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第13讲:反比例函数
一、复习目标
1、理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式，能画出反比例函数的图象
2、能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、反比例函数图象与性质
2、反比例函数图象、性质的应用
四、教学过程
（一）知识梳理
反比例函数的概念
定义 形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是________
关系式 y＝或y＝kx－1或xy＝k(k≠0)
防错提醒 (1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0
反比例函数的图象与性质
(1) 反比例函数的图象
呈现形式 反比例函数y＝ (k≠0)的图象是________
对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x
(2)反比例函数的性质
函数 图象 所在象限 性质
y＝(k≠0) k>0 一、三象限(x，y同号) 在每个象限内y随x增大而减小
k<0 二、四象限(x，y异号) 在每个象限内，y随x增大而增大
(3)反比例函数比例系数k的几何意义
k的几何意义 反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
推导 如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|
拓展 过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
反比例函数的应用
求函数关系式 方法步骤 利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝；②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值；③写出关系式
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝的交点坐标就是解这两个函数关系式组成的方程组
（二）题型、技巧归纳
考点1：反比例函数的概念
技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．
考点2：反比例函数的图象与性质
技巧归纳：1、比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．2、过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．
考点3反比例函数的应用
技巧归纳：先根据双曲线上点C的坐标求出m的值，从而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数关系式中确定n的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．
（三）典例精讲
例1 某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是(　　)
A．(－3,2) B．(3,2)
C．(2,3) D．(6,1)
[解析] 设反比例函数的关系式为y＝，把点(－1，6)代入可求出k＝－6，所以反比例函数的关系式为y＝，故此函数也经过点(－3，2)，答案选A.
例2在反比例函数y＝(k<0)的图象上有两点，，则y1－y2的值是(　　)
A．负数 B．非正数
C．正数 D．不能确定
[解析] 反比例函数y＝：当k＜0时，该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
又∵点(－1，y1)和均位于第二象限，－1＜－，
∴y1＜y2，∴y1－y2＜0，即y1－y2的值是负数，故选A.
例3 如图点A，B在反比例函数y＝ (k>0，x>0)的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为6，则k的值为________．
[解析] ∵S△AOC＝6，OM＝MN＝NC＝OC，
∴S△OAC＝×OC×AM，S△AOM＝×OM×AM＝ S△OAC＝2＝|k|.
又∵反比例函数的图象在第一象限，k＞0，则k＝4.
例4 如图13－2，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝ 交于点P、Q，求△APQ的面积．
解：(1) ∵点C(1，m)在双曲线y＝上，∴m＝4，将点C(1，4)代入y＝2x＋n中，得n＝2；
(2)在y＝2x＋2中，令y＝0，得x＝－1，即A(－1，0)．将x＝3代入y＝2x＋2和y＝，得点P(3，8)，Q，∴PQ＝8－＝.又∵AD＝3－(－1)＝4，∴△APQ的面积＝×4×＝.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握反比例函数的求法，能画出反比例函数的图象，能够将反比例函数有关的实际应用题转化为函数问题
（五）随堂检测
1、已知点A(－2，y1)、B(1，y2)和C(2，y3)都在反比例函数 (k<0)的图象上，那么y1、y2和y3的大小关系如何？
2、已知反比例函数 图象上三个点的坐标分别是A(－2，y1)、B(－1，y2)、C(2，y3)，能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是(　　)
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2
C．y2>y1>y3 D．y2>y3>y1
3、已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求这个函数的解析式；
（Ⅱ）判断点B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函数y=kx的解析式；
（3）试判断点B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．
五、板书设计
反比例函数
六、作业布置
反比例函数课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
PAGE第13讲：反比例函数
一、夯实基础
1.当x>0时，函数y=－的图象在（ ）
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
2.设点A（x1,y1）和B（x2,y2）是反比例函数y=（k≠0）图象上的两个点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则一次函数y=-2x+k的图象不经过的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在同一直角坐标系中，函数和（k≠0）的图象大致是（ ）
4.如图所示，矩形ABCD中，，动点P从A点出发，按的方向在AB和BC上移动.记，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A B
C D
5.反比例函数y =的图象经过点（-2，3），则k的值为（ ）
A.6 B.-6 C. D.－
6.若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是( )
A.0 B.2 C.3 D.4
7.已知点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、能力提升
8.已知反比例函数的图象经过点A（–2，3），则当时，y=_____.
9．如图所示，已知一次函数y=kx－4的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C，且A为BC的中点，则k= .
10．已知反比例函数，当时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当时，其图象在每个象限内随的增大而增大.
11.已知，是同一个反比例函数图象上的两点.若，且，则这个反比例函数的表达式为 .
三、课外拓展
12.若一次函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则实数k的取值范围是 .
13.若M（2，2）和N（b，-1-n2）是反比例函数y=图象上的两点，则一次函数y=kx+b的图象经过第 象限.
四、中考链接
14.（广州中考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2.
（1）求k的值和点A的坐标；
（2）判断点B所在象限，并说明理由.
15. 如图所示，直线y=mx与双曲线相交于A，B两点，A点的坐标为（1，2）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；
（3）计算线段AB的长.
参考答案
一、夯实基础
1. A 解析：因为函数y=－中k=-5＜0,所以其图象位于第二、四象限，当x＞0时，其图象位于第四象限.
2. A 解析：对于反比例函数，∵ x1＜x2＜0时，y1＜y2，说明在同一个象限内，y随x的增大而增大，∴ k＜0，∴ 一次函数y=-2x+k的图象与y轴交于负半轴，其图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限.
3.A 解析：由于不知道k的符号，此题可以分类讨论，当时，反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限，可知A项符合;同理可讨论当时的情况.
4.B 解析：当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为DA的长度，且保持不变，其图像为经过点(0，4)且与x轴平行的一条线段，当点P在BC上移动时，△ PAD的面积为，不会发生变化，又因为，所以，所以，所以其图像为双曲线的一支，故选B.
5. C 解析： 把点（-2，3）代入反比例函数y=中，得3=，解得k=.
6.A
7.D 解析：因为反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，所以.又因为当时，，当时，，所以，，故选D.
二、能力提升
8.2 解析：把点A(–2，3)代入中，得k = – 6,即.把x= – 3代入中，得y=2.
9.4 解析：因为一次函数的图象与y轴交于点B，
所以B点坐标为（0，-4）.
10.＞1 ＜1
11. 解析：设反比例函数的表达式为，因为，错误！未找到引用源。，所以.因为，所以，解得k=4，所以反比例函数的表达式为错误！未找到引用源。.
三、课外拓展
12. 解析：若一次函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则方程没有实数根，将方程整理得Δ＜0，即1+4k＜0，解得.
13.一、三、四 解析：把M（2， 2）代入y=得2=，解得k=4.
把N（b，-1-n2）代入y=得-1-n2=,即﹣（1+n2）=，∴ b＜0，
∴ y=kx+b中，k=4＞0，b＜0，∴ 图象经过第一、三、四象限.
四、中考链接
14.解：（1）将与联立，得
（1）
∵ 点A是两个函数图象的交点，
将代入（1）式，得
，解得.
故一次函数解析式为，
反比例函数解析式为.
将代入，得.
∴ 点A的坐标为.
（2）点B在第四象限，理由如下：
方法一：∵ 一次函数的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴ 它们的交点都在第四象限，
∴ 点B在第四象限.
方法二：由得，
，解得.
代入方程组得
即点B的坐标为（1，－4），
∴ 点B在第四象限
15.解：（1）把A(1，2)代入中，得．
∴ 反比例函数的表达式为．
（2）或．
（3）如图所示，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．
∵ A(1，2)，∴ AC=2，OC=1．
∴ OA=．
∴ AB=2OA=2．
PAGE第13讲 反比例函数
一、知识梳理
反比例函数的概念
定义 形如________(k≠0，k为常数)的函数叫做反比例函数，其中x是________，y是x的函数，k是________
关系式 y＝或y＝kx－1或xy＝k(k≠0)
防错提醒 (1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数值y≠0
反比例函数的图象与性质
(1) 反比例函数的图象
呈现形式 反比例函数y＝ ______(k≠0)的图象是________
对称性 它既是关于________对称的中心对称图形，也是轴对称图形，其对称轴为第一、三象限或第二、四象限坐标轴夹角的平分线，即直线y＝x或直线y＝－x
(2)反比例函数的性质
函数 图象 所在象限 性质
y＝(k≠0) k>0 一、三象限(x，y同号) 在每个象限内y随x增大而减小
k<0 二、四象限(x，y异号) 在每个象限内，y随x增大而增大
(3)反比例函数比例系数k的几何意义
k的几何意义 反比例函数图象上的点(x，y)具有两数之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|
推导 如图，过双曲线上任一点P作x轴，y轴的垂线段PM、PN，所得的矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|. ∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|
拓展 过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数
反比例函数的应用
求函数关系式 方法步骤 利用待定系数法确定反比例函数：①根据两变量之间的反比例关系，设y＝；②代入图象上一个点的坐标，即x、y的一对对应值，求出k的值；③写出关系式
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线y＝k1x＋b(k≠0)和双曲线y＝的交点坐标就是解这两个函数关系式组成的方程组
二、题型、技巧归纳
考点1反比例函数的概念
例1 某反比例函数的图象经过(－1,6)，则下列各点中，此函数图象也经过的点是(　　)
A．(－3,2) B．(3,2)
C．(2,3) D．(6,1)
技巧归纳：判断点是否在反比例函数图象上的方法有两种：一是口算选项中点的横坐标与纵坐标乘积是否都等于比例系数，二是将选项中点的坐标诸个代入反比例函数关系式，看能否使等式成立．
考点2反比例函数的图象与性质
例2在反比例函数y＝(k<0)的图象上有两点，，则y1－y2的值是(　　)
A．负数 B．非正数
C．正数 D．不能确定
技巧归纳： 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定．
例3 如图点A，B在反比例函数y＝ (k>0，x>0)的图象上，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，△AOC的面积为6，则k的值为________．
技巧归纳：过反比例函数y＝的图象上的某点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积就等于|k|，故而常过图象上某点向坐标轴作一条或两条垂线，引出三角形或矩形的面积来解决问题．
考点3反比例函数的应用
例4 如图13－2，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y＝在第一象限内交于点C(1，m)．
(1)求m和n的值；
(2)过x轴上的点D(3,0)作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲线y＝ 交于点P、Q，求△APQ的面积．
技巧归纳：先根据双曲线上点C的坐标求出m的值，从而确定点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数关系式中确定n的值，在求出两个函数关系式后结合条件可求出三角形的面积．
三、随堂检测
1、已知点A(－2，y1)、B(1，y2)和C(2，y3)都在反比例函数 (k<0)的图象上，那么y1、y2和y3的大小关系如何？
2、已知反比例函数 图象上三个点的坐标分别是A(－2，y1)、B(－1，y2)、C(2，y3)，能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是(　　)
A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2
C．y2>y1>y3 D．y2>y3>y1
3、已知反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（Ⅰ）求这个函数的解析式；
（Ⅱ）判断点B（﹣1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；
（Ⅲ）当﹣3＜x＜﹣1时，求y的取值范围．
4、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象有一个交点A（m，2）．
（1）求m的值；
（2）求正比例函数y=kx的解析式；
（3）试判断点B（2，3）是否在正比例函数图象上，并说明理由．
参考答案
例1、A
例2、A
例3、k＝4
例4、解：(1) ∵点C(1，m)在双曲线y＝上，∴m＝4，将点C(1，4)代入y＝2x＋n中，得n＝2；
(2)在y＝2x＋2中，令y＝0，得x＝－1，即A(－1，0)．将x＝3代入y＝2x＋2和y＝，得点P(3，8)，Q，∴PQ＝8－＝.又∵AD＝3－(－1)＝4，∴△APQ的面积＝×4×＝.
随堂检测
1、∵反比例函数y＝中，k<0，
∴图象在第二、四象限．
又∵A(－2，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)，
∴y1>y3>y2.
2、C
3、解：（Ⅰ）∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴把点A的坐标代入解析式，得3=，解得，k=6，
∴这个函数的解析式为：y=
（Ⅱ）∵反比例函数解析式y=，∴6=xy．分别把点B、C的坐标代入，得
（﹣1）×6=﹣6≠6，则点B不在该函数图象上．3×2=6，则点C中该函数图象上；
（Ⅲ）∵当x=﹣3时，y=﹣2，当x=﹣1时，y=﹣6，
又∵k＞0，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，﹣6＜y＜﹣2．
4、解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（m，2），∴，解得m=1；
（2）∵正比例函数y=kx的图象过点A（1，2），
∴2=k×1，解得k=2，∴正比例函数解析式为y=2x；
（3）点B（2，3）不在正比例函数图象上，理由如下：将x=2代入y=2x，得y=2×2=4≠3，
所以点B（2，3）不在正比例函数y=2x的图象上．
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