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12.5 复数综合练习（基础）
一．选择题（共8小题）
1．已知复数z，则复数z的虚部为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
2．已知复数z＝1i（i为虚数单位），设是z的共轭复数，则z （　　）
A． B． C．2 D．3
3．已知i为虚数单位，复数z满足z（2+i）＝3+4i，记为z的共轭复数，则||＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知i为虚数单位，复数z＝（2+i）（1+ai），a∈R，若z∈R，则a＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
5．已知i是虚数单位，则（　　）
A．4i B．4i C．3i D．3i
6．已知复数z1＝2﹣i，z2＝1+2i（i为虚数单位）、z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则复数z3的模为（　　）
A． B． C．5 D．10
7．设复数z满足|z﹣2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．3
8．若存在复数z同时满足|z﹣i|＝1，|z﹣3+3i|＝t，则实数t的取值范围是（　　）
A．[0，4] B．（4，6） C．[4，6] D．（6，+∞）
二．多选题（共4小题）
9．已知m∈R，若（m+mi）6＝﹣64i，则m＝（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
10．设复数，则以下结论正确的是（　　）
A．z3＝﹣i B．|z2|＝|z| C．z3＝﹣1 D．z2
11．若复数z满足，则（　　）
A．1+i
B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．z2为纯虚数
12．设z1，z2为复数，且z1≠z2，下列命题中正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若，则z1的实部与z2的虚部互为相反数
C．若z1+z2为纯虚数，则z1﹣z2为实数
D．若z1z2∈R，则z1，z2在复平面内对应的点不可能在同一象限
三．填空题（共4小题）
13．若b+i（a、b∈R，i为虚数单位），则a+b＝　 　．
14．已知i是虚数单位，设复数z＝3+i，则z的虚部为　 　，|z|＝　 　．
15．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝　 　．
16．计算：所得的结果为　 　．
四．解答题（共10小题）
17．（1）（1+i）（1﹣i）+（﹣1+i）；
（2）．
18．把下列复数的三角形式化成代数形式．
（1）；
（2）．
19．已知下列复数：2+i、﹣3i、﹣3+4i、4．
（1）在复平面上作出表示这些复数的向量；
（2）在复平面上作出表示这些复数的点关于实轴的对称点．
20．已知复数（i是虚数单位）．
（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围．
21．实数m取什么值时，复数z＝m+（m﹣2）i是：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）表示复数z的点在复平面的第四象限．
22．已知复数z1+i，i为虚数单位
（1）求|z|和；
（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．
23．已知复数（m∈R，i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
24．设复数z＝a+bi（a，b∈R）．（其中i为虚数单位，且i2＝﹣1）
（1）若|z|2﹣27+4i，求z；
（2）若z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+…+2020i2019+2021i2020，求a﹣b的值．
25．已知复数．
（1）求z的共轭复数；
（2）若az+b＝1﹣i，求实数a，b的值．
26．已知方程x2+（4+i）x+4+ai＝0（a∈R）的两根分别为z1，z2，且z1∈R．
（1）求a的值；
（2）复数z1，z2对应的向量为，，求以，为邻边的平行四边形的面积．12.5 复数综合练习（基础）
一．选择题（共8小题）
1．已知复数z，则复数z的虚部为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i
【分析】先利用复数的除法运算求出复数z，然后由虚部的定义求解即可．
【解答】解：复数z，
故复数z的虚部为﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的除法运算以及复数的定义的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
2．已知复数z＝1i（i为虚数单位），设是z的共轭复数，则z （　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】利用复数的定义求出z的共轭复数，然后利用复数的乘法运算求解即可．
【解答】解：因为复数z＝1i，
所以，
故z ．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的乘法运算以及共轭复数的定义，考查了化简运算能力，属于基础题．
3．已知i为虚数单位，复数z满足z（2+i）＝3+4i，记为z的共轭复数，则||＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用已知的等式求出z，然后由复数模的性质求解即可．
【解答】解：因为z（2+i）＝3+4i，
所以，
故．
故选：B．
【点评】本题考查了复数模的运算性质的应用以及共轭复数的定义，考查了化简运算能力，属于基础题．
4．已知i为虚数单位，复数z＝（2+i）（1+ai），a∈R，若z∈R，则a＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【分析】先利用复数的乘法运算求出z，然后由实数的定义求解即可．
【解答】解：因为z＝（2+i）（1+ai）＝2﹣a+（2a+1）i∈R，
所以2a+1＝0，
故．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的乘法运算以及复数的定义的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．
5．已知i是虚数单位，则（　　）
A．4i B．4i C．3i D．3i
【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数求解．
【解答】解：．
故选：D．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
6．已知复数z1＝2﹣i，z2＝1+2i（i为虚数单位）、z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的坐标原点），则复数z3的模为（　　）
A． B． C．5 D．10
【分析】利用复数的几何意义、向量坐标运算性质及其向量相等即可得出．
【解答】解：∵复数z1＝2﹣i，z2＝1+2i（i为虚数单位）、z3在复平面上对应的点分别为A、B、C，
∴A（2，﹣1），B（1，2），
设C（x，y），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴ （﹣1，3）＝（x，y） x＝﹣1且y＝3，
∴复数z3的模为：，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的几何意义、向量坐标运算性质及其向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．设复数z满足|z﹣2i|＝1，在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是（　　）
A．1 B． C． D．3
【分析】先利用模的几何意义得到复数z对应的点Z的轨迹，然后由圆上的点与圆外的点的距离的最值求解即可．
【解答】解：因为|z﹣2i|＝1，
故复数z对应的点Z的轨迹是以C（0，2）为圆心，1为半径的圆，
又OC＝2，
所以在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是2+1＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解和应用，圆上点的最值问题的求解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
8．若存在复数z同时满足|z﹣i|＝1，|z﹣3+3i|＝t，则实数t的取值范围是（　　）
A．[0，4] B．（4，6） C．[4，6] D．（6，+∞）
【分析】由已知先找出复数Z所对应点的轨迹为圆，然后结合圆的性质及复数的模的几何意义可求．
【解答】解：设z＝（x，y），
因为|z﹣i|1，
所以Z对应点的轨迹是以A（0，1）为圆心，以r＝1为半径的圆，
t＝|z﹣3+3i|表示圆上点到圆外点B（3，﹣3）的距离，
因为AB5，
AB﹣r＝4，AB+r＝6，
所以4≤t≤6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义及圆的性质的应用，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
9．已知m∈R，若（m+mi）6＝﹣64i，则m＝（　　）
A． B．﹣1 C． D．1
【分析】由复数的代数运算可得答案．
【解答】解：已知m∈R，若（m+mi）6＝﹣64i，
则m6（1+i）6＝﹣64i，
即m6（﹣8i）＝﹣64i，
m6＝﹣64i，
m6＝8，
则m＝±．
故选：AC．
【点评】本题考查复数的代数运算，计算能力，属于基础题．
10．设复数，则以下结论正确的是（　　）
A．z3＝﹣i B．|z2|＝|z| C．z3＝﹣1 D．z2
【分析】化简z3，z2，结合复数的模，共轭复数的定义对各个选项判断即可．
【解答】解：∵，
∴z3ii＝﹣i，故A正确，C错误；
z2ii，
∴|z2||z|，故B正确，D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查了复数的运算，复数的模以及共轭复数问题，是基础题．
11．若复数z满足，则（　　）
A．1+i
B．
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．z2为纯虚数
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义即可判断出正误．
【解答】解：∵，∴z1+i，
∴1﹣i，|z|，z在复平面内对应的点（﹣1，1）位于第二象限，z2＝（﹣1+i）2＝﹣2i为纯虚数，
可得：BD正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．设z1，z2为复数，且z1≠z2，下列命题中正确的是（　　）
A．若|z1|＝|z2|，则
B．若，则z1的实部与z2的虚部互为相反数
C．若z1+z2为纯虚数，则z1﹣z2为实数
D．若z1z2∈R，则z1，z2在复平面内对应的点不可能在同一象限
【分析】结合已知复数的基本概念及复数的运算，复数的几何意义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：z1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故A不符合题意；
设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d都为实数），
若，则z1＝z2i，即a+bi＝（c+di）i＝ci﹣d，
根据复数相等的条件可得，a＝﹣d，即z1的实部与z2的虚部互为相反数，B符合题意；
若z1+z2＝a+c+（b+d）i为纯虚数，a+c＝0，b+d≠0，则z1﹣z2＝（a﹣c）+（b﹣d）i不一定为实数，C不符合题意；
z1z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i为实数，
则ad+bc＝0，
若z1，z2在复平面内对应的点在同一象限，则ad，bc同号，不可能使得ad+bc＝0，故z1，z2在复平面内对应的点不可能在同一象限，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了复数的基本运算，复数的概念，复数的几何意义，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．若b+i（a、b∈R，i为虚数单位），则a+b＝　1　．
【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的定义，列出关于a，b的方程，求解即可．
【解答】解：因为b+i，
所以a+2i＝﹣1+bi，
故a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了复数的乘法运算以及复数相等的定义，考查了化简运算能力，属于基础题．
14．已知i是虚数单位，设复数z＝3+i，则z的虚部为　﹣2　，|z|＝　2　．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，可得z的虚部，再由复数模的计算公式求|z|．
【解答】解：∵z＝3+i3+i3+i﹣3i+i2＝2﹣2i，
∴z的虚部为﹣2；|z|．
故答案为：﹣2；．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
15．若方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝　　．
【分析】利用方程的两个根互为共轭复数，然后由韦达定理以及复数模的定义求解即可．
【解答】解：方程x2﹣2x+3＝0的两个根为α和β，
设α＝x+yi，则β＝x﹣yi，
所以αβ＝x2+y2＝3，
所以|α|+|β|＝2|α|2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了共轭复数的定义以及韦达定理的运用，同时考查了复数模的求解，属于基础题．
16．计算：所得的结果为　﹣i　．
【分析】利用i的乘方运算结合周期性进行分析求解即可．
【解答】解：因为，
又，
所以：505×（﹣i﹣1+i+1）﹣i＝﹣i．
故答案为：﹣i．
【点评】本题考查了复数的求和问题，主要考查了i的乘方运算，解题的关键是利用周期性进行分组求和，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
四．解答题（共10小题）
17．（1）（1+i）（1﹣i）+（﹣1+i）；
（2）．
【分析】（1）先展开平方差公式，再利用复数代数形式的加减运算化简求值；
（2）把利用复数代数形式的乘除运算化简，结合虚数单位i的运算性质化简求值．
【解答】解：（1）（1+i）（1﹣i）+（﹣1+i）＝1﹣i2﹣1+i＝1+1﹣1+i＝1+i；
（2）
．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．
18．把下列复数的三角形式化成代数形式．
（1）；
（2）．
【分析】两个题目都是利用三角函数求值，化简复数为代数形式即可．
【解答】解：（1）4（i）＝2+2i．
（2）3（）i．
【点评】本题考查复数的三角形式与代数形式的互化，是基础题．
19．已知下列复数：2+i、﹣3i、﹣3+4i、4．
（1）在复平面上作出表示这些复数的向量；
（2）在复平面上作出表示这些复数的点关于实轴的对称点．
【分析】（1）找出复数在复平面内对应的点，用向量表示即可；
（2）直接作出四个点关于实轴的对称点．
【解答】解：（1）分别设2+i、﹣3i、﹣3+4i、4所对应的复数为Z1、Z2、Z3、Z4，
则在复平面上这些复数对应的向量如图：
（2）设表示该四个复数的点关于实轴的对称点分别为Z1′，Z2′，Z3′，Z4′，
则对应的点如图所示：
【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
20．已知复数（i是虚数单位）．
（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围．
【分析】（1）结合纯虚数的定义可知0且m2﹣2m﹣15≠0，再求出m的值；
（2）结合复数的几何意义可建立关于m的不等式，得到m的取值范围．
【解答】解：（1）复数z是纯虚数，则且m2﹣2m﹣15≠0 m＝3，
（2）z对应复平面上的点在第四象限，则且m2﹣2m﹣15＜0 3＜m＜5，
所以m的取值范围为（3，5）．
【点评】本题主要考查了复数的定义及复数的几何意义，属于基础题．
21．实数m取什么值时，复数z＝m+（m﹣2）i是：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）表示复数z的点在复平面的第四象限．
【分析】（1）由m﹣2＝0，解得m，即可得出结论．
（2）由，解得m，即可得出结论．
（3）由，解得m范围，即可得出结论．
【解答】解：（1）由m﹣2＝0，解得m＝2，∴m＝2时，z＝2为实数．
（2）由，解得m＝0．
∴m＝0时，z＝﹣2i为纯虚数．
（3）由，0＜m＜2．
∴m∈（0，2）时，复数z的点在复平面的第四象限．
【点评】本题考查了复数的有关知识及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．已知复数z1+i，i为虚数单位
（1）求|z|和；
（2）若复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，求实数m，n的值．
【分析】（1）利用复数的运算法则求出z＝2﹣i，由此能求出|z|和．
（2）由复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，得到（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，整理得1+2m+n）﹣（m+4）i＝0，由此能求出实数m，n．
【解答】解：（1）∵复数z1+i
＝1﹣2i+1+i＝2﹣i，
∴|z|，
2+i．
（2）∵复数z是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，
∴（2﹣i）2+m（2﹣i）+n＝0，
∴4﹣4i+i2+2m﹣mi+n＝0，∴（3+2m+n）﹣（m+4）i＝0，
∴，
解得m＝﹣4，n＝5．
【点评】本题考查复数的模、共轭复数、实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
23．已知复数（m∈R，i是虚数单位）．
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）设是z的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围．
【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解；
（2）化简，再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【解答】解：（1），
∵z为纯虚数，∴，解得．
（2）∵是z的共轭复数，所以，
∴2m﹣3+（9+6m）i．
∵复数在复平面上对应的点位于第二象限，
∴，解得．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
24．设复数z＝a+bi（a，b∈R）．（其中i为虚数单位，且i2＝﹣1）
（1）若|z|2﹣27+4i，求z；
（2）若z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+…+2020i2019+2021i2020，求a﹣b的值．
【分析】（1）由已知可得，a2+b2﹣2a+2bi＝7+4i，根据复数相等即可得出．
（2）由复数相等的性质，即可得出a，b．
另解：利用“错位相减法”即可得出z，再利用复数相等即可得出结论．
【解答】解：（1）由已知可得，a2+b2﹣2a+2bi＝7+4i，
∴，
解之得，或，
∴z＝3+2i或z＝﹣1+2i
（2）由复数相等的性质，可知，
．
∴a﹣b＝2021．
另解：z＝1+2i+3i2+4i3+5i4+…+2020i2019+2021i2020①
∴zi＝i+2i2+3i3+4i4+5i5+…+2020i2020+2021i2021②
∴①﹣②得：z（1﹣i）＝1+i+i2+i3+i4+…+i2020﹣2021i2021＝1﹣2021i
∴，
∴a＝1011，b＝﹣1010，
∴a﹣b＝2021．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
25．已知复数．
（1）求z的共轭复数；
（2）若az+b＝1﹣i，求实数a，b的值．
【分析】（1）利用复数的除法运算求出z，然后由共轭复数的定义求解即可；
（2）由（1）中求出的z，代入等式化简，然后由复数相等的定义，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）因为，
所以1﹣i；
（2）由（1）得，az+b＝a（1+i）+b＝（a+b）+ai＝1﹣i，
由复数相等的定义可知，a＝﹣1，a+b＝1，解得b＝2．
【点评】本题考查的知识点有：复数的运算，共轭复数的定义，复数相等的定义，属于基础题．
26．已知方程x2+（4+i）x+4+ai＝0（a∈R）的两根分别为z1，z2，且z1∈R．
（1）求a的值；
（2）复数z1，z2对应的向量为，，求以，为邻边的平行四边形的面积．
【分析】（1）设z1＝b，b∈R，代入方程，再由复数相等的定义，列出关于a，b的方程组，求解即可；
（2）利用（1）中的结论，结合韦达定理，求出z2，再利用复数的几何意义求解即可．
【解答】解：（1）设z1＝b，b∈R，则b2+4b+4+（a+b）i＝0，
根据复数相等的概念，得，
解得b＝﹣2，a＝2；
（2）由（1）可知b＝﹣2，即z1＝﹣2，
因为z1z2＝4+2i，所以z2＝﹣2﹣i，
所以以为邻边的平行四边形的面积为2×1＝2．
【点评】本题考查了方程根的应用，考查了韦达定理的应用，复数相等的定义的应用以及复数的几何意义的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

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