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椭圆、双曲线与抛物线方程的图像与基本性质
知识网络
重难点突破
知识点一 椭圆的方程与性质
1、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
例1、（1）已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．9 D．10
【答案】C　
【解析】由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9.故选C.
（2）．已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，解得或．
当时，曲线方程为，故离心率为；
当时，曲线方程为，故离心率为．
所以曲线的离心率为或．选B．
【变式训练1-1】、已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．
【答案】＋＝1
【解析】　设圆M的半径为r.∵圆M与圆F1相内切，∴MF1＝4－r.∵圆M过点F2，∴MF2＝r，∴MF1＝4－MF2，即MF1＋MF2＝4>F1F2，∴点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则有2a＝4，c＝1，∴a＝2，b＝，∴轨迹C的方程为＋＝1.
【变式训练1-2】、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____．
【答案】以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆
【解析】　连结QA，由已知得QA＝QP.∴QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r.又∵点A在圆内，∴OA＜OP，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．
知识点二 直线与椭圆的位置关系
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
例2、已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）1.
【解析】（Ⅰ）由题意知，得，，所以，
由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4，得，
所以，，椭圆的标准方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，令，得，，
当直线的斜率存在时，设:，，，，
由，得，
则，，
所以，，
将代入，得，
又因为 ，
原点到直线的距离，
所以
.当且仅当，即时取等号.
综上所述，面积的最大值为1.
【变式训练2-1】、已知A、B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C的下顶点，F为其右焦点点M是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线轴以线段AF为直径的圆交直线AM于点A、N，连接FN交直线l于点点G的坐标为，且，椭圆C的离心率为．
求椭圆C的方程；
试问在x轴上是否存在一个定点T，使得直线MH必过该定点T？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】由题意得，
，，所求椭圆的方程为．
假设在x轴上存在一个定点，使得直线MH必过定点，
设动点，由于M点异于A，B，故，
由点M在椭圆上，故有，
又由知，，直线AM的斜率，
又点N是以线段AF为直径的圆与直线AM的交点，
．直线FN的方程，
，即，
，H两点连线的斜率，
将式代入式，并整理得，又P，T两点连线的斜率．
若直线MH必过定点，则必有恒成立，即，
整理得，将式代入式，
得，解得，故直线MH过定点．
知识点三 双曲线的方程与性质
1、 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
2、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
例3、(1)．已知一个双曲线的方程为：，则的取值范围是__.
【答案】或.
【解析】由双曲线的方程可得，解得或，
故答案为：或
(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【答案】(1)C　(2)10
【解析】(1)双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝10.根据题意和双曲线的定义知2＝|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|，所以|PF2|＝6，|PF1|＝8，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2.所以S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.
(2)由双曲线的标准方程－＝1得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当直线l过点F1，且垂直于x轴时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10.
【变式训练3-1】、设双曲线的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】∵的一条渐近线为另一条渐近线为
∵过其焦点的直线与垂直，∴的方程为
∴由 得垂足A的横坐标
则 进而可得：
由由可得
，
故选C.
知识点四 直线与双曲线位置关系
例4、设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
【变式训练4-1】、设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，∴，，
又点在圆上，，即．，故选A．
知识点五 抛物线的方程与性质
1、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝　x0＋　 ＝　－x0＋　 ＝　y0＋　 ＝　－y0＋　
例5、已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，点的坐标为，设点在准线上的射影为，如下图所示：
由抛物线的定义知，由，则.
，，，解得.
故选：D.
【变式训练5-1】、已知点F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若＋＝12，则抛物线的准线方程为__________．
【答案】x＝－2
【解析】 将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立
x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由 |PF2|＝6－a，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，解得a＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－2.
知识点六 直线与抛物线位置关系
1、 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
2、设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
例6、已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
【解析】（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，
因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，所以的方程为
（2）由题意，设直线方程为，
由消去，得，
设，，则，所以，
又因为为的中点，点的坐标为，直线的方程为，
令，得，点的坐标为，所以，
解得，所以直线的斜率为.
【变式训练6-1】、已知直线与抛物线交于两点，
（1）若，求的值；
（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.
【答案】（1）-8；（2）30.
【解析】（1） 与联立得
由得，设，则
∵，∴∴， ∴ ∴ ，满足题意.
（2）设弦的中点为,则，，设圆心
∵ ∴ ∴，则，∴，∴
∴ ∴
∴面积为.
知识点七 直线与圆锥曲线方程的综合应用
1、 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点、仅有一个公共点以及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元(如消去y)，得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；
当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2、 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：
＝＝
＝＝　　.
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)．
3、 圆锥曲线的中点弦问题
遇到弦中点问题常用“点差法”或“根与系数的关系”求解．
在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　－　；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　　；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率　k＝　.在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0.
例7、已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个不重合的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
【解析】 联立消去y并整理，
得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，依题意，得Δ＝(16k)2－4×(1＋4k2)×12＝16(4k2－3)．
(1) 当Δ>0，即k<－或k>时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2) 当Δ＝0，即k＝±时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3) 当Δ<0，即－【变式训练7-1】、已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0①，Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
(3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．椭圆、双曲线与抛物线方程的图像与基本性质
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重难点突破
知识点一 椭圆的方程与性质
1、椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M|＋＝2a}，＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2、椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距 ＝2c
离心率 e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
例1、（1）已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于(　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．9 D．10
（2）．已知是两个数2,8的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式训练1-1】、已知圆F1：(x＋1)2＋y2＝16，定点F2(1，0)，动圆M过点F2，且与圆F1相内切，那么点M的轨迹C的方程为____．
【变式训练1-2】、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是____．
知识点二 直线与椭圆的位置关系
1．焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
2．焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
3．焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
4．AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
(1)弦长l＝|x1－x2|＝ |y1－y2|；
(2)直线AB的斜率kAB＝－.
例2、已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.
【变式训练2-1】、已知A、B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C的下顶点，F为其右焦点点M是椭圆C上异于A、B的任一动点，过点A作直线轴以线段AF为直径的圆交直线AM于点A、N，连接FN交直线l于点点G的坐标为，且，椭圆C的离心率为．
求椭圆C的方程；
试问在x轴上是否存在一个定点T，使得直线MH必过该定点T？若存在，求出点T的坐标，若不存在，说明理由．
知识点三 双曲线的方程与性质
1、 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
2、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±xy＝±x
离心率 e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
例3、(1)．已知一个双曲线的方程为：，则的取值范围是__.
(2)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．
【变式训练3-1】、设双曲线的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为　　
A． B．2 C． D．
知识点四 直线与双曲线位置关系
例4、设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】、设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为（ ）
A． B．
C．2 D．
知识点五 抛物线的方程与性质
1、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 x轴 y轴
焦点 F F F F
离心率 e＝1
准线 　x＝－　 　x＝　 　y＝－　 　y＝　
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中P(x0，y0)) ＝　x0＋　 ＝　－x0＋　 ＝　y0＋　 ＝　－y0＋　
例5、已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-1】、已知点F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若＋＝12，则抛物线的准线方程为__________．
知识点六 直线与抛物线位置关系
1、 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．
(3)＋为定值.
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
2、设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)；
(3)＋＝；
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；
(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．
例6、已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.
（1）求的方程；
（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.
【变式训练6-1】、已知直线与抛物线交于两点，
（1）若，求的值；
（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积.
知识点七 直线与圆锥曲线方程的综合应用
1、 直线与圆锥曲线的位置关系
(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点、仅有一个公共点以及有两个相异的公共点．
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0.
由消元(如消去y)，得ax2＋bx＋c＝0.
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)．
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac.
当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同的两点；
当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；
当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点．
2、 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：
＝＝
＝＝　　.
(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接求解(利用坐标轴上两点间距离公式)．
3、 圆锥曲线的中点弦问题
遇到弦中点问题常用“点差法”或“根与系数的关系”求解．
在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　－　；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝　　；在抛物线y2＝2px(p>0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率　k＝　.在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ≥0.
例7、已知直线l：y＝kx＋2，椭圆C：＋y2＝1.试问当k取何值时，直线l与椭圆C：
(1) 有两个不重合的公共点；
(2) 有且只有一个公共点；
(3) 没有公共点．
【变式训练7-1】、已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．

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