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5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
学习目标 把握航向 目的明确
1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦，了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
注意点：
在cos(α＋β)的推导过程中，利用角的代换的方法即α－β＝α＋(－β)以及诱导公式．
知识点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”．
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序．
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一　化简求值
例1　化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan 10°－).
解：(1)原式＝sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)
＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin 45°＝.
(2)(tan 10°－)＝(tan 10°－tan 60°)＝
＝·＝－＝－2.
反思总结　解决化简求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1 (1)的值是(　　)
A. B. C．1 D.
答案：A
解析：原式＝＝
＝＝＝.
(2)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案：B
解析：方法一　原式＝sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°＝－(cos 20°cos 40°－sin 20°sin 40°)
＝－cos 60°＝－.
方法二　原式＝cos 70°sin 40°－cos 20°cos 40°＝sin 40°cos 70°－sin 70°cos 40°＝sin(40°－70°)＝sin(－30°)＝－sin 30°＝－.
题型二　给值求值(角)
例2　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
解：∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵β∈，sin β＝－，∴cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝×＋×＝.
又∵α∈，∴α＝.
反思总结 解决给值(式)求角问题的方法
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
跟踪训练2　(1)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
解：∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.
又cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，
∴sin(α－β)＝＝ ＝，
cos(α＋β)＝－＝－ ＝－.
∴sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×(－)＋×(－)＝－.
(2)已知<β<α<，sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2β的值．
解：∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<π.
∴cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin 2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝0.
题型三　三角函数式的化简或证明
例3　(1)若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．±1
答案：C
解析：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝0.
∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin αcos 2β＋cos αsin 2β＋sin αcos 2β－cos αsin 2β＝2sin αcos 2β＝0.
(2)已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明　sin(2α＋β)＝3sin β sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]
sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α
2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α tan(α＋β)＝2tan α.
反思总结　证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
跟踪训练3　证明：－2cos(α＋β)＝.
证明：　－2cos(α＋β)＝
＝＝
＝＝.
题型四　辅助角公式
例4　将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：
(1)sin x－cos x；(2)sin(－x)＋cos(－x)．
解：(1)sin x－cos x＝2(sin x－cos x)＝2(cos sin x－sin cos x)＝2sin(x－)．
(2)原式＝[sin(－x)＋cos(－x)]＝[sin sin(－x)＋cos cos(－x)]
＝cos(－x－)＝cos(－x)＝sin(x＋)．
反思总结　1.对于形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正弦、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
跟踪训练4　化简：(1)(cos x－sin x)；(2)3sin x＋3cos x.
解：(1)(cos x－sin x)＝×(cos x－sin x)＝2(cos cos x－sin sin x)＝2cos(＋x)．
(2)3sin x＋3cos x＝6(sin x＋cos x)＝6(sin sin x＋cos cos x)＝6cos(x－)．
习题精练 基础巩固 强化落实
1.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)
A. B. C. D.
答案：A
2.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)
A.－ B.－ C. D.
答案：B
解析：原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－.
3.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
答案：A
4.函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为(　　)
A.[－2，2] B.[－，] C.[－1，1] D.[－，]
答案：B
解析：∵f(x)＝sin x－cos(x＋)＝sin x－cos xcos ＋sin xsin ＝sin x－cos x＋sin x＝(sin x－cos x)＝sin(x－)(x∈R)，∴f(x)的值域为[－，]．
5.若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵cos α＝，cos(α＋β)＝，α、β∈，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
6.若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.1＋ D.2＋
答案：B
解析：f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋)，∵0≤x<，∴≤x＋<. ∴f(x)max＝2.
7.在△ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
解析：∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B，∴sin Acos B－cos Asin B＝0.即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
8.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：∵0<β<α<，∴0<α－β<，由cos α＝得sin α＝，由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝＝，∴β＝.
9.形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是(　　)
A.1 B.0 C.－1 D.±1
答案：B
解析：＝cos cos －sin sin ＝cos＝cos ＝0.
10.在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)
A. B.π C.或π D.或π
答案：A
解析：由题意知①2＋②2得9＋16＋24sin(A＋B)＝37.则sin(A＋B)＝.∴在△ABC中，sin C＝，∴C＝或C＝π.若C＝π，则A＋B＝，∴1－3cos A＝4sin B>0.∴cos A<.又<，∴A>.此时A＋C>π，不符合题意，∴C≠π，∴C＝.
二、填空题
11.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是 ．
答案：
解析：∴∴＝＝.
12.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ ，α－β＝ ．
答案： －
解析：∵α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，∴cos α＝，sin β＝，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝.
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－.∵α，β为锐角，∴－<α－β<.∴α－β＝－.
13.已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ .
答案：0
解析：∵sin αcos β＝1且－1≤sin α≤1，－1≤cos β≤1，故有或∴cos α＝sin β＝0，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝0.
14.已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .
答案：－
解析：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，∴sin β＝－，又β是第三象限角，∴cos β＝－＝－，∴sin＝sin βcos ＋cos βsin ＝×＋×＝－.
15.若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为 ．
答案：
解析：∵<α<，<β<，∴－<－α<0，<＋β<.∴cos＝＝，
cos＝－＝－，∴cos(α＋β)＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝－，又<α＋β<π，∴α＋β＝.
三、解答题
16.已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值．
解：∵0<α<，cos α＝，∴sin α＝.
又∵0<β<，∴0<α＋β<π.
∵sin(α＋β)＝∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝×－×＝.
又∵0<β<，∴β＝.
17.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α、β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
解：(1) ∵α、β∈，∴α－β∈，又sin(α－β)＝>0，
∴0<α－β<.
∴sin α＝＝，cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝×－×＝.
(2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝，
又∵β∈，∴β＝.
18.已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)．
解：∵0<α<<β<，∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，∴cos＝－，sin＝－.
cos(α＋β)＝sin＝sin
＝sincos－cossin＝×－×＝－.
19.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ＝，求cos的值．
解：(1) ∵f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
∴f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又∵f(x)的图象关于直线x＝对称，
∴2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
由－≤φ<，得k＝0，所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f ＝sin＝，所以sin＝.
由<α<得0<α－<，
∴cos＝＝＝.
因此cos＝sin α＝sin
＝sincos ＋cossin ＝×＋×＝.
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高中数学(新RJ·A)必修第一册5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一) 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.5.1 第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
学习目标 把握航向 目的明确
1.能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦，了解它们的内在联系.
2.掌握两角和与差的正弦、余弦公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一　两角和与差的余弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角差的余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β α，β∈R
两角和的余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β α，β∈R
注意点：
在cos(α＋β)的推导过程中，利用角的代换的方法即α－β＝α＋(－β)以及诱导公式．
知识点二　两角和与差的正弦公式
名称 简记符号 公式 使用条件
两角和的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R
两角差的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差的余弦展开可简记为“余余正正，符号相反”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”．
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序．
典例讲解 题型探究 重点突破
题型一　化简求值
例1　化简求值：(1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；(2)(tan 10°－).
反思总结　解决化简求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1 (1)的值是(　　)
A. B. C．1 D.
(2)cos 70°cos 50°＋cos 200°cos 40°的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
题型二　给值求值(角)
例2　已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α.
反思总结 解决给值(式)求角问题的方法
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值．
跟踪训练2　(1)已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2α的值．
(2)已知<β<α<，sin(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin 2β的值．
题型三　三角函数式的化简或证明
例3　(1)若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于(　　)
A．1 B．－1 C．0 D．±1
(2)已知sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
反思总结　证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、“往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、结构形式的差异．
跟踪训练3　证明：－2cos(α＋β)＝.
题型四　辅助角公式
例4　将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：
(1)sin x－cos x；(2)sin(－x)＋cos(－x)．
反思总结　1.对于形如sin α±cos α，sin α±cos α的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正弦、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则．
跟踪训练4　化简：(1)(cos x－sin x)；(2)3sin x＋3cos x.
习题精练 基础巩固 强化落实
1.计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于(　　)
A. B. C. D.
2.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是(　　)
A.－ B.－ C. D.
3.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
4.函数f(x)＝sin x－cos(x＋)的值域为(　　)
A.[－2，2] B.[－，] C.[－1，1] D.[－，]
5.若锐角α、β满足cos α＝，cos(α＋β)＝，则sin β的值是(　　)
A. B. C. D.
6.若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x<，则f(x)的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.1＋ D.2＋
7.在△ABC中，三内角分别是A、B、C，若sin C＝2cos Asin B，则△ABC一定是(　　)
A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
8.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于(　　)
A. B. C. D.
9.形如的式子叫做行列式，其运算法则为＝ad－bc，则行列式 的值是(　　)
A.1 B.0 C.－1 D.±1
10.在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C的大小为(　　)
A. B.π C.或π D.或π
二、填空题
11.已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值是 ．
12.已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ ，α－β＝ ．
13.已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝ .
14.已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin＝ .
15.若sin＝－，sin＝，其中<α<，<β<，则角α＋β的值为 ．
三、解答题
16.已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值．
17.已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α、β∈.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
18.已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<π，求cos(α＋β)．
19.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f ＝，求cos的值．
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