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专题10 平面向量与复数
易错分析
一、忽略向量共线致误
1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________．
【错解】因为向量的夹角为钝角，所以，
即，解得，
【错因】概念模糊，错误地认为为钝角，实际上，为钝角不共线。
【正解】因为向量的夹角为钝角，所以且不共线，
即，解得，
所以实数x的取值范围为。
2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________．
【错解】∵cos θ＝＝.因θ为锐角,有cos θ>0,
∴>0 2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是.
【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角．
【正解】∵θ为锐角,∴0∴0<且≠1,∴,解得
∴λ的取值范围是.
二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误
3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为
A.1 B. 2 C.3 D.4
【错解】选B或C或D
【错因】(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线 存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件．
(2)面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0.
【正解】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3),
当a,b均为零向量时可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时不存在,
(3)是假命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立.
三、对两两夹角相等理解不准确
4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 .
【错解】因为单位向量两两夹角相等,则夹角为,所以
+=+
=0, 所以的模为0。
【错因】忽略了夹角为零度的情况
【正解】当的夹角为时的模为3,当夹角为时,
+=+
=0,的模为0.
四、确定向量夹角忽略向量的方向致错
5、已知等边△ABC的边长为1,则·＋·＋·＝________.
【错解】∵△ABC为等边三角形,∴||＝||＝||＝1,
向量、、间的夹角均为60°.∴·＝·＝·＝.
∴·＋·＋·＝.
【错因】数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cos θ,这里θ是a与b的夹角,本题中与夹角不是∠C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图与的夹角应是∠ACD.
【正解】与的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又||＝||＝||＝1,所以·＝||||cos 120°＝－.同理得·＝·＝－.
故·＋·＋·＝－.
6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ）
A． B. C. D.
【错解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =
【错因】夹角是,不是0.
【正解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,,
则 =故选A.
五、向量基本概念模糊致错
7、下列五个命题：
1 若a∥b,b∥c,则a∥c；
2 若A,B,C,D是同一平面内的四点且=，则ABCD为平行四边形；
3 若,则；
4 ； 其中正确的命题有______个。
【错解】1或2或3或4
【错因】①忽略零向量与任意向量共线；②忽略四点共线的情况；③忽略；④对数量积的运算律理解错误。
【正解】①若b为零向量,则a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,则a∥c为假命题；②若＝,则A,B,C,D可能共线,故为假命题；③若,则或 ，故为假命题；④因表示与c共线的向量,表示与a共线的向量,可能不共线,故不一定相等,该命题是假命题，正确的命题有0个。
六、 忽视平面向量基本定理的成立条件
8、下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A、=（0，0），=（1，-2） B、=（-1，2），=（5，7）
C、=（3，5），=（6，10） D、=（2，-3），=（4，-6）
【错解】选A或C或D
【错因】概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。
【正解】选B，如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。
七、纯虚数的条件不明晰
9、若复数是纯虚数,则实数（ ）
A. B. C. D.
【错解】由复数是纯虚数,得,解得：,故选A．
【错因】复数为纯虚数的充要条件是，错解中没有考虑实部不为零。
忽略了.
【正解】B，由复数是纯虚数,得,解得：,
八、对复数的虚部理解错误
10、复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【错解】因为,故选B.
【错因】误认为复数的虚部是.虚部是,不是.
【正解】复数的虚部是,不是.的虚部是,不是，选B。
九、乱用判别式
11、已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围.
【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：,
解得：或.
【错因】对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了.而本题中所给一元二次方程,其中含有虚数单位,则首先要将其整理成复数的形式：,利用复数相等的条件有：,进而可求出.
【正解】设方程的实数根为,代入方程有：,
整理化简可得：,
则有：, 可解得：或.
十、忽略虚数不能比较大小
12、给出下列命题：①；②；③,其中正确命题的个数为 . A.0 B.1 C.2 D. 3
【错解】D
【错因】两个复数如果不全是实数,不能比较大小.本题易出现的错误是误认为②正确.
【正解】①正确；②错误,因为虚数不能比较大小；,③错误.故选B.
十一、利用解题,忽略前提条件：为实数
13、已知x为实数,y为纯虚数,且,求的值.
A. B. C. D.
【错解】由得,所以.
【错因】当为实数时，有. 错解中忽略了y为纯虚数.
【正解】因为x为实数,y为纯虚数,设,
由得,
所以,所以.
易错题通关
1、已知复数，则下列说法正确的是
A. z的虚部为4i B. z的共轭复数为
C. D. z在复平面内对应的点在第二象限
【答案】B
【解答】，A：z的虚部为4，故A错误；
B：z的共轭复数为，故B正确；C：，故C错误；
D：对应的点为，在第一象限，故D错误；
2、下列说法正确的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则与不是共线向量
【答案】C
【解析】向量不能比较大小，故A错向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错
不相等的向量也可能是共线向量，故D错C显然正确．
3．已知a∈R，若z＝(a＋i)(a＋4i)－10i为纯虚数(i为虚数单位)，则a的值为(　 )
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
【答案】B
【解析】因为z＝(a＋i)(a＋4i)－10i＝a2－4＋(5a－10)i，a∈R且z为纯虚数，所以所以a＝－2，故选B.
4．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a－b等于(　 )
A．5 B．1 C．0 D．－3
【答案】B
【解析】因为(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi，即3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2，所以a－b＝1.
5、已知向量，，且与的夹角为锐角，则满足
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】由题意，与的夹角为锐角，且与不同向，
即故解得且．
6．向量a＝(2，t)，b＝(－1,3)，若a，b的夹角为钝角，则t的取值范围是(　 )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，)) B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(，＋∞)) C．(－∞，－6)∪－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6，)) D．(－∞，－6)
【答案】C
【解析】如若a，b的夹角为钝角，则a·b＜0且a，b不反向共线．由a·b＝－2＋3t＜0，
解得t＜.向量a＝(2，t)，b＝(－1,3)共线时，2×3＝－t，得t＝－6.此时a＝－2b.
所以t＜且t≠－6.
7．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，下列命题正确的是(　 )
A．m(a－b)＝ma－mb　 B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b D．若ma＝na，则m＝n
【答案】AB
【解析】　C错误，例如m＝0；D错误，例如a＝0；A，B是数乘运算的分配律，正确．
8．已知矩形ABCD，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝(　 )
A．3＋ B．4 C．2 D．3＋2
【答案】B
【解析】由向量加法的三角形法则得|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|
＝2||＝4.
9、已知i为虚数单位，且复数z满足，则下面关于复数z的三个命题：复数z的虚部为；；复数z的共轭复数对应的点在第一象限．其中正确命题的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【答案】A
【解析】由，可得，则复数z的虚部为，故错误；，故错误；，所对应的点在第一象限，故正确，
所以正确命题的个数为1，
10．在△ABC所在平面中，点O满足＋＋＝0，则＝(　 )
A.＋ B．－
C.＋ D.＋
【答案】A
【解析】如图，由＋＋＝0，易知O为△ABC的重心，
∴＝＝(＋)＝(＋)＝＋.
11．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　 )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
【答案】B
【解析】由于c与d反向共线，则存在实数k使得c＝kd(k<0)，则有λa＋b＝ka＋(2λ－1)kb，
所以整理可得2λ2－λ－1＝0，因为λ<0，解得λ＝－.
12．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件为(　 )
A．λ＝0 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
【答案】D
【解析】当e1∥e2时，a∥e1，又b＝2e1，所以b∥e1，又e1≠0，故a与b共线；当λ＝0时，a＝e1，又b＝2e1，e1≠0，故a与b共线．
13．已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的(　 )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若m＝－3，则a＝(9，－9)＝9b，故a∥b；若a∥b，则－m2－(－9)×1＝0，
解得m＝3或m＝－3.所以“m＝－3”是“a∥b”的充分不必要条件．
14.如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　 )
A. B．－
C．1 D．－1
【答案】A
【解析】因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
15．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为(　 )
A．(3,1) B．(1，－1)
C．(3,1)或(1，－1) D．(3,1)或(1,1)
【答案】C
【解析】∵A(2,0)，B(4,2)，∴＝(2,2)，∵点P在直线AB上，且||＝2||，∴＝2或＝－2，故＝(1,1)或＝(－1，－1)，故P点坐标为(3,1)或(1，－1).
16．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝(　 )
A. B． C．2 D．10
【答案】B
【解析】∵a⊥c，b∥c，∴2x－4＝0，－4－2y＝0，解得x＝2，y＝－2，
∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝.
17．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，则2a＋b与b的夹角是(　 )
A. B． C. D.
【答案】D
【解析】因为平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝2，所以|2a＋b|＝＝＝ ＝ ＝2.又(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|·cos＋|b|2＝2×1×2×＋4＝6，设2a＋b与b的夹角为θ，由向量夹角公式得cos θ＝＝＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝，故选D.
18、下列五个命题：
5 向量与共线，则P1、P2、O、A必在同一条直线上；
6 如果向量与平行，则与方向相同或相反；
7 四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是=；
8 若∣∣=∣∣，则、的长度相等且方向相同或相反；
9 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。
其中正确的命题有______个。
【答案】0
【解析】向量与共线，则直线P1P2与直线OA可能平行，①错；选若为零向量，则命题不正确；②错，=，则四点P1，P2，O，A可能共线；③错，∣∣=∣∣，只能说明、的长度相等但确定不了方向；④错，零向量与任何向量平行，⑤错。
19、若复数z满足其中i是虚数单位，复数z的共轭复数为，则下面结论：的实部是的虚部是复数在复平面内对应的点在第一象限，其中正确的个数是 个
【答案】3
【解析】由，得．，故正确；
z的实部为2，故正确；z的虚部是，故错误；复数在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，故正确．故其中正确的个数是3个．
20、若复数a为实数，复数为纯虚数，则_________，z的虚部为_________．
【答案】
【解析】若复数a为实数，当复数为纯虚数时，，解得
则，其虚部为6．
21、复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是_______．
【答案】
【解析】因为，，其在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得．
22．在复数范围内解方程|z|2＋(z＋)i＝(i为虚数单位)，则z＝________.
【答案】－±i
【解析】如原方程化简为|z|2＋(z＋)i＝1－i，设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入上述方程得x2＋y2＋2xi＝1－i，∴x2＋y2＝1且2x＝－1，解得x＝－且y＝±，∴原方程的解是z＝－±i.
23、已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围是________．
【答案】{k|k＞0且k≠1}
【解析】如由e1与e2是两个互相垂直的单位向量，则e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，又向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.当e1＋ke2与ke1＋e2同向时，即e1＋ke2＝m(ke1＋e2)，m＞0，解得k＝1.综上，k＞0且k≠1时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角．
24．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·的值为________．
【答案】－
【解析】如在△ABC中，由余弦定理得cos A＝＝＝.
所以·＝||||cos(π－A)＝－||||·cos A＝－3×2×＝－.
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