资源简介 (共39张PPT)15.2 线段的垂直平分线知识回顾线段的垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.AOBMN几何语言:∴ MN是AB的垂直平分线∵ MN⊥AB,AO=BO∵ MN是AB的垂直平分线∴ MN⊥AB,AO=BO(垂直平分线的定义)(垂直平分线的定义)反过来使线段AA'的两个端点互相重合,A’问题:怎样作出线段的垂直平分线?A(A')折叠法方法一:就是线段AA'的垂直平分线.通过折纸,得到的折痕探究新知画垂线的方法度量法方法二:用刻度尺量出线段的中点,再用三角尺过中点作出线段的垂直平分线 .探究新知问题:怎样作出线段的垂直平分线?大于 AB为半径用尺规作图法,作出线段AB的垂直平分线方法三:ABEF作法:1、分别以点A,B为圆心,2、过E,F 两点作直线。则直线 EF 就是线段 AB 的垂直平分线.12( 为什么?)画弧交于E,F.探究新知问题:怎样作出线段的垂直平分线?大于 AB为半径思考ABEFO作法:1、分别以点A,B为圆心,2、过E,F 两点作直线.则直线EF就是线段AB的垂直平分线.12( 为什么?)画弧交于E,F.设所作直线EF交于AB于点O,你能给出证明吗?为什么这样作出的直线EF,就是线段AB的垂直平分线呢?探究新知知识拓展:这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图,我们也可以用这种方法确定线段的中点.量一量:PA、PB的长,你能发现什么?点P是直线MN上的任意一点,如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,探究 1连接PA,PB,交点为O,MBPPP(P)OANPA=PB由此你能得到什么规律?到线段两端的距离相等.线段垂直平分线上的点你能验证这一结论吗?PABMO已知:如图,直线 MN 经过线段 AB 的中点 O,且 MN⊥AB,P 是 MN 上任意一点 .求证:PA =PB.验证结论N证明:∵ MN⊥AB∴ AO=OB在 △AOP和△BOP 中,AO=OB∠AOP= ∠BOPPO=PO∴ △AOP ≌ △BOP∴ PA=PB∵(SAS)(垂直的定义)(已知)(已证)(已证)(公共边)(全等三角形的对应边相等)∵ 点 O 是线段 AB 的中点∴ ∠AOP= ∠BOP=90 (中点的定义)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理:垂直平分线的性质:知识拓展:条件:点在线段的垂直平分线上.结论:这个点到线段两端点的距离相等.MBPAN归纳总结线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理:垂直平分线的性质:MBPAN几何语言:∴ PA=PB∵ 点 P 在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.)归纳总结知识拓展:用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等,不必再用三角形全等来证明,因此它为证明线段相等提供了新方法.提醒:见垂直平分线,得线段相等1、如图所示,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,点 P 为直线 CD 上的一点,且 PA=5,则线段 PB 的长为( )A. 6 B. 5 C. 4 D. 3BPABCD对应练习2、如图,在 △ABC 中,AC=5 cm,AB 的垂直平分线 DE 交 AB,AC 于点 E,D.(1) 若 BC=4cm,求△BCD的周长.解:(1)∵ DE是AB的垂直平分线∴ AD=BD∴ △BCD 的周长==AC+BC又∵ AC=5cm,BC=4cm∴ △BCD的周长=5+4=9(cm)BD+DC+BC=AD+DC+BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)利用线段垂直平分线的性质,实现线段之间的相互转化,从而求出未知线段的长.2、如图,在 △ABC 中,AC=5 cm,AB 的垂直平分线 DE 交 AB,AC 于点 E,D.(2) 若 △BCD 的周长为 8cm,求 BC 的长;解:(2)∵ DE 是 AB 的垂直平分线∴ AD=BD∵ △BCD的周长为 8cm∴ BD +DC+BC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)=AD+DC+BC=AC+BC=8(cm)又∵ AC=5 cm∴ 5+BC=8∴ BC=3(cm)3、如图,在 △ABC 中,∠A=40°,∠B=90°,线段 AC 的垂直平分线 MN 与 AB 交于点 D,与 AC 交于点 E,求 ∠BCD 的度数.解:∵ ∠B=90°,∠A=40°∴ ∠ACB=180°-∠A-∠B=50°又∵ MN 是线段 AC 的垂直平分线∴ DA=DC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)∴ ∠DCE=∠A=40°∴ ∠BCD=∠ACB-∠DCE=50°-40°=10°逆命题它是真命题吗?你能证明吗?到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.定理:垂直平分线的性质:探究新知已知:如图,PA=PB,求证:点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.验证结论ABPC证明:∴ ∠ACP=∠BCP=90°在 Rt△ACP 和 Rt△BCP 中∴ Rt△ACP≌Rt△BCP∴ AC=BC∴ 点P在线段AB的垂直平分线上PA=PB过 P 点作 PC⊥AB,垂足为 C∵(HL)(全等三角形对应边相等)PC=PC(公共边)∴ PC 是线段AB的垂直平分线归纳总结到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.定理:线段垂直平分线的判定ABP知识拓展:条件:点在线段两个端点的距离相等.结论:这个点在线段的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上.几何语言:∵ PA =PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上.(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)例 如图,已知 △ABC 的边 AB,AC 的垂直平分线相交于点 P.求证:点 P 在 BC 的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)ABCP证明:连接 PA,PB,PC.∵ 点 P 在 AB,AC 的垂直平分线上∴ PA=PB,PA=PC∴ PB=PC(等量代换)∴ 点 P 在 BC 的垂直平分线上.三角形三边的垂直平分线这点到三角形三个顶点的距离相等.相交于一点,三角形三边的垂直平分线的性质:对应练习1、在锐角三角形 ABC 内一点 P,满足 PA=PB=PC,则点P是△ABC ( )A .三条角平分线的交点 B.三条中线的交点C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点D① 定义法ABCDM2、如图,AB =AC,MB =MC.直线 AM 是线段 BC 的垂直平分线吗?解:∵ AB =AC,MB =MC∴ 点 A、M 在BC 的垂直平分线上∴ 直线AM 是线段BC 的垂直平分线.(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上)判断线段垂直平分线的两种方法:知识拓展:② 判定定理——用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时,必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.3、如图,下列说法正确的是( )A.若AC=BC,则 CD 是线段的垂直平分线B.若 AD=DB,则 AC=BCC.若 CD⊥AB,则 AC=BCD.若 CD 是线段 AB 的垂直平分线,则 AC=BCD对应练习归纳总结线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.① 性质定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.② 判定定理:ABPPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等① 定义法判断线段垂直平分线的两种方法:② 判定定理——用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时,必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.三角形三边的垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线这点到三角形三个顶点的距离相等.相交于一点,提醒:见垂直平分线,得线段相等作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上.1、如图,在 △ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分 ∠BAC,DE⊥AB 于 E . 求证:直线 AD 是 CE 的垂直平分线.证明:∵ AD平分∠BAC∴ ∠EAD=∠CAD∵ ∠ACB=90°,DE⊥AB∴ ∠AED=∠ACB=90°在 △AED 和 △FCE 中∵(公共边)AD=AD∠AED=∠ACB∠EAD=∠CAD∴ △ADE≌△ADC∴ AE=AC,∴ 点A、D都在CE的垂直平分线上DE=DC∴ 直线AD是CE的垂直平分线(AAS)2、如图,已知 AB=AD,BC=DC,E 是 AC 上一点,求证:(1) BE=DE;(2) ∠ABE=∠ADE.证明:(1) 连接BD∵ AB=AD,∴ 点A,C都在线段BD的垂直平分线上∴ AC是线段BD的垂直平分线又∵ 点E在线段BD的垂直平分线AC上∴ BE=DEBC=CD(2)在△ABE和△ADE中∵(公共边)AE=AEBE=DEAB=AD∴ △ABE≌△ADE(SSS)∴ ∠ABE=∠ADE3、已知:如图,AB=CD,线段 AC 的垂直平分线与线段 BD的垂直平分线相交于点 E. 求证:∠ABE=∠CDE.交直线 于点C,4、公路 同侧的A,B两村,共同出资在公路边修建一个停靠站C,使停靠站到A,B两村距离相等.请你确定停靠站C的位置.对应练习解:作AB的垂直平分线,lA村B村C则点C就是停靠站的位置.分别作AB,BC的垂直平分线DE,GF,ACB5、如图,某城市规划局为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A,B,C之间修建一个购物中心,试问:该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等?解:连接AB,BC,两直线交于点M,则点M就是所要确定的购物中心的位置.DEGFM6、已知:点 A,B 在直线 l 的异侧,试在直线 l 上确定一点 P,使 PA+PB 最短.PBA巩固练习7、已知:点 A,B 在直线 l 的同侧,试在直线 l 上确定一点 P,使 PA+PB 最短.APBA′作法:则点 P即为所求(1) 作出点 A 关于直线 l 的对称点A′.(2) 连接 A′B.线段A′B与直线 l 交于点P,将军饮马问题8、古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都要巡查河岸同侧的两个军营A,B.他总是先去A营,再到河边饮马,之后,再巡查B营.他时常想,怎么走,才能使他每天走的路程之和最短呢?APBA′9、如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,2),B(4,1),P 是 x 轴上任意一点,当 PA+PB 取得最小值时,点 P 的坐标为 .10、如图,(1) 在网格中画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1;(2) 写出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A2B2C2 的各顶点坐标;(3) 在 y 轴上确定一点 P,使 △PAB 周长最短.只需作图,保留作图痕迹.A1C1B1B2A2C2P11、如图,已知点 A 是锐角 ∠MON 内的一点,试分别在 OM、ON 上确定点 B、点 C,使 △ABC 的周长最小.写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图痕迹)解:① 分别作点 A 关于 OM,ON 的对称点 A′,A″;② 连接A′,A″,分别交 OM,ON 于点 B、点 C,则点 B、点 C 即为所求.解决此类问题的方法是分别作出这个点关于两条射线的对称点,然后连接所得的两个对称点,所得线段与两条射线的交点即为所求点.11、如图,已知点 A 是锐角 ∠MON 内的一点,试分别在 OM、ON 上确定点 B、点 C,使 △ABC 的周长最小.写出你作图的主要步骤并标明你所确定的点.(要求画出草图,保留作图痕迹)轴对称解决最短距离的方法:12、如图,在四边形ABCD中,AD∥ BC,E 为 CD的中点,连接 AE、BE,BE⊥AE,延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证: (1) FC=AD; (2) AB=BC+AD.证明:(1)∴ ∠ADC=∠ECF∵ AD∥ BC∵ E是CD的中点∴ DE=EC在 △AED 和 △FCE 中∵(公共角)∠AED=∠FECDE=EC∠ADC=∠ECF∴ △ADE ≌ △FCE∴ FC=AD(SAS )(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)12、如图,在四边形ABCD中,AD∥ BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证: (1) FC=AD; (2) AB=BC+AD.证明:(2)∵△ADE≌△FCE∴ AE=EF,∵ BE⊥AE∴ BE是线段AF的垂直平分线∴ AB=BF∴ AB=AD=CF又∵ BF=BC+CFBC+AD13、如图所示,在 △ABC 中,AB,AC 的垂直平分线分别交BC 于 D,E,垂足分别是 M,N.(1) 若 △ADE 的周长为 6,求 BC 的长;(2)若 ∠BAC=100°,求 ∠DAE 的度数.本节课你有什么收获?归纳总结线段的垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.① 性质定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.② 判定定理:ABPPA=PB点P在线段AB的垂直平分线上到线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等① 定义法判断线段垂直平分线的两种方法:② 判定定理——用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时,必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.三角形三边的垂直平分线的性质:三角形三边的垂直平分线这点到三角形三个顶点的距离相等.相交于一点,提醒:见垂直平分线,得线段相等作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 展开更多...... 收起↑ 资源预览