设n＝(x,y,z)为平面PBD的一个法向量,
则即不妨令y＝1,可得n＝(2,1,1)．
于是有cos〈n,〉＝＝＝,所以,直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)＝(1,2,0),＝(－2,－2,2),＝(2,2,0),＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上,设＝λ,0≤λ≤1,故＝＋＝＋λ＝(1－2λ,2－2λ,2λ)．
由BF⊥AC,得·＝0,因此,2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0,解得λ＝,即＝(－,,)．
设n1＝(x,y,z)为平面FAB的一个法向量,则　即
不妨令z＝1,可得n1＝(0,－3,1)．取平面ABP的法向量n2＝(0,1,0),
则cos〈n1,n2〉＝＝＝－.
易知,二面角F－AB－P是锐角,所以其余弦值为.
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