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专题04 一元二次不等式、一元二次不等式
易错知识
1．解分式不等式时要注意分母不能为零；
2．“大于取两边，小于取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零；
3．解决有关一元二次不等式恒成立问题要注意给定区间的开闭；
4. 有关一元二次方程根的分布条件列不全致错；
5. 解一元二次不等式时要注意相应的一元二次方程两根的大小关系；
易错分析
一、忽视分式不等式中的分母不能为零致错
1．不等式≤1的解集是________．
【错解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得(x－1)(x＋1)≥0，得x≤－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|xx≤－1或x≥1}．
【错因】因为x＋1为分母，所以x＋1不等于零。
【正解】由≤1得－1≤0，得≤0，得≥0，得x－1＝0或(x－1)(x＋1)>0，得x＝1或x<－1或x>1，得x<－1或x≥1，所以原不等式的解集为{x|x<－1或x≥1}．
二、忽视一元二次不等式中的二次项系数不能为零致错
2.若不等式mx2＋2mx－4＜2x2＋4x对任意x都成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2]
【错解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.若该不等式恒成立，必须满足
解得－2＜m＜2.综上知实数m的取值范围是(－2,2)，
选A．
【错因】没有对二次项系数m讨论。
【正解】原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.
当m＝2时，不等式为4＞0，该不等式恒成立；
当m≠2时，必须满足解得－2＜m＜2.
综上知实数m的取值范围是(－2,2]．选C
提示：当不等式中最高项的系数含有参数时，要对其分情况讨论，不是见参就讨论，比如下面这个题目是不用讨论的。
例：若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意有4a2－4×18<0，可得－3三、忽视口诀：大于取两边，小于取中间的使用条件致错．
3．不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集为(　 )
A. B.
C．{x|x≤或x≥2}． D．
【错解】由(x－2)(3－2x)≥0解得x≤或x≥2，故不等式的解集为.选C　
【错因】“大于号取两边，小于号取中间”使用的前提条件是二次项系数大于零，
【正解】由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得≤x≤2，故不等式的解集为.选B　
四、一元二次不等式恒成立问题中忽视区间的开闭致错
4．当1≤x≤3时，关于x的不等式ax2＋x－1<0恒成立，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，－] B.
C. D．
【错解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a≤－,选A。
【错因】因为1≤x≤3，即x可以取到端点值，所以2－可以取到－，则a<－，不能取等号。
【正解】当1≤x≤3时，由ax2＋x－1<0恒成立可得，a<2－恒成立，令f(x)＝2－＝2－，则当x＝2时，f(x)min＝－，所以a<－.选B。
5．若不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，则实数t的取值范围为(　 )
A．(－∞，2) B.
C．[1，＋∞) D．
【错解】因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<，故实数t的取值范围是t>.选B.
【错因】因为x∈(1,2)，即x取不到端点值，故实数t的取值范围是t≥.
【正解】因为不等式x2－tx＋1<0对一切x∈(1,2)恒成立，所以t>＝x＋在区间(1,2)上恒成立，由对勾函数的性质可知函数y＝x＋ 在区间(1,2)上单调递增，且当x＝2时，y＝2＋＝，所以x＋<，即x＋取不到端点值，故实数t的取值范围是t≥.选D。
五、有关一元二次方程根的分布条件列不全致错
6． 若方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是________．
【错解】设方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根为则，
则，即，即
解得m<－4，故m的取值范围是(－∞，－4)．
【错因】条件不能推出，例如时，满足，但。
【正解】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，其对称轴方程为x＝，
由题意得，即
解得－5六、解一元二次不等式时忽视两根大小而致错
7．解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【错解】原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－)) (x－1)<0(a>0).解得则该不等式的解集为.
【错因】没有考虑与1的大小关系，
【正解】由a>0，知原不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－)) (x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－)) (x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，得③当01，得1综上，当0当a>1时，不等式解集为.
【提示】对含参的不等式，应对参数进行分类讨论
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
易错题通关
1．若a<0，则关于x的不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为(　 )
A. B.
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<或x>2)))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<2或x>))))
【答案】B
【解析】方程(ax－1)(x－2)＝0的两个根为x＝2和x＝，因为a<0，所以<2，
故不等式(ax－1)(x－2)>0的解集为.
2．若对于任意的x∈[0,2]，不等式x2－2x＋a>0恒成立，则a的取值范围为(　 )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】B
【解析】不等式x2－2x＋a>0，转化为a>－x2＋2x，设f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]，
则f(x)＝－(x－1)2＋1，当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝1，所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．
3．已知关于的不等式对任意恒成立,则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时,不等式可化为,其恒成立；当时,要满足关于的不等式任意恒成立,只需解得:.综上所述,的取值范围是.
4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，分两种情况讨论：
①当时，即，
若，原不等式为，可得，则不等式的解集为，不是空集；
若，原不等式为，无解，不符合题意.
②当，即，
若不等式的解集为空集，则，解得，
则当不等式的解集不为空集，则或且，
综上可得：实数的取值范围为.
5．已知方程有两个负实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】要原方程有两个负实根，必须：.
或，∴实数的取值范围是.
6．已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意得对恒成立， 令 ，
又时，， 所以当时，即时，取得最大值， ， 故实数的取值范围是。
7．在R上定义运算:，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由定义知，不等式等价于，所以对任意实数恒成立.因为，所以，解得，则实数的最大值为.
8．已知关于x的不等式mx2＋mx＋m<1对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　 )
A．(－∞，0]∪ B．(－∞，0]
C．(－∞，0)∪ D．(－∞，0)
【答案】B
【解析】原不等式可整理为mx2＋mx＋m－1<0，①当m＝0时，－1<0恒成立，故符合题意；
②m≠0时，则有解得m<0.综上，m≤0.
9．已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对 x∈(0,3]恒成立，则a的取值范围为(　 )
A．[－1，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】D
【解析】因为函数f(x)在R上为增函数，则原不等式可化为－4x＋a≥－3－x2对 x∈(0,3]恒成立，所以a≥－x2＋4x－3对 x∈(0,3]恒成立，令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，由x∈(0,3]，得g(x)∈(－3,1]，所以a≥1，故a的取值范围为[1，＋∞)．
10．已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)≥f(－3－x2)对 x∈(0,3]恒成立，则a的取值范围为(　 )
A．[－1，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】D
【解析】因为函数f(x)在R上为增函数，则原不等式可化为－4x＋a≥－3－x2对 x∈(0,3]恒成立，所以a≥－x2＋4x－3对 x∈(0,3]恒成立，令g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，由x∈(0,3]，得g(x)∈(－3,1]，所以a≥1，故a的取值范围为[1，＋∞)．
11. 若关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，则实数m的取值范围为(　 )
A. B.∪
C. D．(0，＋∞)
【答案】A
【解析】因为关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1≥0的解集为空集，所以关于x的不等式mx2－(2m＋1)x＋m－1<0的解集为R，当m＝0时，原不等式为－x－1≥0，即x≤－1，不符合题意，舍去；当m≠0时，原不等式为一元二次不等式，只需解得m<－.综上所述，m的取值范围为.
12．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，函数其中，
①当时，，此时对于，恒成立，符合题意；
②当时，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即；
③当时，的开口向下，且对称轴的方程为，可得函数在区间单调递减，要使得对于，恒成立，则满足，解得，即，
综上可得，实数的取值范围是.
13．设集合，若，则实数的取值范围是____________；
【答案】
【解析】，因为，
当时，，，此时，，满足题设；
当时，，，要使，需满足，即；
综上所述，
14．函数f(x)＝x2＋ax＋3，若a∈[4,6]，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是___________．
【答案】(－∞，－3－ ]∪[－3＋，＋∞)
【解析】令h(a)＝xa＋x2＋3，当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需
即解得x≤－3－或x≥－3＋.
所以实数x的取值范围是(－∞，－3－ ]∪[－3＋，＋∞)．
15．解关于的不等式：．（且）．
【答案】时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
【解析】因为，所以；
若，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：；
若，，解得：或；
综上：时，解集为：或；时，解集为：；时，解集为：；时，解集为：
16. 解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0.
解：∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0，令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]，
则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1.
①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2；
②当2a>a＋1，即a>1时，解得x2a；
③当2aa＋1.
综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}；
当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}；
当a>1时，不等式的解集为{x|x2a}．
17．设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)解不等式f(x)<(m＋1)x－3.
解：(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0.
若m≠0，则解得－4综上，－4(2)由f(x)<(m＋1)x－3得(mx－1)(x－2)<0.
当m＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2；当m<0时，解得x<或x>2；当02，解得2时，<2，解得综上，当m＝0时，不等式解集为{x|x>2}；当m<0时，不等式解集为；当0当m>时，不等式解集为.
18．已知函数.
（1）若，，求函数的最小值；
（2）若，解关于的不等式.
【答案】（1）8；（2）当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
【解析】（1）若，，则，∵，
∴，当且仅当，即时取得最小值8；
（2）若，则.
1、若，化为，即；
2、若，的两根为1，.
若，则，则不等式的解集为；
若，则，则不等式的解集为；
若，化为，；
若，则，则不等式的解集为.
综上，当时， ；当时，；当时，；当时，；当时，.
19．已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）∵，∴，即；
当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
（2）∵对任意的，恒成立，∴恒成立，
即恒成立．当时，不等式为恒成立；当时，，∵，∴，∴，当且仅当时，即，时取“=”．∴．当时，．
∵，∴．令，则，∵函数在上单调递增，∴当，即时，函数取到最大值，∴．
综上所述，的取值范围是．
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