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常用逻辑用语讲义
知识网络
重难点突破
知识点一 命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
例1．已知命题：“，函数的图象过点”逆否命题为真，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由逆否命题与原命题同真同假，可知命题为真命题，由对数函数性质可知，函数过定点时，
∴，代入可求得，所以点的坐标为，故选A。
【变式训练1-1】、原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．真、假、假
【答案】B　
【解析】 因为cos A<0,00，所以逆命题为假，从而否命题也为假．故选B．
知识点二 充分条件与必要条件
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
例2．是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】的解集为，不等式的解集为，
是成立的充分不必要条件，故选A。
【变式训练2-1】、“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】“”是“”的充要条件，故选C。
【变式训练2-2】、下列说法中正确的是（ ）
A．若“”是“”的充分条件，则“”
B．若“”是“”的充分条件，则“”
C．若“”是“”的充要条件，则“”
D．若“”是“”的必要条件，则“”
【答案】A
【解析】若“”是“”的充分条件，可得，故A正确；若“”是“”的充分条件，可得，故B错误；若“”是“”的充要条件，可得，故C错误；因为“” 无法成为“”必要条件，故D错误，故选 A。
知识点三 简单的逻辑连接词
p q p∧q p∨q 非p
真 真
真 假
假 真
假 假
例3．已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题：，则，则命题p为真命题，则￢p为假命题；
取a=-1，b=-2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．
∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题，故选B。
【变式训练3-1】、已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】命题：，则，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=-1，b=-2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题，∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题，故选B。
知识点四 全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
例4．已知命题，则p命题的否定为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为命题P：为全称命题，所以P的否定形式为：，
故选C。
【变式训练4-1】、已知命题使得成立，则为（ ）
A．都有恒成立 B．都有恒成立
C．都有恒成立 D．都有恒成立
【答案】B
【解析】命题,使得成立，
为都有恒或立，故选B。
【变式训练4-2】、下列命题：
①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；
②命题或，命题则是的必要不充分条件；
③“”的否定是“”；
④“若”的否命题为“若，则”；
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】对于①“在中，若，则” 的逆命题为“在中，若，则”，若，则，根据正弦定理可知，，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由，或，得不到，比如，，不是的充分条件；若，则一定有，则，即能得到，或，是的必要条件，是的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“”的否定是“” ，所以③不对；对于④“若，则”的否命题为“若，则”；所以④正确，故选C。
【变式训练4-3】、已知命题：“，使等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值集合；
（Ⅱ）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．
【答案】（1）（2）或.
【解析】（1）方程在有解，转化为函数在上的值域，实数的取值集合可求；
（2）是的必要条件，分、、三种情况讨论即可求的取值范围．
(1) 由题意知，方程在上有解，
即的取值范围就为函数在上的值域，易得7分
(2) 因为是的必要条件，所以8分
当时，解集为空集，不满足题意 9分
当时，，此时集合
则，解得12分
当时，，此时集合
则15分
综上16分常用逻辑用语讲义
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重难点突破
知识点一 命题及其关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
例1．已知命题：“，函数的图象过点”逆否命题为真，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】、原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．真、假、假
知识点二 充分条件与必要条件
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
例2．是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-1】、“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练2-2】、下列说法中正确的是（ ）
A．若“”是“”的充分条件，则“”
B．若“”是“”的充分条件，则“”
C．若“”是“”的充要条件，则“”
D．若“”是“”的必要条件，则“”
知识点三 简单的逻辑连接词
p q p∧q p∨q 非p
真 真
真 假
假 真
假 假
例3．已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、已知命题：，则；命题：若，则，下列命题为真命题的是( )
A． B． C． D．
知识点四 全称量词与存在量词
1．全称量词和存在量词
(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示．
(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为： x∈M，p(x)．
(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为： x0∈M，p(x0)．
2．含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
x∈M，p(x)
x0∈M，p(x0)
例4．已知命题，则p命题的否定为
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】、已知命题使得成立，则为（ ）
A．都有恒成立 B．都有恒成立
C．都有恒成立 D．都有恒成立
【变式训练4-2】、下列命题：
①“在三角形中，若，则”的逆命题是真命题；
②命题或，命题则是的必要不充分条件；
③“”的否定是“”；
④“若”的否命题为“若，则”；
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4-3】、已知命题：“，使等式成立”是真命题．
（Ⅰ）求实数的取值集合；
（Ⅱ）设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．

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