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空间向量与立体几何讲义
知识网络
重难点突破
知识点一 空间向量的概念及运算
1、空间向量的概念
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0
单位向量 ______的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
2、空间向量的加减运算及运算律
下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
3、空间向量的数乘运算
实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
4、共线向量与共面向量
回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________
点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝___________
对空间任一点O，有＝＋__________
例1．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
例2．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
知识点二 空间向量的基本定理及坐标运算
5、空间向量基本定理
（1）.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使得p=xa+yb+zc.
（2）.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
（3）.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
6、空间向量运算的坐标表示
（1）.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b 　　　　　　　　　
减法 a-b 　　　　　　　　　
数乘 λa 　　　　　　　　　
数量积 a·b 　　　　　　　　　
（2）.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
（3）.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)当b≠0时,a∥b a=λb 　　 　　　　　　(λ∈R);
(2)a⊥b 　　　　　 　　　　　　　　　　.
（4）.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|==　　　　　　　;
(2)cos==　　　 　　　　　;
(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为||=　　　　 　.
;;.
例3. 设，向量且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
例4．在长方体中，，，点在棱上移动，则直线与所成角的大小是__________，若，则__________．
知识点三 运用空间向量研究直线、平面的位置关系
7、空间中点、直线和平面的向量表示
（1）.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图.
（2）.空间直线的向量表示式
如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta,　①
或+t.　②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
（3）.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
（4）.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:
①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
8、空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R,使得μ1=λμ2.
线面平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α μ⊥n μ·n=0.
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
例5.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
（1）证明：直线；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（3）求点B到平面OCD的距离.
例6.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
知识点四 运用空间向量研究距离、夹角问题
9、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
（1）.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=.
（2）.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
10、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=.
点睛：1.实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.
2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
3.两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
例7．在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
例8.（多选题）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
例9．已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为______.空间向量与立体几何讲义
知识网络
重难点突破
知识点一 空间向量的概念及运算
1、空间向量的概念
(1)在空间，把具有_____和_____的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_____或___.
空间向量用有向线段表示，有向线段的_____表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为__________.
(2)几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 规定长度为0的向量叫_______，记为0
单位向量 ______的向量叫单位向量
相反向量 与向量a长度_____而方向_____的向量，称为a的相反向量，记为－a
相等向量 方向_____且模_____的向量称为相等向量，_____且_____的有向线段表示同一向量或相等向量
2、空间向量的加减运算及运算律
下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a.
(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.
＝＋＝a＋b
＝－＝a－b
＝＋＝＋＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝b＋a
空间向量加法结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
3、空间向量的数乘运算
实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？
(1)实数与向量的积
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：
①|λa|＝____.
②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量数乘运算满足以下运算律
①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________；③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展).
4、共线向量与共面向量
回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义.
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________
点P位于平面ABC内的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝___________
对空间任一点O，有＝＋__________
例1．在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在四面体中，点在上，且，为中点，
所以，
即.故选：B.
例2．（多选题）在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
【答案】ABC
【解析】对于，，， ，，即，故正确；对于，若Q为的重心，则，，即，故正确；对于，若，，则，，
，
，
，故正确；
对于，
，
，，故错误.故选：
知识点二 空间向量的基本定理及坐标运算
5、空间向量基本定理
（1）.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
使得p=xa+yb+zc.
（2）.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共
面的向量都可以构成空间的一个基底.
（3）.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.
6、空间向量运算的坐标表示
（1）.空间向量的坐标运算法则
设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b 　　　　　　　　　
减法 a-b 　　　　　　　　　
数乘 λa 　　　　　　　　　
数量积 a·b 　　　　　　　　　
（2）.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
（3）.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)当b≠0时,a∥b a=λb 　　 　　　　　　(λ∈R);
(2)a⊥b 　　　　　 　　　　　　　　　　.
（4）.空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)|a|==　　　　　　　;
(2)cos==　　　 　　　　　;
(3)若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1,P2两点间的距离为||=　　　　 　.
;;.
例3. 设，向量且，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】D
【解析】,
,,故选C.
例4．在长方体中，，，点在棱上移动，则直线与所成角的大小是__________，若，则__________．
【答案】； 1
【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又，，点在棱上移动
则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），
设E（1，m，0），0≤m≤2，则=（1，m，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），
∴ =﹣1+0+1=0，∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．
∵=（1，m，﹣1），=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，
∴=﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案为900，1．
知识点三 运用空间向量研究直线、平面的位置关系
7、空间中点、直线和平面的向量表示
（1）.点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.如图.
（2）.空间直线的向量表示式
如图①,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,设P是直线l上的任意一点,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得=ta,即=t.如图②,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使+ta,　①
或+t.　②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
（3）.空间平面的向量表示式
如图,取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使+x+y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
（4）.平面的法向量
如图,直线l⊥α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
点睛：空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:
①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
8、空间中直线、平面平行的向量表示
位置关系 向量表示
线线平行 设μ1,μ2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 μ1∥μ2 λ∈R,使得μ1=λμ2.
线面平行 设μ是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l α,则l∥α μ⊥n μ·n=0.
面面平行 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
点睛：1.空间平行关系的本质是线线平行,根据共线向量定理,只需证明直线的方向向量μ1∥μ2.此外,证明线面平行也可用共面向量定理,即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.
2.利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点,证明平面与平面平行时也要注意两平面没有公共点.
例5.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
（1）证明：直线；
（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（3）求点B到平面OCD的距离.
【解析】作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系
,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即 取,解得
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
例6.在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
【解析】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则
从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
，因此.
知识点四 运用空间向量研究距离、夹角问题
9、点到直线的距离、两条平行直线之间的距离
（1）.点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为μ,A是直线l上的定点,P是直线l外一点.设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·μ)μ.点P到直线l的距离为PQ=.
（2）.两条平行直线之间的距离
求两条平行直线l,m之间的距离,可在其中一条直线l上任取一点P,则两条平行直线间的距离就等于点P到直线m的距离.
点睛：点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度,由于直线与直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题.
10、点到平面的距离、两个平行平面之间的距离
点到平面的距离
已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则点P到平面α的距离为PQ=.
点睛：1.实质上,n是直线l的方向向量,点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.
2.如果一条直线l与一个平面α平行,可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
3.两个平行平面之间的距离
如果两个平面α,β互相平行,在其中一个平面α内任取一点P,可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
例7．在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为 ，选D．
例8.（多选题）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
【答案】BC
【解析】如图所示：
对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当时，与平面所成的最大角为，故A错误；对B，当时，取CD的中点N，可得所以平面PBN，所以，故B正确；对C，当二面角的大小为时，所以，所以，所以，故C正确；对D，因为，所以如果到平面的距离为，则平面PCD，则，所以，显然不可能，故D错误；故选：BC.
例9．已知四棱柱的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直.若点到平面的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为______.
【答案】
【解析】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，，则根据三角形面积得，代入解得.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得.
，所以直线与平面所成的角的余弦值为.

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