资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 不等式性质与基本不等式
易错知识
1．不等式两边同乘以一个数时，没有考虑该数的取值范围而致错。
2．在利用不等式性质求范围时，由于多次运用不等式性质导致范围扩大而致错。
3．有关含有参数的不等式问题中，忽略参数的取值范围而致错。
4. 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
易错分析
一、忽视字母的取值范围而致错
1．(多选)对于任意实数，，，，下列四个命题中，其中真命题的是（ ）
A．若，，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，，则.
【错解】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，则；故B对；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.所以选BCD。
【错因】选项B是错的，忽略了的情况。
【正解】
【答案】CD
【解析】对于A，若，当时，则，故A错误；对于B，若，当时，，故B错误；对于C，若，可得，所以，故C正确；对于D，若，，则，故D正确.
2．(多选)下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【错解】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，再根据不等式的性质可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D正确。所以选BCD。
【错因】选项C中，没有考虑c的正负而致错。
【正解】
【答案】BD
【解析】对于A中，若，当时，则，所以A不正确；对于B中，若，根据不等式的性质，可得，所以B正确；对于C中，由，可得，又由，根据不等式的性质，可得，所以C正确；对于D中，若，可得，由，可得，所以D正确。
二、多次运用不等式性质而致错
1、已知，，求的取值范围.
【错解】因为，，两式相加得，所以，
因为，，两式相加得，所以，
所以，即。
【错因】根据已知条件单独求出a,b各自的范围，会导致它们的范围变大。
【正解】
【答案】
【解析】令.
∴,解得,∴.
∵，∴.,又，
∴.故的取值范围为.
三、忽视不等式中高次项的系数
1．若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
由题意知必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2）．选A
【错因】没有对二次项系数2－m讨论。
【正解】
【答案】C
【解析】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2
.综上知实数m的取值范围是(－2,2]．
五、应用基本不等式求最值时，忽略不等式成立的三个条件，
1．（没有考虑等号能否取到）当时，不等式恒成立，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【错解】当时，由得.
，.，故选B。
【错因】令，即，而，所以不成立，即使用基本不等式求最值时，没有考虑等号问题。
【正解】
【答案】A
【解析】 当时，由得.令，
则易知在上是减函数，所以时，
则∴.
2．（没有考虑“一正”）已知递增等差数列中，，则的（ ）
A．最大值为 B．最小值为4 C．最小值为 D．最大值为4或
【错解】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，而由等差数列通项公式可知，
当且仅当时取得等号，所以的最大值为4，选A。
【错因】因为数列为递增数列,所以，由已知得，则，而错解中把当成正值。
【正解】
【答案】B
【解析】因为，由等差数列通项公式,设公差为,可得，变形可得，因为数列为递增数列,所以，即，而由等差数列通项公式可知，由,结合基本不等式可得，当且仅当时取得等号，所以的最小值为4。
三、忽视一元二次不等式中两根大小而致错
1．已知集合，集合，命题：，
命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【错解】因为，，若是的充分条件，则．
因为
则，，，解得．
实数的取值范围是．
【错因】因为参数a的范围不定，所以a与2a-1的大小关系不定，故需对两根大小分类讨论。
【正解】
【答案】.
【详解】，，若是的充分条件，则．
因为
当时，，显然成立；
当时，，，，解得；
当时，，，，解得．
实数的取值范围是．
易错题通关
1．（2022·南京外国语学校）已知，则下列四个命题正确的个数是（ 　 ）
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，，，，则，.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①当时，，两边同时除以，得到，正确；②，
那么，即，正确；③，,，，正确；④令同样能满足，不正确.共有3个正确.
2．已知1A. B.
C. D．
【答案】C
【解析】因为8a＋b＝2(a＋2b)＋3(2a－b)，1所以2<2(a＋2b)<4，－6<3(2a－b)<3，－4<8a＋b<7，故8a＋b的取值范围是(－4,7).
3．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．当x＞0时，＋≥2
B．当x＞2时，x＋的最小值是2
C．当x＜时，4x－2＋的最小值是5
D．设x＞0，y＞0，且x＋y＝2，则＋的最小值是
【答案】AD
【解析】对于选项A，当x＞0时，＞0，＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立，故A正确；对于选项B，当x＞2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x＞2，等号取不到，因此x＋的最小值不是2，故B错误；对于选项C，因为x＜，所以5－4x＞0，
则y＝4x－2＋＝－＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，故C错误；对于选项D，因为x＞0，y＞0，则＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故D正确．
4．（多选）（2022·广东中山纪念中学）若，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由，得，即，所以，A正确；若，满足，但，B错误；，则，所以，C正确；由得，，所以，D错．
5．（2022·全国高一课时练习）若不等式对一切恒成立，则实数取值的集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】①时，不等式化为对一切恒成立，因此满足题意；
②时，要使不等式对一切恒成立，则必有解得．
综上①②可知：实数取值的集合是．
6.已知,,则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案:D
【分析】将原式变形,利用基本不等式可得解,需注意等号成立的条件
【详解】依题意,,因为当且仅当时等号成立,又因为,当且仅当时,即时等号成立,
因此,当且仅当时等号成立,
7. （多选题）已知，，则下列命题成立的有（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】A、B、D
【详解】A.若，则，当且仅当时，等号成立，故正确；
B.若，则当且仅当时，等号成立，故正确；
C.若，则，当且仅当时，等号成立，故错误；
D.若，则，当且仅当时，等号成立，故正确.
8．(多选)下列命题为真命题的是(　 )
A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则> D．若a>b且>，则ab<0
【答案】B、C、D
【详解】当c＝0时，不等式不成立，∴A中命题是假命题； a2>ab， ab>b2，∴a2>ab>b2，∴B中命题是真命题；a>b>0 a2>b2>0 0<<，∵c<0，∴>，∴C中命题是真命题；> －>0 >0，∵a>b，∴b－a<0，则ab<0，∴D中命题是真命题．故选B、C、D.
9．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为，不恒成立，所以舍去；当时，因为的解集为，所以只需且，解得.综上，实数a的取值范围为.
10．（2022·石家庄市第十九中学）设，，给出下列不等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，，对于A选项：，故A选项的不等式恒成立；
，故B选项不恒成立；，
当且仅当即时取等号，故C选项中的不等式恒成立，因为，，，当且仅当，，即时取等号，故D选项中的不等式恒成立，
11．(多选)在下列函数中，最小值是2的函数有(　 )
A．f(x)＝x2＋ B．f(x)＝cos x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0C．f(x)＝ D．f(x)＝3x＋－2
【答案】AD
【详解】对于选项A，∵x2＞0，∴由基本不等式可得x2＋≥2，当且仅当x2＝，即x＝1或x＝－1时，等号成立，故选项A正确；对于选项B，∵012.（多选题）已知,且,则（ ）
A.的取值范围是 B.的取值范围是
C.的最小值是 D.的最小值是
答案：B、D
解析：因为, 所以,所以,解得,即,
则A错误.因为.所以 ,所以,即,
解得,则B正确.因为,所以，
则,当且仅当,即时,等号成立.因为,所以,则C错误.,
当且仅当;,即 时，等号成立,则D正确.
13.已知，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【分析】由已知得出，将所求代数式化为，与代数式相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，且，则，所以，
，当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
14．已知－2【答案】
【解析】因为215.若，，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.
16．函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________．
【答案】1＋2
【解析】因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－))≥1＋2eq \r(－2x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－)))＝1＋2，
当且仅当x＝－时取等号，故y的最小值为1＋2.
17．（2022·江西上高二中）设集合，若，则实数的取值范围是____________；
【答案】
【解析】，因为，
当时，，，此时，，满足题设；
当时，，，要使，需满足，即；
综上所述，
18．（2022·太原市第五十三中）已知，，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【详解】当时，，解得；当时，即或时，此时方程的两个根需满足小于等于，则，，得，，
综上，.
19．（2022·上海市洋泾中学）已知集合各元素之和等于3，则实数___________.
【答案】或
【详解】由题意知：中元素，即为的解，
∴或，可知：或∴当时，；当时，，
∴或，
20．（2022·绍兴鲁迅中学）已知函数满足，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由题意得解得所以,因为，所以；因为，所以．两式相加得，故的取值范围是.
21．（2022·陕西省商丹高新学校）解关于的不等式：．（且）．
【答案】时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
【解析】因为，所以；
若，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：或；
综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
22．（2022·四川资阳·期末）已知函数.
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若，解关于的不等式.
【答案】（1）8；（2）当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
【解析】（1）若，，则，∵，
∴，当且仅当，即时取得最小值8；
（2）若，则.
1、若，化为，即；
2、若，的两根为1，.
若，则，则不等式的解集为；
若，则，则不等式的解集为；
若，化为，；
若，则，则不等式的解集为.
综上，当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑