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第六章三角函数第七节　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的概念与图象第页，共61页知识要点1．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，其中A叫作振幅或幅值，ω叫作角频率，φ叫作初相．(1)定义域为(－∞，＋∞)，值域为[－A，A].(2)最大值为A，最小值为－A.(3)最小正周期.第页，共61页知识要点2．正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以由正弦函数通过平移变换得到．3．会求三角函数的最小正周期与最值．形如f(x)＝asinωx＋bcosωx的三角函数，需通过辅助角公式转化为正弦型函数的形式求该三角函数的最值及最小正周期．第页，共61页知识要点辅助角公式：f(x)＝asinωx＋bcosωx＝sin(ωx＋φ)(其中tanφ＝，φ由点(a，b)确定象限)，所以ymax＝，ymin＝，最小正周期为.第页，共61页基础过关1．函数y＝2＋sin2x的最小正周期是(　　)A．B．C．πD．2πC123【提示】T＝＝π.456第页，共61页基础过关2．函数y＝sinx－cosx的值域是(　　)A．[－1，1]B．[－2，2]C．D．[－1，]B【提示】 ∵函数y＝sinx－cosx＝2＝2sin，∴y∈[－2，2].123456第页，共61页基础过关3．函数f(x)＝sin2xcos2x的值域和最小正周期分别是(　　)A．[－1，1]，2πB．[－2，2]，πC．，D．，C【提示】 ∵f(x)＝sin2xcos2x＝sin4x，∴值域为，T＝＝.123456第页，共61页基础过关4．函数y＝3sinx的值域是(　　)A．[－1，1]B．[－3，3]C．(0，3]D．D123456【提示】 ∵－1≤sinx≤1，∴3－1≤3sinx≤31.第页，共61页基础过关5.当函数y＝4－3sin2x取得最大值时，x的值是(　　)A．B．C．D．D123456第页，共61页基础过关123456【提示】 当2x＝＋2kπ，即x＝＋kπ时，sin2x最小为－1，此时函数y＝4－3sin2x有最大值4－3×(－1)＝7.第页，共61页基础过关6．函数f(x)＝3sin的最小值为________，最大值为________，最小正周期为________.123456－334π第页，共61页【例1】　函数y＝sin的值域和最小正周期分别为(　　)A．[－2，2]，B．[－1，1]，C．[－2，2]，D．[－1，1]，典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5D第页，共61页典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【分析】　根据正弦型函数的性质可知：最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]，最小正周期T＝＝.第页，共61页【变式训练1】函数y＝－2sin＋1的值域和最小正周期分别为(　　)A．[－2，2]，B．[－1，3]，2πC．[－1，3]，6πD．[－1，2]，6π典例解析【提示】ymax＝2＋1＝3，ymin＝－2＋1＝－1，T＝＝6π.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5C第页，共61页典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【方法点拨】根据正弦型函数的性质求解．第页，共61页【例2】　(2021年重庆市对口高职)当x∈时，cos2x－sinxcosx的取值范围为(　　)A．B．C．D．典例解析C例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页典例解析【分析】　设y＝cos2x－sinxcosx＝－sin2x＝－sin，∵x∈，∴2x－∈，则sin∈[－1，0]，故y∈.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页典例解析【变式训练2】已知函数f(x)＝2sin2x＋sinxcosx，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)在上的最小值和最大值．【方法点拨】综合运用三角公式和正弦型函数的性质求解．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【解】(1)由题意得f(x)＝2·＋sin2x＝sin2x－cos2x＋1＝＝＝2sin＋1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.第页，共61页典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5(2)当x∈时，≤2x－≤，∴≤sin≤1，∴0≤f(x)≤3，故f(x)在上的最小值为0，最大值为3.第页，共61页【例3】　函数y＝4sin2x＋3cos2x的最小正周期和值域分别是(　　)A．π，[－4，4]B．2π，[－3，3]C．π，[－5，5]D．2π，[－5，5]典例解析【分析】　可将y＝4sin2x＋3cos2x化成y＝sin(2x＋φ)＝5sin(2x＋φ)，根据正弦型函数的性质即可求解．C例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页典例解析【变式训练3】已知函数y＝8sin3x＋6cos3x的最小值为m，最小正周期为T，则m，T的值分别是(　　)A．－8，6πB．－10，6πC．－10，D．－14，C例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【提示】 ∵y＝8sin3x＋6cos3x＝sin(3x＋φ)＝10sin(3x＋φ)，∴ymin＝－10，T＝.第页，共61页典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【方法点拨】将形如y＝asinωx＋bcosωx的三角函数转化成正弦型函数y＝sin(ωx＋φ)进行求解．第页，共61页【例4】　函数y＝sin的图象可由函数y＝sin2x的图象________得到．(　　)A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5D第页，共61页典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【分析】　计算的值，当>0时，图象向左平移个单位；当<0时，图象向右平移个单位，此题中＝＝<0，∴选项D正确．第页，共61页典例解析【变式训练4】将函数y＝sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到y＝sin2x的图象，则φ等于(　　)A．B．C．D．【提示】 由题意得sin＝sin2x，∵0<φ<π，∴φ＝.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5C第页，共61页典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【方法点拨】首先确定ω(ω>0)和φ的值，然后再计算的值，最后根据平移规律下结论．第页，共61页【例5】　(2020年重庆市对口高职)设函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域；(2)若tanα＝，求f(α)的值．典例解析【分析】　(1)令1＋cos2x≠0，再解出x；(2)先将f(x)用tanx表示出来，再将tanα＝代入即可．例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页典例解析【解】(1)要使分式有意义，则1＋cos2x≠0，即cos2x≠－1，解得2x≠2kπ＋π，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z，∴f(x)的定义域为.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页典例解析(2)f(x)＝＝＝＝＝，∵tanα＝，∴f(α)＝(tanα－1)2＝×＝.例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页【变式训练5】已知函数f(x)＝2cos2x－(cosx－sinx)2.(1)求函数f(x)的最值及最小正周期；(2)若f(x)＝－1，求x的取值集合．典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5【方法点拨】综合运用两角和(差)、二倍角公式和正弦型函数的性质求解．第页，共61页【解】(1)由题意得f(x)＝2cos2x－(cosx－sinx)2＝2cos2x－1＋sin2x＝sin2x＋cos2x＝＝.即f(x)＝，∴函数f(x)的最小值为，最大值为，最小正周期T＝π.典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页(2)∵f(x)＝＝－1，∴sin＝，∴2x＋＝2kπ＋，k∈Z或2x＋＝2kπ＋，k∈Z，典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页解得x＝kπ＋，k∈Z或x＝kπ＋，k∈Z，∴x的取值集合为.典例解析例1变1例2变2例3变3例4变4例5变5第页，共61页回顾反思由图象求三角函数的解析式时，若函数的最大值为M，最小值为m，则A＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．第页，共61页选择题同步精练12345678一、单项选择题1．函数y＝3sin3x＋4cos3x－11的最小正周期和值域分别是(　　)A．，[－1，1]B．，[－16，－6]C．π，[－16，－6]D．6π，[－1，1]9B填空题10解答题121311第页，共61页选择题同步精练123456789填空题10解答题121311【提示】 ∵y＝3sin3x＋4cos3x－11＝5sin(3x＋φ)－11，∴Tmin＝，值域为[－16，－6].第页，共61页2．(2017年重庆市对口高职)函数y＝3sin2x的最小正周期和值域分别是(　　)A．2π，[－1，1]B．π，[0，3]C．π，D．，[－1，2]B选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页选择题同步精练123457869填空题10解答题121311【提示】 ∵y＝3sin2x＝3·＝cos2x＋，∴T＝π.∵cos2x∈[－1，1]，∴cos2x＋∈[0，3].第页，共61页3．设函数f(x)＝sin，则函数f(x)(　　)A．在[－5π，π]上单调递增B．在[－5π，π]上单调递减C．在[－π，5π]上单调递增D．在[－π，5π]上单调递减A选择题同步精练1234578【提示】 令2kπ－≤＋≤2kπ＋，k∈Z，即可解得．69填空题10解答题121311第页，共61页4．函数y＝sin的单调递增区间是(　　)A．，k∈ZB．，k∈ZC．[2kπ，π＋2kπ]，k∈ZD．，k∈ZB选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页【提示】 令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，则＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页5．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为，则ω等于(　　)A．4B．2C．D．A【提示】 ∵T＝＝，ω>0，∴ω＝4.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页6．已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ的值为(　　)A．B．C．D．A选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页【提示】 ∵T＝2＝2π，∴ω＝1.∴＋φ＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝＋kπ(k∈Z).又0<φ<π，∴φ＝.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页7．函数y＝sinxsin是(　　)A．周期为的奇函数B．周期为的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数【提示】 ∵y＝sinxsin＝sinxcosx＝sin2x，∴此函数是周期为π的奇函数．C选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页8．下列函数中，最小正周期不是的为(　　)A．y＝cos(π＋2x)cosB．y＝sin22xC．y＝cos4x－sin4xD．y＝sin3xsinx－cos3xcosxC选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页【提示】 cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos2x，∴Tmin＝π.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页二、填空题9．若函数y＝asinx－cosx的最大值为，则a＝________.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311【提示】 由题意得＝，解得a＝±2.±2第页，共61页10．函数f(x)＝cos4x－sin4x的值域为________.选择题同步精练12345786【提示】f(x)＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)·(cos2x－sin2x)＝cos2x.9填空题10解答题121311[－1，1]第页，共61页三、解答题11．已知函数y＝asinωx＋12cosωx(ω>0)的最大值是13，最小正周期是，求a和ω的值．选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页【解】由题意得＝13，解得a＝±5.由T＝＝得ω＝4.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象的最高点为，最低点为，求A，ω，φ的值．选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页【解】由题意得A＝3；＝－＝＝，∴T＝＝，解得ω＝；将点代入y＝3sin中得sin＝1，选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝＋2kπ，k∈Z，∵|φ|<，∴φ＝.故A＝3，ω＝，φ＝.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页13．设函数f(x)＝sin－cos(ω>0)的最小正周期为6π.求：(1)ω的值；(2)f(x)的最大值及取得最大值时x的取值集合．选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页【解】(1)由题意得f(x)＝sin－cos＝＝＝.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页∵f(x)的最小正周期为6π，∴＝6π，且ω>0，∴ω＝.选择题同步精练123457869填空题10解答题121311第页，共61页(2)由(1)得f(x)＝sin，∴f(x)的最大值为，此时，＋＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝6kπ＋，k∈Z，故f(x)取得最大值时x的取值集合为.选择题同步精练123457869第页，共61页填空题10解答题121311谢谢观看！

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