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2022学年第一学期杭州市教学质量检测
数学模拟卷参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意，多选、错选、不选均不得分。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中有多项符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分。
9. 10. 11. 12.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14.
15. 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 解：由可得，
即，
因为，所以，因为，所以．
由可得，则，因为，所以，在中，由正弦定理可得，即，解得
由余弦定理可得，解得．记，，则点在线段上且为的中点，记的中点为，边上的高为，，，则．
，所以的最小值为．
18. 解：因为，，所以，因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以．所以．由题意知，．所以，即 ，又，则．
所以．又，则，则．
，
，
得，
．
所以．

19. 解：依题意，折痕有下列三种情形：
折痕的端点，分别在边，上；
折痕的端点，分别在边，上；
折痕的端点，分别在边，上．
在情形、中，故当时，折痕必定是情形．
设，，则
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号．
即的最大值为
由题意知，长方形的面积为．
因为，，所以，．
(ⅰ)当折痕是情形时，设，，则，即．
由得．
所以，
令，则，设，
则，令，得负舍．
所以的取值范围为，故的取值范围是；
(ⅱ)当折痕是情形时，设，，
则，即．
由得．
所以，．
所以的取值范围为；
(ⅲ)当折痕是情形时，设，，
则，即．
由得．
所以，．所以的取值范围为
综上所述，的取值范围为
20. 解：由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归类型，
对两边取自然对数得，令，，，则，
因为，，
所以关于的回归方程为，所以关于的回归方程为．
由，
，
且，当时，，当时，．
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以函数在处取得极大值，即最大值，故；
由可知，当时，取最大值，
又，则，由题意可知，
故，．

21. 解：Ⅰ抛物线：经过点，，解得，
由题意，直线的斜率存在且不为，设过点的直线的方程为，设，，联立方程组可得，消可得，，且，解得，且，则，，又、要与轴相交，直线不能经过点，即，故直线的斜率的取值范围是；
Ⅱ证明：设点，，则，，因为，所以，故，同理，
直线的方程为，
令，得，同理可得，
因为，
，为定值．
22. 解：∵(，，∴
即为偶函数．
（1）当时，，
当时，，所以，
所以当时，f'(x)0；当时，f'(x)0；
所以函数在上单调递增，在单调递减；
又根据偶函数的图象关于轴对称知，函数在上单调递增，在上单调递减；
所以在和上单调递增，在和上单调递减；
（2）因为，所以，
当a1时，f'(x)0对任意恒成立，此时在上单调递增，
又，所以关于的方程无实数根；
当时，使得，即．
且当时，；当时，；
所以函数在上单调递增，在单调递减；
，，
①当，即时，关于的方程在区间上无实数根，
又为偶函数，所以关于的方程在上无实数根；
②当，即时，关于的方程在区间上有1个实数根，
又为偶函数，所以关于的方程在上有2个实数根；
综上，当时，关于的方程在上有2个实数根；
当时关于的方程在上无实数根．

数学模拟卷小题解析
1. 【分析】
本题考查补集以及集合之间的关系，属于基础题．
根据题意画出图，由图即可得到．
【解答】
解：集合，，满足：，
如图，
．
故选：．
2. 【分析】
本题主要考查函数的单调性问题及充分、必要条件，属于基础题．
根据为单调减函数解出的范围，即可判断得结果．
【解答】
解：由题意可得为减函数，则，解得．
故选：
3. 【分析】
本题考查排列组合问题中简单的分组分配问题，属于基础题．
根据题意可知其中一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，利用排列组合数进行计算．
【解答】
解：根据题意可知其中一名同学分得两本书，其余两名同学各分得一本书，不同的分发数为种
故选D．
4. 【分析】
本题主要考查双曲线的基本性质，属于中档题．
利用双曲线的定义建立，，的关系即可解得答案．
【解答】
解：由题意可得焦点到渐近线的距离为，又因为，
所以，则，，
在中由余弦定理得，代入化简得，则渐近线方程．
故选：
5. 【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数，以及正弦定理，属于中档题．
先利用两角差的正弦公式将原式变形，再利用正弦定理化角为边可得答案．
【解答】
解：因为，，
则
．
故选：．
6. 【分析】
本题考查由数列的递推公式求通项公式及分组求和，属于综合题．
由递推公式确定通项公式后，再求．
【解答】
解：因为，所以
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
所以，则

故选：．
7. 【分析】
本题考查分段函数的最值问题、恒成立问题及分类讨论的思想，属于综合题．
先求出的最小值为，再将时转化为恒成立问题．
【解答】
解：因为当时，，令，得，则在上单调递减，上单调递增，即函数在处取得最小值，
所以问题转化为在上恒成立，令，
当时，不符合．
当时，对称轴，则或
解得或，所以
故选：．
8. 【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力，难度适中.
解答本题的关键有两点，其一是转化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是构造函数g（x）=cosxf（x）即可.
【解答】
解：：因x∈（0，），故tanxf（x）＞f′（x），
∴sinxf（x）＞f′（x）cosx，即sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，
令g（x）=cosxf（x），
则 g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，
所以函数g（x）在（0，）为减函数，
∴cosf（）＞cosf（），
∴f（）＞f（），
故选A．
9. 【分析】
本题考查构造新函数，由函数图象判断自变量的大小，属于综合题．
等式两边取对数，构造函数函数，结合图象得到与的范围．
【解答】
解：两边取对数，得，构造函数，则．
，则在上单调递增，在上单调递减，且，
得的图象如右所示，
又，所以，．
故选：
10. 【分析】
本题考查了复数的运算以及几何意义，属于简单题．
【解答】
解：对于选项，，平方可得，项正确；
对于选项，取，则，当，项错误；
对于选项，，平方可得，即，
因此存在实数，使得，项正确；
对于选项，取，但，项错误．
11. 【分析】
本题考查新定义背景平面向量向量的线性运算，以及点到直线的距离公式，属于综合题．
根据题目的新定义对选项逐一判断即可．
【解答】
解：对于选项：若， ，
则；
因为，所以；故A错误；
对于选项：设以为圆心、半径为的圆上任意一点为，因为，所以，得，，，
即故B正确；
对于选项：， ，则，
即，
，故C错误；
对于选项：若，斜平面内直线的方程为，则在直角坐标下的直线的方程为，则原点到直线的方程为故D正确．
故选：
12. 【分析】
本题考查直线与椭圆的位置关系及应用，属于综合题．
通过设直线方程联立方程组，再借助韦达定理表示出所需验证的代数式是否为定值．
【解答】
解：由已知，，设直线的方程为，与椭圆方程联立得，消去得：，
设，，
则与有关，不是定值，故选项A错误．
是定值，故选项B正确．
与有关，不是定值故选项C错误．
定值故选项D正确．
故选：
13. 【分析】
本题考查正态曲线的性质，属于基础题．
利用正态曲线关于对称，得到与的关系．
【解答】
解：因为，所以正态曲线关于对称，且，
所以，所以．
14. 【分析】
本题考查等差数列的通项公式及基本不等式的应用，属于中档题．
先根据得到，再借助基本不等式求的最小值．
【解答】
解：因为，则，化简得
因为数列的各项均为正数，则，，则
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
15. 【分析】
本题主要考查了圆的方程的综合运用，与圆有关的轨迹问题，两点间的距公式，中点坐标公式运用，考查了分析和运算求解能力，属于较难题．
设、，由条件可得，结合可得，代入坐标运算可得，即，设的中点为，则，利用中点坐标公式表示出点的轨迹方程，进而求出的取值范围即可求解．
【解答】
解：

由题意，设、，
则，
，
，即，
，
，
，
设的中点为，则，
得：
，
即，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
的取值范围为，
，
，
故答案为．
16. 【分析】
本小题主要考查函数单调性的应用、不等式的解法、进行简单的演绎推理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
先根据题意得，，，对于方程，将看成未知数，解二次方程得，由知，利用单调性结合的取值范围，即可得出的取值范围．
【解答】
解：得，，
，设，由
知，，由，得，
当时，有当，取最大，最大值；
当时，有当，取最小，最小值；
则的取值范围是．
故答案为．2022学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学模拟卷
全卷共4页，22题，满分150分；考试时间120分钟。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中有且只有一项符合题意，多选、错选、不选均不得分。
若集合，，满足：，则
A. B. C. D.
设，则“”是“函数在为减函数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
把本不同的书分给名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
在平面直角坐标系中，、分别是双曲线的左、右焦点，过作渐近线的垂线，垂足为，与双曲线的右支交于点，且，，则双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
在中， ，，则的值为
A. B. C. D.
已知数列的前项和为，首项，且满足，则的值为
A. B. C. D.
的最小值是，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
已知，函数满足：恒成立，其中是的导函数，则下列不等式中成立的是
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题列出的四个选项中有多项符合题意，选全得5分，漏选得2分，错选、不选均不得分。
已知，且，则．( )
A. B. C. D.
已知非零复数在复平面内对应的点分别为，为坐标原点，则( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 若，则存在实数，使得
D. 若，则
定义平面斜坐标系，记，，分别为轴、轴正方向上的单位向量若平面上任意一点的坐标满足：，则记向量的坐标为，给出下列四个命题，正确的选项是
A. 若， ，则
B. 若，以为圆心、半径为的圆的斜坐标方程为
C. 若，，则
D. 若，记斜平面内直线的方程为，则在平面直角坐标系下点到直 线的距离为
已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于两点，设，，，的斜率分别记为，，以下各式为定值的是
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
已知随机变量服，且，则 ．
已知公差为且各项均为正数的等差数列的前项和为，且，则的最小值为 ．
已知圆：，圆：，定点，动点分别在圆和圆 上，满足，则线段的取值范围___________
已知实数，，，满足，，且，则的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（10分）的内角，，的对边分别为，，，已知，
若为边上一点，，，且，求
若，，为平面上一点，，其中，
求的最小值．
（12分）已知数列满足，，记，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的正项等比数列，若数列中的第项是数列中的第项
求数列及的通项公式．
求数列的前项和．
（12分）如图所示，矩形是某生态农庄一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路宽度不计经过该区域，其中都在矩形的边界上．已知，单位：百米，小路将矩形分成面积分别为，单位：平方百米的两部分，其中，且点在面积为的区域内，记长为百米．
若，求的最大值；
若，求的取值范围．
（12分）从年底开始，非洲东部的肯尼亚等国家爆发出了一场严重的蝗虫灾情．目前，蝗虫已抵达乌干达和坦桑尼亚，并向西亚和南亚等地区蔓延蝗虫危害大，主要危害禾本科植物，能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．
平均温度
平均产卵数个
表中，．
根据散点图判断，与其中，为自然对数的底数哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．精确到小数点后第三位
根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时蝗虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为．
记该地今后年中，恰好需要次人工防治的概率为，求取得最大值时相应的概率；
根据中的结论，当取最大值时，记该地今后年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差．
附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．
（12分）已知抛物线:经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于．
求直线的斜率的取值范围；
设为原点，，，求证：为定值．
（12分）已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
当时，探究关于的方程的实数根的个数．

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