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第十八讲 平面向量概念及几何运算
【考纲解读】
理解平面向量的定义，掌握平面向量的几何表示，了解共线向量的定义；
掌握平面向量加法，减法运算的法则和基本方法，能够熟练地进行平面向量加法，减法的几何运算；
理解两个平面向量共线的充分必要条件，掌握实数与平面向量相乘的法则和基本方法，能够熟练地运用两个平面向量共线的充分必要条件解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面向量的基本概念：
1、向量的定义：具有大小和方向的量，叫做向量；
2、向量的三要素：（1）向量的始点；（2）向量的方向；（3）向量的大小；
3、向量的几何表示：（1）用向量始点与终点的大写字母（注意始点与终点的顺序）加上箭头符号，如，，-------；（2）一个小写字母加上箭头符号，如，，------；
4、向量的模：向量的模是指向量的长度，它可表示为||或||；
5、特殊向量：（1）零向量是指模长为0的向量，表为 ；零向量具有如下性质：①模长为0 ；② 方向不确定；③零向量与任何向量共线；（2）单位向量是指模长为1的向量，常用
，，-----表示，也可以表示为，，----- ；（3）平行向量（或共线向量）是指方向相同或相反的向量，如果与平行（或共线），则可表示为//，规定零向量与任一向量平行（或共线）；（4）相等向量是指方向相同且模长相等两个向量，如果与相等，则可表示为=，相等向量具有两个特征：①方向相同；②模长相等；（5）相反向量：①定义：与一个向量方向相反且模长相等的向量，叫做这个向量的相反向量；②相反向量的表示：向量的相反向量可表示为-；③互为相反向量的两个向量的性质：互为相反向量的两个向量的和为零向量，即：若设向量的相反向量向量为-，则上面的性质可表示为+（-）=。
二、平面向量的几何运算：
1、平面向量的加法：
（1）平面向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法；
（2）平面向量加法的法则：
①平行四边形法则如（图1）：
平行四边形法则的特点是两个向量具有公共的始点， +
它的适用范围是具有公共始点的两个向量相加； （图1）
②三角形法则如（图2）：
三角形法则的特点是一个向量的始点与另一个向量
的终点重合，它的适用范围是一个向量的始点与 +
另一个向量的终点重合的两个向量相加；特别的：
+=+=。 （图2）
（3）向量加法的运算律：
①+=+，这个运算律称为平面向量加法的交换律；②（+）+=+（+），这个运算律称为平面向量加法的结合律。
2、向量的减法：
向量减法的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
3、实数与向量的乘积：
（1）实数与向量积的定义：设向量为，R，的意义是：①长度：||=||||，②方向：＞0时，与同向；＜0时，与反向；
（2）实数与向量积的运算法则：由实数与向量积的定义可知，在计算时，应分两步进行：①确定的模长 ；② 确定的方向；
（3）实数与向量的积的运算性质：设，是向量，，R。
①（）=（）；②（+）=+；③（+）=+。
（三）、共线向量的充要条件：
向量与非零向量共线的充要条件：若存在R，使=成立，则向量与非零向量共线，即：向量与非零向量（≠0）共线存在∈R，使=成立。
【探导考点】
考点1平面向量定义及运用：热点①运用平面向量定义判断命题的真假；热点②特殊平面向量定义的理解及运用；
考点2平面向量的几何运算：热点①平面向量的几何运算；热点②根据平面向量的几何运算，求表示式中参数的值（或取值范围）；热点③平面向量几何运算与平面几何的综合问题；
考点3两个向量共线的充分必要条件及运用：热点①平面运用两个向量共线的充分必要条件，判断两个向量是否共线（或证明三点共线）；热点②已知两个向量共线，求向量表示式中参数的值；热点③两个向量共线的充分必要条件与平面几何的综合问题；
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列说法正确的是（ ）
A 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B 方向不同的向量不可以比较大小但同向的可以比较大小 C 向量的大小与方向有关 D 向量的模可以比较大小
2、下列说法中错误的是（ ）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
3、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功。其中不是向量的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、给出下列四个命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//。其中正确命题的序号是（ ）
A ②③ B ①② C ③④ D ②④
5、判断下列命题的真假，如果是假命题，并说明理由：
若向量与同向，且||＞||，则＞；
若||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；
对任意向量||=||，且与的方向相同，则=；
的方向不定，故不与任何向量平行；
向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反；
向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
起点不同，但方向相同，且模长相等的几何向量是相等向量。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与平面向量基本概念相关的问题，解答这类问题需要理解平面向量的基本概念，尤其是特殊向量的定义，理解时应注意特殊向量的定义和特点；
（2）零向量是指模长为零的向量，零向量具有如下性质：①零向量模长为零 ；②零向量的方向是不确定的；③零向量与任何向量与任何向量平行（或共线）；
（3）相等向量与相反向量是两个不同的概念，相等向量是指模长相等且方向小题的两个向量，相等向量具有两个特征：①模长相等；②方向相同；相反向量是指模长相等且方向相反的两个向量，相反向量也具有两个特征：①模长相等；②方向相反；
（4）平行向量（或共线向量）是指方向 相同或相反的一组向量，它包括两种情况：①方向
相同的一组向量；②方向相反的一组向量。
〔练习1〕解答下列问题：
1、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是( )
A ||=|| B = C = D =
2、物理学中的作用力与反作用力（ ）
A不是向量 B是大小相等方向相同的向量
C是大小不等方向不同的向量 D是大小相等方向相反的向量
3、设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则=||；②若与平行，则=||；③若与平行，且||=1，则=；上述命题中，假命题的个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
4、在下列命题中，正确的是（ ）
A若||＞||，则＞ B若||=||，则=
C若=，则与共线 D若 ，则一定不与共线
5、设，分别是，的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A = B =- C ||+||=2 D //
6、下列说法中正确的个数有（ ）
①零向量与任何向量平行；②若向量的模等于1，则为单位向量；③所有的单位向量都相等。
A 0 B 1 C 2 D 3
【典例2】按要求解答下列各题：
1、把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A 一条线段 B 一段圆弧 C 圆上一群孤立点 D 一个单位圆
北 A
2、如图向量是某人行走的路线，那么向量的 2km
几何意义是（ ） 0 东
A从A点沿北偏东方向行走了2km B 从O点沿东偏北方向行走了2km
C 从A点沿东偏北方向行走了2km D 从A点沿西偏南方向行走了2km
3、已知//，//，则有（ ）
A // B = C 与不共线 D 以上都有可能
4、给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量。其中假命题的个数为 ；
5、热带风暴“麦莎”从A点出发向西移动了150千米到达B点，然后又改变方向，向西偏北移动了200千米到达C点，最后又改变方向，向东移动了150千米到达D点。
（1）作出向量，，；
（2）求||。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与向量的表示，相等向量，平行向量，实际问题相关的问题，解答这类问题需要理解相等向量，平行向量的定义，掌握向量表示的常用方法；
（2）解决与实际问题相关的问题时，需要能够准确地画出问题涉及的向量，注意运用向量的观测点将实际问题抽象成数学模型。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心， A F
则以图中A，B，C，D，E，F，O中的任意一点
为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量 B O E
中，除向量外，与向量共线的向量有（ ） C D
A 6个 B 7个 C 8个 D 9个
向量的表示方法有：① 表示法，② 表示法，③ 表示法；
3、某人从点A出发向东行走了2KM后，又向东偏北方向行走了（+）km，则此人的位移的大小为 ；
4、飞机从A地按北偏西的方向飞行1400km到达B地，再从B地按东偏南的方向飞行1400km到达C地，则C地与A地的距离为 km；
5、一架飞机从A点向西北方向飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100km到达C点，再从C点向南偏东飞行到达D点，使得CDA=，则（1）飞机从A点到D点航行的路程为 km；（2）飞机成D点回到A点的路程为 km。
【典例3】按要求解答下列各题：
1、已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A += B += C += D +=
2、已知，，是非零向量，则（+ ）+， +（+ ），+（+ ），+（+） ，+（+）中与++相等的个数为（ ）
A 5 B 4 C 3 D 2
3、化简下列各式：①++；②-+-；③-+；④++-。结果为零向量的式子个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
4、已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的是（ ）
①m（-）=m-m；②（m-n）=m-n；③若m=m，则=；④若m=n，则m=n。
A ①④ B ①② C ①③ D ③④
5、已知向量的终点与向量的起点重合，向量的起点与向量的终点重合，则下列结论正确的是 ；
①以的起点为终点，的起点为起点的向量为-（+）；②以的起点为终点，的终点为起点的向量为---；③以的起点为终点，的终点为起点的向量为--。
6、已知向量的方向是东南方向，且||=4，则向量-2的方向是 ，且|-2|= ；
7、计算下列各题：
（1）（+）+(+) ； （2）--。
8、任意画出两个向量，，且与所在线段互相垂直，||=1，||=2。
（1）作出+，++，++；
（2）求：|+|，|++|，|++|；
9、已知和点M满足：++=0， A
若存在实数m，使得+=m成立，则 M
m=（ ） B C
A 5 B 4 C 3 D 2
10、在中，=，=，若点D满足=2，则等于（ ）
A + B - C - D +
11、设D是所在平面内一点，若=3，则（ ）
A=+B=-C=+D=-
12、设D，E分别是的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=+（，为实数），则+的值为 ；
13、在中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若=x+（1-x），则x的取值范围是（ ）
A （0，） B （0，） C （-，0） D （-，0） A
14、如图D，E分别是中AB，AC的中点，M，N
分别是DE，BC的中点，已知=，=，试用， D M E
分别表示，和； B N C
15、如图已知中，M，N，P依次是AB的 B
四等分点，设=，=，试用，表示 N
，，。 M
P
C A
16、如图已知G是的重心。 A
求：（1）+；
（2）+与是否相等？并说明理由。 G
B D C
17、如图，在ABC中，设=，=， C
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点 Q P
为P ，则=（ ） A R B
A + B + C + D +
18、 在ABC中，AM：AB=1：4，AN：AC=1：4，BN与CM相交于点E，设=，=，用，表示。
『思考问题3』
【典例3】是向量的几何运算问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算律，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，选用三角形法则；
（2）用已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用平面向量基本定理与平面向量共线的充分必要条件建立方程。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、在四边形ABCD中，=+，则四边形ABCD一定为（ ）
A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形
2、向量，均为非零向量，下列说法不正确的是（ ）
A若向量与反向，且||＞||，则向量+与的方向相同B若向量与反向，且||＜||，则向量+与的方向相同C若向量与同向，则向量+与的方向相同
D若向量与相同或相反，则向量+的方向必与，之一的方向相同 D C
3、如图在四边形ABCD中，设=，=，
EMBED Equation.DSMT4 =，则= ； A B
4、点C在线段AB上，且=，=，则为（ ）
A B C - D -
5、若=3-4，=5+4，则（-）-3（+）+（2-）= ；
6、在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=，=，则等于（ ）
A + B + C + D +
7、在梯形ABCD中，已知AB//CD，AB=2CD，M、N分别是CD、BC的中点，若=+，则+= 。
8、设P是ABC所在平面内的一点，+=2，则（ ）
A +=0 B + =0 C +=0 D ++=0
9、设O在ABC内部，且++2=0，则ABC的面积与AOC的面积之比为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
10、在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则四边形ABCD是 （填正方形或矩形或菱形）
11、如图一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD D C
分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中= F K
A E B
，=，=，则的值为（ ）
A B C D
【典例4】按要求解答下列各题：
1、在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+，则=（ ）
A B C - D -
2、已知向量，是两个不共线的向量，且向量m-3与+（2-m）共线，则实数m的值为（ ）
A -1或3 B C -1或4 D 3或4
3、两个不共线的向量，，且向量=2-3，=2+3，=2-9，若向量=+与向量共线，则和的关系为 ；
4、若、是两个不共线的非零向量，已知=2+m，=+3，若A，B，C三点共线，则实数m= ；
5、设两个非零向量与不共线。
（1）若=+，=2+8，=3（-），求证A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使得k+和+k共线。
6、设，是两个不共线的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8-2，求证：A，C，D三点共线；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三点共线，求k的值。
7、设，是两个不共线的非零向量，若与的起点相同，t∈R，当t为何值时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上；
8、设，不共线，点P在AB上，求证：=+，且+=1，，∈R。
『思考问题4』
（1）【典例4】是向量共线的问题，解答这类问题需要理解共线向量的定义，掌握共线向量的充要条件；
（2）向量共线问题常见的题型有：①已知两个向量，证明这两个向量共线；②已知两个向量共线，求其中参数的值；③定理：若向量，不共线，则+=0的充要条件是==0的应用；
（3）解决向量共线或点共线的问题时，主要运用两个向量共线的充分必要条件，但应该注意的是：①两个向量共线与三点共线的相同点是共线；②两个向量共线与三点共线的不同点是向量共线的两个向量可以在一条直线上，也可以是平行线；三点共线的两个向量只能在一条直线上，能够保证这一点的前提条件是这两个向量必须有公共的始点；
（4）向量法解题的三部曲是：① 向量表示，即把几何中的元素（点，直线，平面）用向量表示；②向量几何运算，即针对几何问题，进行向量几何运算；③得出问题解答结果，即对向量运算结果作出几何意义的解释。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知向量，，且=+2，=-5+6，=7-2，则一定共线的三点是（ ）
A A，B，D B A，B，C C B，C，D D A，C，D
2、点P是ABC所在平面内一点，若=+，其中∈R，则点P一定在（ ）
A ABC 内部 B AC边所在的直线上 C AB边所在的直线上 D BC边所在的直线上
3、平面向量，共线的充要条件是（ ）
A ，方向相同 B ，两个向量中至少有一个为零向量
C∈R，= D存在不全为零的实数，，使得 +=0
4、已知向量=+3，=-5+3，=-3+3，则（ ）
A A，B，C三点共线 B A，B，D三点共线 C A，C，D三点共线 D B，C，D三点共线
5、如图所示，设O是ABC内部一点，且+ B
EMBED Equation.DSMT4 =-2，则ABC与AOC的面积之比为 O
； A C
6、证明起点相同的三个向量，，3-2的终点在同一条直线上；
7、如图OADB是以向量=，=， A D
为边的平行四边形，且=，=， C N M
试用，表示，，。 O B
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA，记=m，=n，则=（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 3m-2n B -2m+3n C 3m+2n D 2m+3n
2、如图，在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D点的三等分点， A B
连接BF交AC于点E，若=m+n（m，nR），则m+n E
的值是（ ）
D F C
A - B C - D
3、已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于P，Q，若= ，则ABC与APQ的面积之比为 。
4、如图，在ABC中，已知=-，P为AD上一点，且满足=m+，则实数m的值为（ ）
A B C D
5、已知P是ABC内一点，=2（+），记PBC的面积为，ABC的面积为，则= 。
6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）
A - B - C + D +
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于平面向量概念及几何运算的试题，归结起来主要包括：①平面向量的定义及运用；②平面向量的几何运算；③两个向量共线的充分必要条件及运用等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题解答的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知P为ABC所在平面内一点，++=0，||=||=||=2，则PBC的面积等于（ ）
A 3 B 2 C D 4
2、已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足||=1，若=m+n，其中m，nR，则的最大值为 。
设D为ABC所在平面内一点，=3，则（ ）
A =-+ B=-
C=+ D=-
3、在ABC中，点M、N满足=2，=，若=x+y，则x=
，y= 。
4、设P是所在平面内一点，+=2，则（ ）
A +=0 B +=0 C + =0 D ++=0
5、已知点O、N、P在所在的平面内，且||=||=||，++=0，.=.=.,则点O、N、P依次是的（ ）
A 重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心
6、如图，在平行六面体ABCD—中，E为B与C的交点，记=，=，=，则=（ ）
A ++ B ++ C ++ D --
7、设D、E、F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且=2，=2，=2，则++与（ ）
A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直
（5题图） （7题图）
8、如图所示，在ABO中，=，=，AD与BC相交于点M，设
=，=。
（1）试用、表示向量；
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设=，=，当EF为AD时，=1，=，此时=7，当EF为BC时，=，=1，此时=7，有人得出如下结论：不论E、F在线段AC、BD上如何变动，=7总成立，试问他的这个结论对吗？请说明理由。
第十八讲 平面向量概念及几何运算
【考纲解读】
1.理解平面向量的定义，掌握平面向量的几何表示，了解共线向量的定义；
2.掌握平面向量加法，减法运算的法则和基本方法，能够熟练地进行平面向量加法，减法的几何运算；
3.理解两个平面向量共线的充分必要条件，掌握实数与平面向量相乘的法则和基本方法，能够熟练地运用两个平面向量共线的充分必要条件解答相关的数学问题。
【知识精讲】
一、平面向量的基本概念：
1、向量的定义：具有大小和方向的量，叫做向量；
2、向量的三要素：（1）向量的始点；（2）向量的方向；（3）向量的大小；
3、向量的几何表示：（1）用向量始点与终点的大写字母（注意始点与终点的顺序）加上箭头符号，如，，-------；（2）一个小写字母加上箭头符号，如，，------；
4、向量的模：向量的模是指向量的长度，它可表示为||或||；
5、特殊向量：（1）零向量是指模长为0的向量，表为 ；零向量具有如下性质：①模长为0 ；② 方向不确定；③零向量与任何向量共线；（2）单位向量是指模长为1的向量，常用
，，-----表示，也可以表示为，，----- ；（3）平行向量（或共线向量）是指方向相同或相反的向量，如果与平行（或共线），则可表示为//，规定零向量与任一向量平行（或共线）；（4）相等向量是指方向相同且模长相等两个向量，如果与相等，则可表示为=，相等向量具有两个特征：①方向相同；②模长相等；（5）相反向量：①定义：与一个向量方向相反且模长相等的向量，叫做这个向量的相反向量；②相反向量的表示：向量的相反向量可表示为-；③互为相反向量的两个向量的性质：互为相反向量的两个向量的和为零向量，即：若设向量的相反向量向量为-，则上面的性质可表示为+（-）=。
二、平面向量的几何运算：
1、平面向量的加法：
（1）平面向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法；
（2）平面向量加法的法则：
①平行四边形法则如（图1）：
平行四边形法则的特点是两个向量具有公共的始点， +
它的适用范围是具有公共始点的两个向量相加； （图1）
②三角形法则如（图2）：
三角形法则的特点是一个向量的始点与另一个向量
的终点重合，它的适用范围是一个向量的始点与 +
另一个向量的终点重合的两个向量相加；特别的：
+=+=。 （图2）
（3）向量加法的运算律：
①+=+，这个运算律称为平面向量加法的交换律；②（+）+=+（+），这个运算律称为平面向量加法的结合律。
2、向量的减法：
向量减法的法则：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。
3、实数与向量的乘积：
（1）实数与向量积的定义：设向量为，R，的意义是：①长度：||=||||，②方向：＞0时，与同向；＜0时，与反向；
（2）实数与向量积的运算法则：由实数与向量积的定义可知，在计算时，应分两步进行：①确定的模长 ；② 确定的方向；
（3）实数与向量的积的运算性质：设，是向量，，R。
①（）=（）；②（+）=+；③（+）=+。
（三）、共线向量的充要条件：
向量与非零向量共线的充要条件：若存在R，使=成立，则向量与非零向量共线，即：向量与非零向量（≠0）共线存在∈R，使=成立。
【探导考点】
考点1平面向量定义及运用：热点①运用平面向量定义判断命题的真假；热点②特殊平面向量定义的理解及运用；
考点2平面向量的几何运算：热点①平面向量的几何运算；热点②根据平面向量的几何运算，求表示式中参数的值（或取值范围）；热点③平面向量几何运算与平面几何的综合问题；
考点3两个向量共线的充分必要条件及运用：热点①平面运用两个向量共线的充分必要条件，判断两个向量是否共线（或证明三点共线）；热点②已知两个向量共线，求向量表示式中参数的值；热点③两个向量共线的充分必要条件与平面几何的综合问题；
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、下列说法正确的是（ ）
A 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B 方向不同的向量不可以比较大小但同向的可以比较大小 C 向量的大小与方向有关 D 向量的模可以比较大小
【解析】
【知识点】①平面向量定义与性质；②向量模的定义与性质。
【解题思路】根据向量和向量模的性质，对各选项说法的正确与否进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，向量不能比较大小，A错误；对B，向量不能比较大小，B错误；对C，向量不能比较大小与方向无关，C错误；对D，向量的模是数，数可以比较大小， D正确，选D。
2、下列说法中错误的是（ ）
A零向量是没有方向的 B零向量的长度为0
C零向量与任一向量平行 D零向量的方向是任意的
【解析】
【知识点】①零向量定义与性质；②向量定义与性质。
【解题思路】根据零向量和向量的性质，对各选项说法的正确与否进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，零向量的方向是任意的，不是没有方向，A错误，选A。
3、下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功。其中不是向量的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②质量定义与性质；③速度定义与性质；④位移定义与性质；⑤力定义与性质；⑥加速度定义与性质；⑦路程定义与性质；⑧密度定义与性质；⑨功定义与性质。
【解题思路】根据零向量，质量，速度，位移，力，加速度，路程，密度和功的性质，判断质量，速度，位移，力，加速度，路程，密度和功中哪些是向量，哪些不是向量，从而得到不是向量的个数，就可得出选项。
【详细解答】质量，速度，位移，力，加速度，路程，密度和功中，速度，位移，力和加速度是向量，质量，路程，密度和功不是向量，不是向量的个数为4个，D正确，选D。
4、给出下列四个命题：①若||=||，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=；④=的充要条件是||=||且//。其中正确命题的序号是（ ）
A ②③ B ①② C ③④ D ②④
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②两个向量共线的充分必要条件及运用；③相等向量定义与性质；④平行四边形定义与性质；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据向量，相等向量和平行四边形和的性质，运用两个向量共线的充分必要条件和判断命题真假的基本方法，对各命题的真假进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对①，||=||，只能判断两个向量的模长相等，方向是否相同不能肯定，①错误；对②， A，B，C，D是不共线的四点，由=，可以推出//，||=||，得到四边形ABCD是平行四边形；由四边形ABCD是平行四边形，可以推出=，②正确；对③，由=，=，得到||=||，||=||，且与方向相同，与方向相同，||=||，且与与方向相同，即=，③正确；对④，由=，可以推出||=||，且与方向相同，即//；由||=||且//，可以推出||=||且与同向（或反向），不一定能够得到=，④错误，其中正确命题的序号是②③，A正确，选A。
5、判断下列命题的真假，如果是假命题，并说明理由：
若向量与同向，且||＞||，则＞；
若||=||，则与的长度相等且方向相同或相反；
对任意向量||=||，且与的方向相同，则=；
的方向不定，故不与任何向量平行；
向量与平行，则向量与向量的方向相同或相反；
向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；
起点不同，但方向相同，且模长相等的几何向量是相等向量。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平行（或共线）向量定义与性质；③相等向量定义与性质；④零向量定义与性质；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据向量，相等向量，平行（或共线）向量和零向量的性质，运用判断命题真假的基本方法，对各命题的真假进行判断，就可得出结论。
【详细解答】对（1），向量不能比较大小，（1）是假命题；对（2），当，是菱形一组相邻的两边所在的向量时，有||=||，但与不相等， （2）是假命题；对（3），根据向量，满足：||=||，且与的方向相同，能够推出=，（3）是真命题；对（4），零向量与任意向量平行（或共线），（4）是假命题；对（5），根据向量，平行，能够推出向量，同向（或反向），（5）是真命题；对（6），当向量与向量是平行四边形一组对边所在的向量时，向量与向量是共线向量，但A，B，C，D不在同一直线上， （6）是假命题；对（7），根据相等向量的定义可知，两个向量，只要满足：||=||，且与的方向相同，就可以得到=， （7）是真命题。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与平面向量基本概念相关的问题，解答这类问题需要理解平面向量的基本概念，尤其是特殊向量的定义，理解时应注意特殊向量的定义和特点；
（2）零向量是指模长为零的向量，零向量具有如下性质：①零向量模长为零 ；②零向量的方向是不确定的；③零向量与任何向量与任何向量平行（或共线）；
（3）相等向量与相反向量是两个不同的概念，相等向量是指模长相等且方向小题的两个向量，相等向量具有两个特征：①模长相等；②方向相同；相反向量是指模长相等且方向相反的两个向量，相反向量也具有两个特征：①模长相等；②方向相反；
（4）平行向量（或共线向量）是指方向 相同或相反的一组向量，它包括两种情况：①方向
相同的一组向量；②方向相反的一组向量。
〔练习1〕解答下列问题：
1、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是( )（答案；D）
A ||=|| B = C = D =
2、物理学中的作用力与反作用力（ ）（答案；D）
A不是向量 B是大小相等方向相同的向量
C是大小不等方向不同的向量 D是大小相等方向相反的向量
3、设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则=||；②若与平行，则=||；③若与平行，且||=1，则=；上述命题中，假命题的个数是（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3 （答案；D）
4、在下列命题中，正确的是（ ）（答案；C）
A若||＞||，则＞ B若||=||，则=
C若=，则与共线 D若 ，则一定不与共线
5、设，分别是，的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）（答案；C）
A = B =- C ||+||=2 D //
6、下列说法中正确的个数有（ ）（答案；C）
①零向量与任何向量平行；②若向量的模等于1，则为单位向量；③所有的单位向量都相等。
A 0 B 1 C 2 D 3
【典例2】按要求解答下列各题：
1、把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A 一条线段 B 一段圆弧 C 圆上一群孤立点 D 一个单位圆
【解析】
【知识点】①单位向量定义与性质；②圆定义与性质。
【解题思路】根据单位向量和圆的性质，得到平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是一个圆，就可得出选项。
【详细解答】单位向量的模长为1，平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是一个圆，D正确，选D。 北 A
2、如图向量是某人行走的路线，那么向量的 2km
几何意义是（ ） 0 东
A从A点沿北偏东方向行走了2km B 从O点沿东偏北方向行走了2km
C 从A点沿东偏北方向行走了2km D 从A点沿西偏南方向行走了2km
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②方位角定义与性质。
【解题思路】根据向量和方位角的性质，得到向量的几何意义，就可得出选项。
【详细解答】向量是从A点出发，沿西偏南方向行走了2km，向量的几何意义是，从A点沿西偏南方向行走了2km，D正确，选D。
3、已知//，//，则有（ ）
A // B = C 与不共线 D 以上都有可能
【解析】
【知识点】①平行（或共线）向量定义与性质；②平行线定义与性质。
【解题思路】根据平行（或共线）向量和零向量的性质，对A，B，C选项的真假解析判断，就可得出选项。
【详细解答】对A,当时，由//，//，可以推出//，当=时，由//，//，不能推出//，A错误；对B，当，且向量=，=时，由//，//，可以推出=，否则就不能推出=，B错误；对C，当时，由//，//，可以推出//，即向量与共线，当=时，由//，//，不能推出//，即向量与不共线，C错误， D正确，选D。
4、给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量。其中假命题的个数为 ；
【解析】
【知识点】①相反向量定义与性质；②平行（或共线）向量定义与性质；③相等向量定义与性质；④判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据平行（或共线）向量，相反向量和相等向量的性质，运用判断命题真假的基本方法，分别对各命题的真假进行判断，就可得出结果。
【详细解答】对①，互为相反向量的向量，满足：||=||，且与的方向相反，①正确；对②，当向量，分别是平行四边形ABCD的对边AB，CD所在的向量时，显然有=，但点A，B，C，D不在同一条直线上， ②错误；对③，相等向量的定义，若= ，则||=||，且与的方向相同，即点B与点C重合，③正确；对④，平行四边形的一组邻边AB，CB所在的向量的向量，的终点都是B，但向量，不是共线向量，④错误，即其中假命题有②④两个。
5、热带风暴“麦莎”从A点出发向西移动了150千米到达B点，然后又改变方向，向西偏北移动了200千米到达C点，最后又改变方向，向东移动了150千米到达D点。
（1）作出向量，，；
（2）求||。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②表示向量的基本方法；③向量模定义与性质。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用表示向量的基本方法，就可作出向量，，；（2）根据向量模和相等向量的性质，就可求出||。 C D
【详细解答】（1）从A点出发向西移动了150千米到达B点，
然后又改变方向，向西偏北移动了200千米到达C点，最后 B A
又改变方向，向东移动了150千米到达D点，作出向量，，如图所示；
(2) ||=||,//,四边形ABCD是平行四边形，=，||=||
=200千米。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与向量的表示，相等向量，平行向量，实际问题相关的问题，解答这类问题需要理解相等向量，平行向量的定义，掌握向量表示的常用方法；
（2）解决与实际问题相关的问题时，需要能够准确地画出问题涉及的向量，注意运用向量的观测点将实际问题抽象成数学模型。
〔练习2〕解答下列问题：
1、如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心， A F
则以图中A，B，C，D，E，F，O中的任意一点
为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量 B O E
中，除向量外，与向量共线的向量有（ ）（答案：D） C D
A 6个 B 7个 C 8个 D 9个
2、向量的表示方法有：① 表示法，② 表示法，③ 表示法；（答案：①起点大写字母终点大写字母加箭头符号；②一个小写字母加箭头符号；③坐标表示。）
3、某人从点A出发向东行走了2KM后，又向东偏北方向行走了（+）km，则此人的位移的大小为 ；（答案：（2+2）km）
4、飞机从A地按北偏西的方向飞行1400km到达B地，再从B地按东偏南的方向飞行1400km到达C地，则C地与A地的距离为 km；（答案：1400km）
5、一架飞机从A点向西北方向飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100km到达C点，再从C点向南偏东飞行到达D点，使得CDA=，则（1）飞机从A点到D点航行的路程为 km；（2）飞机由D点回到A点的路程为 km。（答案：（1）50km；（2）50km）
【典例3】按要求解答下列各题：
1、已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A += B += C += D +=
【解析】
【知识点】①菱形定义与性质；②向量定义与性质；③向量加法运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量和菱形的性质，运用向量加法运算的法则和基本方法，求出各选项的两个向量的和，就可得出选项。
【详细解答】对A，如图，+=，A D C E
错误；对B， +=，B错误；对C，
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 +=+=，C正确，选C。 A B
2、已知，，是非零向量，则（+ ）+， +（+ ），+（+ ），+（+） ，+（+）中与++相等的个数为（ ）
A 5 B 4 C 3 D 2
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②向量加法运算交换律和结合律及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用向量加法运算交换律和结合律，求出（+ ）+， +（+ ），+（+ ），+（+） ，+（+）得到都++相等，就可得出选项。
【详细解答】++=（+ ）+= +（+ ）=+（+ ）=+（+） =+（+），（+ ）+， +（+ ），+（+ ），+（+） ，+（+）中与++相等的个数为5个，A正确，选A。
3、化简下列各式：①++；②-+-；③-+；④++-。结果为零向量的式子个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②零向量定义与性质；③加法运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量和零向量的性质，运用向量加法运算的法则和基本方法分别求出各个式子向量的和，就可得出选项。
【详细解答】①++=+=0；②-+-=（+）-（+）=-=0；③-+=（+）-=-=0；④++-=（+）+（+）=+=0。结果为零向量的式子个数是4，D正确，选D。
4、已知m，n是实数，，是向量，则下列命题中正确的是（ ）
①m（-）=m-m；②（m-n）=m-n；③若m=m，则=；④若m=n，则m=n。
A ①④ B ①② C ①③ D ③④
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②数与向量积定义与性质；③数与向量积运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据向量和数与向量积的性质，运用数与向量积运算的法则和基本方法分别对各命题的真假解析判断，就可得出选项。
【详细解答】对①， m（-）=m-m，①正确；对②， （m-n）=m-n，②正确；对③，当m=0时，由m=m，不能推出=，③错误；对④，当=时，由m=n，不能推出m=n，错误④，下列命题中正确的是①②，B正确，选B。
5、已知向量的终点与向量的起点重合，向量的起点与向量的终点重合，则下列结论正确的是 ；
①以的起点为终点，的起点为起点的向量为-（+）；②以的起点为终点，的终点为起点的向量为---；③以的起点为终点，的终点为起点的向量为--。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②加法运算的法则和基本方法；③判断命题真假的基本方法。
【解题思路】根据向量的性质，运用向量加法运算的法则，基本方法和判断命题真假的基本方法分别对各命题的真假进行判断，就可得出结果。
【详细解答】对①，如图，以的起点为终点，的 D
起点为起点的向量为=+=--=-（+）， C
①正确；对②，如图，以的起点为终点，的
终点为起点的向量为-=-+=---， A B
②正确；对③，如图，以的起点为终点，的终点为起点的向量为-=-+=-
-，③正确，即下列结论正确的是①②③。
6、已知向量的方向是东南方向，且||=4，则向量-2的方向是 ，且|-2|= ；
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②向量模定义与选择；③求向量模的基本方法。
【解题思路】根据向量和向量模的性质，运用求向量模的基本方法，结合问题条件就可求出|-2|的值。
【详细解答】向量的方向是东南方向，且||=4，向量-2的方向是西北方向，且|-2|=24=8。
7、计算下列各题：
（1）（+）+(+) ； （2）--。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量（+）+(+)；（2）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量--。
【详细解答】（1）（+）+(+)=（+）+(++)=+
=；（2）--=-（+）=-=。
8、任意画出两个向量，，且与所在线段互相垂直，||=1，||=2。
（1）作出+，++，++；
（2）求：|+|，|++|，|++|；
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量模定义与性质。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可作出向量+，++，++；（2）根据（1）中的图像，运用向量模的性质，就可求出|+|，|++|，|++|；
【详细解答】（1）向量与所在线段互相垂直，
且||=1，||=2，作出向量+，++，+
+如图所示；（2）由图知，|+|==，|++|==2，|++|
==。
9、已知和点M满足：++=0， E A
若存在实数m，使得+=m成立，则 D M
m=（ ） B F C
A 5 B 4
C 3 D 2
【解析】 G
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③三角形重心定义与性质。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量+，由++=0得到点M是的重心，求出向量+，利用+=m求出实数m的值，就可得出选项。
【详细解答】取AB的中点D，连接MD，延长MD至点E，使DE=MD，连接AE，BE，延长AM交BC于点F，延长AF至点G，使FG=AF，连接BG，CG，AD=DB，DE=DM，四边形AMBE是平行四边形，+=，++=0，=，点M是的重心，BF=FC，AF=FG，四边形ABGC是平行四边形，+==2
=2=3，+=m，m=3，C正确，选C。
10、在中，=，=，若点D满足=2，则等于（ ）
A + B - C - D +
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量关于向量，的表示式，就可得出选项。 A
【详细解答】如图，=，=，+
=，=-=-，点D满足=2， B D C
==-，=+=+-= +，A正确，选A。
11、设D是所在平面内一点，若=3，则（ ）
A=+B=-C=+D=-
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量关于向量，的表示式，就可得出选项。 A
【详细解答】如图，+=，=-，
点D是所在平面内一点，且满足=3， B C D
==-，=+=+-= -，B正确，选B。
12、设D，E分别是的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=+（，为实数），则+的值为 ；
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量关于向量，的表示式，从而得到，的值，就可求出+的值。
【详细解答】如图，+=，=-，D，E分别是的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，=， A
=，=+=-+ D
=-+-=-= B E C
+，=-，=，+=-+=。
13、如图已知中，M，N，P依次是AB的 B
四等分点，设=，=，试用，表示 N
，，。 M
【解析】 P
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何 C A
运算的法则与基本方法。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量，，关于向量，的表示式。
【详细解答】如图，=，=，+=，=-=-，
M，N，P依次是AB的四等分点， = =-，==-，==-，=+=+-=+，=
+=+-=+，=+=+-=+。
14、在中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上（与点C，D不重合），若=x+（1-x），则x的取值范围是（ ）
A （0，） B （0，） C （-，0） D （-，0）
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件求出向量关于向量，的表示式，从而得到关于t，x的方程组，求解方程组求出x关于t的表示式，由t的取值范围求出x的取值范围，就可得出选项。 A
【详细解答】如图，+=，=-，
点D在线段BC的延长线上，且满足=3， B C O D
==-，设=t，点O在线段CD上（与点C，D不重合），0==x+（1-x），x=-t ，且1-x=1+t ，x=-t ，-A
15、如图D，E分别是中AB，AC的中点，M，N
分别是DE，BC的中点，已知=，=，试用， D M E
分别表示，和； B N C
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量，和关于向量，的表示式。
【详细解答】如图，连接CM，=，=，D，E分别是中AB，AC的中点，==，+==2=2，=-=2-，
==-， M，N分别是DE，BC的中点，==，=
=，=-=-+=-，=-=--
=-。
16、如图已知G是的重心。 A
求：（1）+；
（2）+与是否相等？并说明理由。 G
【解析】 B D C
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几 E
何运算的法则与基本方法；③向量相等定义与性质。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量+；（2）根据三角形重心的性质，得到||=2||=||，运用向量相等的性质就可证明+与相等。
【详细解答】（1）如图，延长GD到E，使DE=GD，连接BE，CE，G是的重心，DB=DC，四边形BECG是平行四边形，+=；（2） G是的重心，||=2||=||，向量，的方向相同，==+。
17、如图，在ABC中，设=，=， C
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点 Q P
为P ，则=（ ） A R B
A + B + C + D +
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件求出向量关于向量，的表示式，就可得出选项。
【详细解答】如图， =，=，+=，=-=-，
AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P ，+ =，=
-=-①，+=，=-=-+-②，=
+，=-=-=-③，联立①②③得：=+，
= +，C正确，选C。
18、 在ABC中，AM：AB=1：4，AN：AC=1：4，BN与CM相交于点E，设=，=，用，表示。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件就可求出向量关于向量，的表示式。 A
【详细解答】如图，设=t，+=， M E N
=，=，=-=-， AM：AB B C
=1：4，AN：AC=1：4， ==，==，=+
=-+，=+=-+，=t=-t+t， =+
=-+ t-t= t-（+t）， 点B，E，N在同一直线上，存在实数，使
=成立， t-（+t）=-+，（t-）+（--t）=0，
向量，不共线， t-=0①，--t =0②，联立①②解得：=，t=，
=-=-，=+=+-=+。
『思考问题3』
【典例3】是向量的几何运算问题，解答这类问题需要掌握向量几何运算的法则和运算律，能够灵活运用平行四边形法则和三角形法则，一般来说，两个向量具有公共的始点时，选用平行四边形法则；两个向量如果一个向量的始点与另一个向量的终点重合时，选用三角形法则；
（2）用已知向量来表示其他向量是用向量解题的基本要领，在实际解答问题时，应该尽可能地把相关向量转化到同一平行四边形或 同一三角形中去；
（3）注意待定系数法和方程思想的运用，在实际解答问题时，经常运用平面向量基本定理与平面向量共线的充分必要条件建立方程。
〔练习3〕按要求解答下列各题：
1、在四边形ABCD中，=+，则四边形ABCD一定为（ ）（答案：D）
A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形
2、向量，均为非零向量，下列说法不正确的是（ ）（答案：B）
A若向量与反向，且||＞||，则向量+与的方向相同B若向量与反向，且||＜||，则向量+与的方向相同C若向量与同向，则向量+与的方向相同D若向量与相同或相反，则向量+的方向必与，之一的方向相同 D C
3、如图在四边形ABCD中，设=，=，
EMBED Equation.DSMT4 =，则= ；（答案：+-） A B
4、点C在线段AB上，且=，=，则为（ ）（答案：C）
A B C - D -
5、若=3-4，=5+4，则（-）-3（+）+（2-）= ；
（答案：-+4）
6、在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=，=，则等于（ ）（答案：B）
A + B + C + D +
7、在梯形ABCD中，已知AB//CD，AB=2CD，M、N分别是CD、BC的中点，若=+，则+= 。（答案：）
8、设P是ABC所在平面内的一点，+=2，则（ ）（答案：C）
A +=0 B + =0 C +=0 D ++=0
9、设O在ABC内部，且++2=0，则ABC的面积与AOC的面积之比为（ ）（答案：B）
A 3 B 4 C 5 D 6
10、在平行四边形ABCD中，若|+|=|-|，则四边形ABCD是 （填正方形或矩形或菱形）（答案：矩形）
11、如图一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD D C
分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中= F K
A E B
，=，=，则的值为（ ）
A B C D （答案：B）
【典例4】按要求解答下列各题：
1、在ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=+，则=（ ）
A B C - D -
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③平面向量基本定理及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和平面向量基本定理，结合问题条件得到向量关于向量，的表示式，求出的值就可得出选项。
【详细解答】如图， +=，= C
-， D是AB边上一点，且=2，
==-，=+=+ A D B
-=+=+，=，A正确，选A。
2、已知向量，是两个不共线的向量，且向量m-3与+（2-m）共线，则实数m的值为（ ）
A -1或3 B C -1或4 D 3或4
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件得到关于向量，的表示式，由向量，是两个不共线的向量，得到关于实数m，的方程组，求解方程组求出实数m的值就可得出选项。
【详细解答】向量m-3与+（2-m）共线，存在实数，使+（2-m）
=（m-3）成立，（1-m）+（3+2-m）=0，向量，是两个不共线的向量，1-m=0①，且3+2-m=0②，联立①②解得：m=-1或m=3，A正确，选A。
3、两个不共线的向量，，且向量=2-3，=2+3，=2-9，若向量=+与向量共线，则和的关系为 ；
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件得到关于实数t，，u的方程组，求解方程组求出实数，u 关于实数t的表示式，就可得出和的关系。
【详细解答】向量=2-3，=2+3，=+=2（+u）+3（-+u）与向量共线，存在实数t，使=t，即2（+u）+3（-+u）=2t-9t成立，
2（+u-t）+3（-+u+3t）=0，向量，是不共线的两个向量， +u-t=0①，且u+3t-=0②，联立①②解得：=2t，u=-t，+2u=0，当向量=+与向量共线时，和的关系为+2u=0。
4、若、是两个不共线的非零向量，已知=2+m，=+3，若A，B，C三点共线，则实数m= ；
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件得到关于实数，m的方程组，求解方程组就可求出实数m的值。【详细解答】=2+m，=+3，=+=3+（3+m）， A，B，C三点共线，存在实数，使=，即3+（3+m）=（2+m）成立，（3-2）+（3+m-m）=0，，是两个不共线的非零向量， 3-2=0①，且3+m-m=0②，联立①②解得：=，m=6，若A，B，C三点共线，则实数m=6。
5、设两个非零向量与不共线。
（1）若=+，=2+8，=3（-），求证A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使得k+和+k共线。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③平面向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件证明向量，共线，由向量，有公共始点就可证明A，B，D三点共线；（2）根据共线向量的充分必要条件，得到关于实数k，的方程组，求解方程组就可求出实数k的值。
【详细解答】（1）=+，=2+8，=3（-），=+
=++=6+6=6（+）=6，向量，共线，向量，有公共始点A， A，B，D三点共线；（2）向量k+和向量+k共线，存在实数，使k+=（+k）成立，（k-）+（1-k）=0，，是两个非零不共线的向量， k-=0①，且1- k=0②，联立①②解得：k==1或k==-1，当实数k=1或k=-1时，向量k+和向量+k共线。
6、设，是两个不共线的非零向量。
（1）如果=-，=3+2，=-8-2，求证：A，C，D三点共线；
（2）如果=+，=2-3，=2-k，且A，C，D三点共线，求k的值。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③平面向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】（1）根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件证明向量，共线，由向量，有公共始点就可证明A，C，D三点共线；（2）根据共线向量的充分必要条件，得到关于实数k，的方程组，求解方程组就可求出实数k的值。
【详细解答】（1）=-，=3+2，=-8-2，=+=4
+，=+=-4-=-（4+）=-，向量，共线，向量，有公共始点A， A，C，D三点共线；（2）=+，=2-3，=2-k，=+=3-2，=+=5-（2+k）， A，C，D三点共线，
存在实数，使=成立，5-（2+k）=（3-2），（5-3）+（2-2-k）=0，，是两个不共线的非零向量， 5-3=0①，且2-2- k=0②，联立①②解得：=，k=，当A，C，D三点共线时，k的值为。
7、设，是两个不共线的非零向量，若与的起点相同，t∈R，当t为何值时，，t，（+）三向量的终点在一条直线上；
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件得到关于实数，t的方程组，求解方程组就可求出实数t的值。【详细解答】如图，过点A作AE//OB，过点B作BE//OA， B E
取OE的三等分点P，连接AP并延长交OB于点F， F P
=+，点P是OE的三等分点，=（+）， O A
=-=（+）-=-，=-= t-，A，P，F三点在同一直线上，存在实数，使=，即t-=（-）成立，（-1）+（t-）=0，，是两个不共线的非零向量， -1=0①，且t-=0②，联立①②解得：=，t=，当t为时，向量，t，（+）的终点在一条直线上。
8、设，不共线，点P在AB上，求证：=+，且+=1，，∈R。
【解析】
【知识点】①向量定义与性质；②平面向量几何运算的法则与基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据向量的性质，运用平面向量几何运算的法则与基本方法和向量共线的充分必要条件，结合问题条件得到向量关于向量，的表示式，就可证明 =+，且 +=1。
【详细解答】如图，连接OP，=-， =-，A，P，B三点在同一直线上，存在实数t，使=t，即- B
=t（-）成立， =（1-t）+t， P
令=1-t，u=t，=+，且+=1-t+t=1。 O A
『思考问题4』
（1）【典例4】是向量共线的问题，解答这类问题需要理解共线向量的定义，掌握共线向量的充要条件；
（2）向量共线问题常见的题型有：①已知两个向量，证明这两个向量共线；②已知两个向量共线，求其中参数的值；③定理：若向量，不共线，则+=0的充要条件是==0的应用；
（3）解决向量共线或点共线的问题时，主要运用两个向量共线的充分必要条件，但应该注意的是：①两个向量共线与三点共线的相同点是共线；②两个向量共线与三点共线的不同点是向量共线的两个向量可以在一条直线上，也可以是平行线；三点共线的两个向量只能在一条直线上，能够保证这一点的前提条件是这两个向量必须有公共的始点；
（4）向量法解题的三部曲是：① 向量表示，即把几何中的元素（点，直线，平面）用向量表示；②向量几何运算，即针对几何问题，进行向量几何运算；③得出问题解答结果，即对向量运算结果作出几何意义的解释。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知向量，，且=+2，=-5+6，=7-2，则一定共线的三点是（ ）（答案：A）
A A，B，D B A，B，C C B，C，D D A，C，D
2、点P是ABC所在平面内一点，若=+，其中∈R，则点P一定在（ ）
A ABC 内部 B AC边所在的直线上 C AB边所在的直线上 D BC边所在的直线上
（答案：D）
3、平面向量，共线的充要条件是（ ）（答案：C）
A ，方向相同 B ，两个向量中至少有一个为零向量
C∈R，= D存在不全为零的实数，，使得 +=0
4、已知向量=+3，=-5+3，=-3+3，则（ ）（答案：A）
A A，B，C三点共线 B A，B，D三点共线 C A，C，D三点共线 D B，C，D三点共线
5、如图所示，设O是ABC内部一点，且+ B
EMBED Equation.DSMT4 =-2，则ABC与AOC的面积之比为 O
；（答案：4） A
6、证明起点相同的三个向量，，3-2的终点在同一条直线上；
7、如图OADB是以向量=，=， A D
为边的平行四边形，且=，=， C N M
试用，表示，，。 O B
（答案：=+，=+，=-）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、在ABC中，点D在边AB上，BD=2DA，记=m，=n，则=（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A 3m-2n B -2m+3n C 3m+2n D 2m+3n
【解析】
【考点】①平面向量定义与性质；②平面向量基本定理及运用；③向量几何运算的法则和基本方法。
【解答思路】根据平面向量的性质，运用平面向量基本定理，几何运算法则和基本方法，求出关于m，n的表示式，就可得出选项。 C
【详细解答】如图，在ABC中，点D在边AB上，
BD=2DA，=m，=n，=-=n-m，
=2=2 n-2m，=+=n+2n-2m A D B
=3n-2m，B正确，选B。 A B
2、如图，在正方形ABCD中，F是边CD上靠近D点的三等分点， E
连接BF交AC于点E，若=m+n（m，nR），则m+n
的值是（ ） （成都市高2016级高三一诊） D F C
A - B C - D
【解析】
【考点】①正方形定义与性质；②向量的几何运算的法则和基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据正方形的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，得到关于，的表示式，利用共线向量的充分必要条件得到关于，的表示式，求出关于，的表示式，得到m,n的值，求出m+n 的值就可得出选项。
【详细解答】如图，=+=- ，F是边CD上靠近D点的三等分点，= =-，=-+=+=- -=-
，==，=，==-，=m+n（m，nR），m=-1，n=，m+n=-1+=-，C正确，选C。
已知G为ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于P，Q，若= ，则ABC与APQ的面积之比为 （成都市高2016级高三一诊）
【解析】
【考点】①三角形重心的定义与性质；②向量的几何运算的基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用；④三角形面积的计算公式及运用。
【解题思路】设=t，根据三角形重心的性质，求出，，由P，G，Q三点共线，得到存在实数u，使=u，从而得到 -+t=u（-+），求出t的值，运用三角形的面积公式就可求出的值.。
【详细解答】如图，设E是ABC的边AC的中点， A
=t，G是ABC的重心，=，=+ E
EMBED Equation.DSMT4 =-+，==-+， P G Q
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 =-=-++（1-）=(- B C
）+=-+=，=+=-+t，P、G、Q三点共线，存在实数u，使=u，-+t=u（-+），（-+u）+(t-u)=0，-+u=0， u=，=||||sinA，
t-u=0， t=，=||||sinA=||
||sinA， =。
4、如图，在ABC中，已知=-，P为AD上一点，且满足=m+，则实数m的值为（ ）（成都市高2016级高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①向量的几何运算的法则和基本方法；②向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据平面向量几何运算的法则和基本方法，结合问题条件得到关于，的表示式，关于，的表示式，利用共线向量的充分必要条件得到关于，的表示式，求出m的值就可得出选项。
【详细解答】如图，=-，=，=-+=-+，
=+=-+，A，P，D三点在同一直线上，存在tR，使=t成立，
=-t++=(-t+1)+t，=m+，m=t+1，t=，
M=-+1=，B正确，选B。
已知P是ABC内一点，=2（+），记PBC的面积为，ABC的面积为，则= （成都市高2016级高三三诊）
【解析】
【考点】①向量的几何运算的法则和基本方法；②向量共线的充分必要条件及运用；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据正方形的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，得到关于，的表示式，利用共线向量的充分必要条件得到关于，的表示式，求出关于，的表示式，得到m,n的值，求出m+n 的值就可得出选项。
【详细解答】如图，P是ABC内一点，=2（ A
+），点P是ABC中位线EF的中点，是PBC P E
的面积，=CEF与BEF面积和的一半，也等于E B F C
BC面积的一半，=，=。
6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）(2018全国高考新课标I)
A - B - C + D +
【解析】
【考点】①三角形中线定义与性质；②向量的几何运算的法则和基本方法；③向量共线的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据三角形中线的性质，运用平面向量几何运算的法则和基本方法，得到关于，的表示式，利用共线向量的充分必要条件得到关于，的表示式，求出就可得出选项。
【详细解答】如图，=-，AD为BC边上 A
的中线，=+=+，E是 E
AD的中点，==+，= B D C
-=--= - ，A正确，选A。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试卷中关于平面向量概念及几何运算的试题，归结起来主要包括：①平面向量的定义及运用；②平面向量的几何运算；③两个向量共线的充分必要条件及运用等几种类型；
解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法实施解答；③得出问题解答的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、如图在三角形OAB中，若向量=2 ，则向量=（ ）（成都市高2021级2021-2022学年度下期期末名校联盟考试）（答案：D）
A -+ B - C + D +
2、在ABC中，点D在BC边上，且 =3，则（ ）（成都市高2020级2020-2021学年度下期期末名校联盟考试）（答案：B）
A =+ B =+
C =+ D =+
3、已知P为ABC所在平面内一点，++=0，||=||=||=2，则PBC的面积等于（ ）（成都市高2015级高三三诊）（答案：A）
A 3 B 2 C D 4
4、已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足||=1，若=m+n，其中m，nR，则的最大值为 （成都市高2015级高三一诊）（答案：）
5、设D为ABC所在平面内一点，=3，则（ ）（答案：A）
A =-+ B=-
C=+ D=-
6、在ABC中，点M、N满足=2，=，若=x+y，则x=
，y= 。（答案：x=，y=-）
7、设P是所在平面内一点，+=2，则（ ）（答案：B）
A +=0 B +=0 C + =0 D ++=0
8、已知点O、N、P在所在的平面内，且||=||=||，++=0，.=.=.,则点O、N、P依次是的（ ）（答案：C）
A 重心、外心、垂心 B重心、外心、内心 C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心
9、如图，在平行六面体ABCD—中，E为B与C的交点，记=，=，=，则=（ ）（答案：C）
A ++ B ++ C ++ D --
10、设D，E，F分别是的三边BC、CA、AB上的点，且=2，=2，=2，则++与（ ）（答案：A）
A 反向平行 B 同向平行 C 互相垂直 D 既不平行也不垂直
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