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第十六讲 三角函数和角，差角和二倍角公式及运用
【考纲解读】
理解并掌握正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式，能够运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式进行三角函数式的求值，化简和简单的恒等式证明；
理解并掌握三角函数的辅助角公式，能够运用三角函数的辅助角公式进行三角函数式的求值，化简和简单的恒等式证明。
【知识精讲】
一、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式：
1、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角公式：
（1）sin(+)=sincos+cossin；
（2）cos(+)=coscos-sinsin；
(3) tan(+)=。
2、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的差角公式：
（1）sin(-)=sincos-cossin；
（2）cos(-)=coscos+sinsin；
(3) tan(-)=。
3、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的二倍角公式：
（1）sin2=2sincos；
（2）cos2=-=2-1=1-2；
①=；②=；
（3）tan2= 。
4、三角函数的辅助角公式：
asinxbcosx=sin(x) (其中由tan=来确定)。
二、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式的运用：
1、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式求三角函数式的值：
（1）已知角，求三角函数式的值（简称为知角求值）；
（2）已知某一三角函数的值，求给定三角函数式的值（简称为知值求值）；
（3）已知三角函数式的值，求角（简称为知值求角）。
2、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式化简三角函数式：
（1）三角函数化简的基本原则是：一看角，二看三角函数的名称，三看问题的结构特征；
（2）三角函数化简的基本要求是：①使化简后的三角函数式的项数最少；②三角函数的次数最低；③角与三角函数名称的种类最少；
（3）三角函数化简的常用方法有：①异角化同角；② 三角函数的高次化低次；③复杂角化简单角；④切化弦。
3、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式证明简单的三角函数恒等式：
（1）三角函数恒等式证明的基本方法是：①从三角函数恒等式的一边（较繁杂的一边）入手，运用三角函数和角，差角和二倍角公式通过变换使其等于另一边；②两边（两边都比较繁杂）同时变换，使其等于同一个简单的三角函数式；
（2）运用三角函数和角，差角和二倍角公式进行变换时应该注意的问题：①注意三角函数和角，差角和二倍角公式的灵活运用（既可以从公式的左边到右边运用，也可以从公式的右边到左边运用）；②注意数学拼凑法在三角函数恒等式证明中运用。
【探导考点】
考点1求三角函数式的值：热点①已知角，求三角函数式的值；热点②已知某一三角函数式的值，求给定三角函数式的值；热点③ 已知三角函数式的值，求角的值；
考点2三角函数式化简：热点①运用三角函数和角（或差角）化简三角函数式；热点②运用三角函数二倍角公式化简三角函数式；热点③ 综合运用三角函数公式化简三角函数式；
考点3三角函数恒等式证明：热点①变换三角函数式一边，使其等于另一边；热点②已知两边同时变换，使其等于同一三角函数式。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、=（ ）
A B C 2 D
2、4cos-tan=（ ）
A B C D 2-1
3、求角，的正弦、余弦、正切值；
4、计算coscos+sincos的值；
5、求的值；
6、计算的值；
7、已知+=，求（1+tan）(1+tan)的值；
8、计算Coscoscoscos的值；
9、计算cos-cos的值；
10、计算++sincos的值；
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知角，运用三角函数和角，差角和二倍角公式求三角函数式值的问题，解答这类问题的基本思路是把任意角转化为特殊角，从而运用特殊角的三角函数值求出三角函数式的值；
（2）解答该类问题应该注意三角函数知识的综合运用，同时还要注意三角函数和角，差角和二倍角公式的灵活运用（即可以从公式的左边到右边，也可以从公式的右边到左边）。
〔练习1〕解答下列问题：
求- sin（- ）的值；
2、 计算sincos -cos sin 的值；
3、计算的值；
4、计算的值；
5、计算tan+tan+tantan的值；
6、计算Coscoscoscos的值。
【典例2】解答下列问题：
1、若角的顶点为原点，始边与X轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（ ）
A - B - C D
2、已知sin2=，则cos（+）=（ ）
A B C D
3、已知为锐角，且有2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，则sin的值是（ ）
A B C D
4、已知sin.cos=，＜＜，则cos-sin的值为（ ）
A - B C - D
5、已知sin=，则sin-cos的值为（ ）
A - B - C D
6、已知tan=3，则①= ；②sin-3sincos+1= ；
7、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；
8、已知，为锐角，cos=，sin（+）=，则cos= ；
9、已知一元二次方程a+bx+c=0（a≠0且a≠c）的两个根为tan，tan，求tan（+)的值；
10、已知cos(+)=，cos=，、均为锐角，求sin的值；
11、已知＜＜，0＜＜，cos(-)=，sin(+)=，求
sin(+)的值；
12、已知sin(x-)cos(x-)=-，求cos4x的值；
13、已知cos(-)=-，cos(+)=，＜-＜，＜+＜。求：①cos2； ②cos2；
14、已知cos（+）=，＜，求cos（2+）的值；
15、已知cos-cos= ，sin-sin= ，求cos(-)的值；
16、已知sin.sin=1，求cos(+)的值；
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知某三角函数的值，综合运用三角函数知识求三角函数值的问题，解答这类问题的基本思路是变角，把所求三角函数值的角与已知三角函数值的角联系起来；
（2）同角三角函数的基本关系，三角函数诱导公式，和角公式，差角公式和二倍角公式是解答该类问题的基本知识点，深刻理解和掌握这些基本知识点是解答问题的基础和关键。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知tan(-)=，且∈（，），则sin（+）等于（ ）
A B - C D -
2、设tan，tan是方程-3x+2=0的两根，则tan（+）的值为（）
A -3 B -1 C 1 D 3
3、若sin(-)=，则cos(+2)=（ ）
A - B - C D
4、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；
5、已知＜＜，cos(+)=m，（-1＜m＜0），则sin(-)的值为 ；
6、已知∈（0，），且2sin-sin.cos-3cos=0，则= ；
7、已知sin=，并且是第一象限的角。
求下列三角函数的值：①cos， ②tan。
8、已知cos=-，且为第三象限的角，
求下列三角函数的值：①sin， ②tan。
9、已知cos=。
求下列三角函数的值：①sin， ②tan。
10、已知tan=-。
求下列三角函数的值：①sin， ②cos。
11、已知sin= ，cos=- ，且、都是第二象限的角，求sin(+)，cos(-)，tan(+)的值；
12、已知＜＜＜，cos(-)=，sin(+)=-，求sin2的值；
13、已知cos(-)=-，cos(+)=，且(-)∈（，），(+)∈（，2），求cos2，cos2的值；
14、计算的值；
15、计算tan+tan+tantan的值；
16、计算Coscoscoscos的值。
17、已知cos= ，cos(+)=-，且、∈（0，），求cos的值；
18、已知为第二象限的角，cos+sin=-。
求：①sin-cos； ②sin2+cos2的值。
19、已知sin+cos=，求的值；
20、已知sin+cos= ，求tan+ 的值；
21、已知sin(--)=，求的值。
22、已知sin-sin=-，cos-cos=，求cos(-)的值；
23、已知cos.cos=1，求cos(+)的值。
【典例3】解答下列问题：
1、设，为钝角，且sin=，cos=-，则+的值为（ ）
A B C D 或
2、已知，∈（0，），且tan(-)=，tan=-，则2-的值为 。
3、若sinA=，sinB=，A，B均为钝角，求A+B的值；
4、已知，均为锐角，且满足：3+2=1，3sin2-2sin2=0。
求证：+2=；
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知三角函数的值，综合运用三角函数知识求角的问题，解答这类问题的基本思路是根据问题条件求出所求角的三角函数值，结合条件确定所求角的取值范围，再利用三角函数值得出角；
（2）求所求角的三角函数值时，如何选择所求角的三角函数的类别对解答问题具有重要的影响，一般来说，选择时应该注意三角函数值在角的范围内的三角函数值的唯一性。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知sin=，sin(-)=-，，均为锐角，则角等于（ ）
A B C D
2、设，为锐角，且sin=，cos=，则+的值为 ；
3、已知tan=，tan=，且、都是锐角，求证：+=；
4、已知tan=2，tan=3，且、都是锐角，求证：+=；
5、已知＜＜，-＜＜0，tan=-，tan=-。
求证：2+=。
【典例4】解答下列问题：
1、化简；
2、化简；
3、化简；
4、化简；
5、化简+-cos2cos2；
6、化简sin(1+tan)；
7、化简；
8、化简（0＜＜）
9、化简；
10、化简tan(+)-tan(-)；
11、化简-2cos（-）；
12、化简（x≠2k+,k∈Z）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是综合运用三角函数知识化简三角函数式的问题，解答这类问题首先需要掌握三角函数化简的基本原则和基本要求，其次是注意三角函数式化简的常用方法；
（2）三角函数化简的基本原则是：一看角，二看三角函数的名称，三看问题的结构特征；
（3）三角函数化简的基本要求是：①使化简后的三角函数式的项数最少；②三角函数的次数最低；③三角函数式中的角与三角函数名称的种类最少；
（4）三角函数化简的常用方法有：①异角化同角；② 高次化低次；③复杂角化简单角；④切化弦。
〔练习3〕解答下列问题：
1、化简sin(+)-sin(-)；
2、化简sin(+)-sin(-)；
3、化简cos(+)-cos(-)；
4、化简cos(+)-cos(-)；
5、 化简sincos -cos sin ；
6、化简cos cos -sinsin ；
7、化简sin(-)cos +cos(-)sin；
8、化简cos(+)cos +sin(+)sin；
9、化简；
10、化简3sinx+3cosx；
11、化简；
12、化简；
13、化简cosx-sinx；
14、化简（sinx-cosx）；
15、化简sinx+cosx；
16、化简sin(-x)+cos(-x)；
17、化简sin cos +sin cos ；
18、化简sin sin +sin sin ；
19、化简cos(-)cos( )-sin(+)sin()；
20、化简；
21、化简 ∈（，2）。
【典例5】解答下列问题：
1、求证：=1-；
2、求证：=；
3、求证：=；
4、求证：sin+sin=2sincos；
5、求证：sincos=〔sin(+)+sin(-)〕；
6、证明-2cos(+)=；
7、证明下列三角函数恒等式：
（1）； （2）。
8、求证：=；
9、证明。
『思考问题5』
（1）【典例5】是三角函数恒等式的证明问题，解答这类问题的基本思路是从等式的两边（或一边）入手，通过三角函数的恒等变换，使之等于同一三角函数式（或与另一边相等），从而证明三角函数的恒等式；
（2）三角函数的恒等变换过程中涉及到同角三角函数基本关系，三角函数和角，差角，二倍角公式和辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键。
〔练习5〕解答下列问题：
1、证明tan=；
2、证明cossin= 〔sin(+)-sin(-)〕；
3、证明=tan；
4、求证：sin-sin=2cossin；
5、求证：=1+sin；
6、求证：tan- =- ；
7、求证：tan(+)+tan(-)=2tan2；
8、求证：=sin+cos；
9、求证：sin(1+cos2)=sin2cos；
10、求证：2sin(+)sin(-)=cos2
11、求证：
12、求证：=sin+cos；
13、求证：sin(1+cos2)=sin2cos；
14、求证：= 。
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知sin（-）=，则的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A - B C - D
2、已知sin（+）=，sin（-）=，则的值为（ ）（2021成都市高三二诊）
A - B C -3 D 3
3、若（0，），tan2=，则tan=（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
4、cos-cos=（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D
5、若tan=-2，则=（ ）（2021全国高考新高考I）
A - B - C D
6、若sin=cos，则tan2=（ ）（2020成都市高三一诊）
A - B C - D
7、已知锐角满足2sin2=1-cos2，则tan=（ ）（2020成都市高三二诊）
A B 1 C 2 D 4
8、已知∈（0，），且3cos2-8cos=5，则sin=（ ）（2020全国高考新课标I）
A B C D
9、若sinx=-，则cos2x= （2020全国高考新课标II文）
10、已知sin+sin（+）=1，则sin（+）=（ ）（2020全国高考新课标III）
A B C D
11、若，∈（，），且sin=，sin=，则sin（+）=( ) (2019成都市高三二诊)
A B - C D -
12、若cos(+)=，则cos2的值等于 (2019成都市高三三诊)
『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末质量检测）试卷中关于三角函数和角，差角和二倍角公式及运用的问题，归结起来主要包括：①已知角，综合运用三角函数公式，求三角函数的值；②已知某三角函数的值，综合运用三角函数公式，求给定三角函数式的值；③已知三角函数的值，综合运用三角函数公式求角；④运用三角函数和角，差角，二倍角和辅助角公式，化简三角函数式；⑤运用三角函数和角，差角，二倍角和辅助角公式，证明三角函数恒等式等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知sin2= ，则cos(+)=( )（2019全国高考新课标II）
A B C D
2、已知tan(x+)=2，则的值为 （2019全国高考江苏）
3、已知sin2=，则cos（+）=（ ）
A B C D
4、若，∈（，），且sin=，sin=，则sin（+）=( )
A B - C D -
5、若cos(+)=，则cos2的值等于 ；
6、已知 （0，），2sin2=cos2+`1，则sin=（ ）
A B C D
7、已知tan(x+)=2，则的值为 。
8、若tan=，则tan2=（ ）（成都市高2021级名校联盟2021-2022学年度下期期末考试）
A B - C 4 D -4
已知是第一象限角，若cos=，则cos( +)= （成都市高2021级名校联盟2021-2022学年度下期期末考试）
求值: = （成都市高2020级名校联盟2020-2021学年度下期期末考试）
第十六讲 三角函数和角，差角和二倍角公式及运用
【考纲解读】
1.理解并掌握正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式，能够运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式进行三角函数式的求值，化简和简单的恒等式证明；
2.理解并掌握三角函数的辅助角公式，能够运用三角函数的辅助角公式进行三角函数式的求值，化简和简单的恒等式证明。
【知识精讲】
一、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式：
1、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角公式：
（1）sin(+)=sincos+cossin；
（2）cos(+)=coscos-sinsin；
(3) tan(+)=。
2、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的差角公式：
（1）sin(-)=sincos-cossin；
（2）cos(-)=coscos+sinsin；
(3) tan(-)=。
3、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的二倍角公式：
（1）sin2=2sincos；
（2）cos2=-=2-1=1-2；
①=；②=；
（3）tan2= 。
4、三角函数的辅助角公式：
asinxbcosx=sin(x) (其中由tan=来确定)。
二、正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式的运用：
1、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式求三角函数式的值：
（1）已知角，求三角函数式的值（简称为知角求值）；
（2）已知某一三角函数的值，求给定三角函数式的值（简称为知值求值）；
（3）已知三角函数式的值，求角（简称为知值求角）。
2、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式化简三角函数式：
（1）三角函数化简的基本原则是：一看角，二看三角函数的名称，三看问题的结构特征；
（2）三角函数化简的基本要求是：①使化简后的三角函数式的项数最少；②三角函数的次数最低；③角与三角函数名称的种类最少；
（3）三角函数化简的常用方法有：①异角化同角；② 三角函数的高次化低次；③复杂角化简单角；④切化弦。
3、运用正弦三角函数，余弦三角函数和正切三角函数的和角，差角和二倍角公式证明简单的三角函数恒等式：
（1）三角函数恒等式证明的基本方法是：①从三角函数恒等式的一边（较繁杂的一边）入手，运用三角函数和角，差角和二倍角公式通过变换使其等于另一边；②两边（两边都比较繁杂）同时变换，使其等于同一个简单的三角函数式；
（2）运用三角函数和角，差角和二倍角公式进行变换时应该注意的问题：①注意三角函数和角，差角和二倍角公式的灵活运用（既可以从公式的左边到右边运用，也可以从公式的右边到左边运用）；②注意数学拼凑法在三角函数恒等式证明中运用。
【探导考点】
考点1求三角函数式的值：热点①已知角，求三角函数式的值；热点②已知某一三角函数式的值，求给定三角函数式的值；热点③ 已知三角函数式的值，求角的值；
考点2三角函数式化简：热点①运用三角函数和角（或差角）化简三角函数式；热点②运用三角函数二倍角公式化简三角函数式；热点③ 综合运用三角函数公式化简三角函数式；
考点3三角函数恒等式证明：热点①变换三角函数式一边，使其等于另一边；热点②已知两边同时变换，使其等于同一三角函数式。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、=（ ）
A B C 2 D
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用三角函数诱导公式和三角函数二倍角公式通过运算求出三角函数式的值就可得出选项。
【详细解答】原式= = =2，C正确，选C。
2、4cos-tan=（ ）
A B C D 2-1
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系；②三角函数诱导公式及运用；③三角函数和角，差角和倍角公式及运用；④任意角化特殊角的基本方法；⑤三角函数辅助角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数的基本关系切化弦，结合分式的性质进行运算，根据三角函数的和角，差角和二倍角公式化成asin+bcos的式子，再利用三角函数辅助角公式通过运算求出三角函数式的值就可得出选项。
【详细解答】原式=4sin-===
===
=，C正确，选C。
3、求角，的正弦、余弦、正切值；
【解析】
【知识点】①任意角化特殊角的基本方法；②三角函数和角，差角公式及运用。
【解题思路】运用=+，=-，结合三角函数和角，差角公式通过运算就可求出角，的正弦、余弦、正切值。
【详细解答】=+，sin=sin(+)=sincos+cossin=
(+)=； cos=cos(+)=coscos-sinsin=
(-)=；tan=tan(+)===
= =2+；=+，sin=sin(-)=sincos- cos
sin=(-)=；cos=cos(+)=coscos+sinsin=
(+)=；tan=tan(-)===
= =2-。
4、计算coscos+sincos的值；
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式及运用；②三角函数差角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数诱导公式和三角函数差角公式通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】原式= coscos+sinsin=cos(-)=cos=0。
5、求的值；
【解析】
【知识点】①特殊角三角函数值及运用；②三角函数和角公式及运用。
【解题思路】根据特殊角三角函数值，运用三角函数和角公式通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】原式== tan(+)=tan=。
6、计算的值；
【解析】
【知识点】①三角函数差角公式及运用；②任意角化特殊角的基本方法。
【解题思路】根据三角函数差角公式，结合任意角化特殊角的基本方法通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】原式= = = tan
=tan(-)==== =2-。
7、已知+=，求（1+tan）(1+tan)的值；
【解析】
【知识点】①三角函数和角公式及运用；②代数式求值的基本方法。
【解题思路】根据三角函数和角公式，结合代数式求值的基本方法通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】+=，tan(+)==tan=1，
=1-，（1+tan）(1+tan)=1++=1+1-
+=2。
8、计算Coscoscoscos的值；
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②分式定义与性质；③三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】根据分式的性质，运用三角函数二倍角公式和诱导公式通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】原式= = .cos
= = = = 。
9、计算cos-cos的值；
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②分式定义与性质；③三角函数诱导公式及运用；④三角函数和角，差角公式及运用。
【解题思路】根据分式的性质，运用三角函数二倍角公式，诱导公式，和角和差角公式通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】原式==
===。
10、计算++sincos的值；
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用；③三角函数和角和差角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式和诱导公式，运用三角函数和角，差角公式通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】原式=++sincos（-）=1-+
+ sincos+ sinsin=1-++ sin- sin+
cos- cos=-+ sin+ cos=-+sin(+)
=-+sin=-+=。
『思考问题1』
（1）【典例1】是已知角，运用三角函数和角，差角和二倍角公式求三角函数式值的问题，解答这类问题的基本思路是把任意角转化为特殊角，从而运用特殊角的三角函数值求出三角函数式的值；
（2）解答该类问题应该注意三角函数知识的综合运用，同时还要注意三角函数和角，差角和二倍角公式的灵活运用（即可以从公式的左边到右边，也可以从公式的右边到左边）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、求- sin（- ）的值；（答案：）
2、计算sincos -cos sin 的值；（答案：）
3、计算的值；（答案：）
4、计算的值；（答案：）
5、计算tan+tan+tantan的值；（答案：）
6、计算Coscoscoscos的值。（答案：-）
【典例2】解答下列问题：
1、若角的顶点为原点，始边与X轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=（ ）
A - B - C D
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，结合问题条件求出角正弦三角函数（或余弦三角函数）的值，运用三角函数二倍角公式通过运算求出cos2的值就可得出选项。
【详细解答】角的顶点为原点，始边与X轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，
sin==， cos2=1-2sin=1-2 =- ，B正确，选B。
2、已知sin2=，则cos（+）=（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式和诱导公式得到cos（+）= = ，结合问题条件通过运算求出cos（+）的值就可得出选项。
【详细解答】 cos（+）= = ，sin2=，
cos（+）= =，A正确，选A。
3、已知为锐角，且有2tan(-)-3cos(+)+5=0，tan(+)+6sin(+)-1=0，则sin的值是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式及运用；②求解二元一次方程组的基本方法；③同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】根据三角函数诱导公式和求解二元一次方程组的基本方法，结合问题条件求出tan的值，运用同角三角函数的基本关系通过运算求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】2tan(-)-3cos(+)+5=0，-2tan+3sin+5=0， tan=3，
tan(+)+6sin(+)-1=0， tan-6sin-1=0，
sin=cos， sin+ sin=1， sin= ，为锐角，
sin= ，C正确，选C。
4、已知sin.cos=，＜＜，则cos-sin的值为（ ）
A - B C - D
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用；③完全平方公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系和三角函数二倍角公式，结合问题条件求出cos-sin的平方的值，由＜＜，求出cos-sin的值就可得出选项。
【详细解答】 sin.cos=，= cos-2 sin.cos+ sin
=1-2=，＜＜， cos-sin>0， cos-sin=，B正确，选B。
5、已知sin=，则sin-cos的值为（ ）
A - B - C D
【解析】
【知识点】①平方差公式及运用；②同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】根据平方差公式分解因式，运用同角三角函数的基本关系，结合问题条件通过运算求出sin-cos的值就可得出选项。
【详细解答】 sin-cos=（sin+ cos）（sin- cos）= sin- cos=2 sin- 1，sin=， sin-cos=2-1=-，B正确，选B。
6、已知tan=3，则①= ；②sin-3sincos+1= ；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②十字相乘法及运用。
【解题思路】①根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件通过运算就可求出的值；②根据十字相乘法分解因式，运用同角三角函数的基本关系通过运算就可求出sin-3sincos+1的值。
【详细解答】 tan=3，①===1；②sin-3sincos+1=2sin-3sincos+ cos=（2sin- cos）（sin- cos）= cos（2tan-1）（tan-1）= （23-1）（3-1）=1。
7、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，结合问题条件求出tan的值，运用三角函数诱导公式通过运算就可求出三角函数式的值。
【详细解答】角终边上一点P（-4,3）， tan=- ，原式=
= tan=- 。
8、已知，为锐角，cos=，sin（+）=，则cos= ；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数差角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出sin，cos（+）的值，运用三角函数差角公式通过运算就可求出cos的值。
【详细解答】 cos=，为锐角， sin= = ，，为锐角，
sin（+）=， cos（+）= =，0<<+<， cos（+）=-，=（+）-， cos=cos[（+）-]= cos（+）.cos
+ sin（+）.sin=-+=-+ =。
9、已知一元二次方程a+bx+c=0（a≠0且a≠c）的两个根为tan，tan，求tan（+)的值；
解析】
【知识点】①一元二次方程根与系数的关系定理及运用；②三角函数和角公式及运用。
【解题思路】根据一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件求出tan+tan，tan.tan的值，运用三角函数和角公式通过运算就可求出tan（+)的值。
【详细解答】 tan，tan是元二次方程a+bx+c=0（a≠0且a≠c）的两个根， tan+tan=- ，tan.tan= ， tan（+)= = =- 。
10、已知cos(+)=，cos=，、均为锐角，求sin的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数差角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出sin（+），sin的值，运用三角函数差角公式通过运算就可求出sin的值。
【详细解答】 cos(+)=，、均为锐角， sin（+）= = ，
cos=， 为锐角， sin= =，=(+)-， sin=
sin[(+)-]=sin（+）. cos- cos(+).sin=-=。
11、已知＜＜，0＜＜，cos(-)=，sin(+)=，求
sin(+)的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及；②三角函数诱导公式及运用；③三角函数差角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出sin(-)，cos(+)的值，运用三角函数诱导公式和差角公式通过运算就可求出sin(+)的值。
【详细解答】 cos(-)=，＜＜， sin(-)=-=-，
sin(+)=，0＜＜， cos(+)=-= -，(+)-
(-)=+(+)， sin(+)=-cos[+(+)]=-cos[ (+)-(-)
]=-[ cos(+).cos(-)+sin(+).sin(-)]=-（--）=。
12、已知sin(x-)cos(x-)=-，求cos4x的值；
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数诱导公式和二倍角公式通过运算就可求出cos4x的值。
【详细解答】 sin(x-)cos(x-)=- cos(x-)cos(x-)=- cos (x-)=-，cos(2x
-)=sin2x=2-1=-，cos4x=1-2=。
13、已知cos(-)=-，cos(+)=，＜-＜，＜+＜。求：①cos2； ②cos2；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数和角公式及运用；③三角函数差角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出sin(-)，sin(+)的值，运用三角函数和角，差角公式通过运算就可求出cos2和cos2的值。
【详细解答】 cos(-)=-，＜-＜， sin(-)==，
cos(+)=，＜+＜， sin(+)=-=-，①2=
(+)+(-)，cos2=cos[(+)+(-)]=cos(+)cos(-)-sin(+)sin
(-)=-+=-； ②2=(+)-(-)，cos2=cos[(+)+
(-)]=cos(+)cos(-)+sin(+)sin (-)=--=-1。
14、已知cos（+）=，＜，求cos（2+）的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角角公式及运用；③三角函数诱导公式及运用；④三角函数和角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出sin（+）的值，运用三角函数二倍角公式，诱导公式求出cos2的值，利用三角函数和角公式通过运算就可求出cos（2+）的值。
【详细解答】 cos（+）=>0，＜， sin(+)=-=-，
sin(2+)= cos2=2 sin(+).cos（+）=2(-)=--，<（+）<2，＜，<2<3， sin2= = ，
cos（2+）= cos2.cos- sin2.sin=-- -=-。
15、已知cos-cos= ，sin-sin= ，求cos(-)的值；
【解析】
【知识点】①完全平方公式及运用；②同角三角函数的基本关系级运用；③三角函数差角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出cos.cos+ sin.sin的值，运用三角函数差角公式通过运算就可求出cos(-)的值。
【详细解答】 cos-cos= ， cos -2cos.cos+ cos=， sin-sin= ， sin-2 sin.sin+ sin=，-2（cos.cos+ sin.sin）+2= ，
cos.cos+ sin.sin= ， cos(-)=cos.cos+ sin.sin= ，
16、已知sin.sin=1，求cos(+)的值；
【解析】
【知识点】①正弦三角函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③三角函数和角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合正弦三角函数和余弦三角函数的性质求出cos.cos的值，运用三角函数和角公式通过运算就可求出cos(+)的值。
【详细解答】 sin.sin=1， sin=sin= 1，==k+（kZ）， cos=cos=0， cos.cos=0， cos(+)=cos.cos-sin.sin=0-1=-1。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知某三角函数的值，综合运用三角函数知识求三角函数值的问题，解答这类问题的基本思路是变角，把所求三角函数值的角与已知三角函数值的角联系起来；
（2）同角三角函数的基本关系，三角函数诱导公式，和角公式，差角公式和二倍角公式是解答该类问题的基本知识点，深刻理解和掌握这些基本知识点是解答问题的基础和关键。
〔练习2〕解答下列问题：
1、已知tan(-)=，且∈（，），则sin（+）等于（ ）（答案：B）
A B - C D -
2、设tan，tan是方程-3x+2=0的两根，则tan（+）的值为（）（答案：A）
A -3 B -1 C 1 D 3
3、若sin(-)=，则cos(+2)=（ ）（答案：A）
A - B - C D
4、已知角终边上一点P（-4,3），则的值为 ；（答案：-）
5、已知＜＜，cos(+)=m，（-1＜m＜0），则sin(-)的值为 ；
（答案：）
6、已知∈（0，），且2sin-sin.cos-3cos=0，则= ；
（答案：）
7、已知sin=，并且是第一象限的角。求下列三角函数的值：
（1）cos； （2）tan。（答案：（1）cos=；（2）tan=。）
已知cos=-，且为第三象限的角，求下列三角函数的值：
(1)sin； （2）tan。（答案：（1）sin=-；（2）tan=。）
已知cos=。求下列三角函数的值：
（1）sin； （2）tan。（答案：（1）sin=或-；（2）tan=或-。）
10、已知tan=-。求下列三角函数的值：
（1）sin； （2）cos。（答案：（1）sin=或-；（2）cos=-或。）
已知sin= ，cos=- ，且,都是第二象限的角，求sin(+)，cos(-)，tan(+)的值；(答案：sin(+)=-；cos(-)=；tan(+)=。）
12、已知＜＜＜，cos(-)=，sin(+)=-，求sin2的值；（答案：-）
13、已知cos(-)=-，cos(+)=，且(-)∈（，），(+)∈（，2），求cos2，cos2的值；(答案：cos2=-；cos2=-1。)
14、计算的值；（答案：）
15、计算tan+tan+tantan的值；（答案：）
16、计算Coscoscoscos的值。（答案：-）
17、已知cos= ，cos(+)=-，且、∈（0，），求cos的值；（答案：）
18、已知为第二象限的角，cos+sin=-。
求：（1）sin-cos； （2）sin2+cos2的值。
（答案：（1）-；（2）+.）
19、已知sin+cos=，求的值；（答案：16）
20、已知sin+cos= ，求tan+ 的值；（答案：2）
21、已知sin(--)=，求的值。（答案：-4）
22、已知sin-sin=-，cos-cos=，求cos(-)的值；（答案：-）
23、已知cos.cos=1，求cos(+)的值。（答案：1）
【典例3】解答下列问题：
1、设，为钝角，且sin=，cos=-，则+的值为（ ）
A B C D 或
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②特殊角的三角函数值；③三角函数和角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出cos，sin的值，运用三角函数和角公式通过运算得到cos（+）的值，利用条件确定角+的取值范围，由cos（+）的值求出+的值就可得出选项。
【详细解答】 sin=，为钝角， cos= -= -， cos=
-，为钝角， sin= = ， cos（+）= cos. cos
- sin. sin=-（-）-=，，为钝角，<+<2，
+=，C正确，选C。
2、已知，∈（0，），且tan(-)=，tan=-，则2-的值为 。
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数和角公式及运用；③特殊角的三角函数值。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式，结合问题条件求出tan(2-2)的值，运用三角函数和角公式通过运算求出tan（2-）的值，利用条件确定角2-的取值范围，由tan（2-）的值求出角2-的值就可得出选项。
【详细解答】 tan(-)=， tan(2-2)= = = ，
2-=(2-2)+， tan（2-）= tan[（2-2）+]=
==1，，∈（0，），tan=->- ，<<，-<-<-
，-<-<， tan(-)=，0<-<，0<2-<，
2-=。
3、若sinA=，sinB=，A，B均为钝角，求A+B的值；
【解析】
【知识点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数和角公式及运用；③特殊角的三角函数值。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合问题条件求出cosA，cosB的值，运用三角函数和角公式通过运算求出cos（A+B）的值，利用条件确定角A+B的取值范围，由cos（A+B）的值就可求出A+B的值。
【详细解答】 sinA=，A为钝角， cosA= -=-， sinB=，B为钝角， cosB= -=-， cos（A+B）= cosA. cosB- sinA. sinB=-
（-）-=， A，B均为钝角，4、已知，均为锐角，且满足：3+2=1，3sin2-2sin2=0。
求证：+2=；
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数和角公式及运用；③特殊角的三角函数值。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式，结合问题条件得到cos2，sin2关于角的三角函数式，运用三角函数和角公式通过运算求出cos（+2）的值，利用条件确定角+2的取值范围，由cos（+2）的值就可证明+2=。
【详细解答】证明：3+2=1，3 =1-2= cos2，3sin2
-2sin2=0， sin2= sin2=3 sin. cos， cos（+2）= cos. Cos2
- sin. Sin2= cos. 3- sin. 3 sin. cos=0，、均为锐角，cos2=3
>0，0<+2<，+2=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是已知三角函数的值，综合运用三角函数知识求角的问题，解答这类问题的基本思路是根据问题条件求出所求角的三角函数值，结合条件确定所求角的取值范围，再利用三角函数值得出角；
（2）求所求角的三角函数值时，如何选择所求角的三角函数的类别对解答问题具有重要的影响，一般来说，选择时应该注意三角函数值在角的范围内的三角函数值的唯一性。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知sin=，sin(-)=-，，均为锐角，则角等于（ ）（答案：C）
A B C D
2、设，为锐角，且sin=，cos=，则+的值为 ；（答案：）
3、已知tan=，tan=，且、都是锐角，求证：+=；（提示：证明tan（+）=1）
4、已知tan=2，tan=3，且、都是锐角，求证：+=；（提示：证明tan（+）=-1）
5、已知＜＜，-＜＜0，tan=-，tan=-。
求证：2+=。（提示：证明tan（2+）=-1）
【典例4】解答下列问题：
1、化简；
【解析】
【知识点】①完全平方公式及运用；②同角三角函数基本关系及运用；③三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据完全平方公式，同角三角函数基本关系和三角函数二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=-2 sin. cos+=1- sin2。
2、化简；
【解析】
【知识点】①分式定义与性质；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据分式的性质，运用三角函数二倍角公式，通过运算就可将三角函数式化简。
【详细解答】原式==。
3、化简；
【解析】
【知识点】①平方差公式及运用；②同角三角函数基本关系及运用；③三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据平方差公式，同角三角函数基本关系和三角函数二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式=（+）.（-）=（-）=cos2。
4、化简；
【解析】
【知识点】①分式的定义与性质；②同角三角函数基本关系及运用；③三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据分式的性质，同角三角函数基本关系和三角函数二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式====。
5、化简+-cos2cos2；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系和三角函数二倍角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式= . + . -cos2cos2
=+-cos2cos2=-cos2cos2=。
6、化简sin(1+tan)；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数诱导公式及运用；③三角函数辅助角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系，三角函数诱导公式和辅助角公式，通过运算就可以将三角函数式化简。
【详细解答】原式= sin. = =
==1。
7、化简；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系，三角函数二倍角公式通过运算就可将三角函数式化简。
【详细解答】原式==
===。
8、化简（0＜＜）
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用，③完全平方公式及运用；④二次根式定义与性质。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系，完全平方式和二次根式的性质，运用三角函数二倍角公式，通过运算就可将三角函数式化简。
【详细解答】0＜＜，0<<，
原式=
= ==-cos。
9、化简；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用，③三角函数诱导公式及运用；④分式定义与性质。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系和分式的性质，运用三角函数二倍角公式和诱导方式通过运算就可将三角函数式化简。
【详细解答】原式= .
=.
=.[-]=（-）
=.= sin。
10、化简tan(+)-tan(-)；
【解析】
【知识点】①三角函数诱导公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用；③分式定义与性质；④同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】根据分式的性质和同角三角函数基本关系，运用三角函数二倍角公式和诱导公式通过运算就可将三角函数式化简。
【详细解答】原式=-
=-=-=
===2tanx。
11、化简-2cos（-）；
【解析】
【知识点】①三角函数差角公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用；③分式定义与性质。
【解题思路】根据分式的性质，运用三角函数二倍角公式和差角公式，通过运算就可将三角函数式化简。
【详细解答】原式=
==
==。
12、化简（x≠2k+,k∈Z）。
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②分式定义与性质。
【解题思路】根据分式的性质，运用三角函数和二倍角公式，通过运算就可将三角函数式化简。
【详细解答】原式=+
=+=+
==-。
『思考问题4』
（1）【典例4】是综合运用三角函数知识化简三角函数式的问题，解答这类问题首先需要掌握三角函数化简的基本原则和基本要求，其次是注意三角函数式化简的常用方法；
（2）三角函数化简的基本原则是：一看角，二看三角函数的名称，三看问题的结构特征；
（3）三角函数化简的基本要求是：①使化简后的三角函数式的项数最少；②三角函数的次数最低；③三角函数式中的角与三角函数名称的种类最少；
（4）三角函数化简的常用方法有：①异角化同角；② 高次化低次；③复杂角化简单角；④切化弦。
〔练习3〕解答下列问题：
1、化简sin(+)-sin(-)；（答案：sin）
2、化简sin(+)-sin(-)；（答案：sin）
3、化简cos(+)-cos(-)；（答案：-sin）
4、化简cos(+)-cos(-)；（答案：-sin）
5、 化简sincos -cos sin ；（答案：sin）
6、化简cos cos -sinsin ；（答案：cos）
7、化简sin(-)cos +cos(-)sin；（答案：sin）
8、化简cos(+)cos +sin(+)sin；（答案：cos）
9、化简；（答案：）
10、化简3sinx+3cosx；（答案：6sin(x+））
11、化简；（答案：tan）
12、化简；（答案tan(-x））
13、化简cosx-sinx；（答案cos(x+））
14、化简（sinx-cosx）；（答案2sin(x-））
15、化简sinx+cosx；（答案2sin(x+））
16、化简sin(-x)+cos(-x)；（答案：sin(-x)）
17、化简sin cos +sin cos ；（答案：）
18、化简sin sin +sin sin ；答案：cos）
19、化简cos(-)cos( )-sin(-)sin()；（答案：cos(-））
20、化简；（答案：1）
21、化简 ∈（，2）。（答案：sin）
【典例5】解答下列问题：
1、求证：=1-；
【解析】
【知识点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用；③同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】对左边运用三角函数和角，差角公式和同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】左边==
=1-=1-=右边，
=1-。
2、求证：=；
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】对右边运用三角函数二倍角公式和同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边===1-==左边，=。
3、求证：=；
【解析】
【知识点】①三角函数二倍角公式及运用；②同角三角函数基本关系及运用。
【解题思路】对右边运用三角函数二倍角公式和同角三角函数的基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边= = ==左边，=
。
4、求证：sin+sin=2sincos；
【解析】
【知识点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用；③三角函数二倍角公式及运用；④同角三角函基本关系及运用。
【解题思路】对右边运用三角函数和角，差角和二倍角公式，结合同角三角函数基本关系，通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边=2（sincos+cossin）(coscos+sinsin)=2 sin
. coscos +2 sin cossin+2 sin coscos+2 sin. cossin
= 2 sin. cos(sin+ cos )+2 sin cos(sin+ cos)= 2 sin. cos
+2 sin cos= sin+sin=左边， sin+sin=2sincos。
5、求证：sincos=〔sin(+)+sin(-)〕；
【解析】
【知识点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用。
【解题思路】对右边运用三角函数和角和差角公式通过运算就可得到左边，从而证明恒等式。
【详细解答】右边=[（sincos+ cossin）+（sincos- cossin）]=
（sincos+ cossin+sincos- cossin）= sincos=左边，
sincos=〔sin(+)+sin(-)〕。
6、证明-2cos(+)=；
【解析】
【知识点】①三角函数和角公式及运用；②分式定义与性质。
【解题思路】对左边运用三角函数和角公式和分式的性质通过运算就可得到右边，从而证明恒等式。
【详细解答】左边=
==
====右边，
-2cos(+)=。
7、证明下列三角函数恒等式：
（1）； （2）。
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②完全平方公式及运用。
【解题思路】（1）对两边运用同角三角函数基本关系，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式；（2）对左边运用完全平方公式，通过变换使之与右边相等，从而证明恒等式。
【详细解答】左边= = = ，右边= . =，左边=右边，；（2）
左边=+2.+-2.=-2.
=1-2.=右边，。
8、求证：=；
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与三角函数二倍角公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】左边==
=2，右边=
==
=2，左边=右边，=。
9、证明。
【解析】
【知识点】①同角三角函数基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】对两边运用同角三角函数基本关系与三角函数二倍角公式，通过变换使之得到同一三角函数式，从而证明恒等式。
【详细解答】左边==，右边==
====，左边=右边，。
『思考问题5』
（1）【典例5】是三角函数恒等式的证明问题，解答这类问题的基本思路是从等式的两边（或一边）入手，通过三角函数的恒等变换，使之等于同一三角函数式（或与另一边相等），从而证明三角函数的恒等式；
（2）三角函数的恒等变换过程中涉及到同角三角函数基本关系，三角函数和角，差角，二倍角公式和辅助角公式等基本知识点，理解和掌握这些基本知识点是解答该类问题的基础和关键。
〔练习5〕解答下列问题：
1、证明tan=；（提示：两边同时变换使其等于tan）
2、证明cossin= 〔sin(+)-sin(-)〕；（提示：变换右边使其等于左边）
3、证明=tan；（提示：变换左边使其等于右边）
4、求证：sin-sin=2cossin；（提示：变换右边使其等于左边）
5、求证：=1+sin；（提示：变换左边使其等于右边）
6、求证：tan- =- ；（提示：变换左边使其等于右边）
7、求证：tan(+)+tan(-)=2tan2；（提示：变换左边使其等于右边）
8、求证：sin(1+cos2)=sin2cos；（提示：变换左边使其等于右边）
9、求证：2sin(+)sin(-)=cos2（提示：变换左边使其等于右边）
10、求证：（提示：变换左边使其等于右边）
11、求证：=sin+cos；（提示：变换左边使其等于右边）
12、求证：sin(1+cos2)=sin2cos；（提示：变换左边使其等于右边）
13、求证：= 。（提示：变换左边使其等于右边）
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题：
1、已知sin（-）=，则的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A - B C - D
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用； ③同角三角函数基本关于即运用；④三角函数辅助角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数二倍角和三角函数诱导公式，求出sin2的值，运用同角三角函
数基本关系和三角函数辅助角公式，求出的值就可得出选项。
【详细解答】 sin（-）=， cos( -2)=1-2=， sin2=，
=====，B正确，选B。
2、已知sin（+）=，sin（-）=，则的值为（ ）（2021成都市高三二诊）
A - B C -3 D 3
【解析】
【考点】①三角函数和角公式及运用；②三角函数差角公式及运用；③同角三角函数的基本关系及运用。
【解题思路】根据三角函数和角，差角公式，结合问题条件求出sincos，cossin
的值，运用同角三角函数的基本关系求出的值就可得出选项。
【详细解答】 sin（+）= sincos+cossin=，sin（-）= sincos
-cossin=， sincos=①，cossin=②，联立①②得：
==3，D正确，选D。
3、若（0，），tan2=，则tan=（ ）（2021全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数基本关系和二倍角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的方程，求解方程求出sin，cos的值，运用同角三角函数基本关系求出tan的值就可得出选项。
【详细解答】 tan2= ==，（2-）
=，sin=，（0，）， cos= = ，tan=
= =，A正确，选A。
4、cos-cos=（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考点】①三角函数诱导公式及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数诱导公式和二倍角公式，结合问题条件求出cos-cos的值就可得出选项。
【详细解答】 cos= cos（-）=sin， cos-cos= cos-sin
=cos2=cos=，D正确，选D。
5、若tan=-2，则=（ ）（2021全国高考新高考I）
A - B - C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系和三角函数二倍角公式，结合问题条件求出的值就可得出选项。
【详细解答】 tan=-2， sin=4 cos， cos= ，
===-2cos(-2cos+cos)=2cos=2=，
C正确，选C。
6、若sin=cos，则tan2=（ ）（2020成都市高三一诊）
A - B C - D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用同角三角函数基本关系，结合问题条件求出tan的值，利用三角函数二倍角公式求出tan2的值就可得出选项。
【详细解答】 sin=cos， tan= =，即tan2= = =- ，C正确，选C。
7、已知锐角满足2sin2=1-cos2，则tan=（ ）（2020成都市高三二诊）
A B 1 C 2 D 4
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，利用同角三角函数的基本关系求出tan的值就可得出选项。
【详细解答】锐角满足2sin2=1-cos2，4 sincos=2sin，2 sin（2cos- sin）=0，是锐角， sin＞0，2cos- sin=0， tan= =2，C正确，选C。
8、已知∈（0，），且3cos2-8cos=5，则sin=（ ）（2020全国高考新课标I）
A B C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用二倍角公式，结合问题条件得到关于cos的方程，求解方程求出cos的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】3cos2-8cos=5，3cos-4cos-4=0， cos=-，∈（0，）， sin= =，A正确，选A。
9、若sinx=-，则cos2x= （2020全国高考新课标II文）
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数二倍角公式，结合问题条件就可求出cos2x的值。
【详细解答】 sinx=-，cos2x=1-2 sinx=1-2（-）=。
10、已知sin+sin（+）=1，则sin（+）=（ ）（2020全国高考新课标III）
A B C D
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数和角公式及运用；③三角函数辅助角公式及运用。
【解题思路】根据和角公式，结合问题条件得到关于sin，cos的等式，运用三角函数辅助角公式求出sin（+）的值就可得出选项。
【详细解答】 sin+sin（+）=1， sin+sin+ cos=1， sin（+）=1， sin（+）=，B正确，选B。
11、若，∈（，），且sin=，sin=，则sin（+）=( ) (2019成都市高三二诊)
A B - C D -
【解析】
【考点】①同角三角函数的基本关系及运用；②三角函数差角公式及运用；③三角函数和角公式及运用。
【解题思路】根据三角函数基本关系，结合问题条件求出cos，cos的值，运用三角函数和角公式求出sin（+）的值就可得出选项。
【详细解答】，∈（，），且sin=，sin=， cos=- =- ，cos=-=-，即sin（+）= sin cos+ cos sin= （-）- =-，B正确，选B。
12、若cos(+)=，则cos2的值等于 (2019成都市高三三诊)
【解析】
【考点】①三角函数二倍角公式及运用；②三角函数诱导公式及运用。
【解题思路】根据三角函数诱导公式，结合问题条件求出sin的值，运用三角函数二倍角公式就可求出cos2的值。
【详细解答】 cos(+)=-sin=， sin=-，即cos2=1-2 sin =1-2=。
『思考问题6』
（1）【典例6】是近几年高考（或高三诊断考试或高一下期期末质量检测）试卷中关于三角函数和角，差角和二倍角公式及运用的问题，归结起来主要包括：①已知角，综合运用三角函数公式，求三角函数的值；②已知某三角函数的值，综合运用三角函数公式，求给定三角函数式的值；③已知三角函数的值，综合运用三角函数公式求角；④运用三角函数和角，差角，二倍角和辅助角公式，化简三角函数式；⑤运用三角函数和角，差角，二倍角和辅助角公式，证明三角函数恒等式等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题的解答结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知sin2= ，则cos(+)=( )（2019全国高考新课标II）（答案：A）
A B C D
2、已知tan(x+)=2，则的值为 （2019全国高考江苏）（答案：-）
3、已知sin2=，则cos（+）=（ ）（答案：A）
A B C D
4、若，∈（，），且sin=，sin=，则sin（+）=( )
A B - C D -（答案：A）
5、若cos(+)=，则cos2的值等于 ；（答案：）
6、已知 （0，），2sin2=cos2+`1，则sin=（ ）（答案：B）
A B C D
7、已知tan(x+)=2，则的值为 。（答案：）
8、若tan=，则tan2=（ ）（成都市高2021级名校联盟2021-2022学年度下期期末考试）（答案：A）
A B - C 4 D -4
9、已知是第一象限角，若cos=，则cos( +)= （成都市高2021级名校联盟2021-2022学年度下期期末考试）（答案：）
10、求值: = （成都市高2020级名校联盟2020-2021学年度下期期末考试）（答案：）
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