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专题15 计数原理与排列组合、二项式定理
易错分析
【正解】
一、混淆二项式系数与项的系数致错
1．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B．20 C．90 D．80
【错解】A，由题可得
令,则, 所以的展开式中的系数为，故选A.
【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】C，由题可得
令,则,所以，故选C.
2、的展开式中,系数最大的项是第 项
【错解】6或7，的展开式中共12项,第6项的系数为,第7项的系数为,又=，
所以数最大的项是第6或7项.
【错因】错把二项式系数当成项的系数。
【正解】的展开式中共12项,第6项的系数为,第7项的系数为,
所以数最大的项是第7项.
二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错
3、二项式的展开式的第二项是（ ）
A． B． C． D．
【错解】展开式的通项为,令,可得展开式的第二项为=.故选A.
【错因】误认为第二项是而错误
【正解】展开式的通项为,令,可得展开式的第二项为=.故选D.
三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错
4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排名,则不同的安排方案种数为（）
A． B． C． D．
【错解】选A，先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为,根据分步计数原理合要求的安排方法数为．
【错因】该题为均匀分组，忽略除以而错误.
【正解】先将4名学生均分成两组方法数为,再分配给6个年级中的2个分配方法数为,
根据分步计数原理合要求的安排方法数为．故选B．
5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）
A．72 B．108 C．216 D．432
【错解】A，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案.
【错因】该题为部分均匀分组，应除以，而不是.
【正解】C，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案.
四、计数时混淆有序与定序
6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种．
【错解】，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有种．
【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。
【正解】原先七个节目的不同安排方法共有种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝720(种)．
7、身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有（）
A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种
【错解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有种排法,第二步：排右边,有种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选B．
【错因】混淆有序与定序
【正解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有种,故选．
五、混淆排列与组合导致计数错误
8．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是(　 )
A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040
【错解】先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种．故选A.
【错因】本题是组合问题，是无序的，不是排列问题。
【正解】选C，先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有CCC＝2 520种．故选C.
六、考虑问题不全面导致漏计出错
9、如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为(　 )
A．10 B．40 C．44 D．70
【错解】选B，由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有C＝10种方法；所以满足题意的方法共有10种．
【错因】没有考虑两偶一奇的情况，
【正解】选B，由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数，则有两类：一类是3个数都为奇数，共有C＝10种方法；另一类是两偶一奇，共有CC＝30种方法，所以满足题意的方法共有10＋30＝40种．故选B.
10．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
【错解】42，5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则按3,1,1住，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有60－18＝42(种)．
【错因】没有考虑按2,2,1住的情况，
【正解】114，5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有3,1,1和2,2,1两种．当为3,1,1时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为2,2,1时，有×A＝90(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．
11、若,则可表示________个不同的实数。
【错解】当时 ；当时,当不相等且均不为1时满足条件的实数个数为,所以可表示22个不同的实数.
【错因】忽略,.
【正解】当时 ；当时,当不相等且均不为1时,由可组成个对数式,其中,所以可表示20个不同的实数.
七、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错
12．已知的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中项的系数是_____．
【错解】令，则4n＝256，则n＝4，的展开式的通项为Tr＋1＝
(r∈N*，r≤4)，由4－2r＝4得r＝0，所以所求展开式中项的系数是.
【错因】混淆二项式系数之和与所有项系数之和，本题是说的展开式中各项的二项式系数的和为256，
【正解】依题意2n＝256，则n＝8，的展开式的通项为Tr＋1＝
(r∈N*，r≤8)，由8－2r＝4，得r＝2，所以所求展开式中项的系数是＝252.
八、利用分步乘法原理计数,分步标准错误
13、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有(　　)
A．24种 B．4种 C．43种 D．34种
【错解】因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝34(种)投法．
【错因】没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误
【正解】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投入盒子中也有4种投法．只要把这3个球投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法．
九、混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错
14、若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项第________项．
【错解】5或6，展开式的通项为Tk＋1＝2kCx，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163，
解得n＝9.则展开式中共有10项，且第5项、第6项为二项式系数最大的项。
【错因】混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项
【正解】展开式的通项为Tk＋1＝2kCx，由题意可得，20C＋2C＋22C＝163，解得n＝9.设展开式中Tk＋1项的系数最大，则解得≤k≤，又∵k∈N，∴k＝6，故展开式中系数最大的项为第7项。
易错题通关
1．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）
A．12种 B．10种 C．9种 D．8种
【答案】A
【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有种．
2．展开式中的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.
3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有 （ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去并场馆，故不同的安排方法共有种，故选C．
4．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为(　 )
A．19 B．38 C．55 D．65
【答案】D
【解析】　至少有2名女生参加包括2名女生4名男生与3名女生3名男生两种情况，所以不同的选派方案种数为CC＋CC＝65.故选D.
5．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　 )
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【解析】令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.
6．若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　 )
A．0 B．1 C．32 D．－1
【答案】A
【解析】由(1－x)5的展开式的通项为Tr＋1＝(－1)rCxr，得a1，a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1)5＝0.故选A.
7、某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　 )
A．72 B．120 C．144 D．168
【答案】B
【解析】安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48种安排方法，故共有36＋36＋48＝120种安排方法．
8．（多选题）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
【答案】BCD
【详解】展开式的总项数是7，A不正确；展开式的通项公式为，令得，常数项为，B正确；取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.
9、(多选)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax2＋))n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　 )
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含x15的项的系数为45
【答案】BCD
【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等可知n＝10，又展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得(a＋1)10＝1 024，又a>0，所以a＝1，所以二项式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋))10＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x))10，故展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝512，故A错误；由n＝10可知展开式中第6项的二项式系数最大，因为x2与x的系数均为1，所以第6项的系数最大，故B正确；eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋x))10的展开式的通项为Tr＋1＝Cx(r＝0,1,2，…，10)，令2(10－r)－r＝0，解得r＝8，即常数项为第9项，故C正确；令2(10－r)－r＝15，得r＝2，所以展开式中含x15的项的系数为C＝45，故D正确．故选B、C、D.
10某运动会期间，从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男女不限．则不同的支援方法的种数是（ ）
A．36 B．24 C．18 D．42
【答案】A
【详解】第一步从3名男志愿者和2名女志愿者各选一名志愿者去支援冰壶项目，选法共有种；第二步从剩余的3人中选一人去支援花样滑冰，选法共有种；第三步从剩余的2人中选一人去支援短道速滑，选法共有种；依据分步乘法计数原理可知，不同的支援方法的种数是，
11．已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（ ）
A．280 B．448 C．692 D．960
【答案】B
【详解】由题，，因为第三项与第项的二项式系数和为84，所以，即，所以，解得，
所以第四项的系数为，
12．甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（ ）
A．28 种 B．32 种 C．36 种 D．42 种
【答案】C
【详解】将甲、乙看成一个元素A，然后将A、丙、丁、戊四个元素分为3组，共有种，再将3组分到3个不同小区有种，所以满足条件的安排方法共有种.
13．现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是（ ）
A．2，6 B．3，5 C．5，3 D．6，2
【答案】B
【详解】设男生有人，则女生有人，且．由题意可得，即，得，故，即男、女学生的人数分别是3，5.
14．(多选)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是(　 )
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
【答案】BDA
【解析】　由n的二项式系数之和为2n＝64，得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；令x＝1，则6＝26＝64，即各项系数之和为64，B正确；6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；6的展开式中的第5项为C(5x)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))4＝15×25×81为常数项，D正确．
15．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y)) (x＋y)6的展开式中，x3y4的系数是(　 )
A．20 B. C．－5 D．－
【答案】D
【解析】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y)) (x＋y)6＝(x＋y)6－y(x＋y)6，(x＋y)6展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－ryr，令6－r＝2，则r＝4，则(x＋y)6的展开式中x2y4的系数为C＝15.令6－r＝3，则r＝3，则(x＋y)6的展开式中x3y3的系数为C＝20，故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－y)) (x＋y)6的展开式中x3y4的系数是×15－20＝－..
16．(多选)为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则(　 )
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【答案】CD
【解析】对于A，某学生从6门中选3门共有C＝20种选法，故A错误；对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个安排“射”“御”，共有AA＝480种排法，故B错误；对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析，将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有AA＝144种排法，故C正确；对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有A种排法，若课程“乐”不排在最后一周，有CCA种排法，则共有A＋CCA＝504种排法，故D正确．故选C、D.
17．(多选)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3x2))n展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992，则下列结论正确的是(　 )
A．展开式中的有理项是第2项和第5项
B．展开式中没有常数项
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项
D．展开式中系数最大的项是第5项
【答案】BCD
【解析】由题意可得4n－2n＝992，解得2n＝32，所以n＝5.所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3x2))5的展开式的通项为Tr＋1＝C·3r·x.若为有理数，则r＝2或r＝5，展开式中的有理项是第3项和第6项，故A错误；令＝0，解得r＝－，不符合题意，故展开式中没有常数项，故B正确；由n＝5可知，展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项，故C正确；假设第k＋1项系数最大，则解得3.5≤k≤4.5，因为k∈N*，所以k＝4，所以展开式中系数最大的项是第5项，故D正确．故选B、C、D.
18．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是(　 )
A．若任意选择三门课程，选法总数为A
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为C－C
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为CCC
【答案】ABD
【解析】对于A，若任意选择三门课程，选法总数为C，A错误；对于B，若物理和化学选一门，有C种方法，其余两门从剩余的五门中选，有C种选法；若物理和化学选两门，有C种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有C种选法，所以总数为CC＋CC，B错误；对于C，若物理和历史不能同时选，选法总数为C－CC＝C－C，C正确；对于D，有3种情况：①选物理,不选化学，有C种选法；②选化学，不选物理，有C种选法；③物理与化学都选，有C种选法，故总数为C＋C＋C＝6＋10＋4＝20，D错误．
19．(多选)已知(2＋x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则(　 )
A．a0的值为2
B．a5的值为16
C．a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D．a1＋a3＋a5的值为120
【答案】ABC
【解析】对于A，令x＝0，得a0＝2×1＝2，故A正确；对于B，(1－2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(－2x)r＝(－2)rCxr，所以a5＝2×(－2)5C＋1×(－2)4C＝－64＋80＝16，故B正确；对于C，令x＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6　①，即a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－a0＝－3－2＝－5，故C正确；对于D，令x＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6　②，由①②解得a1＋a3＋a5＝－123，故D不正确．故选A、B、C.
20．已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝________，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________.
【答案】1　23
【解析】根据题意，令x＝1，得(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26，令x＝0，得a0＝1＋1＝2.易知a1为展开式中x项的系数，考虑一次项系数a1＝－2＋CC×12＝1，所以a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26－1－2＝23.
21．如果一个整数的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，例：1234321,123321等，显然，两位数的对称数有9个，即11,22,33，…，99，则三位数的对称数有________个，2n＋1(n∈N*)位数的对称数有________个．
【答案】90　9×10n
【解析】根据题意，对于三位数的对称数，其百位和个位数字相同，都不能为0，有9种选法，其十位数字可以为任意的数字，有10种选法，则三位数的对称数有9×10＝90个；对于2n＋1(n∈N*)位数的对称数，其首位和个位数字相同，都不能为0，有9种选法，第2位数字到第n＋1位数字都可以为任意的数字，有10种选法，则2n＋1(n∈N*)位数的对称数有9×10n个．
22．设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.
【答案】－4　31
【解析】由题意知，a1为展开式中x项的系数，所以a1＝C23－C22＝－4.对所给等式，两边对x求导，(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
23．有编号分别为1,2,3,4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，恰有一个空盒，有________种放法．
【答案】144
【解析】由题设，必有一个盒子内放入2个小球，从4个小球中取出2个小球，有C种取法，此时把这2个小球看作一个整体，与另2个小球放入4个盒子中，有A种放法，所以满足题意的放法有CA＝144种．
24．(忽视排列数公式的排列条件)若3A＝4A，则x＝________.
【答案】6
【解析】由3A＝4A，得＝，即＝，
整理得x2－19x＋78＝0，解得x＝6或x＝13.∵x≤8且x－1≤9，∴x≤8，∴x＝6.
25．已知在(2x－1)n的展开式中，奇次项的系数之和比偶次项的系数之和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为________．
【答案】255
【解析】设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数之和为A，偶次项的系数之和为B，则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可得，B－A＝38.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数的性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.
26．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
【答案】114
【解析】5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有3,1,1和2,2,1两种．当为3,1,1时，有C·A＝60(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为2,2,1时，有×A＝90(种)，A，B住同一房间有CA＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．
27．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．
【答案】
【解析】由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．
28．已知(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋))5的展开式的常数项，若(a2＋1)n的展开式中二项式系数最大的项等于54，则a的值为________．
【解析】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋))5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())r＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1())5－rCx，令20－5r＝0，则r＝4，所以常数项为T5＝C×＝16.因为(a2＋1)n的展开式中各项系数之和等于2n，所以2n＝16，解得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4的展开式中二项式系数最大的项是T3，所以Ca4＝54，解得a＝ ±.
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