八年级数学上册(沪科版)15.2 线段的垂直平分线 -课件(共39张PPT)

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八年级数学上册(沪科版)15.2 线段的垂直平分线 -课件(共39张PPT)

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(共39张PPT)
15.2 线段的垂直平分线
知识回顾
线段的垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.
A
O
B
M
N
几何语言:
∴ MN是AB的垂直平分线
∵ MN⊥AB,AO=BO
∵ MN是AB的垂直平分线
∴ MN⊥AB,AO=BO
(垂直平分线的定义)
(垂直平分线的定义)
反过来
使线段AA'的两个端点互相重合,
A’
问题:怎样作出线段的垂直平分线?
A
(A')
折叠法
方法一:
就是线段AA'的垂直平分线.
通过折纸,
得到的折痕
探究新知
画垂线的方法
度量法
方法二:
用刻度尺量出线段的中点,
再用三角尺过中点
作出线段的垂直平分线 .
探究新知
问题:怎样作出线段的垂直平分线?
大于 AB为半径
用尺规作图法,作出线段AB的垂直平分线
方法三:
A
B
E
F
作法:
1、分别以点A,B为圆心,
2、过E,F 两点作直线。
则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线.
1
2
( 为什么?)
画弧交于E,F.
探究新知
问题:怎样作出线段的垂直平分线?
大于 AB为半径
思考
A
B
E
F
O
作法:
1、分别以点A,B为圆心,
2、过E,F 两点作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
1
2
( 为什么?)
画弧交于E,F.
设所作直线EF交于AB于点O,你能给出证明吗?
为什么这样作出的直线EF,
就是线段AB的垂直平分线呢?
探究新知
知识拓展:这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图,我们也可以用这种方法确定线段的中点.
量一量:PA、PB的长,你能发现什么?
点P是直线MN上的任意一点,
如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,
探究 1
连接PA,PB,
交点为O,
M
B
P
P
P
(P)
O
A
N
PA=PB
由此你能得到什么规律?
到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线上的点
你能验证这一结论吗?
P
A
B
M
O
已知:如图,直线 MN 经过线段 AB 的中点 O,且 MN⊥AB,
P 是 MN 上任意一点 .
求证:PA =PB.
验证结论
N
证明:
∵ MN⊥AB
∴ AO=OB
在 △AOP和△BOP 中,
AO=OB
∠AOP= ∠BOP
PO=PO
∴ △AOP ≌ △BOP
∴ PA=PB

(SAS)
(垂直的定义)
(已知)
(已证)
(已证)
(公共边)
(全等三角形的对应边相等)
∵ 点 O 是线段 AB 的中点
∴ ∠AOP= ∠BOP=90
(中点的定义)
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
定理:
垂直平分线的性质:
知识拓展:
条件:
点在线段的垂直平分线上.
结论:
这个点到线段两端点的距离相等.
M
B
P
A
N
归纳总结
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
定理:
垂直平分线的性质:
M
B
P
A
N
几何语言:
∴ PA=PB
∵ 点 P 在线段AB的垂直平分线上
(线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等.)
归纳总结
知识拓展:
用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等,不必再用三角形全等来证明,因此它为证明线段相等提供了新方法.
提醒:见垂直平分线,得线段相等
1、如图所示,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,点 P 为直线 CD 上的一点,且 PA=5,则线段 PB 的长为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
B
P
A
B
C
D
对应练习
2、如图,在 △ABC 中,AC=5 cm,AB 的垂直平分线 DE 交 AB,AC 于点 E,D.
(1) 若 BC=4cm,求△BCD的周长.
解:(1)
∵ DE是AB的垂直平分线
∴ AD=BD
∴ △BCD 的周长=
=AC+BC
又∵ AC=5cm,BC=4cm
∴ △BCD的周长=
5+4=9(cm)
BD+DC+BC
=AD+DC+BC
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
利用线段垂直平分线的性质,实现线段之间的相互转化,从而求出未知线段的长.
2、如图,在 △ABC 中,AC=5 cm,AB 的垂直平分线 DE 交 AB,AC 于点 E,D.
(2) 若 △BCD 的周长为 8cm,求 BC 的长;
解:(2)
∵ DE 是 AB 的垂直平分线
∴ AD=BD
∵ △BCD的周长为 8cm
∴ BD +DC+BC
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
=AD+DC+BC
=AC+BC=8(cm)
又∵ AC=5 cm
∴ 5+BC=8
∴ BC=3(cm)
3、如图,在 △ABC 中,∠A=40°,∠B=90°,线段 AC 的垂直平分线 MN 与 AB 交于点 D,与 AC 交于点 E,求 ∠BCD 的度数.
解:
∵ ∠B=90°,∠A=40°
∴ ∠ACB=180°-∠A-∠B=50°
又∵ MN 是线段 AC 的垂直平分线
∴ DA=DC
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
∴ ∠DCE=∠A=40°
∴ ∠BCD=
∠ACB-∠DCE
=50°-40°
=10°



它是真命题吗?你能证明吗?
到线段两端距离相等的点
在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
定理:
垂直平分线的性质:
探究新知
已知:如图,PA=PB,
求证:点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
验证结论
A
B
P
C
证明:
∴ ∠ACP=∠BCP=90°
在 Rt△ACP 和 Rt△BCP 中
∴ Rt△ACP≌Rt△BCP
∴ AC=BC
∴ 点P在线段AB的垂直平分线上
PA=PB
过 P 点作 PC⊥AB,垂足为 C

(HL)
(全等三角形对应边相等)
PC=PC
(公共边)
∴ PC 是线段AB的垂直平分线
归纳总结
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
定理:
线段垂直平分线的判定
A
B
P
知识拓展:
条件:
点在线段两个端点的距离相等.
结论:
这个点在线段的垂直平分线上.
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)
作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
几何语言:
∵ PA =PB
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上.
(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)
例 如图,已知 △ABC 的边 AB,AC 的垂直平分线相交于点 P.
求证:点 P 在 BC 的垂直平分线上.
(到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
A
B
C
P
证明:
连接 PA,PB,PC.
∵ 点 P 在 AB,AC 的垂直平分线上
∴ PA=PB,PA=PC
∴ PB=PC
(等量代换)
∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.
三角形三边的垂直平分线
这点到三角形三个顶点的距离相等.
相交于一点,
三角形三边的垂直平分线的性质:
对应练习
1、在锐角三角形 ABC 内一点 P,满足 PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )
A .三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
D
① 定义法
A
B
C
D
M
2、如图,AB =AC,MB =MC.直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗?
解:
∵ AB =AC,MB =MC
∴ 点 A、M 在BC 的垂直平分线上
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线.
(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)
判断线段垂直平分线的两种方法:
知识拓展:
② 判定定理
——用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时,必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.
3、如图,下列说法正确的是(  )
A.若AC=BC,则 CD 是线段的垂直平分线
B.若 AD=DB,则 AC=BC
C.若 CD⊥AB,则 AC=BC
D.若 CD 是线段 AB 的垂直平分线,则 AC=BC
D
对应练习
归纳总结
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
① 性质定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
② 判定定理:
A
B
P
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
① 定义法
判断线段垂直平分线的两种方法:
② 判定定理
——用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时,必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.
三角形三边的垂直平分线的性质:
三角形三边的垂直平分线
这点到三角形三个顶点的距离相等.
相交于一点,
提醒:见垂直平分线,得线段相等
作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
1、如图,在 △ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB 于 E . 求证:直线 AD 是 CE 的垂直平分线.
证明:
∵ AD平分∠BAC
∴ ∠EAD=∠CAD
∵ ∠ACB=90°,DE⊥AB
∴ ∠AED=∠ACB=90°
在 △AED 和 △FCE 中

(公共边)
AD=AD
∠AED=∠ACB
∠EAD=∠CAD
∴ △ADE≌△ADC
∴ AE=AC,
∴ 点A、D都在CE的垂直平分线上
DE=DC
∴ 直线AD是CE的垂直平分线
(AAS)
2、如图,已知 AB=AD,BC=DC,E 是 AC 上一点,
求证:(1) BE=DE;(2) ∠ABE=∠ADE.
证明:
(1) 连接BD
∵ AB=AD,
∴ 点A,C都在线段BD的垂直平分线上
∴ AC是线段BD的垂直平分线
又∵ 点E在线段BD的垂直平分线AC上
∴ BE=DE
BC=CD
(2)
在△ABE和△ADE中

(公共边)
AE=AE
BE=DE
AB=AD
∴ △ABE≌△ADE
(SSS)
∴ ∠ABE=∠ADE
3、已知:如图,AB=CD,线段 AC 的垂直平分线与线段 BD的垂直平分线相交于点 E. 求证:∠ABE=∠CDE.
交直线 于点C,
4、公路 同侧的A,B两村,共同出资在公路边修建一个停靠站C,使停靠站到A,B两村距离相等.请你确定停靠站C的位置.
对应练习
解:作AB的垂直平分线,
l
A村
B村
C
则点C就是停靠站的位置.
分别作AB,BC的垂直平分线DE,GF,
A
C
B
5、如图,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,试问:该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等?
解:
连接AB,BC,
两直线交于点M,
则点M就是所要确定的购物中心的位置.
D
E
G
F
M
6、已知:点 A,B 在直线 l 的异侧,试在直线 l 上确定
一点 P,使 PA+PB 最短.
P
B
A
巩固练习
7、已知:点 A,B 在直线 l 的同侧,试在直线 l 上确定
一点 P,使 PA+PB 最短.
A
P
B
A′
作法:
则点 P即为所求
(1) 作出点 A 关于直线 l 的对称点A′.
(2) 连接 A′B.
线段A′B与直线 l 交于点P,
将军饮马问题
8、古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸同侧的两个军营A,B.他总是先去A营,再到河边饮马,之后,再巡查B营.他时常想,怎么走,才能使他每天走的路程之和最短呢?
A
P
B
A′
9、如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,2),B(4,1),P 是 x 轴上任意一点,当 PA+PB 取得最小值时,点 P 的坐标为 .
10、如图,(1) 在网格中画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1;
(2) 写出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A2B2C2 的各顶点坐标;
(3) 在 y 轴上确定一点 P,使 △PAB 周长最短.只需作图,保留
作图痕迹.
A1
C1
B1
B2
A2
C2
P
11、如图,已知点 A 是锐角 ∠MON 内的一点,试分别在 OM、ON 上确定点 B、点 C,使 △ABC 的周长最小.写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图痕迹)
解:① 分别作点 A 关于 OM,ON 的对称点 A′,A″;
② 连接A′,A″,分别交 OM,ON 于点 B、点 C,则点 B、
点 C 即为所求.
解决此类问题的方法是分别作出这个点关于两条射线的对称点,然后连接所得的两个对称点,所得线段与两条射线的交点即为所求点.
11、如图,已知点 A 是锐角 ∠MON 内的一点,试分别在 OM、ON 上确定点 B、点 C,使 △ABC 的周长最小.写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图痕迹)
轴对称解决最短距离的方法:
12、如图,在四边形ABCD中,AD∥ BC,E 为 CD的中点,连接 AE、BE,BE⊥AE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.
求证: (1) FC=AD; (2) AB=BC+AD.
证明:(1)
∴ ∠ADC=∠ECF
∵ AD∥ BC
∵ E是CD的中点
∴ DE=EC
在 △AED 和 △FCE 中

(公共角)
∠AED=∠FEC
DE=EC
∠ADC=∠ECF
∴ △ADE ≌ △FCE
∴ FC=AD
(SAS )
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
12、如图,在四边形ABCD中,AD∥ BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证: (1) FC=AD; (2) AB=BC+AD.
证明:(2)
∵△ADE≌△FCE
∴ AE=EF,
∵ BE⊥AE
∴ BE是线段AF的垂直平分线
∴ AB=BF
∴ AB=
AD=CF
又∵ BF=BC+CF
BC+AD
13、如图所示,在 △ABC 中,AB,AC 的垂直平分线分别交BC 于 D,E,垂足分别是 M,N.
(1) 若 △ADE 的周长为 6,求 BC 的长;
(2)若 ∠BAC=100°,求 ∠DAE 的度数.
本节课你有什么收获?
归纳总结
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
① 性质定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
② 判定定理:
A
B
P
PA=PB
点P在线段AB的垂直平分线上
到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
① 定义法
判断线段垂直平分线的两种方法:
② 判定定理
——用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时,必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.
三角形三边的垂直平分线的性质:
三角形三边的垂直平分线
这点到三角形三个顶点的距离相等.
相交于一点,
提醒:见垂直平分线,得线段相等
作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上.

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