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第7章 三角函数
第03讲 三角函数的图象和性质
课程标准 重难点
理解正弦函数、余弦函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象． 理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期．理解正弦函数、余弦函数奇偶性、单调性、最大值与最小值的概念．会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值．
一、正弦函数图象
1．正弦函数的图象
2．正弦函数图象的画法
（一）几何法：
（1）利用 ① 画出y=sin x，x∈[0,2π]的图象；
（2）将图象向② 平行移动（每次2π个单位长度）．
（二）五点法：
（1）五个关键点： ③ ，（，1）， ④ ，（，－1）， ⑤
（2）画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点，用光滑的曲线连接；
（3）将所得图象⑥ 平行移动（每次2π个单位长度）．
二、余弦函数图象
1．余弦函数的图象
2．余弦函数图象的画法
（1）要得到y=cos x的图象，只需把y=sin x的图象向 ⑦ 单位长度即可，这是由于cosx= ⑧ ．
（2）五个关键点： ⑨ ，（，0）， ⑩ ，（，0），
（3）用“五点法”：画余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时，选取五个关键点，分别为再用光滑的曲线连接．
三、正切函数图象
四、正余弦函数的性质
1.周期函数
对于函数f（x），如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f（x）就叫做周期函数，
叫做这个函数的周期．
（2）如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
（3）正弦函数y=sin x（x∈R）和余弦函数y=cos x（x∈R）都是周期函数，最小正周期为 ，2kπ（且k≠0）是它们的周期．
2.正弦函数、余弦函数的性质
函数 y=sin x y=cos x
定义域 R
值域 ①
图象
奇偶性 ② 函数 ③ 函数
周期性 最小正周期：T=④
单调性 在⑤ （k∈Z）上递增；在⑥ （k∈Z）上递减 在⑦ （k∈Z）上递增；在⑧ （k∈Z）上递减
最值 当x=⑨ 时，ymin=－1；当x=⑩ 时，ymax=1 当x= 时，ymin=－1；当x= 时，ymax=1
对称轴 x=＋kπ，k∈Z x=kπ，k∈Z
对称中心 （kπ，0），k∈Z （＋kπ，0），k∈Z
五、正切函数的性质
定义域 ①
值域 ②
奇偶性 ③ 函数
单调性 在④ 上单调递增
周期性 最小正周期为T＝⑤
对称性 对称中心⑥
六、函数的图象
1．φ对y=sin（x＋φ），x∈R的图象的影响
y=sin（x＋φ）（φ≠0）的图象可以看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向① （当φ>0时）或向② （当φ<0时）平行移动③ 个单位长度而得到．
2．ω（ω>0）对y=sin（ωx＋φ）的图象的影响
函数y=sin（ωx＋φ）的图象，可以看作是把y=sin（x＋φ）的图象上所有点的横坐标 ④ （当ω>1时）或 ⑤ （当0<ω<1时）到原来的⑥ 倍（纵坐标 ⑦ ）而得到．
3．A（A>0）对y=Asin（ωx＋φ）的图象的影响
函数y=Asin（ωx＋φ）的图象，可以看作是把y=sin（ωx＋φ）图象上所有点的纵坐标 ⑧ （当A>1时）或 缩短 （当0七、图象平移伸缩变换
【探究问题】
1．函数、、的周期分别是多少？
2．要作出的图象，需要求哪几个关键点的坐标？
3．要作出的图象，又需要求哪几个关键点的坐标？
4．由上述探究和思考，你能得到和、图象的关系吗？
5．是否可由的图象得到的图象？
【探究提示】
1．、、；
2．分别令等于、、、、可得函数图象上点的坐标：；
3．分别令等于、、、、可得函数图象上点的坐标：；
请在同一个坐标系内作出函数、、的图象．
4．图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象；
5．可以，把的图象伸长为原来的4倍，得到的图象．
参考答案
一、①正弦线②左、向右③（0，0）④（π，0）⑤（2π，0）⑥向左、向右
二、⑦左移个⑧⑨（0，1）⑩（π，－1） （2π，1）
三、1. ①非零常数T，②每一个，③f（x＋T）=f（x），④非零常数T，⑤最小的正数，⑥2π
2. ⑦[－1，1] ⑧奇 ⑨偶 ⑩2π
⑿⒀⒁
⒂⒃ ⒄
五、① ②③奇 ④ ⑤π
⑥
六、①左 ②右 ③ ④缩短 ⑤伸长 ⑥ ⑦不变⑧伸长 ⑨A ⑩[－A，A] －A
考法01 正弦函数、余弦函数的图象
SHAPE \* MERGEFORMAT 　1.图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
2．的图象与的交点的个数是 ．
【跟踪训练】1．利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
2．作出函数的图象．
3．用五点法画出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
考法02 正切函数图象
正切函数的图象
利用正切线画出正切函数的图象，如图所示．
【说明】除利用正切线画函数的图象外，还可以利用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里的三点的坐标分别为，两线是直线和，根据这三点和两条直线，便可以得到函数在一个周期上的简图．画出的图象后，再把图象向左、向右平行移动（每次移动个单位长度），就可得到的图象．正切函数的图象叫做正切曲线．
SHAPE \* MERGEFORMAT 利用图象求函数的定义域．
【跟踪训练】
画出函数的简图，并根据图象写出其周期和单调区间．
考法03 三角函数的定义域、值域问题
求函数的定义域．
【名师点评】（1）求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．
（2）求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
【跟踪训练】
求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
【点评】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了．
考法04 正切函数性质
正切函数的性质
1．周期性
由诱导公式可知，，，，因此是正切函数的一个周期．
一般地，函数的最小正周期．
2．奇偶性
正切函数的定义域为，关于原点对称，由于
，因此正切函数是奇函数．
3．单调性和值域
单位圆中的正切线如图所示．
利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：
角 →0→ →→
正切线 →0→ →0→
增函数 增函数
由上表可知正切函数在和上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为．此外由其变化趋势可知正切函数的值域为（，）或，因此正切函数没有最值．
【深化拓展】
的周期性
函数及的周期是其对应函数，周期的一半，而函数的图
象是把在轴下方的图象翻折到轴上方，但其周期与的周期相等，均为
求函数的定义域．
【跟踪训练】求下列函数的最小正周期：
（1）；
（2）．
【思路分析】利用周期函数的定义来解，对于正切函数，
若，
则为正切函数的周期．
的最小值为最小正周期．
考法05 五点作图法
用五点法画函数的简图，先作变量代换，令，再用方程思想由取0，，，，来确定对应的值，最后根据的值描点、连线，画出函数的图象．
　作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象．
【跟踪训练】已知函数．
（1）试用“五点法”画出它的图象；
（2）求它的振幅、周期和初相．
【技巧点拨】利用五点法作出函数在一个周期内的图象之后，只需把函数图象向左右两方伸展出一部分即可．如果要作出函数在指定区间内的图象，则要注意函数图象端点的处理．
考法06 图象的变换
SHAPE \* MERGEFORMAT 如何由函数的图象得到函数的图象？
【点评】（1）本题用了由函数，的图象变换到函数，的图象的两种方法．第一种方法是先进行相位变换；第二种方法是先进行周期变换．在先进行周期变换时，要注意下一步的变换平移的长度．
（2）若此问题改为“如何由的图象得到函数的图象”．请同学们自己叙述一下变换过程．
【跟踪训练】
将函数依次进行怎样的变换可得到的图象？
【思路分析】先相位变换，再周期变换，再振幅变换，最后平移即可．
考法07 根据图象确定函数的解析式
已知函数（其中，，）一个周期的图象如图所示，求函数的解析式．
【解题技巧】求的值是本类问题的难点，正确选择恰当的点构造相应的方程是解决问题的关键．
【跟踪训练】
若函数（其中，，）在其一个周期内的图象上有一个最高点和一个最低点，求这个函数的解析式．
考法08 函数性质的应用
已知函数，（其中，，）的周期为，且图象上的一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最值．
【跟踪训练】已知函数（，，），且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点．
（1）求；
（2）计算…+．
题组A 基础过关练
1．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
2．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象可以由函数向左平移个单位得到
C．的图象关于直线对称
D．的单调递增区间为
3．函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
4．要得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度
5．点是函数（，）的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）
A．的最小正周期是
B．的值为2
C．的初相为
D．在上单调递增
6．函数的周期 振幅 初相分别是（ ）
A．，2， B．，，
C．，2， D．，2，
7．若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题组B 能力提升练
1．为得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
2．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
3．分别对函数的图象进行如下变换：
①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来倍，得到的图象；
②先将其上各点的横坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到的图象，
以下结论正确的是（ ）
A．
B．为图象的一个对称中心
C．直线为函数图象的一条对称轴
D．的图象向右平移个单位长度可得的图象
4．写出一个值域为的周期函数______.（不能用分段函数形式）
5．若函数的图象与直线y＝a有交点，则实数a的取值范围是 _______.
6．已知函数.
（1）用“五点法”作出在上的简图.
（2）由图象写出在上的单调区间.
7．已知函数图象经过点，，且在区间上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域．
8．如图是函数（，，）的部分图象．
（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程（），求在内所有实数根之和．
题组C 培优拔尖练
1．已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______
2．函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是_________.
3．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是___________.
4．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.
（1）求函数的解析式
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值.
5．已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
（1）①的一条对称轴且；
②的一个对称中心，且在上单调递减；
③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
6．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
第7章 三角函数
第03讲 三角函数的图象和性质答案解析
课程标准 重难点
理解正弦函数、余弦函数图象的画法．借助图象变换，了解函数之间的内在联系．通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象． 理解周期函数与最小正周期的意义，会求三角函数的最小正周期．理解正弦函数、余弦函数奇偶性、单调性、最大值与最小值的概念．会判断三角函数的奇偶性，会求三角函数的单调区间，会求三角函数的最值．
一、正弦函数图象
1．正弦函数的图象
2．正弦函数图象的画法
（一）几何法：
（1）利用 ① 画出y=sin x，x∈[0,2π]的图象；
（2）将图象向② 平行移动（每次2π个单位长度）．
（二）五点法：
（1）五个关键点： ③ ，（，1）， ④ ，（，－1）， ⑤
（2）画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点，用光滑的曲线连接；
（3）将所得图象⑥ 平行移动（每次2π个单位长度）．
二、余弦函数图象
1．余弦函数的图象
2．余弦函数图象的画法
（1）要得到y=cos x的图象，只需把y=sin x的图象向 ⑦ 单位长度即可，这是由于cosx= ⑧ ．
（2）五个关键点： ⑨ ，（，0）， ⑩ ，（，0），
（3）用“五点法”：画余弦曲线y=cos x在[0,2π]上的图象时，选取五个关键点，分别为再用光滑的曲线连接．
三、正切函数图象
四、正余弦函数的性质
1.周期函数
对于函数f（x），如果存在一个 ，使得当x取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f（x）就叫做周期函数，
叫做这个函数的周期．
（2）如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个 ，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
（3）正弦函数y=sin x（x∈R）和余弦函数y=cos x（x∈R）都是周期函数，最小正周期为 ，2kπ（且k≠0）是它们的周期．
2.正弦函数、余弦函数的性质
函数 y=sin x y=cos x
定义域 R
值域 ①
图象
奇偶性 ② 函数 ③ 函数
周期性 最小正周期：T=④
单调性 在⑤ （k∈Z）上递增；在⑥ （k∈Z）上递减 在⑦ （k∈Z）上递增；在⑧ （k∈Z）上递减
最值 当x=⑨ 时，ymin=－1；当x=⑩ 时，ymax=1 当x= 时，ymin=－1；当x= 时，ymax=1
对称轴 x=＋kπ，k∈Z x=kπ，k∈Z
对称中心 （kπ，0），k∈Z （＋kπ，0），k∈Z
五、正切函数的性质
定义域 ①
值域 ②
奇偶性 ③ 函数
单调性 在④ 上单调递增
周期性 最小正周期为T＝⑤
对称性 对称中心⑥
六、函数的图象
1．φ对y=sin（x＋φ），x∈R的图象的影响
y=sin（x＋φ）（φ≠0）的图象可以看作是把正弦曲线y=sin x上所有的点向① （当φ>0时）或向② （当φ<0时）平行移动③ 个单位长度而得到．
2．ω（ω>0）对y=sin（ωx＋φ）的图象的影响
函数y=sin（ωx＋φ）的图象，可以看作是把y=sin（x＋φ）的图象上所有点的横坐标 ④ （当ω>1时）或 ⑤ （当0<ω<1时）到原来的⑥ 倍（纵坐标 ⑦ ）而得到．
3．A（A>0）对y=Asin（ωx＋φ）的图象的影响
函数y=Asin（ωx＋φ）的图象，可以看作是把y=sin（ωx＋φ）图象上所有点的纵坐标 ⑧ （当A>1时）或 缩短 （当0七、图象平移伸缩变换
【探究问题】
1．函数、、的周期分别是多少？
2．要作出的图象，需要求哪几个关键点的坐标？
3．要作出的图象，又需要求哪几个关键点的坐标？
4．由上述探究和思考，你能得到和、图象的关系吗？
5．是否可由的图象得到的图象？
【探究提示】
1．、、；
2．分别令等于、、、、可得函数图象上点的坐标：；
3．分别令等于、、、、可得函数图象上点的坐标：；
请在同一个坐标系内作出函数、、的图象．
4．图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象；图象上点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象；
5．可以，把的图象伸长为原来的4倍，得到的图象．
参考答案
一、①正弦线②左、向右③（0，0）④（π，0）⑤（2π，0）⑥向左、向右
二、⑦左移个⑧⑨（0，1）⑩（π，－1） （2π，1）
三、1. ①非零常数T，②每一个，③f（x＋T）=f（x），④非零常数T，⑤最小的正数，⑥2π
2. ⑦[－1，1] ⑧奇 ⑨偶 ⑩2π
⑿⒀⒁
⒂⒃ ⒄
五、① ②③奇 ④ ⑤π
⑥
六、①左 ②右 ③ ④缩短 ⑤伸长 ⑥ ⑦不变⑧伸长 ⑨A ⑩[－A，A] －A
考法01 正弦函数、余弦函数的图象
SHAPE \* MERGEFORMAT 　1.图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
【思路分析】y轴右侧的图象与关于x轴对称，所以为的一部分→整个图象关于y轴对称，则函数为偶函数，则应为
【答案】C
【解析】考虑取特殊值．
2．的图象与的交点的个数是 ．
【思路分析】作出的图象→平移得到的图象→作出直线
【答案】2
【解析】由的图象向上平移1个单位，得的图象，故与交点的个数是2个．
【跟踪训练】1．利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图.
【思路分析】先列表如图确定五点的坐标，后描点并画图，利用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间的简图；
【解析】先列表,后描点并画图
0
x
y 0 1 0 -1 0
；
2．作出函数的图象．
【思路分析】要善于利用函数的图象来作及的图象．
【解析】将化为，
因为
所以作出的图象如下图所示．
3．用五点法画出下列函数的图象：
（1）；
（2）．
【思路分析】按列表、描点、连线的步骤作图象，抓住关键点，另外注意曲线凹凸的方向．
【解析】按五个关键点列表如下：
0
2 1 2 3 2
在直角坐标系中描出这五个点，再用平滑曲线将它们连接起来，即得到图象．
（1）作出的图象，如下图．
（2）作出的图象，如下图．
考法02 正切函数图象
正切函数的图象
利用正切线画出正切函数的图象，如图所示．
【说明】除利用正切线画函数的图象外，还可以利用类似于“五点法”的“三点两线法”作简图，这里的三点的坐标分别为，两线是直线和，根据这三点和两条直线，便可以得到函数在一个周期上的简图．画出的图象后，再把图象向左、向右平行移动（每次移动个单位长度），就可得到的图象．正切函数的图象叫做正切曲线．
SHAPE \* MERGEFORMAT 利用图象求函数的定义域．
【思路分析】根据题意列出不等式，然后画出函数的简图，再根据图象找出不等式的解集．
【解析】要使函数有意义，
则，得．
如图，利用函数的图象可知，
所求定义域为．
【解题技巧】先在一个周期内得出的取值范围，然后加周期即可，亦可利用单位圆求解．
【跟踪训练】
画出函数的简图，并根据图象写出其周期和单调区间．
【思路分析】可写成分段函数的形式．
【解析】
它的图象如图所示．由图象可知函数的周期为，
单调增区间为，
单调减区间为．
考法03 三角函数的定义域、值域问题
求函数的定义域．
【思路分析】除外，还应注意，列出不等式组，可借助单位圆或正弦函数、余弦函数的图象求解．
【解析】为使函数有意义，需满足
即
正弦函数或单位圆如图所示，
∴定义域为．
【名师点评】（1）求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．
（2）求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
【跟踪训练】
求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
【思路分析】本题主要考查三角函数的单调性及值域的求法．（1）可以利用与求解；（2）注意确定的范围，利用单调性确定值域．
【解析】（1）∵
又∵，
∴，即函数的值域为．
（2）∵，
∴．
∴，
∴，
∴．
∴函数的值域为．
【点评】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了．
考法04 正切函数性质
正切函数的性质
1．周期性
由诱导公式可知，，，，因此是正切函数的一个周期．
一般地，函数的最小正周期．
2．奇偶性
正切函数的定义域为，关于原点对称，由于
，因此正切函数是奇函数．
3．单调性和值域
单位圆中的正切线如图所示．
利用单位圆中的正切线研究正切函数的单调性和值域，可得下表：
角 →0→ →→
正切线 →0→ →0→
增函数 增函数
由上表可知正切函数在和上均为增函数，由周期性可知正切函数的增区间为．此外由其变化趋势可知正切函数的值域为（，）或，因此正切函数没有最值．
【深化拓展】
的周期性
函数及的周期是其对应函数，周期的一半，而函数的图
象是把在轴下方的图象翻折到轴上方，但其周期与的周期相等，均为
求函数的定义域．
【思路分析】整体代换法，解不等式即可得；
【解析】由于函数的定义域为，
故，
解得．
故所求函数的定义域为
【跟踪训练】求下列函数的最小正周期：
（1）；
（2）．
【思路分析】利用周期函数的定义来解，对于正切函数，
若，
则为正切函数的周期．
的最小值为最小正周期．
【解析】（1）．
∴的最小正周期为．
（2）．
∴的最小正周期为．
考法05 五点作图法
用五点法画函数的简图，先作变量代换，令，再用方程思想由取0，，，，来确定对应的值，最后根据的值描点、连线，画出函数的图象．
　作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象．
【思路分析】
【解析】列表
0
0 0 0
描点画图如下图所示：
【跟踪训练】已知函数．
（1）试用“五点法”画出它的图象；
（2）求它的振幅、周期和初相．
【思路分析】
【解析】（1）令，列表如下
0
0 2 0 0
描点连线，得到如图的函数图象：
（2）振幅，周期，初相为．
【技巧点拨】利用五点法作出函数在一个周期内的图象之后，只需把函数图象向左右两方伸展出一部分即可．如果要作出函数在指定区间内的图象，则要注意函数图象端点的处理．
考法06 图象的变换
SHAPE \* MERGEFORMAT 如何由函数的图象得到函数的图象？
【思路分析】本题主要考查正弦函数的图象变换，可根据两种变换方式中的一种进行，正确写出平移或伸缩变换的方向、大小即可．
【解析】解法一：
．
解法二：
．
【点评】（1）本题用了由函数，的图象变换到函数，的图象的两种方法．第一种方法是先进行相位变换；第二种方法是先进行周期变换．在先进行周期变换时，要注意下一步的变换平移的长度．
（2）若此问题改为“如何由的图象得到函数的图象”．请同学们自己叙述一下变换过程．
【跟踪训练】
将函数依次进行怎样的变换可得到的图象？
【思路分析】先相位变换，再周期变换，再振幅变换，最后平移即可．
【解析】①将函数的图象向左平移个单位，得函数的图象；
②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象；
③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到的图象；
④将所得图象向上平移1个单位长度，得到的图象．
考法07 根据图象确定函数的解析式
已知函数（其中，，）一个周期的图象如图所示，求函数的解析式．
【思路分析】，的值可以直接从图中读取．根据“五点法”的作图规律，认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点，而选择对应的方程，，，，（），得出的值．
【解析】由图象知，．
由得，
即．
由“五点法”知，第一个零点为，
∴，
∴．
故．
【解题技巧】求的值是本类问题的难点，正确选择恰当的点构造相应的方程是解决问题的关键．
【跟踪训练】
若函数（其中，，）在其一个周期内的图象上有一个最高点和一个最低点，求这个函数的解析式．
【思路分析】函数（其中，）的图象可看作把（其中，）的图象向上或向下平移个单位得到的．由图象可知，取最大值与最小值时相应的的值之差的绝对值只是半个周期．先求，，再求，最后求．
【解析】由已知条件，知一个周期内的图象上有，，则
，，
，
即．
∵，
∴．
∴．
∵点在函数的图象上，
∴，
即．
∵，
∴，
∴．
∴所求函数的解析式为．
考法08 函数性质的应用
已知函数，（其中，，）的周期为，且图象上的一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最值．
【思路分析】
【解析】（1）由函数图象上的一个最低点为，得．
由周期，得．
由点在图象上，得，
即，
所以，
故，
又，
所以，，
所以函数的解析式为．
（2）因为，
所以，
所以当，
即时，
函数取得最小值1；
当，
即使，函数取得最大值．
【跟踪训练】已知函数（，，），且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点．
（1）求；
（2）计算…+．
【思路分析】
【解析】（1）因为的最大值为2，，所以，
解得，
又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，
所以，
解得，
所以．
因为的图象过点，
所以，
故，
即，
又，
所以．
（2）由（1）知．
故，
又函数的周期为，，
所以…
=…
【技巧点拨】对于自变量较大的函数值的求解，一般要利用函数的周期性将其转化为较小的自变量对应的函数值来处理，注意函数值周期性出现的灵活运用．
题组A 基础过关练
1．已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值不可能是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意得：
故选：B.
2．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象可以由函数向左平移个单位得到
C．的图象关于直线对称
D．的单调递增区间为
【答案】B
【解析】对于A：的最小正周期为：,故A不正确；
对于B：由函数向左平移个单位得到，故B正确；
对于C：令，解得：，若，得：，而,矛盾，故C不正确；
对于D：令，解得：，故的单调递增区间为.故B正确.
3．函数y=tan(3x+)的一个对称中心是（ ）
A．(0，0) B．(，0)
C．(，0) D．以上选项都不对
【答案】C
【解析】因为正切函数y=tanx图象的对称中心是(，0)，k∈Z；
令3x+=，解得，k∈Z；
所以函数y=tan(3x+)的图象的对称中心为(，0)，k∈Z；
当k=3时,C正确，
故选：C.
4．要得到函数的图象，可以将函数的图象上各点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，然后再向左平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标变成原来的，然后再向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】由将各点横坐标变成原来的得到.
再向左平移个单位长度变换得到 . 故选：D.
5．点是函数（，）的图象的一个对称中心，且点到该图象的对称轴的距离的最小值为，则（ ）
A．的最小正周期是
B．的值为2
C．的初相为
D．在上单调递增
【答案】D
【解析】因为是函数（，）的图象的一个对称中心，
所以，，，
又因为点到该图象的对称轴的距离的最小值为，
所以，
所以，，
所以，，
又因为，
所以，
，
故A，B，C错误，
又，，所以在上单调递增，故D正确，故选：D.
6．函数的周期 振幅 初相分别是（ ）
A．，2， B．，，
C．，2， D．，2，
【答案】C
【解析】由，
则，振幅为，
当时，，即初相为.故选：C
7．若要得到一个关于原点对称的函数图像，可以将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【解析】对于A，得到的函数为，不是奇函数，图象关于原点不对称，A错误；
对于B，得到的函数为，是奇函数，图象关于原点对称，B正确；
对于C，得到的函数为，不是奇函数，图象关于原点不对称，C错误；
对于D，得到的函数为，不是奇函数，图象关于原点不对称，D错误；
故选：B
8．函数在区间内单调递减，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，则，
因为函数在区间内单调递减，则，
所以，，解得，
由，可得，
因为且，则，.
因此，正数的最大值为.故选：B.
题组B 能力提升练
1．为得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
【答案】BC
【解析】如果是先伸缩再平移，那么需先将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，即得
如果是先平移再伸缩，需先将向右的单位长度，得到，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），即得.故选：BC
2．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由题得，
令，解得，取k＝0，
，即．故选：BCD
3．分别对函数的图象进行如下变换：
①先向左平移个单位长度，然后将其上各点的横坐标变为原来倍，得到的图象；
②先将其上各点的横坐标变为原来的倍，然后向左平移个单位长度，得到的图象，
以下结论正确的是（ ）
A．
B．为图象的一个对称中心
C．直线为函数图象的一条对称轴
D．的图象向右平移个单位长度可得的图象
【答案】BCD
【解析】①向左平移个单位长度可得；再将横坐标变为原来倍，得到；
②横坐标变为原来倍可得；再向左平移个单位长度，得到；
对于A，两函数解析式不同，A错误；
对于B，当时，且，是的一个对称中心，B正确；
对于C，当时，，是的一条对称轴，C正确；
对于D，的图象向右平移个单位长度得：，D正确；故选：BCD.
4．写出一个值域为的周期函数______.（不能用分段函数形式）
【答案】或（答案不唯一）
【解析】由所给的值域为，且为周期函数，
写出一个即可，例如，或者.
故答案为：或
5．若函数的图象与直线y＝a有交点，则实数a的取值范围是 _______.
【答案】
【解析】对于，当时，
所以在上单调递增，且值域为.
要使函数的图象与直线y＝a有交点，
只需.故答案为：
6．已知函数.
（1）用“五点法”作出在上的简图.
（2）由图象写出在上的单调区间.
【答案】（1）答案见解析；（2）单调增区间：，，单调减区间：.
【解析】（1）列表：
0
1 1 1
描点 连线如图所示：
（2）由函数图象可知：
单调增区间：，，单调减区间：.
7．已知函数图象经过点，，且在区间上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求的值域．
【解析】（1）由题意知，故，
又，，，即，，
因为，所以，
所以．
（2），，
∵在单调递增，在单调递减，
所以，所以函数的值域为．
8．如图是函数（，，）的部分图象．
（1）求函数的表达式；
（2）若函数满足方程（），求在内所有实数根之和．
【解析】（1）由图可知：，，即，
，
又由图可知：，即，
所以，所以，
所以，，
所以，，
因为，所以，
．
（2）因为的周期为，在内恰有个周期．
①当时，方程在内有个实根，
设为、、、，
结合图象知，，
故所有实数根之和为；
②当时，方程在内有个实根为，，，，，
故所有实数根之和为；
③当时，方程在内有个实根，
设为、、、，
结合图象知，，
故所有实数根之和为；
综上：当时，方程所有实数根之和为；
当时，方程所有实数根之和为．
题组C 培优拔尖练
1．已知函数，其中，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是_______
【答案】15
【解析】由题意知函数为y＝f（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，∴ ，n∈Z，∴ω＝2n+1．
∵f（x）在区间上有最小值无最大值，
∴周期T≥（），即，∴ω≤16．
∴要求的最大值，结合选项，先检验ω＝15，
当ω＝15时，由题意可得15+φ＝kπ，φ，函数为y＝f（x）＝sin（15x），
在区间上，15x∈[，），此时f（x）在时取得最小值，
∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.
2．函数()的值域有6个实数组成，则非零整数的值是_________.
【答案】，
【解析】由题设知：的最小正周期为，又，
∴为非零整数，在上的值域有6个实数组成，即的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横坐标为整数，
∴当为偶数，有，即；
当为奇数，有，即；故答案为：，
3．函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
① ；
② 是函数的周期；
③ 函数在区间上单调递增；
④ 函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是___________.
【答案】① ③ ④
【解析】对于①：由可得，故①正确；
对于② ：由可得关于直线对称，
因为是定义域为R的奇函数，所以
所以，
所以函数的周期为，故② 不正确；
对于③ ：当时，单调递增，且，
在单调递减，且，
所以在单调递增，因为是奇函数，
所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图
函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，
所以函数所有零点之和为.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
4．已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.
（1）求函数的解析式
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值.
【解析】由三角函数的周期公式可得，
，
令，得，
由于直线为函数的一条对称轴，
所以，得，
由于，，则，
因此，.
将函数的图象向右平移个单位，得到函数，
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为.
.
令，可得，
令，得，，
则关于t的二次方程必有两不等实根 ，则，，异号.
当且时，
则方程和在区间均有偶数个根，
从而方程在也有偶数个根，不合题意
当，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上只有一个根，
在区间上无实解，
方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，
因此，关于x的方程在区间上有2020个根，在区间上有2022个根，不合题意
当时，则，此时，
当时，只有一根，有两根，
所以，关于x的方程在上有三个根，
由于，
则方程在上有个根，
由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，
方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，
因此，关于x的方程在区间上有2021个根，满足题意.
若有一根绝对值大于1，则另一根绝对值大于0且小于1，有偶数个根，不合题意
综上所述：，.
5．已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；
（1）①的一条对称轴且；
②的一个对称中心，且在上单调递减；
③向左平移个单位得到的图象关于轴对称且
从以上三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；
（2）在（1）的情况下，令，，若存在使得成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意可知，函数的最小正周期为，.
选①，因为函数的一条对称轴，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，则，不合乎题意；
若，则，则，合乎题意.
所以，；
选②，因为函数的一个对称中心，则，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意；
若，则，当时，，
此时，函数在区间上单调递减，合乎题意；
所以，；
选③，将函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称，
所得函数为，
由于函数的图象关于轴对称，可得，
解得，
，所以，的可能取值为、.
若，则，，不合乎题意；
若，则，，合乎题意.
所以，；
（2）由（1）可知，
所以，，
当时，，，所以，，
所以，，
，
，，则，
由可得，
所以，，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，.
6．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
（1）求的解析式.
（2）求的最大值.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
（4）对于第（3）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.
【解析】（1）由题意，函数
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以，可得，
又由函数为奇函数，可得，
所以，
因为，所以，
所以函数.
（2），
令，
则，
所以，，
因为对称轴，
所以当时，，
即的最大值为.
（3）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最小值为，
故函数的值域.
（4）由方程，即，即，
因为，可得，
设，其中，即，
结合正弦函数的图象，如图
可得方程在区间有5个解，即，
其中，
即
解得
所以.
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例 2
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例4
例 5
例 6
例 7
例8
分层提分
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知识精讲
能力拓展
例 1
例 2
例 3
例4
例 5
换元
列表求值
描点作图
例 6
例 7
例8
由周期求
由最低点的纵坐标确定
由最低点的横坐标确定
由周期求
由最值求
由点 求
利用周期性求解函数值的和
分层提分
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