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第一章　静电场
1　电荷　电荷守恒定律
学习目标 成长记录
1.知道两种电荷及三种起电方式的本质。 知识点一、二、四&要点一
2.掌握元电荷的概念,掌握电荷守恒定律,并能用该定律和原子结构的知识分析静电现象。 知识点三&要点二
3.了解验电器的原理、使用方法。 知识点四
知识点一　摩擦起电　两种电荷
1.电荷:自然界只存在两种电荷:正电荷和负电荷。同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引。
2.电荷量:电荷的多少叫电荷量,常简称为电荷。在国际单位制中,电荷量的单位是库仑,用字母C表示。常用的电荷量单位还有微库(μC)和纳库(nC),1 μC=10-6 C,1 nC=10-9 C。
知识点二　摩擦起电的解释
1.原子电性:一般情况下,原子核所带电荷总量与电子所带电荷总量相等,因此物体通常对外不显电性。
2.摩擦起电的实质:不同种类的两个不带电物体相互摩擦时,一个物体的原子中有一些外层电子挣脱原子核的束缚并转移到另一个物体上去,失去电子的物体显示出带正电,得到电子的物体显示出带负电,而且两者的电荷量必然等量异号。
知识点三　元电荷、电荷守恒定律
1.元电荷:一个电子所带电荷量的绝对值为1.6×10-19 C,它是电荷的最小单元。
2.电荷量的不连续性:任何带电体所带电荷量都是元电荷的整数倍。
3.电荷守恒定律:电荷既不能被创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或者从物体的一部分转移到另一部分。
知识点四　静电感应
1.静电感应:当带电导体靠近不带电导体时,由于同种电荷相互排斥、异种电荷相互吸引,导体中可自由移动的电荷将会重新分布,使导体靠近带电体与远离带电体的两端分别带上与带电导体电性相反和电性相同的电荷的现象。
2.验电器的使用方法:将带正电的玻璃棒接触验电器的金属球,验电器就带上了正电,再将待检验的带电体靠近验电器的金属球,如果它的金属箔片张开角度变大,则它带的是正电荷,反之,则带的是负电荷。
1.思考判断
(1)通过摩擦带电的两个物体必然带等量异种电荷。(　√　)
(2)发生静电感应现象时,导体靠近带正电的物体的一端带负电荷。(　√　)
(3)元电荷实质上是指电子和质子本身。(　×　)
(4)所有带电体的电荷量一定等于元电荷的整数倍。(　√　)
(5)甲物体带有+6 C的电荷量,乙物体带有-2 C的电荷量,把两物体接触后再分开,两物体分别带+2 C的电荷量。(　×　)
2.思维探究
(1)在天气干燥的季节,脱掉外衣后再去摸金属门把手时,常常会被电一下。这是为什么
(2)关于电荷,某同学有以下认识:
①电荷量很小的电荷就是元电荷;
②物体所带的电荷量可以是任意的。
你认为他的看法正确吗 请简述你的理由。
答案:(1)在天气干燥的季节,由于摩擦,使身体和外衣都带了电,此时用手去摸金属门把手时,身体通过门把手放电,于是有电击的感觉。
(2)两种看法均不正确。元电荷是最小的电荷量,电荷量不能连续变化,自然界中带电体的电荷量都是元电荷e的整数倍。
要点一　三种起电方式的理解
如图所示,是感应起电机,结合图思考后回答问题:
(1)两个绝缘体发生摩擦为什么会带上电荷
(2)感应起电能发生在绝缘体上吗 原因是什么
答案:(1)两个绝缘体摩擦时,其中一个物体失去电子,另一个物体得到电子,分别带上了正、负电荷。
(2)感应起电不会发生在绝缘体上,因为绝缘体中的电子几乎都被束缚在原子范围内,不能自由移动。
1.三种起电方式的比较
类别 摩擦起电 感应起电 接触起电
产生 条件 通常是两种不同绝缘体摩擦时 导体靠近带电体时 导体与带电体接触时
现象 两物体带上等量异种电荷 导体两端出现等量异种电荷,且电性与原带电体“近异远同” 导体带上与带电体相同电性的电荷
原因 不同物质的原子核对核外电子的束缚力不同而发生电子得失 导体中的自由电子受带正(负)电荷的物体吸引(排斥)而靠近(远离) 自由电荷在带电体与导体之间发生转移
实质 均为电荷在物体之间或物体内部的转移,并未产生电荷
2.三种起电方式分析
(1)摩擦起电
如图所示,丝绸摩擦玻璃棒,玻璃棒失去电子而带正电,丝绸得到电子而带负电;毛皮摩擦硬橡胶棒,硬橡胶棒得到电子带负电,毛皮失去电子而带正电。
(2)感应起电
如图所示,带电体靠近导体A、B,由于电荷间的相互吸引或排斥,导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体,使A、B导体分别聚集负电荷和正电荷,先将A、B分开再移走带电体,则A、B导体分别带负电荷和正电荷。
(3)接触起电
如图所示,使带电体(带正电)与不带电的导体接触,由于电荷间的相互作用,电子从A转移到带电体上,分开后导体A带正电荷。
[例1] (多选)如图,取一对不带电的、有绝缘柱支撑的导体A和B,使它们彼此接触。把带正电荷的物体C移近导体A,会发现两端的金属箔片均张开。然后先手持绝缘柱把导体A和B分开,再移开C。移开C之后,下列说法正确的是(　BD　)
A.A带正电,B带负电
B.A带负电,B带正电
C.A、B上的金属箔片完全闭合
D.A、B上的金属箔片仍张开一定角度
解析:把带正电荷的物体C移近导体A,会发现两端的金属箔片均张开,此时,由于电荷间相互吸引或排斥,A带负电,B带正电。然后先手持绝缘柱把导体A和B分开,A仍然带负电,B仍然带正电,再移走C,A、B上的电荷不会中和,所以A、B上的金属箔片仍张开一定角度。故选B、D。
(1)感应起电的两大特点
①近异远同:用带电体靠近不带电的导体时,会在靠近带电体的一端感应出与带电体电性相反的电荷,远离端感应出与带电体电性相同的电荷。
②等量异种:用带电体靠近不带电的导体(或两不带电的相互接触的导体)时,会在原不带电的导体两端(或两不带电的相互接触的导体上)感应出等量异种的电荷。
(2)正确理解起电的实质
使物体带电的三种方式的实质都是自由电子的转移,而原子中的质子不能自由移动,起电并非创造了电荷。
(3)接触起电中电荷量的分配原则
①当两个导体材料、形状不同时,接触后再分开,只能使两者均带电,但无法确定电荷量的多少。
②若使两个完全相同的金属球带电荷量分别为Q1、Q2,则它们接触后再分开都带有的电荷量,式中电荷量Q1、Q2均包含它们的正负号。
[针对训练1] 如图所示是A、B、C三个用细线悬挂的轻质小球靠近时发生相互作用的情形。关于各小球带电的判断,下列说法中正确的是(　C　)
A.可能A带负电,B带正电,C带负电
B.可能A带负电,B不带电,C带正电
C.可能A带正电,B带正电,C不带电
D.可能A不带电,B带负电,C带正电
解析:由于A、B两小球相斥,说明A、B一定都带电,且带的是同种电荷,故该题有两种可能:①若A球带正电,即B球也带正电,由于B、C相吸,故C球有两种可能,即C球可能带负电,也可能不带电;②若A球带负电,即B球也带负电,由于B、C相吸,故C球也有两种可能,即C球可能带正电,也可能不带电。故选C。
要点二　电荷守恒定律的理解
小明同学用自制的验电器进行了一些探究实验。如图所示,小明使验电器带了负电荷,经过一段时间后,他发现该验电器的金属箔片(用包装巧克力的锡箔纸制作)几乎闭合了。关于此问题,他跟学习小组讨论后提出了下列观点,你认为哪些是正确的
①小球上原有的负电荷逐渐消失了。
②在此现象中,电荷不守恒。
③小球上负电荷减少的主要原因是潮湿的空气将电子导走了。
④该现象是由于电子的转移引起的,仍然遵循电荷守恒定律。
答案:带负电的验电器在潮湿的空气中,经过一段时间后,小球上的负电荷(电子)被潮湿的空气导走了,但电荷在转移的过程中仍然守恒,故③④正确。
1.物体带电的实质:物体带电不是创造了电荷,物体不带电也不是消灭了电荷。物体带电的实质是电荷发生了转移,也就是物体间或物体内部电荷的重新分配。摩擦起电、感应起电和接触起电,均符合电荷守恒定律。
2.“电荷的总量”含义:指正、负电荷的代数和。
3.电荷的中和:指带等量异种电荷的两物体接触时,经过电子的转移,物体达到电中性的过程。
4.守恒的广泛性:电荷守恒定律同能量守恒定律一样,是自然界中重要的基本规律,任何电现象都不违背电荷守恒定律,涵盖了包括近代物理实验发现的微观粒子在变化中遵守的规律。
[例2] 完全相同的两金属小球A、B带有相同大小的电荷量,相隔一定的距离,今让第三个完全相同的不带电金属小球C先后与A、B接触后移开。
(1)若A、B两球带同种电荷,接触后两球的电荷量大小之比为多少
(2)若A、B两球带异种电荷,接触后两球的电荷量大小之比为多少
解析:(1)设A、B两球带电荷量均为q,则A、C接触后,A、C带电荷量为qA=qC=q。
C再与B接触后,B、C所带电荷量为
qB=qC′==q,
故A、B带电荷量大小之比为==。
(2)设A带正电,B带负电,且所带电荷量大小均为Q,
则A、C接触后,A、C带电荷量为qA′=qC′=Q,
C再与B接触后,B、C所带电荷量为qB′=qC″==-Q,
故A、B带电荷量大小之比为||==。
答案:(1)2∶3　(2)2∶1
[针对训练2] (多选)原来甲、乙、丙三物体都不带电,今使甲、乙两物体相互摩擦后,乙物体再与丙物体接触,最后,得知甲物体带正电荷1.6×10-15 C,丙物体带电荷量的大小为8×10-16C。则对于最后乙、丙两物体的带电情况,下列说法中正确的是(　AD　)
A.乙物体一定带有负电荷8×10-16 C
B.乙物体可能带有负电荷2.4×10-15 C
C.丙物体一定带有正电荷8×10-16 C
D.丙物体一定带有负电荷8×10-16 C
解析:由于甲、乙、丙原来都不带电,甲、乙相互摩擦导致甲失去电子而带1.6×10-15 C的正电荷,乙物体得到电子而带 1.6×10-15 C的负电荷;乙物体与不带电的丙物体相接触,从而使一部分负电荷转移到丙物体上,故可知乙、丙两物体都带负电荷,由电荷守恒可知乙最终所带负电荷1.6×10-15 C-8×10-16 C=8×10-16 C,选项A,D正确。
“中性”“中和”的理解
(1)中性:物体内有电荷存在,但正、负电荷的绝对值相等,对外不显电性。
(2)中和:两个带有等量异种电荷的带电体接触达到电中性的过程,在此过程中电荷仍然守恒。
感应起电的判断方法
1.当带电体靠近导体时,导体靠近带电体的一端带异种电荷,远离带电体的一端带同种电荷,如图甲所示。
2.导体接地时,该导体与地球可视为一个导体,而且该导体可视为近端导体,带异种电荷,地球就成为远端导体,带同种电荷,如图乙、丙所示。
说明:用手摸一下导体,再移开手指,相当于先把导体接地,然后再与大地断开。
[示例] 如图所示,放在绝缘支架上带正电的导体球A,靠近放在绝缘支架上不带电的导体B,导体B用导线经开关接地。现把S先合上再断开,再移走A,则导体B(　C　)
A.不带电 B.带正电
C.带负电 D.不能确定
解析:根据静电感应现象和电荷间的相互作用,可判断导体B带负电,故选项C正确。
生活中的静电现象
　　静电,是一种处于静止状态的电荷。在干燥和多风的秋天,在日常生活中,人们常常会碰到这些现象:晚上脱衣服睡觉时,常听到“噼啪”的声响,黑暗中伴有蓝光;见面握手时,手指刚一接触到对方,会突然感到指尖针刺般刺痛;早上起来梳头时,头发会经常“飘”起来,越理越乱;拉门把手、开水龙头时都会“触电”,时常发出“啪、啪”的声响,这就是发生在人体的静电。
[示例] 用塑料梳子梳头时,塑料梳子和头发都会带电,其原因是(　C　)
A.摩擦创造了电荷
B.静电感应创造了电荷
C.电子在梳子和头发之间发生了转移
D.质子在梳子和头发之间发生了转移
解析:用塑料梳子梳头发时,塑料梳子与头发相互摩擦,发生了电子的转移,从而使梳子和头发分别带上异种电荷。故C正确。
课时作业
1.(多选)对物体带电现象的叙述,下列说法正确的是(　CD　)
A.一个不带电的物体内一定没有电荷
B.物体带电一定具有多余的电子
C.物体带电的过程就是电荷移动的过程
D.带电体发生中和的现象是等量异种电荷完全相互抵消的结果
解析:一个物体不带电并不是内部没有电荷,而是由于正、负电荷一样多,从而对外显示电中性。当正电荷多于负电荷时对外显示带正电;当负电荷多于正电荷时对外显示带负电,故A,B错误。物体带电的实质就是得失电子,即电荷移动,故C正确。带等量异种电荷的物体相接触时,带负电的物体中多余电子全部移动到带正电的物体上与正电荷相互抵消,从而使两物体都呈电中性,故D正确。
2.某电视台有这样一个节目:让两人手拉手站在绝缘台上,一人手扶一装置来回答问题,当在规定的时间内回答不完所给的问题时,工作人员经过操作使两人“怒发冲冠”(头发直立而散开)。从物理学原理分析产生这一现象的原因是(　C　)
A.空气对头发的作用结果
B.一种魔术现象
C.同种电荷相互排斥原理,使带同种电荷的头发相斥而散开
D.以上说法都不对
解析:头发比较轻,当带有同种电荷时,相互排斥,头发便分散开来,
形成“怒发冲冠”的现象,故选项C正确。
3.如图是伏打起电盘示意图,其起电原理是(　B　)
A.摩擦起电 B.感应起电
C.接触起电 D.以上三种方式都不是
解析:导电平板靠近带电绝缘板并接地,导体与大地发生静电感应,
使导电平板带上负电荷,选项B正确。
4.M和N都是不带电的物体,它们互相摩擦后M带正电荷 1.6×10-10 C,下列判断中正确的是(　C　)
A.在摩擦前M和N的内部没有任何电荷
B.摩擦的过程中电子从N转移到了M
C.N在摩擦后一定带负电荷1.6×10-10 C
D.M在摩擦过程中失去了1.6×10-10个电子
解析:在摩擦前M和N的内部有电荷,但净电荷为零,选项A错误;摩擦的过程中电子从M转移到了N,M带上了正电荷,选项B错误;由电荷守恒定律可知,N在摩擦后一定带负电荷1.6×10-10 C,选项C正确;M在摩擦过程中失去了=1×109(个)电子,选项D错误。
5.梳过头发的梳子,常能吸引轻小物体,这属于摩擦起电。关于摩擦起电现象,下列说法正确的是(　D　)
A.摩擦起电现象使本来没有电子和质子的物体中产生了电子和质子
B.两种不同材料的绝缘体互相摩擦后,同时带上等量同种电荷
C.摩擦起电可能是因为摩擦导致质子从一个物体转移到了另一个物体而形成的
D.丝绸摩擦玻璃棒时,电子从玻璃棒上转移到丝绸上,玻璃棒因质子数多于电子数而显正电
解析:摩擦起电现象的本质是摩擦使一个物体上的自由电子转移到另一个物体上,并不会产生电子和质子,最终会使两物体分别带上等量的异种电荷,故A,B,C错误,D正确。
6.(多选)如图所示,有一带正电荷的验电器,当一金属球A靠近验电器的小球B时,验电器金属箔张角减小,则金属球A(　AB　)
A.可能不带电
B.可能带负电
C.可能带正电
D.一定带负电
解析:验电器原来带正电,要使张角减小,则应使B处的电子转移到金属箔处,根据电荷间的相互作用,A球可能带负电;若A球不带电时,
由于感应起电,则A球左侧也会带上负电,使得验电器金属箔张角
减小,A球可以带负电,也可以不带电,故A,B正确。
7.如图,将充气后的气球在头发上摩擦,再靠近不带电的空易拉罐,
在气球未接触易拉罐的情况下,可观察到易拉罐会朝气球方向滚动。关于这一现象,下列说法正确的是(　A　)
A.易拉罐靠近气球一侧的带电性质和气球相反
B.易拉罐远离气球一侧的带电性质和气球相反
C.气球对易拉罐远、近两侧的作用力均为吸引力
D.气球对易拉罐远、近两侧的作用力大小相等
解析:根据静电感应,易拉罐靠近气球一侧与气球带异种电荷,远离一侧与气球带同种电荷,A正确,B错误;气球对易拉罐远侧为斥力,近侧为吸引力,并且对近侧的力大于对远侧的力,故最终表现为吸引力,
C,D错误。
8.如图所示,把一个不带电的枕形导体靠近带正电的小球,由于静电感应,在a、b两端分别出现负、正电荷,则以下说法正确的是(　C　)
A.闭合开关S1,有电子从枕形导体流向大地
B.闭合开关S2,有电子从枕形导体流向大地
C.闭合开关S1,有电子从大地流向枕形导体
D.闭合开关S2,没有电子通过开关S2
解析:在S1、S2都断开时,对枕形导体,它的电荷是守恒的,由于静电感应,a、b两端出现等量的负、正电荷。当闭合开关S1、S2中的任何一个以后,便把大地与枕形导体连通,使大地与枕形导体组成一个新的大导体,因此,枕形导体本身的电荷不再守恒,而是与大地构成的系统电荷守恒;由于静电感应,a端仍为负电荷,大地为远端,感应出正电荷,因此无论是闭合开关S1还是S2,都有电子从大地流向枕形导体,故选项C正确。
9.如图所示,大球A原来的电荷量为Q,小球B原来不带电,现在让小球与大球接触,达到静电平衡时,小球获得的电荷量为q;现给大球A补充电荷,使其电荷量为Q,再次让小球接触大球,每次都给大球补充到电荷量为Q,问:经过反复足够多次接触后,小球的带电荷量为多少
解析:由于两个球的形状和大小不等,所以在接触过程中,两球的电荷量分配比例不是1∶1,但应该是一个确定的值。根据第一次接触达到静电平衡时两者的电荷量关系可知,此比例为(Q-q)∶q。
经过多次接触后,从大球上迁移到小球上的电荷量越来越少,最终将为零,设最终B球带电荷量为q′,
有=,
解得q′=。
答案:
10.如图所示,通过调节控制电子枪产生的电子束,使其每秒有1×104个电子到达收集电子的金属瓶。经过一段时间,金属瓶上带
有-8×10-12 C的电荷量,问:
(1)金属瓶上收集到多少个电子
(2)金属瓶收集电子的时间为多长
解析:(1)金属瓶上收集的电子数目为N===5×107(个)。
(2)金属瓶收集电子的时间t= s=5 000 s。
答案:(1)5×107个　(2)5 000 s2　库仑定律
学习目标 成长记录
1.了解探究影响点电荷间作用力的因素的实验过程。掌握点电荷的概念。 知识点一
2.理解库仑定律的内容、表达式,并能进行其与力学知识相结合的有关计算。 知识点二&要点一、二、三
3.掌握静电力的叠加原理,明确带电球体简化为点电荷的条件。 知识点三
知识点一　探究影响点电荷之间相互作用力的因素
1.点电荷
当一个带电体本身的大小比它到其他带电体的距离小很多,以至在研究它与其他带电体的相互作用力时,该带电体的形状、大小以及电荷在其上的分布状况均可忽略,该带电体可看做一个带电的点,这样的电荷称为点电荷。点电荷是一个理想化的物理模型。
2.实验探究
实验 现象 (1)小球带电荷量不变时,距离越小,丝线偏离竖直方向的偏角越大 (2)保持两球间的距离不变,两球所带电荷量越大,小球受到的作用力越大,丝线偏离竖直方向的偏角越大,它们间的相互作用力越大
实验 结论 带电体之间的相互作用力随电荷量的增大而增大,随它们间距离的增大而减小
知识点二　库仑定律
1.内容:真空中两个静止的点电荷之间的作用力与这两个电荷所带电荷量的乘积成正比,与它们之间距离的平方成反比,作用力的方向沿着这两个点电荷的连线。
2.公式:F=k,静电力常量k=9.0×109 N·m2/C2。
知识点三　库仑定律的初步应用
1.静电力的叠加:两个或两个以上的点电荷对某一个点电荷的作用力,等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
2.带电球体间的静电力:两个均匀带电的绝缘介质球之间的静电力可以看作电荷集中于球心处的点电荷之间的静电力。两个带电导体球在相距较近时,由于静电感应,电荷分布不均匀,不能看作两个点电荷,当二者距离远大于球的直径时,可将二者看作点电荷来计算静电力。
1.思考判断
(1)点电荷是一个带有电荷的几何点,是一种理想化模型。(　√　)
(2)球形带电体一定可以看作点电荷。(　×　)
(3)体积很大的带电体也有可能看作点电荷。(　√　)
(4)根据库仑定律,只有两点电荷电荷量相等时,它们间的库仑力才相等。(　×　)
(5)库仑定律只适用于计算真空中的两个静止点电荷之间的库仑力。(　√　)
2.思维探究
(1)点电荷、元电荷是同一种物理模型吗 它们的区别在哪里
(2)真空中,两个带异种电荷的小球,在相距不太远时,它们之间的静电力能否用F=k去求解
答案:(1)不是同一种物理模型。点电荷是一种理想化的物理模型,其自身的大小在所研究的问题中可以完全忽略;元电荷是最小的电荷量,e=1.60×10-19 C。
(2)不能,带电小球具有一定大小的半径,当它们相距不太远时,两小球不能看成点电荷,公式F=k不再适用。
要点一　库仑定律的理解和基本应用
有一个半径为20 cm的带电圆盘,距离圆盘某处有一个电子。试结合上述情景,讨论下列问题:
(1)能否把带电圆盘看作点电荷
(2)把带电体看成点电荷的条件是什么
(3)若圆盘不能看作点电荷,圆盘和电子间是否就不存在库仑力
(4)在情景中根据F=k,当带电圆盘与电子的距离r →0时,带电圆盘与电子间的作用力F→∞,这种说法正确吗
答案:(1)能否把带电圆盘看作点电荷,不能只看大小,要视具体情况而定。若考虑它与10 m远处的一个电子的作用力时,完全可以把它看作点电荷;若电子距圆盘只有1 mm,这一带电圆盘就相当于一个无限大的带电平面,因而不能看作点电荷。
(2)当带电体间的距离比它们自身的大小大得多时,带电体可视为点电荷。
(3)仍存在库仑力,只不过库仑力大小不能用库仑定律来计算。
(4)不正确,因为当r→0时,两个带电体已经不能看作点电荷,不能直接用库仑定律来计算它们之间的相互作用力。
1.对点电荷的理解
(1)点电荷是只有电荷量,没有大小、形状的理想化模型,类似于力学中的质点,实际上并不存在。
(2)一个带电体能否看做点电荷,是相对于具体问题而言的,不能单凭其大小和形状确定。
2.应用库仑定律解题应注意的问题
(1)真空中两个静止点电荷间相互作用力的大小只跟两电荷的电荷量及间距有关,跟它们的周围是否有其他电荷等无关。
(2)两个点电荷之间相互作用的库仑力遵守牛顿第三定律,即两带电体间的库仑力是一对作用力与反作用力。不要认为电荷量大的电荷对电荷量小的电荷作用力大。
(3)库仑力也称为静电力,它具有力的共性。它与学过的重力、弹力、摩擦力是并列的。它具有力的一切性质,它是矢量,合成分解时遵循平行四边形定则,能与其他的力平衡,使物体发生形变,产生加速度。
(4)可将计算库仑力的大小与判断库仑力的方向两者分别进行。即用公式计算库仑力大小时,不必将表示电荷Q1、Q2的带电性质的正、负号代入公式中,只将其电荷量的绝对值代入公式中从而算出力的大小;再根据同种电荷相互排斥,异种电荷相互吸引加以判别力的方向。也可将Q1、Q2带符号运算,F为“+”表示斥力,F为“-”表示引力。
3.库仑定律与万有引力定律的比较
(1)库仑定律和万有引力定律都遵从与二次平方成反比规律。
(2)两个定律列表比较如下:
公式 F= F=
产生 原因 只要有质量就有引力,因此称为万有引力,两物体间的万有引力总是引力 存在于电荷间,两带电体的库仑力既有引力,也有斥力,由电荷的性质决定
相互 作用 吸引力与它们质量的积成正比 库仑力与它们电荷量的积成正比
相似 遵从牛顿第三定律
与距离的平方成反比
都有一个常量
(3)对于微观的带电粒子,它们之间的库仑力要比万有引力大得多,电子和质子的静电引力F1是它们间万有引力F2的2.3×1039倍,正因如此,以后在研究带电微粒间的相互作用时,可以忽略万有引力。
[例1] 甲、乙两导体球,甲球带有4.8×10-16 C的正电荷,乙球带有3.2×10-16 C的负电荷,放在真空中相距为10 cm 的地方,甲、乙两球的半径远小于10 cm。(结果保留三位有效数字)
(1)试求两球之间的静电力,并说明是引力还是斥力。
(2)将两个导体球相互接触,再放回原处,其作用力能求出吗 是斥力还是引力
(3)如果两个导体球完全相同,接触后放回原处,两球之间的作用力如何
解析:(1)因为两球的半径都远小于10 cm,因此两球均可看作点电荷。
由库仑定律可求F=k=9.0×109× N≈1.38×10-19 N。两球带异种电荷,它们之间的作用力是引力。
(2)将两个导体球相互接触,首先正、负电荷相互中和,还剩余(4.8-3.2)×10-16 C的正电荷,这些正电荷将重新在两导体球间分配。由于题中并没有说明两个导体球是否完全一样,因此我们无法求出力的大小,但可以肯定两球放回原处后,它们之间的作用力变为斥力。
(3)如果两个导体球完全相同,则电荷中和后平分,每个小球的带电荷量为0.8×10-16 C,代入数据得两个导体球之间的斥力为F=5.76×10-21 N。
答案:(1)1.38×10-19 N　引力　
(2)不能　斥力
(3)5.76×10-21 N　斥力
(1)当r→0时,电荷不能再看成点电荷,库仑定律不再适用,更不能认为F→∞。
(2)两个规则的带电球体相距比较近时,不能被看作点电荷,此时两带电球体之间的作用距离会随所带电荷量的改变而改变,如图。
[针对训练1] 关于库仑定律,下列说法中正确的是(　D　)
A.库仑定律适用于点电荷,点电荷其实就是体积很小的球体
B.根据F=k,当两电荷的距离趋近于零时,静电力将趋向无穷大
C.若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量,则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力
D.库仑定律和万有引力定律的表达式相似,都是平方反比定律
解析:点电荷是实际带电体的近似,只有带电体的大小和形状对电荷的作用力影响很小时,实际带电体才能视为点电荷,故选项A错误;当两个电荷之间的距离趋近于零时,不能再视为点电荷,公式F=k不能用于计算此时的静电力,故选项B错误;q1和q2之间的静电力是一对相互作用力,它们的大小相等,故选项C错误;库仑定律与万有引力定律的表达式相似,研究和运用的方法也很相似,都是平方反比定律,故选项D正确。
要点二　静电力作用下的平衡问题
小明想通过实验探究三个带电小球的平衡问题,他先在水平放置的光滑绝缘圆环上套上了三个电性、电荷量和体积都相同的小球(可看作点电荷),三个小球平衡后构成一个等边三角形,如图甲所示;他应该怎样做才能在光滑绝缘的水平面上把三个球排成如图乙所示的一条直线
答案:应使a1球和c1球带上同种电荷,且和b1球的电性相反。
1.当多个带电体同时存在时,每两个带电体间的静电力都遵守库仑定律。某一带电体同时受到多个静电力作用时可利用力的平行四边形定则求出其合力。
2.分析静电力作用下的平衡问题的步骤
(1)明确研究对象。
(2)画出研究对象的受力分析图。
(3)根据平衡条件列方程。
(4)代入数据计算或讨论。
[例2] 如图所示,真空中两个相同的小球带有等量同种电荷,质量均为m,分别用绝缘细线悬挂于天花板上同一点,平衡时,B球偏离竖直方向θ角,A球竖直且与绝缘墙壁接触,此时A、B两球位于同一高度且相距L。求:
(1)每个小球带的电荷量q;
(2)B球所受绳的拉力T的大小;
(3)墙壁对A球的弹力N。
解析:(1)对B球受力分析如图所示。B球受三个力且处于平衡状态,其中重力与库仑力的合力大小等于绳子拉力的大小,方向与绳子拉力方向相反,由图可知F库=mgtan θ=,
解得q=L。
(2)由B球的受力分析知,
T=。
(3)分析A球的受力情况知
N=F库=,
得N=mgtan θ。
答案:(1)L　(2) (3)mgtan θ
(1)两个点电荷之间的静电力遵循牛顿第三定律,不论电荷量大小如何,两个点电荷之间的静电力总是大小相等,方向相反。
(2)分析带电体在静电力作用下的平衡问题时,方法与分析力学中物体的平衡问题一样,不过在原来受力分析的基础上多了静电力,常用方法有合成法和正交分解法。
[针对训练2] 在边长为a的正方形的每一顶点都放置一个电荷量大小为q的点电荷,点电荷的正负如图所示。如果保持它们的位置不变,则位于A点的点电荷A受到其他三个电荷的静电力的合力大小是(　D　)
A. B.(-)
C.(+) D.
解析:电荷D对电荷A的库仑斥力为F1=k,电荷B和电荷C对电荷A的库仑力大小均为F2=F3=k,但两力方向垂直,且两力的合力 F2与F1垂直,根据力的合成法则,电荷A所受的静电力大小为F===。
要点三　静电力在动力学中的应用
如图所示,在光滑绝缘水平面上固定一大的带电物体,在带电物体的右侧放一带同种电荷的小球,你将看到小球做什么运动
答案:在静电力作用下,小球将向右做加速度减小的加速运动。
处理电荷间相互作用的动力学问题,方法与力学中的方法相同,首先分析带电体受到的所有力,再依据牛顿第二定律F合=ma进行求解。对相互作用的系统,要注意灵活使用整体法与隔离法。
[例3] 如图所示,光滑绝缘细杆竖直放置,细杆右侧距杆0.3 m的C处有一固定的电荷量为Q的正点电荷,A、B是细杆上的两点,点A与C、点B与C的连线与杆的夹角均为α=37°。一中间有小孔的带正电小球(电荷量为q)穿在绝缘细杆上滑下,通过A点时加速度为零,速度为3 m/s,g取10 m/s2,求小球下落到B点时的加速度。
解析:在A处,由题意可知
kcos α-mg=0,
在B处,由题意可知
kcos α+mg=ma,
由以上两式解得a=2g=20 m/s2,
方向竖直向下。
答案:20 m/s2
静电力跟重力、弹力、摩擦力一样,都是性质力,受力分析时应包括静电力。正确判断静电力的大小和方向后,即可将题目转化为力学问题,然后根据力学知识进行求解。
[针对训练3] A、B两带电小球,A固定不动,B的质量为m,在库仑力作用下,B由静止开始运动。已知初始时,A、B间的距离为d,B的加速度为a,经过一段时间后,B的加速度为,此时A、B间距应为多少
解析:当距离为d时,根据库仑定律和牛顿第二定律得
k=ma,
当距离为x时,k=m·a,
解得x=2d。
答案:2d
三点电荷的平衡
1.平衡条件:三个点电荷在光滑绝缘的水平面上放置,每个点电荷在库仑力作用下平衡。
2.平衡结论
(1)电性上:两同夹一异。
(2)电荷量上:两大夹一小。
(3)距离上:近小远大。
(4)电荷量关系:+=,其中q2在三个点电荷的中间,且电荷量最小;q1、q3分居q2的两侧,且离q2较远的电荷量最大。
[示例] 如图所示,三个点电荷q1、q2、q3固定在一直线上,q2与q3间距离为q1与q2间距离的2倍,每个点电荷所受静电力的合力均为零,由此可以判定,三个点电荷的电荷量之比为(　A　)
A.(-9)∶4∶(-36) B.9∶4∶36
C.(-3)∶2∶(-6) D.3∶2∶6
解析:本题可运用排除法解答。分别取三个点电荷为研究对象,由于每个点电荷所受静电力合力均为零,所以这三个点电荷不可能是同种电荷,这样可立即排除B,D选项,故正确选项只可能在A,C中。若选q2为研究对象,由库仑定律知=,因而得q1=q3,即q3=4q1,选项A正确,C错误。
称量中的静电干扰
　　微小量的粉末状样品、称量纸、玻璃容器非常容易因摩擦产生静电,产生的静电力会直接影响到称量的结果。一般情况下,这种静电力的影响会达到零点几毫克,所以对精确度1 mg以内的称量,静电是不能回避的干扰。静电干扰下的称量在实际称量工作中,百分之八十以上的用户没有采取消除静电干扰的措施。在0.01 mg、0.001 mg、0.000 1 mg 的绝缘样品或使用绝缘容器的称量中,称量结果呈现不稳定的大范围浮动。用户往往等待称量结果基本稳定后读取称量结果,而实际上这是在静电力基本稳定后的结果。这个结果并不是称量样品的质量,而是重力叠加静电力的结果。
[示例] 如图所示,固定一带负电小球a的绝缘支架放在电子秤上,此时电子秤示数为F,现将带等量负电的另一小球b移至距离小球a正上方L处时,电子秤示数为F1,若只将小球b的电性改为正电荷,电子秤示数为F2,则(　D　)
A.F1=F2
B.F1+F2=F
C.若小球b带负电,L增大,则F1也增大
D.若小球b带正电,L减小,则F2也减小
解析:将带等量负电的小球b移至距离小球a正上方L处时,b对a有向下的静电力作用,设为F′,则示数F1=F+F′,若只将小球b的电性改为正电荷,b对a有向上的静电力作用,则示数为F2=F-F′,所以F1>F2,F1+F2=2F,故A,B错误;若小球b带负电,L增大,根据库仑定律可知,F′减小,则F1减小,故C错误;若小球b带正电,L减小,根据库仑定律可知,F′增大,则F2=F-F′减小,故D正确。
课时作业
1.下列哪些带电体可视为点电荷 (　C　)
A.电子和质子在任何情况下都可视为点电荷
B.在计算库仑力时带电的绝缘球体可视为点电荷
C.带电的细杆在一定条件下可以视为点电荷
D.带电的金属球一定不能视为点电荷
解析:电子和质子在研究的范围非常小,可以与它的大小差不多时,不能视为点电荷,选项A错误;在计算库仑力时,带电的绝缘球体在一定的条件下可视为点电荷,选项B错误;带电的细杆在它的大小相比研究的范围来说可以忽略不计时,可以视为点电荷,选项C正确;带电的金属球在它的大小相比研究的范围来说可以忽略不计时,可以视为点电荷,选项D错误。
2.关于对库仑定律的理解,下列说法正确的是(　C　)
A.对任何带电体之间的静电力计算,都可以使用库仑定律公式
B.只要是点电荷之间的静电力计算,就可以使用库仑定律公式
C.两个点电荷之间的静电力,无论是在真空中还是在介质中,对两个点电荷而言一定是大小相等、方向相反的
D.毛皮摩擦过的橡胶棒吸引碎纸屑,说明碎纸屑一定带正电
解析:库仑定律适用于真空中静止的点电荷,故A,B错误;库仑力也符合牛顿第三定律,C正确;毛皮摩擦过的橡胶棒会带负电,从而吸引纸屑,纸屑带正电或不带电都可以,D错误。
3.如图所示,在绝缘光滑水平面上,相隔一定距离有两个带同种电荷的小球,同时从静止释放,则两个小球的加速度大小和速度大小随时间变化的情况是(　C　)
A.速度变大,加速度变大 B.速度变小,加速度变小
C.速度变大,加速度变小 D.速度变小,加速度变大
解析:因电荷间的静电力与电荷的运动方向相同,故电荷将一直做加速运动,又由于两电荷间距离增大,由库仑定律可知它们之间的静电力越来越小,由牛顿第二定律可知,加速度越来越小。
4.两个半径为r的相同金属球带上异种电荷,已知q1=3q2,两球心相距10r,其相互作用力为F1。现将两球接触后分开,再放回原处,这时两球间的相互作用力为F2,则(　D　)
A.F2=F1 B.F2=
C.F2> D.F2<
解析:根据题意,两球接触后分开,每个球的带电荷量应是q2。当两球带异种电荷时,由于电荷间的吸引,电荷在金属球表面不再均匀分布,两球表面所带电荷的“等效中心”位置之间的距离必定小于10r,
如图甲所示。
应用库仑定律,则F1>k=k。
同理,当两球带同种电荷时,两球表面所带电荷的“等效中心”位置之间的距离必定大于10r,如图乙所示。
则F2<=。
因此F2必定小于F1,故应选D。
5.如图所示,两个完全相同的金属球a与b,将它们固定于绝缘支座上,两球心间的距离为l,为球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷,电荷量均为Q,a、b两球之间的库仑力为F1;将两球换为绝缘球,所带电荷量均为Q,且电荷均匀分布在球面上,此时a、b两球之间的库仑力为F2,则(　C　)
A.F1=k,F2=k B.F1≠k,F2≠k
C.F1≠k,F2=k D.F1=k,F2≠k
解析:库仑定律的适用条件为点电荷或均匀带电球(或球壳)。若两球为绝缘球,电荷均匀分布在球面上,则可以直接用库仑定律求出库仑力,因此F2=k;若为金属球,由于两球间距离较近,球上的电荷间存在相互作用力,电荷并不是均匀分布的,相互靠近的一侧电荷分布较密集,此时不能将两带电球看作点电荷,所以不能用库仑定律求解,
选项C正确。
6.设某星球带负电,一带电粉尘悬浮在距该星球表面 1 000 km 的地方,又若将同样的带电粉尘带到距星球表面2 000 km的地方相对于该星球无初速释放,则此带电粉尘(　B　)
A.向星球下落 B.仍在原处悬浮
C.推向太空 D.无法判断
解析:当带负电粉尘在高度为H处平衡,有G=k,r为星球的半径。当粉尘高度变为2H时,两力仍然平衡,故B正确。
7.如图所示,将带电荷量为q的小球A固定在绝缘支架上,将另一质量为m,电荷量相等的带电小球B放在距离A球正上方r(r远远大于小球直径)处恰好处于平衡状态,则(　B　)
A.A、B两球可能带异种电荷
B.两小球的电荷量q=
C.如果小球B的质量变为2m,则A、B两球的距离为2r
D.如果小球B的电荷量变为2q,则A、B两球的距离为2r
解析:对小球B受力分析可知,小球B受重力,库仑力两力平衡,所以库仑力竖直向上,所以两球应带同种电荷,故A错误;由B球受力平衡可知,mg=k,解得q=,故B正确;由B球受力平衡可知,mg=k,
解得r=,当小球B的质量变为2m,则A,B两球的距离为r,如果小球B的电荷量变为2q,则A,B两球的距离为r,故C,D错误。
8.(多选)两个相同的金属球A和B,A球带正电,B球带负电,且QA与QB的大小之比是4∶1,带电金属球可视为点电荷。若在A、B连线上的某点C放一个点电荷QC,A、B两球对点电荷作用的静电力刚好平衡,则(　AD　)
A.C点一定在连线的B球的外侧
B.C点一定在连线的A球的外侧
C.C点一定在A、B两球之间
D.C点的点电荷一定带正电
解析:因为A球带正电,B球带负电,只要放入的电荷受到的合力为0即可,QA与QB的大小之比是4∶1,通过受力分析,并由库仑定律可知,对C点则有rA>rB,而且保证两个力的方向相反,所以C点应在AB连线的B点的外侧,且C点的点电荷带正电,故A,D正确,B,C错误。
9.如图所示,质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点,带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上,其中O点与小球A的间距为l,O点与小球B的间距为 l。当小球A平衡时,悬线与竖直方向夹角θ=30°,带电小球A,B均可视为点电荷,静电力常量为k,则(　B　)
A.A、B间库仑力大小F=
B.A、B间库仑力大小F=
C.细线拉力大小FT=
D.细线拉力大小FT=mg
解析:对A的受力分析如图所示。
几何三角形OAB与力三角形相似,由相似三角形得=,则FT=,由余弦定理得lAB==l,则F=FT==,故B正确。
10.两个质量都为m=×10-2 kg的导体球,分别被两根长0.04 m的绝缘丝线吊在同一点上。它们带上等量同种电荷后,两球互相排斥,至图示位置平衡时两线间夹角为60°,静电力常量k=9×109 N·m2/ C2,重力加速度g取10 N/kg。求:
(1)两球间静电力的大小;
(2)每个导体球所带的电荷量。
解析:(1)对左侧导体球进行受力分析如图所示,
由平衡条件可得F=mgtan 30°=0.1 N。
(2)由几何关系知,两球间距离为 0.04 m,
由库仑定律得F==0.1 N,
可解得q=×10-7 C。
答案:(1)0.1 N　(2)×10-7 C
11.如图所示,粗糙水平面上有一倾角为θ、质量为M的斜面体,斜面体上有一可视为点电荷的质量为M的物体P。在与P等高(PQ连线水平)且相距为r的右侧固定一个可视为点电荷的物体Q,P、Q所带电荷量相同。P静止且受斜面体的摩擦力为零,斜面体保持静止,已知静电力常量为k,重力加速度为g。求:
(1)P、Q分别所带电荷量;
(2)斜面体所受地面的摩擦力大小;
(3)斜面体对地面的压力大小。
解析:(1)对物体P受力分析,物体P受到水平向左的库仑力F库,垂直斜面向上的支持力FN,竖直向下的重力Mg,根据平衡条件有
tan θ=,
设P,Q所带电荷量的大小为q,
由库仑定律得F库=k,
解得q=。
(2)对斜面体受力分析可知,斜面体受到竖直向下的重力Mg,竖直向上的支持力,垂直斜面向下的压力FN′和水平向右的摩擦力Ff,
所以Ff=FN′sin θ,FN′=,联立解得Ff=Mgtan θ。
(3)对斜面体和物体P整体受力分析可知,受到竖直向下的重力、竖直向上的支持力、水平向左的库仑力和水平向右的摩擦力,竖直方向上受力平衡,所以地面对斜面体的支持力F支=2Mg,由牛顿第三定律可知,斜面体对地面的压力大小为2Mg。
答案:(1)均为
(2)Mgtan θ
(3)2Mg3　静电场　电场强度和电场线
学习目标 成长记录
1.了解电场是电荷周围客观存在的一种特殊物质。 知识点一
2.理解电场强度的概念及公式,并会运用公式进行有关的计算。 知识点二&要点一
3.理解点电荷的电场强度及电场强度叠加原理。 知识点三&要点二
4.理解电场线的概念、特点,了解典型场的电场线的分布,知道什么是匀强电场。 知识点四&要点三
知识点一　静电场
电荷在它周围空间产生电场,电荷与电荷之间的相互作用力就是通过电场而发生的。电场对电荷的作用力称为电场力。场是物质存在的一种形态。静止电荷周围产生的电场称为静电场。
知识点二　电场强度
1.检验电荷:为了研究电场而引入的电荷量充分小,体积充分小的电荷。
2.电场强度
(1)定义:放入电场中某点的检验电荷所受的电场力与它的电荷量之比,叫作该点的电场强度。反映了电场在各点的性质。
(2)定义式:E=。
(3)单位:牛每库,符号是N/C。
(4)方向:电场强度是矢量,电场中某点的电场强度的方向就是该点的正电荷所受电场力方向。
知识点三　点电荷的电场　电场强度的叠加
1.真空中点电荷的电场强度
(1)电场强度公式:E=k,其中k是静电力常量,Q是场源电荷的电荷量。
(2)方向:以电荷量为Q的点电荷为中心作一个球面,当Q为正电荷时,电场强度E的方向沿半径向外;当Q为负电荷时,电场强度E的方向沿半径向内。
2.电场强度的叠加
电场强度是矢量,如果场源是多个点电荷,则电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和。
知识点四　电场线
1.意义:电场线上每一点的切线方向都和该处的场强方向一致,某一区域电场线的疏密反映了这一区域电场强度的大小。
2.特点
(1)在静电场中,电场线起始于正电荷,终止于负电荷或无穷远处;或者起始于无穷远处,终止于负电荷;在没有电荷的地方,电场线不能中断。
(2)任何两条电场线都不会相交。
3.匀强电场
(1)定义:各点场强的大小和方向都相同的电场。
(2)电场线的分布:电场线相互平行而且分布均匀。
1.思考判断
(1)电场看不见,摸不着,因此电场实际不存在。(　×　)
(2)据公式E=可计算电场强度大小,但电场强度由电场本身决定,与F、q大小无关。(　√　)
(3)用正、负两种试探电荷检验电场中某点电场强度方向时,由于受力方向相反,则得到同一点电场强度有两个方向。(　×　)
(4)电场强度的叠加满足平行四边形定则。(　√　)
(5)电场线可以描述电场的强弱,也能描述电场的方向。(　√　)
2.思维探究
(1)电场是一种物质,那么场这种物质和实物的差别在哪里
(2)根据电场强度的定义式E=,是不是只有试探电荷q存在时,电场才存在
(3)在电场线是曲线的静电场中,带电粒子只在静电力作用下运动的轨迹会与电场线重合吗
答案:(1)实物所占据的空间不能再被另一实物所占据,但几个场可以同时占据同一个空间。
(2)不是,电场是由场源电荷产生的,与试探电荷是否存在没有关系。
(3)不重合,假设轨迹与电场线重合,由曲线运动的条件可知静电力必定指向弯曲电场线的内侧,但静电力方向一定与电场线相切,这样就出现了矛盾,所以假设不成立。
要点一　电场强度的理解
天体之间没有直接接触,就有引力作用,这种作用是通过引力场传递的,电荷与电荷之间的相互作用是通过电场来实现的。试问:
(1)你知道哪里有电场吗
(2)电场的强弱怎样描述
答案:(1)带电体的周围存在电场。
(2)电场的强弱用电场强度来描述。
1.固有性:电场中某点的电场强度E是固有的,是由电场本身决定的。电场中不同的地方,电场强度一般是不同的。
2.矢量性:电场强度描述了电场的强弱,是矢量,其方向与在该点的正电荷所受静电力的方向相同,与在该点的负电荷所受静电力的方向相反。
3.公式E=与E=的区别
公式 物理含义 引入过程 适用范围
E= 是电场强度大小的定义式 F∝q,但E与F、q无关,E反映某点处电场的性质 适用于一切电场
E=k 是真空中点电荷电场强度的决定式 由E=和库仑定律导出,E由Q、r决定 在真空中,场源电荷Q是点电荷
[例1] (多选)对于电场强度的两个公式E=和E=,下列说法正确的是(　BC　)
A.由公式E=得F越大,E越大
B.电场强度E与F、q无关
C.由公式E=得Q越大,E越大;r越大,E越小
D.公式E=适用于任何电场
解析:公式E=适用于任何电场,且E与F、q无关,A错误,B正确;E=适用于真空中点电荷的电场,但当r趋近于0时,带电体不能再看作点电荷,公式不再成立,C正确,D错误。
(1)电场强度由形成电场的源电荷及空间位置等因素决定,与是否放入检验电荷、放入电荷的电性、电荷量的多少均无关。
(2)定义式E=给出了一种测量或计算电场中某点电场强度的方法,不能说E与F成正比,也不能说E与q成反比;决定式E=k给出了从理论上分析点电荷电场强度的方法,可以说E与Q成正比,与r2成反比。
[针对训练1] 有关电场强度的理解,下述说法正确的是(　D　)
A.由E=可知,电场强度E跟放入的电荷q所受的静电力F成正比
B.当电场中存在试探电荷时,电荷周围才出现电场这种特殊的物质,才存在电场强度
C.由F=k可知,在离点电荷很近的地方,r接近于零,电场强度为无穷大
D.电场强度是反映电场本身特性的物理量,与是否存在试探电荷无关
解析:电场强度E可以根据定义式E=来测量,但与试探电荷的受力和试探电荷的电荷量无关,是由电场本身决定的,是电场的一种性质,与试探电荷是否存在无关,故A,B错误,D正确;点电荷电场强度的决定式E=k不适用于r接近零的情况,故C错误。
要点二　电场强度的叠加
如图所示,Q和Q′均为正点电荷,且电荷量Q=Q′。
(1)正点电荷Q在q处产生的电场强度为多大 沿什么方向
(2)正点电荷Q和Q′在q处产生的合场强为多大 沿什么方向
答案:(1)电场强度大小为,方向沿Q、q的连线,水平向右。
(2)根据平行四边形定则可知,合场强大小为,方向斜向右上方,与水平方向夹角为45°。
1.有几个场源电荷,就产生几个电场,各场源点电荷在某处产生的电场强度均可用E=k求得。
2.电场强度是矢量,故当某处同时存在几个电场时,该处的电场强度为各个电场强度的矢量和。
[例2] 如图,在(a,0)位置放置电荷量为q的正点电荷,在(0,a)位置放置电荷量为q的负点电荷,在距P(a,a)为a的某点处放置正点电荷Q,使得P点的电场强度为零。则Q的位置及电荷量分别为(　B　)
A.(0,2a),q B.(0,2a),2q
C.(2a,0),q D.(2a,0),2q
解析:根据点电荷的电场强度公式E=k,两异种点电荷在P点的电场强度大小均为E0=,方向如图所示,二者在P点的合电场强度为E1=E0=,方向与+q点电荷、-q点电荷的连线平行,如图所示,Q点电荷在P点的电场强度大小为E2=k=,三点电荷的合电场强度为0,则E2方向如图所示,大小有E1=E2,解得Q=2q,由几何关系可知Q的坐标为(0,2a),故选B。
(1)电场强度是矢量,合成时遵循矢量运算法则,常用的方法有图解法、解析法、正交分解法等;对于同一直线上电场强度的合成,可先规定正方向,进而把矢量运算转化成代数运算。
(2)当两矢量满足大小相等、方向相反、作用在同一直线上时,两矢量合成叠加,合矢量为零,这样的矢量称为“对称矢量”,在电场的叠加中,注意图形的对称性,发现对称矢量可简化计算。
[针对训练2] 如图所示,空间中A、B、C三点的连线恰好构成一直角三角形,且∠C=30°,AB=L,在B、C两点分别放置一点电荷,它们的电荷量分别是+Q与-Q(静电力常量为k)。求斜边AC的中点D处的电场强度。
解析:连接BD,三角形ABD为等边三角形,可得BD=CD=AB=L。点电荷+Q与-Q在D处产生的场强大小均为E1=k,方向如图所示,二者之间夹角大小为60°。据电场的叠加原理可知,D处的电场强度为这两个场强的矢量和,可解得E=2E1cos 30°=2××=,方向水平向右。
答案:,方向水平向右
要点三　电场线的理解
如图所示,在电场线的模拟实验中,头发碎屑悬浮在蓖麻油内,油中放入电极,电极周围产生电场,头发碎屑排列起来的形状显示出电场线的分布。这说明电场线是客观存在的,对吗
答案:不对,电场线是为了形象地描述电场而假想的线,实际上并不存在。我们用无数头发碎屑在静电力的作用下排列起来的形状来模拟电场线。
1.点电荷的电场线
(1)点电荷的电场线呈辐射状,正电荷的电场线向外至无限远,负电荷则相反。
(2)以点电荷为球心的球面上,电场线疏密相同,但方向不同,说明电场强度大小相等,但方向不同。
(3)同一条电场线上,电场强度方向相同,但大小不等。实际上,点电荷形成的电场中,任意两点的电场强度都不同。
2.等量异种点电荷与等量同种点电荷的电场线
类型 等量异种点电荷 等量同种(正)点电荷
分布图
连线上的 电场强度 O点最小,从O点沿连线向两边逐渐变大 O点为零,从O点沿连线向两边逐渐变大
中垂面 (线)上的 电场强度 O点最大,从O点沿中垂线向两边逐渐变小 O点为零,从O点沿中垂线向两边先变大后变小
对称的点 A与A′,B与B′的电场强度等大同向 A与A′,B与B′的电场强度等大反向
3.电场线与带电粒子运动轨迹的关系
(1)电场线不是带电粒子的运动轨迹,电场线与运动轨迹不一定重合。
(2)如果不同时具备以下条件,运动轨迹不可能与电场线重合。
①电场线为直线。
②带电粒子的初速度为零,或初速度沿电场线所在直线。
③带电粒子只受静电力,或其他力的合力沿电场线所在直线。
[例3] (多选)某静电场中的电场线如图所示,带电粒子在电场中仅受静电力作用,其运动轨迹如图中虚线所示,由M运动到N,以下说法正确的是(　CD　)
A.粒子必定带负电荷
B.由于M点没有电场线,粒子在M点不受静电力的作用
C.粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D.粒子在M点的动能小于在N点的动能
解析:根据电荷运动轨迹弯曲的情况,可以确定点电荷受静电力的方向沿电场线切线方向,故此点电荷带正电,选项A错误;电场线是形象描述电场的工具,M点没有电场线,在M点依然有电场,选项B错误;由于电场线越密,电场强度越大,点电荷受到的静电力就越大,其加速度也越大,选项C正确;粒子从M点运动到N点,静电力做正功,点电荷在N点的动能大,选项D正确。
(1)电场线是为了形象地描述电场而引入的假想曲线,而带电粒子在电场中的运动轨迹是带电粒子在电场中实际通过的径迹,所以电场线不是带电粒子的运动轨迹。
(2)带电粒子只在静电力作用下做曲线运动时,由物体做曲线运动的条件可知静电力一定指向曲线弯曲的内侧,又因为静电力一定与电场线相切,所以运动轨迹与电场线是相交的,不可能重合。
(3)电场线上某点切线的方向表示该点电场强度的方向,不表示速度的方向。正试探电荷受到的静电力的方向沿该点切线方向,负试探电荷受到的静电力的方向沿该点切线方向的反方向。
[针对训练3] (多选)如图所示为电场中的一条电场线,在该电场线上有a、b两点,用Ea、Eb分别表示两点电场强度的大小,则(　AD　)
A.a、b两点的电场强度方向相同
B.因为电场线由a指向b,所以Ea>Eb
C.因为电场线是直线,所以Ea=Eb
D.不知道a、b附近电场线的分布情况,Ea、Eb的大小不能确定
解析:电场线的疏密程度反映了电场强度的大小,由于只有一条电场线,题目中也没有明确指出这条电场线是什么电场中的电场线,故无法判断a、b两点的电场强度大小;电场线的切线方向表示电场强度的方向,故a、b两点的电场强度方向相同。故B,C错误,A,D正确。
巧用对称法求解电场强度
　　　所谓对称法,实际上是根据某些物理现象、物理规律、物理过程或几何图形的对称性进行解题的一种方法,也称为镜像法。利用此方法分析解决问题可以避免复杂的数学演算和推导,直接抓住问题的本质,便于求解。在计算电场强度时,往往涉及对称思想。
[示例] 如图所示,16个电荷量均为+q(q>0)的小球(可视为点电荷)均匀分布在半径为R的圆周上。若将圆周上P点的一个小球的电荷量换成-2q,则圆心O处的电场强度的大小为(　C　)
A. B.
C. D.
解析:圆周上均匀分布的是16个电荷量都为+q的小球,由于圆周的对称性,圆心处电场强度为0。P处一个小球q在圆心处产生的电场强度大小E1=k,方向水平向左,可知其余15个小球在圆心处的电场强度大小E2=E1=k,方向水平向右,P点放上电荷量为-2q的小球时,在圆心处产生的电场强度大小E3=k,方向水平向右。根据电场的叠加有E2+E3=E,则得E=,故选C。(也可运用等效替代法,看作空间内仅有P点存在一个带电荷量为-3q的小球)
　静电除尘
　　静电除尘是气体除尘方法的一种,其原理是利用静电场使气体电离从而使尘粒带电吸附到电极上的收尘方法,在强电场中空气分子被电离为正离子和电子,电子奔向正极过程中遇到尘粒,使尘粒带负电吸附到正极被收集,当然通过技术创新,也有采用负极板集尘的方式。以往常用于以煤为燃料的工厂、电站,收集烟气中的煤灰和粉尘。冶金中用于收集锡、锌、铅等的氧化物,现在也有可以用于家居的除尘灭菌产品。
[示例] 静电除尘器是目前普遍采用的一种高效除尘器。某除尘器模型的收尘板是很长的条形金属板,图中直线ab为该收尘板的横截面。工作时收尘板带正电,其左侧的电场线分布如图所示;粉尘带负电,在静电力作用下向收尘板运动,最后落在收尘板上。若用粗黑曲线表示原来静止于P点的带电粉尘颗粒的运动轨迹,下列四幅图中可能正确的是(忽略重力和空气阻力)(　B　)
解析:粉尘受力方向应该与电场线的切线方向相反,从静止开始在非匀强电场中运动时,带电粉尘颗粒一定做曲线运动,且运动曲线总是向静电力一侧弯曲,运动轨迹介于P点切线与经P点的电场线之间,故带电粉尘应沿B图所示曲线运动;不可能偏向同一电场线内侧或沿电场线运动或振动,故不可能出现A,C,D图的情况,B正确。
课时作业
1.下列有关电场强度的定义式E=的说法正确的是(　D　)
A.该定义式只适用于点电荷产生的电场
B.F是试探电荷所受到的力,q是产生电场的电荷所带的电荷量
C.电场强度方向与F的方向相同
D.由该定义式可知,场中某点电荷所受的静电力大小与该点电场强度的大小成正比
解析:定义式E=对任何电场都适用,所以选项A错误;公式中F是试探电荷在这一点所受的静电力大小,q是指试探电荷的电荷量,所以选项B错误;电场强度方向与正电荷在该点所受静电力F的方向相同,与负电荷所受静电力F的方向相反,所以选项C错误;由定义式可得
F与E成正比,所以选项D正确。
2.(多选)真空中距点电荷(电荷量为Q)为r的A点处,放一个带电荷量为q(q Q)的点电荷,q受到的静电力大小为F,则A点的电场强度为(　BD　)
A. B.
C.k D.k
解析:由电场强度的定义可知A点电场强度为E=,又由库仑定律知F=,代入后得E=k,故选项B,D正确,A,C错误。
3.(多选)如图所示,在负点电荷Q的电场中,a、b两点位于Q为圆心的同一圆周上,a、c两点位于同一条电场线上,则以下说法正确的是(　AD　)
A.a、b两点电场强度大小相等
B.同一试探电荷在a、b两点所受静电力相同
C.a、c两点电场强度大小关系为Ea>Ec
D.a、c两点电场强度方向相同
解析:负点电荷形成的电场中,各点的电场强度方向都由该点指向场源电荷,a、b两点处在同一圆周上,电场线疏密程度相同,因此a、b两点电场强度大小相等,但方向不同,放同一试探电荷在a、b两点所受静电力大小相等,方向不同,故A项正确,B项错误;a、c两点在同一条电场线上,因此两点的电场强度方向相同,故D项正确;由于c处电场线比a处密,故a、c两点电场强度大小关系为Ec>Ea,C项错误。
4.如图所示,一个质量为30 g、带电荷量为-1.7×10-8 C的半径极小的小球用丝线悬挂在某匀强电场中,电场线与水平面平行。当小球静止时,测得悬线与竖直方向夹角为30°,则匀强电场方向和大小分别为(g取10 m/s2)(　B　)
A.水平向右,5×106 N/C
B.水平向右,1×107 N/C
C.水平向左,5×106 N/C
D.水平向左,1×107 N/C
解析:对小球受力分析,如图所示。因为小球处于平衡状态,所以静电力F水平向左,小球带负电,所受静电力方向与电场强度方向相反,所以电场强度方向水平向右。根据平衡条件,有F=mgtan 30°,又F=Eq,则E=,代入数据得E=1×107 N/C,故选项B正确。
5.如图所示是某静电场的一部分电场线分布情况,下列说法中正确的是(　B　)
A.这个电场可能是负点电荷的电场
B.点电荷q在A点处受到的静电力比在B点处受到的静电力大
C.负电荷在B点处受到的静电力的方向沿电场线的切线方向
D.点电荷q在A点处的瞬时加速度比在B点处的瞬时加速度小
(不计重力)
解析:负点电荷的电场线是从四周无限远处不同方向指向负点电荷的直线,故A错误;电场线越密的地方电场强度越大,由题图知EA>EB,又因F=qE,得FA>FB,故B正确;由a=知,a∝F,所以aA>aB,故D错误;B点电场线的切线方向为该点电场强度的方向,负电荷在此受到的静电力的方向与电场强度的方向相反,故C错误。
6.(多选)某电场的电场线分布如图所示,则(　AD　)
A.电荷P带正电
B.电荷P带负电
C.a点的电场强度大于b点的电场强度
D.正试探电荷在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力
解析:电场线从正电荷出发,故A正确,B错误;由电场线的分布情况可知,b点处电场线比a点处密,所以b点的电场强度大于a点的电场强度,故C错误;c点的电场强度大于d点的电场强度,所以正试探电荷在c点受到的静电力大于在d点受到的静电力,故D正确。
7.在一个等边三角形ABC顶点B和C处各放一个电荷量相同的点电荷时,测得A处的电场强度大小为E,方向与BC边平行沿B指向C,如图所示。拿走C处的点电荷后,A处电场强度情况将是(　B　)
A.大小仍为E,方向由A指向B
B.大小仍为E,方向由B指向A
C.大小变为,方向不变
D.0
解析:由题意可知,两个顶点B、C处各放一个点电荷,测得A处的电场强度大小为E,方向与BC边平行沿B指向C,根据平行四边形定则作出B处点电荷在A处的电场强度EB和C处点电荷在A处的电场强度EC的合电场强度E,由于三角形ABC是等边三角形,所以EB和EC的夹角为120°,由几何知识可知EB=EC=E,B处点电荷在A处的电场强度EB的方向由B指向A,当拿走C处的点电荷后,则A处电场强度的大小仍为E,方向由B指向A,故选项B正确,A,C,D错误。
8.如图所示,真空中O点有一点电荷,在它产生的电场中有A、B两点,A点的电场强度大小为EA,方向与AB连线成60°角,B点的电场强度大小为EB,方向与AB连线成30°角。关于A、B两点电场强度大小EA、EB的关系,以下结论正确的是(　D　)
A.EA=EB B.EA=EB
C.EA=EB D.EA=3EB
解析:由题图可知,rB=rA,再由E=可知,==3,故D正确。
9.如图所示,在真空中存在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场,A、B两点分别固定着等量异种点电荷+Q和-Q。O是线段AB的中点,C是线段AB的中垂线上的一点,且∠CAB=60°。若O点的电场强度大小为5E,则C点的电场强度大小为(　B　)
A.E B.E C.2E D.E
解析:根据电场强度的矢量合成可知,O点的电场强度为匀强电场的电场强度E以及+Q和-Q在O点形成电场强度E′的矢量和,设A、B距离为2r,则有5E=E+2E′=E+2k,可得E′=k=2E;在C点,+Q和-Q在C点的电场强度E″大小相等,且夹角为120°, 故二者的合电场强度仍为E″,方向水平向右,有E″=k=k=E,故C点处的电场强度大小为E合=E+E″=E,故B正确。
10.(多选)如图,光滑绝缘细杆与水平面成θ角固定,杆上套有一带正电的小球,质量为m,带电荷量为q。为使小球静止在杆上,可加一匀强电场。所加电场的电场强度满足什么条件时,小球可在杆上保持静止 (　AD　)
A.竖直向上,电场强度大小为
B.垂直于杆斜向上,电场强度大小为
C.水平向右,电场强度大小为
D.平行于杆斜向上,电场强度大小为
解析:若电场方向竖直向上,此时球受两个力,竖直向上的电场力和竖直向下的重力,根据二力平衡可知,Eq=mg,所以有E=,故A正确;
若电场方向垂直于杆斜向上,小球受到的电场力方向也垂直于杆斜向上,在垂直于杆的方向小球受力能平衡,而在平行于杆方向,重力有沿杆向下的分力,没有力与之平衡,则小球将向下滑动,不能保持静止,故B错误;若电场方向水平向右,此时受三个力,重力、电场力和支持力。重力和电场力垂直于杆方向的分力的合力和支持力等值反向,重力和电场力沿杆方向的分力大小相等,方向相反,有mgsin θ=Eqcos θ,
所以有E=,故C错误;如电场方向平行于杆斜向上,此时受三个力,重力、沿杆方向的电场力和支持力。重力和电场力垂直于杆方向的分力的合力和支持力等值反向,重力沿杆方向的分力和电场力大小相等,方向相反,有mgsin θ=Eq,可得E=,故D正确。
11.如图所示,A、B为体积可忽略的带电小球,QA=2×10-8 C,QB=-2×10-8 C,
A,B相距3 cm。在水平外电场的作用下,A、B两球保持静止,悬线都沿竖直方向。求:(已知静电力常量 k=9×109 N·m2/C2)
(1)A、B两球之间的库仑力;
(2)外电场的电场强度的大小和方向;
(3)AB中点处O点的合电场强度的大小和方向。
解析:(1)根据库仑定律可知,A、B之间的库仑力
F=k=9×109× N=4×10-3 N。
(2)由小球静止时悬线竖直可知,外电场给小球的静电力与它们之间的库仑力大小相等,方向相反,故外电场的方向为水平向左,以A球为研究对象,由平衡条件得EQA=k,
解得E=2×105 N/C,方向水平向左。
(3)O点的电场强度为外电场和A、B两球分别在该点产生的电场强度的矢量和。
A、B两球在该点产生的电场强度方向都向右,
EAO=EBO=k=8×105 N/C,
故EO=2EAO-E=2×8×105 N/C-2×105 N/C=1.4×106 N/C,方向水平向右。
答案:(1)4×10-3 N　(2)2×105 N/C,方向水平向左　(3)1.4×106 N/C,方向水平向右4　电场力的功　电势能
学习目标 成长记录
1.知道电场力做功的特点,会计算匀强电场中电场力做功。 知识点一&要点一
2.了解电势能的含义,知道电势能的相对性,掌握电场力做功与电势能变化的关系。 知识点二&要点二
知识点一　电场力做功的特点
电场力做功只与移动电荷的电荷量以及起点和终点的位置有关,而与路径无关。
知识点二　电势能
1.定义:电荷在静电场中具有的势能,叫做静电势能,简称电势能,用符号Ep表示。
2.电场力做功与电势能变化的关系
电荷从A点到B点,电场力对电荷所做的功WAB等于起点的电势能减去终点的电势能,即WAB=EpA-EpB。
3.电势能的大小
(1)只有选择了参考点(零电势能位置)之后,电势能才有确定的值。
(2)电荷在电场中某点A处的电势能大小等于将电荷从该点移到零电势能位置B处电场力所做的功,即EpA=WAB。
1.思考判断
(1)只有在带电体只受电场力作用的条件下,电场力做功才与路径无关。(　×　)
(2)电势能是相对的,规定不同的零势能点,电荷在电场中某点的电势能不同。(　√　)
(3)无论正、负电荷,只要电场力做正功,电荷的电势能一定减少。(　√　)
2.思维探究
(1)在电场中确定的两点间移动电荷量大小相等的正、负电荷时,电场力做功与电势能变化有何差异
(2)怎样由电场线判断电势能的变化
答案:(1)在电场中确定的两点间移动电荷量大小相等的正、负电荷时,电场力做的功绝对值相等,正、负不同,电势能的变化量绝对值相等,增减情况相反。
(2)正电荷顺着电场线的方向移动,电势能一定减少,逆着电场线的方向移动,电势能一定增加。负电荷则相反。
要点一　电场力做功
　如图所示,让试探电荷q在电场强度为E的匀强电场中,沿几条不同路径从A点移到B点。
试结合上述情境,讨论下列问题:
(1)分别计算甲、乙、丙三图中静电力对电荷做功的多少。
(2)通过问题(1)中三种情况下的做功的数据,请总结静电力做功的特点。
答案:(1)图甲中,静电力对电荷所做的功W=F·|AB|=qE·|AB|=qE·|AM|。
图乙中,静电力对电荷所做的功W=F·cos θ·|AB|=qE·|AM|。
图丙中,用无数组跟静电力垂直和平行的折线来逼近曲线ANB,与静电力平行的短折线的长度之和等于|AM|,因此静电力对电荷所做的功W=W1+W2+W3+…=qE·|AM|。
(2)静电力做的功只与电荷的起始位置和终止位置有关,与电荷经过的路径无关。
1.匀强电场中电场力做功
W=qELcos θ=qEd,其中q为电荷量,E为电场强度大小,L为位移大小,θ为电场强度与位移的夹角,d为沿电场线方向电荷的位移。
2.电场力做功正、负的判定
根据电场力方向与位移方向或速度方向的夹角判断:
(1)当夹角为锐角时,电场力做正功;
(2)当夹角为直角时,电场力不做功;
(3)当夹角为钝角时,电场力做负功。
[例1] 如图所示,两平行金属板相距10 cm,两板间的匀强电场场强为400 N/C,两板间有A、B、C三点位于直角三角形的顶点上,A、C距上板2 cm,B距下板 2 cm。
(1)若把一个电荷量为3×10-4 C的负电荷沿路径ACB从A点移到B点,电场力做功是多少
(2)若把它从A点沿AB移到B点,电场力做功是多少
(3)若把它从A点沿ACBA路径又移回到A点,电场力做功是多少
解析:(1)负电荷沿路径ACB从A点移到B点时,电场力做的功等于沿AC电场力做的功与沿CB电场力做的功之和。因为沿AC移动电荷,电场力方向与位移方向垂直,所以电场力不做功,即WAC=0,而沿CB移动负电荷,电场力做正功WCB=qE·=3×10-4×400×0.06 J=7.2×10-3 J,
所以WACB=WAC+WCB=7.2×10-3 J。
(2)若把它从A点沿AB移到B点,该电荷沿电场力方向的位移大小为,且电场力做正功,
所以WAB=qE·=7.2×10-3 J。
(3)若把它从A点沿ACBA路径又移回到A点,电场力做功为0。
答案:(1)7.2×10-3 J　(2)7.2×10-3 J　(3)0
电场力做功的求解
匀强电场中电场力是恒力,所以求电场力做功时可直接利用功的定义式求解,但是要注意分析电荷沿电场线方向的位移。就像在重力场中求重力做功时,关键是要找出物体在竖直方向的位移一样。
[针对训练1] 如图所示,在场强为E的水平匀强电场中,一根长为l的绝缘杆,两端分别固定着带有电荷量+q和-q的小球(大小不计)。现让绝缘杆绕中点O逆时针转动α角,则转动中电场力对带电小球做正功还是负功 电场力做的总功是多少
解析:+q在电场中受电场力沿电场线方向而向右,它向左移动要克服电场力做功;-q受电场力与电场线方向相反而向左,它向右移动也要克服电场力做功。所以电场力对带电小球做负功。
每个带电小球的初、末位置沿电场线方向的距离均为d=(1-cos α),
电场力对每个小球做功
W=-Fd=-qE(1-cos α),
总功为W′=2W=-qEl(1-cos α)。
答案:见解析
要点二　电场力做功与电势能变化的关系
(1)如图甲所示,在点电荷+Q形成的电场中,将一个正电荷q1从A点移动到B点,电场力做正功还是做负功 q1在B点时的电势能比在A点时的电势能大还是小
(2)如图乙所示,如果将一个负电荷q2从A点移动到B点,电场力做正功还是做负功 q2在B点时的电势能比在A点时的电势能大还是小
答案:(1)正功;q1在B点的电势能小于在A点的电势能。
(2)负功;q2在B点的电势能大于在A点的电势能。
1.电场力做功与电势能变化的关系
(1)电势能的改变仅由电场力做功来决定。电场力做的功等于电势能的改变量,即WAB=EpA-EpB=-ΔEp。
(2)电场力做功决定电势能的改变量,不能决定电势能的大小。
(3)电荷在电场中移动时,电势能的变化与零势能点的选取无关,仅与电场力做功的多少有关。
(4)电荷在电场中的初、末位置一旦确定,电荷的电势能改变量就唯一确定下来,电场力做的功也就确定了。
2.判断电势能大小的方法
做功 判定法 只要是电场力做正功,电荷的电势能一定减少
只要是电场力做负功(克服电场力做功),电势能一定增加
电场 线法 正电荷顺着电场线的方向移动,电势能一定减少;逆着电场线的方向移动,电势能一定增加
负电荷顺着电场线的方向移动,电势能一定增加;逆着电场线的方向移动,电势能一定减少
电性 判定法 同种电荷相距越近,电势能越大,相距越远,电势能越小;异种电荷相距越近,电势能越小,相距越远,电势能越大
[例2] 如图所示的匀强电场中,有A、B、C三点,AB=5 cm,BC=12 cm,其中AB沿电场方向,BC和电场方向成60°角,一个电荷量为q=4×10-8 C的正电荷从A移到B,静电力做功为W1=1.2×10-7 J。求:
(1)匀强电场的电场强度E的大小;
(2)电荷从A到C,电荷的电势能改变多少
解析:(1)由W1=qE·AB,
得该电场的电场强度大小为E=60 N/C。
(2)电荷从B到C,静电力做功为W2=qE·BC·cos 60°,
得W2=1.44×10-7 J。
电荷从A到C,静电力做功为WAC=W1+W2=2.64×10-7 J,
所以该过程电势能减少了2.64×10-7 J。
答案:(1)60 N/C
(2)减少2.64×10-7 J
(1)电势能的变化与电场力做功具有等值关系,电场力做多少正功,电势能就减少多少;电场力做多少负功,电势能就增加多少。
(2)在同一电场中,同样从A点到B点,移动正电荷与移动负电荷,电荷的电势能的变化是相反的。
(3)对不同电性的电荷,电场对电荷可能是引力,也可能是斥力,所以计算电场力做功时要注意电荷的电性、移动的方向、电场强度的方向等。
[针对训练2] 将电荷量为6×10-6 C的负电荷从电场中的A点移到B点,克服静电力做了3×10-5 J的功,再从B点移到C点,静电力做了1.2×10-5 J的功,则:
(1)电荷从A点移到B点,再从B点移到C点的过程中电势能共改变了多少
(2)如果规定A点的电势能为零,则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少
(3)如果规定B点的电势能为零,则该电荷在A点和C点的电势能分别为多少
解析:(1)电荷从A点移到B点,再从B点移到C点,静电力做功
WAC=WAB+WBC=-3×10-5 J+1.2×10-5 J=-1.8×10-5 J,
则电势能增加了1.8×10-5 J。
(2)如果规定A点的电势能为零,则
EpB=EpA-WAB=3×10-5 J。
同理,C点的电势能为
EpC=EpA-WAC=1.8×10-5 J。
(3)如果规定B点的电势能为零,则该电荷在A点的电势能为
EpA′=EpB′+WAB=-3×10-5 J。
C点的电势能为
EpC′=EpB′-WBC=-1.2×10-5 J。
答案:(1)增加1.8×10-5 J
(2)3×10-5 J　1.8×10-5 J
(3)-3×10-5 J　-1.2×10-5 J
常见电场中的功能问题
　　在处理电场强度的叠加时,等量异种电荷形成的电场与等量同种电荷形成的电场易混淆,应注意两者在中点连线和中垂线上场强的分布特点,这也是进一步判断电场力做功及电势能变化的关键。
[示例] (多选)如图所示,在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷+Q,在x轴上C点有点电荷-Q,且CO=OD,∠ADO=60°,下列说法正确的是(　BD　)
A.O点电场强度为零
B.D点电场强度为零
C.若将点电荷+q从O移向C,电势能增大
D.若将点电荷-q从O移向C,电势能增大
解析:由几何关系可得,AD=CD=BD,∠ADB=120°,设AD=CD=BD=r,根据库仑定律和平行四边形定则可得,A,B两点电荷在D点产生的合场强为k,方向向右;C点的点电荷-Q在D点产生的电场强度为k,方向向左,所以D点的合场强为零,选项B正确,A错误。A,B两点电荷在O点产生的合场强为零,C点的点电荷-Q在O点产生的电场强度为k,方向向左,故三个点电荷在CO线段上的电场强度方向向左,若将点电荷+q从O点移向C点,电场力做正功,电势能减少,若将点电荷-q从O点移向C点,电场力做负功,电势能增大,选项D正确,C错误。
静电喷涂
　　静电喷涂是以被涂物体为正电极,涂料雾化装置为负电极。前者接地,后者通电,这样就形成了两个电极,再利用同性相斥,异性相吸的原理,使涂料由雾化装置处喷出,最后形成了一层平均且牢固的薄膜,这就是静电喷涂的原理。
静电喷涂效率高,漆膜附着力要比手工喷涂的更高一些,而且还能提高油漆的利用率,确保油漆能比较均匀沉积于工件表面。
[示例] 如图所示是静电喷涂原理示意图。喷枪喷嘴与被涂工件之间有强电场,喷嘴喷出的带电涂料微粒在强电场的作用下会向工件高速运动,最后被吸附到工件表面。则可知(　D　)
A.微粒一定带正电
B.微粒可能带正电,也可能带负电
C.微粒运动过程中,电势能越来越大
D.微粒运动过程中,电势能越来越小
解析:带正电的工件由于静电感应电荷分布在表面,涂料微粒在电场力的作用下运动,故微粒带负电,故A,B错误。微粒受电场力的作用,电场力做正功,电势能越来越小,故D正确,C错误。
课时作业
1.(多选)如图所示,以坐标原点O为圆心,半径为r的圆与坐标轴交于a、b、c、d。在O点固定一个正点电荷Q,另外还有一方向与x轴正方向相同,电场强度大小为E的匀强电场。现把一电荷量为+q的点电荷N在圆上移动,则(　BC　)
A.从a移到c,静电力对点电荷N做功为2qEr
B.从a移到c,静电力对点电荷N不做功
C.从d移到b,静电力对点电荷N做功为2qEr
D.从d移到b,静电力对点电荷N不做功
解析:从a移到c,在点电荷Q产生的电场中静电力对点电荷N不做功,在匀强电场中,a、c两处电势相等,静电力对点电荷N也不做功,故A错误,B正确;从d移到b,在点电荷Q产生的电场中静电力对点电荷N不做功,匀强电场对点电荷N做功为W=qE·2r=2qEr,所以静电力做功为2qEr,故C正确,D错误。
2.如图所示,电场中a、b、c三点,ab=bc,则把点电荷+q从a点经b点移到c点的过程中,电场力做功的大小关系有(　C　)
A.Wab>Wbc B.Wab=Wbc
C.Wab解析:由电场线的疏密可知,a点的场强最小,c点的场强最大,位移相同时,bc段受到的平均电场力大,所以Wab错误。
3.如图所示,有一带负电的粒子,自A点沿电场线运动到B点,在此过程中该带电粒子(　B　)
A.所受的电场力逐渐增大,电势能逐渐增加
B.所受的电场力逐渐增大,电势能逐渐减少
C.所受的电场力逐渐减小,电势能逐渐增加
D.所受的电场力逐渐减小,电势能逐渐减少
解析:因为由A到B场强逐渐变大,所以电场力逐渐增大,带负电粒子由A到B电场力对其做正功,所以电势能逐渐减少,故选项B正确。
4.(多选)如图所示,光滑绝缘细杆AB,水平放置于被固定的带负电荷的小球的正上方,小球的电荷量为Q,可视为点电荷。a、b是水平细杆上的两点,一个质量为m、电荷量为q的带正电的小球(可视为质点)套在细杆上,由a点静止释放,在小球由a点运动到b点的过程中,
下列说法中正确的是(　AD　)
A.小球速度先增大后减小
B.小球速度一直减小
C.小球速度一直增大
D.小球与负电荷组成的系统电势能先减少后增加
解析:小球沿光滑细杆运动的过程中,受到重力、支持力与库仑力,重力与支持力均不做功,仅有库仑力做功,负电荷对小球的库仑力方向与速度方向的夹角先小于90°,后大于90°,则库仑力对小球先做正功后做负功,所以小球的动能先增大后减小,速度先增大后减小,故A正确,B、C错误;库仑力先做正功后做负功,由于只有库仑力做功,
所以小球与负电荷组成的系统电势能先减少后增加,故D正确。
5.(多选)如图所示,相互垂直的固定绝缘光滑挡板PO、QO,竖直放置在重力场中,a、b为两个带有同种电荷量的小球(可以近似看成点电荷),当用水平向左作用力F作用于b时,a、b紧靠挡板处于静止状态。现若稍改变F的大小,使b稍向左移动一段小距离,则当a、b重新处于静止状态后(　BC　)
A.ab间的电场力增大 B.作用力F将减小
C.系统重力势能增加 D.系统的电势能将增加
解析:以a球为研究对象,分析受力情况,根据平衡条件,电场力为
F电=,α减小,cos α增大,则电场力F电减小,挡板对a的弹力N=mgtan α,α减小,N减小。对整体研究:水平方向F=N,则作用力
F将减小,故A错误,B正确;电场力F电减小,根据库仑定律得知,两球间的距离增大,电场力做正功,系统的电势能减小,而F做正功,根据功能关系可知,系统重力势能增加,故C正确,D错误。
6.(多选)在场强大小为E的匀强电场中,一质量为m,带电荷量为+q的物体以某初速度沿电场反方向做匀减速直线运动,其加速度大小
为,物体运动s距离时速度为零,则下列说法一定正确的是(　ACD　)
A.物体克服电场力做功qEs
B.物体的电势能减少了0.8qEs
C.物体的电势能增加了qEs
D.物体的动能减少了0.8qEs
解析:电荷受电场力,F=qE,由于物体沿电场线反方向运动,电场力做负功,故物体克服电场力做功W=qEs,电势能增加qEs,选项A,C正确,
B错误;由牛顿第二定律得,合力F=ma=0.8qE,到停下时,合力做功
W′=-Fs=-0.8qEs,故物体动能减少0.8qEs,选项D正确。
7.如图为一匀强电场,某带电粒子从A点运动到B点,在这一运动过程中克服重力做的功为3.0 J,电场力做的功为 2.0 J,则下列说法正确的是(　D　)
A.粒子带负电
B.粒子在A点的电势能比在B点少2.0 J
C.粒子在A点的机械能比在B点少1.0 J
D.粒子在A点的动能比在B点多1.0 J
解析:带电粒子从A点运动到B点,电场力做正功,电场力竖直向上,粒子带正电,故A项错误。电场力做功 2.0 J,粒子电势能减少2.0 J,机械能增加2.0 J,故B,C都错误。合外力做功为-1.0 J,粒子动能
减少1.0 J,故D项正确。
8.一匀强电场,场强方向水平向左,如图所示,一个质量为m的带正电的小球以初速度v0从O点出发,在电场力与重力的作用下,恰能沿与场强的反方向成θ角的直线运动。求小球运动到最高点时其电势能与在O点时的电势能之差。
解析:设电场强度为E,小球带电荷量为q,因小球做直线运动,它所受的电场力qE和重力mg的合力必沿此直线,如图所示,
有qE=,F合=,
小球做匀减速运动的加速度大小为a=,
设从O点到最高点的位移为s,则=2as;
运动的水平距离为L=scos θ;
两点的电势能之差ΔEp=qEL;
由以上各式得ΔEp=mcos2 θ,
小球运动至最高点的过程中,电势能增加。
答案:mcos2 θ
9.如图所示,在电场强度E=104 N/C 的水平匀强电场中,有一根长l=15 cm的细线,一端固定在O点,另一端系一个质量m=3×10-3 kg、电荷量q=2×10-6 C 的带正电小球,当细线处于水平位置时,小球从静止开始释放,g取 10 m/s2。
(1)小球到达最低点B的过程中重力势能、电势能分别变化了多少
(2)若取A点电势为零,小球在B点的电势能、电势分别为多大
(3)小球到B点时速度为多大 细线张力为多大
解析:(1)重力势能ΔEpG=-mgl=-4.5×1 J,
电势能ΔEp=Eql=3×1J,所以,重力势能减少了4.5×10-3 J,电势能增加了3×10-3 J。
(2)若取A点电势为零,则小球在B点的电势能Ep=3×10-3 J,
由Ep=Bq可知,B=V=1.5×103V。
(3)对小球从A→B由动能定理得mgl-Eql=m,
所以vB=1 m/s。
在B点对小球受力分析可得FT-mg=,
解得FT=5×10-2 N。
答案:(1)重力势能减少了4.5×10-3 J 电势能增加了3×10-3 J
(2)3×10-3 J　1.5×103 V
(3)1 m/ s　5×10-2 N5　电势　电势差
学习目标 成长记录
1.理解电势的概念,知道电势的相对性,知道电势正负的意义,会判断电势的高低。 知识点一&要点一
2.理解电势差的概念,掌握电场力做功与电势差的关系,知道电势差正负的意义。 知识点二、三&要点二、三、四
3.知道等势面的定义,理解等势面的特点,掌握几种典型电场的等势面。 知识点四&要点五
知识点一　电势
1.定义:电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值。
2.公式:=。
3.标矢性:电势是标量,没有方向。
4.单位:在国际单位制中,电势的单位是伏特,简称伏,符号是V,1 V=1 J/C。
5.电势的相对性:电场中某一点的电势的数值与零电势点的选取有关,只具有相对意义。一般选大地或无穷远处的电势为零。
知识点二　电势差
1.定义:电场中A、B两点的电势之差A-B为A、B两点的电势差。
2.公式:UAB=A-B,UAB=-UBA。
3.标矢性:电势差是标量。
4.单位:与电势的单位相同,在国际单位制中是伏特,符号是V。
5.电场力做功与电势差的关系式
UAB=或WAB=qUAB。
知识点三　电势和电势差的正负
1.电势的正负:某点的电势为正,即表示该点电势比零点高;电势为负,即该点的电势比零点低。电势的正负与零电势点的选取有关。
2.电势差的正负:A、B两点的电势差为正,则表示A点电势高于B点,正电荷从A点移到B点的过程中,电场力做正功;A、B两点的电势差为负,则表示A点电势低于B点,正电荷从A点移到B点的过程中,电场力做负功。电势差的正负及数值与零电势点的选取无关。
3.电势高低的判断:沿电场线方向,电势逐渐降低。
知识点四　等势面
1.定义:电场中电势相等的各点构成的面。
2.特点
(1)在同一等势面上任何两点之间移动电荷时,电场力不做功。
(2)等势面跟电场线处处垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。
(3)不同的等势面不能相交。
1.思考判断
(1)电荷具有电势能大的点,电势一定高。(　×　)
(2)根据电势的定义式=可知,电荷q的电荷量越大,电势越低。(　×　)
(3)电势差与电势一样,是相对量,与零电势点的选取有关。(　×　)
(4)公式UAB=说明:两点间的电势差UAB与电场力做功WAB成正比,与移动的电荷量q成反比。(　×　)
(5)等势面上,不仅各点电势相同,电场强度也一定相同。(　×　)
2.思维探究
(1)选取不同的零电势点,电场中某点的电势会改变吗 两点之间的电势差会改变吗
(2)在不预先定义“电势”的情况下,可以利用静电力做功定义电势差吗
答案:(1)电势会改变;两点之间的电势差不变。
(2)可以,因为在电场中两点间移动电荷时,静电力做功与路径无关,静电力做的功与电荷量成正比,即静电力所做的功与电荷量的比值是常数,这一常数是由电场本身的性质决定的。定义式为UAB=。
要点一　电势的理解与高低的判断
如图所示的匀强电场,电场强度为E,取O点为零势能点,A点距O点为l,AO连线与电场线的夹角为θ。电荷量分别为q和2q的试探电荷在A点的电势能为多少 电势能与电荷量的比值各是多少
答案:由EpA-EpO=WAO=Eqlcos θ,可知电荷量为q和2q的试探电荷在A点的电势能分别为Eqlcos θ、2Eqlcos θ;电势能与电荷量的比值相同,都为Elcos θ。
1.电势的固有性:电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的,与在该点是否放有电荷及所放电荷的带电荷量和电势能均无关。
2.电势的标量性:电势是只有大小、没有方向的物理量,在规定了零电势点后,电场中各点的电势可能是正值,也可能是负值。
3.判断电势高低的三种方法
(1)电场线法:沿电场线方向,电势越来越低。
(2)场源电荷判断法:离场源正电荷越近的点,电势越高;离场源负电荷越近的点,电势越低。
(3)电势能判断法:对于正电荷,电势能越大,所在位置的电势越高;对于负电荷,电势能越小,所在位置的电势越高。
[例1] 三个点电荷电场的电场线分布如图所示,图中a、b两点处的电场强度大小分别为Ea、Eb,电势分别为a、b,则(　C　)
A.Ea>Eb,a>b
B.EaC.Ea>Eb,aD.Eab
解析:由题图可以看出a处电场线更密,所以Ea>Eb,根据对称性,a处的电势应与右侧负电荷附近对称点的电势相等,再根据沿电场线方向电势降低可以判定b>a,故选项C正确。
(1)电势的正值表示该点的电势高于零电势点;电势的负值表示该点的电势低于零电势点。显然,电势的正负只表示高低,不表示方向。
(2)电势是描述电场性质的物理量,其大小由电场特性和零电势点的位置决定。
[针对训练1] 一带电粒子仅在静电力作用下从A点开始以初速度为-v0做直线运动,其v-t图像如图所示。粒子在t时刻运动到B点,3t时刻运动到C点,以下判断正确的是(　C　)
A.A、B、C三点的电势关系一定为B>A>C
B.A、B、C三点的电场强度大小关系一定为EC>EB>EA
C.粒子从A点经B点运动到C点,电势能先增加后减少
D.粒子从A点经B点运动到C点,静电力一直做正功
解析:因为不知道带电粒子的电性,所以无法判断电势的关系,故A错误;由v-t图像可知,加速度先增大后减小,所以B点的加速度最大,电场强度最大,故B错误;由图像可知,动能先减少后增加,根据能量守恒定律可知,电势能先增加后减少,故C正确;因为电势能先增加后减少,所以静电力先做负功后做正功,故D错误。
要点二　电势差的理解
　如图所示,同一条电场线上的A、B、O三点电势值分别为4 V、1 V、0 V。
试结合上述情境,讨论下列问题:
(1)A、B两点间的电势差UAB和B、A两点间的电势差UBA分别为多少 二者有什么关系
(2)如果取A=0,则B、O两点的电势为多少 UAB为多少 UBA为多少 二者有何关系
(3)由上面的讨论,你能得到什么结论
答案:(1)UAB=A-B=3 V,
UBA=B-A=-3 V,
UAB=-UBA。
(2)B=-3 V,O=-4 V,
UAB=A-B=3 V,
UBA=B-A=-3 V。
同样有UAB=-UBA。
(3)①电势具有相对性,与零电势点的选取有关,而电势差是绝对的,与零电势点的选取无关。
②电场中两点之间的电势差UAB=-UBA。
1.对电势差的进一步理解
(1)客观性:电势差虽然可以由公式UAB=表示,但电势差UAB由电场本身决定,在确定的电场中,两点间的电势差也有确定值,与是否有移动电荷无关。
(2)绝对性:电场中两点间的电势差与零电势点的选取无关。
2.电势和电势差的比较
内容 电势 电势差UAB
区 别 定义 电势能与电荷量比值= 电场力做功与电荷量比值UAB=
决定 因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定
相对性 与零电势点的选取有关 与零电势点的选取无关
联系 数值 关系 UAB=A-B,当B=0时, A=UAB
单位 相同,国际单位制中均是伏特(V),常用单位还有kV、mV等
标矢性 都是标量,但具有正负,其正负均表示相对性
[例2] (多选)下面关于静电力做功和电势差的说法中,正确的是(　BD　)
A.电势差的大小由静电力在两点间移动电荷所做的功和电荷量决定
B.静电力在电场中两点间移动电荷做功的多少由这两点间的电势差和电荷量决定
C.电势差是矢量,静电力做的功是标量
D.在匀强电场中,与电场线垂直的某个方向上任意两点间的电势差均为零
解析:电势差是电场中两点间的电势之差,电势是描述电场能的性质的物理量,它的大小由电场的性质决定。因此电势差的大小也由电场的性质决定,与在两点间移动电荷所做的功和电荷量无关,因而选项A错误。但在两点间移动电荷时静电力做的功是由这两点间的电势差和电荷量决定的,所以选项B正确。电势差是电场中两点间的电势之差,电势是标量,所以电势差也是标量,静电力做的功也是标量,因而选项C错误。在匀强电场中,在与电场线垂直的某个方向上任意两点间移动电荷时,电荷的受力方向与运动方向垂直,由功的公式可知做功为零。由WAB=qUAB可知,这两点间的电势差为零,所以选项D正确。
(1)电场中两点间的电势差可以通过移动电荷静电力所做的功计算,但电势差是描述电场的物理量,与移动电荷无关。
(2)无论怎样的电场,顺着电场线上的两点A、B间的电势差UAB>0,逆着电场线上的两点A、B间的电势差UAB<0。
[针对训练2] (多选)下面关于电势、电势差和电势能的关系,正确的是(　BD　)
A.电荷在某点的电势能越大,该点的电势越高
B.在电场中的两点之间移动同一电荷,静电力做功越多,这两点的电势差越大
C.由于零电势点的选取是任意的,所以电场中两点间的电势差也是不确定的
D.电场中A点电势比B点高1 V,则电荷量为10-2 C的正电荷从A移到B电势能减少了10-2 J
解析:根据电势能的公式Ep=q可知,电场中电势越高的地方,正电荷在该点具有的电势能越大,负电荷在该点具有的电势能越小,故A错误;根据公式UAB=,在电场中的两点之间移动同一电荷,静电力做功越多,这两点的电势差越大,故B正确;电势差与零电势点的选取无关,零电势点的选取是任意的,但是电场中两点间的电势差是确定的,故C错误;电场中A点电势比B点高1 V,则电荷量为10-2 C的正电荷从A移到B静电力做功10-2 J,电势能减少了10-2 J,故D正确。
要点三　电场力做功与电势差的关系
在某电场中将电荷q从A点移至B点,电场力做功为WAB,A、B两点间电势差为UAB。
试结合上述情境,讨论下列问题:
(1)UAB与WAB有什么关系
(2)UAB与WAB的关系只适用于匀强电场吗
(3)根据UAB=可知电场中A、B两点的电势差UAB与静电力做的功WAB成正比,与试探电荷的电荷量q成反比,请分析这种说法正确吗
答案:(1)由静电力做功与电势能变化的关系可得:WAB=EpA-EpB;EpA=qA,EpB=qB;所以WAB=q(A-B),即WAB=qUAB或UAB=。
(2)WAB=qUAB或UAB=对任何电场都适用。
(3)不正确,电势差反映了电场本身的性质,UAB仅由电荷移动的两位置A、B决定,与所经路径、WAB、q均无关,但可由UAB=计算UAB,而WAB却由q、UAB决定。
1.关系式WAB=qUAB应用过程中WAB、q及UAB正负号的两种处理方法:
(1)代入正、负号进行运算:把电荷q的电性和两点间的电势差UAB的正、负代入,算出的结果中若功为正,则说明电场力做正功,电荷的电势能减少;算出的功为负,则说明电场力做负功,电荷的电势能增加。
(2)只将绝对值代入关系式运算:在计算时,q、UAB都取绝对值,算出的结果也是绝对值,而功的正负可借助电场力与移动方向间的关系确定。
2.公式WAB=qUAB适用于任何电场,其中UAB为电场中A、B两点间的电势差,WAB仅是电场力做的功,不包括从A到B移动电荷时,其他力所做的功。
[例3] 如图所示,匀强电场的电场强度E=1.2×102 N/C,方向水平向右,一点电荷q=4×10-8 C沿半径为R=20 cm的圆周,从A点移动到B点,已知∠AOB=90°,求:
(1)这一过程静电力做多少功 是正功还是负功
(2)A、B两点间的电势差UAB为多大
解析:(1)从A点移动到B点位移大小l=R,方向与静电力的夹角θ=135°,
故从A点移动到B点,
静电力做功WAB=qElcos θ,
得WAB=4×10-8×1.2×102××0.2×cos 135° J=-9.6×10-7 J。
(2)由公式UAB=,得A、B两点间的电势差UAB= V=-24 V。
答案:(1)9.6×10-7 J　负功　(2)-24 V
(1)无论电场是否为匀强电场,在电势差为UAB的A、B两点间移动电荷时,电场力做功WAB=qUAB。
(2)在利用WAB=qUAB及UAB=时,采用直接代入符号运算的方法,会更加便捷,但要注意正、负号的运用。
(3)电场中各点间的电势差可依次用代数方法相加,但要注意角标的排序,如UAD=UAB+UBC+UCD,UAB=-UBA。
[针对训练3] 在电场中将一个电荷量为4 μC的电荷从A点移到M点,静电力做负功8×10-4 J,把同一电荷从A点移到N点,静电力做正功4×10-4 J,则UMN为(　A　)
A.300 V B.200 V
C.100 V D.-100 V
解析:根据电势差公式U=,则有UAM== V=-200 V,而UAN== V=100 V,因此有UMN=UMA+UAN=-UAM+UAN=[-(-200)+100]V= 300 V。故A正确。
要点四　电场力做功的计算方法
带电粒子可能在匀强电场中运动,也可能在非匀强电场中运动,可能是只在电场力作用下运动,也可能是在多个力作用下运动,可能是做直线运动,也可能是做曲线运动……思考:
(1)公式WAB=qUAB适用于任何电场,但适用于带电粒子受多个力的情况吗
(2)功的公式W=Flcos θ可以用来计算电场力做的功吗
答案:(1)适用,但仅仅求电场力做的功。
(2)在匀强电场中可用功的公式求电场力做的功。
电场力做功的计算方法
方法 表达式 注意问题
功的 定义 W=Fd=qEd (1)适用于匀强电场;　　 　 (2)d表示沿电场方向的距离
功能 关系 (1)WAB=EpA-EpB; (2)WAB=-ΔEp　 (1)既适用于匀强电场,也适用于非匀强电场; (2)既适用于只受电场力的情况,也适用于受多种力的情况
电势 差法 WAB=qUAB
动能 定理 W电场力+W其他力 =ΔEk
[例4] 如图所示,三条曲线表示三条等势线,其电势C=0,A=B=10 V,D=-30 V,将电荷量为q=1.2×10-6 C的电荷在该电场中移动。
(1)把这个电荷从C移到D,静电力做功多少
(2)把这个电荷从D移到B再移到A,电势能变化多少
解析:(1)C、D两点间的电势差
UCD=C-D=30 V,
电荷从C移到D,静电力做功
WCD=qUCD=1.2×10-6×30 J=3.6×10-5 J。
(2)D、A两点间的电势差
UDA=D-A=(-30-10) V=-40 V,
电荷从D移到A,静电力做功
WDA=qUDA=1.2×10-6×(-40) J=-4.8×10-5 J,
所以电势能增加了4.8×10-5 J。
答案:(1)3.6×10-5 J　(2)增加了4.8×10-5 J
(1)由于UAB与UBA,WAB与WBA不同,因此用关系式WAB=qUAB或UAB=进行相关计算时,要注意W和U的角标要对应,不要造成混乱。
(2)应用WAB=qUAB求电场力的功比较方便,因为它比W=qEd的适用范围更广,且不必考虑电场力大小和电荷运动路径。
[针对训练4] 如图所示,质量为m,带电荷量为q的粒子,以初速度v0从A点竖直向上射入真空沿水平方向的匀强电场中,粒子通过电场中B点时,速率vB=2v0,方向与电场的方向一致,求由A到B电场力做的功。
解析:根据动能定理求电场力的功。粒子由A到B重力做负功,设电场力做功为W,根据动能定理,有W-mgh=m-m,粒子在竖直方向做竖直上抛运动2gh=,解得W=2m。
答案:2m
要点五　等势面的特点及应用
在地图上,用等高线表示地势的高低,在电场中常用等势面来表示电势的高低,简述什么是等势面 等势面的主要特点有哪些
答案:电势相同的各点构成的面叫等势面。等势面的特点:①在同一等势面上移动电荷,电场力不做功;②电场线与等势面垂直,并且由电势高的等势面指向电势低的等势面;③等势面不相交。
1.几种典型电场的等势面(虚线为等势面,实线为电场线)
(1)点电荷的等势面:点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇球面。
(2)等量异种点电荷的等势面:等量异种点电荷的连线上,从正电荷到负电荷电势越来越低,中垂面是等势面。
(3)等量同种点电荷的等势面:
①等量正点电荷连线的中点电势最低,中垂面上该点的电势最高。从中点沿中垂面向外电势越来越低。连线及中垂面上关于中点对称的点电势相同。
②等量负点电荷连线的中点电势最高,中垂面上该点的电势最低。从中点沿中垂面向外电势越来越高。连线及中垂面上关于中点对称的点电势相同。
(4)匀强电场的等势面:匀强电场的等势面是垂直于电场线的一簇平行等间距的平面。
2.等势面的应用
(1)由等势面可以判断电场中各点电势的高低及差值。
(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时电场力做功的情况。
(3)由于等势面和电场线垂直,由等势面的分布可以画出电场线大致分布情况。
(4)由等差等势面的疏密,可以定性地比较某些点的电场强度的大小。
[例5] (多选)如图所示的虚线为电场中的三个等势面,三条虚线平行等间距,电势值分别为10 V、19 V、28 V,实线是仅受静电力的带电粒子的运动轨迹,A、B、C是轨迹上的三个点,A到中心虚线的距离大于C到中心虚线的距离,下列说法正确的是(　ABC　)
A.粒子在三点受到的静电力方向相同
B.粒子带负电
C.粒子在三点的电势能大小关系为EpC>EpB>EpA
D.粒子从A运动到B与从B运动到C,静电力做的功可能相等
解析:由题意可判断该电场为匀强电场,所以带电粒子在电场中各点受到的静电力方向相同,选项A正确;根据粒子的运动轨迹可得,粒子带负电,带负电的粒子在电势高的位置电势能小,所以EpC>EpB>EpA,选项B,C正确;A、B间的电势差与B、C间的电势差不相同,粒子从A运动到B与从B运动到C,静电力做的功也不相等,选项D错误。
对等势面的几点解释
(1)对同一图中所画的等差等势面,相邻两等势面间电势差相等。等势面可以是封闭的,也可以是不封闭的。
(2)在空间不同的两等势面不会相交。假如相交,在交点处电势就有两个不同的值,而对同一零电势点,空间中的点的电势具有唯一的值。
(3)在同一等势面上移动电荷时,电场力不做功,所以电场力与等势面垂直,即等势面一定跟电场线垂直,跟电场强度的方向垂直。
[针对训练5] 在维护和检修高压供电线路时,为了不影响城市用电,电工经常要在高压线上带电作业。为了保障电工的安全,电工全身要穿上用金属丝线编织的衣服。图中电工站在高压直流输电线的A供电线上作业,其头顶上方有B供电线,B供电线的电势高于A供电线的电势。虚线表示电工周围某一截面上的等差等势线,c、d、e、f是等势线上的四个点。以下说法中正确的是(　C　)
A.在c、d、e、f四点中,c点的电场强度最强
B.在c、d、e、f四点中,f点的电势最高
C.若将某电子由c移到f,其电势能将增大
D.将某电子在d点由静止释放,它会向e点所在等势面运动
解析:等差等势线的疏密表示电场强度的大小,越密越大,则在c、d、e、f四点中,f点的电场强度最强,故A错误;由题可知在c、d、e、f四点中,c点的电势最高,故B错误;若将某电子由c移到f,电场力做负功,其电势能将增大,故C正确;将某电子在d点由静止释放,它会向c点所在等势面运动,故D错误。
电场线、等势面、运动轨迹的综合问题
(1)电场线的切线方向为该点的电场强度方向,电场线的疏密表示电场强度的大小。
(2)电场线互不相交,等势面也互不相交。
(3)电场线和等势面互相垂直。
(4)电场线的方向是电势降低的方向,而且是降低最快的方向。
(5)电场线密的地方等差等势面密,电场强度大;等差等势面密的地方电场线也密。
(6)轨迹由力学性质来决定,即轨迹总是向合外力所指的方向弯曲。
[示例] 如图所示为某电场的四个等差等势面,电场中有A、B、C三点,已知一个负电荷以一定初速度从A点射出,仅在静电力作用下依次经过B、C两点,下列说法正确的是(　B　)
A.三点电势A=CB.三点电场强度EA>EB>EC
C.该负电荷经A、B、C三点时的加速度aA=aCD.若将一正电荷由A点经B点移到C点,其电势能先增大后减小
解析:负电荷的运动轨迹向左弯曲,受到的静电力大致向左,则电场方向与受力方向相反,沿电场方向电势降低,所以A=C>B,故A错误;根据等势面与电场线垂直,等势面密集处的电场线就密集,三点中A处电场线最密,C处电场线最疏,则EA>EB>EC,故B正确;根据牛顿第二定律知qE=ma,得aA>aB>aC,故C错误;若将一正电荷由A点经B点移到C点,静电力先做正功后做负功,其电势能先减小后增大,故D错误。
　静电场聚焦
　　利用两点之间的电势差,使电子束连续通过一系列等势面后被聚集在一点,称为静电场聚焦。静电场聚焦类似于光学中光线的聚焦,主要应用于示波器的电子枪和电子显微镜等。
[示例] (多选)如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场。实线为电场线,虚线为等势线。a、b、c为从左侧进入聚焦电场的电子运动的轨迹上的三点。不计电子的重力,则(　CD　)
A.电场中a点的电势高于c点的电势
B.电子经a点的动能大于经c点的动能
C.电子经b点的加速度大于经c点的加速度
D.电子经b点的电势能大于经c点的电势能
解析:沿电场线方向电势降低,故a点的电势低于c点的电势,A错误;电子由a点运动到c点的过程中,电场力做正功,电势能减小,动能增大,故B错误,D正确;b点电场线比c点密一些,即b处电场强度大,故电子受到的电场力大,加速度大,故C正确。
课时作业
1.(多选)关于电势差UAB和电势A、B的理解,下列说法正确的是(　BD　)
A.UAB表示B点相对于A点的电势差,即UAB=B-A
B.UAB和UBA是不同的,它们有关系UAB=-UBA
C.A、B都有正负,所以电势是矢量
D.零电势点的选取是任意的,但人们通常取大地或无限远处为零电
势点
解析:UAB表示A点相对于B点的电势差,UAB=A-B,A错误;UBA表示B点相对于A点的电势差,UBA=B-A,故UAB=-UBA,B正确;电势是标量,正、负号表示电势相对零电势点的高低,正号表示电势大于0,负号表示电势小于0,C错误;零电势点理论上是可以任意选取的,但通常取大地或无限远处为零电势点,D正确。
2.如图所示,A、B、C为电场中同一电场线上的三点。设电荷在电场中只受静电力作用,则下列说法中正确的是(　A　)
A.若在C点无初速度地释放正电荷,则正电荷向B运动,电势能减少
B.若在C点无初速度地释放正电荷,则正电荷向B运动,电势能增加
C.若在C点无初速度地释放负电荷,则负电荷向A运动,电势能增加
D.若在C点无初速度地释放负电荷,则负电荷向A运动,电势能不变
解析:正电荷受力方向为该点的电场强度方向,在C点无初速地释放正电荷,则正电荷向B运动,静电力做正功,电势能减少,故A正确,B错误;负电荷受力方向与该点的电场强度方向相反,若在C点无初速地释放负电荷,则负电荷向A运动,静电力做正功,电势能减少,故C,D错误。
3.(多选)如图所示,某区域电场线左右对称分布,M、N为对称线上的两点。下列说法正确的是(　AC　)
A.M点电势一定高于N点电势
B.M点电场强度一定大于N点电场强度
C.正电荷在M点的电势能大于在N点的电势能
D.将电子从M点移动到N点,静电力做正功
解析:沿电场线方向,电势降低,所以M点电势一定高于N点电势,A正确;电场线的疏密程度表示电场的强弱,由题图可知,M点电场强度一定小于N点电场强度,B错误;正电荷q在M点的电势能=qM,在N点的电势能=qN,由于M>N,所以>,C正确;电子在电场中受静电力的方向沿NM指向M,故从M移动到N,静电力做负功,
D错误。
4.如图所示,在一正的点电荷产生的电场中有A、B两点,一点电荷为-3.2×10-19 C的试探电荷从A点移到B点的过程中,克服静电力做功为W=6.4×10-20 J,则A、B两点间的电势差UAB等于(　C　)
A.5 V B.-5 V
C.0.2 V D.-0.2 V
解析:由题意知,试探电荷从A点移到B点的过程中,静电力做负功WAB=-6.4×10-20 J,A、B两点间的电势差UAB== V=0.2 V,故A,B,D错误,C正确。
5.空间中P、Q两点处各固定一个点电荷,其中P点处为正电荷,P、Q两点附近电场的等势面分布如图所示,a、b、c、d为电场中的4个点,则(　D　)
A.P、Q两点处的电荷等量同种
B.a点和b点的电场强度相同
C.c点的电势低于d点的电势
D.负电荷从a到c,电势能减少
解析:由电场的等势面分布可知,P、Q两点处的电荷等量异种,Q带负电,选项A错误;a、b两点的电场强度方向不同,选项B错误;由正电荷到负电荷电势逐渐降低,可知c>d,故选项C错误;负电荷从a到c,静电力做正功,电势能减少,故选项D正确。
6.(多选)如果在某电场中将电荷量为5.0×10-4 C的正电荷仅在静电力作用下由A点移到B点,静电力做功为2.0×10-3 J,则(　BD　)
A.电荷在B点的动能比在A点的动能小2.0×10-3 J
B.电荷在B点的电势能比在A点的电势能小2.0×10-3 J
C.A、B两点间电势差为-4 V
D.若在A、B两点间移动一个q=1.0×10-4 C的负电荷,电荷将克服静电力做4.0×10-4 J的功
解析:由A点移到B点,静电力做正功,动能增加,电势能减少,选项A错误,B正确;A、B两点间电势差UAB=4 V,选项C错误;在A、B两点间移动一个q=1.0×10-4 C 的负电荷,静电力做功W=qU=-1.0×10-4×
4 J=-4.0×10-4 J,选项D正确。
7.如图所示,三条平行且等间距的虚线表示电场中的三个等势面,其电势分别为10 V、20 V、30 V。实线是一带电的粒子(不计重力)在该区域内运动的轨迹,轨迹上有a、b、c三点,已知带电粒子带电荷量为0.01 C,在a点处的动能为0.5 J,则该带电粒子(　D　)
A.可能带负电
B.在b点处的电势能为0.5 J
C.在b点处的动能为零
D.在c点处的动能为0.4 J
解析:电场强度方向向上,根据粒子的运动轨迹可判断,粒子所受静电力向上,则粒子带正电,A错误;b点处的电势能Ep=qb=0.01×30 J=
0.3 J,B错误;由能量守恒定律可知在a点E=(0.01×10+0.5)J=0.6 J,在b点处的动能为(0.6-0.3)J=0.3 J,C错误;在c点处的动能为(0.6-0.01×20)J=0.4 J,D正确。
8.如图所示,在电场强度E=1.5×103 N/C的匀强电场中,有A、B、C三点,AB垂直于电场线,BC平行于电场线,AB=3 cm,BC=4 cm,AC=5 cm,
A、B间的电势差UAB=0,B、C间的电势差UBC与A、C间的电势差UAC
相等,UBC=UAC=60 V,把一正电荷q=+1.0×10-8 C 放在A点,问:
(1)电荷q在A点受到的静电力为多大 方向怎样
(2)电荷q分别沿A→B→C和A→C路线到达C点,静电力各做了多少功 电势能怎样变化 变化了多少
解析:(1)电荷在A点所受的静电力F=qE=1.0×10-8×1.5×103 N=
1.5×10-5 N,方向与电场线方向相同,因为匀强电场中各点的电场强度的大小和方向都相同,所以电荷q在电场中各点的受力都相同。
(2)q沿A→B→C路线,静电力做功
WABC=WAB+WBC=qUAB+qUBC=1.0×10-8×0 J+1.0×10-8×60 J=6.0×10-7 J。
同理,电荷q沿A→C路线,静电力做功
WAC=qUAC=1.0×10-8×60 J=6.0×10-7 J
或WAC=FsACcos α=1.5×10-5×5×10-2× J=6.0×10-7 J。
由于静电力对电荷做的功等于电荷的电势能的减少量,所以电荷从A点移到C点电势能减少,减少的电势能为ΔEAC=6.0×10-7 J。
答案:(1)1.5×10-5 N　方向与电场线方向相同
(2)6.0×10-7 J　6.0×10-7 J　电势能减少 6.0×10-7 J
9.如图所示,在同一条竖直线上,有电荷量均为Q的A、B两个正点电荷;GH是它们连线的垂直平分线。另有一个带电小球C,质量为m、电荷量为+q(可视为点电荷),被长为L的绝缘轻细线悬挂于O点,现在把小球C拉起到M点,使细线水平且与A、B处于同一竖直面内,由静止开始释放,小球C向下运动到GH线上的N点时刚好速度为零,此时细线与竖直方向的夹角θ=30°。已知重力加速度为g,空气阻力忽略不计,求:
(1)在A、B所形成的电场中,M、N两点间的电势差;
(2)若N点与A、B两个点电荷所在位置正好形成一个边长为R的正三角形,则小球运动到N点瞬间,细线对小球的拉力FT的大小(已知静电力常量为k)。
解析:(1)带电小球C在从M点运动到N点的过程中,由动能定理可得
mgLcos 30°+qUMN=0-0
解得UMN=-=-。
(2)在N点,小球C受到重力mg、细线的拉力FT以及A和B对它的斥力FA和FB四个力的作用,如图所示
其中,沿细线方向的合力为零,
则FT-mgcos 30°-FAcos 30°=0,
又因为FA=FB=k,
解得FT=mgcos 30°+kcos 30°=mg +。
答案:(1)-　(2)mg+6　电势差与电场强度的关系
7　静电的利用和防护
学习目标 成长记录
1.掌握匀强电场中电势差与电场强度的关系,并且能推导出相关公式。 知识点一&要点一、二
2.理解等差等势面中等势面疏密与电场强度大小的关系。 知识点二
3.知道静电的利用和静电危害及防护。 知识点三&要点三
知识点一　匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.关系式:E=,UAB=Ed。
2.物理意义:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点间沿电场线方向的距离的乘积。
3.适用条件
(1)电场为匀强电场。
(2)d为两点间沿电场线方向的距离。
4.电场强度的单位:由E=,可得场强的另一个单位是V/m,1 N/C=1 V/m。
知识点二　等势面的疏密与电场强度大小的关系
在相邻等势面之间电势差相等的约定下,等势面越密的地方场强越大,电场线越密。
知识点三　静电的利用和防护
1.静电的利用:静电喷涂、静电除尘、激光打印机、静电屏蔽、静电复印、静电植绒、避雷针等。
2.静电危害
(1)雷击。
(2)静电火花引起爆炸和火灾。
(3)静电放电造成电磁干扰。
(4)静电放电击穿电路。
3.静电危害的防治
(1)要尽快导走多余电荷,避免静电积累。
(2)调节空气的湿度。
(3)保持良好的通风、消除静电火花的引爆条件。
(4)利用尖端放电。
1.思考判断
(1)公式U=Ed适用于任何电场。(　×　)
(2)在电场中相同距离上的两点,电势差大的其电场强度也必定大。(　×　)
(3)在匀强电场中,沿着电场方向,任何相同距离上的电势降落必定相等。(　√　)
(4)电势降落的方向必定是电场强度的方向。(　×　)
(5)在匀强电场中沿电场线方向,电势降得最快。(　√　)
(6)由公式E=得,电场强度E与电势差U成正比,与两点间的距离d成反比。(　×　)
2.思维探究
(1)有同学认为:“根据E=,若A、B两点在匀强电场的同一等势面上,由于UAB=0,故电场强度为零。”谈一下你的认识。
(2)怎样理解匀强电场中电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势
答案:(1)该同学分析错误,当A、B在匀强电场同一等势面上时,两点沿电场方向距离d=0。无法用E=计算电场强度,E不等于零。
(2)匀强电场中,沿电场强度方向上距离为d的A、B两点,比值即为单位长度上的电势降落,根据公式E=可知,电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。
要点一　电场强度与电势差的关系
(1)在不同的匀强电场Ⅰ、Ⅱ中,分别有A、B两点和C、D两点,若UAB>UCD,其间距离dABEⅡ的结论
(2)在同一匀强电场中,有A、B和C、D四个点,若其间距离dABUCD的结论
(3)在同一匀强电场中,有A、B、C、D四个点位于一条直线上(非等势线),若dAB>dCD,能否得到UAB>UCD的结论
答案:(1)不能。
(2)不能。
(3)能。
1.电场强度的三个表达式的比较
项目 E= E=k E=
物理 含义 电场强度大小的定义式 真空中点电荷电场强度的大小决定式 匀强电场中电场强度大小的计算式
引入 过程 由比值法引入,E与F、q无关 由E=和库仑定律导出 由F=qE和W=qU导出
适用 范围 一切电场 真空中的点电荷电场 匀强电场
说明 q为试探电荷的电荷量 Q为场源电荷的电荷量 d为沿电场方向的距离
2.对电场强度与电势差关系的理解
(1)电场强度为0的两点间电势差一定为0,电势差为0的两点间电场强度不一定为0。
(2)匀强电场中同一直线上(非等势线)相距较远的两点间的电势差一定较大。
(3)在非匀强电场中,公式E=可用来定性分析问题。在等差等势面越密的地方电场强度就越大,如图甲所示。如图乙所示,a、b、c为某条电场线上的三个点,且距离ab=bc,由于电场线越密的地方电场强度越大,即ab段的平均电场强度小于bc段的平均电场强度,故Uab[例1] 在如图所示的匀强电场中(未画出电场强度方向)有A、B、C三点,dAB=2 cm,dBC=3 cm,其中AB与电场线平行,BC和电场线成37°角,一个电荷量q=-2×10-8 C 的负电荷从点A移动到点B,静电力做功WAB=1×10-6 J,已知cos 37°=0.8,求:
(1)A、B两点间的电势差UAB;
(2)电场强度的大小和方向;
(3)若取点B的电势为零,则点C的电势为多大。
解析:(1)电荷从A点移到B点,有
UAB==-50 V。
(2)根据匀强电场中电场强度公式得E=,联立解得E=2.5×103 V/m,电场强度方向水平向左。
(3)根据U=Ed,可得UBC=EdBCcos 37°
由于电场强度的方向向左,故UBC=-60 V
而UBC=B-C,B=0,解得C=60 V。
答案:(1)-50 V　(2)2.5×103 V/m　方向水平向左　(3)60 V
(1)同一条直电场线上距离相等的两段长度上电势差不一定相等。
(2)匀强电场中距离相等的两段长度上电势差不一定相等。
(3)电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
[针对训练1] 如图所示,三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面,A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点,且AB=BC。A、C两点的电势分别为A=10 V 和C=2 V,则B点的电势(　B　)
A.等于6 V B.低于6 V
C.高于6 V D.无法确定
解析:由于是非匀强电场,不能根据公式U=Ed进行定量计算,只能进行定性分析,由电场线的疏密可知AB和BC间的平均电场强度EAB>EBC,所以UAB>UBC,故有A-B>B-C,即B<=6 V,B正确。
要点二　“等分法”在匀强电场中的应用
(1)在匀强电场中沿电场线方向的A、B两点电势分别为A、B,且A>B,则AB连线中点P的电势P和AP间电势差UAP分别是多大
(2)若匀强电场中不在同一电场线上的两点C、D,电势分别为C、D,且C>D,则CD连线中点Q的电势Q和CQ间电势差UC Q又分别是多大
答案:(1)P=, UAP=。
(2)Q=,UC Q=。
1.等分法:采用等分间距求电势的方法,即在匀强电场中把某段距离等分为n小段,则每小段的电势差等于原电势差的。
2.应用
(1)求解电势或电势差:在匀强电场中,相互平行、相等长度的线段两端电势差相等,用这一点可求解电势或电势差。
(2)找等势点(线):已知某几个点的电势,则可以采用“等分法”找出与待求点的等势点(线),就能求解出待求点的电势。
(3)画电场线或计算电场强度。
[例2] 如图所示,在平面直角坐标系中,有方向平行于坐标平面的匀强电场,其中坐标原点O处的电势为0,点A处的电势为6 V,点B处的电势为3 V,则电场强度的大小为(　A　)
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
思维导图:
解析:x轴上OA的中点C的电势为3 V,则BC的连线为等势线,如图所示,电场的方向与等势线垂直,且由电势高处指向电势低处。根据几何图形,O点到BC的距离为d=1.5 cm,所以E== V/m=200 V/m,故选项A正确。
(1)匀强电场中同一直线上的等长线段的电势差相等。
(2)匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势为C=。
(3)匀强电场中不在同一直线上,但相互平行且等长线段的电势差相等。
[针对训练2] 如图所示,A、B、C、D是匀强电场中的四个点,D是BC的中点,A、B、C构成一个直角三角形,AB长为10 cm,角B为60°,电场线与三角形所在的平面平行,已知A=5 V,B=-5 V,C=15 V,由此可以判断(　D　)
A.电场强度的方向由C指向B
B.电场强度的方向垂直AD连线斜向上
C.电场强度的大小为100 V/m
D.电场强度的大小为 V/m
解析:由题意,A=5 V,B=-5 V,C=15 V,则BC的中点D的电势为D== V=5 V,AD为一条等势线,根据电场线与等势线垂直可知,电场强度的方向垂直于AD连线斜向下,故A,B错误;电场强度的大小为E== V/m= V/m,故C错误,D正确。
要点三　静电的应用与静电危害的防止
静电应用的基本原理是什么
答案:异性电荷相吸引,使带电的物质微粒在电荷所产生的力的作用下,奔向并吸附到电极上。
1.静电危害产生的主要原因
静电危害起因于电场力和静电火花,静电危害中最严重的静电放电引起可燃物的起火和爆炸。
2.防止静电危害的主要方法与途径
(1)尽量减少静电的产生,常用的方法是增大空气的湿度。
(2)尽快把多余静电导走,防止静电积累,常用的最简单办法是接地。
[例3] (多选)如图是某种静电矿料分选器的原理示意图,带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后,分落在收集板中央的两侧,对矿粉分离的过程,下列表述正确的有(　BD　)
A.带正电的矿粉落在右侧
B.电场力对矿粉做正功
C.带负电的矿粉电势能变大
D.带正电的矿粉电势能变小
解析:由题知静电场的方向水平向左,带正电的矿粉受向左的电场力,落在左侧,选项A错误;无论带正电的矿粉还是带负电的矿粉,电场力均做正功,电势能都减小,故B,D选项正确,C选项错误。
[针对训练3] 为了防止静电的危害,应尽快把产生的静电导走,下列措施中不是防止静电危害的是(　B　)
A.油罐车装一条拖地的铁链
B.电工钳柄上套有绝缘胶套
C.飞机轮上装搭地线
D.印刷车间中保持适当的湿度
解析:电工钳柄上套有绝缘胶套是利用绝缘体不导电的原理。故选B。
匀强电场中确定等势线和电场线的方法
　　先由等分法确定电势相等的点,画出等势线,然后根据电场线与等势面垂直画出电场线,且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
[示例] 如图所示,虚线方框内有一匀强电场,A、B、C为该电场中的三点,已知A=12 V,B=6 V,C=-6 V。试在该虚线框内作出该电场的示意图(画出几条电场线),并要求保留作图时所用的辅助线。
解析:要画电场线,先找等势线(面)。因为UAC=18 V,UAB=6 V,=3,将线段AC等分成三份,即使AH=HF=FC,则H=6 V,F=0,故点B,H电势相等。连接B,H即为等势线(面),由电场线与等势线(面)垂直且电场线方向由高电势指向低电势,可画出电场线方向如图中实线所示。
答案:图见解析
　离子陷阱
　　由于H.G.德梅尔特发明了用电磁陷阱捕捉质子、电子和离子的技术,并将这种技术应用于原子基本常数和光谱学的测量,瑞典皇家科学院授予他1989年诺贝尔物理学奖。
[示例] (多选)离子陷阱是一种利用电场或磁场将离子俘获并囚禁在一定范围内的装置。如图为最常见的“四极离子陷阱”的俯视示意图,a、b、c、d是四根平行杆,它们与带有直流电压和叠加的射频电压相连,相当于四个电极,相对的电极带等量同种电荷,相邻的电极带等量异种电荷。在纸面内四根杆的连线是一个正方形,A、C是ac上的任意两点,B、D是bd上的任意两点,A、C、B、D到正方形中心O的距离相等。则(　BCD　)
A.D点的电场强度为零,电势最低
B.A、B、C、D四点电场强度大小相等
C.A点电势比B点电势高
D.正点电荷沿直线从A经O运动到C,电势能先减小后增大
解析:根据电场的叠加原理,a、c电极的电荷在D点的合场强方向水平向右,b、d电极的电荷在D点的合场强方向也向右,因此D点的电场强度方向向右,选项A错误;由电场叠加及对称性可知,A、B、C、D四点电场强度大小相等,而方向分别为A→O,O→B,C→O和O→D,则A>O,BB,A点电势比B点电势高,选项B,C正确;正点电荷沿直线从A经O运动到C,静电力先做正功后做负功,电势能先减小后增大,选项D正确。
课时作业
基础巩固
1.关于匀强电场中的场强和电势差的关系,下列说法正确的是(　B　)
A.任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积
B.沿电场线方向,任何相同距离上电势降落必定相等
C.电势降低的方向必是场强方向
D.在相同距离的两点上,电势差大的其场强也大
解析:本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系,公式E=中,
d是沿场强方向上两点的距离,由此很容易判断出A,D错误,B正确。场强的方向是电势降低“最快”的方向,电场降低的方向不一定是场强方向,故C错误。
2.在加油站的加油机上有如图所示的图标,关于图标涉及的物理知识及其理解,下列说法正确的是(　C　)
A.制作这些图标的依据是静电屏蔽原理
B.工作人员工作时间须穿绝缘性能良好的化纤服装
C.化纤手套与接触物容易摩擦起电,存在安全隐患
D.在加油站可以用绝缘的塑料梳子梳头
解析:用塑料梳子梳头时会产生静电,戴非棉手套加油易产生静电,穿衣服、脱衣服也会产生静电,这些图标都是为了减少静电的产生,不是静电屏蔽,故A,D错误;工作人员工作时间穿绝缘性能良好的化纤服装,会引起静电,故B错误;化纤手套与接触物容易摩擦起电,有可能引起油料燃烧,故C正确。
3.下列应用与防护不属于尖端放电现象的是(　B　)
A.一般高压设备中导体的表面应该尽量光滑
B.一般马路表面建造得很平滑
C.夜间高压线周围会出现一层绿色光晕
D.一般高楼大厦顶部装有避雷针
解析:马路表面建造得很平滑与静电现象无关,A,C,D属于尖端放电现象,故选B。
4.如图所示,在匀强电场中有a、b、c、d四点,它们处于同一圆周上,且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为a=9 V,b=15 V,c=18 V,则d点的电势为(　A　)
A.12 V B.8 V
C.4 V D.16 V
解析:根据几何知识知,ab长度等于dc长度,且线段ab平行于线段cd,根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等,
则b-a=c-d,可得d=12 V,故A正确,B,C,D错误。
5.如图所示,在匀强电场中相距10 mm 的两等势面AA′、BB′,其间有一静止的油滴P。已知油滴P的重力是1.6×10-4 N,所带的电荷量是+3.2×10-9 C,则下面判断正确的是(　C　)
A.A>B　UAB=100 V
B.A>B　UAB=750 V
C.AD.A解析:带电油滴受到重力和静电力处于平衡状态,即 mg=qE,匀强电场的电场强度大小E=,由以上两式得|UAB|==500 V,由于油滴所受静电力方向向上,所以电场方向向上,A正确。
6.(多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知a=5 V,c=3 V,
ab=bc,b点的电势为b,b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中静电力做功的大小,|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小,则(　BD　)
A.b>4 V B.b<4 V
C.|Wac|=2|Wdc| D.|Wac|>2|Wdc|
解析:由电场线疏密程度可知ab段上平均电场强度大于bc段上平均电场强度,由U=Ed可定性判断出Uab>Ubc,即a-b>b-c,
所以b<=4 V,故A错误,B正确;又因为Uac=Uab+Ubc,所以Uac>2Ubc,
b,d在同一等势面上,b=d,故Uac>2Udc,由静电力做功W=qU,
得|Wac|>2|Wdc|,故C错误,D正确。
7.如图所示,在水平向右的匀强电场中,有一电荷量为q=-4×10-7 C的负点电荷从A点运动到B点,静电力做功为WAB=3.2×10-6 J,A,B间距离L=4 m,AB与水平面的夹角为60°。
(1)负点电荷的电势能是增加还是减少 增加(减少)了多少
(2)B、A间电势差UBA是多少
(3)电场强度E是多大
(4)如果A点的电势为-4 V,那么B点的电势为多大 电荷量为
q′=4×10-6 C的正电荷在A点具有的电势能是多少
解析:(1)负点电荷从A点运动到B点,静电力做正功,大小为3.2×10-6 J,
则负点电荷的电势能减少了3.2×10-6 J。
(2)A、B间电势差UAB== V=-8 V,
则UBA=-UAB=8 V。
(3)匀强电场的电场强度E==4 V/m。
(4)因UAB=A-B=-8 V,
A=-4 V,
则B=4 V,
电荷量为q′的正电荷在A点具有的电势能为EpA=Aq′=-1.6×10-5 J。
答案:(1)减少　3.2×10-6 J　(2)8 V
(3)4 V/m
(4)4 V　-1.6×10-5 J
能力提升
1.(多选)如图所示,直角△ABC处在匀强电场中,∠ACB=30°,
边AB=1 m。B点的电势为2 V,将电荷量为4×10-6 C的带正电的点电荷从电场中的A点移到B点,静电力做了-1.2×10-5 J 的功,再从B点移到C点,静电力做了 2.4×10-5 J的功。下列说法正确的是(　BC　)
A.A、B两点间的电势差UAB=3 V
B.B、C两点间的电势差UBC=6 V
C.该电场的电场强度为2 V/m
D.该电场的电场强度为3 V/m
解析:带正电的点电荷从电场中的A点移到B点过程中,静电力做功WAB=qUAB,代入数据可解得UAB=-3 V,同理可得UBC=6 V,A错误,B正确;由电势差与电势关系式可得UAB=A-B=-3 V,UBC=B-C=6 V,代入数据可得A=-1 V,C=-4 V,由匀强电场的特点可知B、C中点D的电势D==-1 V,即A、D连线为一等势面,电场强度方向垂直于等势面并指向电势较低一侧,如图所示,
由几何关系可知θ=60°,该电场的电场强度为E===2 V/m,
C正确,D错误。
2.(多选)如图所示,矩形ABCD位于匀强电场中,且与匀强电场方向平行。已知AB=2BC=4 m,A、B、D的电势分别为6 V、2 V、4 V。初动能为24 eV,电荷量大小为4e的带电粒子从A沿着AC方向射入电场,恰好经过B。不计粒子的重力,下列说法正确的是(　ABD　)
A.C点的电势为0 V
B.该粒子一定带负电
C.该粒子到达点B时的动能为40 eV
D.该匀强电场的电场强度大小为 V/m
解析:根据匀强电场中平行的等间距的两点间的电势差相等,则有
A-B=D-C,解得C点的电势为C=0 V,故A正确;取AB的中点O,则O点的电势为O==4 V,则连线OD为等势线,电场强度方向与等势面垂直,且由高电势指向低电势,电场强度垂直OD斜向上,由物体做曲线运动的条件,电场力斜向下,故电荷一定为负电荷,故B正确;粒子从A到B过程,根据动能定理有-qUAB=EkB-EkA,解得该粒子到达B点时的动能EkB=8 eV,故C错误;根据E=可得,E== V/m,
故D正确。
3.(多选)如图所示,在匀强电场中有A、B、C三点,恰好处于以AB为直径的圆周上,圆周所在平面与电场方向平行。已知A、B、C三点的电势分别为 2 V、0、0,AB的长度为2 m,AC与AB夹角为30°,
则下列说法正确的是(　BD　)
A.圆周上A点电势最高
B.该电场的方向与AC平行
C.该电场的电场强度大小为 V/m
D.圆周上两点间电势差的最大值为4 V
解析:由题意可知,B、C两点电势相等,BC是一条等势线,由图可知,P点的电势最高,故A错误;AC与BC垂直,则该电场的方向与AC平行,故B正确;电场强度为E== V/m=2 V/m,故C错误;过O点作直线PQ平行于AC,PQ与圆相交于P、Q两点,Q点是圆周上电势最低的点,P点是圆周上电势最高的点,则UPQ=E×2R=4 V,所以圆周上两点间电势差的最大值为4 V,故D正确。
4.如图所示,绝缘水平面上有相距为L=15 m的A、B两点,质量为
m=2.2 kg,带电荷量为q=+3×10-4 C的物体静止放在水平面上的A点,其与水平面间的动摩擦因数为μ=0.5。某时刻,空间加上与水平方向成θ=37°角斜向上的匀强电场,使物体从静止开始加速运动,经过C点时,电场突然消失,物体继续运动到B位置停下。已知物体减速运动的时间是加速运动时间的2倍,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)匀强电场的电场强度。
(2)电场中A、C两点之间的电势差。
解析:(1)设电场力为F,AC、BC间加速度、时间分别为a、a′和t、t′,由题意可知,物体做匀减速运动的加速度为a′==μg=5 m/s2,
由于匀加速阶段的末速度即为匀减速阶段的初速度,因此at=a′t′,又t′=2t,
解得a=2a′=10 m/s2。
物体在电场力作用下做匀加速运动,由牛顿第二定律
Fcos 37°-μ(mg-Fsin 37°)=ma,
解得F=30 N,
则电场强度E==1×105 N/C。
(2)物体从A运动到B,有L=at2+a′t′2,
又t′=2t,
则加速阶段的位移L1=at2=5 m,
A、C两点之间的电势差UAC=Ed=EL1cos 37°=4×105 V。
答案:(1)1×105 N/C　(2)4×105 V
5.如图所示,A、B、C为一等边三角形的三个顶点,某匀强电场的电场线平行于该三角形平面。现将电荷量为10-8 C的正点电荷从A点移到B点,电场力做功为3×10-6 J,将另一电荷量为10-8 C的负点电荷从A点移到C点,克服电场力做功3×10-6 J。求:
(1)电场线方向及UAB、UAC、UBC的大小;
(2)若AB边长为2 cm,电场强度为多大。
解析:(1)正点电荷从A点移到B点时,电场力做正功,故A点电势高于B点,可求得UAB== V=300 V。负点电荷从A点移到C点,电场力做负功,A点电势高于C点,可求得UAC==300 V。因此B、C两点电势相等,UBC=0.由于匀强电场中的等势线是一簇平行直线,因此,BC为一条等势线,故电场线方向垂直于BC,设D为直线BC的中点,则场强方向为由A指向D。
(2)直线AB在场强方向的距离d等于线段AD的长度,故由匀强电场中电势差与场强的关系式可得E== V/m=104 V/m。
答案:(1)电场线垂直BC斜向下　UAB=300 V UAC=300 V　UBC=0　
(2)104 V/m8　电容器　电容
学习目标 成长记录
1.知道电容器的构造,了解相关概念,认识常见的电容器。 知识点一、三&要点一
2.掌握电容的定义、公式和单位,会应用定义式进行简单计算。 知识点二&要点一
3.知道影响平行板电容器电容大小的因素,并能用其讨论有关问题。 知识点三&要点二、三
知识点一　电容器
1.定义:任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体都可以看成一个电容器。它是储存电荷和电能的元件。
2.平行板电容器:由两块彼此隔开平行放置的金属板构成。
3.电容器所带的电荷量:任意一块极板所带电荷量的绝对值。
4.充、放电:使电容器的两极板带上等量异种电荷的过程叫作电容器充电;两极板的异种电荷中和的过程叫作电容器放电。
知识点二　电容器的电容
1.意义:描述电容器储存电荷能力的物理量。
2.定义式:C=,数值上等于两极板间的电势差为1 V时,电容器所带的电荷量。
3.单位:在国际单位制中为法拉,简称法,符号是F。1 F=1C/V,较小的单位有微法(μF)和皮法(pF),1 μF=10-6 F,1 pF=10-6 μF=10-12 F。
知识点三　常见的电容器
1.平行板电容器的电容:它的电容的大小与两极板正对面积成正比,与两板间距离成反比,还与两板间的电介质有关。
2.常用电容器
(1)固定电容器有纸质电容器、电解电容器、云母电容器、陶瓷电容器等。
(2)可变电容器由两组金属片组成,两组金属片分别称为定片和动片。转动动片,两组金属片的正对面积发生变化,电容就随着改变。
3.击穿电压与额定电压
(1)击穿电压:加在电容器两极间的电压不能超过某一限度,超过这一限度,绝缘介质将被击穿,致使电容器损坏,这个极限电压叫作击穿电压。
(2)额定电压:电容器正常工作所能承受的最大电压。
1.思考判断
(1)电容大的电容器所带电荷量一定多。(　×　)
(2)电容为C的电容器所带电荷量为Q,若电荷量增大为2Q,则电容变为2C。(　×　)
(3)电容器所带的电荷量Q与极板间电势差成正比。(　√　)
(4)平行板电容器间插入电介质时电容变大。(　√　)
(5)可变电容器的动片旋出变大时,其电容变大。(　×　)
2.思维探究
(1)电容器的带电荷量为两极板所带电荷量的绝对值之和吗
(2)电容器被击穿后还有没有容纳电荷的本领
答案:(1)不是。电容器的带电荷量是指其中一个极板所带电荷量的绝对值。
(2)电容器被击穿后,两极板间不再绝缘,成为一个导体,便失去了容纳电荷的本领。
要点一　对电容器和电容的理解
将电池E、电阻R0、双掷开关S、电流表G、电容器C按如图所示电路连接,使开关S先后接触a、b,观察电流表指针的偏转情况。
试结合上述情境,讨论下列问题:
(1)当S先后接a和接b时,观察到的电流表指针的偏转情况是怎样的
(2)电容器的带电荷量如何变化 能量是如何转化的
(3)随着电容器的电荷量Q的变化两极板间的电压U怎样变化 反映了电容器怎样的特性
答案:(1)当S接a时,电流表指针发生偏转;当S接b时,电流表指针反向偏转。
(2)①充电过程电荷量增加,放电过程电荷量减小。
②充电过程中电池的化学能转化为电场能,放电过程中电场能转化为内能。
(3)电容器两极板间的电势差随电荷量的增加而增加,电荷量和电势差成正比,它们的比值是一个恒量,与Q、U的大小无关,该比值反映了电容器容纳电荷的能力大小。
1.C=与C=的比较
内容 公式
C= C=
公式性质 定义式 决定式
适用范围 任何电容器 平行板电容器
意义理解 虽Q∝U,但C与Q、U无关,反映了电容器容纳电荷的本领 C∝εr,C∝S,C∝,反映了决定电容大小的因素
联系 电容器容纳电荷的本领由来量度,由本身的结构(如平行板电容器的εr、S、d等因素)来决定
2.Q-U图像
(1)如图所示,Q-U图像是一条过原点的直线,其中Q为一个极板上所带电荷量的绝对值,U为两板间的电势差,直线的斜率表示电容大小。
(2)电容器的电容也可以表示为C=,即电容的大小在数值上等于两极板间的电压增大(或减小)1 V 所增加(或减小)的电荷量。
[例1] (多选)如图所示,单刀双掷开关 S原来跟2相接,从t=0开始,开关改接1,得到流过电路中P点的电流随时间变化的I-t 图像如图甲所示,电容器两极板的电势差UAB随时间变化的图像如图乙所示。t=2 s时,把开关改接2,则在I-t图像和 UAB-t图像中画出的之后2 s时间内图像的大致形状正确的是(　BC　)
解析:开关 S接1时,电容器充电,充电完毕,电流为零,再将开关 S拨向2位置,开始反向放电,放电完毕后,电流为零,故I-t图像为B,即A错误,B正确;开关 S接1时,电容器与电源直接相连,充电结束后,极板两端电压为电源电动势,放电过程中,电压逐渐减小,但极板的电性不变,故C正确,D错误。
(1)定义式的推广式C=,C与ΔQ及ΔU均无关,在电压U变化问题中求电容更便捷。
(2)电容器是容纳电荷的一种容器,而电容是描述电容器容纳电荷本领大小的一个物理量。
[针对训练1] 如图所示为某一电容器中所带电荷量和两端电压之间的关系图线,若将该电容器两端的电压从12 V 降低到8 V,下列说法对电容器来说正确的是(　B　)
A.是充电过程
B.是放电过程
C.该电容器的电容为5.0×10-2 F
D.该电容器的电荷量变化量为0.06 C
解析:由Q=CU知,U降低,Q减小,故为放电过程,A错误,B正确;由C== F=5.0×10-3F,可知C错误;ΔQ=CΔU=5.0×10-3×4 C=0.02 C,D错误。
要点二　平行板电容器的动态分析
基于人的指纹具有唯一性和终身不变性的特点,科学家们发明了指纹识别技术。目前许多手机都有指纹解锁功能,常用的指纹识别传感器是电容式传感器,如图所示。指纹的凸起部分叫做“嵴”,凹下部分叫做“峪”,传感器上有大量面积相同的小极板,当手指贴在传感器上时,这些小极板和与之正对的皮肤表面就形成了大量的小电容器,由于距离不同,所以这些小电容器的电容不同。此时传感器给所有的小电容器充电达到某一电压值,然后开始放电,其中电容值较小的小电容器放电较快,于是根据放电快慢的不同,就可以探测到“嵴”和“峪”的位置,从而形成指纹的图像数据。根据以上信息,你能说出“嵴”和“峪”所在处形成的小电容器电容哪个大吗 为什么
答案:“嵴”所在处形成的小电容器电容大;由电容的决定式C=可得,极板与指纹嵴(凸起部分)距离d小,构成的电容器电容大。
1.分析方法:抓住不变量,分析变化量。其理论依据是三个公式。
(1)电容器电容的定义式:C=。
(2)平行板电容器电容的决定式:C=。
(3)平行板电容器内部是匀强电场(极板间为真空或空气):E=。
2.两类典型题型
项目 两极板间电压 保持不变 两极板电荷量 保持不变
电路特点 平行板电容器始终连接在电源两端 平行板电容器充电后,切断电源,并保持两极板绝缘
C的决 定因素 由C=∝可知C随d、S、εr的变化 而变化
Q或U的 决定因素 由Q=CU=U∝可知Q随d、S、εr的变化而变化 由U==∝可知U随d、S、εr的变化而变化
E的决定 因素 由E=可知,E与S无关,随d的变化而变化 由E===∝,可知E与d无关,随S的变化而变化
[例2] (多选)如图所示,两块平行带电金属板,带正电的极板接地,两板间P点处固定着一个负电荷(电荷量很小)。现让两板保持距离不变而水平错开一段距离,则(　AD　)
A.两板间电压变大,P点场强变大
B.两板间电压变小,P点场强变小
C.P点电势变大,负电荷的电势能变小
D.P点电势变小,负电荷的电势能变大
解析:当两极板水平错开后,正对面积S减小,由C=知电容减小,由U=知两板间电压变大,由E=知P点场强变大;根据-P=Ed,知P=-Ed,所以P变小,由Ep=-qP知负电荷的电势能变大。
平行板电容器动态分析问题
(1)接在电源两极间的电容器,突然改变d或S时,可认为此时电荷量不变,电压改变,从而判断充、放电情况。
(2)若两平行板间加入等大的厚度为d′的金属导体,板间等效距离为d-d′。
[针对训练2] 两块大小、形状完全相同的金属平板平行放置,构成一平行板电容器,与它相连接的电路如图所示,接通开关 S,电源给电容器充电。则(　D　)
A.保持S接通,减小两极板间的距离,则两极板间电场的电场强度减小
B.保持S接通,在两极板间插入一块介质板,则极板上的电荷量减小
C.充电结束后断开S,减小两极板间的距离,则两极板间的电势差增大
D.充电结束后断开S,在两极板间插入一块介质板,则两极板间的电势差减小
解析:保持S接通,则两板间电压U一定,减小两极板间的距离d,则根据E=可知,两极板间电场的电场强度变大,选项A错误;保持S接通,在两极板间插入一块介质,根据C=可知电容C变大,根据Q=CU可知,极板上的电荷量增加,选项B错误;断开S,则两极板带电荷量一定,减小两极板间的距离,根据C=,可知电容C变大,根据Q=CU,则两极板间的电势差减小,选项C错误;断开S,在两极板间插入一块介质,根据C=可知电容C变大,根据Q=CU则两极板间的电势差减小,选项D正确。
要点三　平行板电容器中的力学问题
如图所示,一带电油滴悬浮在平行板电容器两极板A、B之间的P点,处于静止状态。现将极板A向下平移一小段距离,但仍在P点上方,其他条件不变。
(1)油滴所受的静电力如何变化
(2)油滴将怎样运动
答案:(1)油滴所受静电力增大。
(2)油滴将向上加速运动。
1.带电粒子在平行板电容器中的力学问题是静电场与力学知识的综合,分析方法与力学的分析方法基本相同。
2.涉及的问题一般是带电粒子在极板间处于某一运动状态,由于电容器的改变而导致带电粒子运动状态的改变。解决问题的思路一般先分析受力情况,再分析运动状况和运动过程(平衡、加速或减速,是直线还是曲线运动),然后选用恰当的规律(如牛顿运动定律、动能定理及能量守恒定律等)解题。
[例3] (多选)如图所示,将平行板电容器接在恒定电源两极间,电容器两极板间的带电尘埃恰好处于静止状态。若将两极板缓慢地错开一些,其他条件不变,则(　BC　)
A.电容器上的电荷量不变
B.带电尘埃仍保持静止状态
C.电流计G中有a到b方向的短暂电流
D.电流计G中有b到a方向的短暂电流
解析:若将两极板错开一些,则两极板间的正对面积减小,根据C=可知,电容器的电容减小,电容器两极板间的电压不变,所以电容器上的电荷量减少,电容器放电,电流从电容器的正极板流出,流向电源的正极,即电流计中电流方向为a→b;因电容器两极板间电压不变,两极板间的距离没有发生变化,所以电场强度没有发生变化,带电尘埃受到的静电力不变,带电尘埃仍保持静止状态,故选项B,C正确,A,D错误。
(1)带电物质在充电的平行板之间,除非有特别说明外受到重力作用。
(2)电容器改变时,带电物体受力改变,其运动情况决定于合力方向和初始状态。
[针对训练3] (多选)如图所示,竖直放置的平行板电容器与定值电阻R、电源E相连,用绝缘细线将带电小球q悬挂在极板间,闭合开关S后细线与竖直方向夹角为θ。则有(　BC　)
A.保持开关S闭合,将A板向右平移,θ不变
B.保持开关S闭合,将A板向左平移,θ变小
C.断开开关S,将A板向右平移,θ不变
D.断开开关S,将A板向右平移,θ变小
解析:保持开关S闭合,电容器两端的电势差不变,将A板向右平移,d减小,则电场强度增大,带电小球所受电场力增大,根据共点力平衡条件知,θ角变大,反之向左平移A板,θ角变小,故A错误,B正确;断开开关S,电荷量不变,根据C=,E=,C=,联立解得E===,故电场强度大小与两极板间的距离无关,故电场强度不变,所以移动A板,θ角不变,故C正确,D错误。
静电计的使用
　　静电计是在验电器的基础上改造而成的,静电计由相互绝缘的两部分组成,本身是一个电容器,它的指针所带电荷量跟指针与外壳间的电势差成正比。指针所带电荷越多,张角就越大,表明指针与外壳间的电势差越大。在探究影响平行板电容器的因素的实验中,静电计与电容器的两极板分别连接在一起,则电容器两极板间的电势差就等于静电计上所指示的电势差U。可见,静电计指针偏角的变化表征了电容器两极板间电势差的变化。
[示例] 如图所示的实验装置中,平行板电容器的极板A与一灵敏静电计相接,极板B接地。电容器的电荷量始终保持不变,下列说法中正确的是(　D　)
A.若静电计指针偏角减小,说明电容器A板电势升高
B.若B板稍向上移动一点,则静电计指针偏角将减小
C.若B板稍向左移动一点,则静电计指针偏角将减小
D.若在两极板间插入有机玻璃板,则静电计指针偏角将减小
解析:若静电计指针偏角减小,说明电容器的两极板间的电势差减小,说明电容器A板电势降低,A错误;若B板稍向上移动一点,即两极板的正对面积减小,根据C=知,电容减小,而电容器的电荷量不变,根据U=知,电势差增大,则静电计指针偏角增大,B错误;若B板稍向左移动一点,两极板间距离增大,根据C=知,电容减小,而电容器的电荷量不变,根据U=知,电势差增大,所以静电计指针偏角增大,C错误;若在两极板间插入有机玻璃板,则介电常数变大,根据C=知,电容增大,而电容器的电荷量不变,根据U=知,电势差变小,静电计指针偏角减小,D正确。
电容器的应用
　　电容器是广泛应用的电学元件,从看得见的线路板到集成了上亿元件的芯片,从玩具汽车、电动车到“复兴号”等,许多与电相关的产品都需要用到电容器,可以说电容器在日常工作、学习、生活和科研中无处不在。电容器简而言之就是电的容器,作为电的容器,当然在容量上是越大越好,现在科学家正在致力于研发超级电容器,并取得了丰硕的成果。
[示例] (多选)某电容式话筒的原理如图所示,E为电源,R为电阻,薄片P和Q为两金属极板,对着话筒说话时,P振动而Q可视为不动,当P、Q间距离增大时(　AC　)
A.P、Q构成的电容器的电容减小
B.P上电荷量保持不变
C.有电流自M经R流向N
D.P、Q间的电场强度不变
解析:电容式话筒与电源串联,电压保持不变。在P、Q间距离增大时,根据C=知电容减小,又根据C=知,电容器所带电荷量减小,电容器的放电电流通过R的方向由M到N,根据E=知P、Q间电场强度变小,故A,C正确,B,D错误。
课时作业
1.关于电容器和电容,下列说法正确的是(　D　)
A.电容器所带电荷量越多,电容越大
B.电容器两极板间电压越低,其电容越大
C.电容器不带电时,其电容为零
D.电容器的电容只由它本身的特性决定
解析:电容是由电容器本身决定,与电容器所带电荷量及两极板间电压无关,所以D正确。
2.某电容器上标有“25 μF　450 V”字样,下列对该电容器的说法中正确的是(　A　)
A.要使该电容器两极板之间电压增加1 V,所需电荷量为2.5×10-5 C
B.要使该电容器带电荷量为1 C,两极板之间需加电压 2.5×10-5 V
C.该电容器能够容纳的电荷量最多为2.5×10-5 C
D.该电容器能够承受的最大电压为450 V
解析:由C=,得ΔQ=C·ΔU=2.5×10-5×1 C=2.5×10-5 C,A正确;
若Q=1 C,则U==4×104 V,B错误;当电容器的电压为450 V时,电容器的电荷量最多,Q′=CU′=2.5×10-5×450 C=1.125×10-2 C,C错误;
450 V 是电容器的额定电压,低于击穿电压,D错误。
3.(多选)如图所示,平行板电容器和恒定直流电源相连,箭头表示电流方向。下列说法正确的有(　AD　)
A.电容器正在充电
B.电容器正在放电
C.电容器两板间距离一定正在变大
D.电容器两板间距离可能正在变小
解析:平行板电容器和恒定直流电源相连,电容器两端电压不变,箭头表示电流方向,则电容器正在充电,故A正确,B错误;电容器正在充电,电容器两板所带电荷量增大,可能是电容器的电容增大,所以电容器两板间距离可能正在变小,故D正确,C错误。
4.如图所示,一平行板电容器充电后与电源断开,这时电容器的电荷量为Q,P是电容器内一点,电容器的上极板与大地相连,下列说法正确的是(　D　)
A.若将电容器的上极板左移一点,则两板间电场强度减小
B.若将电容器的下极板上移一点,则P点的电势升高
C.若将电容器的下极板上移一点,则两板间电势差增大
D.若将电容器的下极板上移一点,则两板间电势差减小
解析:平行板电容器充电后与电源断开后,电容器的电量不变,电容器上极板左移,正对面积减小,电容C减小,由U=分析可知U增大,板间电场强度E=,d不变,则E增大,故A错误。将电容器的下极板上移一点,板间距离减小,电容C增大,由U=分析得知:Q不变,两板间电势差减小。又由E==,可知板间电场强度不变,则P与上极板的电势差不变,上极板电势为零,则P点电势不变,故B,C错误,D正确。
5.(多选)如图为某一机器人上的电容式位移传感器工作时的简化模型图。当被测物体在左右方向发生位移时,电介质板随之在电容器两极板之间移动,连接电容器的静电计会显示电容器电压的变化,进而能测出电容的变化,最后就能探测到物体位移的变化,若静电计上的指针偏角为θ,则被测物体(　BC　)
A.向左移动时,θ增大 B.向右移动时,θ增大
C.向左移动时,θ减小 D.向右移动时,θ减小
解析:当被测物体向左移动时,导致电容器极板间的电介质增大,则电容会增大,由于电荷量不变,则电容器极板间的电压减小,即θ减小,故A错误,C正确;当被测物体向右移动时,导致电容器极板间的电介质减小,则电容会减小,由于电荷量不变,则电容器极板间的电压增大,即θ增大,故B正确,D错误。
6.如图所示,平行板电容器与直流电源(内阻不计)连接,下极板接地。一带电油滴位于电容器中的P点且恰好处于平衡状态。现将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离,则(　B　)
A.带电油滴将沿竖直方向向上运动
B.P点的电势将降低
C.带电油滴在P点的电势能将减少
D.若电容器的电容减小,则极板带的电荷量将增大
解析:将平行板电容器的上极板竖直向上移动一小段距离,由于电容器两极板间电势差不变,根据E=知两极板间电场强度减小,油滴所受的静电力减小,则油滴将向下运动,故A错误;电场强度E减小,而P点与下极板间的距离不变,则由U=Ed可知,P点与下极板间电势差将减小,而下极板接地,则知P点的电势将降低,故B正确;由带电油滴原来处于平衡状态可知,油滴带负电,P点的电势降低,则油滴的电势能将增加,故C错误;根据Q=UC,由于电容器两极板间电势差不变,若电容器的电容减小,则极板带的电荷量将减小,故D错误。
7.(多选)目前智能手机普遍采用了电容触摸屏,电容触摸屏是利用人体的电流感应进行工作的,它是一块四层复合玻璃屏,玻璃屏的内表面和夹层各涂一层ITO(纳米铟锡金属氧化物),夹层ITO涂层作为工作面,四个角引出四个电极,当用户手指触摸电容触摸屏时,手指和工作面形成一个电容器,因为工作面上接有高频信号,电流通过这个电容器分别从屏的四个角的电极中流出,理论上流经四个电极的电流与手指到四个角的距离成比例,控制器通过对四个电流比例的精密计算来确定手指位置。对于电容触摸屏,下列说法正确的是(　AD　)
A.电容触摸屏只需要触摸,不需要压力即能产生位置信号
B.使用绝缘笔在电容触摸屏上也能进行触控操作
C.手指压力变大时,由于手指与屏的夹层工作面距离变小,电容变小
D.手指与屏的接触面积变大时,电容变大
解析:电容触摸屏是利用人体的电流感应工作的,只需要触摸即可,由于流经四个电极的电流与手指到四个角的距离成正比,控制器就能确定手指的位置,因此不需要手指有压力,故A正确;绝缘笔中没有电流,不能通过电流感应使触摸屏工作,故B错误;手指压力变大时,由于手指与屏的夹层工作面距离变小,电容将变大,故C错误;手指与屏的接触面积变大时,电容变大,故D正确。
8.如图所示,平行板电容器与一个恒压直流电源连接,下极板通过A点接地,一带正电小球被固定于P点,现将平行板电容器的下极板竖直向下移动一小段距离,则(　D　)
A.平行板电容器的电容将变大
B.静电计指针张角变小
C.电容器的电荷量不变
D.带电小球的电势能将增大
解析:根据C=知,下极板竖直向下移动一小段距离,即d增大,则电容减小,故A错误;静电计连接电容器两端,因为电容器始终与电源相连,则电势差不变,所以静电计指针张角不变,故B错误;下极板竖直向下移动一小段距离,电容减小,根据电容的定义式C=,电容器与电源保持相连,U不变,则电荷量Q减小,故C错误;电势差不变,d增大,由公式E=分析得知板间电场强度减小,P点与上极板间的电势差减小,而P点的电势比上极板低,上极板的电势不变,则P点的电势升高,因为带电小球带正电荷,小球的电势能增大,故D正确。
9.如图所示,平行板电容器的两个极板A、B分别接在电压为60 V的恒压电源上,两极板间距为3 cm,电容器带电荷量为 6×10-8 C,A极板接地。求:
(1)平行板电容器的电容;
(2)平行板电容器两板之间的电场强度;
(3)距B板2 cm的M点处的电势。
解析:(1)由电容定义式C== F=1×10-9 F。
(2)两板之间为匀强电场E== V/m=2×103 V/m,方向竖直向下。
(3)M点距A板间距离为dAM=d-dBM=1 cm,
A与M间电势差UAM=EdAM=20 V,
又UAM=A-M,A=0可得M=-20 V。
答案:(1)1×10-9 F
(2)2×103 V/m,方向竖直向下
(3)-20 V
10.如图所示,平行板电容器与电源相连,两极竖直放置,间距为d。在两极板的中央位置,用长为L的绝缘细线悬挂一个质量为m,电荷量为q的小球。小球静止在A点,此时细线与竖直方向成θ角。已知电容器的电容为C,重力加速度大小为g。
(1)求平行板电容器两极板间的电场强度大小;
(2)求电容器极板上所带电荷量Q;
(3)将小球从悬点正下方O点(细线处于张紧状态)由静止释放,求小球运动到A点时的速度。
解析:(1)带电小球静止在A点的受力分析如图所示。
根据平衡条件可得qE=mgtan θ,
解得E=。
(2)设两极板间电压为U,
则U=Ed,
又C=,
可得Q=CEd=。
(3)带电小球从O点运动到A点,由动能定理得
qELsin θ-mgL(1-cos θ)=mv2-0,
解得v= 。
答案:(1)　(2) (3)9　带电粒子在电场中的运动
学习目标 成长记录
1.会从力和运动、能量两个角度分析、计算带电粒子在电场中的加速问题。 知识点一&要点一
2.能够用类平抛运动的分析方法研究带电粒子在电场中的偏转问题。 知识点二&要点二
3.了解示波管的主要构造和工作原理,体会静电场知识对科学技术的影响。 知识点二
知识点一　带电粒子的加速
两种思路
(1)利用牛顿运动定律求出粒子的加速度,再运用运动学公式求出它的末速度,适用于匀强电场,对非匀强电场不适用。
(2)利用电场力做功结合动能定理求粒子加速后的末速度,既适用匀强电场,也适用于非匀强电场。
知识点二　带电粒子在匀强电场中的偏转
1.问题类型:带电粒子沿垂直电场线方向进入匀强电场。
2.分析思路:粒子所受电场力为恒力,加速度保持不变,分析其运动与分析平抛运动是一样的。
3.技术应用——示波管
(1)构造:示波管由加速装置(电子枪)、偏转电极和荧光屏组成,管内抽成真空,如图所示。
(2)原理:若Y1、Y2和X1、X2之间未加电压,电子束将打到荧光屏中央O点,形成一个亮斑;Y1、Y2和X1、X2加上电压后,分别控制电子束沿竖直方向和水平方向的偏转,从而电子束有可能打到荧光屏的各个位置。
1.思考判断
(1)基本带电粒子在电场中不受重力。(　×　)
(2)带电粒子仅在静电力作用下运动时,动能一定增加。(　×　)
(3)带电粒子在匀强电场中偏转时,其速度和加速度均不变。(　×　)
(4)带电粒子在匀强电场中无论是直线加速还是偏转,均做匀变速运动。(　√　)
(5)示波管电子枪的作用是产生高速飞行的电子束,偏转电极的作用是使电子束发生偏转,打在荧光屏的不同位置。(　√　)
(6)示波管的荧光屏上显示的是电子的运动轨迹。(　×　)
2.思维探究
(1)若电子的质量为m、电荷量为e,电子枪的加速电压为U,加速后电子的速度能否由牛顿第二定律求解 应如何求
(2)大量带电粒子,质量不同,带电荷量相同,以相同的速度垂直电场进入并穿过同一个电容器,它们的运动时间相同吗 运动轨迹相同吗
答案:(1)不能用牛顿第二定律求解,因为不是匀强电场,静电力不是恒定的。由动能定理qU=mv2得v=。
(2)在水平方向上做匀速运动,由l=v0t知运动时间相同。不同粒子在沿初速度方向上运动情况相同,在垂直初速度方向上运动情况不同,故它们的运动轨迹不同。
要点一　带电粒子在电场中的加速运动
如图所示,在真空中有一对平行金属板,由于接上电池组而带电,两板间电势差为U,若一个质量为m、带正电荷q的粒子,以初速度v0从正极板附近向负极板运动。
试结合上述情境讨论:
(1)怎样计算它到达负极板时的速度
(2)若粒子带的是负电荷(初速度为v0),将做匀减速直线运动,如果能到达负极板,其速度如何
(3)上述问题中,两块金属板是平行的,两板间的电场是匀强电场,如果两金属板是其他形状,中间的电场不再是匀强电场,上面的结果是否仍然适用 为什么
答案:(1)由动能定理有qU=mv2-m,
得v=。
(2)由动能定理有-qU=mv2-m,得v=。
(3)结果仍然适用。因为不管是否为匀强电场,静电力做功都可以用W=qU计算,动能定理仍然适用。
1.两类带电体
(1)基本粒子
如电子、正电子、质子、α粒子、正离子、负离子等微观基本粒子,一般都不考虑重力,但并不能忽略质量。
(2)宏观微粒
如带电小球、液滴、尘埃等细小宏观带电体,除非有特别说明或明确表示,一般都要考虑重力。复合场中的某些带电体,要根据题目说明或运动状态来判定是否考虑重力。
2.解决带电粒子在电场中加速时的基本思路
[例1] 如图所示,在P板附近有一电子由静止开始向Q板运动。已知两极板间电势差为U,板间距为d,电子质量为m,电荷量为e。则关于电子在两板间的运动情况,下列叙述正确的是(　A　)
A.若将板间距d增大一倍,则电子到达Q板的速率保持不变
B.若将板间距d增大一倍,则电子到达Q板的速率也增大一倍
C.若将两极板间电势差U增大一倍,则电子到达Q板的时间保持不变
D.若将两极板间电势差U增大一倍,则电子到达Q板的时间减为一半
解析:由动能定理有mv2=eU,得v=,可见电子到达Q板的速率与板间距离d无关,故A项正确,B项错误;两极板间为匀强电场E=,电子的加速度a=,由运动学公式d=at2得 t==,若两极板间电势差增大一倍,则电子到达Q板时间减为原来的,故C,D项都错误。
(1)对于匀强电场虽然用动力学观点和功能观点均可求解,但运用功能观点列式更简单,故应优先选用功能观点。
(2)若电场为非匀强电场,带电粒子做变加速直线运动,不能通过牛顿运动定律求解。注意W=qU对一切电场适用,因此从能量的观点入手,由动能定理来求解。
(3)在匀强电场中运动的带电粒子,只受静电力时,可以利用动量Ft=Δp计算运动时间。
[针对训练1] 一个电子(质量为9.1×10-31 kg,电荷量为1.6×10-19 C)以v0=4.0×107 m/s的初速度沿着匀强电场的电场线方向飞入匀强电场,已知电场强度大小E=2.0×105 N/C,不计重力,求:
(1)电子在电场中运动的加速度大小;
(2)电子进入电场后移动的最大距离;
(3)电子进入电场运动到最大距离的一半时的动能。
解析:(1)电子沿电场线的方向飞入,仅受静电力作用,做匀减速运动,由牛顿第二定律得a==3.5×1016 m/s2。
(2)电子做匀减速直线运动,由运动学公式=2ax得
x==2.3×10-2 m。
(3)设电子进入电场最大距离的一半时的动能为Ek,根据动能定理,有
-eE·x=Ek-m,
则Ek=m-eEx,
代入数据得Ek=3.7×10-16 J。
答案:(1)3.5×1016 m/s2　(2)2.3×10-2 m (3)3.7×10-16 J
要点二　带电粒子在电场中的偏转运动
如图所示,两平行金属板接在直流电源两极间,一带电粒子以初速度v0垂直于电场线射入两平行板间并从右端飞出极板。设带电粒子所带电荷量为q,质量为m(不计重力)。平行板长为L,两板间距为d,电势差为U。
(1)你认为带电粒子的运动同哪种运动类似,这种运动的研究方法是什么
(2)怎样求带电粒子在电场中运动的时间t
(3)怎样确定粒子飞出极板时的速度大小和方向。
答案:(1)带电粒子以初速度v0垂直于电场线方向射入匀强电场时,受到恒定的与初速度方向垂直的静电力作用而做匀变速曲线运动,类似于力学中的平抛运动,粒子的运动可分解为垂直电场强度方向的匀速直线运动和沿电场方向的初速度为0的匀加速直线运动。
(2)根据粒子垂直于电场强度方向为匀速运动,可得粒子在电场中的运动时间t=。
(3)利用E=,F=qE,a=,t=,v=at,求出vy,则速度方向的偏转角θ满足tan θ=,大小为 v=。
1.带电粒子在电场中的偏转运动是类平抛运动,可以利用运动的合成与分解知识分析。
2.三个导出关系
(1)粒子离开电场时的侧向位移为y=at2=,其中a==,t=。
(2)粒子离开电场时的偏转角θ的正切值tan θ==,其中vx=v0,vy=at=。
(3)粒子离开电场时位移与初速度夹角α的正切值tan α==。
3.两个推论
(1)粒子从偏转电场中射出时,其速度方向的反向延长线与初速度方向的延长线交于一点,此点为初速度方向位移的中点,如图所示。
(2)位移方向与初速度方向夹角α的正切为速度偏转角θ正切的,即tan α=tan θ。
[例2] 如图所示,水平放置的两块平行金属板长l=5 cm,两板间距d=1 cm,两板间电压为U=90 V,且上板带正电,一个电子沿水平方向以速度v0=2.0×107 m/s,从两板中央射入,(电子质量m=9.0×10-31 kg,电子电荷量q=1.6×10-19 C)求:
(1)电子飞出金属板时侧位移y0是多少;
(2)电子离开电场后,打在屏上的P点,若s=10 cm,求OP的长。
解析:(1)竖直方向做匀加速直线运动,根据电容器电压与电场强度的关系得
E==9 000 V/m,
F=Eq=9 000×1.6×10-19 N=1.44×10-15 N,
又因为F=ma,
所以a==1.6×1015 m/s2。
水平方向做匀速运动,故t==2.5×10-9 s,
所以y0=at2=0.005 m。
(2)竖直方向速度v1=at=4×106 m/s,
从平行板出去后做匀速直线运动,
水平和竖直方向都是匀速运动,
水平方向t1==5×10-9 s,
竖直方向PM=v1t1=0.02 m。
PO=PM+MO=PM+y0=0.025 m。
答案:(1)0.005 m　(2)0.025 m
(1)由于y==·,tan θ==·,所以以相同初速度v0进入同一个偏
转电场的带电粒子,不论m、q是否相同,只要相同,其偏转距离y和偏转角θ就相同。
(2)由于y==·,tan θ==·,所以以相同的初动能Ek0进入同一个偏转电场的带电粒子,只要q相同,不论m是否相同,其偏转距离y和偏转角θ就相同。
(3)不同的带电粒子经同一加速电场加速后,进入同一偏转电场,由于y=,tan θ=,所以偏转距离y和偏转角θ都相同。
[针对训练2] 三个α粒子在同一地点沿同一方向飞入偏转电场,出现了如图所示的轨迹,由此可以判断下列不正确的是(　B　)
A.在b飞离电场的同时,a刚好打在负极板上
B.b和c同时飞离电场
C.进电场时c的速度最大,a的速度最小
D.动能的增加值c最小,a和b一样大
解析:三个粒子的质量和电荷量都相同,则知加速度相同。a、b两粒子在竖直方向上的位移相等,根据y=at2,可知运动时间相等,故A正确。b、c竖直方向上的位移不等,ycvb。根据ta=tb,xb>xa。则vb>va。所以有vc>vb>va,故C正确。根据动能定理知,a、b两电荷,电场力做功一样多,所以动能增加量相等。c电荷电场力做功最少,动能增加量最小,故D正确。
示波管常见问题的解决方法
　　在示波管模型中,带电粒子经加速电场U1加速,再经偏转电场U2偏转后,需要经历一段匀速直线运动才会打到荧光屏上而显示亮点P,如图所示。
1.确定最终偏移距离
思路一:
思路二:
2.确定偏转后的动能(或速度)
思路一:
思路二:
[示例] 如图所示是示波管的原理示意图。电子从灯丝发射出来经电压为U1的电场加速后,通过加速极板A上的小孔O1射出,沿中心线O1O2进入M、N间的偏转电场,O1O2与偏转电场方向垂直,偏转电场的电压为U2,经过偏转电场的右端P1点离开偏转电场,然后打在垂直O1O2放置的荧光屏上的P2点。已知平行金属极板M、N间距离为d,极板长度为L,极板的右端与荧光屏之间的距离为L′。不计电子之间的相互作用力及其所受的重力,且电子离开灯丝时的初速度可忽略不计。
(1)求电子通过P1点时偏离中心线O1O2的距离。
(2)若O1O2的延长线交于屏上O3点,而P2点到O3点的距离称为偏转距离y,单位偏转电压引起的偏转距离(即)称为示波管的灵敏度。求该示波管的灵敏度。
解析:(1)电子由灯丝到O1的过程中,电场力对电子做功。设电子质量为m,电荷量为e,电子通过O1时的速度大小为v1,根据动能定理有eU1=m,解得v1=,电子在偏转电场中运动的过程中,沿O1O2方向以速度v1做匀速运动,沿垂直O1O2方向做初速度为零的匀加速直线运动。设电子的加速度为a,根据牛顿第二定律=ma,设电子在偏转电场中运动的时间为t1,则L=v1t1,根据运动学公式,电子在垂直O1O2方向的位移y1=a=。
(2)电子离开偏转极板时,垂直O1、O3方向的速度v2=at1=,
从P1到P2的运动时间t2=,
电子离开偏转电场后,垂直O1、O3方向的运动位移y2=v2t2=,
P2到O3的距离为y=y1+y2=(+L′),
该示波管的灵敏度为=(+L′)。
答案:(1)　(2)(+L′)
医用加速器
　　医用加速器是生物医学上的一种用来对肿瘤进行放射治疗的装置,是用人工方法借助不同形态的电场,将各种不同种类的带电粒子通过加速器加速到更高能量,用于轰击病灶达到治愈的作用。依据加速粒子种类、加速电场形态、粒子加速过程所遵循的轨道不同而分为各种类型加速器。目前国际上,在放射治疗中使用最多的是电子直线加速器。
[示例] 当今医学上对某些肿瘤采用质子疗法进行治疗,该疗法用一定能量的质子束照射肿瘤杀死癌细胞,如图所示。现用一直线加速器来加速质子,使其从静止开始被加速到1.0×107 m/s。已知加速电场的电场强度为1.3×105 N/C,质子的质量为 1.67×10-27 kg,电荷量为1.6×10-19 C,则下列说法正确的是(　D　)
A.加速过程中质子电势能增加
B.质子所受到的静电力约为2×10-15 N
C.质子加速需要的时间约为8×10-6 s
D.加速器加速的直线长度约为4 m
解析:静电力对质子做正功,质子的电势能减少,A错误;质子受到的静电力F=qE≈2×10-14 N,
B错误;质子的加速度a=≈1.2×1013 m/s2,加速时间t=≈8×10-7 s,C错误;加速器加速的直线长度x=≈4 m,故D正确。
课时作业
1.(多选)如图,平行板电容器两极板M、N的间距为d,质量为m、电荷量为+q 的粒子从M极板的边缘以初速度v0射入,沿直线从极板N的边缘射出。已知重力加速度为g,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　ACD　)
A.M极板电势低于N极板
B.粒子做匀加速直线运动
C.两极板间的电势差为
D.带电粒子的电势能将增大
解析:微粒在电场中受到重力和电场力,而做直线运动,电场力与重力必定平衡做匀速直线运动,可判断出电场力方向竖直向上,微粒带正电,电场强度方向竖直向上,M板的电势低于N板的电势,故A正确,B错误;由上分析可知mg=q,则得到两极板的电势差U=,故C正确;因重力做正功,重力势能减小,动能不变,根据能量守恒定律得知,微粒的电势能增加,故D正确。
2.如图甲所示,在间距足够大的平行金属板A、B之间有一电子,在A、B之间加上按如图乙所示规律变化的电压,在t=0时刻电子静止且A板电势比B板电势高,则(　B　)
A.电子在A、B两板间做往复运动
B.在足够长的时间内,电子一定会碰上A板
C.当t=时,电子将回到出发点
D.当t=时,电子的位移最大
解析:电子先向A板做半个周期的匀加速运动,接着做半个周期的匀减速运动,经历一个周期后速度为零,以后重复以上过程,运动方向不变,选项B正确。
3.如图所示,质子H)和α粒子He)以相同的初动能垂直射入偏转电场(粒子不计重力),则这两个粒子射出电场时的侧位移y之比为(　B　)
A.1∶1 B.1∶2 C.2∶1 D.1∶4
解析:由y=和Ek0=m得y=,y与q成正比,选项B正确。
4.如图所示,质量相等的两个带电液滴1和2从水平方向的匀强电场中O点自由释放后,分别抵达B、C两点,若AB=BC,则它们带电荷量之比q1∶q2 等于(　B　)
A.1∶2 B.2∶1
C.1∶ D.∶1
解析:竖直方向有h=gt2,水平方向有l=t2,联立可得q=,所以有=,B正确。
5.一束正离子以相同的速率从同一位置,沿垂直于电场方向飞入匀强电场中,所有离子的运动轨迹都是一样的,这说明所有粒子(　C　)
A.都具有相同的质量
B.都具有相同的电荷量
C.具有相同的荷质比
D.都是同一元素的同位素
解析:由偏转距离y=可知,若运动轨迹相同,则水平位移相同,偏转距离y也应相同,已知E、l、v0是相同的,所以应有相同,C正确。
6.如图,电子在电势差为U1的电场中加速后,垂直进入电势差为U2的偏转电场,在满足电子能射出的条件下,下列四种情况中,一定能使电子的偏转角θ变大的是(　B　)
A.U1变大,U2变大 B.U1变小,U2变大
C.U1变大,U2变小 D.U1变小,U2变小
解析:根据动能定理eU1=mv2,得v=,在偏转电场中vy=at,a=,且t=,则tan θ==,若一定使偏转角θ变大,即tan θ一定变大,由上式看出可以使U1变小,U2变大,故B正确,A,C,D错误。
7.如图所示,在竖直向下的匀强电场中有一足够长的光屏竖直放置,在光屏左侧距离为l处的O点有一粒子源,能沿着OO′方向(OO′连线与光屏垂直)连续发射带电荷量为+q、质量为m的粒子,每个粒子打到光屏上会产生一个亮点。当粒子的初速度v≥v0时,观察到光屏上形成的亮线的最下端到O′点的距离为h,不计粒子重力及粒子间的相互作用力,则(　C　)
A.初速度等于v0的粒子在电场中飞行的时间为
B.该电场的电场强度大小E=
C.初速度等于v0的粒子打在光屏上时,其速度偏转角的正切值为
D.初速度越大的粒子在电场中运动的位移也越大
解析:由题意可知,初速度等于v0的粒子应打在亮线的最下端,如图所示,粒子水平方向做匀速直线运动,故而t=,A错误;竖直方向上h=×t2=×·,整理得E=,B错误;在类平抛运动中,粒子速度偏转角的正切值等于位移偏转角正切值的2倍,则初速度为v0的粒子打在光屏上时速度偏转角的正切值为,C正确;初速度越大的粒子,飞行时间越短,打在光屏上时竖直位移越小,总位移也越小,D错误。
8.(多选)如图所示,一电子沿x轴正方向射入匀强电场,在电场中的运动轨迹为OCD,C点位于极板长度的中点,D点为射出极板位置,电子过C、D两点时竖直方向的分速度为vCy和vDy;电子在OC段和OD段动能的变化量分别为ΔEk1和ΔEk2,则(　AD　)
A.vCy∶vDy=1∶2 B.vCy∶vDy=1∶4
C.ΔEk1∶ΔEk2=1∶3 D.ΔEk1∶ΔEk2=1∶4
解析:电子沿Ox轴射入匀强电场,做类平抛运动,水平方向做匀速直线运动,则电子从O到C与从C到D的时间相等;电子在竖直方向上做初速度为零的匀加速运动,则有vCy=atOC,vDy=atCD,所以vCy∶vDy=tOC∶tCD=1∶2,故A正确,B错误;根据y=at2,则yOC∶yCD=1∶4,根据动能定理,有ΔEk1=qEyOC,ΔEk2=qEyCD,得ΔEk1∶ΔEk2=1∶4,故C错误,D正确。
9.水平放置的平行金属板A、B连接一恒定电压,两个质量相等的电荷M和N同时分别从极板A的边缘和两极板的正中间沿水平方向进入板间电场,两电荷恰好在板间某点相遇,如图所示。若不考虑电荷的重力和它们之间的相互作用,则下列说法正确的是(　A　)
A.电荷M的比荷大于电荷N的比荷
B.两电荷在电场中运动的加速度相等
C.从两电荷进入电场到两电荷相遇,电场力对电荷M做的功等于电场力对电荷N做的功
D.电荷M进入电场的初速度大小与电荷N进入电场的初速度大小一定相同
解析:若两板间电压为U,间距为d,长为L。则由题意vNt+vMt=L①,
t2+=t2②,由①式分析得vM、vN不一定相同,D错误;由②式分析得>,A正确,由>进一步分析可得两个电荷的加速度aM>aN,电场力对电荷所做的功WM>WN,B,C错误。
10.如图所示,半径为r的绝缘细圆环的环面固定在水平面上,电场强度为E的匀强电场与环面平行。一电荷量为+q、质量为m的小球穿在环上,可沿环做无摩擦的圆周运动,若小球经A点时,速度vA的方向恰与电场垂直,且圆环与小球间沿水平方向无力的作用,求:
(1)速度vA的大小;
(2)小球运动到与A点对称的B点时,对环在水平方向的作用力的大小。
解析:(1)在A点,小球在水平方向只受静电力作用,根据牛顿第二定律得qE=m,
所以小球在A点的速度vA=。
(2)在小球从A到B的过程中,根据动能定理,静电力做的正功等于小球动能的增加量,即2qEr=m-m,
小球在B点时,根据牛顿第二定律,在水平方向有FB-qE=m,
联立解得小球在B点受到环的水平作用力为FB=6qE,
由牛顿第三定律知,小球在B点对环在水平方向的作用力的大小
FB′=6qE。
答案:(1)　(2)6qE
11.如图所示,水平放置的两平行金属板,板长l为10 cm,两板相距d=2 cm。一束电子以v0=4.0×107 m/s 的初速度从两板中央水平射入板间,然后从板间飞出射到距板右端L为 45 cm、宽D为20 cm的荧光屏上。求:(不计电子重力,荧光屏中点在两板间的中线上,电子质量m=9.0×10-31 kg,电荷量e=1.6×10-19 C)
(1)电子飞入两板前所经历的加速电场的电压;(设从静止加速)
(2)为使带电粒子能射到荧光屏的所有位置,两板间所加电压的取值范围。
解析:(1)设加速电场的电压为U1,由动能定理可得eU1=m-0,
得U1=,
代入数据得U1=4.5×103 V。
(2)如图所示,设电子飞出偏转电场时速度为v1,和水平方向的夹角
为θ,偏转电压为U2,偏转位移为y,则
y=at2=,
tan θ===。
由此看出,电子从偏转电场射出时,不论偏转电压多大,电子都像是从偏转电场的两极板间中线的中点沿直线射出一样,射出电场后电子做匀速直线运动恰好打在荧光屏的边缘上,结合图可得
tan θ==,
U2=,代入数据得U2=360 V。
因此偏转电压在-360 V～360 V范围内时,电子可打在荧光屏上的任何位置。
答案:(1)4.5×103 V　(2)-360 V～360 V
静电场　检测试题
(时间:90分钟　满分:100分)
一、选择题(共12小题,每小题4分,共48分。1～6小题为单项选择题,7～12小题为多项选择题,全部选对得4分,选对但不全的得2分,有错误的不得分)
1.甲、乙两完全相同的金属球(可视为质点)分别带电荷量+4q和-2q,当它们相距d时,它们间的库仑力大小为F。让甲、乙接触后,再使其相距,则甲、乙间的库仑力大小为(　A　)
A.2F B.3F C.4F D.16F
解析:根据库仑定律公式得F=k=8k;两球接触再分离后所带电荷量各为q,那么甲、乙间的库仑力大小F′=k=16k=2F,故A
正确。
2.如图所示的是四种典型的静电场,图A是两块带等量异种电荷的平行金属板间产生的匀强电场,a、b是电场中的两个点;图B是点电荷产生的电场,a、b是离点电荷等距的两个点;图C是两个等量同种电荷产生的电场,a、b是两电荷连线中垂线上与连线中点O等距的两个点;图D是两个等量异种电荷产生的电场,a、b是两电荷连线中垂线上与连线中点O等距的两个点。在这四幅图中,a、b两点的电势相等,电场强度也相同的是(　D　)
解析:A图中a、b是匀强电场中的两点,电场强度相同,而a点的电势高于b点的电势,故A错误;B图中a、b是同一等势面上的两点,电势相同,电场强度大小相等,但方向不同,则电场强度不同,故B错误;根据电场线的对称性可知,C图中a、b两点电势相同,电场强度大小相等,但方向相反,所以电场强度不同,故C错误;等量异种电荷连线的中垂线是一条等势线,则D图中a、b的电势相同,由于其电场线关于两电荷连线上下对称,电场强度也相同,故D正确。
3.如图,一半径为R的电荷量为Q的均匀带电球壳,A、B为球壳表面上的两点。O、P、M、N在一条直线上,PO=r且r>R,PM=MN,下列说法正确的是(　A　)
A.P点的电场强度的大小E=k
B.电势差UPM=UMN
C.电势差UAP>UBP
D.若电荷量Q不变,P点位置不变,O点位置不变,仅令R变小,则P点的电场强度变小
解析:均匀带电球壳在P点产生的电场强度等效于电荷量为Q的点电荷置于O点在P点产生的电场强度,E=k,若电荷量Q不变,P点位置不变,O点位置不变,仅令R变小,则P点的电场强度不变,故A正确,D错误;由P到N,电场强度逐渐减小,根据U=Ed分析知,UPM>UMN,故B错误;均匀带电球壳为等势面,A、B两点的电势相等,则UAP=UBP,故C错误。
4.Q1、Q2为两个带电质点,带正电的检验电荷q沿中垂线向上移动时,q在各点所受Q1、Q2作用力的合力大小和方向如图中细线所示(力的方向都是向左侧),由此可以判断(　C　)
A.Q2可能带负电荷
B.Q1、Q2可能为等量异种电荷
C.Q2电荷量一定大于Q1的电荷量
D.中垂线上的各点电势相等
解析:由图可知带正电的检验电荷受到两个电荷的库仑力的合力方向为左上方或左下方,所以Q2一定带正电荷,Q1可能带正电荷也可能带负电荷,且Q2>Q1,选项A,B,D错误,C正确。
5.如图所示是某点电荷电场中的一条电场线,A、B、C是电场线上的三点,相邻两点间的距离AB=BC。则(　B　)
A.三点电场强度大小的关系为EA>EB>EC
B.三点电势之间的关系为A>B>C
C.相邻两点间电势差之间的关系为UAB=UBC
D.电子在三点具有的电势能之间的关系为EpA>EpB>EpC
解析:只有一条电场线,无法确定三点电场线疏密情况,不能判断电场强度的大小,故A错误;沿着电场线方向,电势逐渐降低,故三点电势之间的关系为A>B>C,故B正确;相邻两点间的距离AB=BC,且该电场线是某点电荷电场中的一条电场线,不能判断电势差关系,故C错误;根据Ep=q可知电子在电势高的位置,电势能小,EpA错误。
6.如图所示,虚线是某静电场的一簇等势面,一带电粒子只在静电力作用下恰能沿图中的实线从A经过B运动到C。(B是轨迹的中点)下列说法中正确的是(　C　)
A.粒子一定带负电
B.A处电场强度小于C处电场强度
C.粒子在A处电势能小于在C处电势能
D.粒子从A到B静电力所做的功等于从B到C静电力所做的功
解析:根据粒子轨迹的弯曲方向可知,粒子所受的静电力方向大致向左,由于电势的高低关系未知,所以不能判断出粒子带正电还是带负电,故A错误;由图知道,等势面间电势差相等,而A处等差等势面较密,则A点的电场强度较大,故B错误;从A点运动到B点,静电力方向与速度的夹角为钝角,静电力做负功,电势能增大,粒子在A处电势能小于在C处电势能,故C正确;由图可知,A处的电场强度大,可知AB之间的电势差要大于BC之间的电势差,所以粒子从A到B静电力所做的功大于从B到C静电力所做的功,故D错误。
7.某同学设计了一种静电除尘装置,如图甲所示,其中有一长为L、宽为b、高为d的通道,其前、后面板为绝缘材料,上、下面板为金属材料。图乙是装置的截面图,上、下两板与电压恒定为U的高压直流电源相连。带负电的尘埃被吸入通道的水平速度为v0,当碰到下板后其所带电荷被中和,同时被收集。将被收集尘埃的数量与进入通道尘埃的数量的比值,称为除尘率。不计尘埃的重力及尘埃之间的相互作用。要增大除尘率,则下列措施可行的是(　AC　)
A.只增大电压U
B.只增大高度d
C.只增大长度L
D.只增大尘埃被吸入水平速度v0
解析:增加除尘率即是让离下极板较远的粒子落到下极板上,带电尘埃在通道内做类平抛运动,在沿电场的方向上的位移为y=··
()2,即增加y即可。只增加电压U可以增加y,故A满足条件;只增大高度d,由题意知d增大则位移y减小,故B不满足条件;只增加长度L,可以增加y,故C满足条件;只增大水平速度v0,y减小,故D不满足条件。故选AC。
8.一半径为R的光滑圆环竖直放在水平向右的电场强度为E的匀强电场中,如图所示,环上a、c是竖直直径的两端,b、d是水平直径的两端,质量为m的带电小球套在圆环上,并可沿环无摩擦滑动,已知小球自a点由静止释放,沿abc运动到d点时速度恰好为零,由此可知(　AC　)
A.小球所受重力与静电力大小相等
B.小球在b点时的机械能最小
C.小球在d点时的电势能最大
D.小球在c点时的动能最大
解析:根据动能定理,合力做的功等于动能的增加量;从a到d过程,有mg·R-qE·R=0解得qE=mg,故A正确;根据功能关系,除重力外其他力做功等于机械能的增加量;小球受到重力、静电力和环的弹力作用,弹力沿径向,速度沿着切向,故弹力一直不做功,除重力外只有静电力做功,由于静电力水平向左,故运动到b点时,静电力做的正功最多,所以机械能增量最大,故B错误;根据功能关系,静电力做负功,电势能增加;静电力向左,故运动到d点时克服静电力做的功最多,电势能增加得最多,电势能最大,故C正确;在bc段圆弧的中点处,小球所受静电力与重力大小相等,小球运动到此处时动能最大,故D错误。
9.如图所示,在足够长的光滑绝缘水平直线轨道上方的P点,固定一电荷量为+Q的点电荷。一质量为m,带电荷量为+q的物块(可视为质点的检验电荷),从轨道上的A点以初速度v0沿轨道向右运动,当运动到P点正下方B点时速度为v。已知点电荷产生的电场在A点的电势为(取无穷远处电势为零),P到物块的重心竖直距离为h,P、A连线与水平轨道的夹角为60°,k为静电力常量,下列说法正确的是(　ABD　)
A.点电荷+Q产生的电场在B点的电场强度大小为EB=k
B.物块在A点时受到轨道的支持力大小为mg+
C.物块在A点的电势能EpA=+Q
D.点电荷+Q产生的电场在B点的电势B=(-v2)+
解析:点电荷+Q产生的电场在B点的电场强度大小为EB=k,选项A正确;由几何关系可知r=,设物块在A点时受到轨道的支持力大小为FN,由平衡条件有FN-mg-Fsin 60°=0,解得FN=mg+,选项B正确;物块在A点的电势能EpA=+q,选项C错误;设点电荷产生的电场在B点的电势为B,由动能定理有q(-B)=mv2-m,解得
B=+,选项D正确。
10.如图所示,A、B为两块水平放置的金属板,通过闭合的开关S分别与电源两极相连,两板中央各有一个小孔a和b,在a孔正上方某处放一带电质点由静止开始下落,若不计空气阻力,该质点到达b孔时速度恰为零,然后返回。现要使带电质点能穿过b孔,则可行的方法是(　BCD　)
A.保持S闭合,将A板适当上移
B.保持S闭合,将B板适当下移
C.先断开S,再将A板适当下移
D.先断开S,再将B板适当上移
解析:由题意可知,质点刚好可以到达b点,由动能定理可知重力做的功和克服静电力做功相等,若保持S闭合,将A板适当上移,两板间的电压不变,小球的起点和b孔间的竖直距离不变,小球仍能刚好到达b点,故A错误;若保持S闭合,将B板适当下移,两板间的电压不变,小球的起点和b孔间的竖直距离变大,小球从下落到运动至b孔过程中,克服静电力做功不变,但重力做功变大,小球能穿过b孔,故B正确;若断开S,将A板适当下移,两板间的电压变小,小球从下落到运动至b孔过程中,重力做功不变,但克服静电力做功变小,小球能穿过b孔,故C正确;若断开S,将B板适当上移,两板间的电场强度不变,当小球运动至b孔时速度不为零,小球能穿过b孔,故D正确。
11.在x轴上电场强度E与x的关系如图所示,O为坐标原点,a、b、c为x轴上的点,a、c之间的距离为d,a、c两点的电场强度大小均为E0,则下列说法中正确的是(　CD　)
A.b>a=c>O
B.OC.将质子从a点移到c点,静电力做功大于eE0d
D.将质子从a点移到c点,质子的电势能减少
解析:由图可知,电场强度方向沿x轴方向,因沿电场方向电势降低,故O>a>b>c,选项A,B错误;a、c间的电场强度大于E0,故质子受到的静电力大于eE0,质子从a点移到c点,静电力做功将大于eE0d,选项C正确;质子受到的静电力沿x轴正方向,故将质子从a点移到c点,静电力对质子做正功,质子的电势能减少,选项D正确。
12.在电场方向水平向右的匀强电场中,一带电小球从A点竖直向上抛出,其运动的轨迹如图所示,小球运动的轨迹上A,B两点在同一水平线上,M为轨迹的最高点,小球抛出时的动能为8 J,在M点的动能为6 J,不计空气的阻力。则(　ACD　)
A.小球水平位移x1与x2的比值为1∶3
B.小球水平位移x1与x2的比值为1∶4
C.小球落到B点时的动能为32 J
D.小球从A点运动到B点的过程中最小动能为 J
解析:小球在竖直方向上做竖直上抛运动,根据对称性得知,从A点至M点和从M点至B点的时间t相等,小球在水平方向上做初速度为零的匀加速直线运动,设加速度为a,根据位移时间公式x1=at2,
x1+x2=a(2t)2,联立可得=,故选项A正确,B错误;小球的运动轨迹如图所示,小球从A到M,由功能关系知在水平方向上静电力做功为
W电=Eqx1=6 J,则从A到B水平方向上静电力做功为W电′=Eq(x1+x2)=
4W电=24 J,根据能量守恒可知,小球运动到B点时的动能为EkB=Ek0+
4W电=8 J+24 J=32 J,选项C正确;由题知初动能m=8 J,又竖直方向上vA=gt=t,在水平方向上vM=at=t,又有 m=6 J,联立以上各式解得=,由几何关系可知,sin θ=,据运动轨迹,当小球的运动方向与合加速度的方向垂直时,小球的速度最小,所以Ekmin=m=m
(vAsin θ)2= J,选项D正确。
二、非选择题(共6小题,共52分)
13.(6分)如图所示,平行板电容器的两个极板A、B分别接在电压为60 V的恒压电源上,两极板间距为3 cm,电容器电荷量为6×10-8 C,
A极板接地。求:
(1)平行板电容器的电容;
(2)平行板电容器两极板之间的电场强度;
(3)距B极板2 cm的M点处的电势。
解析:(1)平行板电容器的电容C== F=1×10-9 F。
(2)两极板之间的电场强度E== V/m=2×103 V/m,方向竖直向下。
(3)M点距A极板的距离为dAM=d-dBM=1 cm。
A与M间电势差UAM=EdAM=20 V,
又UAM=A-M,A=0,
可得M=-20 V。
答案:(1)1×10-9 F
(2)2×103 V/m　方向竖直向下
(3)-20 V
14.(7分)质量为m,带电荷量为-q的微粒(重力不计),经过匀强电场中的A点时速度为v,方向与电场线垂直,运动到B点时速度大小为2v,如图所示。已知A、B两点间的距离为d。求:
(1)A、B两点间的电势差;
(2)电场强度的大小和方向。
解析:(1)根据动能定理可得-qUAB=m(2v)2-mv2,
解得UAB=-。
(2)由题意可知,带电微粒在电场中做类平抛运动,
垂直电场方向上做匀速运动,有x=vt,
沿电场方向做初速度为零的匀加速运动,又
x2+y2=d2,
v2+(at)2=(2v)2,
y=at2,a=,
解得E=,方向水平向左。
答案:(1)-　(2),方向水平向左
15.(8分)如图所示,在x>0的空间中,存在沿x轴正方向的匀强电场E;在x<0的空间内,存在沿x轴负方向的匀强电场,电场强度大小也等于E,一电子(-e,m)在x=d处的P点以沿y轴正方向的初速度v0开始运动,不计电子重力。求:
(1)电子在x轴方向的分运动的周期;
(2)电子运动的轨迹与y轴的各个交点中,任意两个相邻交点之间的距离l。
解析:(1)设电子从射入到第一次与y轴相交所用时间为t,
则有d=··t2,
解得t=。
所以,电子在x轴方向分运动的周期为T=4t=4。
(2)在竖直方向上有y=v0t=v0,
电子运动的轨迹与y轴的各个交点中,任意两个相邻交点之间的距离l=2y=2v0。
答案:(1)4　(2)2v0
16.(9分)如图所示,一质量为m的球形塑料容器放在桌面上,它的内部有一劲度系数为k的轻弹簧,弹簧直立地固定于容器内壁的底部,弹簧上端经绝缘体系住一只电荷量为+q、质量也为m的小球。从加一个竖直向上且电场强度为E的匀强电场起,到容器对桌面的压力减为零时为止,求:
(1)小球的电势能改变量;
(2)容器对桌面的压力减为零时小球的速度大小。
解析:(1)初状态,对小球进行受力分析,设弹簧压缩量为x1,
则mg=kx1,
得x1=。
当容器对桌面的压力为零时,对容器受力分析,可知弹簧伸长且拉力为mg,
弹簧伸长量x2=x1=。
该过程静电力做的功W=Eq(x1+x2)=,
所以小球电势能减少。
(2)对小球用动能定理,该过程弹簧弹力做的功是零,
则(Eq-mg)(x1+x2)=mv2,
得v=2。
答案:(1)减少了　(2)2
17.(11分)如图所示,虚线MN左侧有一个电场强度E1=E的匀强电场,在两条平行的直线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2=2E的匀强电场,在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子(电荷量e,质量为m,不计重力)无初速度放入电场E1中的A点,A点到MN的距离为,最后电子打在右侧的屏上,AO连线与屏垂直,垂足为O,求:
(1)电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值tan θ;
(2)电子打到屏上的点P′到O点的距离x。
解析:(1)电子在电场E1中做初速度为零的匀加速直线运动,设加速度为a1,由牛顿第二定律得a1==。
设电子刚射入电场E2时的速度为v1,有=2a1x0,
且x0=,
得v1=。
由牛顿第二定律得电子进入电场E2时的加速度为a2==。
进入电场E2到射出做匀速直线运动,时间为t2=。
设粒子射出电场E2时平行电场方向的速度为vy,则vy=a2t2,
电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值为tan θ=。
联立得tan θ=2。
(2)带电粒子在电场中的运动轨迹如图所示:
电子打到屏上的点P′到O点的距离为x,根据几何关系有tan θ=,
联立得x=3L。
答案:(1)2　(2)3L
18.(11分)如图所示,BC是半径为R=1 m的圆弧形光滑且绝缘的轨道,位于竖直平面内,其下端与水平绝缘轨道平滑连接,整个轨道处在水平向左的匀强电场中,电场强度为E=2.0×104 N/C,今有一质量为
m=1 kg、带正电且电荷量q=1.0×10-4 C的滑块(体积很小可视为质点),从C点由静止释放,滑到水平轨道上的A点时速度减为零。若已知滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ=0.2,求:
(1)滑块通过B点时的速度大小;
(2)滑块通过B点时圆弧轨道B点受到的压力大小;
(3)水平轨道上A、B两点之间的距离。
解析:(1)滑块从C点到B点的过程中,只有重力和静电力对其做功,设滑块通过B点时的速度为vB,根据动能定理有mgR-qER=m,
代入数据解得vB=4 m/s。
(2)设滑块通过B点时对B点的压力为F,轨道对滑块的支持力为F′,由牛顿第三定律知F′=F,
对滑块由牛顿第二定律得F′-mg=m。
联立并代入数据得F=26 N。
(3)滑块在水平轨道上运动时,所受摩擦力为Ff=μmg,滑块从C经B到A的整个过程中,重力做正功,静电力和摩擦力做负功。设滑块在水平轨道上运动的距离(即A、B两点间的距离)为L,则根据动能定理有
mgR-qE(R+L)-μmgL=0,
代入数据解得L=2 m。
答案:(1)4 m/s　(2)26 N　(3)2 m专题探究二　电场能的性质
类型一　电场线、等势面和运动轨迹的综合
[例1] 如图所示,在两等量异种点电荷连线上有D、E、F三点,且DE=EF。K、M、L分别为过D、E、F三点的等势面。一个不计重力的带负电粒子,从a点射入电场,运动轨迹如图中实线所示,以|Wab|表示该粒子从a点到b点静电力做功的数值,以|Wbc|表示该粒子从b点到c点静电力做功的数值,则(　C　)
A.|Wab|=|Wbc|
B.|Wab|<|Wbc|
C.粒子由a点到b点,动能减小
D.a点的电势较b点的电势低
解析:根据等量异种点电荷电场线的分布情况可知,DE段平均电场强度大于EF段平均电场强度,由公式U=Ed 定性分析得知,DE间电势差大于EF间电势差,由静电力做功公式W=qU得,|Wab|>|Wbc|,故A,B错误;由粒子的运动轨迹可判断,其所受的静电力大致方向向左,所以等量异种点电荷中正电荷在左侧,负电荷在右侧,a点的电势高于b点的电势,粒子由a点到b点过程中,电势能增大,动能减小,故C正确,D错误。
(1)速度方向沿运动轨迹的切线方向,所受合外力的方向指向曲线凹侧。
(2)电势能大小的判断方法
①静电力做功:静电力做正功,电势能减小;静电力做负功,电势能增加。
②利用公式法:由Ep=q知正电荷在电势高处电势能大,负电荷在电势低处电势能大。
[跟踪训练1] 虚线是用实验方法描绘出的某一静电场的一簇等势线,电势的值如图所示。一带电粒子只在静电力作用下飞经该电场时,恰能沿图中的实线AC运动,则下列判断正确的是(　C　)
A.粒子一定带负电
B.粒子在A点的电势能大于在C点的电势能
C.粒子在A点的动能大于在C点的动能
D.A点的电场强度小于C点的电场强度
解析:电场线和等势线垂直且由高电势的等势线指向低电势的等势线,可知图中电场线方向应垂直于等势线大体指向左侧,带电粒子所受的静电力沿电场线指向曲线内侧,也大体向左,故粒子应带正电,故A错误;从A到C过程中,静电力做负功,电势能增加,则粒子在A点的电势能小于在C点的电势能,故B错误;粒子运动过程中只有静电力做功,且静电力做负功,根据动能定理知动能减小,故粒子在A点动能较大,故C正确;A点等差等势线密,电场线也密,所以A点的电场强度大于C点的电场强度,故D错误。
类型二　电场中图像问题的分析
[例2] 在绝缘粗糙的水平面上相距6L的A、B两处分别固定正点电荷,其电荷量分别为QA、QB,两点电荷的位置坐标如图甲所示。图乙是A、B连线之间的电势与位置x之间的关系图像,图中x=L点为图线的最低点,若将质量为m、电荷量为+q的带电小球(可视为质点)在x=2L的C点由静止释放,其向左运动,则在接下来的过程中,下列说法正确的是(　C　)
A.小球一定能到达x=-2L处
B.小球在x=L处的加速度最小
C.小球在向左运动过程中动能先增大后减小
D.电荷量QA∶QB=2∶1
解析:若水平面光滑,小球能运动到电势与出发点的电势相等的位置,由于x=-2L处的电势高于x=2L处的,所以不能到达x=-2L处,水平面粗糙,则小球到达最左端的位置会比光滑时的还要近,A错误;据-x图像切线的斜率表示电场强度E,知x=L 处电场强度为零,由于在运动过程中小球受到摩擦力,且摩擦力方向向右,大小不变,故在x=L右侧某位置,合力为零,此时速度最大,加速度最小,B错误;小球先做加速运动后做减速运动,故动能先增大后减小,C正确;x=L处电场强度为零,根据点电荷电场强度公式有=,解得QA∶QB=4∶1,D错误。
(1)-x图像反映电势随x的变化规律,其斜率大小表示电场强度大小,斜率正负表示电场强度方向。斜率为正,表示电场强度沿x轴负方向;斜率为负,表示电场强度沿x轴正方向。
(2)E-x图像反映电场强度E随x的变化规律,其正负表示电场强度的方向。
[跟踪训练2] 在x轴上存在与x轴平行的电场,x轴上各点的电势随x点位置变化情况如图所示。图中-x1～x1之间为曲线,且关于纵轴对称,其余均为直线,也关于纵轴对称。下列关于该电场的论述正确的是(　B　)
A.x轴上各点的电场强度大小相等
B.从-x1～x1电场强度的大小先减小后增大
C.一个带正电的粒子在x1点的电势能大于在-x1点的电势能
D.一个带正电的粒子在-x1点的电势能大于在-x2点的电势能
解析:-x图像的斜率大小等于电场强度,所以x轴上的电场强度不同,故A错误;从-x1到x1图像斜率先减小后增大,故电场强度先减小后增大,故B正确;根据电势的定义=可知,一个带正电的粒子在-x1和x1位置电势能相等,故C错误;正电荷在电势高处的电势能大,故D错误。
类型三　电势、电势能、电场力做功的综合分析
[例3] 把一个电荷量为2×10-8 C的正点电荷从电场中的A点移到无限远处时,静电力做功8×10-6 J;若把该电荷从电场中的B点移到无限远处时,静电力做功2×10-6 J,取无限远处电势为零。
(1)求A点的电势;
(2)求A、B两点间的电势差;
(3)把电荷量为q=-2×10-5 C的点电荷由A点移到B点时,静电力做的功为多少
解析:(1)无限远处某点O的电势为零,根据静电力做功与电势能变化的关系有
WAO=EpA-EpO,
点电荷在无限远处时,其电势能为零,
即EpO=0,
故EpA=WAO=8×10-6 J。
根据电势的定义式得
A== V=400 V。
(2)把该电荷从电场中的B点移到无限远处的O点,静电力做功2×10-6 J,因为无限远处电势为零,根据静电力做功与电势能变化的关系有
WBO=EpB-EpO,
点电荷在无限远处时,其电势能为零,即
EpO=0,
故EpB=WBO=2×10-6 J。
根据电势的定义式得
B== V=100 V,
故A、B间的电势差为
UAB=A-B=400 V-100 V=300 V。
(3)把q=-2×10-5 C的负电荷由A点移到B点时,静电力所做的功
WAB=qUAB=-2×10-5×300 J=-6×10-3 J。
答案:(1)400 V　(2)300 V　(3)-6×10-3 J
(1)计算电场力做功的常用方法:
①利用电场力做功与电势能的关系求解:WAB=EpA-EpB。
②利用W=Fd求解,此公式只适用于匀强电场。
③利用公式WAB=qUAB求解。
④利用动能定理求解。
(2)静电场中的功能关系:电场力做的功等于电势能的减少量,即W电=-ΔEp。
[跟踪训练3] 一带电粒子沿图中曲线穿过一匀强电场中的等势面,且四个等势面的电势关系满足a>b>c>d,若不计粒子所受重力,则(　B　)
A.粒子一定带正电
B.粒子的运动是匀变速运动
C.粒子从A点到B点运动的过程中动能先减小后增大
D.粒子从A点到B点运动的过程中电势能增大
解析:由于a>b>c>d,所以电场线垂直于等势面由a指向d,根据电荷运动规律可知其受力由d指向a,即该粒子带负电;从A点到B点的运动过程中,粒子的动能增大,电势能减小。选项B正确,A,C,D错误。
1.(2021·全国乙卷,15)如图a,在一块很大的接地金属平板的上方固定一负电荷。由于静电感应,在金属平板上表面产生感应电荷,金属板上方电场的等势面如图b中虚线所示,相邻等势面间的电势差都相等。若将一正试探电荷先后放于M和N处,该试探电荷受到的电场力大小分别为FM和FN,相应的电势能分别为EpM和EpN,则(　A　)
A.FMEpN B.FM>FN,EpM>EpN
C.FMFN,EpM解析:由题图b中等势面的疏密程度可知EMEpN,故选A。
2.(多选)A、B是一条电场线上的两点,若在A点释放一初速度为零的电子,电子仅在电场力作用下沿电场线从A运动到B,其电势能Ep随位移s变化的规律如图所示。设A、B两点的电场强度分别为EA和EB,电势分别为A和B。则(　AD　)
A.EA=EB B.EAC.A>B D.A解析:从A运动到B过程中,因为是从静止开始运动的,所以电场力做正功,电场力做多少功,电势能就变化多少,所以有W=EpA-Ep=Eqs,因为图像Ep-s斜率恒定k=Eq,所以电场力恒定,故EA=EB,选项A正确,B错误;因为负电荷受到的电场力与电场方向相反,所以将负电荷从低电势移动到高电势处,电场力做正功,故A3.如图所示,在点电荷Q形成的电场中,已知a、b两点在同一等势面上,c、d两点在另一等势面上。甲、乙两个带电粒子的运动轨迹分别为acb和adb曲线,已知乙粒子带正电。那么下列判断正确的是(　D　)
A.甲粒子在b点的电势能比在c点小
B.乙粒子在d点速度最大
C.a、b两点电场强度相同
D.d点电势比b点电势高
解析:由图可知,甲粒子受到中心点电荷Q的吸引力,甲粒子从c点到b点的过程中静电力做负功,电势能增大,所以甲粒子在b点的电势能比在c点大,故A错误;乙粒子受到中心点电荷Q的排斥力,从a点到d点静电力做负功,动能减小,速度减小,从d点到b点静电力做正功,动能增大,速度增大,所以乙粒子在d点速度最小,故B错误;a、b两点电场强度大小相等,方向不同,则电场强度不同,故C错误;由题知,点电荷Q带正电,越靠近正点电荷Q电势越高,则d点电势比b点电势高,故D正确。
4.真空中相距为3a的两个点电荷A和B,分别固定于x轴上x1=0和x2=3a的两点,在两者连线上各点电场强度随x变化的关系如图所示,以下说法正确的是(　D　)
A.两者一定是异种电荷
B.x=a处的电势一定为零
C.x=2a处的电势一定大于零
D.A,B的电荷量之比为1∶4
解析:两点电荷连线中某点,电场强度E=0,说明两点电荷在该点产生的电场强度等大反向,故两点电荷一定为同种电荷,A项错误;由电场强度公式可知,k=k,故QA∶QB=1∶4,D项正确;若两点电荷均为正点电荷,则连线上各点电势均大于零,B项错误;若两点电荷均为负点电荷,则连线上各点电势均小于零,C项错误。
5.静电场中,若带电粒子在电场力作用下从电势为a的a点运动至电势为b的b点。若带电粒子在a、b两点的速率分别为va、vb,不计重力,则带电粒子的比荷为(　C　)
A. B.
C. D.
解析:由动能定理Wab=qUab=q(a-b)=m-m,可得比荷=。
6.如图所示,光滑绝缘细杆竖直放置,它与以正电荷Q为圆心的圆交于B、C两点,质量为m、电荷量为-q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑,已知q Q,AB=h,小球滑到B点时的速度大小为。则小球由A到C的过程中静电力做的功为　　　　,A、C两点间的电势差为　　　　。
解析:因为杆是光滑的,所以小球从A到B过程中只有两个力做功,静电力做功W和重力做功mgh,由动能定理得W+mgh=m,代入已知条件vB= 得静电力做功W=mgh,由B到C静电力做功为0,所以由A到C静电力做功WAC=W+0=mgh,UAC==-。
答案:mgh　-
课时作业
基础巩固
1.(多选)点电荷产生电场的电场线如图所示,关于A、B、C三点的关系,下列说法中正确的是(　AC　)
A.三点电场强度关系是EA>EB>EC
B.三点电势关系是AC.一电子沿直线从A点移到C点,电势能逐渐增大
D.若AB=BC,则AB,BC间的电势差关系是 UAB解析:根据电场线的疏密可判断电场强度的大小,则三点电场强度关系是EA>EB>EC,所以A正确;由于沿着电场线方向电势逐渐降低,所以三点电势关系是A>B>C,则B错误;一电子沿直线从A点移到C点,静电力做负功,则电势能逐渐增大,所以C正确;由于U=Ed,若AB=BC,
则AB、BC间的电势差关系是UAB>UBC,所以D错误。
2.(多选)如图所示,虚线为一组间距相等的同心圆,圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子以一定初速度射入电场,实线为粒子仅在静电力作用下的运动轨迹,a、b、c三点是实线与虚线的交点,则该粒子(　CD　)
A.带负电
B.在c点受力最大
C.在b点的电势能大于在c点的电势能
D.由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
解析:由带电粒子进入正点电荷形成的电场中的运动轨迹可以看出两者相互排斥,故带电粒子带正电,选项A错误;根据库仑定律F=k可知,a、b、c 三点中,在a点时受力最大,选项B错误;带电粒子从b点到c点的过程中,静电力做正功,电势能减小,故在b点的电势能大于在c点的电势能,选项C正确;由于虚线为等间距的同心圆,故Uab>Ubc,所以Wab>Wbc,根据动能定理,带电粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化,选项D正确。
3.如图,虚线a、b、c是在O点处的一个点电荷形成的静电场中的三个等势面,一带正电的粒子射入该电场中,其运动轨迹如实线KLMN所示。不计粒子的重力,由图可知(　D　)
A.粒子运动时静电力先做负功,后做正功
B.a、b、c三个等势面的电势关系是a>b>c
C.粒子运动时的电势能先增大后减小
D.粒子运动时的动能先增大后减小
解析:根据带电粒子轨迹的弯曲方向可知,带电粒子受到了引力作用,
O点处点电荷与带电粒子带异种电荷,所以O点处点电荷一定带负电,粒子运动过程中粒子所受的静电力方向与速度方向的夹角先为锐角,后为钝角,故静电力先做正功,后做负功,粒子运动时的电势能先减小后增大,动能先增大后减小,故A,C错误,D正确;O点处点电荷带负电,电场线方向从无限远处出发到O点处点电荷终止,根据沿着电场线方向电势降低可知a4.(多选)等量异种点电荷的连线和中垂线如图所示,现将一个带负电的试探电荷先从图中的a点沿直线移动到b点,再从b点沿直线移动到c点,则试探电荷在此过程中(　AD　)
A.所受电场力的方向不变
B.所受电场力的大小恒定
C.电势能一直减小
D.电势能先不变后减小
解析:ab线是等量异种点电荷电场的等势线,而ab和bc上合电场的场强方向都是垂直ab线向下的,试探电荷在a→b过程中电场力方向始终竖直向上,与在c点相同,A正确;沿ab方向越靠近两点电荷的连线,电场线越密,场强越大,所受电场力越大,B错误;从a→b电场力不做功,从b→c电场力做正功,电势能先不变后减小,选项C错误,
D正确。
5.(多选)沿x轴方向存在一静电场,电场强度的大小关于位置的变化规律如图所示(图线为正弦图线)。则下列说法正确的是(　BD　)
A.O、b两点的电势差等于O、d两点的电势差
B.a、c两点的电势相等
C.电子在O点的电势能大于电子在c点的电势能
D.质子由a点沿x轴运动到c点的过程中,电场力先做负功再做正功
解析:由题图可知,在x轴的负半轴,电场强度的方向沿x轴的负方向,在x轴的正半轴,电场强度的方向沿x轴的正方向,沿着电场线的方向电势降低,因此0>b>d,所以O、b两点间的电势差小于O、d两点间的电势差,A错误;从O点向两侧电势逐渐降低,而a和c两点关于原点O对称,所以两点的电势相等,B正确;电子带负电,因此电子在c点的电势能大于在O点的电势能,C错误;由于O点左侧的电场方向向左,则质子在O点左侧受到向左的电场力,质子从a向O运动的过程中,电场力做负功;O点右侧的电场方向向右,则质子在O点右侧受到向右的电场力,质子从O向c运动的过程中,电场力做正功,D正确。
6.(多选)在x轴上有两个点电荷q1、q2,其静电场的电势在x轴上分布如图所示。下列说法正确的有(　AC　)
A.q1和q2带有异种电荷
B.x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2,电势能减小
D.负电荷从x1移到x2,受到的电场力增大
解析:由图知x1处的电势等于零,所以q1和q2带有异种电荷,A正确;图像的斜率描述该处的电场强度,故x1处场强不为零,B错误;负电荷从x1移到x2,由低电势向高电势移动,电场力做正功,电势能减小,故C正确;由图知,负电荷从x1移到x2,电场强度越来越小,故电荷受到的电场力减小,所以D错误。
能力提升
1.一个电荷量为10-6 C的负电荷,从电场中A点移到B点电场力要做功2×10-6 J,从C点移到D点要克服电场力做功 7×10-6 J。若已知C点比B点电势高3 V,且A、B、C、D四点在同一条电场线上,则下列图中正确的是(　C　)
解析:由UAB==2 V,则A-B=-2 V;UCD==7 V,则C-D=7 V;
由题意得C-B=3 V,则C>B>A>D,C正确。
2.(多选)在光滑的绝缘水平面上,有一个正方形abcd,顶点a、c分别固定一个正点电荷,电荷量相等,如图所示。若将一个带负电的粒子从b点自由释放,粒子将沿着对角线bd往复运动。粒子从b点运动到
d点的过程中(　CD　)
A.先做匀加速运动,后做匀减速运动
B.先从高电势到低电势,后从低电势到高电势
C.电势能与机械能之和保持不变
D.电势能先减小,后增大
解析:a、c两点固定相同的正点电荷,bd为点电荷连线的中垂线,由电场叠加情况可知带电粒子的加速度大小、方向发生变化,粒子不可能先做匀加速后做匀减速运动,故A错误;两点电荷连线中垂线上的中点电势最高,带负电的粒子从b点运动到d点的过程中,先从低电势到高电势,再从高电势到低电势,故B错误;带电粒子从b到d运动过程中所受静电力先由b指向d,后由d指向b,所以静电力先做正功后做负功,因此电势能先减小,后增大,故D正确;只有静电力做功,电势能与机械能之和保持不变,故C正确。
3.两个固定的等量异种点电荷所产生电场的等势面如图中虚线所示,一带负电的粒子以某一速度从图中A点沿图示方向进入电场在纸面内飞行,最后离开电场,粒子只受电场力作用,则粒子在电场中(　C　)
A.做直线运动,电势能先变小后变大
B.做直线运动,电势能先变大后变小
C.做曲线运动,电势能先变小后变大
D.做曲线运动,电势能先变大后变小
解析:带负电的粒子以速度v进入电场后,电场力的方向与v的方向不在一条直线上,故带负电的粒子做曲线运动,先由低电势面运动到高电势面,然后由高电势面运动到低电势面,所以电势能先减小后增大,选项C正确,A,B,D错误。
4.如图所示,电荷量为-e、质量为m的电子从A点沿与电场垂直的方向进入匀强电场,初速度为v0,当它通过电场中B点时,速度与电场强度方向成150°角,不计电子的重力,取A点的电势为零,求B点的
电势。
解析:电子进入匀强电场后在电场力作用下做匀变速曲线运动,根据运动的分解可知,电子在垂直于电场线方向上做匀速直线运动。将B点的速度分解(如图),有v==2v0,
电子从A运动到B由动能定理得W=mv2-m=m,
电场力做正功,电势能减少,所以B点的电势能为EpB=-m,B点电势B==。
答案:
5.一带负电的粒子,q=-2.0×10-7 C,在静电场中由A点运动到B点,在这过程中,除电场力外,其他力做的功为5.0×10-5 J,粒子动能增加了7.0×10-5 J,取A点为零电势点。求:
(1)此过程电场力所做的功。
(2)A、B两点间的电势差。
(3)B点的电势B。
解析:(1)对粒子由A点运动到B点的过程用动能定理W电+W其他=ΔEk,
得W电=ΔEk-W其他=7.0×10-5 J-5.0×10-5 J=2.0×10-5 J。
(2)根据电场力与电势差关系可知UAB== V=-100 V。
(3)由电势差得UAB=A-B=0-B,
解得B=100 V。
答案:(1)2.0×10-5 J　(2)-100 V　(3)100 V
6.某静电场的等势面如图所示,A、B、C分别为等势面上的三个点,
其电势分别为10 V、8 V、6 V。
(1)在图中画出电场线的大致分布;
(2)若将一电子(电荷量为e)从A点移到C点,求静电力做的功WAC及电势能的变化量ΔEp;
(3)若另一电子仅在静电力的作用下从A点经B点运动到C点,且已知经过B点时的动能为10 eV,求该电子到达C点时的动能EkC。
解析:(1)根据电场线与等势面相互垂直,且电场线方向由电势高的等势面指向电势低的等势面,可画出电场线的大致分布,如图所示。
(2)WAC=-eUAC=-(10-6)eV=-4 eV,
根据WAC=-ΔEp,可知ΔEp=-WAC=4 eV。
(3)只有静电力做功时,电势能和动能相互转化,它们的和保持不变,则EkB+EpB=EkC+EpC,
即10 eV-8 eV=EkC-6 eV,
解得EkC=8 eV。
答案:(1)图见解析　(2)-4 eV　4 eV (3)8 eV专题探究一　电场力的性质
类型一　两等量点电荷周围的电场
1.等量同种点电荷的电场(电场线分布如图1)
(1)两点电荷连线上,中点O处电场强度为零,向两侧电场强度逐渐增大。
(2)两点电荷连线的中垂线上由中点O到无限远,电场强度先变大后变小。
(3)关于中心点O对称的点,电场强度等大反向。
2.等量异种点电荷的电场(电场线分布如图2)
(1)两点电荷连线上,沿电场线方向电场强度先变小再变大,中点处电场强度最小。
(2)两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同,总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧。沿中垂线从中点到无限远处,电场强度一直减小,中点处电场强度最大。
(3)关于中心点对称的点,电场强度等大同向。
[例1] 用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点电场强度的强弱,如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线,图乙是电场中的一些点;O是电荷连线的中点,E、F是连线中垂线上相对O对称的两点,B、C和A、D也相对O对称。则下列说法中错误的是(　C　)
A.E、O、F三点比较,三点电场强度方向相同
B.A、D两点电场强度大小相等,方向相同
C.B、O、C三点比较,O点电场强度最强
D.E、O、F三点比较,O点电场强度最强
解析:等量异种点电荷连线的中垂线上各点的电场强度方向相同,都是垂直于中垂线指向负电荷一侧,故A说法正确;根据对称性看出,A、D两处电场线疏密程度相同,则A、D两点电场强度大小相同,由图看出,A、D两点电场强度方向相同,故B说法正确;由图看出,B、O、C三点比较,O点电场线最稀疏,电场强度最小,故C说法错误;由图看出,E、O、F三点比较,O点电场线最密集,电场强度最强,故D说法正确。
电场线是认识和研究电场问题的有利工具,必须掌握典型电场的电场线的分布,知道电场线的切线方向与场强方向一致,其疏密可反映电场强度大小。清除对电场线的一些错误认识。
[跟踪训练1] (多选)如图所示,两个带等量负电荷的小球A、B(可视为点电荷),被固定在光滑的绝缘水平面上,P、N是小球A、B连线的中垂线上的两点,且PO=ON。现将一个电荷量很小的带正电的小球C(可视为质点)由P点静止释放,在小球C向N点运动的过程中,下列关于小球C的说法可能正确的是(　AD　)
A.速度先增大,再减小
B.速度一直增大
C.加速度先增大再减小,过O点后,加速度先减小再增大
D.加速度先减小,再增大
解析:在AB的中垂线上,从无穷远处到O点,电场强度先变大后变小,到O点变为零,故带正电荷的小球C沿连线的中垂线运动时,加速度先变大后变小,速度不断增大,在O点加速度变为零,速度达到最大;由O点到无穷远处时,加速度先变大后变小,速度不断减小,如果P、N相距很近,小球C的加速度先减小再增大,故A,D正确。
类型二　电场线与带电粒子运动轨迹的综合分析
1.几个矢量的方向
(1)合力方向:做曲线运动的带电粒子所受合外力方向指向运动曲线的凹侧。
(2)速度方向:速度方向沿运动轨迹的切线方向。
(3)静电力方向:正电荷的受力方向沿电场线的切线方向。
2.分析方法
(1)根据带电粒子运动轨迹的弯曲方向,判断出带电粒子所受静电力的方向。
(2)把电场线方向、静电力方向与电性相联系进行分析。
(3)把电场线的疏密和静电力大小、加速度大小相联系进行分析。
(4)把静电力做的功与能量的变化相联系进行分析。
[例2] (多选)如图所示,为某一点电荷所形成的一簇电场线,a、b、c三条虚线为三个带电粒子以相同的速度从O点射入电场的运动轨迹,其中b虚线为一圆弧,AB的长度等于BC的长度,且三个粒子的带电荷量大小相等,不计粒子重力,则以下说法正确的是(　CD　)
A.a一定是正粒子的运动轨迹,b和c一定是负粒子的运动轨迹
B.a虚线对应的粒子的动能增加,c虚线对应的粒子的动能减少,b虚线对应的粒子的动能不变
C.a虚线对应的粒子的加速度越来越小,c虚线对应的粒子的加速度越来越大,b虚线对应的粒子的加速度大小不变
D.b虚线对应的粒子的质量大于c虚线对应的粒子的质量
解析:由三个带电粒子运动轨迹的弯曲方向可知,a虚线对应的粒子与场源电荷为同种电荷,b和c虚线对应的粒子与场源电荷为异种电荷,又因为不知道场源电荷的带电性质,则无法确定三个粒子的电性,选项A错误。由三个粒子的运动轨迹可知,a、c虚线对应的粒子的速度方向与受力方向夹角小于90°,因而静电力对它们做正功,而b虚线对应的粒子的速度方向与受力方向始终垂直,故静电力对b虚线对应的粒子不做功,选项B错误。因为a虚线对应的粒子经过区域的电场线越来越稀疏,电场强度变小,所以加速度变小;b虚线对应的粒子的轨迹为圆弧,经过区域的电场强度大小不变,所以加速度大小不变;c虚线对应的粒子经过区域的电场线越来越密,电场强度变大,所以加速度变大,选项C正确。b和c虚线对应的粒子从O点以相同速度射入,b虚线对应的粒子恰好做圆周运动,则有 k=mb,而c虚线对应的粒子做近心运动,k>mc,由此可得mb>mc,选项D正确。
分析运动轨迹类问题的技巧
(1)由轨迹的弯曲方向确定粒子所受合外力的方向,由电场线的疏密程度确定静电力的大小,进而确定合外力的大小。
(2)速度或动能的变化要根据合外力做功情况来判断,当静电力恰为合外力时,静电力做正功,速度或动能增加,静电力做负功,速度或动能减少。
[跟踪训练2] (多选)如图所示,带箭头的线表示某一电场中的电场线的分布情况。一带电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若不考虑其他力,则下列判断中正确的是(　BC　)
A.若粒子是从A运动到B,则粒子带正电;若粒子是从B运动到A,则粒子带负电
B.不论粒子是从A运动到B,还是从B运动到A,粒子必带负电
C.若粒子是从B运动到A,则其加速度减小
D.若粒子是从B运动到A,则其速度减小
解析:根据做曲线运动的物体所受合外力指向曲线内侧可知粒子所受静电力与电场线的方向相反,所以不论粒子是从A运动到B,还是从B运动到A,粒子必带负电,故选项A错误,B正确。电场线密的地方电场强度大,所以粒子在B点受到的静电力大,在B点时的加速度较大。若粒子是从B运动到A,则其加速度减小,故选项C正确。从B到A过程中静电力与速度方向成锐角,即做正功,动能增大,速度增大,故选项D错误。
类型三　静电力与力学规律的综合应用
　处理静电场中力与运动的问题时,根据牛顿运动定律,再结合运动学公式、运动的合成与分解等运动学知识即可解决问题,与力学问题分析方法完全相同,在进行受力分析时不要漏掉静电力。
[例3] 如图所示,一条长为L的绝缘细线,上端固定,下端系一质量为m的带电小球,将它置于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中,当小球平衡时,细线与竖直方向的夹角α=45°。重力加速度大小为g,则:
(1)小球带何种电荷 电荷量为多少
(2)若将小球向左拉至细线呈水平的位置,然后由静止释放小球,则放手后小球做什么运动 经多长时间到达最低点
解析:(1)由于小球处于平衡状态,对小球进行受力分析,如图所示,由此可知小球带正电,设其电荷量为q,则
FTsin α=qE,
FTcos α=mg,
联立可得FT=mg,
q==。
(2)小球向左拉至细线呈水平的位置释放时,F合==mg,方向与竖直方向成α=45°斜向右下方,故静止释放后,小球由静止开始沿与竖直方向成α=45°斜向右下方做匀加速直线运动,且a==g,当到达最低点时,它经过的位移为L,此时细线刚好拉直,由匀变速直线运动的规律可得x=at2,所以t=。
答案:(1)正电　
(2)匀加速直线运动　
解决带电体在电场中综合问题的基本思路
(1)处于平衡状态的带电体应先进行受力分析,画出受力图,然后选用合成法或分解法列方程。
(2)非平衡问题中,分析和解题程序与平衡问题相似,要依据牛顿第二定律列方程,有时要结合运动学公式列方程组。
[跟踪训练3] 如图所示,带电小球A和B放在倾角为30°的光滑绝缘斜面上,质量为m1=m2=1 g,所带电荷量q1=q2=10-7 C,A带正电,B带负电。沿斜面向上的恒力F作用于A球,可使A、B一起运动,且保持间距d=0.1 m不变,求F的大小。(g取10 m/s2)
解析:两球间的库仑引力F库==9×10-3 N。
A球和B球的加速度相同,隔离B球,由牛顿第二定律有F库-m2gsin 30°=m2a,
把A球和B球看成整体,A、B间的库仑力为系统内力,由牛顿第二定律有
F-(m1+m2)gsin 30°=(m1+m2)a,
联立得a=4 m/s2,F=1.8×10-2 N。
答案:1.8×10-2 N
1.两个带等量正电荷的点电荷,O点为两电荷连线的中点,a点在连线的中垂线上,如图所示。若在a点由静止释放一个电子,关于电子的运动,下列说法正确的是(　C　)
A.电子在从a向O运动的过程中,加速度越来越大,速度越来越大
B.电子在从a向O运动的过程中,加速度越来越小,速度越来越大
C.电子运动到O时,加速度为零,速度最大
D.电子通过O后,速度越来越小,加速度越来越大,一直到速度为零
解析:带等量正电荷的两点电荷连线的中垂线上,中点O处的场强为零,向中垂线的两边先变大,达到一个最大值后,再逐渐减小到零。但a点与最大场强点的位置关系不能确定,当a点在最大场强点的上方时,电子在从a点向O点运动的过程中,加速度先增大后减小;当a点在最大场强点的下方时,电子的加速度则一直减小,故A,B错误;不论a点的位置如何,电子在向O点运动的过程中,都在做加速运动,所以电子的速度一直增加,当达到O点时,加速度为零,速度达到最大值,C正确;通过O点后,电子的运动方向与场强的方向相同,与所受电场力方向相反,故电子做减速运动,由能量守恒定律得,当电子运动到a点关于O点对称的b点时,电子的速度为零。同样因b点与最大场强的位置关系不能确定,故电子通过O后加速度大小的变化不能确定,D错误。
2.(多选)一绝缘细线Oa下端系一质量为m的带正电的小球a,在正下方有一光滑的绝缘水平细杆,一带负电的小球b穿过杆在其左侧较远处,小球a由于受到水平绝缘细线的拉力而静止,如图所示。现保持悬线与竖直方向的夹角为θ,并在较远处由静止释放小球b,让其从远处沿杆向右移动到a点的正下方,在此过程中(　BC　)
A.悬线Oa的拉力逐渐增大,水平细线的拉力逐渐减小
B.b球的加速度先增大后减小,速度始终增大
C.b球所受的库仑力一直增大
D.b球所受的库仑力先减小后增大
解析:b球受到的库仑力F=k,在运动过程中,a、b球间距离一直减小,则b球所受库仑力一直增大,C正确,D错误;b球所受的库仑力逐渐增大,该库仑力与竖直方向的夹角逐渐减小,所以其竖直分量逐渐增大,而b球在较远处时,所受库仑力近似为零,在a球正下方时,库仑力的水平分量为零,所以其水平方向的分量先增大后减小,所以悬线Oa的拉力会逐渐增大,水平细线的拉力先增大后减小,A错误,B正确。
3.(多选)某静电场中的电场线如图所示,带电粒子在电场中仅受电场力作用,由M运动到N,其运动轨迹如图中虚线所示,以下说法正确的是(　ACD　)
A.粒子必带正电荷
B.粒子在M点的加速度大于它在N点的加速度
C.粒子在M点的加速度小于它在N点的加速度
D.粒子在M点的动能小于它在N点的动能
解析:根据粒子运动轨迹弯曲的情况,可以确定粒子所受电场力的方向沿着电场线切线方向,故此粒子必定带正电荷,选项A正确;由于电场线越密场强越大,带电粒子所受电场力就越大,根据牛顿第二定律可知其加速度也越大,故此粒子在N点的加速度较大,选项B错误,C正确;粒子从M点运动到N点,电场力的方向与运动方向之间的夹角是锐角,电场力做正功,根据动能定理得此粒子在N点的动能较大,选项D正确。
4.如图所示,在竖直放置的光滑半圆弧绝缘细管的圆心O处固定一点电荷,将质量为m、带电荷量为+q的小球从圆弧管的水平直径端点A由静止释放,小球沿细管滑到最低点B时,对管壁恰好无压力。求固定于圆心处的点电荷在B点处的电场强度大小。
解析:由A到B,由动能定理得mgr=mv2-0,
在B点,对小球受力分析,由牛顿第二定律有qE-mg=m,
联立以上两式解得E=。
答案:
课时作业
基础巩固
1.(多选)如图所示,A、B、C、D、E、F、G、H是圆O上的8个点,图中虚线均过圆心O点,B和H关于直径AE对称,且∠HOB=90°,AE⊥CG,
M、N关于O点对称。现在M、N两点放置等量异种点电荷,则下列各点中电场强度相同的是(　CD　)
A.B点和H点 B.D点和F点
C.H点和D点 D.C点和G点
解析:等量异种点电荷的电场线分布情况如图所示,电场线的切线方向代表电场的方向,疏密程度代表电场强度的大小,可知关于O点对称的两点电场强度相同,选项C,D正确,A,B错误。
2.如图所示,实线为电场线(方向未画出),虚线是一带电粒子只在电场力的作用下由a到b的运动轨迹,轨迹为一条抛物线。下列判断正确的是(　C　)
A.电场线MN的方向一定是由N指向M
B.带电粒子由a运动到b的过程中速度一定逐渐减小
C.带电粒子在a点的速度一定小于在b点的速度
D.带电粒子在a点的加速度一定大于在b点的加速度
解析:由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动,粒子所受外力指向轨迹内侧,所以粒子所受电场力一定是由M指向N,但是由于粒子的电荷性质不清楚,所以电场线的方向无法确定,故A错误;粒子从a运动到b的过程中,电场力与速度方向间夹角是锐角,粒子做加速运动,速度增大,故B错误,C正确;b点的电场线比a点的密,所以带电粒子在a点的加速度小于在b点的加速度,故D错误。
3.如图所示,AB是某点电荷电场中的一条电场线。在电场线上P处自由释放一个负检验电荷时,它沿直线向B点运动。对此现象,下列判断正确的是(不计电荷重力)(　D　)
A.电荷向B做匀速运动
B.电荷向B做加速度越来越小的运动
C.电荷向B做加速度越来越大的运动
D.电荷向B做加速运动,加速度的变化情况不能确定
解析:由于负电荷从P点静止释放后沿直线运动到B点,说明负电荷受力方向自P指向B,则场强方向自A指向B。由于正点电荷和负点电荷都能产生一段直线电场线,所以只能确定负电荷的受力方向向左
(自P指向A),不能确定受力变化情况,也就不能确定加速度变化情况,故选项D正确。
4.(多选)如图所示,直线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线,曲线是某一带电粒子通过电场区域时的运动轨迹,a、b是轨迹上两点。若带电粒子运动中只受静电力作用,根据此图可以做出的判断是(　BCD　)
A.带电粒子所带电性
B.带电粒子在a、b两点的受力方向
C.带电粒子在a、b两点的加速度何处大
D.带电粒子在a、b两点的加速度方向
解析:根据合外力指向带电粒子运动轨迹的凹侧,可以确定带电粒子受静电力的方向,从而确定加速度的方向,B,D正确;电场线越密集的地方电场强度越大,带电粒子受到的静电力越大,加速度越大,C正确;由于不知道电场线的方向,只知道带电粒子受力方向,没法确定带电粒子的电性,A错误。
5.如图所示,两段等长细线串接着两个质量、电荷量均相等的带电小球a、b,a带正电,b带负电,悬挂于O点。现在空间加上水平向右的匀强电场,则此装置平衡时的位置可能是(　A　)
解析:以两个小球组成的整体为研究对象,水平方向受到两个静电力,矢量和为零,竖直方向受到总重力和拉力,根据平衡条件得知,细线Oa的拉力必定在竖直方向,所以细线Oa的方向必须是竖直的。再以小球b为研究对象,由于带负电,该小球受到的静电力方向水平向左,则细线ab向左偏离竖直方向,故A正确,B,C,D错误。
6.(多选)如图所示,a、b、c、d、e、f为以O为球心的球面上的点,分别在a、c两个点处放等量异种电荷+Q和-Q。下列说法正确的是(　CD　)
A.b、f两点电场强度大小相等,方向不同
B.e、d两点电场强度大小相等,方向不同
C.b、d两点电场强度大小相等,方向相同
D.b、e两点电场强度大小相等,方向相同
解析:等量异种电荷的电场线是关于连线、中垂线对称的,由等量异种电荷的电场的特点,结合图可知,图中b、f、d、e所在的平面是两个电荷连线的垂直平分面,所以该平面上各点的电场强度的方向都与该平面垂直。由于b、f、d、e各点到O的距离是相等的,结合该电场的特点可知,b、f、d、e各点的电场强度大小也相等。由以上的分析可知,b、f、d、e各点的电场强度大小相等,方向相同,故A,B错误,C,D正确。
7.如图所示为两个固定在同一水平面上的点电荷,距离为d,电荷量分别为+Q和-Q。在它们的水平中垂线上固定一根长为L、内壁光滑的绝缘细管,有一电荷量为+q的小球以初速度v0从管口射入,则小球(　C　)
A.速度先增大后减小
B.受到的库仑力先做负功后做正功
C.受到的库仑力最大值为
D.管壁对小球的弹力最大值为
解析:由等量的异种电荷形成的电场特点,根据小球的受力情况可知在细管内运动时,合力为重力,小球速度一直增大,故A错误;库仑力水平向右,不做功,故B错误;在连线中点处库仑力最大,F=+=,
故C正确;管壁对小球的弹力与库仑力是平衡力,所以最大值为,故D错误。
8.如图所示,质量为m、带电荷量为+q的滑块,沿绝缘斜面匀速下滑,当滑块滑至竖直向下的匀强电场区域时,滑块运动的状态为(　A　)
A.继续匀速下滑
B.将加速下滑
C.将减速下滑
D.上述三种情况都可能发生
解析:当滑块进入匀强电场区域时,还要受到方向向下的静电力作用,根据等效法,相当于所受的重力增大,其合力仍为零,滑块将继续匀速下滑,故选项A正确。
9.如图所示,光滑斜面(足够长)倾角为37°,一带正电的小物块质量为m,电荷量为q,置于斜面上,当沿水平方向加如图所示的匀强电场时,带电小物块恰好静止在斜面上,从某时刻开始,电场强度变化为原来的。求:
(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,g=10 m/s2)
(1)原来的电场强度的大小;
(2)小物块运动的加速度;
(3)小物块2 s末的速度大小和2 s内的位移大小。
解析:(1)对小物块受力分析如图所示,小物块静止于斜面上,
则mgsin 37°=qEcos 37°,
E==。
(2)当电场强度变为原来的时,小物块受到的合外力
F合=mgsin 37°-qEcos 37°=0.3mg,
又F合=ma,所以a=3 m/s2,方向沿斜面向下。
(3)由运动学公式v=at=3×2 m/s=6 m/s,x=at2=×3×22 m=6 m。
答案:(1)　(2)3 m/s2,方向沿斜面向下 (3)6 m/s　6 m
能力提升
1.如图所示,在电场强度为E的匀强电场中有一个质量为m的带正电小球A悬挂在绝缘细线上,当小球静止时,细线与竖直方向成30°角,已知此电场方向恰使小球受到的静电力最小,则小球所带的电荷量应为(　D　)
A. B. C. D.
解析:由题意电场方向恰使小球受的静电力最小可知,E的方向与细线垂直,受力如图。由平衡条件可得mg=qE,q=,故D正确。
2.(多选)如图所示,金属板带电荷量为+Q,质量为m的金属小球带电荷量为+q,当小球静止后,悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为α,小球与金属板中心O恰好在同一条水平线上,且距离为L。下列说法正确的是(　BC　)
A.+Q在小球处产生的电场强度为E1=
B.+Q在小球处产生的电场强度为E1=
C.+q在O点产生的电场强度为E2=
D.+q在O点产生的电场强度为E2=
解析:金属板不能看做点电荷,在小球处产生的电场强度不能用E=计算,故A错误;根据小球处于平衡状态得小球受静电力F=mgtan α,由E=得E1=,B正确;小球可看做点电荷,在O点产生的电场强度E2=,C正确;根据牛顿第三定律知金属板受到小球的静电力大小为F=mgtan α,但金属板不能看做试探电荷,故不能用E=求电场强度,D错误。
3.(多选)如图所示,实线为不知方向的三条电场线,从电场中M点以相同速度垂直于电场线方向飞出a、b两个带电粒子,仅在静电力作用下的运动轨迹如图中虚线所示。则(　CD　)
A.a一定带正电,b一定带负电
B.a的速度将减小,b的速度将增加
C.a的加速度将减小,b的加速度将增加
D.两个粒子的动能都增加
解析:带电粒子做曲线运动,所受力的方向指向轨迹的内侧,由于电场线的方向未知,所以粒子带电性质不确定,故选项A错误;从图中轨迹变化来看,速度与力方向的夹角小于90°,所以静电力都做正功,动能都增大,速度都增大,故选项B错误,D正确;电场线密的地方电场强度大,电场线疏的地方电场强度小,所以a受力减小,加速度减小,b受力增大,加速度增大,故选项C正确。
4.(多选)如图所示,带电小球A、B的电荷量分别为QA、QB,两球都用长为L的绝缘丝线悬挂在O点。静止时A、B相距为d。为使平衡时A、B间距离减为,可采用的方法有(　BD　)
A.将小球A、B的质量都增大到原来的2倍
B.将小球B的质量增大到原来的8倍
C.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半
D.将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的2倍
解析:对B球受力分析如图所示,由几何关系可知=,而库仑力F=,可得d3=,要使d变为,可以将小球B的质量增大到原来的8倍,故A错误,B正确;或将小球A、B的电荷量都减小到原来的一半,同时将小球B的质量增大到原来的 2倍,故C错误,D正确。
5.如图所示,一根光滑绝缘细杆与水平面成α=30°角倾斜固定。细杆的一部分处在电场强度方向水平向右的匀强电场中,电场强度E=2×104 N/C。在细杆上套有一个带负电的小球,带电荷量为q=1×10-5 C、质量为m=3×10-2 kg。现使小球从细杆的顶端A由静止开始沿杆滑下,并从B点进入电场,小球在电场中滑至最远处的C点。已知A、B间距离x1=0.4 m,g=10 m/s2。
(1)求小球通过B点时的速度大小vB;
(2)求小球进入电场后滑行的最大距离x2;
(3)试画出小球从A点运动到C点过程中的 vt图像。
解析:(1)对小球,AB段,由牛顿第二定律得mgsin α=ma1,
解得a1=5 m/s2。
由运动学公式有=2a1x1,解得vB=2 m/s。
(2)对小球,BC段,由牛顿第二定律得qEcos α-mgsin α=ma2,
解得a2=5 m/s2。
又=2a2x2,
解得x2=0.4 m。
(3)对AB段有x1=t1,
得t1=0.4 s。
对BC段有x2=t2,得t2=0.4 s。
小球从A点运动到C点过程中的vt图像如图所示。
答案:(1)2 m/s　(2)0.4 m　(3)图见解析

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