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8.4因式分解--公式法
一、选择题．
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．x2+4y2 B．﹣x2+4y2 C．x2﹣2y+1 D．﹣x2﹣4y2
2．下列因式分解正确的是（　　）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
C．（x+y） 2＝x2+y2 D．x2+y2＝（x+y）2
3．若x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，则a，b的值分别为（　　）
A．9，1 B．﹣9，1 C．﹣9，﹣1 D．9，﹣1
4．将多项式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9因式分解，正确的是（　　）
A．（x﹣2）4 B．（x2﹣2）2
C．（x2﹣4）2 D．（x+2）2（x﹣2）2
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　）
A．﹣x2+4y2 B．25x2﹣4xy C．x2+（﹣2y）2 D．﹣x2﹣y2
6．下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（　　）
A．a2﹣b2+2ab B．a2+b2+ab C．4a2+12a+9 D．25n2+15n+9
7．下列多项式能用公式法分解因式的有（　　）
①x2﹣2x﹣1；②﹣x+1；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列各式：①﹣x2﹣y2＝﹣（x+y）（x﹣y），②﹣x2+y2＝（﹣x+y）（x+y），③x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2，④x2+x+＝（x+）2中，分解因式正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．多项式x2+xy+y2，﹣x2﹣2xy﹣y2，﹣9x2+30xy﹣25y2，x2+x+中能用完全平方公式分解因式的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于8的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣9y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题
11．把多项式x3﹣6x2+9x分解因式的结果是　 　．
12．（分解因式：＝　 　．
13．因式分解：﹣3a2b+6ab2﹣3b3＝　 　．
14．因式分解：x3﹣2x2y+xy2＝　 　．
15．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是 　 　（填上你认为正确的序号）．
①x2﹣1；②x（x﹣2）+（2﹣x）；③x2﹣2x+1；④x2+2x+1．
16．若xy＝﹣3，x+y＝5，则2x2y+2xy2＝　 　．
17．边长为a，b的长方形的周长为14，面积为10，则a3b+ab3+2a2b2的值为 　 　．
18．RSA129是一个129位利用代数知识产生的数字密码．曾有人认为，RSA129是有史以来最难的密码系统，涉及数论里因数分解的知识，在我们的日常生活中，取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码方便记忆．如，多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2）．若取x＝9，y＝9时，则各因式的值分别是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，若取x＝10，y＝10，请按上述方法设计一个密码是 　 　．（设计一种即可）
三、解答题
19．因式分解：
（1）ab2﹣9a；（2）3x2﹣12ax+12a2；（3）（x2+16y2）2﹣64x2y2．
20．（1）因式分解：3x2﹣12xy+12y2．（2）计算：20202﹣2019×2021．
21．因式分解（多项式与多项式）：
（1）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2；（2）（x﹣y+z）2﹣（y﹣x+z）2．
22．阅读材料：
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
问题解决：
（1）因式分解：1+4（x﹣y）+4（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图①可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
请解答下列问题：
（1）写出由图②可以得到的数学等式 　 　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面问题：若a+b+c＝12，ab+ac+bc＝35，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图③中x个边长为a的正方形，y个宽为a，长为b的长方形，z个边长为b的正方形，拼出一个面积为（2a+b）（a+4b）的长方形，求x+y+z的值．
24．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n），如：（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2+2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）+16；
②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3．
答案
一、选择题．
B．B．A．D．A．C．C．B．B．D．
二、填空题
11．x（x﹣3）2．
12．（mn+）（mn﹣）．
13．﹣3b（a﹣b）2
14．x（x﹣y）2
15．④．
16．﹣30．
17．490．
18．101030（或103010或301010）．
三、解答题
19．（1）原式＝a（b2﹣9）
＝a（b+3）（b﹣3）；
（2）原式＝3（x2﹣4ax+4a2）
＝3（x﹣2a）2；
（3）原式＝（x2+16y2）2﹣（8xy）2
＝（x2+16y2+8xy）（x2+16y2﹣8xy）
＝（x+4y）2（x﹣4y）2．
20．（1）原式＝3（x2﹣4xy+4y2）＝3（x﹣2y）2；
（2）原式＝20202﹣（2020﹣1）（2020+1）
＝20202﹣（20202﹣1）
＝20202﹣20202+1
＝1．
21．（1）原式＝[4（a﹣b）+3（a+b）][4（a﹣b）﹣3（a+b）]
＝（7a﹣b）（a﹣7b）；
（2）原式＝[（x﹣y+z）+（y﹣x+z）][（x﹣y+z）﹣（y﹣x+z）]
＝（x﹣y+z+y﹣x+z）（x﹣y+z﹣y+x﹣z）
＝2z（2x﹣2y）
＝4z（x﹣y）．
22．（1）令x﹣y＝A，
原式＝1+4Α+4Α2
＝（1+2A）2
＝（1+2x﹣2y）2；
（2）令 a2﹣4a＝B，
则原式＝（B+1）（B+7）+9
＝B2+8B+16
＝（B+4）2
＝（a2﹣4a+4）2
＝（a﹣2）4；
（3）原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1为正整数．
∴（n+1）（n+2）（n2+3n）＝（n2+3n+1）2，
即代数（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
23．（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）由（1）可得：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）．
∵a+b+c＝12，ab+ac+bc＝35，
∴a2+b2+c2＝144﹣2×35＝74．
（3）由题意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2．
∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2．
∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2．
∴x＝2，y＝9，z＝4．
∴x+y+z＝2+9+4＝15．
24．（1）x2+2x﹣24＝x2+（6﹣4）x+6×（﹣4）＝（x+6）（x﹣4）；
（2）①令x﹣y＝A，则原式可变为A2﹣8A+16，
A2﹣8A+16＝（A﹣4）2＝（x﹣y﹣4）2，
所以（x﹣y）2﹣8（x﹣y）+16＝（x﹣y﹣4）2；
②设B＝m2﹣2m，则原式可变为B（B﹣2）﹣3，
即B2﹣2B﹣3＝（B﹣3）（B+1）
＝（m2﹣2m﹣3）（m2﹣2m+1）
＝（m﹣3）（m+1）（m﹣1）2，
所以m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3＝（m﹣3）（m+1）（m﹣1）2．

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